Aline Jaqueline de O. Andrade e M. Guerreiro [email protected]
Universidade Federal de Viçosa
Aplicações da Teoria de Grupos à Fı́sica
A Teoria de Grupos tem sido utilizada há pelo menos 50 anos com uma ferramenta
valiosa para elucidar aspectos de simetrias de problemas fı́sicos. Em desenvolvimentos mais recentes, particularmente nas Teorias Fı́sicas de Alta Energia, a Teoria de
Grupos tem ocupado um papel central e essencial. As áreas da Fı́sica nas quais
se pode utilizar a teoria de grupos e suas representações incluem, dentre outras, a
fı́sica atômica, a fı́sica do estado sólido, vibrações em moléculas e sólidos e teoria
das partı́culas elementares. Particularmente na Mecânica Quântica, o conjunto de
estados puros de um sistema fı́sico é descrito por um espaço linear e é importante
compreender a ação de grupos de simetria em tais espaços.
Neste trabalho, apresentamos algumas aplicações da Teoria de Grupos à cálculos
da Mecânica Quântica, como a solução da equação de Schrödinger, probabilidades
de transmissão e regras de seleção, teoria da perturbação independente do tempo,
funções base de spinor e auto-funções de energia.
Referências
[1] G. James e M. Liebeck, Representation and Characters of Groups, Cambridge
Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 1993.
[2] J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, Techniques of Physics 7, Academic
Press Limited, San Diego, 1994.
[3] K. Hoffman e R. Kunze, Linear Algebra, Second Edition, Pretence-Hall, New
Jersey, 1971.
Clayton C. da Silva e M. Guerreiro
[email protected]
Universidade Federal de Viçosa
Grupos de Grothendieck e Categorificação
Algébrica
O termo categorificação, introduzido por Louis Crane e Igor Frenkel refere-se ao processo de se trocar noções da Teoria de Conjuntos por suas correspondentes análogas
na Teoria de Categorias. Dessa forma, substituı́mos conjuntos por categorias, elementos por objetos, funções por funtores, relações entre elementos por morfismos
entre objetos e relações entre funções por transformações naturais de funtores. A
idéia por trás desse processo é obter informações extras que possam ser usadas para
estudar o objeto original. Entretanto, o processo inverso, conhecido como decategorificação, onde objetos isomorfos são identificados como iguais, é um ponto de
partida mais natural.
O método mais simples de esquecer informação em uma categoria é tomar o correspondente grupo de Grothendieck, que é um exemplo clássico do processo de decategorificação. Trata-se de um grupo abeliano sobre o conjunto das classes de isomorfismo
de uma categoria essencialmente pequena munida de uma operação binária. Ele deve
o seu nome ao matemático Alexander Grothendieck, que o introduziu em sua obra
fundamental em meados dos anos 1950, resultando no desenvolvimento da K-teoria,
que o levou à prova do teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. O estudo dos grupos de Grothendieck é imprescindı́vel para a realização de algumas categorificações.
Por exemplo, para se categorificar um espaço vetorial V , buscamos uma categoria
C cujo grupo de Grothendieck seja isomorfo ao espaço vetorial, ou seja, tal que
K(C) ∼
= V.
Certas categorias (aditivas, abelianas e trianguladas) fornecem a construção do
grupo de Grothendieck de uma maneira natural. Neste trabalho, investigamos a
estrutura dos grupos de Grothendieck desses vários tipos de categorias. As categorias aditivas, por exemplo, formam os blocos básicos da construção das categorias
restantes a serem abordadas neste trabalho. Veremos que, em categorias aditivas, produtos binários e coprodutos binários coincidem e lançaremos mão dessas
operações para definir o grupo de Grothendieck cindido de uma categoria aditiva.
Além disso, discutiremos algumas propriedades que essas categorias podem ter que
dão bases boas aos grupos de Grothendieck. No caso das categorias aditivas temos a propriedade de Krull-Schmidt e para as categorias abelianas, o Teorema de
Jordan-Hölder. Finalmente, no contexto de categorias trianguladas, fazemos uma
breve discussão do exemplo da categoria de homotopia de uma categoria aditiva.
Referências
[1] C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in
Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, 1994.
[2] W. Lu, A. K. McBride, Algebraic Structures on Grothendieck Groups, Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa, 2013.
Bruna M. Almeida, A. T. Silva, M. B. Faria
[email protected]
Universidade Federal de Viçosa
Estudo de Códigos associados à reticulados
Neste trabalho fizemos uma introdução à teoria dos códigos corretores de erros com
algumas propriedades e exemplos. Destacamos aspectos como distância de Hamming
e correções de erros, códigos binários lineares, códigos cı́clicos, códigos perfeitos e,
em particular, os códigos de Hamming.
Abordamos códigos esféricos e alguns limitantes importantes como os de Rankin A,
B e C, e apresentamos um código esférico ótimo (com máxima distância mı́nima)
para a respectiva dimensão e números de pontos: o código simplex.
Nos dedicamos também a reticulados e suas propriedades com foco na densidade
de empacotamento, na análise do quociente de reticulados gerando grafos em toros
planares, grafos circulantes obtidos através do quociente de reticulados e ladrilhamentos associados. Destacando os reticulados que admitem sub-reticulados com
base ortogonal, caso em que ao mergulharmos o grafo contido e gerado pelo quociente de reticulados, obteremos um código esférico gerado por um grupo comutativo
de matrizes ortogonais.
Para finalizar, fizemos uma relação entre os itens anteriores e contruı́mos reticulados
a partir de códigos binários e também códigos esféricos a partir de reticulados que
possuam sub-reticulados gerados por vetores ortogonais.
Referências
[1] HEFEZ, A. e VILLELA, M.L.T., Códigos Corretores de Erros, IMPA, 2002.
[2] COSTA, S.I.R., SIQUEIRA, R.M., LAVOR, C.C, ALVES,M.M.S, Uma introdução à Teoria de Códigos, SBMAC-Notas em Matemática Aplicada, vol 21,
2006.
[3] COSTA, S.I.R., MUNIZ, M., AGUSTINI, E. e PALAZZO, R., Graphs, Tesselations and Perfect Codes on Flat Tori, IEEE-Transactions on Informations Theory,
vol 50, pp 2363-2377, Oct 2004.
[4] MINAMI, L.T., Códigos sobre Grafos que são Quocientes de Reticulados,
Tese de mestrado, unicamp, 2004.
[5] CONWAY, J.H., SLOANE, N.J.A, Sphere, Packings, Lattices and Groups, Grundlehren der mathematischen Wissenchaften, Springer, 3rd edition, 1998.
[6] ERICSON, T., ZINOVIEV, V., Codes on Euclidean Spheres, Elsevier, NorthHolland Mathematical library, vol 63, 2001.
[7] EBELING, W., Lattices and Codes, 2nd edition, Advanced Lectures in Mathematics, Vieweg, 2002.
William C. S. Amorim e M. Guerreiro
[email protected]
Universidade Federal de Viçosa
A Matemática dos Códigos Corretores de Erros
As diferentes estruturas algébricas bem como diversos outros conhecimentos da Matemática estão presentes no dia a dia da vida moderna sem que mesmo o percebamos.
Algo tão corriqueiro como o falar com uma pessoa ao telefone celular é um exemplo
disto: a palavra falada é codificada para ser transmitida pelo canal utilizado na
comunicação e ao chegar ao receptor da chamada é decodificada. Os códigos que
efetuam este processo são os chamados códigos corretores de erros.
Esses códigos participam do nosso cotidiano também de outras formas, como, por
exemplo, sempre que fazemos uso de informações digitalizadas, tais como assistir a
um programa de televisão, falar ao telefone, ouvir um CD de música, assistir a um
filme em DVD, mandar um recado para alguém via SMS ou navegar pela Internet.
Um código corretor de erros é, em essência, um modo organizado de acrescentar
algum dado adicional a cada informação que se queira transmitir ou armazenar, que
permita, ao recuperar a informação, detectar e corrigir erros. O objetivo da Teoria
dos Códigos Corretores de erros é desenvolver métodos para enviar mensagens nas
quais seja possı́vel detectar e corrigir erros com rapidez e confiabilidade ao mesmo
tempo. Dentre estes métodos temos o código de repetição e o código de verificação
de paridade.
A Teoria dos Códigos é um campo de investigação atual e muito ativo, tanto do
ponto de vista cientı́fico quanto tecnológico, sendo pesquisado por diversas áreas
do conhecimento como Matemática, Computação, Engenharia Elétrica e Estatı́stica
entre outras.
Referências
[1] HEFEZ, A. e VILLELA, M.L.T., Códigos Corretores de Erros, IMPA, 2002.