O ESTUDO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA POR MEIO DE UMA
ÁREA IRREGULAR: UMA ATIVIDADE DE INVESTIGAÇÃO
COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA
Julio Cezar Rodrigues de Oliveira
UNESPAR – Campus Apucarana / UEL – Universidade Estadual de Londrina
[email protected]
Andressa Cavazzini dos Santos
UNESPAR – Campus Apucarana
[email protected]
Letícia Barcaro Celeste Omodei
UNESPAR – Campus Apucarana
[email protected]
Resumo:
Este trabalho apresenta o relato de uma atividade de cunho investigativo, desenvolvida em um
curso de formação continuada. O curso foi voltado para os professores de matemática da
Educação Básica do ensino público que lecionam no Ensino Fundamental e Médio. O objetivo
dessa atividade é estudar a relação entre uma área irregular e a função quadrática definida por
essa área, com o objetivo de investigar como é possível definir essa função com o auxílio do
software GeoGebra, fazendo uso do caráter dinâmico que ele proporciona, revisando os
conteúdos matemáticos que surgem durante essa atividade. As reflexões sobre a atividade
indicam que o uso desse software pode possibilitar que os estudantes desenvolvam a habilidade
de criar conjecturas, testá-las, verificar se são verdadeiras ou não, e buscar justificá-las
matematicamente.
Palavras-chave:
Função Quadrática. Área
Irregular. GeoGebra.
Investigação
Matemática.
Introdução
Nesse trabalho apresentamos uma atividade desenvolvida por professores no
curso de formação continuada intitulado: “Utilizando o GeoGebra na Álgebra e
Geometria – Uma Proposta Didático-Pedagógica”1. Esse curso faz parte de um projeto
de Iniciação Científica financiado pela Fundação Araucária, no qual o primeiro autor
atua como voluntário, a segunda autora como bolsista e a terceira autora é a orientadora
do projeto.
1
Este curso foi realizado na UNESPAR – Campus Apucarana, no decorrer do ano de 2013.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
A elaboração das propostas a serem desenvolvidas no curso é de
responsabilidade dos acadêmicos do projeto que cursam Licenciatura em Matemática da
UNESPAR – Campus Apucarana, e o curso é destinado aos professores da Educação
Básica das escolas públicas do Núcleo Regional de Educação de Apucarana.
O objetivo do curso é proporcionar aos professores momentos de reflexão a
respeito da utilização das tendências em Educação Matemática, tendo como ferramenta
a utilização do software GeoGebra. Durante o curso os acadêmicos propõem atividades
que serão trabalhadas por meio das tendências em Educação Matemática.
Na atividade que apresentaremos em particular, a tendência que norteou a
resolução foi a investigação matemática, na qual os professores estudaram um problema
geométrico, relacionando-o a uma função quadrática, e no decorrer da aula surgiram
vários questionamentos acerca das conjecturas2 que eles criaram, para que eles
pudessem definir com clareza a função que responderia às questões levantadas.
Investigação matemática
Uma investigação é caracterizada por um problema em aberto no qual o objeto a
ser investigado não foi explicitado pelo professor, mas o método de investigação deve
ser indicado por meio de uma introdução oral, por exemplo, de uma forma pela qual o
estudante compreenda o significado de investigar (PARANÁ, 2008).
Ao se referir às investigações em matemática, Ponte, Brocardo e Oliveira
afirmam que
Investigar em Matemática assume características muito próprias,
conduzindo rapidamente à formulação de conjecturas que se procuram
testar e provar, se for o caso. As investigações matemáticas envolvem,
naturalmente, conceitos, procedimentos e representações matemáticas,
mas o que mais fortemente as caracteriza é esse estilo de conjecturateste-demonstração (PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2009,
p.10).
Nesse sentido, acreditamos que a investigação matemática possibilita que o
estudante trabalhe como um matemático, ao criar hipóteses a respeito do que está
investigando, e buscar a sua validade por meio da demonstração, ou a sua refutação, por
meio de um contraexemplo.
2
Entendemos o termo conjectura como “Juízo ou opinião sem fundamento preciso; suposição; hipótese”
(FERREIRA, 2011, p. 241).
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) afirmam que uma investigação matemática
envolve quatro momentos principais:

Exploração e formulação de questões: momento no qual é necessário
reconhecer a situação inicial, explorá-la e formular as questões iniciais;

Formulação de conjecturas: os dados são organizados e assim fica mais
claro para que seja possível formular conjecturas e fazer afirmações a seu
respeito;

Testes e reformulação: as conjecturas são testadas para verificar se são
verdadeiras e, caso não o sejam, são reformuladas, para que sejam
realizados novos testes;

Justificação e validação: para que tenhamos certeza que as conjecturas
são verdadeiras, é necessário demonstrá-las. E, por fim, avalia-se o
raciocínio e o resultado obtido.
Ao desenvolver uma atividade de investigação matemática, pode ser que esses
momentos não ocorram de forma linear, ou talvez tenhamos que passar por alguns dos
momentos por mais de uma vez, por exemplo, se uma conjectura formulada
inicialmente mostrar-se falsa, então é necessário que ela seja reformulada, para que ela
seja testada novamente e, se ela mostrar-se verdadeira, será necessário justificá-la.
Uma atividade de investigação matemática pode desenvolver-se tanto em torno
de apenas um quanto em torno de vários problemas. Ou ainda podemos partir de um
problema inicial, e, ao buscar a sua resolução desse, encontrarmos diversos problemas
no decorrer do processo. O professor deve atuar como um mediador, facilitando a
aprendizagem, questionando os estudantes para que eles observem quando estão ou não
no caminho certo.
Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) afirmam que o papel do professor é
fundamental, pois ele é responsável por criar um ambiente adequado ao trabalho
investigativo. Siltrão e Cristóvão (2000) apontaram que a postura do professor em uma
aula investigativa é de extrema importância, pois está pautada em sua segurança e a
forma pela qual ele conduz a aula, e seu trabalho inicia-se ao escolher a proposta a
trabalhar com os estudantes, para que elas se constituam em um verdadeiro desafio para
eles.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Em uma aula de investigação, o professor deve estar atento a aspectos
característicos do processo, dando apoio aos estudantes de várias formas, tais como:
colocar questões mais ou menos diretas, fornecer ou recordar informação relevante,
promover a reflexão e fazer algumas sínteses. Em relação às divergências de
pensamento entre os estudantes no decorrer da aula, Ponte, Brocardo e Oliveira sugerem
que
Quando os estudantes se confrontam com dúvidas ou com um impasse
no seu trabalho, não sabendo como prosseguir, o professor deve
começar por colocar questões abertas. Muitas vezes, quando os
estudantes lhe colocam uma questão, a melhor estratégia é devolvê-la,
levando-o a pensar melhor sobre o seu problema. Por vezes, há
necessidade de as questões se transformarem em sugestões
orientadoras da atividade dos alunos (PONTE, BROCARDO e
OLIVEIRA, 2009, p. 52).
Em consonância com os autores, cremos que o professor não pode apenas
entregar os resultados aos alunos, ou confirmá-los respondendo às perguntas: “Está
certo assim?”, mas o professor pode buscar a reflexão dos estudantes ao reformular
questões e despertar neles o espírito de matemático de tentar justificar matematicamente
as conjecturas que eles encontrarem, com o objetivo de explicar o porquê de sua
conjectura ser ou não verdadeira.
A Interação entre Geometria e Funções
As atividades investigativas podem ser exploradas também no ensino de
Geometria, em particular com o uso de softwares de Geometria Dinâmica como o
GeoGebra, um software livre criado em 2001 por Markus Hohenwarter, com o objetivo
de desenvolver um software destinado ao ensino e a aprendizagem de matemática em
todos os níveis de conhecimento. O GeoGebra reúne recursos de álgebra, geometria e
cálculo, o que possibilita o trabalho com tabelas, gráficos, construções geométricas,
estatística, entre muitos outros recursos em um único ambiente.
Os recursos que o GeoGebra disponibiliza permite que sejam elaboradas
atividades nas quais é possível relacionar as construções geométricas planas com o
conteúdo de funções, considerando não apenas no que diz respeito às diferentes
representações de funções e das relações entre elas, como também o próprio conceito de
função (GIRALDO, CAETANO e MATTOS, 2013).
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Além disso, a articulação entre geometria e funções ocorre naturalmente em
softwares de geometria dinâmica como o GeoGebra. Vamos exemplificar com uma
proposta apresentada por Oliveira et al (2013): se construirmos um quadrado cujo lado é
uma variável l, e quisermos relacionar o perímetro do quadrado em função da variável l,
podemos definir uma função afim na qual o domínio é dado pelas possíveis medidas
que l pode assumir, e a imagem será dada por todas as possíveis medidas de perímetro
desse quadrado, ou seja, a imagem é dada pela fórmula P(l)=4l, onde P(l) representa o
perímetro desse quadrado, e temos a possibilidade de explorar o conceito de função com
mais profundidade, pois nesse caso, teremos um domínio restrito a um intervalo, ou
seja, o intervalo de existência dessa variável l.
Giraldo, Caetano e Mattos afirmam que a articulação entre a geometria e as
funções se dá fundamentalmente em dois sentidos
Por um lado, quando gráficos de funções reais são construídos em
geometria dinâmica, é necessário aplicar diversos conceitos de
geometria plana; e por outro lado, os recursos dinâmicos dos
ambientes permitem reconhecer e explorar concretamente relações
funcionais entre objetos geométricos (GIRALDO, CAETANO e
MATTOS, 2013, p. 163).
Quando o estudante tem a oportunidade de conjecturar a respeito de alguma
função que represente uma relação de dependência entre dois objetos geométricos, é
possível que ele utilize o software para verificar se está pensando de forma correta ou
não, mas o objetivo da utilização do software não é apenas essa verificação. Por meio
do software e da intervenção do professor, o estudante será desafiado a mostrar que sua
conjectura está certa e a buscar uma forma de prová-la, uma vez que o software facilita
a visualização, porém a demonstração é o estudante quem deve construir.
A investigação de relações de dependência entre grandezas geométricas
constituem uma oportunidade para aprimorar a percepção intuitiva da ideia de variação,
e os ambientes de geometria dinâmica podem fornecer um apoio importante para que
esse objetivo seja alcançado (GIRALDO, CAETANO e MATTOS).
Nessa perspectiva, vamos apresentar na próxima seção o relato de uma atividade
desenvolvida em um curso de formação continuada de professores, na qual os
professores utilizaram o GeoGebra para investigar como representar uma função que
define uma área irregular, representada pela diferença entre a área de um losango e um
círculo interno a esse losango.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Relato: Representando uma Área Irregular por meio de uma Função Quadrática
Este relato apresenta o desenvolvimento de uma das propostas em um curso de
formação continuada, realizada com os professores da educação básica da rede pública
de ensino do Paraná. Para se referir ao acadêmico responsável pela condução da
atividade, vamos nomeá-lo apenas de acadêmico, e nos referiremos aos cursistas como
professores. É importante ressaltar que o objetivo do trabalho não é o aprofundamento
das instruções para a realização das construções no GeoGebra, mas consiste na
exploração das discussões realizadas no desenvolvimento da atividade. A proposta
apresentada aos professores foi a seguinte:
Área Irregular em um Losango
No losango da figura ao lado, temos AC = 8, BD = 4, OP é o raio da
circunferência cujo centro O está na interseção das diagonais AC e
BD, e P é um ponto móvel que determina as dimensões dessa
circunferência com raio máximo quando a circunferência é tangente
internamente ao losango.
Qual é a expressão que define a área representada pela diferença da
área do losango e a área da circunferência em função da medida do
raio OP? Quais são os valores mínimo e máximo para o raio?
E quais são os valores mínimo e máximo da área procurada?
FONTE: Do autor.
Para responder às perguntas da proposta, os professores sugeriram que
construíssemos o losango no GeoGebra para poder analisar qual é a relação entre as
áreas, uma vez que o ponto P é um ponto móvel e desloca-se pelo segmento OB.
Para a construção desta figura no GeoGebra, a primeira sugestão dos professores
foi de construir um segmento DB de comprimento fixo de medida 4, para em seguida
encontrar o ponto médio O deste segmento e traçar sua mediatriz. Na sequência,
traçamos uma circunferência cujo raio mede 4 e encontramos a interseção entre essa
circunferência e a reta recém-criada.
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Quadro 01: Construindo o Losango
Um professor indagou se o polígono construído seria inscrito ou circunscrito à
circunferência. Mas em seguida notou que nenhuma das duas opções estaria correta,
pois temos dois vértices que pertencem à circunferência (A e C) e os outros dois são
internos a ela (B e D). Os professores foram questionados a respeito de quais vértices
definiriam o losango, ao que eles responderam que o quadrilátero DABC representa o
losango. O acadêmico questionou os professores sobre como eles poderiam ter certeza
que esse quadrilátero é um losango.
A princípio, eles justificaram que a construção já define que DABC é um
losango, mas começaram a elencar as propriedades implícitas nessa construção. Foram
citadas:

Os segmentos AC e DB são perpendiculares e esses segmentos se
interceptam em seus respectivos pontos médios;

Se considerarmos qualquer dos triângulos retângulos BOA, AOD, DOC
ou COB, e calcularmos a medida de suas hipotenusas, obteremos quatro
medidas congruentes, que representarão os lados do losango.
Por meio das propriedades da construção, chegamos à conclusão que poderíamos
justificar que DABC é um losango das duas maneiras descritas.
A próxima etapa foi a de construir um círculo interno ao losango, com centro na
interseção entre as diagonais AC e DB, de modo a considerar que o ponto P é móvel no
segmento OB. Para tanto, os professores afirmaram que o valor mínimo para o qual a
medida desse segmento tende é zero, mas a questão que precisavam responder era: Qual
é o valor máximo que o raio poderia admitir, ou seja, a medida do raio que determinaria
quando a circunferência é tangente internamente ao losango?
Para responder a essa pergunta, os professores consideraram o lado AB do
losango e conjecturaram quatro possibilidades para descobrir o ponto de tangência
interno da circunferência. São elas:
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
1ª: O ponto médio de AB é o ponto de tangência.
Ao encontrar o ponto médio do lado AB, os professores
construíram também a circunferência cujo centro é o ponto O
com raio igual ao segmento OM. Ao realizar essa construção,
eles puderam observar que não era o ponto médio do lado do
losango que determinaria a medida de raio máximo, pois nesse
ponto não teríamos uma circunferência tangente internamente ao
losango, descartando essa hipótese.
2ª: O ponto de interseção entre a bissetriz do ângulo BOA e o
lado AB é o ponto de tangência.
Depois de traçar a bissetriz do ângulo BOA, os professores
encontraram o ponto de interseção entre a bissetriz e o lado
AB. Dessa forma eles construíram a circunferência cujo raio é
dado pelo segmento OT. Foi observado que essa circunferência
também não é tangente internamente ao losango.
3ª: O ponto de interseção entre a mediatriz de AB e o lado AB é
o ponto de tangência
Para investigar, os professores traçaram a reta perpendicular ao
lado AB, passando pelo seu ponto médio, e em seguida
traçaram a circunferência com centro em O, com raio igual a
medida do segmento OE. Alguns ainda afirmaram que não seria
necessário fazer esse teste, pois essa é a mesma circunferência
traçada na primeira hipótese, quando pensaram que o ponto
médio de AB fosse o ponto de tangência.
4ª: O pé da altura do triângulo BOA relativa ao lado AB é o ponto
de tangência
Para isso, traçaram uma reta perpendicular ao lado AB passando
pelo ponto O, e encontraram o ponto H de interseção entre essa
reta e o lado AB, e por fim traçaram a circunferência cujo centro é
o ponto O e o raio dado pela medida de OH. Com isso,
aparentemente, a circunferência era tangente internamente ao
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
losango, mas, para verificar, eles encontraram todas as quatro interseções entre a
circunferência e o losango.
Os professores justificaram que o ponto de tangência entre a circunferência e o
losango é dado pelo pé da altura do triângulo BOA em relação ao lado AB, por meio de
uma das propriedades que lembraram: Toda tangente a uma circunferência é
perpendicular ao raio no seu ponto de tangência. Essa propriedade não foi demonstrada
pelos professores, mas poderia ter sido trabalhada com eles para que pudessem
comprovar o porquê de sua validade.
Nessa etapa, os professores sabiam que a medida máxima do raio seria igual a
altura OH do triângulo BOA, agora precisavam determinar a medida dessa altura. Para
isso, eles consideraram o fato do triângulo BOA ser um triângulo retângulo e utilizaram
o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado AB, obtendo:
 
2 2  4 2  AB
2
 
 20  AB
2
 AB  2 5 .
Conhecendo as medidas dos catetos e da hipotenusa do triângulo retângulo, os
professores afirmaram que poderiam utilizar uma das relações métricas do triângulo
retângulo, que afirma: o produto da hipotenusa pela altura relativa a ela é igual ao
 
produto dos catetos. Com isso, eles chegaram a: 2 5. OH  2.4  OH 
4 5
.
5
O acadêmico questionou se os professores conseguiriam justificar o porquê da
validade dessa relação métrica, e os professores não conseguiram justificar de imediato,
ao passo que o acadêmico pediu que os professores o ajudassem a representar o
triângulo BOA no quadro (Ver Quadro 02).
E em seguida o acadêmico questionou se os
professores conseguem calcular a medida de h considerando
os triângulos que compõem a figura. Foi sugerido que eles
comparassem os triângulos BOH e BOA, e eles verificaram
que o ângulo B̂ é comum a ambos e os dois triângulos
possuem um ângulo reto ( AHˆ O e BOˆ A) , o que permite
concluir que, se dois triângulos possuem dois ângulos com
mesma medida, então esses triângulos são semelhantes.
Quadro 02: Triângulo
Retângulo
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Logo os lados homólogos dos triângulos são proporcionais, o que possibilita
considerar a seguinte proporção:
4 2 5
4 5

 h
, e assim chegamos ao mesmo
h
2
5
resultado que os professores chegaram ao considerar as relações métricas no triângulo
retângulo, mas nesse último caso, utilizamos a semelhança entre dois triângulos.
Voltando a questão proposta, os professores consideraram que a medida do raio
OP representa o domínio da função dada pela diferença da área do losango e do círculo

4 5
interno a ele, logo o domínio é dado por Dom  r  IR / 0  r 
 , no qual r
5 

representa o raio da circunferência. E, para construir o círculo, os professores criaram
um controle deslizante que representa o intervalo das medidas do raio. A expressão que
define a área irregular em função do raio é dada por:
a(r )  Alosango  Acírculo 
8.4
  .r 2  16   .r 2
2
 4 5
A função que determina a área irregular é dada por a :  0,
  IR e definida
5 

por a(r )  16   .r 2 . Os professores afirmaram que, para encontrar os pontos de
4 5
 , e esses pontos determinam a
máximo e mínimo, basta calcularmos a(0) e a

5


área máxima e mínima, respectivamente, mas não se pode deixar de lado o fato de que a
função a não está definida para r = 0
Eles refletiram sobre essa ideia e afirmaram que, quando r  0 , ou seja, ao
calcular lim r 0 a(r )  16 , e temos que 16 é a área do próprio losango. Observaram
também que nessa função quadrática, na qual o valor do coeficiente a é menor do que
zero, a imagem da função tende ao seu valor máximo quando r tende a zero, até mesmo
porque a diferença entre a área do losango e do círculo será a maior possível quando o
raio do círculo tende a zero.
Outra sugestão foi a de calcular o valor de r para o qual a função admite a área
máxima, que é dado pela fórmula rv  
b
, e como o coeficiente b da função é igual a
2a
zero, temos que r = 0, mas temos que lembrar que f não está definida para r = 0. Os
professores justificaram essa fórmula ao explicar que essa coordenada é dada pelo ponto
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
médio das raízes da equação: 16   .r 2  0 . Outra alternativa seria considerar o ponto
no qual a derivada dessa função é igual a zero, pois assim encontraríamos o ponto de
máximo.
Dessa forma, eles concluíram que a área máxima tende para 16 unidades de área,
mas não será igual a esse valor, pois a função não está definida no ponto onde r = 0. E a
2
4 5
4 5
80 400  80
  16   .
  16   . 
área mínima é dada por: a 
 5,95



25
25
 5 
 5 
unidades de área. Na sequência, foi plotado o gráfico da função a no software e criado
um ponto S cujas coordenadas x e y são representadas pela medida de r e a diferença
entre as áreas, respectivamente.
Quadro 03: Relacionando o Gráfico da Função com a Construção Geométrica
Como representado no Quadro 03, podemos notar que, conforme o valor do raio
da circunferência interna ao losango aumenta, a coordenada y do ponto S reduz, uma
vez que ela representa a diferença entre a área do losango e do círculo interno a ele, ou
também representa a função a que definimos.
Dessa forma, foi possível relacionar a construção geométrica da figura com a
função que representa a diferença entre as áreas, e o software possibilitou uma
abordagem dinâmica, mas para que conseguíssemos realizar essa construção, visitamos
vários conteúdos matemáticos que permitiram realizá-la e obter êxito na resolução da
atividade.
Considerações finais
Na primeira etapa do desenvolvimento dessa atividade, partimos de sugestões
dos professores para construir um losango com as características apresentadas no
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
enunciado, para depois pensar nas possíveis medidas do raio do círculo interno a esse
losango.
Em seguida, foi necessário discutir a respeito de qual seria o ponto de tangência
do círculo inscrito nesse losango, e como faríamos para encontrá-lo. Nessa etapa
passamos por todos os momentos principais para a resolução descritos por Ponte,
Brocardo e Oliveira (2009), pois, a princípio, os professores reconheceram que, para
encontrar a medida do raio máximo, eles teriam que descobrir o ponto de tangência.
Depois de explorarem a situação inicial, eles criaram quatro possíveis conjecturas,
testaram uma a uma e verificaram que o pé da altura é que seria o ponto de tangência.
Por fim, eles justificaram a conjectura por meio de uma propriedade que já conheciam
sobre retas tangentes a circunferências.
Na próxima etapa, os professores investigaram qual seria a medida máxima que
o raio poderia admitir, para tanto utilizaram uma propriedade já conhecida, mas quando
questionados pelo acadêmico se conseguiriam justificar essa propriedade, foi necessário
que retomassem o estudo de semelhança de triângulos. Dessa forma, podemos revisitar
conteúdos que aprendemos anteriormente para construir novos conhecimentos,
principalmente quando não nos lembramos das fórmulas com facilidade.
Na última etapa, os professores definiram a função que representa a área
irregular, mas para isso foi necessário que conhecessem o domínio e a imagem dessa
função, elementos que eram dados pelo estudo dos objetos geométricos envolvidos
nessa atividade. A utilização do GeoGebra possibilitou a investigação de uma relação
funcional entre objetos geométricos, que pode ser representada pelo gráfico dessa
função, e verificada por um ponto que percorre esse gráfico.
É importante que o professor consiga refletir sobre suas atitudes e práticas em
sala de aula, se está sendo apenas transmissor de informações ou mediador de
conhecimento. Esta atividade concede a oportunidade para o aluno construir seu
conhecimento em uma aula de investigação matemática, na qual o professor induz o
aluno, a partir de questionamentos e não de respostas, para que chegue a um resultado
esperado. Com isso, o professor pode tornar-se um auxiliador na atividade
desenvolvida.
Além disso, esta atividade oportuniza que os professores envolvidos no curso
conheçam na prática a Investigação Matemática, pois, apesar de as tendências da
Educação Matemática serem discutidas nos cursos de formação de professores, tanto
XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática
Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
inicial como continuada, nos últimos anos, ainda são poucos os professores que
conseguem desenvolvê-las em sala de aula, talvez por falta de prática ou pelo fato de a
aula tradicional estar tão inserida no meio escolar que se torna difícil a ideia de poder
pensar em uma aula diferenciada.
Acreditamos que a utilização do software GeoGebra em atividades de
investigação matemática pode possibilitar aos estudantes e professores um momento de
reflexão, no qual eles não agirão mais de forma mecânica ao resolver uma determinada
atividade, mas sim terão que conhecer os conceitos envolvidos, com o objetivo de
articulá-los para criar suas próprias conjecturas e justificá-las por meio da matemática.
Referências
FERREIRA, A. B. de H. Aurélio Junior: Dicionário Escolar da Língua Portuguesa. 2ª
ed. Curitiba: Positivo, 2011, p. 241.
GIRALDO, V. CAETANO, P. MATTOS, F. Recursos Computacionais no Ensino da
Matemática. Coleção PROFMAT. 1ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2013.
OLIVEIRA, J. C. R. et al. Curiosidades em um quadrado: Um estudo de funções
com o software GeoGebra em um curso de Formação Continuada. In: SEMANA
DE MATEMÁTICA DA UEM, 24. 2013, Maringá. Anais. Maringá: 2013.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação.
Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba: SEED,
2006.
PONTE, J. P. da. BROCARDO, J. B. OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na
Sala de Aula. 2ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2009.
PONTE, J. P. da, OLIVEIRA, H., SEGURADO, I. & CUNHA, H. Histórias de
investigações matemáticas. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1998, p.15-23.
SILTRÃO, K. S.; CRISTOVÃO, E. M. Investigação Matemática: Dificuldades
encontradas por uma professora iniciante. São Carlos: Cadernos da Pedagogia, 2000.