Mecânica Geral II – Notas de AULA 3 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
ƒ
de
incógnitas
EQUILÍBRIO DA PARTÍCULA.
EQUILÍBRIO DE CORPOS
RÍGIDOS.
9 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.
9 EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
EM 2 E 3 DIMENSÕES.
9 EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS
SUBMETIDOS A FORÇAS EM 2 E 3
DIMENSÕES.
Roletes
1
¾ Introdução
As condições necessárias e suficientes
para o equilíbrio de um corpo rígido são:
Balancim
1
N
G
G N G G
G
G G
R = ∑ Fi = 0 ⇔ M OR = ∑ ri × Fi = 0
i =1
i =1
(
)
Superfície Lisa
⎧
⎧
⎪ ∑ Fxi = 0
⎪ ∑ M xi = 0
i =1
⎪
⎪ i =1
⎪N
⎪N
=
⇔
F
0
⎨∑ yi
⎨∑ M yi = 0
=
1
i
⎪
⎪ i =1
N
⎪
⎪N
⎪ ∑ Fzi = 0
⎪ ∑ M zi = 0
⎩ i =1
⎩ i =1
N
¾
Força com linha de
ação conhecida
N
Cabo curto
Força com linha de
ação conhecida
Haste curta
Diagrama de corpo livre
Forças externas conhecidas e
desconhecidas:
Vínculos.
¾
Equilíbrio em 2 dimensões:
1.
Reações equivalentes a uma força
ou linha de ação conhecida:
9 Roletes
9 Balancins
9 Superfícies lisas
9 Hastes curtas
9 Cabos
9 Cursores e pinos deslizantes sem
atrito.
Reações equivalentes a uma força
de direção desconhecida:
9 Pinos polidos em orifícios
ajustados
9 Articulações
9 Superfícies rugosas.
2.
1
1
Cursor sobre haste lisa
Força com linha de
ação conhecida
Pino liso deslizante
2
Pino liso ou articulação
Força com direção
desconhecida
Superfície áspera
3.
Reações equivalentes a uma força e
um binário
São reações causadas por apoios
que impedem qualquer movimento do corpo livre,
imobilizando-o completamente.
A seguir, mostramos uma tabela
exemplificando o tipo de reações nos vínculos.
3
Apoio fixo ou
engastamento
Força e binário
Tabela I - Reações nos vínculos.
Vínculo
Reação
Número
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¾ Equilíbrio de um corpo rígido em 2
dimensões
⎧N
⎪ ∑ Fxi = 0
N
⎪ i =1
MA = 0
⇔
⎨N
∑
=
1
i
⎪ F =0
yi
⎪⎩∑
i =1
⎧N
⎧N
⎪ ∑ Fxi = 0
⎪ ∑ M xi = 0
⎪ i =1
⎪ i =1
⎪N
⎪N
⎨∑ Fyi = 0 ⇔ ⎨∑ M yi = 0
=
1
i
⎪
⎪ i =1
⎪N
⎪N
⎪ ∑ Fzi = 0
⎪ ∑ M zi = 0
⎩ i =1
⎩ i =1
¾ Reações nos vínculos de uma estrutura
Tridimensional
Onde A é qualquer ponto da estrutura.
Esfera
Superfície lisa
Força com uma linha de ação
Cabo
Força com uma linha
de ação
Duas componentes de
força
Rolete sobre Rolete sobre trilho
Superfície rugosa
Junta ou articulação
esférica ou rótula
Superfície rugosa
Junta universal
Três componentes
de força e um binário
Dobradiça ou mancal suportando
apenas carga radial
Três componentes de
força
Apoio fixo ou
engastamento
3 componentes
força e
3 binários
de
2 componentes
força e
2 binários
de
3 componentes
força e
2 binários
de
Pino e
suporte
Dobradiça e mancal suportando empuxo
axial e carga radial
¾
Tabela II - Reações nos vínculos.
Equilíbrio em 3 dimensões:
2
Mecânica Geral II – Notas de AULA 3 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
¾ Exemplo 1 – Um guindaste fixo tem
massa igual a 1000 kg e é usado para levantar uma
caixa de 2400 kg. Ele é mantido no lugar por um
pino articulado em A e um balancim (apoio
simples) em B. O centro de gravidade do guindaste
é o ponto G. Determine as componentes das
reações em A e B.
¾ Exemplo 2 – Na ilustração, 3 cargas são
aplicadas em uma viga. A viga é apoiada em um
rolete (apoio simples) em A e em uma articulação
em B. Desprezando o peso da viga, determine as
reações em A e em B quando Q = 75kN.
3
¾
Solução:
Diagrama do corpo livre da viga:
¾ Solução:
Diagrama de corpo livre do guindaste:
+
N
→ ∑ Fx = 0
i =1
Bx = 0kN →⇐
N
N
∑M
i =1
A
=0
B ⋅1.5 − 9.81kN ⋅ 2 − 23.5kN ⋅ 6 = 0
B = 107kN →⇐
+
N
→ ∑ Fx = 0
i =1
Ax + B = 0 ⇔ Ax = −107 kN
Ax = 107 kN ←⇐
+
N
↑ ∑ Fy = 0
i =1
Ay = −9.81 − 23.5
Ay = 33.3kN ↑⇐
A = Ax2 + Ay2 = 112kN
θ = 17.30
∑M
i =1
A
=0
B y = 105kN
By = 105kN ↑⇐
N
∑M
i =1
B
=0
− A ⋅ 2.7 + 75 ⋅1.8 − 30 ⋅ 0.6 − 30 ⋅1.2 = 0
A = 30kN ↑⇐
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+
N
∑
→ Fx = 0
¾ Exemplo 3 – Um vagonete está em
i =1
repouso sobre trilhos que formam um ângulo de 25
com a vertical. O peso bruto do vagonete e sua
24.9 − T = 0
carga é de 27.5 kN e está aplicado em um ponto a
T = 24.9kN 3⇐
0.75m dos trilhos e a igual distância dos eixos das
rodas. O vagonete é seguro por um cabo atado a
¾ Exemplo 4 – A estrutura da figura suporta
0.600 m dos trilhos. Determinar a tração no cabo e
parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo
a reação em cada par de rodas.
que a tração no cabo é 150kN, determine a reação
no extremo fixo E.
4
¾ Solução:
Diagrama do corpo livre
¾ Solução:
Diagrama do corpo livre do vagonete:
DF = 4.52 + 62 = 7.5
+
N
→ ∑ Fx = 0
i =1
4.5
⋅150 = 0
7.5
Ex = −90.0kN
Ex +
¾
Equações de equilíbrio:
N
∑MA = 0
i =1
−11.6 ⋅ 0.625 − 24.9 ⋅ 0.150 + R2 ⋅1.250 = 0
R2 = 8.79kN /⇐
N
∑M
i =1
B
=0
−11.6 ⋅ 0.625 − 24.9 ⋅ 0.150 + R1 ⋅1.250 = 0
R1 = 2.81kN /⇐
Ex = 90kN ←⇐
+
N
↑ ∑ Fy = 0
i =1
E y − 4 ⋅ 20 −
E y = 200kN
6
⋅150 = 0
7.5
E y = 200kN ↑⇐
N
∑M
i =1
E
=0
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20 ⋅ 7.20 + 20 ⋅ 5.40 + 20 ⋅ 3.60 +
6.00
⋅150 ⋅ 4.50 + M E = 0
20 ⋅1.80 −
7.50
M E = +180kN ⋅ m
M E = +180kN ⋅ m
¾ Exemplo 6 – Um homem levantou uma
viga de 10,0 kg e 4,00 m de comprimento puxando
uma corda. Encontrar a força de tração T na corda
e a reação em A.
¾ Exemplo 5 – Um peso de 2kN está preso à
alavanca AO. A constante da mola BC é k=
50kN/m, e a mola não está esticada quando θ =0.
Determine a posição de equilíbrio.
5
¾ Solução:
A viga é submetida a três forças: P (Peso),
T (Tração exercida pela corda) e a reação
R do solo em A
P = m ⋅ g = 10 ⋅ 9.81 = 98.1N
¾
Solução:
Sendo s a elongação da mola:
s = r ⋅θ
A força será:
F = k ⋅ s = k ⋅ r ⋅θ
Equação de equilíbrio:
N
∑M
i =1
O
=0
P ⋅ l ⋅ senθ − r ⋅ ( k ⋅ r ⋅θ ) = 0
senθ =
k ⋅ r2
θ
P ⋅l
Substituindo os dados, temos:
50 ⋅ 0.0752
θ
senθ =
2 ⋅ 0.2
senθ = 0.703 ⋅θ
θ ≈ 80.30
AF = BF = ( AB ) ⋅ cos 450 = 4 ⋅
2
= 2.83m
2
1
( AF ) = 1.41m
2
BD = ( CD ) ⋅ cotg ( 450 + 250 ) = 1.41⋅ tg 200 = 0.51m
CD = EF = AE =
CE = DF = BF − BD = 2.83 − 0.51 = 2.32m
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tgα =
CE 2.32
=
= 1.64m
AE 1.41
Triângulo de forças:
6
G
P = −m ⋅ g ⋅ ˆj = − ( 80 + 20 )( 9.81) ˆj
G
P = −981 ˆj
T
R
98.1
=
=
0
0
sen31.4
sen110
sen38.60
T = 81.9 N ⇐
R = 148 N (58.60 ⇐
¾
Exemplo 7– Uma escada de 20kg,
usada para alcançar prateleiras elevadas em um
depósito, está apoiada por duas rodas flangeadas
em A e B, montadas sobre um trilho, e por uma
roda não flangeada C, apoiada contra um trilho
fixado à parede. Um homem de 80 kg sobe a escada
e recosta-se para a direita. A linha de ação do peso
P do homem e da escada combinados intercepta o
piso em um ponto D. Determinar as componentes
das reações A, B e C.
Equações de equilíbrio:
G
N
G
∑F = 0
i =1
i
G
Ay ˆj + Az kˆ + By ˆj + Bz kˆ − 981 ˆj + Ckˆ = 0
G
( A + B − 981) ˆj + ( A + B + C ) kˆ = 0
y
N
y
G
∑M
i =1
A
(
z
N
G G G
= ∑ r × F =0
i =1
(
)
) (
) ( )
(
⎧ C = 200 N
⎪
⎨ Bz = −100 N
⎪ B = 730 N
⎩ y
Diagrama do corpo livre:
) (
)
1, 2iˆ × By ˆj + Bz kˆ + 0,9iˆ − 0, 6kˆ × −981 ˆj +
G
0, 6iˆ + 3 ˆj − 1, 2kˆ × Ckˆ = 0
⎧ 3C − 590 = 0
⎪
⎨1, 2 Bz + 0, 6C = 0
⎪
⎩ 1, 2 By − 880 = 0
¾ Solução:
z
⎧ Ay + By − 981 = 0
⎨
⎩ Az + Bz + C = 0
⎧ Ay = 250 B
⎨
⎩ Az = −100 N
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¾
Exemplo 8– Um cartaz de 1,50m
por 2,40m, de densidade uniforme, pesa 1350N e
está vinculado por uma junta esférica em A e por
dois cabos. Determine a força em cada cabo e a
reação em A.
−2.40iˆ + 1.20 ˆj − 2.40kˆ
nˆ BD =
( −2.40 ) + (1.20 ) + ( −2.40 )
2
2
2
2 1
2
nˆBD = − iˆ + ˆj − kˆ
3 3
3
G
TBD = TBD nˆBD
G
1
2 ⎞
⎛ 2
TBD = TBD ⎜ − iˆ + ˆj − kˆ ⎟
3
3 ⎠
⎝ 3
E (1.80, 0, 0 ) ⇔ C ( 0, 0.9, 0.60 )
→
EC = C − E = ( 0, 0.9, 0.60 ) − (1.80, 0, 0 )
7
→
EC = −1.80iˆ + 0.90 ˆj + 0.60kˆ
→
nˆEC =
EC
→
EC
G
¾ Solução: P = −1350 ˆj :
−1.80iˆ + 0.90 ˆj + 0.60kˆ
−1.80iˆ + 0.90 ˆj + 0.60kˆ
nˆ EC =
−1.80iˆ + 0.90 ˆj + 0.60kˆ
nˆ EC =
( −1.80 ) + ( 0.90 ) + ( 0.60 )
2
2
2
6
3
2
nˆEC = − iˆ + ˆj + kˆ
7
7
7
G
TEC = TEC nˆEC
G
3
2 ⎞
⎛ 6
TEC = TEC ⎜ − iˆ + ˆj + kˆ ⎟
7
7 ⎠
⎝ 7
¾
N
Equações de equilíbrio:
G
G
∑F = 0
i
i =1
G
G
G
Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ + TBD + TEC − 1350 ˆj = 0
G
TBD = TBD nˆBD
B ( 2.40, 0, 0 ) ⇔ D ( 0,1.2, −2.40 )
→
BD = D − B = ( 0,1.2, −2.40 ) − ( 2.40, 0, 0 )
→
BD = −2.40iˆ + 1.20 ˆj − 2.40kˆ
→
nˆBD =
BD
→
BD
nˆBD =
−2.40iˆ + 1.20 ˆj − 2.40kˆ
−2.40iˆ + 1.20 ˆj − 2.40kˆ
2
6
1
3
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ Ax − TBD − TEC ⎟ iˆ + ⎜ Ay + TBD + TEC ⎟ ˆj +
3
7
3
7
⎝
⎠ ⎝
⎠
G
2
2
⎛
⎞ˆ
⎜ Az − TBD + TEC ⎟ k = 0
3
7
⎝
⎠
N
N
G
G G G
∑ M A = ∑ r × F =0
i =1
i =1
(
)
1
2 ⎞
⎛ 2
2.4iˆ × TBD ⎜ − iˆ + ˆj − kˆ ⎟ +
3
3 ⎠
⎝ 3
3
2 ⎞
⎛ 6
1.8iˆ × TEC ⎜ − iˆ + ˆj + kˆ ⎟ +
7
7 ⎠
⎝ 7
G
1.20iˆ × −1350 ˆj = 0
(
)
TBD = 506 N
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TEC = 1580 N
G
A = 1690iˆ + 504 ˆj + −114kˆ ( N )
¾ Exemplo 9 – A tampa homogênea
de um conduto de raio r = 240mm e massa
30kg é mantida na posição horizontal pelo
cabo CD. Supondo que o mancal em B não
exerça qualquer empuxo axial, determine a
força de tração no cabo e as componentes das
reações em A e B.
→
DC = C − D = ( 0, 240,80 ) − ( 480, 0, 240 )
→
DC = −480iˆ + 240 ˆj − 160kˆ
→
DC
nˆ DC =
→
DC
nˆ DC =
−480iˆ + 240 ˆj − 160kˆ
−480iˆ + 240 ˆj − 160kˆ
8
−480iˆ + 240 ˆj − 160kˆ
nˆDC =
( −480 ) + ( 240 ) + ( −160 )
2
2
2
6
3
2
nˆDC = − iˆ + ˆj − kˆ
7
7
7
G
TDC = TDC nˆDC
G
3
2 ⎞
⎛ 6
TDC = TDC ⎜ − iˆ + ˆj − kˆ ⎟
7
7 ⎠
⎝ 7
¾
Equações de equilíbrio:
G G
F
∑ i =0
N
i =1
G
G
Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ + Bx iˆ + By ˆj + TDC − 294 ˆj = 0
¾ Solução:
6
3
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜ Ax + Bx − TDC ⎟ iˆ + ⎜ Ay + By + TDC ⎟ ˆj +
7
7
⎝
⎠ ⎝
⎠
G
2
⎛
⎞ˆ
⎜ Az − TDC ⎟ k = 0
7
⎝
⎠
N
G
G G G
M
=
r
∑ A ∑ × F =0
N
i =1
(
i =1
(
)
)
2rkˆ × Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ +
( 2riˆ + rkˆ ) × T ⎜⎝⎛ − 76 iˆ + 73 ˆj − 72 kˆ ⎟⎠⎞ +
G
( riˆ + rkˆ ) × ( −294 ˆj ) = 0
DC
Ax = 49 ( N ) ⇔ Ay = 73.5 ( N ) ⇔ T = 343 ( N )
Az = 98 ( N ) ⇔ Bx = 245 ( N ) ⇔ By = 73.5 ( N )
G
P = − mg ⋅ ˆj
G
P = −30 ⋅ ( 9.81) ⋅ ˆj
G
P = −294 ⋅ ˆj ( N )
E (1.80, 0, 0 ) ⇔ C ( 0, 0.9, 0.60 )
Mecânica Geral II – Notas de AULA 3 - Teoria – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
¾ Exemplo 10 – Uma carga de
2250N está pendurada em um canto C de um cano
rígido ABCD, que foi dobrado conforme ilustrado.
O cano está vinculado por duas juntas esféricas A e
D, fixadas respectivamente ao solo e à parede
vertical, e por um cabo ligado ao ponto médio E da
porção BC do tubo e ao ponto G na parede.
Determinar:
(a) onde G deve estar situado para que a
força de tração no cabo seja mínima.
(b) o valor mínimo da força de tração
correspondente.
9
9 Solução: (Em sala de aula).