Análise de Aerofólios Gerados pela Transformação Generalizada de
Joukowski
Patrícia F. Doern de Almeida a , Rubén Panta Pazos b
Mestrado em Sistemas e Processos Industriais – PPGSPSI,
96815-900, Av. Independência, 2293, Santa Cruz do Sul, RS
a. e-mail: [email protected]
b. e-mail: [email protected]
1. Introdução
N
As soluções exatas para problemas com
valores de contorno em regiões simples, tais como
círculos, quadrados, anéis, podem ser determinadas de
forma relativamente fácil, ainda se as condições na
P
Q
fronteira tiverem algum grau de complexidade.
Para as mencionadas regiões conhecem-se
bem as correspondentes funções de Green. Mas
quando a região possui uma estrutura de maior
complexidade, a solução do problema de valores
de contorno pode atingir níveis de muita
dificuldade, mesmo para um problema simples
como o problema de Dirichlet. Uma forma de
resolver estes problemas bem mais complexos é
empregar os métodos da transformação conforme.
Isto significa não só trabalhar em outra região
com as condições associadas de contorno, senão
mexer nas equações governantes. Por isso a
transformação conforme de regiões multiplamente
conexas tem severas limitações. Tais situações
podem ser superadas mediante os métodos da
chamada transformação conforme computacional.
Sejam D e G duas regiões de C 1. Uma
transformação f : D → G: é conforme quando é
bijetora e analítica. Como conseqüência, em uma
transformação conforme se preserva ângulos entre
as curvas.
S
Figura 2. Considerando o ponto (N, pólo norte), gera-se um
segmento de reta com um ponto da superfície esférica. O
ponto P sobre o plano equatorial representa o ponto vermelho
do hemisfério sul. Igual construção adota-se ao considerar S
(pólo sul) como pivô. O ponto Q sobre o plano equatorial é o
associado ao ponto vermelho sobre o hemisfério norte.
Depois, com um enfoque diferente, Gerhardus
Mercator projetou a esfera terrestre, após cortá-la
com um meridiano, numa faixa do plano.
Mercator, nome latinizado do geógrafo holandês
Gerhard Kremer, publicou o primeiro mapa
mundial em 1569 usando essa projeção.
Figura 3. Projeção de Mercator: Uma esfera é cortada ao
longo de um meridiano para depois ser projetada num plano
como revela a figura da esquerda.
Existem
aplicações
da
transformação
conforme em diversas áreas da ciência e técnica.
Figura 1. Transformação Conforme aplicado a f(z) = z ²
A transformação mais antiga foi a projeção
estereográfica, empregada por Cláudio Ptolomeo
(aproximadamente 150 DC), visando representar
a esfera celestial.
1
C representa o conjunto de todos os números complexos.
É visto que a cada dia são utilizadas novas
técnicas, experimentos, inovações que envolvem
a matemática. As soluções exatas de problemas de
valores na fronteira para regiões simples, tais
como círculos, quadrados e anéis, podem ser
determinadas com relativa simplicidade incluindo
o caso de condições de fronteira de maior
complexidade. A transformação conforme
representa uma técnica para resolver problemas
com domínios mais complexos que tem sido
aplicada com sucesso em diversas áreas da
engenharia,
tais
como
aerodinâmica,
hidrodinâmica, dinâmica dos fluidos ou equações
diferenciais parciais.
A função empregada é f ( z ) = z +
1
, a soma da
z
identidade com a inversa multiplicativa. Assim, para a
circunferência unitária centrada na origem definida
como o conjunto dos pontos da forma
iθ
z = e , com
0 < θ < 2π , tem-se f ( z ) = e + e = 2 cos(θ)
= 2 Re( eiθ). A circunferência unitária transforma-se
iθ
− iθ
num segmento no eixo real do plano complexo.
Figura 4. Transformação do círculo unitário num segmento
mediante a função f ( z ) = z + 1 .
z
Suponha-se que o círculo unitário experimente
uma pequena dilatação e um deslocamento do
centro ao longo do eixo real. Define-se então a
função: p(δ, t) = - δ + (1 + δ) eit.
Um dos aspectos de alto conteúdo prático na
teoria da transformação conforme foi o
desenvolvimento da teoria de aerofólios usando
uma função de variável complexa, iniciada por
Joukowski (1890). Aplica-se à circunferência cujo
centro é deslocado da origem do plano complexo.
O gráfico no plano complexo é uma
circunferência cujo centro é deslocado δ unidades
a esquerda sobre o eixo real e com raio 1 + δ. O
conjunto transformado com a função de
Joukoswski é o aerofólio mostrado na figura 5 2.
Figura 6. Transformação de Joukowski – Círculo unitário
deslocado da origem.
Aplicando a transformação de Joukowski nos
modelos matemáticos de aerofólios sobre um
cilindro (ou circulo no caso bidimensional), os
engenheiros aeronáuticos estabelecem previsões
das forças de sustentação e arrasto nas asas de um
avião cujas seções transversais possuem certas
formas de aerofólios. Empregando sistemas de
computação algébrica, tais como Maple ou
MatLab podem criar-se e explorar-se diversos
modelos de aerofólios e incluso “obtendo curvas
interessantes do ponto de vista estético e podendo
chegar a ter um comportamento aparentemente
caótico”, segundo Olive (2002).
2. Transformação Generalizada de Joukowski
A Transformação Conforme de Joukowski
pode ser generalizada. Para isso se acrescentam
inversões de maior ordem, termos do tipo cj / z j .
A Transformação Generalizada de Joukowski 1 se
escreve:
J (a, z ) = z +
nmax
ak
k
k =1 z
(1)
sendo a = [a1, a2, a3, ..., an], e se aplica ao círculo cujo
centro está deslocado da origem.
Figura 5. Transformação do círculo unitário deslocado e
dilatado apropriadamente no aerofólio.
Figura 7. Aerofólios gerados
Generalizada de Joukowski.
pela
Deslocando o círculo unitário δ unidades a direita
sobre o eixo real e β unidades para cima sobre o eixo
real com raio 1 + δ, resultante o aerofólio da figura 6.
Com o propósito de realizar
relação
aos
aerofólios
Transformação Generalizada de
segunda ordem de inversão,
seguinte forma:
Transformação
uma análise em
gerados
pela
Joukowski até a
se procede da
Procura dos pontos singulares, para evitálos;
Decomposição de J ( [ a1 , a 2 ], z ) numa
seqüência de transformações conformes
elementares.
por (z – z0), que resulta em um polinômio de 2º
grau, tornando a resolução possível pela fórmula
de Bháskara.
Análise dos coeficientes das inversões de
primeira e segunda ordem;
Outro método é o de Newton-Raphson, que
gera uma seqüência a partir de um valor inicial z0,
na vizinhança da raiz. A fórmula iterativa é
g(z j )
(5)
z j +1 = z j −
g ' ( z j , z)
Análise de fluxos em torno ao aerofólio.
Condições de tipo aerodinâmico. Ensaios
experimentais em túnel de vento.
Exemplo 2.1.Tome-se como exemplo o caso elementar
2.1. Busca dos pontos singulares
Primeiro se procura as raízes da derivada (isto
é, os pontos singulares) de cada função. Foram
trabalhados em forma particular dois casos: o
primeiro tendo o círculo do domínio fixo e o
segundo tendo o aerofólio fixo.
Como a transformação conforme deve ser
analítica 2 e bijetora, devemos analisar a derivada
da função. Se J’ (z0) = 0, deixa de ser bijetora,
logo deixa de ser uma transformação conforme.
Em particular na transformação generalizada
de Joukowski com inversão até segunda ordem,
para encontrar os pontos singulares a derivada é:
a
2a
d
J ( [ a1 , a 2 ], z ) = 1 − 12 − 32
dz
z
z
(3)
Para análise das raízes da derivada existem
diversos enfoques, um clássico elementar onde se
utiliza a chamada fórmula de Cardano, que serve
para encontrar uma raiz de uma equação cúbica.
Cardano foi pioneiro em chamar números
complexos, mas Bombelli teve o engenho de
estabelecer regras para operar com esses números,
contribuindo em forma decisiva para o
desenvolvimento. Veja a seguir a fórmula de
Cardano visando encontrar uma raiz da equação
z 3 + p z + q = 0. :
2
+
p
3
3
+3 −
q 2 q
−
2
2
2
+
p
3
3
(4)
Uma das raízes z0 de (3) é obtida usando a
equação (5). As outras raízes são obtidas
dividindo o polinômio cúbico z 3 + p z + q = 0
2
cujas raízes são 1 e – 1. Na figura 8 aparecem o
aerofólio de Joukowski e os respectivos pontos
singulares da transformação de Joukowski.
Figura 8 – Raízes da transformação de Joukowski
Exemplo 2.2. Se agora se considera a = [ 1, – 0 .47], a
transformação adota a forma
J ( [ 1, − 0.47], z ) = z +
Cuja derivada resulta 1 −
z 3 − a1 z − 2 a2 = 0
q 2 q
+
2
2
1
1
. Sua derivada resulta 1 − 2 ,
z
z
(2)
E para encontrar as raízes da derivada deve-se resolver
a equação cúbica seguinte:
z=3 −
de J ( [1, 0], z ) = z +
Uma função analítica num ponto x0 é uma função
cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse
ponto.
singulares são:
1 0.47
− 2
z
z
(6)
1 0.94
− 3 , e seus pontos
z2
z
-1.310459988
0.6552299940 − 0.5366367814 I
0.6552299940 + 0.5366367814 I
Na Fig.9 pode-se visualizar o aerofólio gerado,
além da localização das raízes no plano complexo
Figura 9 – Raízes da transformação generalizada de
Joukowski
2.2. Decomposição de
J ( [ a1 , a 2 ], z )
A fórmula da transformação generalizada de
Joukowski sob consideração é com inversão até
2ª ordem, é uma Série de Laurent truncada,
J ( z) = z +
a1 a 2
+
e pode ser representada por
z z2
um tipo de frações contínuas de z, da seguinte
maneira:
J ([a1 , a2 ,] z ) = z +
a12
a1 z − a 2 +
2
2
a
a1 z + a 2
(7)
A equação 8 será analisada passo a passo.
Estágio 1:
a 22
: Transformação de Moebius
a1 z + a 2
Estágio 2: a1 z − a 2 +
2.3. Análise visual mudando o centro da
circunferência original
O próximo passo foi analisar como acontece a
transformação de cada aerofólio modificando a
origem da circunferência unitária inicial.
Análise de inversões de primeira ordem:
Caso 1: Circunferência com centro em (1,0)
a 22
: Combinação de
a1 z + a 2
uma Transformação de Moebius e outra Linear.
Caso 2: Circunferência centrada em (– 0.2 ,0)
Figura 10. Esquema demonstrando transformações ocorridas
com centro deslocado da origem.
Na figura 10, podem ser visualizadas as
transformações que ocorrem na circunferência
unitária inicial com centro deslocado da origem
(representada pela cor vermelha) até se
transformar em um aerofólio mediante
transformação generalizada de Joukowski. A
primeira transformação é uma Transformação de
Moebius Elíptica, apresenta um círculo azul. A
segunda transformação é uma combinação de uma
Moebius e outra linear, gerando uma figura
semelhante a um aerofólio (tipo gota), porém
mais dilatado, visto na cor verde. E finalmente a
transformação generalizada de Joukowski, que
representa um aerofólio com coeficientes 1 e 0,47, para as inversões de primeira e segunda
ordem, respectivamente.
Análise de inversões de segunda ordem:
Caso 1: Circunferência com centro na origem
Caso 2: Circunferência com centro deslocado
para cima
Observação: Esta em fase de desenvolvimento a
análise de fluxos em torno aos aerofólios gerados
pela transformação generalizada de Joukoswki
com inversões de até segunda ordem.
Caso 3: Circunferência com centro deslocado
para lado (negativo) e para baixo
A decomposição da fórmula da transformação
generalizada de Joukowski em frações continuas
gera uma cadeia de decomposições que nos
permiti melhor análise das transformações do
círculo inicial até a forma de aerofólios.
Referências
1.
PAZOS, Ruben Panta e ALMEIDA, Patricia
F. Doern de. Transformação Generalizada de
Joukowski, XXVII CNMAC, 2004.
2.
PAZOS, Ruben Panta and ALMEIDA,
Patricia F. Doern de. Generalized Joukowski
Mapping, Maple Conference, 2005.
3.
G. K. Batchelor. An Introduction to Fluid
Dynamics, Cambridge Mathematical Library,
Cambridge, UK, 2000.
4.
Prem K. Kythe, Computational Conformal
Mapping, Springer Verlag, New York, 1998.
5. Gérard
Couchet,
Les
Profiles
em
aérodynamique instationnaire et la cdondition
de Joukowski, avec une note sur la dynamique
de profils, A Blanchard, France, 1976.