FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Engenharia de Produção
Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Álgebra Linear I – 5ª Lista de Exercícios
(Retirados dos livros do HOLT, J., Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2015
e do LAY, D. C., Álgebra Linear e suas Aplicações, 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.)
1. Para cada função definida a seguir, verifique se ela é uma transformação linear.
(a) T: ℝ2 → ℝ2 dada por T(a, b) = (b, a).
(b) T: ℝn → ℝn dada por T(v) = −3v.
(c) T: ℝ2 → ℝ2 dada por T(v) = −2v + (1, 2).
(d) T: ℝn → ℝm dada por T(v) = 0.
2. Encontre a matriz das transformações lineares T: ℝ2 → ℝ2 definidas
geometricamente.
(a) A reflexão em relação ao eixo dos x.
(b) A reflexão em relação à reta y = x.
(c) A reflexão em relação à origem.
(d) A rotação em torno da origem de um ângulo de −90°.
(e) A rotação em torno da origem de um ângulo de −π/3 radianos.
(f) A rotação em torno da origem de um ângulo de 2π/3 radianos.
(g) A projeção sobre o eixo dos x.
(h) A projeção sobre o eixo dos y.
3. Uma contração horizontal é uma transformação linear que transforma o quadrado
unitário [0,1] × [0,1] em ℝ2 no retângulo [0,k] × [0,1], onde 0 < k < 1. Uma expansão
horizontal é uma transformação linear que transforma o quadrado unitário [0,1] ×
[0,1] em ℝ2 no retângulo [0,k] × [0,1], onde k > 1.
(a) Encontre a fórmula para a contração horizontal por um fator ½ e encontre a
matriz desta transformação linear.
(b) Encontre a fórmula para a expansão horizontal por um fator 4 e encontre a
matriz desta transformação linear.
(c) Defina o que deve ser uma contração vertical e uma expansão vertical.
(d) Encontre a fórmula para a contração vertical por um fator ½ e encontre a matriz
desta transformação linear.
(e) Encontre a fórmula para a expansão vertical por um fator 3 e encontre a matriz
desta transformação linear.
4. O cisalhamento é uma transformação linear que deforma um quadrado em ℝ2,
transformando-o em um paralelogramo. Uma matriz de cisalhamento horizontal em
relação às bases canônicas do ℝ2 é da forma
1 k
0 1  ,


onde k ≠ 0 (senão não há deformação). Uma matriz de cisalhamento vertical em
relação às bases canônicas do ℝ2 é da forma
1 0 
k 1  ,


onde k ≠ 0. Desenhe as imagens do quadrado unitário [0,1] × [0,1] em ℝ2 sob as
transformações de cisalhamento horizontal e vertical para k = −2, −1, −½, ½, 1 e 2.
5. Suponha que T é uma transformação linear. Encontre a matriz de T em relação às
bases canônicas. (Os vetores e1, e2, …, en são os vetores da base canônica de ℝn.)
(a) T: ℝ3 → ℝ2 tal que T(e1) = (1, 4), T(e2) = (−2, 9) e T(e3) = (3, −8).
(b) T: ℝ2 → ℝ2 é um cisalhamento horizontal que deixa e1 fixo e leva e2 em e2 + 2e1.
(c) T: ℝ2 → ℝ2 primeiro faz um cisalhamento horizontal que deixa e1 fixo e leva e2
em e2 + 2e1 e depois reflete em relação à reta y = −x.
(d) T: ℝ2 → ℝ2 primeiro faz uma reflexão em relação ao eixo dos x e depois faz uma
rotação de −π/2.
(e) T: ℝ3 → ℝ3 é uma rotação de π/2 em torno do eixo dos z.
6. Uma transformação linear T: ℝ2 → ℝ2 faz primeiro uma reflexão em torno do eixo
dos x e depois faz uma reflexão em torno do eixo dos y. Mostre que T também pode
ser descrita como uma rotação em torno da origem. Qual é o ângulo de rotação?
7. Em cada item a seguir, mostre que T é uma transformação linear determinando a
matriz que implementa a aplicação. Note que x1, x2, … não são vetores, são
componentes de vetores. Cada uma das transformações é de ℝn → ℝm.
(a) T(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2, 0, 2x2 + x4, x2 – x4). (Aqui n = m = 4.)
(b) T(x1, x2) = (3x1 − x2, x1 + 4x2, x2).
(c) T(x1, x2, x3) = (x1 − 5x2 + 4x3, x2 – 6x3).
(d) T(x1, x2, x3, x4) = 3x1 + 4x3 – 2x4. (Note que m = 1 aqui.)
8. Descreva as formas escalonadas possíveis para a matriz em relação às bases
canônicas da transformação linear T. (Coloque um asterisco (*) nas posições que
podem conter qualquer valor.)
(a) T: ℝ3 → ℝ4 é injetora.
(b) T: ℝ4 → ℝ3 é sobrejetora.
9. Quais (se é que existe alguma!) das transformações lineares no Exercício 7 são
sobrejetora? Quais são injetoras?
10. Em cada item a seguir, encontre n, m e uma transformação linear T: ℝn → ℝm que
satisfaça as condições dadas.
(a) T é injetora, mas não é sobrejetora.
(b) T é sobrejetora, mas não é injetora.
(c) T não é injetora nem sobrejetora.
(d) T é injetora e sobrejetora.