Transformações lineares
Transformação linear (TL)
Sejam V e W espaços vectoriais.
Uma função T : V → W é chamada
transformação linear de V em W
se para todo o x, y ∈ V e c ∈ F se verifica:
(a)
T(x + y) = T(x) + T(y)
(b)
T(cx) = cT(x)
Uma transformação linear preserva a estrutura de espaço vectorial.
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Transformações lineares - 1
Transformações lineares
Para uma transformação linear T : V → W verifica-se:
(a)
se T é linear T(O) = O
(b)
T é linear se e só se T(cx + y) = cT(x) + T(y)
(c)
T é linear se e só se T( ∑ aixi) = ∑ ai T(xi)
Exemplos de TL
• Transformação identidade
IV : V → V
IV(x) = x, para todo o x
• Transformação zero
T0 : V → W
T0 (x) = O, para todo o x
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Núcleo e Imagem de uma TL
Conjuntos importantes associados a uma TL
Seja T : V → W
• Núcleo de T (ou espaço nulo de T) = N(T)
N(T) = { x ∈ V : T(x) = O}
• Imagem de T (ou contradomínio de T) = R(T)
R(T) = { T(x) : x ∈ V}
O núcleo e a imagem de uma transformação linear são
subespaços vectoriais de V e W, respectivamente.
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Imagem de uma TL
Determinação de uma base para R(T)
Seja T : V → W e β = {x1, x2, ..., xn} uma base para V.
Então R(T) = span ({T(x1), T(x2), ..., T(xn)}).
Podemos também concluir que os vectores de W
T(x1), T(x2), ..., T(xn)
linearmente independentes formam uma base para R(T), isto é,
{T(x1), T(x2), ..., T(xn)} ⊇ base para R(T)
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Característica de uma TL
Característica de uma TL
é a dimensão da imagem da transformação R(T) = dim (R(T))
Teorema da dimensão
Sejam V, W espaços vectoriais e T : V → W.
Se V for de dimensão finita, então
dim (N(T)) + característica(T) = dim(V)
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Base ordenada
Base ordenada para um espaço vectorial V
base do espaço vectorial na qual se estabelece uma ordem
determinada entre os vectores
Se β = {x1, x2, ..., xn} for uma base ordenada para um espaço
vectorial de dimensão finita V, então γ = {x2, x1, ..., xn} é uma
base ordenada distinta.
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Representação de elementos de EV
Representação de vectores numa base
Seja β = {x1, x2, ..., xn} uma base ordenada para um espaço
vectorial de dimensão finita V. Para qualquer elemento x de V,
define-se a representação de x em β, [x]β, como
[x ]β =
 a1 
 
a
 2 ,
 
 
a n 
n
onde x = ∑ a i x i
i =1
[x]β é também designado por vector das coordenadas de x
relativamente a β.
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Representação matricial de uma TL
Representação matricial de uma TL
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases
ordenadas β = {x1, x2, ..., xn} e γ = {y1, y2, ..., ym},
respectivamente.
Seja T: V → W linear. Então existem escalares únicos aij ∈ F
tais que
m
T ( x j ) = ∑ a ij yi para 1 ≤ j ≤ n
i =1
A matriz m×n A definida como Aij = aij é designada a
representação matricial de T nas bases ordenadas β e γ e
escreve-se
A = [T ]βγ
Se V = W e β = γ, A = [T ]β
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Transformações lineares - 8
Representação matricial de uma TL
Resultado fundamental da definição de representações
matriciais
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases
ordenadas β = {x1, x2, ..., xn} e γ = {y1, y2, ..., ym},
respectivamente, e T: V → W linear.
Então, para cada x ∈V e y = T(x)∈W temos que
[y]γ = [T(x )]γ = [T ]βγ ⋅ [x ]β
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Representação matricial de uma TL
Outras consequências importantes ...
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases
ordenadas β e γ, respectivamente.
Sejam T, U: V → W duas transformações lineares.
A adição das duas transformações lineares
T + U: V → W
é linear.
[T + U]γβ = [T]βγ + [U]βγ
[aT ]βγ = a[T ]βγ
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Representação matricial de uma TL
Outras consequências importantes ...
Sejam V, W e Z espaços vectoriais de dimensão finita com
bases ordenadas α, β e γ, respectivamente.
Sejam T: V → W e U: W → Z duas transformações lineares.
A composição das transformações lineares U e T ,
UT: V → Z
é linear.
[UT]γα = [U ]βγ [T ]βα
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Representação matricial de uma TL
Outras consequências importantes ...
Sejam V e W espaços vectoriais de dimensão finita com bases
ordenadas β e γ, respectivamente.
Sejam T: V → W linear.
A transformação inversa da transformação linear T, quando
existe
T-1: W → V
também é linear.
[T−1] = ([T] )−1
β
γ
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γ
β
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Representação matricial de uma TL
Outras consequências importantes ...
Sejam V e W espaços vectoriais.
V é isomorfo de W se existe uma transformação linear
T: V → W que seja invertível.
Uma transformação linear nestas condições diz-se um
isomorfismo de V em W.
Exemplos:
• M2(R) é isomorfo com R4
• F2 é isomorfo com P1(F)
• P3(R) é isomorfo com M2(R)
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Mudança de base
Representação de um vector em bases diferentes
Sejam β e β’ duas bases ordenadas para o mesmo espaço V e a
matriz Q = [I V ]ββ' .
Então:
- Q é invertível
- para todo o x ∈ V,
[x ]β = Q[x ]β'
A matriz Q assim definida é designada:
• matriz que muda coordenadas β’ para coordenadas β, ou
• matriz de mudança da base β para a base β’.
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Mudança de base
Representação de uma TL em bases diferentes
Sejam β e β’ duas bases ordenadas para o mesmo espaço V,
e T: V → V uma transformação linear.
Seja Q a matriz de mudança da base β para a base β’ (ou de
mudança de coordenadas β’ em coordenadas β).
Então
[T ]β' = Q−1[T ]β Q
As matrizes [T]β e [T]β’ são matrizes semelhantes.
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Transformações lineares - 15
Mudança de base
Representação de uma TL em bases diferentes
Sejam β e β’ bases ordenadas para V, γ e γ’ base ordenadas
para W e T: V → W uma transformação linear.
Então
[T ]γβ'' = P −1[T ]γβ Q
onde:
• Q é a matriz de mudança da base β para a base β’;
• P é a matriz de mudança da base γ para a base γ’.
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