Caderno de exercícios
Cálculo Financeiro
2011/12
Equivalência de Valores
1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo
este pago €1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros
simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma
solução comercial:
a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo
b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do
empréstimo
c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido
2. Considerando uma letra com valor nominal de €2500, calcule o valor líquido obtido
pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de
tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de
cobrança de 5‰, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de
€2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro
simples (i’CS). Considere a solução comercial.
3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule:
a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i’CC)
b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i’BS)
c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i’BC)
4. Considere um capital de €10000 com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de
10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital,
utilizando a solução comercial?
5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule
a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional
b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial
c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional
6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de €2000 à qual faltam 20 dias para
o vencimento, outra de €5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr.
Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de
que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como
data focal e considerando regime de juro simples e solução racional?
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Resoluções
1. O Banco Bique concedeu um empréstimo com juros à cabeça ao Sr. Sandro, tendo
este pago €1100 de juros. Sabendo que o empréstimo foi concedido em regime de juros
simples, à taxa anual de 6% e durante um prazo de 10 meses, calcule, considerando uma
solução comercial:
a) O valor que o mutuante recebeu do mutuário no final do prazo do empréstimo
b) O capital efetivamente recebido pelo mutuário no momento da contração do
empréstimo
c) A taxa real anual associada a esta operação e interprete o resultado obtido
Resolução:
a) Como há juros à cabeça, o Sr. Sandro pagou ao Banco Bique o valor dos juros logo
no momento da contração do empréstimo. Na ótica do mutuário, o Sr. Sandro recebe C’
no momento 0 (em que C’ é o capital atual, correspondente a C-J) e paga C no final do
prazo. Quando se fala em juros à cabeça, e estando a operar em regime de juro simples,
financeiramente está implícita a modalidade de desconto comercial simples. Nesta
forma de atualização a parcela de desconto é calculada fazendo incidir a taxa sobre o
capital nominal C, ou seja:
Juro antecipado = DCS = C·n·i, em que DCS é a parcela de desconto, calculada através de
desconto comercial simples
Podemos então calcular o capital que foi pedido emprestado:
€1100 = C·10/12·0.06 C = €22000
O valor que o mutuante recebeu no final do prazo do empréstimo foi de €22000.
b) O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro corresponde ao capital que se pediu
emprestado (€22000) deduzido o valor dos juros suportados nesse mesmo momento
(€1100). Em termos líquidos, o mutuário receberá C’CS (capital atual comercial
simples). Podemos calcular o valor deste capital:
C’CS = C – DCS C’CS = €22000 - €1100 C’CS = €20900.
O capital efetivamente recebido pelo Sr. Sandro no momento da contração do
empréstimo foi de €20900.
c) A taxa real que o mutuário suporta nesta operação é a taxa que, aplicada ao capital
efetivamente recebido no momento da contração do empréstimo, conduz, após o prazo
deste (10 meses), ao capital que pediu emprestado. Assim, designando a taxa real por
dCS, e como se trata de uma capitalização em regime de juro simples, fica:
Cn = C0(1+n·dCS) €22000 = €20900(1+10/12·dCS) dCS = 0.063157895.
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O Sr. Sandro suportou realmente com este empréstimo uma taxa anual de 6.3157895%.
Esta taxa é superior à taxa anual divulgada de 6%. A taxa real associada ao desconto
comercial simples (dCS) depende, neste regime de equivalência, do prazo da operação.
Quanto maior o n, maior a diferença entre dCS e i. Em desconto comercial simples, para
cada data de referência (também chamada data focal) há uma taxa real diferente.
2. Considerando uma letra com valor nominal de €2500, calcule o valor líquido obtido
pelo seu desconto quando faltarem 40 dias para o seu vencimento (acrescente 2 dias de
tolerância ao sacado), com uma taxa anual de 8%. Leve em conta uma comissão de
cobrança de 5‰, uma taxa de 4 % para cálculo do imposto de selo e portes no valor de
€2. Determine ainda o custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro
simples (i’CS). Considere a solução comercial.
Resolução:
O valor líquido obtido pelo desconto de uma letra corresponde ao seu Produto Líquido
de Desconto (PLD), em que
PLD = L – A
onde L é o valor nominal da letra e A é o Ágio (soma de todos os encargos). Os
encargos são os seguintes:
• Desconto por fora (ou juros) Df
• Comissão de Cobrança Cc
• Imposto do Selo IS
• Portes P
Começando pelo Df, este é calculado tendo por base o desconto comercial simples, em
que DCS = Cni:
Df = Lni/360 = €2500·42·0.08/360 Df = €23.33.
A Cc é calculada da seguinte forma:
Cc = iCc·L
em que iCc é a taxa de comissão de cobrança. Neste caso fica:
Cc = 0.005·€2500 Cc = €12.50
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O IS é calculado com base na taxa de imposto de selo em vigor e incide sobre o Df e a
Cc:
IS = iS (Df + Cc) IS = 0.04 (€23.33 + €12.50) IS = €1.43.
Os portes ascenderam a €2.
O Ágio é o somatório de todos os encargos:
A = Df + Cc + IS + P A = €23.33 + €12.50 + €1.43 + €2.00 A = €39.27.
Uma vez calculado o Ágio, facilmente calculamos o PLD:
PLD = L – A PLD = €2500 - €39.28 PLD = €2460.73.
O valor líquido obtido pelo desconto da letra foi de €2460.73.
A seguir podemos calcular o custo efetivo anualizado para o cliente que é pedido. O
cliente do banco recebeu na data de desconto bancário um valor, o PLD, que
normalmente só iria receber na data de vencimento da letra (L). Deste modo, o custo
efetivo anualizado será uma taxa que aplicada ao PLD na data do desconto bancário
permitirá obter o valor nominal da letra na data de vencimento. Trata-se de uma
capitalização, em que neste caso consideramos o regime de juro simples:
Cn = C (1 + ni) L = PLD (1 + n/360 · i’CS) €2500 = €2460.73 (1 + 42/360 · i’CS)
i’CS ≈ 0.1368.
O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJS foi ≈ 13.68%.
3. Considerando os dados do exercício anterior, calcule:
a) O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do regime de juro composto (i’CC)
b) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples (i’BS)
c) O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro composto (i’BC)
Resolução:
a) Cn = C (1 + i)n L = PLD (1 + i’CC)n/360 €2500 = €2460.73 (1 + i’CC)42/360 1.01596 ≈ (1 + i’CC)42/360 1.01596360/42 ≈ [(1+i’CC)42/360]360/42 1.1453 ≈ 1+i’CC i’CC ≈ 0.1453.
O custo efetivo anualizado para o cliente na ótica do RJC ≈ 14.53%.
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b) Cn = C (1 + ni) €2500 = €2462.17 (1 + 42/360 · i’BS) i’BS ≈ 0.1317.
O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do regime de juro simples ≈ 13.17%.
c)€2500 = €2462.17 (1 + i’BC)42/360 i’BC ≈ 0.1396.
O retorno efetivo anualizado para o banco na ótica do RJC ≈ 13.96%.
4. Considere um capital de €10000 com vencimento daqui a 3 anos e a taxa anual de
10%. Assumindo o regime de juro composto, qual será o valor atual deste capital,
utilizando a solução comercial?
Resolução:
O valor atual fica:
C’CC = C (1-i)n C’CC = €10000 (1-0.1)3 C’CC = €7290.
O capital atual comercial composto é de €7290.
5. Considerando os dados do exercício anterior, calcule
a) O valor atual do capital, utilizando a solução racional
b) A taxa real anual suportada, utilizando a solução comercial
c) A taxa real anual suportada, utilizando a solução racional
Resolução:
a) C’RC = C (1+i)-n C’RC = €10000 (1+0.1)-3 C’RC = €7513.15.
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O capital atual racional composto é de €7513.15.
b) Cn = C(1+i)n €10000 = €7290(1+dCC)3 1.371742 = (1+dCC)3 dCC = 0.(1).
A taxa real anual suportada utilizando o desconto comercial composto é de 11.(1)%.
c) Cn = C(1+i)n €10000 = €7513.15(1+dRC)3 1.331 = (1+dRC)3 dRC = 0.1.
A taxa real anual suportada utilizando o desconto racional composto é de 10%,
coincidindo com a taxa de atualização anunciada. De facto, nem sequer era necessário
efetuar cálculos, pois na solução racional a parcela de desconto (que abate ao capital
nominal) é calculada com base no capital atual.
6. O Sr. Pedro contraiu duas dívidas, uma no valor de €2000 à qual faltam 20 dias para
o vencimento, outra de €5000 à qual faltam 60 dias para o seu vencimento. Se o Sr.
Pedro pretender substituir as duas dívidas por uma única com vencimento a 30 dias, de
que valor deve ser esta dívida, à taxa anual de 8%, considerando o dia de hoje como
data focal e considerando regime de juro simples e solução racional?
Resolução:
Pretende-se efetuar uma equivalência de capitais entre duas dívidas, uma no valor de
€2000 com vencimento a 20 dias e outra no valor de €5000 com vencimento a 60 dias, e
um capital único a calcular, que designaremos por X, com vencimento a 30 dias. Esta
equivalência corresponde ao cálculo do capital comum. Neste caso a data focal é o dia
de hoje. A atualização de um capital único em desconto racional simples é feita
multiplicando o capital nominal pelo respetivo fator de atualização, isto é, pelo Fator de
Atualização Racional Simples (para um dado n e para uma dada taxa), FARSn,i:
C’RS = C[1/(1+ni)] = C·FARSn,i
Aplicando o FARSn,i a cada um dos capitais, fica:
€2000 / (1 + 20/365 · 0.08) + €5000 / (1 + 60/365 · 0.08) = X / (1 + 30/365 · 0.08)
X = €6971.91.
Se utilizarmos o RJS na solução racional, o capital comum é €6971.91.