CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
Olá pessoal!
Neste ponto resolverei a prova de Matemática Financeira e Estatística
para APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010 realizada no último final de semana. A
prova foi enviada por um aluno e o tipo é 005. Os gabaritos estão todos
corretos. Não há possibilidade para recursos.
36. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um título é descontado dois anos antes
de seu vencimento segundo o critério do desconto racional composto,
a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, apresentando um valor
atual igual a R$ 20.000,00. Caso este título tivesse sido descontado
segundo o critério do desconto comercial composto, utilizando a taxa
de 10% ao ano, o valor atual seria de
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 21.780,00
R$ 21.600,00
R$ 20.702,00
R$ 19.804,00
R$ 19.602,00
Resolução
Sabemos que a operação de desconto racional (por dentro) composto
equivale à operação de juro composto.
Assim,
· 1
20.000 · 1
0,10
24.200
A relação entre o valor atual e o valor nominal na operação de
desconto comercial composto é a seguinte:
1
24.200 · 1
0,1
19.602,00
Letra E
37. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de
R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a
taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período
correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O
montante resgatado pelo investidor foi de
a) R$ 27.060,00
b) R$ 27.000,00
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c) R$ 26.460,00
d) R$ 26.400,00
e) R$ 25.800,00
Resolução
Para facilitar o processo mnemônico, chamarei de:
A → taxa aparente
I → inflação no período
R → taxa real
É válida a seguinte relação:
A= I + R+ I ⋅R
,
,
,
· ,
,
,
%
Então o montante resgatado pelo investidor é dado por
· 1
24.000 · 1
0,1275
27.060,00
Letra A
38. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um capital no valor de R$ 12.500,00 é
aplicado a juros simples, durante 12 meses, apresentando um montante
igual a R$ 15.000,00. Um outro capital é aplicado, durante 15 meses, a
juros simples a uma taxa igual à da aplicação anterior, produzindo juros
no total de R$ 5.250,00. O valor do segundo capital supera o valor do
primeiro em
a) R$ 10.000,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.000,00
e) R$ 5.850,00
Resolução
Primeira aplicação:
Um capital de R$ 12.500,00 gera um montante de R$ 15.000,00, logo o
juro do período é de R$ 2.500,00.
Sabemos a relação de juro simples:
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· ·
.
.
· ·
.
.
·
.
.
·
.
.
.
Segunda aplicação: · ·
.
·
.
·
·
.
O segundo capital supera o primeiro em 21.000 – 12.500 = 8.500
Letra B
39. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O valor do desconto de um título, em
um banco, é igual a 2,5% de seu valor nominal. Sabe-se que este título
foi descontado 50 dias antes de seu vencimento, segundo uma
operação de desconto comercial simples e considerando a convenção
do ano comercial. A taxa anual de desconto correspondente é igual a
a) 12%
b) 15%
c) 18%
d) 20%
e) 24%
Resolução
A taxa do desconto comercial simples é incidida sobre o valor nominal.
Assim, o valor do desconto comercial simples é dado por
· · .O
enunciado nos informou que o valor do desconto é 2,5% de seu valor
nominal. Dessa forma,
2,5
·
100
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2,5
·
100
· ·
· 50
2,5
5000
2,5
100
Como queremos saber a taxa anual, e considerando a convenção do
ano comercial (360 dias), a taxa anual de desconto será:
2,5
· 360
5.000
900
· 100%
5.000
18%
Letra C
40. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de
um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de
juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro
capital no valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O
tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a
a) 22 meses
b) 20 meses
c) 18 meses
d) 16 meses
e) 15 meses
Resolução
Aplicação de juros compostos
· 1
12.500 · 1 0,08 14.580
Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital
aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080.
Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo
de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a
taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês.
· · 2.080 10.400 · 0,0125 · 2.080 130 · 16 4 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
Letra D
41. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a
um projeto de investimento (com os valores em reais), em que se
apurou uma taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.
O valor de X é igual a
a) R$ 13.824,00
b) R$ 12.960,00
c) R$ 12.096,00
d) R$ 11.232,00
e) R$ 10.368,00
Resolução
Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor
presente líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então
em qualquer outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0.
Adotaremos como data focal a data 3.
Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 + i ) n .
Assim, a equação de equivalência de capitais será:
5
13.500 · 1,20
5
· 1,20
13.500 · 1,728
8,64
23.328
2 · 1,20
3
6,84
6,84 5 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
1,8
23.328 12.960,00
Letra B
42. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de
caixa anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A
terceira coluna fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em
função da taxa mínima requerida de 10% ao ano.
Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback
descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é
a)
b)
c)
d)
e)
3,2 anos
2,8 anos
2,6 anos
2,4 anos
2,2 anos
Resolução
O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de
operações de desconto racional composto.
E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do
investimento.
No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o
investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para
recuperar o investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$
1.000,00. Então fazemos a interpolação.
Período (ano)
1
Capital
1.000
X
200
.
·
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,
Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos.
Letra E
43. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Uma dívida no valor de R$ 40.000,00
deverá ser liquidada em 20 prestações mensais, iguais e consecutivas,
vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida.
Utilizou-se o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price), a uma taxa
de juros compostos de 2,5% ao mês, considerando o valor do Fator de
Recuperação de Capital (FRC) correspondente igual a 0,06415 (20
períodos). Pelo plano de amortização, o saldo devedor da dívida,
imediatamente após o pagamento da 2ª prestação, apresenta um
valor de
a) R$ 37.473,15
b) R$ 36.828,85
c) R$ 35.223,70
d) R$ 35.045,85
e) R$ 34.868,15
Resolução
O que é o Fator de Recuperação de Capital? Eis a resposta:
1
an¬i
Para começar a brincadeira, vamos calcular o valor de cada
prestação.
Temos nessa questão uma dívida no valor de R$ 40.000,00 para ser
quitado em 20 prestações mensais iguais.
Para começar a brincadeira, vamos calcular o valor de cada
prestação.
D = P ⋅ an¬i
P=
D
1
= D⋅
an¬i
an¬i
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A Fundação Carlos Chagas foi muito generosa!! O problema era saber
o que é “Fator de Recuperação de Capital”. É bom aprender os
“nomes” das tabelas financeiras!!
40.000 · 0,06415
2.566,00
Vamos calcular agora o juro da primeira prestação.
J1 = D ⋅ i
40.000 · 0,025
1.000,00
Como as prestações são constantes e iguais a R$ 2.566,00 e o juro pago
na primeira prestação é igual a R$ 1.000,00, então a quota de
amortização
da
primeira
prestação
é
igual
a
2.566,00 – 1.000,00 = 1.566,00.
Vamos calcular a quota de amortização da segunda prestação.
Calculamos a quota de amortização de qualquer parcela de acordo
com a fórmula abaixo:
An = A1 ⋅ (1 + i ) n −1
Assim, a quota de amortização da 2ª prestação será:
A2 = A1 ⋅ (1 + i ) 2−1
1.566 · 1,025
1.605,15
O saldo devedor após o pagamento da segunda prestação será
D – A1 – A2 = 40.000 – 1.566,00 – 1.605,15 = 36.828,85
Letra B
44. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Em dezembro de 2009, o salário médio
dos 100 trabalhadores da empresa Alpha é igual ao salário médio dos
400 trabalhadores da empresa Beta, ou seja, igual a R$ 2.000,00. Porém,
os coeficientes de variação apresentados para os trabalhadores de
Alpha e Beta são iguais a 20% e 15%, respectivamente. Considerando as
duas empresas reunidas, obtém-se que a correspondente variância é,
em (R$)2, igual a
a) 101.840
b) 102.400
c) 104.000
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d) 122.500
e) 125.000
Resolução
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média.
Quando o enunciado fala que o coeficiente de variação de Alpha é
20%, quis dizer que o desvio padrão de Alpha é 20% da média, ou seja
20% de 2.000. Portanto, o desvio padrão de Alpha é R$ 400,00.
Conclusão: A variância de Alpha é (R$ 400,00)2 = (R$)2 160.000,00.
Da mesma maneira, o desvio padrão de Beta é 15% da média, ou seja
15% de 2.000 = 300,00. Assim, a variância de Beta é
(R$ 300,00)2 = (R$)2 90.000,00.
Teorema: Suponha-se que dois conjuntos constam de N1 e N2 números
(ou duas distribuições com as frequências totais N1 e N2) tenham
variâncias representadas por s12 e s22 e, respectivamente e a mesma
média. Então, a variância conjunta ou combinada de ambos os
conjuntos (ou ambas distribuições de frequências) é dada por:
·
·
Ou seja, a variância conjunta é a média aritmética ponderada das
variâncias (os pesos são o número de observações).
Empresa Alpha: 100 trabalhadores e variância 160.000,00.
Empresa Beta: 400 trabalhadores e variância 90.000,00.
Considerando as duas empresas
correspondente variância é
·
100 · 160.000 400 · 90.000
100 400
reunidas,
obtém-se
que
a
·
16.000.000 36.000.000
500
104.000
Letra C
45. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O total de funcionários em uma
repartição pública é igual a 6. João e sua esposa trabalham nesta
repartição em que será formada uma comissão de 3 funcionários
escolhidos aleatoriamente. A probabilidade de que no máximo um
deles, João ou sua esposa, faça parte da comissão é
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a) 1/5
b) 2/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 3/10
Resolução
O número total de possibilidades para a formação da comissão é igual
a
C
6·5·4
3·2·1
,
20
Os casos favoráveis são os seguintes:
i) Apenas João participa. Assim, ainda temos duas pessoas para
escolher dentre 4 possíveis (pois sua esposa não pode participar).
C
4·3
2·1
,
6
ii) Apenas a esposa de João participa. Assim, ainda temos duas pessoas
para escolher dentre 4 possíveis (pois João não pode participar).
C
4·3
2·1
,
6
i) Nem João nem sua esposa participam. Assim, temos que escolher 3
pessoas para a comissão dentre 4 possíveis.
C
,
4·3·2
3·2·1
4
Dessa forma, temos 6 + 6 + 4 = 16 casos favoráveis num total de 20. A
probabilidade pedida é 16/20 = 4/5.
Poderíamos ter calculado os casos não desejados. Não desejamos que
ambos, João e sua esposa, participem da comissão. Se João e sua
esposa participarem da comissão, temos que escolher mais um pessoa
dentre 4 restantes.
Isso acontece em C
,
4
1
4 casos.
Esses são os casos não desejados. Como o total é 20, desejamos 20 – 4 =
16 casos.
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Letra D.
46. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Em um setor de um órgão público é
realizado um levantamento com relação aos salários de seus
funcionários administrativos. O resultado pode ser visualizado na tabela
abaixo.
Com relação a este levantamento e às medidas de posição, tem-se
que
a) O valor da moda é igual ao valor da mediana, porém supera o
valor da média aritmética.
b) A soma dos valores da média aritmética, da mediana e da moda
é igual a R$ 7.250,00.
c) A média aritmética, a mediana e a moda possuem o mesmo
valor.
d) O valor da média aritmética e o valor da mediana superam,
cada um, o valor da moda em R$ 250,00.
e) O valor da moda é superior ao valor da média aritmética e
também ao valor da mediana.
Resolução
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem
com maior frequência em um rol. Claramente a moda é R$ 2.500,00,
pois possui frequência igual a 12.
São 50 funcionários (número par). Dessa forma, a mediana é a média
aritmética entre o 25º e o 26º termos. O 25º termo é igual a R$ 2.000,00 e
o 26º termo é igual a R$ 2.500,00. Assim a mediana é igual a R$ 2.250,00.
Cálculo da média
1.000 · 5
1.500 · 10
5.000
2.000 · 10
15.000
20.000
2.500 · 12
50
30.000
50
3.000 · 8
24.000
3.500 · 3
10.500
4.000 · 2
8.000
2.250,00
Letra E - O valor da moda é superior ao valor da média aritmética e
também ao valor da mediana.
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Instruções: Para resolver às questões de números 47 e 48 utilize as
informações abaixo referentes à distribuição normal padrão Z:
47. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os salários dos empregados de uma
determinada categoria profissional apresentam uma distribuição normal
com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A
proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e
inferiores a R$ 1.520,00 é
a) 87%
b) 89%
c) 92%
d) 96%
e) 98%
Resolução
Para calcular a probabilidade de que 1.000 < X < 1.520 vamos fazê-lo
na distribuição normal padronizada. Vamos calcular o valor
correspondente de X = 1.000 e X = 1.520 na distribuição normal
padronizada. Para padronizar basta subtrair a média e dividir pelo
desvio-padrão.
1.000 1.200
160
1,25
1.520 1.200
160
2
Dessa forma,
1.000
1.000
1.000
1.520
1.520
1.520
1,25
0
87%
2
1,25
1,25
0
2
0
0,39
0
0,48
2 0,87 Letra A
48. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A distribuição das medidas dos cabos
fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-se que 7% dos
12 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo
16,4 metros. A média das medidas destes cabos é igual a
a) 7,8 metros
b) 8,0 metros
c) 8,2 metros
d) 8,4 metros
e) 9,4 metros
Resolução
Graficamente, temos o seguinte problema:
E foi fornecida a seguinte tabela:
Já que a probabilidade de x estar entre a média e 16,4 é 48%, então
16,4 corresponde a 2,00 na distribuição normal padronizada.
Para padronizar os valores devemos subtrair a média e dividir pelo
desvio padrão.
16,4
2
2
16,4
16,4
2
A tabela forneceu valores à direita da média. O problema é que 2,4
está à esquerda da média. Aproveitamos o fato de que a distribuição
normal é simétrica em relação à média. Então o 2,4 da distribuição X
corresponde a (-1,50) da distribuição normal padronizada.
2,4
Como
16,4
1,5
2 2,4
1,5
1,5 ,
2,4
ã 2,4
2,4
1,5
1,5
16,4
2 13 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
1,5
2 16,4
3,5 14
Como
2,4
1,5 ,
2,4
4
ã 2,4
1,5 · 4
8,4 Letra D
48. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Seja uma amostra aleatória simples
extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por Xi;
i=1, 2,..., 10. Sabe-se que
270 7.803 A variância desta amostra apresenta o valor de
a) 67,3
b) 63,0
c) 61,0
d) 59,7
e) 57,0
Resolução
A variância de uma amostra pode ser calculada da seguinte maneira:
1
1
1
10
1
· 7.803
9
∑
·
1
· 7.803
7.290
270
10
1
· 513
9
57
Letra E
50. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Com base em um estudo de
correlação e regressão, obteve-se o gráfico abaixo correspondente à
equação da reta deduzida pelo método dos mínimos quadrados
(Y=aX +b), utilizando 10 pares de observações (Xi, Yi), i = 1, 2, 3, ..., 10. A
média aritmética das observações de Y apresentou o valor de 6,5.
A média aritmética das observações de X é
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a)
b)
c)
d)
e)
4,00
3,75
3,50
3,25
3,00
Resolução
Devemos calcular os parâmetros a (coeficiente angular da reta) e b
(coeficiente linear).
O coeficiente a pode ser calculado dividindo a variação de y pela
variação de x.
8
4
Assim a equação toma a forma
5
2
1,5
1,5 ·
Podemos utilizar qualquer um dos pontos do gráficos. Por exemplo, o
ponto (2,5). Quando o X = 2, Y = 5.
5
1,5 · 2
2
Portanto, a equação da reta é
1,5 ·
2
Ou seja, para calcular a variável Y, multiplicamos a variável X por 1,5 e
em seguida somamos duas unidades. Alternativamente, temos que
2
1,5
15 www.pontodosconcursos.com.br CURSO ON-LINE – PROFESSOR GUILHERME NEVES
A partir das propriedades da média aritmética, a média das
observações de X é dada por
6,5 2
1,5
4,5
1,5
3,00
Letra E
Um abraço e até o próximo ponto!
Prof. Guilherme Neves
[email protected]
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