Sentenças abertas, implicações e
equivalências lógicas
Sentenças abertas
A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?
2x – 1 = 5
Não é possível atribuir um valor lógico à sentença, pois não se conhece o
valor da variável x. Vamos, então, resolver algebricamente a equação:
2x – 1 = 5
2x – 1 + 1 = 5 + 1
2x = 6
1
1
=6.
2x .
2
2
x=3
A conclusão é a de que ao substituirmos a variável x pelo valor 3, a equação torna-se verdadeira e, para qualquer outro valor de x, a sentença será
falsa.
Existem expressões contendo variáveis denominadas sentenças abertas
ou funções proposicionais cujo valor lógico (V ou F) é discutível e depende do valor atribuído a cada variável componente. Por isso, antes de se atribuir um valor a cada variável, tais expressões não podem ser consideradas
proposições.
Importante:
Uma sentença aberta não é uma proposição, pois não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Observe outros exemplos de sentenças abertas:
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Exemplo 1:
A sentença aberta x – 2 = 5 é verdadeira se atribuirmos à variável x o valor
7 e é falsa para qualquer outro valor atribuído à variável x. Caso não seja atribuído valor à variável x, não faz sentido afirmar se a sentença é verdadeira
ou falsa.
Exemplo 2:
A sentença aberta x2 = 9 é verdadeira se atribuirmos à variável x os valores
3 ou –3 e falsa para qualquer outro valor de x.
Exemplo 3:
A sentença aberta x = 10 é verdadeira se atribuirmos à variável x o valor
10 e é falsa se atribuirmos qualquer outro valor diferente de 10.
Exemplo 4:
A sentença aberta x = 2y é verdadeira se atribuirmos a x um valor que
seja o dobro de y e é falsa para os demais casos. Logo, x = 1 e y = 2 tornam
verdadeira a sentença aberta e x = 1 e y = 3 a tornam falsa, por exemplo.
Nesse caso, devemos atribuir valores às duas variáveis para encontrar um
valor lógico para a sentença.
Uma sentença aberta ou função proposicional pode ser transformada em
uma proposição de duas formas principais:
atribuindo valor a cada variável;
utilizando quantificadores.
Seja p(x) uma sentença aberta dependente de uma variável x. Assim, p(x)
é uma sentença aberta em um dado conjunto A se, e somente se, p(x) tem
valor lógico (V ou F) sempre que se atribui à variável x um elemento do conjunto A.
Dessa forma, considerando Vp o conjunto verdade de uma sentença p(x)
em um dado conjunto A, temos:
Vp = {x A / p(x) tem valor V}
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Em alguns casos a sentença p(x,y) pode depender de valores atribuídos
às duas variáveis x e y. Sendo Vp o conjunto verdade de uma sentença p(x,y)
em um conjunto AxB, temos:
Vp = {(x,y) AxB / p(x,y) tem valor V}
Observação:
Para conjuntos numéricos, é importante lembrar que:
IN = {0; 1; 2; 3; ... }
Z = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; ...}
Observe alguns exemplos de sentenças abertas definidas em determinados conjuntos:
Exemplo 1:
Qual o conjunto verdade da sentença aberta x < 5 em IN?
Vp = { x ∈ IN / x 5 }
Vp = { 0; 1; 2; 3; 4}
IN
Exemplo 2:
Qual o conjunto verdade da sentença aberta x2 9 em Z?
Vp = { x ∈ Z / x2 9 }
Vp = { –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3}
Z
Exemplo 3:
Qual o conjunto verdade da sentença aberta 2x – 3 = 0 em IN?
Vp = { x IN / 2x – 3 = 0}
Vp = { } =
IN
O conjunto solução é vazio, pois não existe número natural x tal que
2x – 3 = 0.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Exemplo 4:
Qual o conjunto verdade da sentença aberta x2 > 0 em IR?
Vp = { x ∈ IR / x2 0}
Vp = IR
IR
Qualquer que seja o número real x, temos sempre que x2 0.
Esses exemplos mostram que encontrar o conjunto verdade consiste
apenas em se encontrar os valores das variáveis que tornam a sentença verdadeira em certo conjunto.
Operações lógicas em sentenças abertas
As operações lógicas podem também ser utilizadas junto a sentenças
abertas, definidas em determinados conjuntos. Estudaremos a negação, a
conjunção, a disjunção, a condicional e a bicondicional.
Negação
Considere p(x) uma sentença aberta, dependente de uma variável x, em
um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença da forma ~p(x) em A é
obtido por meio do complementar do conjunto verdade Vp de p(x) em A. Simbolicamente, podemos escrever três formas equivalentes:
V
V~p = CAp = A – Vp
V~p = {x A / ~p(x) tem valor V}
V~p = {x A / p(x) tem valor F}
Exemplo:
Seja p(x): x > 5 uma sentença aberta em IN. Assim, temos:
Vp = {x IN / x > 5} = { 6, 7, 8, 9, ...}
V~p = IN – {6, 7, 8, 9, ...}
V~p = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Conjunção
Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma
variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença aberta
da forma p(x) q(x) em A é obtido por meio da intersecção dos conjuntos
verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente.
Simbolicamente, podemos escrever:
Vp
q
= Vp
Vq
Vp
q
= {x A / p(x) tem valor V}
{x A / q(x) tem valor V}
Exemplo:
Sejam p(x): x 5 e q(x): x > 3 em IR. Então:
Vp
q
= Vp
Vq
Vp
q
= {x IR / x 5}
Vp
q
= ]– , 5[
Vp
q
= ]3, 5[ = {x IR / 3 < x < 5}
{x IR / x 3}
]3, [
Disjunção
Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de
uma variável x, em um conjunto A. O conjunto verdade de uma sentença
aberta da forma p(x) q(x) em A é obtido por meio da união dos conjuntos
verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) em q(x) em A, respectivamente.
Simbolicamente, podemos escrever:
Vp
Vp
q
q
= Vp
= {x A / p(x) tem valor V}
Vq
{x A / q(x) tem valor V}
Exemplo:
Sejam p(x): x2 = 9 e q(x): x – 3 = 0 em Z. Então:
Vp
q
= Vp
Vq
Vp
q
= {x Z / x2 = 9}
Vp
q
= {–3, 3}
Vp
q
= {–3, 3}
{x Z / x – 3 = 0}
{3}
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Condicional
Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de uma
variável x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenças por meio
de um símbolo condicional, obtemos p(x) q(x) que é equivalente a ~p(x)
q(x). Assim, o conjunto verdade de uma sentença aberta p(x) q(x) em A é o
mesmo que ~p(x) q(x) em A. Simbolicamente, podemos escrever:
Vp
Vp
q
q
= V~p
Vq
= {x A / ~p(x) tem valor V}
{x A / q(x) tem valor V}
Exemplo:
Sejam p(x): x > 7 e q(x): x < 3 em IN. Então:
Vp
q
= V~p
Vq
Vp
q
= {x IN / x < 7}
Vp
q
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Vp
q
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
{x IN / x < 3}
{0, 1, 2, 3}
Bicondicional
Considere p(x) e q(x) duas sentenças abertas, ambas dependentes de
uma variável x, em um conjunto A. Quando associamos tais sentenças por
meio de um símbolo bicondicional, obtemos p(x) q(x) que é equivalente
a [p(x) q(x)] [q(x) p(x)]. Assim, o conjunto verdade de uma sentença
p(x)] em A.
aberta p(x) ↔ q(x) em A é o mesmo que [p(x) → q(x)] [q(x)
Simbolicamente, podemos escrever:
Vp
q
= Vp
q
Vq
p
Exemplo:
Sejam p(x): x > 2 e q(x): x < 1 em IN. Então:
Vp
q
= Vp
Vp
q
= (V~p ∪ Vq)
Vp
q
= [{x ∈ IN / x < 2} {x IN / x < 1}] [{x IN / x > 2} {x IN / x > 1}]
q
Vq
p
(Vp
V~q)
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Vp
q
= [{0, 1, 2}
{0, 1}]
[{3, 4, 5, ...}
Vp
q
= {0, 1, 2}
{2, 3, 4, ...}
Vp
q
= {2}
{2, 3, 4, ...}]
Quantificadores
Em Lógica Matemática, existem símbolos, utilizados em expressões, que
quantificam determinados elementos de um conjunto qualquer. Esses símbolos, denominados quantificadores, transformam uma sentença aberta em
uma proposição.
Em geral, um quantificador é utilizado antes de uma variável e fornece
significado ao valor que a variável pode assumir. Essencialmente, os quantificadores podem ser de dois tipos: quantificador universal e quantificador
existencial.
Quantificador universal
O quantificador universal é representado pelo símbolo e pode ser lido
“para todo”, “qualquer que seja” ou “para cada”. Ao ser utilizado junto a uma
sentença aberta, o quantificador universal transforma tal sentença em uma
proposição, afirmando que a sentença é verdadeira para qualquer valor que
a variável assuma em um determinado conjunto.
Observe alguns exemplos do uso do quantificador universal, tendo como
conjunto universo o dos números reais.
Exemplo 1:
A proposição “qualquer que seja x, temos x = x” é verdadeira e pode ser
representada por:
x, x = x
Não é difícil perceber que x = x para todo x.
Exemplo 2:
A proposição “para todo a, temos a > 3” é falsa e pode ser representada
por:
a, a > 3
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
A proposição é falsa, pois, por exemplo, para a = 2 é falso que 2 > 3. Assim,
embora existam valores de a tal que a > 3, não é para todos os valores de a
que a proposição é verdadeira.
Exemplo 3:
A proposição “para cada y, temos y2 > 0” é verdadeira e pode ser representada por:
y, y2 > 0
A proposição é verdadeira, pois para qualquer valor de y é verdadeiro que
y > 0. Ou seja, não existe valor de y para o qual y2 < 0.
2
Quantificador existencial
O quantificador existencial é representado pelo símbolo e pode ser lido
“existe um”, “existe pelo menos um”, “algum” ou, simplesmente, “existe”. Ao
ser utilizado junto à uma sentença aberta, o quantificador existencial transforma tal sentença aberta em uma proposição, afirmando que a sentença é
verdadeira pelo menos para algum valor que a variável assuma.
Exemplos do uso do quantificador existencial, tendo como conjunto universo o dos números reais.
Exemplo 1:
A proposição “existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5” é verdadeira e
pode ser representada por:
x, x + 2 = 5
A proposição é verdadeira, pois x = 3 torna a sentença verdadeira:
x+2=5
x = 3 → 3 + 2 = 5 → 5 = 5 (verdadeiro)
Logo, existe pelo menos um x, tal que x + 2 = 5. Nesse caso, o valor de x
é único.
Exemplo 2:
A proposição “existe a tal que a2 < 0” é falsa e pode ser representada por:
a, a2 < 0
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
A proposição é falsa, pois não existe a tal que a2 < 0. Ou seja, qualquer que
seja o valor que se substitua no lugar de a, é falso que a2 < 0.
Exemplo 3:
A proposição “existe um y, tal que y2 > 4” é verdadeira e pode ser representada por:
y, y2 > 4
Substituindo, por exemplo, y = 3 na sentença y2 > 4, temos:
y2 > 4
y = 3 → 32 > 4 → 9 > 4
Logo, a proposição é verdadeira, pois existe um y tal que y2 > 4. Nesse
caso, além de y = 3, existem infinitos valores de y tal que y2 > 4. Como um
valor de y (y = 3) foi encontrado, isso já é suficiente para que a proposição
seja verdadeira.
Você percebeu que uma sentença aberta por si só não tem valor lógico,
pois depende do valor que a variável da sentença assume. Além disso, observou que, ao se acrescentar um quantificador a uma sentença aberta, tal
sentença passa a ter valor lógico, já que a presença de um quantificador fornece significado à sentença. A tabela a seguir apresenta alguns exemplos de
sentenças abertas sendo transformadas em proposições com os correspondentes valores lógicos.
Sentença
Proposição
Valor lógico
x–2=1
x, x – 2 = 1
F
2x > 0
x, 2x > 0
V
x é número primo
x, x é número primo
V
x+2=x+1
x, x + 2 = x + 1
F
Negação de proposições quantificadas
Já estudamos que a negação de uma proposição é utilizada para alterar
seu valor lógico, dando ideia contrária. Assim, se p é uma proposição verdadeira, a correspondente negação, representada por ~p, é falsa, e vice-versa.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
As proposições que contêm quantificadores também podem ter valor
lógico alterado quando negadas. Por exemplo, qual seria a negação da proposição quantificada “ x, x é número primo”?
A proposição “ x, x é número primo” tem valor lógico V, pois x = 2, por
exemplo, é um número primo.
Para negar a proposição quantificada anterior é necessário negar a sentença “x é um número primo” e substituir o quantificador existencial “ ” por
um quantificador universal “ ”:
Proposição quantificada: “ x, x é número primo” (V)
Negação: “ x, x não é um número primo” (F)
De um modo geral, a negação de uma proposição quantificada é obtida
por meio da negação da sentença aberta componente e da troca do quantificador universal pelo existencial ou do quantificador existencial pelo universal, conforme o caso.
Proposição quantificada
Negação da proposição quantificada
x, p(x)
x, ~p(x)
x, p(x)
x, ~p(x)
Observe outros exemplos de negações de proposições quantificadas:
Proposição quantificada
Negação da proposição quantificada
m, m = 3 (F)
m, m 3 (V)
x, x2 > 0 (V)
x, x2 < 0 (F)
y, 2y – 3 = 7 (V)
y, 2y – 3 7 (F)
x, x não é divisível por 10 (V)
x, x é divisível por 10 (F)
Implicações lógicas
Anteriormente, estudamos as proposições condicionais da forma “p q”,
as quais poderiam ser lidas “se p, então q”. Observamos que uma condicional
da forma “p q” é falsa apenas quando p é verdadeira e q é falsa. Em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira.
Para uma melhor compreensão das implicações lógicas e da relação existente entre as proposições condicionais, observe a seguinte definição:
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Uma proposição P(p, q, r, ...) implica logicamente uma proposição Q(p,
q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) é verdadeira sempre que P(p, q, r, ...) for verdadeira. A
implicação é representada por:
P(p, q, r, ...)
Q(p, q, r, ...)
Em outras palavras, pode-se dizer que uma proposição P, que pode ser
composta por várias proposições simples (p, q, r, ...), implica numa proposição Q, que também pode ser composta por várias proposições simples (p, q,
r, ...), se em qualquer linha da tabela-verdade de P Q, não ocorre de P ser V
e Q ser F, simultaneamente.
Para esclarecer, existe uma sutil diferença entre os símbolos “ ” e “ ”.
O símbolo “ ” é utilizado para relacionar duas proposições por meio de uma
proposição condicional. Assim, para relacionarmos p e q por meio de uma proposição condicional, escrevemos “p q”. Nesse caso, não estamos querendo
aferir valor lógico à proposição composta, mas apenas relacionar condicionalmente p com q.
Por outro lado, o símbolo “ ” é utilizado para representar uma implicação
lógica, na qual se deseja aferir valor lógico. Assim, apenas se “P” é verdadeira
e “Q” é falsa, a implicação lógica “P Q” é falsa.
Em caso de validade comprovada de uma implicação da forma “P Q”, tal
implicação lógica passa a ser utilizada como recurso lógico para obtenção e
prova de outros resultados válidos.
Implicações lógicas entre sentenças abertas
Duas sentenças abertas também podem estar relacionadas por meio de
uma implicação lógica. Para iniciar essa ideia, observe o conceito.
Sejam p(x) e q(x) duas sentenças abertas dependentes de uma variável x
em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) implica em q(x) se, e somente
se, o conjunto verdade de p(x) está contido no conjunto verdade de q(x). Em
símbolos, escrevemos:
p(x)
q(x) se, e somente se, Vp
Vq
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Caso o conjunto verdade de p(x) não esteja contido no conjunto verdade
de q(x), a implicação p(x) q(x) será falsa.
A seguir, podemos observar algumas situações importantes:
Exemplo 1:
A implicação “x = 5
x2 = 25” em IR é verdadeira?
Considerando p(x): “x = 5” e q(x): “x2 = 25”, temos: Vp = { 5 } e Vq = { 5; –5 }.
Assim, como Vp
verdadeira.
Vq, conclui-se que p(x)
q(x). Logo, a implicação é
Exemplo 2:
A implicação lógica “x2 > 4
x > 2” em Z é verdadeira?
Considerando p(x): “x2 > 4” e q(x): “x > 2”, temos:
Vp = { ...–5; –4; –3; –2; 2; 3; 4; 5; ... } e Vq = { 2; 3; 4; 5; ... }.
Logo, como Vp
falsa.
Vq, conclui-se que p(x)
q(x). Portanto, a implicação é
Não é difícil perceber que a recíproca “x > 2
Vq Vp.
x2 > 4” é verdadeira, pois
Tautologias e implicações lógicas
A verificação da veracidade de uma implicação lógica pode ser efetuada
por meio de uma proposição tautológica ou tautologia. Observe o conceito
a seguir:
A condição necessária e suficiente para que uma implicação lógica da
forma P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja verdadeira é que a proposição condicional correspondente P(p, q, r, ...) Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia.
Vejamos dois exemplos sobre implicações lógicas e tautologias.
Exemplo 1:
Verificar se a implicação p
q
p q é verdadeira.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Para efetuar a verificação, basta construir a tabela-verdade da proposição
p q p q e observar se essa proposição é uma tautologia.
p
q
V
V
F
F
p q
V
F
V
F
p q
V
F
F
F
p q
V
V
V
F
V
V
V
V
p q
É uma tautologia
Como em nenhuma linha ocorre de a proposição p q ser V e, simultaneamente, a proposição p q ser F, a última coluna, referente à proposição
p q p q, é uma tautologia. Dessa forma, a implicação p q p q é
verdadeira.
Exemplo 2:
q
Verificar se a implicação p
p
q é verdadeira.
Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p
rificar se essa proposição é uma tautologia.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p
V
F
V
V
q
p
V
F
F
V
q
q)
(p
(p
q) e ve-
q) (p
q)
V
V
F
V
Não é uma tautologia
A terceira linha apresenta valor V para (p
q) e valor F para (p
q).
Dessa forma, a última coluna representada pela condicional (p q) (p q)
q) não é uma
apresenta valor F na terceira linha. Portanto, (p q) (p
tautologia, pois existe pelo menos um valor lógico na última coluna que é F.
A conclusão é a de que a implicação (p
q)
(p
q) é falsa.
Propriedades das implicações lógicas
As implicações lógicas admitem certas propriedades que podem ser utilizadas na obtenção de outros resultados. Nas propriedades a seguir, as proposições P, Q e R podem ser proposições compostas por outras proposições
p, q, r, s, ... .
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Implicações imediatas
Propriedade reflexiva
Qualquer proposição P implica na própria proposição P:
P
P
Não é difícil perceber que, se a primeira proposição P for verdadeira, a segunda proposição P não será falsa, pois isso seria contraditório. Logo, a proposição P P é uma tautologia e, consequentemente, P P é verdadeira.
P
P
V
V
P
V
P
F
F
V
É uma tautologia
Propriedade transitiva
Se a proposição P implica a proposição Q e a proposição Q implica a proposição R, então a proposição P implica a proposição R:
QeQ
Se P
R, então P
R
Para verificar a veracidade da implicação, vamos construir a tabela-verdade da condicional correspondente [(P Q) (Q R)] (P R) e constatar
que é uma tautologia.
P
Q
R
P
Q
Q
R
(P
Q) (Q
R)
(P
R) [(P
Q) (Q
R)]
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
É uma tautologia
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(P
R)
Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Implicações notáveis
Como é possível demonstrar que um determinado resultado é válido?
Quando deduzimos ou demonstramos algum resultado, utilizamos “premissas” como base lógica para a validação de tal resultado. A sequência de
“passos” que permitem iniciarmos com uma premissa, e, a partir dela, chegarmos a uma conclusão, é desenvolvida por meio de implicações lógicas.
Quando uma implicação lógica é verdadeira, pode-se concluir que o raciocínio desenvolvido está correto, ou seja, que uma proposição necessariamente tem como consequência a outra.
As propriedades a seguir são consideradas propriedades clássicas ou notáveis e serão, posteriormente, utilizadas como regras de inferência, úteis na
Lógica da Argumentação.
Adição
A propriedade da adição ocorre junto ao conectivo “ou”:
P
P Q
Q
P Q
Vamos demonstrar as duas regras de adição por meio da tabela-verdade:
P
(P Q)
Q
(P Q)
P
Q
P Q
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
Tautologias
Exemplos:
Penso. Logo, penso ou existo.
Existo. Logo, penso ou existo.
Simplificação
A propriedade da simplificação ocorre junto ao conectivo “e”:
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
P Q
P
P Q
Q
Vamos demonstrar as duas regras de simplificação por meio da tabela-verdade:
P
Q
P Q
V
V
V
(P Q)
P
(P Q)
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
Q
Tautologias
Exemplos:
Estudo e venço. Logo, estudo.
Estudo e venço. Logo, venço.
Simplificação disjuntiva
A propriedade da simplificação disjuntiva é utilizada nos casos em que
uma das proposições ocorre de forma contraditória e com um conectivo “ou”,
sendo, portanto, simplificada:
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q) ⇒ P
P
Q
~Q
P∨Q
P ∨ ~Q
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q)
(P ∨ Q) ∧ (P ∨ ~Q) → P
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
Tautologia
Exemplo:
Sou feliz ou me demito. Sou feliz ou não me demito. Logo, sou feliz.
Absorção
A propriedade de absorção mostra que, se uma mesma proposição sim98
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
ples ocorre numa proposição condicional, sendo condição necessária e suficiente, então ela pode ser omitida (absorvida) como condição necessária:
P → Q ⇒ P → (P ∧ Q)
P
Q
P∧Q
P→Q
P → (P ∧ Q)
(P → Q) → [P → (P ∧ Q)]
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Tautologia
Exemplo:
Se corro, então pulo. Logo, se corro, então corro e pulo.
Modus Ponens
A propriedade Modus Ponens baseia-se em uma proposição condicional:
(P → Q) ∧ P ⇒ Q
P
Q
P→Q
(P → Q) ∧ P
[(P → Q) ∧ P] → Q
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
Tautologia
Exemplo:
Se me esforço, então alcanço a vitória. Esforço-me. Logo, alcanço a vitória.
Modus Tollens
A propriedade Modus Tollens baseia-se na proposição contrapositiva de
uma proposição condicional:
(P → Q) ∧ ~Q ⇒ ~P
99
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
P
Q
~P
~Q
P→Q
(P → Q) ∧ ~Q
[(P → Q) ∧ ~Q] → ~P
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
Tautologia
Exemplo:
Se tenho coragem, então triunfo. Não triunfei. Logo, não tive coragem.
Silogismo disjuntivo
A propriedade de silogismo disjuntivo ocorre a partir de uma disjunção
(conectivo “ou”) em que uma das proposições simples componentes é contrariada e, a partir disso, conclui-se pela veracidade da outra proposição simples componente:
(P ∨ Q) ∧ ~P ⇒ Q
(P ∨ Q) ∧ ~Q ⇒ P
Vamos demonstrar a primeira das regras de silogismo disjuntivo por meio
da tabela-verdade:
~P
P∨Q
(P ∨ Q) ∧ ~P
[(P ∨ Q) ∧ ~P] → Q
P
Q
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
Tautologia
Exemplos:
Caso ou compro uma bicicleta. Não casei. Logo, comprei uma bicicleta.
Caso ou compro uma bicicleta. Não comprei uma bicicleta. Logo, casei.
100
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Dilema construtivo
O dilema construtivo baseia-se na utilização de uma disjunção (conectivo
“ou”) relacionada a duas proposições condicionais:
[(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R)] ⇒ (Q ∨ S)
P Q R S P→Q R→S P∨R
(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R)
Q ∨ S [(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R)] → (Q ∨ S)
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V F F V
F
V
V
F
V
V
V F F F
F
V
V
F
F
V
V V V V
V
V
V
V V V F
V V F V
V
F
V
V
V V F F
V
V F V V
V F V F
F V V V
V
V
V
V
V
V
F V V F
V
F
V
F
V
V
F V F V
V
V
F
F
V
V
F V F F
V
V
F
F
V
V
F F V V
V
V
V
V
V
V
F F V F
V
F
V
F
F
V
F F F V
V
V
F
F
V
V
F F F F
V
V
F
F
F
V
Tautologia
Exemplo:
Se bebo água, então me hidrato. Se tomo cerveja, então sou feliz. Bebo
água ou tomo cerveja. Logo, me hidrato ou sou feliz.
Dilema destrutivo
O dilema destrutivo baseia-se na utilização de uma disjunção (conectivo
“ou”) relacionada a duas proposições condicionais contrapositivas:
[(P → Q) ∧ (R → S) ∧ (~Q ∨ ~S)] ⇒ (~P ∨ ~R)
101
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
P Q R S ~P ~Q ~R ~S P → Q R → S ~Q ∨ ~S
(P → Q) ∧ (R → S) ∧
(~Q ∨ ~S)
~P ∨ ~R
[(P → Q) ∧ (R → S) ∧
(~Q ∨ ~S)] → (~P ∨ ~R)
V V V V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V V V F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V V F V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V V F F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V F V V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V F V F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V F F V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V F F F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F V V V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F V V F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F V F V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F V F F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F F V V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F F V F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F F F V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F F F F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Tautologia
Exemplo:
Se bebo água, então me hidrato. Se tomo cerveja, então sou feliz. Não me
hidratei ou não fui feliz. Logo, não bebi água ou não tomei cerveja.
Não há a necessidade de memorizarmos as implicações notáveis que já
foram estudadas. O que realmente importa é compreender o mecanismo de
verificação da veracidade das implicações lógicas e observar que, apesar da
complexidade de algumas delas, cada uma tem por base as proposições estudadas anteriormente.
Observe a seguir outros exemplos de implicações lógicas.
Exemplo 1:
Sendo p e q proposições, vamos verificar a veracidade da implicação
lógica:
p⇒p∧q
102
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Sem construir a tabela-verdade é possível perceber que a proposição
composta correspondente p → (p ∧ q) não é uma tautologia, pois p pode
ter valor V, enquanto p ∧ q pode ter valor F. Para que p → (p ∧ q) não seja
uma tautologia, basta que p tenha valor V e q tenha valor F. A tabela-verdade
construída abaixo confirma essa análise.
p
q
p∧q
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
Não é uma tautologia
Portanto, a implicação lógica p ⇒ p ∧ q é falsa.
Exemplo 2:
A implicação lógica a seguir é verdadeira?
Se amanhã é domingo, hoje é sábado. Mas hoje não é sábado.
Logo, amanhã não é domingo.
Podemos considerar algumas proposições simples componentes da implicação lógica:
p: amanhã é domingo
q: hoje é sábado
~p: amanhã não é domingo
~q: hoje não é sábado
Assim, a implicação lógica teria a forma (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p, sendo, portanto, a regra Modus Tollens. Construindo a tabela-verdade, poderíamos
constatar que a proposição (p → q) ∧ ~q → ~p é uma tautologia. Logo, a
implicação (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p é verdadeira.
Exemplo 3:
Considere a implicação lógica e as proposições a seguir:
103
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Se vou à praia, então como camarão e, se como camarão, então tenho
alergia.
Portanto: Se vou à praia, então tenho alergia.
p: vou à praia
q: como camarão
r: tenho alergia
A implicação pode ser representada por (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r),
sendo uma regra de inferência representada por uma propriedade transitiva.
Dessa forma, a implicação (p → q) ∧ (q → r) ⇒ (p → r) é verdadeira. Poderíamos constatar a veracidade também por meio da tabela-verdade, verificando que a proposição correspondente [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) é uma
tautologia.
Exemplo 4:
Verificar se a proposição “p ∨ q” implica a proposição “p ↔ q”.
Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p ∨ q) → (p ↔ q) e verificar se essa proposição é uma tautologia.
p
q
p∨q
p↔q
(p ∨ q) → (p ↔ q)
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
Não é uma tautologia
A segunda e a terceira linhas apresentam valor V para (p ∨ q) e valor
F para (p ↔ q), respectivamente. Dessa forma, a última coluna representada
pela proposição composta (p ∨ q) → (p ↔ q) tem valor F na segunda e
na terceira linhas e, portanto, não é uma tautologia. Assim, a implicação
(p ∨ q) ⇒ (p ↔ q) é falsa.
Exemplo 5:
Verificar se a proposição “p ∧ q” implica a proposição “p → q”.
Vamos construir a tabela-verdade da proposição (p ∧ q) → (p → q) e verificar se essa proposição é uma tautologia.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
p
q
p∧q
p→q
(p ∧ q) → (p → q)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
É uma tautologia
A última coluna da tabela é composta apenas por V. Assim, (p ∧ q) → (p → q)
é uma tautologia e, portanto, a implicação (p ∧ q) ⇒ (p → q) é verdadeira.
Exemplo 6:
Mostre que “(x = 5 ∨ x > y) ∧ x < y” implica “x = 5”.
Considerando as proposições simples p: x = 5; q: x > y e ~q: x < y, podemos expressar a implicação lógica da seguinte maneira: “(p ∨ q) ∧ ~q” ⇒ “p”.
Não é difícil perceber que a implicação é uma regra do tipo silogismo disjuntivo sendo, portanto, uma implicação verdadeira.
Para comprovar a veracidade da implicação lógica, vamos construir
a tabela-verdade da proposição [(p ∨ q) ∧ ~q] → p e verificar que é uma
tautologia.
~q
p∨q
V
F
F
V
V
F
p
q
V
V
F
F
(p ∨ q) ∧ ~q
[(p ∨ q) ∧ ~q] → p
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
É uma tautologia
Logo, como [(p ∨ q) ∧ ~q] → p é tautologia, é correto dizer que a
proposição
“(p ∨ q) ∧ ~q” implica a proposição “p”.
Equivalências lógicas
Anteriormente, observamos algumas proposições que são logicamente
equivalentes, tais como uma proposição qualquer e a respectiva dupla negação: p é equivalente a ~(~p).
105
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
p
~p
~(~p)
V
F
V
F
V
F
Equivalentes
O que significa dizer que duas proposições são equivalentes?
Duas proposições compostas são equivalentes quando ambas apresentam sempre os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores lógicos de cada proposição simples componente.
Assim, quando afirmamos que a proposição (p → q) é equivalente a correspondente contrapositiva (~q → ~p), estamos dizendo que, independente
do valor de p e q, o valor de (p → q) é sempre o mesmo de (~q → ~p).
Observe o próximo conceito:
Uma proposição P(p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou, simplesmente,
equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...), se as tabelas-verdade dessas duas
proposições são idênticas.
A equivalência é representada por:
P(p, q, r, ...) ⇔ Q(p, q, r, ...)
ou
P(p, q, r, ...) ≡ Q(p, q, r, ...)
Existe uma pequena e sutil diferença entre os símbolos “↔” e “⇔”.
O símbolo “↔” é utilizado para relacionar duas proposições por meio de
uma proposição bicondicional. Ou seja, para relacionarmos p e q por meio
de uma proposição bicondicional, escrevemos p ↔ q. Nesse caso, não estamos querendo aferir valor lógico à proposição composta, apenas relacionando bicondicionalmente p com q.
O símbolo “⇔” é utilizado para representar uma equivalência lógica, na
qual se deseja aferir valor lógico. Assim, apenas se p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, a equivalência p ⇔ q é verdadeira.
Certas equivalências são de grande utilidade, pois simplificam a tarefa de
simbolizar apropriadamente as sentenças da linguagem comum.
106
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Equivalências entre sentenças abertas
É possível relacionar duas sentenças abertas por meio de uma equivalência lógica. Para tanto, é necessário que os conjuntos verdade de ambas as
sentenças abertas sejam iguais. Vejamos o próximo conceito:
Sejam p(x) e q(x) duas sentenças abertas dependentes de uma variável x
em um conjunto qualquer A. Dizemos que p(x) equivale a q(x) se, e somente
se, o conjunto verdade de p(x) é igual ao conjunto verdade de q(x). Em símbolos, escrevemos:
p(x) ⇔ q(x) se, e somente se, Vp = Vq
Caso o conjunto verdade de p(x) não seja o mesmo do conjunto verdade
de q(x), a equivalência p(x) ⇔ q(x) será falsa.
Observação:
Na Teoria dos Conjuntos, dizemos que um conjunto A é igual ao conjunto
B quando A ⊂ B e B ⊂ A. Em outras palavras, um conjunto A é igual ao conjunto B quando todos os elementos de A pertencem a B e todos os elementos de B pertencem a A.
Exemplo 1:
Verificar se a equivalência “2x = 6 ⇔ x – 1 = 2” é verdadeira.
Considerando as sentenças abertas p(x): “2x = 6” e q(x): “x – 1 = 2”, temos:
Vp = { 3 } e Vq = { 3 }.
Assim, como Vp = Vq, pois Vp ⊂ Vq e Vq ⊂ Vp, conclui-se que p(x) é equivalente a q(x), isto é, p(x) ⇔ q(x).
Exemplo 2:
Verificar se “x2 = 9” equivale a “x = 3” em Z.
Considerando as sentenças abertas p(x): “x2 = 9” e q(x): “x = 3”, temos:
Vp = {–3; 3} e Vq = { 3 }.
Apesar de Vq ⊂ Vp, ocorre que Vp ⊄ Vq, assim, conclui-se que Vp ≠ Vq e, assim,
p(x) não implica em q(x). Portanto, a equivalência é falsa.
107
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Tautologias e equivalências lógicas
Para uma equivalência lógica ser verdadeira é preciso que a proposição correspondente seja uma tautologia. Observe com atenção o próximo
conceito.
A condição necessária e suficiente para que uma equivalência lógica da
forma P(p, q, r, ...) ⇔ Q(p, q, r, ...) seja verdadeira é que a proposição bicondicional correspondente P(p, q, r, ...) ↔ Q(p, q, r, ...) seja uma tautologia.
Exemplo 1:
Verifique se as proposições “se x é um número par, então x é divisível por
2” e “x não é um número par ou x é divisível por 2” são equivalentes.
Considere as proposições p: “x é um número par” e q: “x é divisível por 2”.
Assim, podemos escrever as seguintes proposições compostas:
p → q: “se x é um número par, então x é divisível por 2”.
~p ∨ q: “x não é um número par ou x é divisível por 2”.
Para verificar a veracidade da equivalência (p → q) ⇔ (~p ∨ q), vamos
construir a tabela-verdade da proposição composta (p → q) ↔ (~p ∨ q) e
observar se é uma tautologia.
p
q
~p
p→q
~p ∨ q
(p → q) ↔ (~p ∨ q)
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
Equivalentes
Tautologia
A equivalência é comprovada tanto pelas colunas idênticas das proposições
(p → q) e (~p ∨ q) quanto pela proposição tautológica (p → q) ↔ (~p ∨ q).
Portanto, dizer “se x é um número par, então x é divisível por 2” equivale a
dizer “x não é um número par ou x é divisível por 2”.
108
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Equivalências imediatas
Existem três propriedades consideradas imediatas em equivalências lógicas: reflexiva, simétrica e transitiva.
Propriedade reflexiva
Qualquer proposição P equivale à própria proposição P:
P⇔P
A verificação dessa propriedade é imediata, uma vez que a proposição
P ↔ P é tautológica.
P
P
P↔P
V
V
V
F
F
V
Tautologia
Propriedade simétrica
Se a proposição P equivale à proposição Q, então a proposição Q equivale
à proposição P:
se P ⇔ Q, então Q ⇔ P.
A propriedade é válida, pois a proposição correspondente (P ↔ Q) → (Q ↔ P)
é tautológica.
P
Q
P↔Q
Q↔P
(P ↔ Q) → (Q ↔ P)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
Equivalentes
Tautologia
Propriedade transitiva
Se a proposição P equivale à proposição Q e a proposição Q equivale à
proposição R, então a proposição P equivale à proposição R:
se P ⇔ Q e Q ⇔ R, então P ⇔ R.
109
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
A propriedade é válida, pois a bicondicional correspondente
[(P → Q) ∧ (Q → R)] ↔ (P → R) é uma tautologia.
P
P↔Q
Q↔R
(P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R)
(P ↔ R)
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
Q
R
V
V
V
V
[(P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R)] → (P ↔ R)
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Tautologia
Quadro de equivalências
A tabela a seguir apresenta um resumo de algumas importantes equivalências lógicas já estudadas.
Equivalência
Fórmula
Tautologia
p ⇔ (p∨ p)
Dupla negação
~(~p) ⇔ p
Comutação
p∧q ⇔ q∧p
p∨q ⇔ q∨p
Associação
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
Distribuição
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
De Morgan
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Contraposição
(p → q) ⇔ (~q → ~p)
Implicação material
(p → q) ⇔ ~p ∨ q
Equivalência material
(p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Exportação
[(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]
Equivalência
(p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
110
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Todas essas equivalências lógicas podem ser comprovadas por meio da
tabela-verdade.
Exemplo 1:
Vamos mostrar que a equivalência de exportação, [(p ∧ q)→ r]⇔[p → (q → r)],
é verdadeira por meio de uma tabela-verdade.
p∧q
(p ∧ q) → r
q→ r
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
p → (q → r) [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)]
Tautologia
Equivalentes
Como a proposição [(p ∧ q) → r] ↔ [p→ (q → r)] é uma tautologia, concluímos que a equivalência correspondente [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] é
verdadeira.
Exemplo 2:
Por meio da tabela-verdade, observe que a equivalência propriamente
dita, (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q), é verdadeira.
p
q
p∧q
p↔q
~p
~q
~p ∧ ~q
(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
(p ↔ q) ↔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
Equivalentes
V
Tautologia
A proposição (p ↔ q)↔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) é uma tautologia. Logo, concluímos que a equivalência correspondente (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) é
verdadeira.
111
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Exemplo 3:
Vamos provar a validade de uma das propriedades de associação:
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p
q
r
q∨ r
p ∨ (q ∨ r)
p∨q
(p ∨ q) ∨ r
p ∨ (q ∨ r )↔ (p ∨ q) ∨ r
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
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V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
Tautologia
Equivalentes
A proposição p ∨ (q ∨ r ) ↔ (p ∨ q)∨ r é uma tautologia. Dessa forma,
concluímos que a equivalência correspondente p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r é
verdadeira.
Ampliando seus conhecimentos
Texto extraído do livro O Enigma de Sherazade e Outros Incríveis Problemas
das Mil e uma Noites à Lógica Moderna.
(SMULLYAN, 1998, p. 134-136)
Agora, vou apresentar-lhe uma versão paradoxal do que ficou conhecido
como o dilema do prisioneiro. Não é normalmente identificado como um paradoxo, mas vou mostrar como pode ser convertido num paradoxo. E vou levar
em conta a versão positiva do dilema, em que os participantes são recompensados, e não punidos. Vamos supor que eu e você sejamos os jogadores, e
que exista ainda alguém encarregado de nos dar a recompensa. Você e eu
temos duas opções: cooperarmos um com o outro, ou trairmos um ao outro.
Se ambos cooperarmos, cada um de nós recebe três dólares de recompensa;
se ambos trairmos, cada um recebe um dólar. Mas se um cooperar e outro
trair, o traidor recebe cinco dólares e quem cooperar não ganha nada! Qual
é a melhor estratégia que se pode seguir no caso? Bem, se eu cooperar, você
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
ganha mais me traindo que cooperando (cinco dólares, em vez de três). E se
eu trair, também, você ganhará mais traindo do que cooperando (um dólar,
em vez de nada). Assim, seja qual for a minha escolha, para você sempre será
melhor trair. E, portanto, você deve trair. E, seguindo o mesmo raciocínio, eu
também devo trair. E, desse modo, nós dois traímos, recebendo um dólar cada
um, embora caso ambos tivéssemos decidido cooperar cada um fosse ganhar
três dólares! E, assim, o estranho é que seria melhor para os dois se ambos
cooperássemos, mas para cada um de nós, individualmente, será melhor trair!
Outra maneira de examinar o problema é a seguinte: supondo que eu e você
sejamos criaturas racionais, então, já que as condições entre nós são perfeitamente simétricas, faremos sempre a mesma escolha. Sabendo que faremos
a mesma escolha, devemos os dois, é claro, cooperar (ganhando assim três
dólares cada, em lugar de um). Não obstante, à luz da argumentação anterior,
cada um de nós deveria trair!
Vamos supor que faremos a mesma escolha. Nesse caso, confirmam-se as
quatro proposições a seguir:
Proposição 1: Se ambos cooperarmos, cada um ganha três dólares.
Proposição 2: Se ambos trairmos, cada um ganha um dólar.
Proposição 3: Se um de nós cooperar e o outro trair, quem trair ganha cinco
dólares e o outro não ganha nada.
Proposição 4: Vamos fazer a mesma escolha – ou seja, ou ambos cooperamos ou ambos traímos.
Serão consistentes essas quatro proposições? Primeiro provarei que não
são, e depois provarei que sim – chegando assim a um paradoxo de forma
igual à do precedente. Bem, para provar que são inconsistentes, decorre
apenas das três primeiras proposições que você ganhará sempre mais traindo que cooperando, pois faça eu a escolha que fizer você sempre ganhará
mais traindo, como já mostrei. Mas acrescentando a proposição 4, decorre
que você ganhará mais se cooperar (três dólares, em vez de um). Isso é uma
inconsistência clara, de modo que as quatro proposições não podem ser consistentes. Por outro lado, as proposições devem ser consistentes, porque é
possível que nós dois façamos a mesma escolha e, se o fizermos (seja ambos
cooperando ou ambos traindo), todas as quatro proposições serão validadas.
E, portanto, as proposições, no final das contas, são consistentes, embora eu
tenha demonstrado que não são! Esse é o paradoxo.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Atividades de aplicação
1. A sentença aberta p(x): x2 > 3 não pode ser classificada em verdadeira
ou falsa. Se atribuirmos valores à variável x, podemos transformar a
sentença aberta em uma proposição e, dessa forma, classificá-la em
verdadeira ou falsa.
Nessas condições, classifique as proposições:
a) ( ) Para x = 1, a sentença p(x) é falsa.
b) ( ) Para x = 2, a sentença p(x) é verdadeira.
c) ( ) Para x = 0, a sentença p(x) é falsa.
d) ( ) Para x = 3 a sentença p(x) é verdadeira.
e) ( ) Para todo valor de x positivo, a sentença p(x) é verdadeira.
f) ( ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sentença p(x) seja verdadeira.
2. Uma maneira de transformarmos uma sentença aberta em proposição
é utilizar quantificadores. Sendo assim, dado o conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5}
e as sentenças abertas p(x): x2 > 3 e q(x): x < 6, atribua um valor lógico
a cada uma das seguintes proposições:
a) ( ) ∀ x ∈ A, x2 > 3
b) ( ) ∃ x ∈ A, x2 > 3
c) ( ) ∀ x ∈ A, x < 6
d) ( ) ∃ x ∈ A, x < 6
3. Escreva a negação de cada uma das proposições quantificadas:
a) Para todo x, temos que x = 5.
b) Existe x, tal que x > 2.
c) Qualquer que seja a medida y, temos y < 3.
d) Para pelo menos um valor de z ocorre que z é diferente de 4.
e) Todos os homens são mortais.
f) Alguns carros são coloridos.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
4. Considere as proposições:
p: 5 > 6
q: 1 = 2
r: 3 < 4
s: 7 ≠ 8
Determine o valor lógico de cada uma das seguintes proposições lógicas.
a) p ∨ q
b) r ∧ s
c) p ∨ q
d) r ⇒ q
e) p ⇔ s
f) ~(p ⇒ q)
g) ~(r ⇔ s)
5. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposições “~(x > 2 ∨ x = 5)”
e “x < 2 ∧ x ≠ 5” são equivalentes.
6. Verifique se são logicamente equivalentes as proposições “Quem não
tem cão, caça com gato” e “Quem tem cão, não caça com gato”.
7. Prove, por meio da tabela-verdade, que é válida a propriedade de distribuição de uma operação condicional em relação a uma conjunção,
ou seja, p → (q ∧ r) ⇔ (p → q) ∧ (p → r).
8. Por meio da tabela-verdade, mostre que as proposições “Se sou amigo
do Rei, não tenho medo” e “Se tenho medo, não sou amigo do Rei” são
equivalentes.
9. Sejam as sentenças abertas em A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, p(x): “x é par” e
q(x): “x é primo”. Determine:
a) os conjuntos verdade de p(x) e q(x), respectivamente.
b) o conjunto verdade de p(x) ∧ q(x).
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
c) o conjunto verdade de p(x) ∨ q(x).
d) o conjunto verdade de p(x) → q(x).
e) o conjunto verdade de q(x) → p(x).
f) o conjunto verdade de p(x) ↔ q(x).
Referências
ABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel,
2003. 203 p.
ARISTÓTELES. Tópicos. São Paulo: Abril Cultural, 1973. (Coleção Os Pensadores).
_____. Organon. São Paulo: Nova Cultural, 1999. (Coleção Os Pensadores).
BOLL, Marcel; REINHART, Jacques. A História da Lógica. Lisboa: Edições 70, 1982.
127 p.
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6. ed. São Paulo: Nobel,
1986. 158 p.
DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2003.
102 p.
KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed. Petrópolis:
Vozes, 2000. 179 p.
KOPNIN, P. V. A Dialética como Lógica e Teoria do Conhecimento. Rio de Janeiro, 1978. 353 p.
LAUSCHNER, Roque. Lógica Formal. 4. ed. rev. Porto Alegre: Sulina/ Unisinos,
1984. 207 p.
LIARD, L. Lógica. 6. ed. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1965. 211 p.
LIPSCHULTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. São Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p.
MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e funções. São Paulo: Scipione, 1988. 240 p.
116
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
_____. Lógica? É Lógico! São Paulo: Scipione, 2000. 49 p. (Coleção Vivendo a
Matemática).
MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos, lógica
menor. Rio de Janeiro: Agir, 1980. 318 p.
NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes,
1997. 174 p.
OLIVEIRA, Augusto J. Franco de. Lógica Aritmética. Brasília: UnB, 2004. 241 p.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978. 142 p.
SÉRATES, Jonofon. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 432 p. v. 1.
_____. Raciocínio Lógico. 8. ed. Brasília: Jonofon, 1998. 467 p. v. 2.
SMULLYAN, Raymond. O Enigma de Sherazade e outros Incríveis Problemas
das Mil e uma Noites à Lógica Moderna. Tradução de: FLAKSMAN, Sérgio. Rio de
Janeiro: Jorge Zahar, 1998. Revisão Técnica: Luiz Carlos Pereira.
SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica – elementos da Lógica Formal e Teoria
da Argumentação. São Paulo: Atlas, 2003. 187 p.
TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973. 367 p.
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Gabarito
1.
a) ( V ) Para x = 1, a sentença p(x) é falsa.
b) ( V ) Para x = 2, a sentença p(x) é verdadeira.
c) ( V ) Para x = 0, a sentença p(x) é falsa.
d) ( F ) Para x =
3 , a sentença p(x) é verdadeira.
e) ( F ) Para todo valor de x positivo, a sentença p(x) é verdadeira.
f) ( V ) Existe pelo menos um valor de x positivo de modo que a sentença p(x) seja verdadeira.
2.
a) ( F )
b) ( V )
c) ( V )
d) ( V )
3. Para negar uma proposição quantificada, basta trocar o quantificador
e negar a sentença aberta (predicado). Assim, temos:
a) Existe x, de modo que x ≠ 5.
b) Para todo x, x < 2.
c) Para algum y, y > 3.
d) Para todo z, temos z é igual a 4.
e) Existem homens que não são mortais.
f) Todos os carros não são coloridos.
4. Os valores lógicos das proposições simples p, q, r e s são, respectivamente, F, F, V e V. Utilizando as propriedades estudadas, os valores lógicos das proposições compostas serão:
a) p ∨ q : F
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
b) r ∧ s : V
c) p ∨ q : F
d) r ⇒ q : F
e) p ⇔ s : F
f) ~( p ⇒ q) : F
g) ~(r ⇔ s) : F
5. Considerando as proposições p: x > 2, ~p: x < 2, q: x = 5 e ~q: x ≠ 5, a
proposição “~(x > 2 ∨ x = 5)” pode ser representada por “~(p ∨ q)” e a
proposição “x < 2 ∧ x ≠ 5” pode ser representada por “~p ∧ ~q”. Assim,
basta mostrar que “~(p ∨ q)” equivale a “~p ∧ ~q”.
p
q
~p
~q
p∨q
~(p ∨ q)
~p ∧ ~q
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
Equivalentes
Os valores lógicos das proposições “~(p q)” e “~p ~q” são idênticos,
logo, ~(p q) ~p ~q. O resultado aqui demonstrado é uma aplicação de
uma equivalência de De Morgan.
6. Considerando as proposições p: tem cão, ~p: não tem cão, q: caça com
gato e ~q: não caça com gato, a proposição “Quem não tem cão, caça
com gato” pode ser representada por “~p → q” e a proposição “Quem
tem cão, não caça com gato” pode ser representada por “p → ~q”. Anteriormente, estudamos que a proposição “p → ~q” e a correspondente inversa “~p → q” não são equivalentes. Vamos comprovar que
a equivalência não é verdadeira por meio da tabela-verdade.
~q
~p → q
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
F
V
p
q
~p
V
V
V
F
F
V
F
F
p → ~q
Não são equivalentes
119
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
Portanto, as proposições “Quem não tem cão, caça com gato” e “Quem
tem cão, não caça com gato” não são equivalentes.
7. Basta construir a tabela-verdade e concluir que as proposições
p → (q ∧ r) e (p → q) ∧ (p → r) são logicamente equivalentes.
p
q
r
q∧r
p → (q ∧ r)
p→q
p→r
(p → q) ∧ (p → r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
Equivalentes
8. Considerando as proposições p: sou amigo do Rei, ~p: não sou amigo do
Rei, q: tenho medo e ~q: não tenho medo, a proposição “Se sou amigo
do Rei, não tenho medo” pode ser representada por “p → ~q” e a proposição “Se tenho medo, não sou amigo do Rei” pode ser representada por
“q → ~p”. Observe a tabela-verdade das proposições “p → ~q” e “q → ~p”:
p
q
~p
~q
p → ~q
q → ~p
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Equivalentes
Portanto, as proposições “p → ~q” e a correspondente contrapositiva
“q → ~p” são equivalentes.
9.
a) Os conjuntos verdade de p(x): “x é par” e q(x): “x é primo” em A,
são:
Vp = {2, 4, 6}
Vq = {2, 3, 5, 7}
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Sentenças abertas, implicações e equivalências lógicas
b)
Vp ∧ q = Vp ∩ Vq
Vp ∧ q = {2, 4, 6} ∩ {2, 3, 5, 7}
Vp ∧ q = {2}
c)
Vp ∨ q = Vp ∪ Vq
Vp ∨ q = {2, 4, 6} ∪ {2, 3, 5, 7}
Vp ∨ q = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
d) Inicialmente, temos que V~p = {1, 3, 5, 7}. Assim:
Vp → q = V~p ∪ Vq
Vp → q = {1, 3, 5, 7} ∪ {2, 3, 5, 7}
Vp → q = {1, 2, 3, 5, 7}
e) Inicialmente, temos que V~q = {1, 4, 6}. Logo:
Vq → p = V~q ∪ Vp
Vq → p = {1, 4, 6} ∪ {2, 4, 6}
Vq → p = {1, 2, 4, 6}
f)
Vq ↔ p = Vp → q ∩ Vq → p
Vq ↔ p = ( V~p ∪ Vq ) ∩ (V~q ∪ Vp)
Vq ↔ p = {1, 2, 3, 5, 7} ∩ {1, 2, 4, 6}
Vq ↔ p = {1, 2}
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