MATEMÁTICA E NATUREZA: O ESTUDO DAS
ESPIRAIS
IX Salão de
Iniciação Científica
PUCRS
Theodoro Becker de Almeida1, Rodiane Ouriques Martinelli2, Ana Maria Marques da Silva2
(orientadora)
1
Faculdade de Matemática, PUCRS, 2 Faculdade de Física , PUCRS.
Resumo
Este trabalho apresenta uma proposta de abordagem do tema espirais nas aulas de
matemática. Além do estudo de PA e PG, o tema permite a exploração de conceitos
relacionados com a geometria fractal.
Introdução
A educação escolar, em geral, mostra-se ainda pouco articulada com os fenômenos e
os acontecimentos que presenciamos em nosso cotidiano, tornando-a carente de significado e,
conseqüentemente, de pouca importância e utilização para nossa vida (MORIN, 2002).
Pensadores e educadores contemporâneos vêm propondo o resgate de uma educação mais
globalizada, em que se possa desenvolver um conhecimento e uma forma de pensar menos
reduzida e mutilada, em que seja priorizada e evidenciada a complexidade do real (MORIN,
1991).
A proposta deste trabalho está inserida dentro de um projeto de desenvolvimento de
atividades transdisciplinares que abordem a teoria da complexidade para professores de
ciências e matemática, em particular, mostraremos como explorar um estudo de espirais no
Ensino Médio.
Metodologia
A exploração do tema proposto pode ser realizada a partir da observação da
existência de fenômenos meteorológicos da natureza observados nos últimos meses no país e
em outras regiões do mundo, como a formação de tempestades e ciclones. As imagens de tais
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fenômenos assemelham-se a espirais que podem ser discutidas nas aulas de matemática no
Ensino Fundamental e Ensino Médio, em diferentes níveis de complexidade. Além desses
fenômenos, as espirais podem ser observadas freqüentemente na natureza e na arte, como
mostram alguns exemplos na Figura 1.
(a)
(b)
Figura 1: (a) Formação de um ciclone; (b) centro de um girassol.
A partir destes elementos de motivação, pode-se buscar identificar as características
periódicas das espirais. Matematicamente, uma espiral é uma curva que gira em torno de um
ponto central, afastando-se ou aproximando-se deste ponto, dependendo do sentido em que se
percorre a curva, segundo uma lei determinada (MAOR, 2003).
Neste trabalho, realizamos o estudo de dois tipos de espirais, as quais apresentam
propriedades semelhantes, porém possuem comportamentos totalmente diferentes: a Espiral
de Arquimedes (Figura 2) e a Espiral Logarítmica (Figura 3).
Figura 2: Espiral de Arquimedes.
Figura 3: Espiral Logarítmica.
Na abordagem do tema espirais, conteúdos e atividades propostas pelos parâmetros
curriculares nacionais (PCNs) podem ser desenvolvidos, como o estudo de seqüências e
progressões, construção e interpretação de gráficos (BRASIL, 2007).
A espiral de Arquimedes, ao ser percorrida por arcos iguais (distância ao pólo - centro
da espiral), tem seu comprimento aumentado em uma progressão aritmética (PA) (seqüência
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma
constante).
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Na espiral logarítmica, a taxa de aumento do comprimento da espiral ocorre segundo
uma progressão geométrica (PG) (seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do termo anterior com uma constante) (LIMA et al, 1999).
A espiral logarítmica pode ser construída a partir do uso de triângulos retângulos de tamanhos
crescentes ou dos chamados “retângulos dourados”, que possuem uma relação constante entre
a largura e a altura.
Resultados e Discussões
Além do estudo de progressões aritmética e geométrica, a abordagem desse tema torna
oportuna a exploração de conceitos relacionados com a geometria fractal, pouco trabalhada
nos estabelecimentos de ensino.
A geometria fractal é um importante ramo da Teoria dos Sistemas Dinâmicos, ramo
este pertencente à matemática que forma hoje um conjunto de técnicas e conceitos utilizados
por cientistas e pesquisadores de todo mundo para tentar melhor compreender a complexidade
dos fenômenos dos variados ramos da Ciência (CAPRA, 1996). A geometria dos fractais
possui propriedades peculiares, entre elas, a similaridade em diferentes escalas e a geração por
processos recorrentes ou iterativos (MANDELBROT, 1986). Tais objetos geométricos podem
ser observados em diversos ramos, como na natureza, arte e cinema, o que desperta um
grande fascínio e interesse dos alunos devido ao seu apelo visual.
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM-2007). Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 12 maio 2008.
CAPRA, Fritjof. A teia da vida: uma nova compreensão científica dos sistemas vivos. São Paulo, SP: Editora
Cultrix, 1996.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A
Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Rio de Janeiro, RJ: Coleção do Professor de Matemática – Sociedade
Brasileira de Matemática, 1999.
MANDELBROT, Benoit. Comment j’ai découvert lês fractales. La Recherche, França, n. 175, pp. 420 - 424,
mar. 1986.
MAOR, Eli. e: A História de um Número. Tradução de Jorge Calife. Editora Record. Rio de Janeiro, 2003.
MORIN, Edgard. Introdução ao pensamento complexo. Instituto Piaget: Lisboa, 1991.
MORIN, Edgar. A religação dos saberes: o desafio do século XXI. 2ªed. Rio de Janeiro, RJ: Bertrand Brasil,
2002.
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