RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
– 2o ANO DO ENSINO MÉDIO –
DATA: 19/03/11
PROFESSOR: MALTEZ
O preço de um objeto aumenta todo mês 10%. Nessas condições, a sequência dos valores que o preço
do objeto assume são termos de uma progressão:
Trata-se de uma PG de razão 1,1. O primeiro aumento é o anterior, x, mais 10% de x, ou seja,
x + 0,1x = 1,1x. Sempre o fator será 1,1.
No primeiro semestre do ano 2000, a produção mensal de uma fábrica de sapatos cresceu em
progressão geométrica. Em janeiro a produção foi de 3000 pares e em junho foi de 96000 pares. Então
a produção do mês de abril foi de:
Em junho é o 6o mês
a6 = a1 . q5
96000 = 3000 . q5 ⇒ q = 2
3
3
a4 = a1 . q = 3000 . 2 = 24000
1

Sabe-se que a sequência (x, y, 10) é uma PA e a sequência  , 2, 3y + 4  é uma PG. Nestas
y



condições, é correto afirmar que:
(x, y, 10) é uma PA:
y =
x + 10
⇒ 2y = x + 10
2
x = 2y – 10
1

 , 2, 3y + 4  é uma PG
y



2
2 =
1
. ( 3 y + 4)
y
4y = 3y + 4
y = 4 ⇒ x = 2 . 4 – 10
x = –2
PA (–2, 4, 10) r = 6
1

PG  , 2, 16 
4



q=8
Numa PA, o quarto termo é 2 e o sétimo é –7. A soma dos vinte primeiros termos dessa progressão é:
a1 + 3r = +2
⇒ 3r = 9
a1 + 6r = –7
r = –3
a1 – 9 = 2 ⇒ a1 = 11
a20 = a1 + 19r
a20 = 11 + 19 . (–3) = 11 – 57 = –46
S 20 =
(11 − 46) . 20
= −35 . 10 = −350
2
Resp.: –350
O número de meios geométricos entre 32 e 2048, de modo que a razão seja igual a 2, é:
(32, ..., 2048)
an = a1 . q
n-1
2048 = 32 . 2
n-1
2048
n −1
n −1
= 2 ⇒ 2 = 64
32
n–1=6⇒n=7
Logo, o número de meios é 5.
Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos planos seguintes.
Plano alfa: entrada de R$ 400,00 e mais 13 prestações mensais crescentes, sendo a primeira de
R$ 35,00, a segunda de R$ 50,00, a terceira de R$ 65,00 e assim por diante.
Plano beta: quinze prestações mensais iguais de R$ 130,00 cada.
Então podemos afirmar que:
plano alfa: total = 400 +
(35 + 215) . 13 =
2
= 400 + 1625 = 2025
plano beta: total = 130 x 15 = 1950
Portanto o total do plano alfa é superior ao total do plano beta.
2
A população de algas cobria parte da superfície de um lago, ocupando uma área de 10000 m . Em um
certo ano, a água do lago foi contaminada por um material químico que reduziu a população de algas
9
de modo que, em cada ao seguinte, a área coberta pelas algas passou a representar
(ou 90%) da
10
área coberta no ano anterior.
2
Qual a diferença, em m , da área coberta pela colônia de algas do terceiro para o quarto ano após a
contaminação?
A sequência formada após a contaminação é (9000, 8100, 7290, 6561, ...)
Logo a resposta é 7290 – 6561 = 729 m
2
Resolvendo a equação: x +
a1
1
=
⇒
1− q
3
x
2
1−
x
2
2
x3
x4
x5
1
+
+
+ ... = , o valor de x é igual a:
2
4
8
3
1
3
=
2
3x = 1 −
x
2
2
6x = 2 – x
2
6x + x – 2 = 0
x =
1
2
x =
−2
3
Na figura ao lado, BC =
15 , CE = 2 . BC, AB = 9 e AB // DC, determine DC.
A
D
∆ ABE ~ ∆ CDE
3 15
9
9
3
=
⇒
=
x
x
2
2 15
3x = 18
x=6
C
B
E
Na figura ao lado, calcule
M
x
.
y
3
N
4
α
y
P
x
2
α
Q
5
R
M
M
6
3
x+3
4
Q
N
5
y
P
R
x+3
6
5
=
=
4
3
y
6y = 15 ⇒ y =
15
5
=
6
2
3(x + 3) = 24
x+3=8
x=5
x
5
2
=
=5 x
= 2
y
5
5
2
QUESTÕES DISCURSIVAS
Em um treinamento aeróbico mensal, um estudante de Educação Física corre sempre 3 minutos a mais do
o
o
que correu no dia anterior. Se no 5 dia o estudante correu 17 minutos, quanto tempo correrá no 12 dia?
a5 = 17
a1 + 4r = 17
a1 + 4 . 3 = 17
a1 + 12 = 17
a1 = 5
a12 = a1 + 11 . r
a12 = 5 + 11 . 3
a12 = 5 + 33
a12 = 38 minutos
Segundo o Banco Mundial, na América Latina, a população deverá crescer a uma taxa média de 1,2%
ao ano. Em 2004, sua população era de P habitantes. Persistindo essa taxa de crescimento anual, qual
será a população da América Latina em 2020?
16
(Considere (1,012) ≅ 1,21)
a1 = P
a2 = P + 0,012P = 1,012P
⁞
PG de razão 1,012
16
2004 a 2020 ⇒ a17 = a1 . q =
16
= P . (1,012) = 1,21P
Um sitiante estava perdendo sua plantação de algodão em decorrência da ação de uma praga. Ao
consultar um agrônomo da Casa da Lavoura, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, um
determinado agrotóxico da seguinte maneira:
o
1 dia: 2 litros
o
2 dia: 4 litros
o
3 dia: 8 litros e assim sucessivamente.
Sabendo que o total de agrotóxico pulverizado foi de 126 litros, determine quantos dias de duração teve
esse tratamento.
2 + 4 + 8 + ... = 126 (soma dos termos de uma PG)
n
n
a1 (q − 1)
2(2 − 1)
= 126 ⇒
= 126
q−1
2−1
n
2 – 1 = 63
n
2 = 64 ⇒ n = 6
Portanto 6 dias.
Determine o perímetro do quadrilátero ABCD da figura ao lado.
D
13
A
5
E
B
12
D
∆ ECD ~ ∆ ABE
13
E
13
12
5
=
=
8
y
x
5
C
12
x =
40
13
y =
96
96
73
⇒ AD = 13 −
=
13
13
13
A
y
E
x
2p = 4 + 5 +
B
8
40 73
230
+
=
13
13
13
Determine a medida do segmento AB .
2
D
E
C
5
x
2
=
2
5
5x = 4
2
x =
A
x
B
C
4
= 0,8
5
4
C