Questão 1
Questão 3
O Sr. Paiva é proprietário de duas papelarias, A e B. Em 2002 o faturamento da unidade A foi 50% superior ao da unidade B.
Em 2003, o faturamento de A aumentou
20% em relação ao seu faturamento no ano
anterior e o faturamento de B aumentou
10% em relação ao seu faturamento no ano
anterior.
Podemos afirmar que, em 2003, o faturamento de A em relação ao faturamento de B foi
superior em aproximadamente:
a) 70% b) 68% c) 66% d) 60% e) 64%
Quando uma empresa cobra p reais por unidade de um produto fabricado, ela vende x
unidades por mês. Sabe-se que p relaciona-se
com x mediante a equação x = 100 − 0,5 p.
Para que a receita mensal de venda desse
produto seja R$ 4.800,00, o preço cobrado,
por unidade, pode ser p1 ou p2 . A soma
p1 + p2 vale:
alternativa E
A receita mensal de venda é p ⋅ x . Logo p1 e p 2
são as raízes de p ⋅ (100 − 0,5p) = 4 800 ⇔
Sendo x o faturamento da unidade B em 2002,
em 2003:
(1,5 ⋅ x) ⋅ 1,2
faturamento de A
=
≅ 1,64
faturamento de B
x ⋅ 1,1
Portanto podemos afirmar que, em 2003, o faturamento de A foi, aproximadamente, 64% superior
ao faturamento de B.
Questão 2
Considerando os valores: log2 = 0,30 e
log3 = 0,48, o valor de x que satisfaz a equação 36x = 24 é:
49
69
59
64
54
a)
b)
c)
d)
e)
78
78
78
78
78
alternativa B
a) R$ 160,00
c) R$ 240,00
e) R$ 200,00
b) R$ 180,00
d) R$ 220,00
alternativa E
⇔ −0,5p 2 + 100p − 4 800 = 0 e, portanto,
p1 + p 2 =
−100
= R$ 200,00.
−0,5
Questão 4
No plano cartesiano, considere a reta de
equação 2 x − y = 5 e a circunferência de
equação x2 + y2 − 2 x − 4 y + 3 = 0. Podemos
afirmar que:
a) A reta passa pelo centro da circunferência.
b) A reta é tangente à circunferência.
c) A circunferência intercepta o eixo y em
dois pontos cuja distância é 2.
d) A circunferência intercepta o eixo x em
dois pontos cuja distância é 1.
e) A área do círculo determinado pela circunferência é 4π.
36 x = 24 ⇔ log 36 x = log 24 ⇔
⇔ x ⋅ log (2 2 ⋅ 3 2 ) = log (3 ⋅ 2 3 ) ⇔
⇔x =
log 3 + 3 log 2
2 log 2 + 2 log 3
Adotando as aproximações dadas, obtemos:
0,48 + 3 ⋅ 0,30
69
x ≅
=
2 ⋅ 0,30 + 2 ⋅ 0,48
78
alternativa C
Da equação da circunferência, temos:
x 2 + y 2 − 2x − 4y + 3 = 0 ⇔
⇔ x 2 − 2x + 1 + y 2 − 4y + 4 + 3 = 5 ⇔
⇔ (x − 1) 2 + (y − 2) 2 = 2 . Assim, o centro é o
ponto (1; 2) e o raio é 2 .
matemática 2
Freqüência porcentual
A figura a seguir mostra a circunferência e a reta
de equação y = 2x − 5 .
y
(0; 3)
y
= 2x
_
5
2
30%
30%
20% 20% 15%
20%
10%
10%
0%
5%
500 1000 1500 2000 2500 3000
Salários
(0; 1)
1
_
40%
2
x
3
3
Podemos afirmar que os 5% que mais ganham recebem:
a) 13,13% do total dos salários.
b) 12,12% do total dos salários.
c) 11,11% do total dos salários.
d) 14,14% do total dos salários.
e) 15,15% do total dos salários.
alternativa C
Logo a circunferência intercepta o eixo y nos pontos (0; 1) e (0; 3), cuja distância é 2.
Segundo o gráfico podemos afirmar que os 5%
que mais ganham recebem
5% ⋅ 3 000
=
5% 3 000
=
Questão 5
Seja a seqüência (a1 , a2 , a3 , K an , K) tal
que an = log 10n − 1 , em que n ∈ N ∗.
+ 10% 2 500
+ 15% 2 000
+ 20% 1 500
+ 20% 1 000
+ 30% 500
150
≅ 11,11% do total dos salários.
1 350
Questão 7
100
O valor de
∑ an é:
n =1
a) 4 950
d) 4 750
b) 4 850
e) 4 650
c) 5 050
alternativa A
100
Temos
∑ an
n =1
=
100
∑ log 10n −1
=
n =1
= log 101 −1 + log 10 2 −1 + K + log 10100 −1 =
= 0 + 1 + K + 99 =
(0 + 99) ⋅ 100
= 4 950.
2
O lado de um quadrado inscrito num círculo
mede 12 2m; a medida do lado do triângulo
eqüilátero circunscrito vale:
a) 20 3m
b) 20 5m
c) 24 5m
d) 24 3m
e) 40m
alternativa D
Uma diagonal do quadrado mede 12 2 ⋅ 2 =
= 24 m, e o raio da circunferência de centro O tem
medida igual à metade da diagonal do quadrado,
1
ou seja,
⋅ 24 = 12 m.
2
Questão 6
Numa cidade há 10.000 pessoas e cada uma
recebe um único salário mensal. A distribuição de freqüências desses salários é dada pelo
gráfico abaixo:
O
matemática 3
Como O é o centro do triângulo eqüilátero, sua altura é o triplo do raio da circunferência inscrita, ou
seja, 3 ⋅ 12 = 36 m. Desse modo o lado do triângu36 ⋅ 2
lo eqüilátero mede
= 24 3 m.
3
alternativa A
Como o valor do computador decresce linearmente
com o tempo e, em 8 anos, esse valor é zero, então
3 000
a cada ano o valor decresce
= 375 reais.
8
Logo, daqui a 3 anos, o valor será 3 000 − 3 ⋅ 375 =
= 1 875 reais.
Questão 8
No regime de juros compostos, a taxa de juro
anual que produz um montante 44% superior
ao capital inicial, no prazo de aplicação de
2 anos, é:
a) 20%
b) 21,5%
c) 21%
d) 20,5%
e) 22%
alternativa A
Seja x tal taxa de juro anual. Então (1 + x) 2 =
= 1 + 0,44 ⇔ 1 + x = 1,2 ⇔ x = 20%.
Questão 9
No plano cartesiano, o ponto P que pertence à
reta de equação y = x e é eqüidistante dos
pontos A(−1,3) e B(5,7) tem abscissa igual a:
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,4
d) 3,5
e) 3,2
alternativa E
Como P pertence à reta y = x , P é da forma
(x; x), x ∈ R . Sendo P eqüidistante de A e B, temos:
( −1 − x) 2 + (3 − x) 2 = (5 − x) 2 + (7 − x) 2 ⇔
⇔ 20x = 64 ⇔ x = 3,2, que é abscissa de P.
Questão 10
Atualmente, o valor de um computador novo
é R$ 3.000,00. Sabendo que seu valor decresce linearmente com o tempo, de modo que daqui a 8 anos seu valor será zero, podemos
afirmar que daqui a 3 anos (contados a partir
de hoje) o valor do computador será:
a) R$ 1.875,00
b) R$ 1.800,00
c) R$ 1.825,00
d) R$ 1.850,00
e) R$ 1.900,00
Questão 11
De um grupo de 8 pessoas, entre elas Antônio
e Benedito, deseja-se escolher uma comissão
com 4 pessoas. O número de comissões que
podem ser formadas nas quais Antônio participa e Benedito não é igual a:
a) 15
b) 24
c) 30
d) 20
e) 36
alternativa D
Como Antônio deve participar e Benedito não, das
6 pessoas restantes temos de escolher 3 para
completar a comissão.
Assim, o número de comissões que podem ser
⎛6 ⎞ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
formadas é igual a ⎜ ⎟ =
= 20.
⎝3 ⎠
3 ⋅ 2 ⋅1
Questão 12
Num escritório há 3 impressoras: A, B e C.
Em um período de 1 hora:
• A e B juntas imprimem 150 folhas;
• A e C juntas imprimem 160 folhas;
• B e C juntas imprimem 170 folhas.
Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:
a) 60 folhas
b) 65 folhas
c) 75 folhas
d) 70 folhas
e) 80 folhas
alternativa D
Sejam a, b e c as quantidades de folhas que as
impressoras A, B e C imprimem em uma hora,
respectivamente. Temos:
a + b = 150
a + c = 160
b + c = 170
Somando as três equações, obtemos 2a + 2b + 2c =
= 150 + 160 + 170 ⇔ a + b + c = 240. Logo a =
= a + b + c − (b + c) = 240 − 170 = 70.
Portanto a impressora A imprime sozinha, em
uma hora, 70 folhas.
matemática 4
alternativa C
Questão 13
Uma matriz X tem elementos cuja soma vale
1. Seja X t a transposta da matriz X. Sabendo
⎡ 1 −1⎤
t
que X ⋅ ⎢
⎥ ⋅ X = [1], podemos afirmar
−
1
1
⎣
⎦
que o produto dos elementos de X vale:
a) 0
b) 0,25
c) 0,16
d) −2
e) −6
alternativa A
Sejam r e 2r o raio da base e a altura da lata do
tipo B, respectivamente. Como os volumes das latas dos tipos A e B são iguais:
π ⋅ 8 2 ⋅ 2 = π ⋅ r 2 ⋅ 2r ⇔ r = 4 cm
Sendo as áreas totais das latas A e B iguais a 2 ⋅ π ⋅
⋅ 8 2 + 2 π ⋅ 8 ⋅ 2 = 160 π e 2 ⋅ π ⋅ 4 2 + 2 π ⋅ 4 ⋅ 8 =
160 π − 96 π
≅ 66,7% a mais
96 π
de material na sua construção. Logo x ≅ 66,7 .
= 96 π, a lata A gasta
A matriz X deve ser 1 × 2. Logo, sendo X = [a b]:
⎡ 1
[a b] ⋅ ⎢
⎣ −1
⇔ [a − b
−1 ⎤
1 ⎥⎦
⎡a ⎤
⋅ ⎢ ⎥ = [1] ⇔
⎣b ⎦
Questão 15
⎡a ⎤
−a + b] ⋅ ⎢ ⎥ = [1] ⇔
⎣b ⎦
⎛
⎡a ⎤ ⎞
⇔ (a − b) ⋅ ⎜ [1 − 1] ⎢ ⎥ ⎟ = [1] ⇔
⎝
⎣b ⎦ ⎠
Na figura abaixo, considere o retângulo
OABC, em que B pertence à reta r e está situado no 1º quadrante.
y
2
⇔ (a − b)[a − b] = [1] ⇔ [(a − b) ] = [1]
Logo, como a soma dos elementos de X é 1:
6
(a − b = 1 ou a − b = −1)
(a − b) 2 = 1
⇔
⇔
a
+ b =1
a + b =1
⇔
(a = 1 e b = 0)
ou
(a = 0 e b = 1)
O produto dos elementos de X é 0.
Questão 14
Um produto (creme de leite) pode ser embalado em dois tipos de latas, A e B, ambas com
formato de cilindro reto. Suas características
são:
• Tipo A: raio da base 8cm e altura 2cm,
• Tipo B: altura igual ao diâmetro da base.
As duas latas devem ter o mesmo volume.
Uma delas gasta de material na sua construção, x% a mais em relação à outra. O valor de
x é aproximadamente igual a:
a) 33,4
b) 44,5
c) 66,7
d) 55,6
e) 77,8
C
O
B
A
2 r
x
A área máxima possível desse retângulo é
igual a:
a) 3,1
b) 3
c) 3,2
d) 3,3
e) 3,4
alternativa B
Uma equação da reta r é
y
x
+
=1 ⇔
2
6
⇔ y = −3x + 6.
O ponto B pertence à reta r, assim B é do tipo
(k; −3k + 6), 0 < k < 2. Logo as medidas dos seg-
mentos AB e BC são, respectivamente, −3k + 6 e
k, e a área do retângulo OABC, ( −3k + 6)k =
= −3k 2 + 6k , cujo valor máximo é
−(6 2 − 4 ⋅ ( −3) ⋅ 0)
= 3.
4 ⋅ ( −3)