UIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CETRO DE TECOLOGIA
CURSO DE EGEHARIA ELÉTRICA
TRASMISSÃO DE EERGIA ELÉTRICA SEM FIO
FELIPE PONTES GONDIM
Fortaleza
Dezembro de 2010
ii
FELIPE PONTES GONDIM
TRASMISSÃO DE EERGIA ELÉTRICA SEM FIO
Monografia apresentada para obtenção dos créditos da
disciplina Trabalho de Conclusão de Curso do Centro de
Tecnologia da Universidade Federal do Ceará, como
parte das exigências para graduação no curso de
Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Dr. José Almeida do Nascimento.
Fortaleza
Dezembro de 2010
iv
Aos meus pais, Vera Lúcia e Airton Gondim,
Às minhas irmãs, Samia e Dulce Gondim,
Aos meus familiares,
A todos os amigos e namorada.
v
AGRADECIME
TOS
Aos meus pais e irmãs, não apenas pelo apoio durante este trabalho, mas em todos os
momentos de minha graduação e, principalmente, durante meu período acadêmico no
exterior.
Aos amigos e companheiros de equipe do projeto descrito nesta dissertação: Leandro
Goulart, Marcos Cabral e Tiago Marques.
Aos professores orientadores do projeto desenvolvido na Ecole Centrale Paris (França)
e do trabalho de conclusão de curso realizado na Universidade Federal do Ceará, Jean-Pierre
Fanton e José Almeida do Nascimento, respectivamente.
Aos funcionários do laboratório LISA, pelo apoio e auxílio em todos os momentos de
trabalho.
vi
Gondim, F. P. “Transmissão de Energia Elétrica Sem Fio”, Universidade Federal do Ceará –
UFC, 2010, 42p.
Esta monografia apresenta uma análise da teoria de acoplamento indutivo ressonante. O
estudo foi realizado a partir do conhecimento das leis que regem a teoria de circuitos elétricos
RLC e da resposta em freqüência de um dado sistema. O coeficiente de acoplamento
caracteriza a transferência de energia entre as bobinas de um circuito primário e de um
circuito secundário. As simulações realizadas no software PSpice evidenciam tais
características para todos os tipos de acoplamento: crítico, subcrítico e supercrítico. Os
circuitos simulados foram concebidos a partir do uso do teorema de normalização de
freqüência e impedância. Os principais métodos estudados para a determinação do valor de
indutância de uma bobina em função de suas características estruturais foram: modelo de um
solenóide comprida, fórmula de Wheeler e método do indutor em forma de tronco de cone.
Por fim, o a realização de uma experiência de transmissão de uma potência de 11mW
evidenciou o princípio de funcionamento do sistema estudado, uma vez efetuada a
comparação dos resultados experimentais com os resultados teóricos obtidos por intermédio
da simulação.
Palavras-Chave: Coeficiente de acoplamento, Indutância mútua, Transmissão sem fio,
Acoplamento indutivo.
vii
Gondim, F. P. “Wireless Power Transmission”, Universidade Federal do Ceará – UFC, 2010,
42p.
This monograph presents an analysis of the resonant inductive coupling and how the two tesla
coils can be linked for the wireless energy transmission. The study was based on the electrical
circuit’s laws and the frequency domain response of a given system. The coupling coefficient
defines the energy transference between the primary and the secondary circuits. The
simulations made in the software PSpice attests the characteristics of all kinds of coupling:
critical, subcritical and supercritical coupling. The circuits simulated were designed after the
use of the frequency and impedance normalization theorem. Some methods for estimating the
inductance value of a solenoid were studied: Long solenoid model, Wheeler’s Formula and
Tapered Inductor. An experience of 11mW power transmission attested how the system
analyzed works, once that the comparison between experimental and theory results was
successfully done.
Key-Words: Tesla Coil, Mutual Inductance, Wireless Power Transmission, Inductive
Coupling.
viii
SUMÁRIO
1INTRODUÇÃO..................................................................................................................................................... 1
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO GERAL ............................................................................................................... 1
1.2 HISTÓRICO .................................................................................................................................................. 2
1.3 TÉCNICAS EXISTENTES ........................................................................................................................... 3
1.3 OBJETIVOS .................................................................................................................................................. 6
2 A TEORIA DE ACOPLAMENTO RESSONANTE ........................................................................................... 8
3 CONCEPÇÃO DO CIRCUITO E SIMULAÇÕES............................................................................................ 14
3.1 SIMULAÇÃO I ........................................................................................................................................... 17
3.2 SIMULAÇÃO II .......................................................................................................................................... 20
4 MODELAGEM DAS BOBINAS ....................................................................................................................... 22
4.1 MODELO DE UM SOLENÓIDE COMPRIDA ......................................................................................... 24
4.2 FÓRMULA DE WHEELER ....................................................................................................................... 24
4.3 MÉTODO DO INDUTOR EM FORMA DE TRONCO DE CONE........................................................... 25
4.4 CONCEPÇÃO FÍSICA DAS BOBINAS .................................................................................................... 25
4.5 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS ............................................................................................................... 27
4.6 ACOPLAMENTO ENTRE DUAS BOBINAS PLANAS .......................................................................... 28
5 COEFICIENTE DE ACOPLAMENTO ............................................................................................................. 30
6 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................................. 36
6.1 MATERIAL UTILIZADO .......................................................................................................................... 36
6.2 REALIZAÇÃO PRÁTICA DO CIRCUITO ............................................................................................... 36
6.3 ANÁLISE DE RESULTADOS OBTIDOS................................................................................................. 37
7 CONCLUSÕES .................................................................................................................................................. 41
8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................... 43
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 Esquema representativo do acoplamento indutivo ressonante. [5]........................................................ 4
Figura 1.2 Esquema representativo da radiação eletromagnética. [7] .................................................................... 5
Figura 1.3 Projeto de transmissão de energia solar com antenas retificadoras. [7] ................................................. 6
Figura 2.1 Circuito RLC ilustrativo do acoplamento entre duas bobinas. [PSpice] ................................................ 8
Figura 3.1 Modelo inicial de circuito .................................................................................................................... 14
Figura 3.2 Modelo representativo do novo circuito. [PSPice] .............................................................................. 16
Figura 3.3 Simulação nº 1 (V x kHz) – K subcrítico: 0,0004390. [PSpice] ........................................................ 17
Figura 3.4 Simulação nº 2 (V x kHz) - K subcrítico: 0,0018915. [PSpice] ........................................................ 18
Figura 3.5 Simulação nº 3 (V x kHz) – K subcrítico: 0,002057. [PSpice] ........................................................... 18
Figura 3.6 Simulação nº 4 (V x kHz) – K supercrítico: 0,008645. [PSpice] ........................................................ 19
Figura 3.7 Simulação nº 5 (W x kHz) – Análise de Potências. [PSpice] ............................................................ 19
Figura 3.8 Simulação nº 6 (mW x kHz) – Análise de Potências II. [PSPice] ...................................................... 20
Figura 3.9 Simulação nº 7 – Potência na resistência primária. [PSpice] .............................................................. 21
Figura 3.10 Simulação nº 8 – Tensão e corrente na resistência primária. [PSpice] .............................................. 21
Figura 4.1 Aproximação cilíndrica de uma bobina. [1] ......................................................................................... 22
Figura 4.2 Modelo real de uma bobina. [1] ........................................................................................................... 23
Figura 4.3 Fotografia da bobina real utilizada no experimento. [Arquivo Pessoal] ............................................. 26
Figura 4.4 Modelo real de uma bobina. [1] .......................................................................................................... 27
Figura 4.5 Esquema acoplamento magnético ....................................................................................................... 28
Figura 5.1 Esquema montado em laboratório. ....................................................................................................... 30
Figura 5.3 Medições efetuadas no laboratório. [Arquivo Pessoal] ........................................................................ 31
Figura 5.4 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 0,8m. [MATLAB] ........................................................................ 32
Figura 5.5 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB] ....................................................................... 33
Figura 5.6 Gráfico do coeficiente de acoplamento K em função da distância D. [MATLAB] ............................ 34
Figura 5.7 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB] ...................................................................... 35
Figura 5.8 Circuito efetivamente montado no laboratório. [PSpice] .................................................................... 36
Figura 5.9 – Fotografia do circuito montado no laboratório LISA. [Arquivo Pessoal] ......................................... 38
Figura 5.10 Fotografia do circuito – Introdução material não ferromagnético. [Arquivo Pessoal] ...................... 39
Figura 5.11 Fotografia do circuito – Introdução material ferromagnético. [Arquivo Pessoal] .............................. 40
x
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 Variáveis acoplamento crítico. ............................................................................................................ 16
Tabela 4.1 Medidas obtidas para as bobinas construídas ...................................................................................... 23
Tabela 5.1 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 0,8m. ................................................ 32
Tabela 5.2 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 1,2m. ................................................ 33
Tabela 6.1 Resultados obtidos ............................................................................................................................... 37
Tabela 6.2 Resultados obtidos com a introdução de materiais. ............................................................................. 39
1.0 I
TRODUÇÃO
1.1 CO
TEXTUALIZAÇÃO GERAL
O conceito de transmissão de energia elétrica no espaço livre foi estudado a partir do
fim do século XIX, por Heinrich Hertz. Sabe-se que inúmeros métodos de transmissão de
energia sem fio (Wireless Power Transmission) já foram testados. Muito provavelmente, o
método mundialmente mais famoso de transmissão diz respeito ao uso de ondas
radiomagnéticas. No entanto, tais radiações se dispersam em todas as direções, tornando
completamente inviável o seu uso para a transmissão de energia, contrariamente à sua
utilização para transmissão de dados.
Recentemente, uma equipe de pesquisadores do MIT obteve sucesso ao realizar uma
experiência de transmissão de energia sem a utilização de fios. Diferentemente de
experimentos anteriormente desenvolvidos, a equipe do MIT fez uso de frequências da ordem
de 10 Mhz, ao passo que hiperfrequências eram usualmente empregadas.
Estes cientistas foram capazes de acender uma lâmpada de 60 W, cuja fonte de
eletricidade encontrava-se a 2 metros de distância e adotou-se a inexistência de conexão física
entre a fonte e a mesma. O conceito de não utilização de fios para a transmissão de energia
tornou-se conhecido como Witricity (Wireless Electricity) [5] e baseia-se na ressonância por
acoplamento indutivo magnético. Esta monografia consiste em descrever um projeto efetuado
no laboratório LISA (“Laboratoire d’Informatique et des Systèmes Avancés”), situado em
Chatenay-Malabry, na escola de engenharia francesa Ecole Centrale Paris. O projeto consistiu
em reproduzir, nas condições existentes, a experiência realizada pelo MIT. O experimento
fora conduzido por um grupo de 4 alunos de engenharia, dentro os quais o autor deste
trabalho.
É válido ressaltar que o sucesso na realização de experiências fundamentadas em
Witricity e o domínio crescente da teoria envolvida representam, sem dúvidas, um avanço
importantíssimo no que se refere ao nível de desenvolvimento tecnológico atual. Este conceito
pode ser aplicado, por exemplo, na alimentação a distância de veículos espaciais, na
transmissão de energia produzida no espaço para a terra, na alimentação de cidades ou regiões
geograficamente isoladas, na alimentação de alto-falantes ou no carregamento de aparelhos
celulares. Em um futuro no qual a transferência de eletricidade se faria sem o intermédio de
fios, dispositivos como telefones, computadores portáteis, leitores mp3 ou outras máquinas
2
eletrônicas seriam capazes de serem carregados sem a necessidade de conectá-los a uma
tomada ou qualquer outro meio físico.
1.2 HISTÓRICO
A idéia de transferência de eletricidade sem intermédio de fiação fascina a humanidade
há muito tempo. Nikola Tesla escreveu sua teoria de transmissão de corrente elétrica sem fios
no fim do século XIX, o que poderia revolucionar o mundo. Nesta, Tesla afirmou que havia
experimentado um raio de energia elétrica excitando átomos dentro de uma substância,
impulsionando a realização de diversos experimentos baseados em seus trabalhos.
A história da transmissão de energia elétrica efetivamente começou com os trabalhos de
Maxwell, em 1864, uma vez que o mesmo modelou matematicamente o comportamento de
radiações eletromagnéticas. Heinrich Rudolf Hertz confirmou a existência desta radiação em
1888, com a criação do primeiro transmissor a rádio. Em 1893, Nikola Tesla[10] acendeu uma
ampola a vácuo e sem fios, durante um evento denominado World Columbian Exposition,
realizado em Chicago.
Os primeiros a iniciarem os estudos na área de indução eletromagnética foram os irmãos
Hutin e Leblanc, que patentearam a transmissão de energia a 3kHz. Entre 1969 e 1975,
William C. Brown dirigiu um projeto de transferência de energia por microondas, obtendo
sucesso na transmissão de 30kW a uma distância de aproximadamente 1,5km, obtendo um
rendimento de 84%. O aparelho utilizado para transformar microondas em corrente contínua,
denominado rectenna, figura na grande maioria dos futuros projetos de TESF (Transmissão
de Energia Sem Fio).
Em 1975, o professor Don Otto desenvolveu, na Universidade de Auckland, Nova
Zelândia, uma máquina que funcionava a partir da energia transmitida por indução elétrica.
Nesta mesma universidade, em 1988, a equipe do professor John Boys desenvolveu um
projeto utilizando a indução elétrica, patenteando o experimento. Esse projeto foi
recentemente retomado pela equipe de pesquisadores da Intel.
Atualmente, o modelo de sistema de ônibus a energia elétrica desenvolvido na
Universidade de Auckland é utilizado no fornecimento de energia para uma linha de ônibus
comercial, em Whakarewarewa, também na Nova Zelândia. Este sistema baseia-se novamente
na transmissão de energia por indutância, IPT (Inductive Power Transfer). [6]
Em 2007, como citado na introdução deste trabalho, a equipe de pesquisadores do MIT,
3
liderada pelo professor Marin Soljacic, transmitiu 60W a uma distância de 2 metros com uma
eficiência de 40%. Este experimento teve como base o projeto do professor Boys. Em 2008, a
Intel realizou uma nova experiência, utilizando esta mesma tecnologia e obteve um
rendimento de 75%, transmitindo 60W a uma distância de 3 metros.
1.3 TÉC
ICAS EXISTE
TES
As técnicas utilizadas para realizar-se a transmissão de energia sem o intermédio de
fios, tanto historicamente quanto nos dias atuais, baseiam-se em dois conceitos: acoplamento
indutivo ressonante e radiação eletromagnética.
1.3.1 Acoplamento indutivo ressonante
O acoplamento indutivo é o método atual que se encontra em expansão e
desenvolvimento após experiências realizadas pela equipe do MIT e da Intel. O Prof. John
Boys provou que este método, que faz uso de duas bobinas sob ressonância eletromagnética, é
bastante eficaz comparativamente a outras transmissões de baixas potências. A base deste
sistema é a mesma de um transformador usual, com a existência de um campo magnético
produzido por uma bobina, que induz uma corrente em uma segunda bobina. Alguns
aparelhos domésticos aplicam esta tecnologia atualmente para a recarga de suas baterias.
A diferença fundamental entre as novas e as antigas experiências reside nas tensões e
freqüências aplicadas ao sistema. Os melhores resultados foram obtidos utilizando-se pulsos e
baixas freqüências em um sistema onde duas bobinas se encontram em ressonância.
A figura 1.1 representa a disposição das bobinas durante uma experiência envolvendo o
acoplamento indutivo ressonante. A bobina 1 é ligada à tomada convencional 2 e a um
conversor de tensão e freqüência. A bobina 4 é a bobina ressonante ligada à lâmpada a ser
acendida e 3 corresponde a um obstáculo existente entre as duas bobinas que estão em
ressonância.
4
Figura 1.1 Esquema representativo do acoplamento indutivo ressonante. [5]
O acoplamento ocorre quando uma fonte de energia é capaz de transmitir sua potência
para a fonte diretamente acoplada. O acoplamento indutivo se dá quando o campo magnético
de uma bobina ligada a uma fonte interage com a bobina acoplada e induz uma corrente
elétrica na mesma, possibilitando assim a transferência de energia de uma fonte a outro
dispositivo. [7]
A freqüência de ressonância pode ser definida como a frequência natural que permite
transferência máxima de energia a um sistema oscilante. A ressonância em um sistema
composto por dois indutores ocorre quando a frequência natural de oscilação do campo
magnético das mesmas é idêntico.
1.3.2 Radiação eletromagnética
A transmissão de energia por radiação eletromagnética apresenta uma série de
obstáculos. Primeiramente, sabe-se que radiações eletromagnéticas são dissipadas em todas as
direções e, portanto, faz-se necessário a utilização de um laser e a existência de um caminho
livre de obstáculos entre transmissor e receptor para a viabilidade da transmissão. Além disto,
devem ser considerados os prováveis efeitos negativos à saúde causados por estas radiações,
tanto de microondas quanto de outros tipos.
O fato é que, desde o início dos anos 60, alguns projetos foram bem sucedidos na
5
transmissão de energia a uma distância de aproximadamente 1,5km. O mais impressionante,
no entanto, é que a potência transmitida chegou à ordem de algumas dezenas de kW e a
eficiência da transmissão apresentou-se de cerca 85%. A tecnologia usual utilizada consistia
em microondas (alta freqüência) para a transmissão e um tipo de antena que transforma
microondas em energia elétrica para a recepção da energia: a chamada rectenna, ou antena
retificadora[4]. O esquema é ilustrado a partir da figura 1.2.
Figura 1.2 Esquema representativo da radiação eletromagnética. [7]
Ainda trabalhando com altas potências, a empresa Powercast conseguiu um
considerável progresso a partir do uso de radiofreqüência. No entanto, a transmissão não
passou da ordem de 6V a um metro de distância.
Para o futuro, os projetos envolvendo esta tecnologia são audaciosos: A NASA e outros
organismos planejam a transmissão de altas potências de energia solar do espaço à terra a
partir de microondas. Um satélite com uma antena emitiria a radiação direcionada para uma
antena retificadora fixada na superfície terrestre. Os principais inconvenientes para tal projeto
seriam o custo e o tamanho das antenas: com as tecnologias atuais, seriam necessárias uma
antena de 1 km de diâmetro para a transmissão e uma antena retificadora de 10 km para a
recepção.
A transmissão a laser, por sua vez, apesar da sua vantagem de confinar energia
direcionada ao invés da difusão em todas as direções, é muito pouco eficiente levando-se em
conta as perdas envolvidas no processo. Os resultados obtidos a partir da utilização deste
método não são favoráveis à aplicação do mesmo.
6
Figura 1.3 Projeto de transmissão de energia solar com antenas retificadoras. [7]
Tendo em vista todas as razões anteriormente apresentadas e que o projeto descrito
neste trabalho é de nível universitário, optou-se pela utilização de baixas frequências e do
método de acoplamento indutivo ressonante para a experiência a ser desenvolvida.
1.3 OBJETIVOS
Este trabalho de conclusão de graduação objetiva a compreensão da teoria de
acoplamento ressonante entre duas bobinas, bem como dos parâmetros que se fazem
importantes para a eficiência na utilização deste método como forma de transmissão de
energia. É válido reiterar que o presente trabalho baseia-se em um experimento anteriormente
efetuado pelo autor em um laboratório situado em sua escola de engenharia na França, durante
o tempo em que participou de um programa de dupla graduação. Não está presente nos
objetivos do mesmo, no entanto, refazer a experiência na qual se baseia esta monografia.
De forma mais geral, lista-se os objetivos abaixo:
(i)
Revisar teoria de análise de circuito RLC;
(ii)
Compreender o equacionamento matemático que nos leva a encontrar, a partir da
resposta em freqüência do sistema, as freqüências de ressonância para os
diversos tipos de acoplamento;
(iii)
Compreender as diferenças entre os acoplamentos críticos, supercríticos e
subcríticos;
(iv)
Estudo dos modelos de construção de bobinas;
(v)
Estudo da concepção do circuito construído para a experiência;
7
(vi)
Simular, por meio do software Orcad PSpice, o circuito em questão, de forma a
comprovar o modelo matemático analisado;
(vii)
Explicitar a adaptação das simulações às condições reais do experimento;
(viii) Descrever detalhadamente os passos tomados para o desenvolvimento da
experiência;
(ix)
Aplicação de métodos estatísticos como forma de obter a distância mais próxima
possível da distância ótima para o acoplamento;
(x)
Apresentar e analisar os resultados obtidos.
Segundo os objetivos específicos descritos anteriormente, a metodologia empregada
será constituída de três importantes etapas:
(i) Consolidação da base teórica, através da revisão bibliográfica,
(ii) Simulação do circuito construído e análise dos resultados obtidos na simulação,
(iii) Apresentação dos detalhes construtivos no desenvolvimento de duas bobinas e na
concepção de um circuito RLC, bem como do tratamento estatístico realizado para a obtenção
de parâmetros importantes, segundo o estudo feito em (i) e a simulação em (ii) e ainda dos
rendimentos obtidos ao final do experimento.
O item (i) será abordado nos capítulos 2 e 4, que se referem à teoria de acoplamento
ressonante e à modelagem de bobinas. O item (ii) será abordado no capítulo 3 e o item (iii)
será abordado ao longo do capítulo 5, 6 e 7 que concernem o tratamento estatístico empregado
e a descrição final do experimento, bem como dos resultados obtidos.
8
2.0 A TEORIA DE ACOPLAME
TO RESSO
A
TE
Neste capítulo, revisaremos a teoria de acoplamento ressonante. De forma geral,
analisaremos o equacionamento descritivo do modelo apresentado e analisaremos os tipos de
acoplamento existentes em função da constante de acoplamento K.
O modelo de acoplamento ressonante consiste em dois circuitos RLC paralelos e
acoplados magneticamente, como pode ser visto na figura 2.1. O circuito atua como um
transformador, transferindo energia do circuito primário para o circuito secundário. A base da
transferência de energia está no uso de sistemas ressonantes modelados e dispostos de forma
tal que a transmissão seja viabilizada.
Figura 2.1 Circuito RLC ilustrativo do acoplamento entre duas bobinas. [PSpice]
O efeito de acoplamento entre quaisquer indutâncias é descrito pelo modelo[1] a seguir:
()
1
=
()
()
× ()
2
(2.1)
Na equação 2.1, i1 e i2 correspondem às correntes no primário e no secundário,
respectivamente, bem como v1 e v2 correspondem às respectivas tensões em cada circuito. A
constante = ( ), conforme será demonstrado posteriormente, corresponde à
indutância mútua do sistema. K, por sua vez, é denominado coeficiente de acoplamento do
9
sistema e deve situar-se entre zero e um.
Ao combinar-se 2 circuitos de segunda ordem, cada qual com sua própria freqüência de
ressonância e fator de qualidade Q (assunto que será abordado em seguida), o circuito de
quarta ordem resultante não possui comportamento equivalente à soma, diferença ou média
dos dois circuitos constituintes. Neste caso, diferentes partes do circuito possuem distintas
L kL
. Aplicando as
kL L
leis de Kirchhoff ao circuito e efetuando a transformada de Laplace com condições iniciais
frequências de ressonância, que estão relacionadas às frequências independentes de origem.
Para o caso em estudo, L1 = L2. Logo, a matriz em 2.1 torna-se nulas, chegamos ao sistema linear seguinte:
#1()
+ 0
$()
1
0
#2()
1 "
= 0 0 + 0
− − $1()
1
0
0
0
1 − − $2()
0
(2.2)
Em seguida, encontramos o polinômio característico do sistema, calculando o
determinante da matriz acima:
det = )(1 − *) + (1 − *) + 1+ )(1 + *) + (1 + *) + 1+
(2.3)
Chegamos, em seguida, a um sistema de quarta ordem e, evidentemente, quatro pólos:
,
3,4
−
1
=
∓ ./0
−
2
2
(1 + ) 4 −
1
=
∓ ./0
−
2
2
(1 − ) 4 (2.4)
(2.5)
10
Introduz-se a notação:
7
69 5 :
8=
2
1
1
=
; 9: =
(1 + *)
(1 − *)
<
(2.6)
Ao utilizarmos as notações explicitadas na equação 2.6 em 2.4 e 2.5, nós podemos
escrever os pólos de forma simplificada em 2.7 e 2.8:
, = −8 ∓ >(9: − 8 ) = −8 ∓ >9? <
=
3,4 = −8 ∓ >(9: − 8 ) = −8 ∓ >9?
(2.7)
(2.8)
É fácil deduzirmos que K = 0 resulta em 2 sistemas desacoplados independentes com
somente dois pólos distintos, como nós podemos observar através das figuras 2.1a e 2.1b.
Figura 2.2a Diagrama de pólos (K = 0). [1]
Figura 2.2b Diagrama de pólos (K ≠ 0). [1]
Ainda a partir do sistema linear, nós podemos deduzir também a expressão de
impedância de transferência V2(s) /I(s) do circuito ressonante, equacionada em 2.9:
# ()
*
=
@(1 − *) + (1 − *) + 1AB(1 + *) + (1 + *) + 1C
$()
(2.9)
11
Utilizando-se a notação apresentada e fazendo s = jɷ (a fim de obter-se a curva da
resposta em freqüência) e usando as definições em 2.6, chega-se à equação 2.10:
# (>9)
*
1
>9
>9
= $(>9)
(1 − * ) >9 (9: − 9 + >289) (9: − 9 + >289)
(2.10)
Com a expressão na forma acima, é fácil previrmos a curva de resposta em frequência
do circuito, uma vez que a expressão consiste no produto de quatro fatores: o primeiro é
independente e é, portanto, um fator de escala; o segundo cresce com o inverso da freqüência
e os dois últimos apresentam um comportamento ressonante com seus respectivos picos em
9: e 9: .
Faz-se necessário, neste momento da teoria, uma breve revisão sobre o conceito de fator
de qualidade: O fator de qualidade representa, do ponto de vista físico, a energia armazenada
em um sistema dividido pela energia perdida em cada ciclo de funcionamento.
Para um circuito RLC de segunda ordem, o fator de qualidade Q pode ser relacionado à
razão entre a impedância total e a resistência total do circuito na frequência de ressonância
9D .
No domínio da frequência, um circuito genérico apresenta função de transferência que
pode ser escrito em função do fator de qualidade do circuito. Desta forma, é possível verificar
que o fator de qualidade afeta a resposta em frequência do circuito tanto em sua magnitude
quanto em sua oscilação.
O fator de qualidade de componente do indutor é dado por
EF
GH
, onde Rs representa a
resistência em série com a mesma. O fator de qualidade de um capacitor, por sua vez, é
escrito por 9IJ, onde Rp representa a resistência em paralelo com a capacitância.
Em seguida, retomando a atenção para a equação 2.10, introduziremos, nesta expressão,
os fatores de qualidade:
ω01 C
1
=
7Q 01 =
G
LGω01 (1+k)<
1
6 Q = ω02 C =
5 02
G
LGω02 (1+k)
(2.11)
(2.12)
12
Como o objetivo do projeto é trabalhar com valores de K o quanto menores, pode-se
O: ≈ O: =
fazer a aproximação seguinte:
ω0 Q
onde: 9: =
R
=
1
√
G
ω0 F
(2.13)
(2.14)
Uma vez que trabalharemos na banda 0 ≤ 9 ≤ 29: , adotaremos a noção de desvio
9 = 9: (1 + )
de freqüência[1]:
(2.15)
para: − 1 ≤ ≤ 1
(2.16)
Em seguida, a partir de 2.6, podemos escrever as equações de 9: e 9: na forma
seguinte:
9: =
9: =
9:
(1 + *)
(2.17)
9:
(1 − *)
(2.18)
Ao substituirmos as equações 2.15, 2.17 e 2.18 na equação 2.10 da resposta em
freqüência, chegamos à equação 2.19:
#2(>)
−>*O: I
=
$(>)
1 − O: (4 − * ) + >4O: (2.19)
Maximizando-se o valor da expressão acima em função de , deduzimos a existência de
2 pontos de máximo caso >
crítico [2].
\]
. Chamaremos o fator
\]
de coeficiente de acoplamento
13
Analisaremos a seguir os três tipos de regimes distintos. É válido atentarmos que toda
análise feita em seguida assume que o fator de qualidade é grande o suficiente para que
alguma dinâmica possa ser observada antes do fim da curva estabelecida.
Acoplamento subcrítico: Ocorre quando o coeficiente de acoplamento é inferior ao
coeficiente crítico (0 < K < Kcrítico). A tensão de saída oscila e cresce até um pico e, em
seguida, decresce até atingir um valor nulo. A curva de resposta apresenta apenas um ponto
máximo (em = 0 ou 9 = 9: ). A tensão de saída transmissão de potência acontece com
baixa eficiência, visto que o primário não emite fluxo suficiente para que a energia seja
absorvida pelo secundário antes que ocorra a dissipação da mesma neste lado do circuito.
Acoplamento crítico: Ocorre para K = Kcrítico. A curva de resposta continua a apresentar
apenas um ponto de máximo, mas o pico é bem menor. É importante sabermos que o pico não
representa o valor de máxima tensão para um pulso no domínio do tempo. O pico nos
explicita que a freqüência no qual o mesmo ocorre corresponde à freqüência de ressonância
dada em um circuito ressonante em que as impedâncias estão perfeitamente casadas. A
transmissão é máxima e as perdas são mínimas, mas a construção de um sistema com
coeficiente de acoplamento K preciso é muito difícil de ser feita. Essa dificuldade será
abordada ulteriormente neste trabalho.
Acoplamento supercrítico: Ocorre para Kcrítico < K < 1. A resposta em freqüência
apresenta 2 pontos de máximo e a transmissão de um lado ao outro é satisfatória. Os picos
representam a transferência do primário para o secundário e vice-versa. Os desvios em
freqüência máximos são dados a partir da equação 2.20:
, = ∓
1
1
/* − 2
O:
(2.20)
O estudo da teoria de acoplamento realizado neste capítulo nos permitiu concluir que o
coeficiente de acoplamento, K, é o fator mais importante para se determinar a operação de um
modelo de acoplamento ressonante, uma vez que sua magnitude relativamente à magnitude do
coeficiente de acoplamento crítica caracteriza a eficiência da transmissão de energia a ser
efetuada.
14
3.0 CO
CEPÇÃO DO CIRCUITO E SIMULAÇÕES
Após a conclusão da revisão bibliográfica, notou-se que os objetivos estipulados
dependeriam da correta concepção e desenvolvimento do circuito e, em seguida, da simulação
do circuito idealizado e adotado.
A análise da teoria de indutância mútua [1] nos permitiu a tomada do circuito
mostrado na figura 3.1 como base:
Figura 3.1 Modelo inicial de circuito
É importante atentarmos que a concepção de um circuito próprio foge aos objetivos do
trabalho. Portanto, o modelo conforme mostrado na figura 3.1 foi adotado como base inicial
para o experimento.
Como pode ser visto na figura 3.1, o modelo encontrado durante a revisão bibliográfica
utiliza uma fonte de corrente de 1mA.
Algumas modificações foram feitas no modelo inicial. A fonte de corrente foi
substituída por uma fonte de tensão, devido à facilidade de uso e de manipulação. A
substituição possibilitou a utilização do módulo gerador de ondas existente no laboratório
LISA.
É válido ressaltarmos que algumas dificuldades foram encontradas ao dar-se início à
simulação do circuito, principalmente no que é referente à fonte de energia do primário do
circuito. É possível observarmos que a bobina recebe uma corrente proveniente da fonte e
uma corrente proveniente do acúmulo de carga no capacitor. Em um instante qualquer, é
notável a variação da quantidade de energia fornecida à bobina primária, visto que a troca de
energia neste lado do circuito é intermitente. Desta forma, deve-se trabalhar de forma tal que a
energização do sistema seja feita em um tempo t inferior ao tempo de descarga do capacitor.
15
É neste contexto que se conclui que a utilização de trens de pulso é a solução ideal para
tal impasse. Ela nos permite calcular de maneira mais confiável a energia existente no
primário do circuito para a transmissão e evita o problema causado pela descarga do capacitor
durante um período de tempo no qual ocorre, simultaneamente, o fornecimento de energia a
partir da fonte de tensão.
O controle do sistema pode também ser efetuado a partir da utilização de transistores e
de contadores e tal controle representa outra solução para a resolução do problema relativo à
não estabilização do processo de troca de energia entre a bobina existente no primário e o
restante do circuito.
As ordens de grandezas dos elementos R, L e C existentes no circuito podem variar
dentro de um enorme intervalo. Para a simulação teórica, os dados apresentados no modelo
inicial, conforme figura 3.1 são satisfatórios. No entanto, tendo em vista a inviabilidade de
utilização de tais ordens de grandeza no laboratório, recorreu-se à utilização do teorema de
normalização de frequência e impedância de circuitos: [2]
Seja dado um circuito com fonte de tensão ou corrente alternada A que apresenta
resistência Ra, indutância La e capacitância Ca, um novo circuito B, oscilando em mesma
frequência, poderá ser obtido a partir do circuito A, uma vez que as modificações
apresentadas a partir das equações 3.1, 3.2 e 3.3 sejam colocadas em práticas:
I^ = 1 _ I`
^ = 1 _ 2 _ `
^ =
2
_ `
1
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Procedeu-se de maneira a baixar a resistência do circuito a 100kΩ, o que, de acordo
com a equação 3.1, nos fornece um valor de K1 igual a 0,2. Em seguida, mediu-se a
indutância da bobina construída (a descrição de tal fase do experimento será descrita no
capítulo 4.0 deste trabalho) e constatou-se o valor de 3,2mH, o que nos permitiu o cálculo de
K2 a partir da equação 3.2 (neste caso, K2 é igual a 500). Conseqüentemente, o valor da nova
capacitância do circuito corresponde a 17,25nF.
Devido à inexistência de tal capacitância no laboratório LISA, optou-se pela utilização
de 3 capacitores de 6,8 nF em paralelo, o que resultou em uma capacitância total de 20,4nF.
16
O novo circuito é representado na figura 3.2 abaixo:
Figura 3.2 Modelo representativo do novo circuito. [PSPice]
Como mencionado no capítulo 2, o coeficiente de acoplamento K é função da
distância entre as duas bobinas.
Após a modelagem das bobinas, ajustou-se a distância entre as mesmas para a obtenção
de certos coeficientes de acoplamento.
Estes valores de coeficientes obtidos foram utilizados para as simulações efetuadas no
software OrCAD / PSpice.
Antes da análise da simulação, calculou-se os valores do coeficiente de acoplamento
crítico, bem como os valores correspondentes às freqüências de ressonância. Os resultados
são sintetizados na tabela 3.1
Tabela 3.1 Variáveis acoplamento crítico.
Variável
Coeficiente crítico
Freqüência crítica
1
O:
Equações utilizadas
Resultado
9:
2a
0,00396
=
19,7kHz
(2.20)
Freqüência supercrítica
* = 0,008645
(2.15)
19,6kHz e 19,8kHz
17
3.1
SIMULAÇÃO I
Na figura 3.3, observa-se a existência de uma única freqüência de ressonância. Esta
apresenta magnitude da ordem de 19,5 KHz. É interessante atentarmos que a transmissão
conforme a simulação acima nos mostra é de baixa qualidade, haja vista a diferença entre os
picos de tensão obtidos nos circuitos secundários e primários. O resultado obtido está
nitidamente em acordo com a análise feita no capítulo precedente para acoplamento
subcrítico.
Figura 3.3 Simulação nº 1 (V x kHz) – K subcrítico: 0,0004390. [PSpice]
De maneira semelhante ao que foi observado na simulação número 1, continuamos a
observar, na figura 3.4, a existência de apenas uma freqüência de ressonância. No entanto, o
aumento no coeficiente de acoplamento resultou uma melhoria na qualidade da transmissão
de energia entre os 2 circuitos, haja visto que a diferença entre os valores de tensão de pico
referentes aos circuitos primário e secundário diminuiu frente ao que fora obtido na primeira
simulação.
18
Figura 3.4 Simulação nº 2 (V x kHz) - K subcrítico: 0,0018915. [PSpice]
Os mesmos comentários podem ser tecidos para a terceira simulação efetuada, uma vez
que o coeficiente de acoplamento utilizado continua inferior ao coeficiente crítico calculado.
Os valores de tensão obtidos podem ser observados na figura 3.5.
Figura 3.5 Simulação nº 3 (V x kHz) – K subcrítico: 0,002057. [PSpice]
Na figura 3.6, observa-se que o coeficiente de acoplamento é superior ao coeficiente
crítico calculado. Como havia sido previsto no capítulo 2.0, a existência de um mínimo de
19
tensão e de dois picos simétricos pode ser vista. A simetria decorre do fato de o fator de
qualidade das duas bobinas serem idênticos. Os dois picos representam a transmissão de
energia do primário para o secundário e a transmissão inversa do secundário para o primário.
Além disto, as freqüências de ressonância encontradas na simulação (19,6 kHz e 19,9
kHz) são bastante próximas das freqüências calculadas no estudo teórico: 19,6kHz e 19,8kHz.
O resultado das simulações realizadas mostrou-se satisfatório, uma vez que a relação
existente entre as tensões no secundário e no primário permite a teórica obtenção de uma alta
eficiência na transmissão de energia.
Figura 3.6 Simulação nº 4 (V x kHz) – K supercrítico: 0,008645. [PSpice]
Na figura 3.7, é possível observarmos a transferência de potência entre as duas
bobinas.
Figura 3.7 Simulação nº 5 (W x kHz) – Análise de Potências. [PSpice]
20
Apesar dos baixos valores de potência obtidos, a simulação está de acordo com os
objetivos do projeto. A partir das curvas obtidas, confirmou-se o cálculo dos coeficientes de
acoplamento obtidos a partir da teoria, conforme mostrado anteriormente.
Decidiu-se, portanto, que o estudo teórico efetuado propiciou o conhecimento
necessário para o início do procedimento experimental no laboratório.
3.2 SIMULAÇÃO II
Uma vez iniciado o procedimento experimental, deparou-se com um grande problema:
a inexistência de uma fonte de tensão da ordem de 100 V para a qual fosse possível a escolha
da freqüência a ser utilizada. Logo, tornava-se inviável a escolha da freqüência de ressonância
para a fonte de tensão escolhida durante a concepção do circuito.
A equipe foi obrigada a baixar a fonte de tensão a 5 V, mesmo sabendo-se que o valor
de potência transferida seria demasiadamente baixo. No entanto, a eficiência da transmissão
entre o primário e o secundário poderia continuar a ser estudada na prática.
Na figura 3.8, observou-se a transferência de potência entre o primário e o secundário
do circuito para o coeficiente de acoplamento supercrítico encontrado. É possível notar que a
magnitude das potências transferidas é muito baixa. No entanto, a eficiência de transmissão,
objetivo principal do procedimento experimental, continua aceitável.
Figura 3.8 Simulação nº 6 (mW x kHz) – Análise de Potências II. [PSPice]
21
Nas figuras 3.9 e 3.10, mediu-se os valores de corrente e de potência na resistência
primária do circuito. Observa-se que a corrente, bem como a potência na mesma são muito
baixas. Isto significa que praticamente toda a energia da fonte de 5 V é passada para a bobina.
Desta forma, deu-se início ao procedimento experimental, conforme será descrito
posteriormente.
Figura 3.9 Simulação nº 7 – Potência na resistência primária. [PSpice]
Figura 3.10 Simulação nº 8 – Tensão e corrente na resistência primária. [PSpice]
22
4.0 MODELAGEM DAS BOBI
AS
Neste capítulo serão abordados os métodos encontrados na literatura para a
determinação da indutância referente à bobina construída manualmente.
Após a conclusão do estudo bibliográfico, iniciou-se a fase de construção das bobinas
que seriam utilizadas na realização do experimento. Antes de descrever o procedimento
realizado para a construção das bobinas, é importante conhecermos como estimar o valor das
indutâncias a partir das suas dimensões.
Como será discuto posteriormente, nossas bobinas não são cilindros perfeitos, mas
aproximam-se de troncos de cone. Serão apresentadas quatro metodologias diferentes para a
estimativa das indutâncias[8],[9]. Estas serão obtidas a partir das seguintes dimensões do
dispositivo:
(i)
r1: raio interno
(ii)
r2: raio externo
(iii)
a: raio médio
(iv)
b: comprimento das bobinas
(v)
N: número de fios
(vi)
w: diferença entre os raios
(vii)
ϴ: ângulo interno
Figura 4.1 Aproximação cilíndrica de uma bobina. [1]
23
A figura 4.1 explicita as considerações feitas para a aproximação cilíndrica da bobina,
ao passo que a figura 4.2 apresenta o modelo real de uma bobina.
Figura 4.2 Modelo real de uma bobina. [1]
A tabela 4.1 sintetiza todas as medidas realizadas na bobina construída. É válido
ressaltarmos que devido ao curto período de tempo existente para a realização do
experimento, bem como à complexidade da teoria envolvida, a equipe optou por construir
uma bobina sem a preocupação com o valor exato da indutância a ser obtido, haja visto a
imprecisão evidente. O interesse girou em torno da ordem de grandeza da mesma.
Desta forma, utilizou-se os modelos que serão mostrados a seguir para estimar a ordem
de grandeza da indutância e verificar a viabilidade de sucesso do experimento. Em seguida,
mediu-se a indutância através de um multímetro digital e comparou-se o valor medido com o
valor encontrado a partir dos métodos aqui descritos. Conforme explicitado no capítulo
precedente, fez-se o uso do teorema de normalização de freqüência e impedância [2] para a
adaptação do circuito elétrico concebido para o experimento.
Tabela 4.1 Medidas obtidas para as bobinas construídas
r1
r2
a
b
l
ϴ
(205,0 ∓ 0,5)ee
(180,0 ∓ 0,5)ee
(190,0 ∓ 0,5)ee
(150,0 ∓ 0,5)ee
(88 ∓ 1) ghijk`eghj
(200 ∓ 0,7)ee
(82 ∓ 1)°
24
4.1 MODELO DE UM SOLE
ÓIDE EXTE
SO
Este modelo corresponde a uma relação direta da lei de Ampère e assume que o campo
magnético dentro da bobina é constante. Além disto, considera-se ainda que a bobina seja um
solenóide cilíndrico uniforme. Estas aproximações serão discutidas posteriormente.
Os cálculos exigidos para chegar à equação 3.1 fogem ao escopo e aos objetivos do
trabalho e não serão apresentados. No entanto, eles estão demonstrados na referência
bibliográfica [1].
jkghóg =
paq `
)r+
^
(4.1)
Para que a equação 4.1 seja válida, o valor de b deve ser superior a oito vezes o valor
de a. Tal fato inviabilizou a utilização deste modelo para o experimento efetuado, uma vez
que as dimensões das bobinas construídas não satisfazem a condição desejada.
4.2 FÓRMULA DE WHEELER
Uma outra forma de calcular a indutância de um solenóide cilíndrico uniforme é a
fórmula de Wheeler, mostrada na equação 4.2. Esta é uma equação empírica, constantemente
empregada para a concepção de bobinas de radiofrequência e é útil para o cálculo de bobinas
mais curtas.
É preciso salientar que a e b são expressos em polegadas e que a quantidade de fios
superpostos no solenóide não deve ser superior a 200. O método é válido para bobinas com a
dimensão b superior a 0,8a. Tal exigência está de acordo com as dimensões das bobinas
construídas e, desta forma, ela poderá ser empregada para prever o valor da indutância.
jkghóg = vuw:x )yr+
s t ut
A partir da equação acima, obtemos = 3,50er ∓ 0,1.
(4.2)
25
4.3 MÉTODO DO I
DUTOR EM FORMA DE TRO
CO DE CO
E
Este método consiste em uma equação que se mostra mais precisa para o cálculo de
nossas bobinas, pois, conforme será descrito em seguida, essas foram construídas com base
em um tronco de cone, o que faz com que elas possuam um formato aproximadamente cônico.
Ainda que os raios das duas extremidades sejam bastante próximos, foi constatado que esta
equação fornece resultados mais precisos do que os outros métodos descritos neste trabalho.
q ² `
_ =
9` + 10^
} =
q ² `
8` + 11~
= ((_gh) + (}€j) ) )yr+
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Nas equações 4.3, 4.4 e 4.5, é válido atentarmos novamente que a, b e w são dados em
polegadas (1 polegada equivale a aproximadamente 2,54cm).
A partir da equação acima, obtemos = 3,42er ∓ 0,08, o que é ainda mais próximo
do valor medido após a construção das bobinas. Isto comprova que nossas bobinas são,
efetivamente, troncos de cone.
A modelização da bobina conforme este método permite que um valor
consideravelmente preciso de indutância seja obtido a partir da manipulação dos parâmetros
apresentados.
4.4 CO
CEPÇÃO FÍSICA DAS BOBI
AS
A estimativa do valor da bobina que seria encontrada a partir dos métodos
demonstrados nos permitiu ter uma ordem de grandeza de todos os dispositivos do circuito,
uma vez que se fez o uso do teorema de normalização (ver capítulo 3.0) para adequar o
modelo inicial adotado às condições de realização do experimento, sem alterar a frequência
natural de oscilação do sistema. Os resultados obtidos na seção anterior e a existência de
dispositivos com ordens de grandeza próximas aos valores obtidos em nossos cálculos
26
permitiram que a construção das bobinas fosse efetuada.
Para a construção das duas bobinas, utilizou-se 200 m de fio de cobre de secção
correspondente a 2,5 mm². Como suporte auxiliar, optou-se por um tronco de cone de raio
conhecido (200 mm de base). Enrolou-se os fios em volta dos troncos de cone, de forma que
tal que 100 m de fio foram utilizados para cada bobina. Estimou-se 88 voltas em torno do
suporte em cada bobina. Em seguida, adicionou-se uma superfície de papelão no interior de
cada bobina, de forma a poder retirar o suporte auxiliar sem deformá-las. Por fim, placas
metálicas e fita adesiva foram utilizadas para adicionar sustentação às mesmas.
Uma fotografia da bobina pode ser vista na figura 4.3.
Figura 4.3 Fotografia da bobina real utilizada no experimento. [Arquivo Pessoal]
bobina A apresentou ` = (3,35 ∓ 0,5) er. A bobina B apresentou ^ = (3,23 ∓ 0,5)er.
Em seguida, fez-se uso de um multímetro para a medição dos valores de indutância. A
Os resultados encontrados na medição a partir do multímetro foram bastante satisfatórios, haja
vista o erro da ordem de 3% comparativamente aos valores obtidos na teoria. É possível
trabalharmos como se as indutâncias fossem as mesmas, uma vez que trabalha-se com o
= (3,29 ∓ 0,5) er. Este valor será adotado em todos os nossos cálculos.
intervalo de incertitude apresentado. Desta forma, utilizaremos uma indutância média de
27
4.5 CO
SIDERAÇÕES ESPECIAIS
Conforme mencionado anteriormente, as bobinas construídas apresentaram valores
muito próximos dos valores previstos pelo método do indutor em forma de tronco de cone.
No entanto, sabe-se que uma verdadeira bobina apresenta também valores de
capacitância e de resistência intrínsecos, embora estes sejam de pequena magnitude. É
possível haver a existência de uma diferença de potencial entre dois fios adjacentes de uma
bobina. Estes são afetados pelo campo elétrico do fio vizinho, o que faz com que eles se
comportem como placas de um capacitor. Qualquer mudança de tensão na bobina deve
ocasionar a carga e descarrega destas pequenas capacitâncias.
O modelo real de uma bobina pode ser visto na figura 4.4.
Figura 4.4 Modelo real de uma bobina. [1]
Como o intuito do experimento aqui descrito é trabalhar no domínio das baixas
frequências, a tensão nos capacitores parasitas não varia rapidamente, ou seja, a corrente
adicional é muito pequena. Além disto, esta capacitância parasita pode ser negligenciada, uma
vez que o circuito conforme mostrado no capítulo 3 deste trabalho apresenta uma capacitância
relativamente alta. Desta forma, assumimos que tais capacitâncias em nada influenciam no
experimento.
De maneira semelhante, assume-se que a resistência parasita também pode ser
negligenciada, tendo em vista a resistência da ordem de 100kΩ existente em paralelo.
28
4.6 ACOPLAME
TO E
TRE DUAS BOBI
AS PLA
AS
Sejam duas bobinas planas circulares idênticas de raio R. Estas se posicionam de
forma coaxial e afastadas de uma distância D, conforme mostrado na figura 4.5. A bobina a
esquerda é a bobina emissora de campo magnético e, logo, temos a bobina receptora a direita.
Supondo D >> R e D ≈ D’, é possível verificarmos que em um caso limite no qual R =
0,2m, D = 0,8m e D’ = 0,825m, esta diferença não interfere de forma decisiva no resultado
final, tendo em vista a existência de outros fatores que nós não podemos controlar.
Procederemos de maneira a calcular o campo no eixo da bobina e a determinar as
indutâncias próprias e mútuas[3]. Em seguida, calcularemos o coeficiente de acoplamento.
Figura 4.5 Esquema acoplamento magnético
p: $k „
 =
× ƒ
4a ‚
i
Aplica-se a lei de Biot-Savart:
(4.6)
A corrente I na bobina emissora produz um fluxo que excita a bobina receptora. Este
fluxo é calculado conforme a equação 4.7:
 ≈
p: $k
4a ‚
(4.7)
A indução no eixo x pode ser obtida por projeção (conforme mostram as equações 4.8,
4.9 e 4.10):
29
… ≈
… ≈
p: $k I
4a ‚ ‚
p: $k I
$p: I †
k
=
4a ‚ ‚
2 ‚3
I
r… = $ 0 3 2
2‚
(4.8)
(4.9)
(4.10)
É válido atentarmos para o fato de que o campo axial decresce fortemente em função
da distância (vide equação 4.10).
equação 4.11.
O fluxo magnético na bobina a direita é dado pela
∅ = qr… aI p:
(4.11)
Da definição de indutância mútua (equação 4.12) e das equações 4.10 e 4.11, é
possível deduzirmos o valor da indutância mútua em 4.13:
=
∅
$ˆ…‰Š‹uçãŽ
(4.12)
I4
= q p: a 3
2‚
(4.13)
Como as duas bobinas são idênticas, elas possuem a mesma indutância própria L. O
coeficiente de acoplamento pode ser dado pela equação 4.14:
*=
√12
=
(4.14)
Com a equação 4.12 em mãos e sabendo-se que o valor de R corresponde a 0,18 cm,
foi possível construir o gráfico teórico do coeficiente de acoplamento em função da distância
(K x D). A derivada da curva de regressão montada nos permite obter o valor da sensibilidade
do coeficiente de acoplamento relativamente à distância. A curva será mostrada no capítulo
seguinte.
30
5.0 COEFICIE
TE DE ACOPLAME
TO
Neste capítulo, abordaremos o procedimento utilizado para calcular o coeficiente de
acoplamento existente entre as duas bobinas. Para o cálculo, serviu-se do software MATLAB
e da equação 4.13.
Após a construção das bobinas (conforme descrito no capítulo precedente), o passo
seguinte correspondeu ao cálculo experimental da indutância mútua e do coeficiente de
acoplamento entre as mesmas.
Logo, construiu-se no laboratório LISA o circuito que pode ser representado pela
figura 5.1.
Figura 5.1 Esquema montado em laboratório.
Conectou-se um amperímetro ao circuito primário e um osciloscópio ao circuito
secundário para verificar as respectivas correntes e tensões eficazes. Alimentou-se a bobina
por uma fonte de tensão variável de 50Hz. Em seguida, variou-se a distância entre as duas
bobinas e, a cada distância, variou-se a tensão de alimentação.
Uma fotografia do experimento pode ser vista na figura 5.2.
31
Figura 5.2 Medições efetuadas no laboratório. [Arquivo Pessoal]
A partir das medidas obtidas, tornou-se possível a realização de uma regressão linear
entre a tensão de saída e a corrente de entrada, a fim de efetuar o cálculo da indutância mútua
entre as bobinas para cada distância. Para isto, as equações 5.1 foi útil:
=
#
)yr+
9$J
(5.1)
Uma vez obtida a indutância mútua M, o coeficiente de acoplamento, por sua vez,
pode ser obtido a partir da equação 4.13.
No laboratório, a bobina foi alimentada diretamente pela fonte a uma tensão variando
entre 0 e 20 V. A distância entre as duas bobinas variou entre 0,8m e 1,2m.
A tabela 5.1 sintetiza os dados coletados a uma distância de 0,8m. É essencial
relembrarmos que estes dados foram colocados para cada uma das 5 distâncias (de 0,8m a
1,2m, com um passo de 0,1m).
32
Tabela 5.1 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 0,8m.
A partir dos valores mostrados na tabela 5.1, foi viável traçar em MATLAB a curva da
tensão de saída em função da corrente de entrada (Figura 5.3).
Figura 5.3 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 0,8m. [MATLAB]
33
O coeficiente angular da reta traçada na figura 5.3 nos indica que a indutância mútua
para D = 0,8m equivale a 0,027665. O valor do coeficiente de acoplamento K, por sua vez,
corresponde a 0,008645.
Tabela 5.2 Valores de tensão e corrente coletados para uma distância D = 1,2m.
A tabela 5.2 sintetiza as mesmas medidas (corrente de entrada e tensão de saída) para
uma distância entre as bobinas D de 1,2m
Figura 5.4 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB]
34
De maneira idêntica, o gráfico mostrado na figura 5.4 nos permite calcular os valores
de M e K para D = 1,2 m: M = 0,006053 e K = 0,001892.
É perceptível que o valor de K decresce conforme a distância entre as duas bobinas
aumenta. A conclusão é lógica e intuitiva, visto que a perda do fluxo magnético é maior
quando as bobinas estão mais afastadas uma da outra.
É importante ressaltarmos que o objetivo em questão não é obter-se o maior valor de
K possível, mas sim a relação que melhor descreve o comportamento de K em função da
distância.
É a partir desta relação que se pretende encontrar a distância para a qual corresponderá
o coeficiente de acoplamento crítico (rever capítulo 2.0). Desta maneira, construiu-se uma
nova curva com os valores de K em função das distâncias D (figura 5.5).
Figura 5.5 Gráfico do coeficiente de acoplamento K em função da distância D. [MATLAB]
A partir da figura 5.5, é possível calcular a sensibilidade de K em relação a D (equação
5.2):
=
*(‚)
= −0,01726
‚
(5.1)
35
O resultado encontrado na equação 5.2 nos mostra que o coeficiente de acoplamento é
muito sensível à distância, o que nos indica que é experimentalmente muito difícil encontrar o
ponto de ressonância.
Em seguida, ainda sob análise do gráfico mostrado na figura 5.5, extraiu-se a distância
para a qual corresponde o K crítico (0,00396, conforme calculado no capítulo 3.0): 1 metro.
Logo, assumiremos que a distância crítica para o acoplamento em questão corresponde a 1
metro. As bobinas deverão estar distanciadas de 1 metro para que a transferência de energia
do primário ao secundário seja maximizada.
É válido ressaltarmos que, nesta monografia, assumiu-se a hipótese de que as
indutâncias são idênticas. Desta forma, decidiu-se testar se ambas respondem de maneira
idêntica ao campo magnético produzido pela corrente no circuito primário.
Para isto, mediu-se os valores de tensão e corrente na distância de 1m e, em seguida,
inverteu-se a posição das duas bobinas. Com os dados obtidos, procedeu-se de maneira a
efetuar uma análise da variância entre as tensões das bobinas na condição de bobina
secundária, i.e, quando a mesma não se encontrava diretamente alimentada pela fonte.
Com este teste, foi possível demonstrar que as duas variáveis são semelhantes,
conforme figura 5.6, o que significa que as duas bobinas respondem de forma semelhante
quando excitadas por um mesmo campo magnético. Desta forma, a escolha de qual bobina
corresponderá à primária e qual corresponderá à bobina do circuito secundário não afetará o
resultado final do experimento.
Figura 5.6 Gráfico Vsaída x Ientrada para d = 1,2m. [MATLAB]
36
6.0 PROCEDIME
TO EXPERIME
TAL
Neste capítulo, não apenas será descrito o procedimento experimental final efetuado,
mas também os resultados que puderam ser obtidos a partir do mesmo.
6.1 MATERIAL UTILIZADO
i.
1 Gerador de onda;
ii.
1 Osciloscópio digital;
iii.
1 Voltímetro 0 – 500V;
iv.
1 Multímetro digital;
v.
2 Bobinas de 3,2mH construídas durante o projeto;
vi.
4 Capacitores de 10nF (utilizadas duas a duas em paralelo);
vii.
2 Resistências de 100kΩ;
O circuito montado durante o procedimento experimental é mostrado na figura 6.1
6.2 REALIZAÇÃO PRÁTICA DO CIRCUITO
Figura 6.1 Circuito efetivamente montado no laboratório. [PSpice]
O gerador de onda do laboratório LISA foi ajustado em 5 V e conectado ao terminais
da resistência e das capacitâncias colocadas em paralelo. As bobinas, por sua vez, foram
conectadas aos terminais dos capacitores.
37
Utilizou-se fita adesiva como forma de melhor ajustar as bobinas na mesa do
laboratório, para que as medições realizadas em dias diferentes ocasionasse o mínimo de
distorções possíveis, haja visto que o posicionamento e acoplamento das bobinas é crucial
para a obtenção de resultados satisfatórios. É válido destacar que as bobinas estavam
inicialmente distanciadas de 1 metro (conforme resultado encontrado no capítulo 5.0).
Mediu-se o valor de corrente eficaz na bobina primária e o valor de corrente eficaz na
bobina secundária, a partir do osciloscópio digital.
Em seguida, anotou-se o valor de tensão nos terminais da resistência do secundário.
Na segunda parte do experimento, introduziu-se materiais entre as duas bobinas e
observou como tal ato afetou as grandezas medidas. De início, introduziu-se duas caixas de
papelão (material não ferromagnético) entre as indutâncias e, em seguida, uma placa de ferro
foi colocada (material ferromagnético).
6.3 A
ÁLISE DE RESULTADOS OBTIDOS
Conforme explicado anteriormente, a fonte de energia do sistema precisou ser trocada
de 100 V para 5 V, de forma tal que viabilizasse a escolha da freqüência do sinal de entrada.
A construção de um circuito de comando seria a solução ideal para o trabalho pretendido. No
entanto, o pouco tempo disponível para a realização do experimento e o foco do projeto em
questão inviabilizaram tal prática.
Os resultados obtidos e sintetizados na tabela 6.1 foram considerados satisfatórios.
Tabela 6.1 Resultados obtidos
Tensão (mV)
Corrente(mA)
Potência (uW)
Primário
309
56
17304
Secundário
240
45
10800
Observa-se, na tabela 6.1, que um rendimento da ordem de 62% fora obtido para o
experimento realizado. Embora a simulação realizada sugira um rendimento teórico da ordem
de 85%, é facilmente compreensível que a manipulação do dispositivo e do experimento
possua inúmeros fatores que contribuam para a diminuição da eficiência da transmissão:
(i)
A construção das bobinas feita de forma manual pode ser fonte da diminuição
do rendimento, tendo em vista que elas não são 100% idênticas, embora a
38
análise de variância efetuada nos mostre que o resultado final não seria
alterado caso invertêssemos o posicionamento dos dois troncos de cone;
(ii)
O alinhamento entre as duas bobinas é perfeito na teoria. No entanto, dadas as
condições existentes para a realização do experimento, é impossível a
construção de dois dispositivos que sejam perfeitamente alinhados;
(iii)
As medições foram efetuadas em dias distintos em um período de 1 mês. Neste
intervalo de tempo, inúmeras pessoas transitaram pelo laboratório e não há
garantias de que o circuito foi mantido intacto;
(iv)
A pouca experiência inerente aos estudantes responsáveis pelo experimento,
comparativamente à experiência de pesquisadores do MIT ou da IBM, o que
explicita a susceptibilidade de diversos erros experimentais.
A figura 6.2 corresponde a uma fotografia do experimento realizado.
Figura 6.2 – Fotografia do circuito montado no laboratório LISA. [Arquivo Pessoal]
O circuito inicial montado apresentava um distanciamento de 1 m entre as duas
bobinas construídas. No entanto, durante a realização do experimento, as bobinas foram
colocadas em diversas distâncias. Como explicado na teoria, o coeficiente de acoplamento
varia com o cubo da distância. Portanto, o mesmo é bastante sensível ao afastamento e
aproximação das bobinas.
Apesar de a metodologia adotada, conforme descrito no capítulo 5, para a obtenção da
distância cujo rendimento da transmissão é máximo ser bastante confiável, o rendimento
39
máximo, na prática, foi obtido para um distanciamento de 0,9 m entre as duas bobinas. O
resultado, no entanto, é bastante próximo daquele encontrado na teoria (1 metro). A
discrepância se deve, principalmente, ao fato de as medições efetuadas para a obtenção do
acoplamento máximo terem sido realizadas em dias distintos do dia da realização do
experimento. Embora o cuidado empregado, tais valores são muito sensíveis a qualquer
mudança no posicionamento dos indutores.
A introdução de materiais distintos entre os troncos de cone construídos apresentou os
resultados sintetizados na tabela 6.2.
Tabela 6.2 Resultados obtidos com a introdução de materiais.
Tipo de Obstrução
Sem Obstrução
Obstrução não
ferromagnética
Obstrução
ferromagnética
Tensão na bobina emissora Tensão na bobina receptora Eficiência alcançada
309mV
240mV
62%
308mV
240mV
62%
299mV
210mV
49%
As figuras 6.3 e 6.4 são fotografias tiradas no instante em que os materiais foram introduzidos
no espaço existente entre as indutâncias do circuito.
Figura 6.3 Fotografia do circuito – Introdução material não ferromagnético. [Arquivo Pessoal]
40
Figura 6.4 Fotografia do circuito – Introdução material ferromagnético. [Arquivo Pessoal]
É interessante observarmos que a introdução de um material não ferromagnético em
nada alterou os valores de tensão e corrente medidos no primário e no secundário do circuito.
No entanto, o mesmo não pode ser dito para um material ferromagnético, pois a indução de
corrente elétrica neste material ocasiona uma perda de 13% (conforme tabela 6.2) no
rendimento do experimento.
Tal constatação é importante, pois materiais ferromagnéticos podem constituir uma
barreira em diversas aplicações reais da tecnologia fundamentada no modelo aqui descrito.
41
7.0 CO
CLUSÕES
Abordou-se
os experimentos realizados ao longo da história envolvendo a transmissão
de energia entre dois pontos sem o intermédio de um condutor físico entre os mesmos, bem
como as principais técnicas existentes para tal realização.
Em seguida, aplicou-se as leis de circuito a um circuito RLC que apresenta duas
bobinas acopladas magneticamente. Isto permitiu a revisão e consolidação dos conhecimentos
de circuitos elétricos adquiridos ao longo da graduação, bem como a compreensão da teoria
de acoplamento indutivo ressonante. Analisou-se as diversas formas de acoplamento e foi
possível caracterizá-las a partir do coeficiente de acoplamento.
Estudou-se alguns modelos existentes que auxiliam na construção de bobinas e
evidenciou-se a conformidade de um modelo escolhido a partir da medição da indutância da
bobina construída na prática.
A partir da revisão das leis de eletromagnetismo abordadas durante o curso de
engenharia elétrica, compreendeu-se a equação que fornece a indutância mútua entre duas
bobinas.
As simulações realizadas em PSpice permitiram a análise da transferência de potência
entre os circuitos primário e secundário em função do tipo de acoplamento. As simulações
foram realizadas em um circuito elétrico adaptado às características de suprimento de energia
e de valores de indutância das bobinas construídas durante o projeto.
Analisou-se a correlação existente entre o tipo de acoplamento e a distância entre as
duas bobinas acopladas. Testes estatísticos foram realizados para a obtenção da distância
ótima para a transferência de energia, uma vez conhecidos os valores de indutância.
É interessante ressaltar que a utilização desta tecnologia em aplicações práticas muitas
vezes acontece com uma distância pré-determinada, o que obriga a concepção do circuito ser
feita após o conhecimento desta grandeza.
Os resultados experimentais obtidos ao final deste experimento se mostraram
satisfatórios. A obtenção de uma potência próxima da esperada evidenciou a boa compreensão
da teoria descrita nos primeiros capítulos desta tese.
As dificuldades e limitações para a realização de um projeto com este nível de
complexidade, citadas ao decorrer desta monografia, foram muitas. No entanto, pode-se dizer
que os objetivos foram atingidos, não apenas no contexto técnico, mas em todo o contexto
acadêmico e organizacional do projeto: identificação dos riscos envolvidos, cumprimento do
cronograma, etc.
A experiência realizada contribui para o desenvolvimento científico, uma vez que
serve de base para futuras experiências. Nestas, aconselha-se a determinação prévia da
distância e potência a serem obtidas. Desta forma, é possível focar as atenções no controle dos
valores de indutância, indutância mútua e coeficiente de acoplamento para obter resultados
42
mais consistentes com os esperados para a utilização prática da transmissão de energia elétrica
sem fio.
A conclusão da monografia conforme o cronograma elaborado no início do semestre
letivo também representa um motivo de satisfação com o trabalho realizado. Conclui-se,
portanto, que os objetivos gerais, específicos e educacionais foram atingidos.
43
8.0 REFERÊ
CIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ORSINI, L.Q; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol. 2 , 2ª Edição. São
Paulo-SP, Brasil: Ed. Blucher, 2004, 437 p.
[2] STARCK III, Joseph C. “Wireless Power Transmission Utilizing A Phased Array Of
Tesla Coils”, Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, Massachusetts
Institute of Technology. Cambridge, ma, EUA. 2004, 247 p.
[3] HAYT JR., W. H. Eletromagnetismo, 6ª Edição, LTC, 2003, 313 p.
[4] H.A. Haus, “Waves and Fields in Optoelectronics”, Prentice-Hall, 1984, 464 p.
[5] Disponível na URL http://www.wirelesspowerconsortium.com/, acessada no dia 14/09/10.
[6] Disponível na URL http://www.witricity.com/, acessada no dia 14/09/10.
[7] Disponível na URL http://ssi.org/solar-power-satellites/solar-power-satellite-art/, acessada
no dia 14/09/10.
[8] H.A. Wheeler, "Simple Inductance Formulas for Radio Coils," Proc. I.R.E., vol. 16, 1928,
p. 1398-1400.
[9] R. Lundin, "A Handbook Formula for the Inductance of a Single-Layer Circular Coil,"
Proc. IEEE, vol. 73, n. 9, 1985, p. 1428-1429.
[10] Disponível na URL http://www.tfcbooks.com/articles/tws8c.htm, acessada no dia
17/09/2010.