Capı́tulo 30 - Indutância
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: Fı́sica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
8 de novembro de 2011
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente
no mesmo circuito.
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético.
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
Capı́tulo 30 - Indutância
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este capı́tulo você aprenderá:
I Como uma corrente variável em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito à taxa de variação de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magnético.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilações elétricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilações diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Capı́tulo 30 - Indutância
Introdução
1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
Capı́tulo 30 - Indutância
Introdução
1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua.
Capı́tulo 30 - Indutância
Introdução
1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua.
3. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
Capı́tulo 30 - Indutância
Introdução
1. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas é descrita pela indutância mútua.
3. Uma corrente variável em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relação entre a corrente e a fem na propria bobina depende da
indutância(auto-indutância).
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Φ2(1)
=
N1 N2
µ0
(πR12 )I1
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Φ2(1)
=
N1 N2
(πR12 )I1
µ0
L
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Φ2(1)
=
N1 N2
(πR12 )I1
µ0
L
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magnético gerado por essa bobina será:
~2
B
=
~2
B
=
N2
I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2
L
0 k̂
0r > R2
µ0
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magnético gerado por essa bobina será:
~2
B
=
~2
B
=
N2
I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2
L
0 k̂
0r > R2
µ0
Z
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Φ2(1)
=
N1 N2
(πR12 )I1
µ0
L
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Φ1(2)
=
~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 )
B
1
N1
S1
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magnético gerado por essa bobina será:
~2
B
=
~2
B
=
N2
I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2
L
0 k̂
0r > R2
µ0
Z
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
Φ2(1)
=
N1 N2
(πR12 )I1
µ0
L
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Φ1(2)
=
~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 )
B
1
N1
S1
Φ1(2)
=
µ0
N1 N2
(πR12 )I2
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magnético gerado por essa bobina será:
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
~2
B
=
~2
B
=
N2
I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2
L
0 k̂
0r > R2
µ0
Z
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
N1 N2
(πR12 )I1
L
Φ2(1)
=
µ0
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Φ1(2)
=
N1
~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 )
B
1
S1
N1 N2
(πR12 )I2
L
Φ1(2)
=
µ0
Φ1(2)
=
L12 I2
;
L12 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutância Mútua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magnético gerado por essa
bobina será:
~1
B
=
~1
B
=
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magnético gerado por essa bobina será:
N1
I1 k̂ 0 ≤ r ≤ R1
L
0 k̂
0r > R1
µ0
~2
B
=
~2
B
=
N2
I2 k̂ 0 ≤ r ≤ R2
L
0 k̂
0r > R2
µ0
Z
I Seja Φ2(1) → O fluxo magnético
~ 1 sobre as N2 espiras de
produzido por B
2(Não nulo dentro de R1 ).
Z
~ 1 · k̂dS = N2 B1 (πR 2 )
Φ2(1) = N2
B
1
S2
N1 N2
(πR12 )I1
L
Φ2(1)
=
µ0
Φ2(1)
=
L21 I1
;
L21 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
Φ1(2)
=
N1
~ 2 · k̂dS = N1 B2 (πR 2 )
B
1
S1
N1 N2
(πR12 )I2
L
Φ1(2)
=
µ0
Φ1(2)
=
L12 I2
;
L12 = µ0
N1 N2
(πR12 )
L
I Veja que L12 = L21 é a indutância mútua.
I No S.I. a unidade de indutância mútua
1Henry = Wb
.
A
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
S1
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
S1
Φ1(1)
=
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
S1
Φ1(1)
=
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
Φ1(1)
=
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
(πR12 )
L
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
S1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S2
Φ1(1)
=
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
Φ1(1)
=
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
(πR12 )
L
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S1
Φ1(1)
Φ1(1)
=
=
S2
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
L11 I1
;
L11 = µ0
Φ2(2)
N12
L
(πR12 )
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
=
N2
µ0 2 (πR22 )I2
L
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S1
Φ1(1)
Φ1(1)
=
=
S2
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
L
(πR12 )
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
Φ2(2)
=
N2
µ0 2 (πR22 )I2
L
Φ2(2)
=
L22 I2
;
L22 = µ0
N22
(πR22 )
L
I L22 é a auto-indutância da bobina 2.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S1
Φ1(1)
Φ1(1)
=
=
S2
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
L
(πR12 )
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
L1 L2
=
µ20
N12 N22 2 2 2
(π R1 R2 )
L2
Φ2(2)
=
N2
µ0 2 (πR22 )I2
L
Φ2(2)
=
L22 I2
;
L22 = µ0
N22
(πR22 )
L
I L22 é a auto-indutância da bobina 2.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S1
S2
Φ1(1)
=
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
Φ1(1)
=
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
(πR12 )
L
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
L1 L2
=
p
L1 L2
=
N12 N22 2 2 2
(π R1 R2 )
L2
N1 N2
R2
µ0
(πR1 R2 ) = L12
L
R1
µ20
Φ2(2)
=
N2
µ0 2 (πR22 )I2
L
Φ2(2)
=
L22 I2
;
L22 = µ0
N22
(πR22 )
L
I L22 é a auto-indutância da bobina 2.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I A corrente I1 produz campo em 2 e
também em 1 assim:
Z
~ 1 · k̂dS = N1 B1 (πR 2 )
Φ1(1) = N1
B
1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e também em 1 assim:
Z
~ 2 · k̂dS = N2 B2 (πR 2 )
Φ2(2) = N2
B
2
S1
Φ1(1)
Φ1(1)
=
=
S2
N2
µ0 1 (πR12 )I1
L
L11 I1
;
L11 = µ0
N12
L
(πR12 )
I L11 é a auto-indutância da bobina 1.
L1 L2
=
p
L1 L2
=
N12 N22 2 2 2
(π R1 R2 )
L2
N1 N2
R2
µ0
(πR1 R2 ) = L12
L
R1
µ20
Φ2(2)
=
N2
µ0 2 (πR22 )I2
L
Φ2(2)
=
L22 I2
;
L22 = µ0
N22
(πR22 )
L
I L22 é a auto-indutância da bobina 2.
L12
√
L1 L2
L12
√
L1 L2
L12
√
L1 L2
=
=
=
R1
= K < 1 p/R1 < R2
R2
R1
= K = 1 p/R1 = R2
R2
R1
= K > 1 p/R1 > R2
R2
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 então:
Φ1
=
L11 I1 + L12 I2
Φ2
=
L21 I1 + L22 I2
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 então:
Φ1
=
L11 I1 + L12 I2
Φ2
=
L21 I1 + L22 I2
ε1
=
ε2
=
dΦ1
dt
dΦ2
−
dt
−
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 então:
Φ1
=
L11 I1 + L12 I2
Φ2
=
L21 I1 + L22 I2
ε1
=
ε2
=
ε1
=
ε2
=
dΦ1
dt
dΦ2
−
dt
−
dI1
dI2
− L12
dt
dt
dI1
dI2
−L21
− L22
dt
dt
−L11
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 então:
Φ1
=
L11 I1 + L12 I2
Φ2
=
L21 I1 + L22 I2
ε1
=
ε2
=
ε1
=
ε2
=
dΦ1
dt
dΦ2
−
dt
−
dI1
dI2
− L12
dt
dt
dI1
dI2
−L21
− L22
dt
dt
−L11
I Vemos que conhecendo a
auto-indutância, a indutância-mutua
e as correntes sabemos qual será a
fem induzidas em cada bobina.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 então:
Φ1
=
L11 I1 + L12 I2
Φ2
=
L21 I1 + L22 I2
ε1
=
ε2
=
ε1
=
ε2
=
dΦ1
dt
dΦ2
−
dt
−
dI1
dI2
− L12
dt
dt
dI1
dI2
−L21
− L22
dt
dt
−L11
I Vemos que conhecendo a
auto-indutância, a indutância-mutua
e as correntes sabemos qual será a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutância e a
indutância-mutua só depende de
fatores geométricos, ou seja, é
independente das correntes.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
I Iremos supor que a área A é pequena o
suficiente, tal que o campo será constante
nesta superfı́cie.
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
I Iremos supor que a área A é pequena o
suficiente, tal que o campo será constante
nesta superfı́cie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnético é dado por:
B
=
µ0 Ni
2πr
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
I Iremos supor que a área A é pequena o
suficiente, tal que o campo será constante
nesta superfı́cie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnético é dado por:
B
=
ΦB
=
µ0 Ni
2πr
Z
2
~ ·A
~ = NBA = µ0 N iA
N B
2πr
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
I Iremos supor que a área A é pequena o
suficiente, tal que o campo será constante
nesta superfı́cie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnético é dado por:
B
=
ΦB
=
L
=
µ0 Ni
2πr
Z
2
~ ·A
~ = NBA = µ0 N iA
N B
2πr
dΦB
di
Capı́tulo 30 - Indutância
Indutores e Auto-Indutância
Auto-Indutância L de um Solenóide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magnético fica
completamente confinado no seu núcleo de
área A.
I Iremos supor que a área A é pequena o
suficiente, tal que o campo será constante
nesta superfı́cie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magnético é dado por:
B
=
ΦB
=
L
=
L
=
µ0 Ni
2πr
Z
2
~ ·A
~ = NBA = µ0 N iA
N B
2πr
dΦB
di
µ0 N 2 A
2πr
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutância L.
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutância L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
P
=
Vab
=
Vab i
di
L
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutância L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potência em um indutor sera dada por:
P
=
Vab
=
P
=
Vab i
di
L
dt
di
dU
Li
=
dt
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutância L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potência em um indutor sera dada por:
P
=
Vab
=
P
=
dU
=
Vab i
di
L
dt
di
dU
Li
=
dt
dt
di
Pdt = Li dt
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessária para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutância L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A potência em um indutor sera dada por:
P
=
Vab
=
P
=
dU
=
dU
=
U
=
U
=
Vab i
di
L
dt
di
dU
Li
=
dt
dt
di
Pdt = Li dt
dt
Lidi
Z I
L
idi
0
1 2
LI
2
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
I O campo magnético e a energia estão
armazenados em um volume V = 2πrA.
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
I O campo magnético e a energia estão
armazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnética será
dada por:
u
=
u
=
U
V
1 µ0 N 2 A 2 1
I
2 2πr
2πrA
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
I O campo magnético e a energia estão
armazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnética será
dada por:
u
=
u
=
u
=
U
V
1 µ0 N 2 A 2 1
I
2 2πr
2πrA
2
2
1
N I
µ0
2 (2πr )2
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
I O campo magnético e a energia estão
armazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnética será
dada por:
u
=
u
=
u
=
B2
µ20
=
U
V
1 µ0 N 2 A 2 1
I
2 2πr
2πrA
1
N 2 I2
µ0
2 (2πr )2
N 2 I2
(2πr )2
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética
I A energia em um indutor é, na realidade,
armazenada no campo magnético no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia elétrica é
armazenada no campo elétrico no interior
de um capacitor.
I Para um solenóide toroidal ideal temos que:
L
=
U
=
U
=
µ0 N 2 A
2πr
1 2
LI
2
1 µ0 N 2 A 2
I
2 2πr
I O campo magnético e a energia estão
armazenados em um volume V = 2πrA.
I A densidade de energia magnética será
dada por:
U
V
1 µ0 N 2 A 2 1
I
2 2πr
2πrA
N 2 I2
1
µ0
2 (2πr )2
u
=
u
=
u
=
B2
µ20
=
N 2 I2
(2πr )2
u
=
1 B2
2 µ0
Capı́tulo 30 - Indutância
Energia do Campo Magnético
Densidade de Energia Magnética e Elétrica
I A densidade de energia elétrica é dada
por:
I A densidade de energia magnética é dada
por:
u
=
1
0 E 2
2
u
=
1 B2
2 µ0
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0
=
ε − Ri(t) − L
di(t)
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
=
ε − Ri(t)
di(t)
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
=
ε − Ri(t)
di(t)
dt
=
−
1 du(t)
R dt
di(t)
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
=
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
du(t)
u(t)
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
=
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1 ;
L
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
ln[u(t)]
=
=
=
=
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
di(t)
dt
di(t)
dt
i
di(t)
dt
t=0
=
ε
L
=
1
R
t=0
t=0
h
6= 0 e i(0) = 0,
dε
A −t/τL
+
e
dt
τL
t=0
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
di(t)
dt
di(t)
dt
=
t=0
=
t=0
ε
L
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
ε
L
1 dε
A −t/τL
+
e
R dt
τL
t=0
A
RτL
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
di(t)
dt
di(t)
dt
=
t=0
=
t=0
ε
L
=
A
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
ε
L
1 dε
A −t/τL
+
e
R dt
τL
t=0
A
RτL
εRτL
εR L
=
=ε
L
L R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
0
=
ε − Ri(t) − L
u(t)
di(t)
dt
=
0
=
ε − Ri(t)
1 du(t)
−
R dt
L du(t)
u(t) +
R dt
R
− dt
L
Z
R
−
dt
L
R
L
− t + A1 ;
τL =
L
R
A exp[−t/τL ] = ε − Ri(t)
1
(ε − Ae −t/τL )
R
du(t)
u(t)
Z
du(t)
u(t)
=
=
=
ln[u(t)]
=
u(t)
=
i(t)
=
di(t)
dt
di(t)
dt
=
t=0
=
t=0
ε
L
=
A
=
i(t)
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
ε
L
1 dε
A −t/τL
+
e
R dt
τL
t=0
A
RτL
εRτL
εR L
=
=ε
L
L R
ε
(1 − e −t/τL )
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
di(t)
dt
di(t)
dt
=
t=0
=
t=0
ε
L
=
A
=
i(t)
=
h
i
di(t)
dt
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
ε
L
1 dε
A −t/τL
+
e
R dt
τL
t=0
A
RτL
εR L
εRτL
=
=ε
L
L R
ε
−t/τL
(1 − e
)
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) =
ε
.
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) =
ε
.
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
=
−Ri(t) − L
di(t)
dt
I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) =
ε
.
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
=
−Ri(t) − L
di(t)
dt
=
−
R
i(t)
L
di(t)
dt
I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) =
ε
.
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
=
−Ri(t) − L
=
−
=
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
di(t)
dt
I Se S1 está muito tempo fechada I (∞) =
ε
.
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
ln[i(t)]
=
−Ri(t) − L
=
−
=
=
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1
L
di(t)
dt
;
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
=
−Ri(t) − L
=
−
=
ln[i(t)]
=
i(t)
=
di(t)
dt
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1 ;
L
A exp[−t/τL ]
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
=
−Ri(t) − L
=
−
=
ln[i(t)]
=
i(t)
=
i(∞)
=
di(t)
dt
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1 ;
L
A exp[−t/τL ]
ε
i0 =
=A
R
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
=
=
=
ln[i(t)]
=
i(t)
=
i(∞)
=
i(t)
=
−Ri(t) − L
di(t)
dt
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1 ;
L
A exp[−t/τL ]
ε
i0 =
=A
R
i0 exp[−t/τL ]
−
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L
Diminuição da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0
di(t)
dt
Z
di(t)
i(t)
=
=
=
ln[i(t)]
=
i(t)
=
i(∞)
=
i(t)
=
−Ri(t) − L
di(t)
dt
R
i(t)
L
Z
R
−
dt
L
R
− t + A1 ;
L
A exp[−t/τL ]
ε
i0 =
=A
R
i0 exp[−t/τL ]
−
τL =
L
R
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
0
=
−
q(t)
di(t)
−L
C
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
0
=
i(t)
=
di(t)
q(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
=
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
di(t)
q(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
=
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
λ2
=
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
−
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
−
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
e ±iθ
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
−
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
=
cos(θ) ± i sin(θ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
=
i(t)
=
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
e ±iθ
=
cos(θ) ± i sin(θ)
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
i(t)
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
=
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
e ±iθ
=
cos(θ) ± i sin(θ)
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
i(t)
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
=
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
e ±iθ
=
cos(θ) ± i sin(θ)
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
q(t = 0)
=
q0 = A cos(φ)
i(t = 0)
=
i0 = −Aω0 sin(φ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0 ,
=
q(t)
di(t)
−
−L
C
dt
dq(t)
dt
1
−
q(t) = −ω02 q(t)
LC
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
λ2
=
1
−ω02 ⇒ λ = iω0 ; ω0 = √
LC
e
q (t)
=
e
i(t)
=
0
i(t)
d 2 q(t)
dt 2
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
=
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
e ±iθ
=
cos(θ) ± i sin(θ)
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
q(t = 0)
=
q0 = A cos(φ)
i(t = 0)
=
A
=
φ
=
i0 = −Aω0 sin(φ)
q
q02 + (i0 /ω0 )2
i0
arctan −
q0 ω0
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0
=
−L
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0
=
0
=
0
=
ω0
=
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
d 2 q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
d 2 q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
q (t)
d 2e
dt 2
0
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
d 2 q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
q (t)
d 2e
dt 2
0
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
λ
=
−γ ±
q
γ 2 − ω02 = −γ ± ω2
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
λ
=
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
ω1
=
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
d 2 q(t)
R dq(t)
1
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
d 2 q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
de
q (t)
dt
q (t)
d 2e
dt 2
0
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
q
−γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2
q
ω02 − γ 2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
λ
=
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
ω1
=
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
R dq(t)
1
d 2 q(t)
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
0
q
−γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2
q
ω02 − γ 2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
λ
=
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
ω1
=
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
R dq(t)
1
d 2 q(t)
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
0
q
−γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2
q
ω02 − γ 2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
λ
=
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
ω1
=
di(t)
q(t)
− Ri(t) −
dt
C
R dq(t)
1
d 2 q(t)
+
+
q(t)
dt 2
L dt
LC
2
d q(t)
dq(t)
+ 2γ
+ ω02 q(t)
dt 2
dt
1
R
√
; γ=
2L
LC
−L
0
=
0
=
0
=
ω0
=
e
q (t)
=
qe λt ; q = Ae iφ
=
λqe λt
=
λ2 qe λt = λ2 e
q (t)
=
λ2 + 2γλ + ω02
de
q (t)
dt
d 2e
q (t)
dt 2
0
q
−γ ± γ 2 − ω02 = −γ ± ω2
q
ω02 − γ 2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-crı́tico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
e ±iθ
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
cos(θ) ± i sin(θ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
cos(θ) ± i sin(θ)
e ±iθ
=
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
cos(θ) ± i sin(θ)
e ±iθ
=
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
cos(θ) ± i sin(θ)
e ±iθ
=
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
q(t = 0)
=
q0 = A cos(φ)
i(t = 0)
=
i0 = −Aω0 sin(φ)
Capı́tulo 30 - Indutância
O Circuito R-L-C em série
O Circuito R-L-C em série
e
q (t)
=
e
i(t)
=
Ae iφ e iω0 t = Ae i(ω0 t+φ)
de
q (t)
= Aiω0 e i(ω0 t+φ)
dt
cos(θ) ± i sin(θ)
±iθ
=
e
q (t)
e
i(t)
=
A[cos(ω0 t + φ) + i sin(ω0 t + φ)]
=
Aω0 [i cos(ω0 t + φ) − sin(ω0 t + φ)]
q(t)
=
i(t)
=
Re[e
q (t)] = A cos(ω0 t + φ)
Re[e
i(t)] = −Aω0 sin(ω0 t + φ)
q(t = 0)
=
q0 = A cos(φ)
i(t = 0)
=
A
=
φ
=
i0 = −Aω0 sin(φ)
q
q02 + (i0 /ω0 )2
i0
arctan −
q0 ω0
e