1
Problemas resolvidos
Sistemas Electromecânicos
1. Circuitos eléctricos monofásicos
2. Circuitos eléctricos trifásicos
3. Circuitos magnéticos
4. Transformador
Paulo Branco
(2004/2005)
1
2
2.1
Circuitos eléctricos monofásicos
Problema 1
Qual o valor da inductância de uma bobina quando uma tensão de 20V é induzida aos seus
terminais para uma mudança da corrente de 12A para 20A em 2s.
di(t)
⇒ dt.e(t) = L.di(t)
dt
∆t
2
∆t.E = L.∆I ⇒ L =
E=
× 20 = 5 H
∆I
20 − 12
e(t) = L
2.2
(1)
(2)
Problema 2
Uma bobina tem uma inductância de 50mH. Qual a tensão induzida aos seus terminais
quando a taxa de mudança da sua corrente é de 10000A/s ?
L = 50 µH,
E = L.
2.3
∆I
= 10000 A/s
∆t
∆I
= 50 × 10−6 × 104 = 50 × 10−2 = 0.5 V
∆t
(3)
Problema 3
A bobina correspondente ao circuito primário de um transformador tem uma inductância
de 30mH considerando-se desprezável a sua resistência. Calcule a sua reatância para uma
frequência de 60Hz e a corrente quando ligada a uma fonte de tensão de 120V.
2.4
L = 30 mH, f = 60 Hz, E = 120 V
ω = 2πf = 2 × 3.146 × 60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377 × 30 × 10−3 = 11.31Ω
q
Z = jωL ⇒ |Z| = (ωL)2 = ωL ⇒ Z = 11.31Ω
¯ ¯
¯I ¯ = I = E = 120 = 10.6 A
ωL 11.31
(4)
(5)
(6)
(7)
Problema 4
Um circuito com uma bobina de 0.1H e uma resistência de 20Ω em série são ligados a uma
fonte de tensão de 100V/25Hz. Determine:
a) impedância do circuito;
b) corrente;
c) tensão na resistência;
d) tensão na bobina;
e) ângulo de fase da inductância.
2
Valor instantâneo da tensão aplicada ao circuito:
v (t) = vR (t) + vL (t)
vR (t) = Ri (t) , vL (t) = L
(8)
di (t)
dt
Lei das malhas, notação fasorial:
V = V R + V L = RI + jωLI
(9)
V = (R + jωL) I = Zeq I
I=
2.4.1
V
V
=
Zeq
R + jωL
alínea (a)
Zeq = 20 + jωL = 20 + 15.7j
2.4.2
2.4.4
2.4.5
V
100∠0◦
=
= 3.93∠ − 38.13◦ A
◦
Zeq
25.42∠38.13
(12)
alínea (c)
V R = RI = 78.66∠ − 38.13◦ V
(13)
V L = ZL I = (15.7∠90◦ ) × (3.93∠ − 38.13◦ ) = 61.7∠51.87◦ V
(14)
alínea (d)
alínea (e)
αL = 90◦
2.5
(11)
alínea (b)
I=
2.4.3
(10)
(15)
Problema 5
Um condensador de 20mF e uma resistência de 100Ω em série são ligados a uma fonte de
tensão de 120V/60Hz. Determine:
a) impedância do circuito;
b) corrente;
c) tensão na resistência;
3
d) tensão no condensador;
e) ângulo entre a corrente e a tensão no condensador.
Valor instantâneo da tensão aplicada ao circuito:
v (t) = vR (t) + vc (t)
vR (t) = Ri (t) , ic (t) = C
(16)
dvc (t)
dt
Lei das malhas, notação fasorial:
1
V = V R + V c = RI +
I
jωC
¶
µ
1
V = R+
I = Zeq I
jωC
V
V
I=
=
1
Zeq
R + jωC
2.5.1
2.5.4
2.5.5
1
1
=R−
j = 100 − 132.63j Ω
jωC
ωC
(19)
alínea (b)
I=
2.5.3
(18)
alínea (a)
Zeq = R +
2.5.2
(17)
V
120∠0◦
=
= 0.72∠52.98◦ A
Zeq
166.1∠ − 52.98◦
(20)
alínea (c)
V R = RI = 72.2∠52.98◦ V
(21)
V c = Zc I = (132.63∠ − 90◦ ) × (0.72∠52.98◦ ) = 95.49∠ − 37.02◦ V
(22)
alínea (d)
alínea (e)
αc = −90◦
4
(23)
2.6
Problema 6
Um circuito RLC série com uma resistência de 50Ω, condensador de 25mF, e uma bobina
de 0.15H está ligado a uma fonte de tensão de 120V/60Hz. Determine:
a) impedância do circuito;
b) corrente;
c) tensão na resistência;
d) tensão na bobina;
e) tensão no condensador;
f) ângulo de fase do circuito;
g) factor de potência do circuito.
2.6.1
2.6.2
alínea (a)
1
+ jωL =
jωC
= 50 + 56.55j − 106.1j = 50 − 49.55j
= 70.39∠ − 44.7◦ Ω
Zeq = R + Zc + ZL = R +
(24)
Zeq
(25)
(26)
alínea (b)
I=
2.6.3
2.6.4
2.6.5
V
120∠0◦
=
= 1.7∠44.7◦ A
Zeq
70.4∠ − 44.7◦
alínea (c)
V R = RI = 85.23∠44.7◦ V
(28)
V L = ZL I = (56.55∠90◦ ) × (1.7∠44.7◦ ) = 96.4∠134.7◦ V
(29)
alínea (d)
alínea (e)
V c = Zc I = (106.1∠ − 90◦ ) × (1.7∠44.7◦ ) = 180.86∠ − 45.3◦ V
2.6.6
2.6.7
(27)
(30)
alínea (f)
α = −44.7◦
(31)
f.p. = cos (α) = 0.711
(32)
alínea (g)
5
2.7
Problema 7
Uma resistência de 10Ω, uma impedância indutiva de 8Ω, e uma impedância capacitiva de
15Ω são ligadas em paralelo numa fonte de tensão de 120V/60Hz. Determine:
a) corrente total;
b) factor de potência do circuito;
c) potência na resistência.
2.7.1
alínea (a)
1
1
1
1
1
1
+
−
=
=
+
= 10 +
Zeq
R ZL Zc
8j 15j
Zeq = 8.64∠30.26◦ Ω
I=
2.7.2
V
120∠0◦
=
= 13.89∠ − 30.26◦ A
Zeq
8.64∠30.26◦
(34)
alínea (b)
f.p. = cos (30.26◦ ) = 0.864
2.7.3
(33)
(35)
alínea (c)
¯ ¯¯ ¯
Pact = ¯V ¯ ¯I ¯ cos (30.26◦ ) = 1440.7 W
6
(36)
3
Circuitos eléctricos trifásicos
3.1
Problema 1
Três impedâncias são ligadas em estrela, sendo cada uma do valor 4 − 3j. As impedâncias
são ligadas a um gerador trifásico equilibrado com uma tensão de linha de 208V. Calcule:
a) o valor da corrente em cada impedância,
b) o factor de potência,
c) e a potência activa total na carga.
IL
IF
UF
Z
UL
IF
Z
Z
IF
IL
IL
IL = IF
UL =
Z = 4 − 3j
3.1.1
alínea (a)
√
3UF
|Z| = 5Ω
θ = arctg
¡ −3 ¢
4
= −36.9◦
IL =?
208
3.1.2
√
UF
IL = IF =
= 3 = 24 A
5
|Z|
(37)
θ = −36.9◦ ⇒ cos (θ) = 0.8
(38)
alínea (b)
Factor de potência
7
3.1.3
alínea (c)
Potência activa total
3.2
PT = 3 × PF
(39)
PF = UF IF cos (θ)
(40)
208
PT = 3 × √ × 24 × 0.8 = 6.92 kW
3
(41)
Problema 2
Um gerador trifásico com uma tensão de linha no valor de 208 V está a alimentar uma carga
em triângulo. A corrente em cada impedância da carga é de 5 A, e o factor de potência é
de 0.8 em atraso, α < 0. Calcule a corrente na linha.
IL
UL
IF
UF
IF
Z
Z
IL
Z
IL
IF = 5 A
IL =
√
3IF
IL =
3.3
√
3 × 5 = 8.66 A
(42)
Problema 3
Três impedâncias no valor de 4+3j cada uma são ligadas em triângulo a um gerador trifásico
com 240 V de tensão de linha. Calcule a corrente em cada fase, a corrente na linha, o factor
de potência, e a potência activa total na carga.
8
IL
IF
UF
IF
Z
Z
UL
IL
Z
IL
UL = UF
IL =
Z = 4 + 3j
3.3.1
√
3IF
|Z| = 5Ω
θ = arctg
alínea (a)
3.3.4
= 36.9◦
UL = 240 V
(43)
√
√
3IF = 3 × 48 = 83.14 A
(44)
alínea (b)
IL =
3.3.3
4
UF
240
= 48 A
=
5
|Z|
IF =
3.3.2
¡3¢
alínea (c)
θ = 36.9◦ ⇒ cos (θ) = 0.8
(45)
PT = 3 × PF
(46)
PF = UF IF cos (θ)
(47)
µ
¶
83.14
PT = 3 × 240 × √ × 0.8 = 27.65 kW
3
(48)
alínea (d)
9
3.4
Problema 4
Para o circuito representado na figura abaixo, calcule as correntes I1 , I2 e I3 .
UL = 240 V
Z = 9 + 12j
Z = 3 − 4j
|Z| = 15Ω
θ = 53.1◦
|Z| = 5Ω
θ = −53.1◦
I1 = IL =
IF =
√
3IF
UF
240
= 16 A
=
15
|Z|
(49)
(50)
√
3 × 16 = 27.7 A
IL =
I1 = 27.7 A
(51)
I2 = IL = IF
(52)
UL
240
√
√
UF
IF =
= 3 = 3 = 27.7 A
5
5
|Z|
(53)
IL = 27.7 A
I2 = 27.7 A
(54)
I3 = I1 + I2 = 55.4 A
(55)
Somando-se I1 e I2
10
3.5
Problema 5
Na Figura considera-se um gerador trifásico ligado a uma carga trifásica em estrela, a presença do neutro e as impedâncias relativas à linha Calcule:
a) a corrente na linha;
b) a tensão em cada fase da carga;
c) a potência activa absorvida pela carga;
d) a potência activa na linha.
0.05+j0.20
120 V 0 °
10.0+j3.00
120 V +120°
10.0+j3.00
120 V -120 °
0.05+j0.20
0.05+j0.20
ZA = 10 + 3j
ZB = 0.05 + 0.2j
Z = ZA + ZB = 10.05 + 3.2j
|Z| = 10.55Ω
3.5.1
alínea (a)
alínea (b)
U1
120∠0◦
=
= 11.37∠ − 17.66◦ A
◦
10.55∠17.66
Z
U2
= 11.37∠102.34◦ A
=
Z
U3
= 11.37∠ − 137.66◦ A
=
Z
I1 =
(56)
I2
(57)
I3
3.5.2
θ = 17.66◦
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
IL = ¯I 1 ¯ = ¯I 2 ¯ = ¯I 3 ¯ = 11.37 A
Zc = 10 + 3j; ⇒ |Zc | = 10.44Ω, θ = 16.7◦
|UFc | = |IF | |Zc |
IL = IF
UFc = 11.37 × 10.44 = 118.7 V
11
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
3.5.3
alínea (c)
PTc = 3 (UFc IFc cos (θ))
= 3 (118.7 × 11.37 × cos (16.7))
PTc = 3.88 kW
3.5.4
(64)
alínea (d)
ZL = 0.05 + 0.2j; ⇒ |ZL | = 0.2Ω, θ = 75.96◦
|UL | = |IL | |ZL | = 11.37 × 0.2 = 2.27 V
PL = 3 (UL IL cos (θ))
= 3 (2.27 × 11.37 × cos (75.96))
PL = 18 W
3.6
(63)
(65)
(66)
(67)
Problema 6
Considere o gerador trifásico representado na Figura. Cada fase do gerador debita uma
corrente de 30A com uma tensão por fase de 254V e um factor de potência de 0, 8. Calcule:
a) qual a tensão aos terminais do gerador;
b) a potência activa em cada fase;
c) a potência activa total entregue pelo gerador trifásico.
Ip = 30 A
IL = IF
UL =
√
3UF
cos (θ) = 0.8
3.6.1
alínea (a)
Tensão aos terminais do gerador, UL =?
UL =
3.6.2
√
√
3UF = 3 × 254 = 439.9 V
(68)
alínea (b)
Potência activa em cada fase.
PF = UF IF cos (θ) = 254 × 30 × 0.8
PF = 6.1 kW
12
(69)
3.6.3
alínea (c)
Potência activa total.
PT = 3PF = 3 × 6.1
PT = 18.3 kW
3.7
(70)
Problema 7
A carga em triângulo representada na Figura consome uma potência activa total de 600kW
para uma tensão de linha de 5000V. Se a corrente medida na linha for de 75A, qual o factor
de potência do circuito?
IL = 75 A
PT = 600 KW
FP = ?
α=?
UL = UF
IL =
PT = 600 kW
√
3IF
UL = 5000 V
IL = 75 A
PT = 3PF
PT = 3 (UF IF cos (θ))
600000
PT
=
cos (θ) =
3UF IF
3 × 5000 ×
13
(71)
75
√
3
= 0.92