Ecologia Numérica
Testes a uma e duas amostras
Testes de hipóteses:
testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t
Teste a uma amostra
A
Quando temos uma única
amostra proveniente duma
população e queremos fazer
inferência sobre um qualquer
parâmetro da população, por
exº
µ=24.3
Hipóteses (exº):
Estatística de teste:
H0: µ=24.3
H1: µ≠24.3
t=
X −µ
sX
onde
sX =
s2
n
1
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t
Teste t
Distribuição t
Distribuição t
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t
Hipóteses (exº):
H0: µ=24.3
H1: µ≠24.3
Estatística de teste:
X −µ
t=
sX
Valor crítico:
Critério de decisão:
tα ( 2 ),υ
Não rejeitar H0 se:
t < t α ( 2 ), υ
Rejeitar H0, caso contrário
Teste t
Pressupostos do teste t:
Os dados são provenientes duma
população com distribuição Normal.
No entanto, o teste t é bastante robusto, i.e. a sua
validade não é grandemente afectada por desvios
moderados dos pressupostos.
2
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t
Hipóteses (exº):
Estatística de teste:
H0: µ>0
H1: µ<0
Valor crítico:
− tα (1),υ
Teste t
t=
Distribuição t
X −µ
sX
Critério de decisão:
Rejeitar H0 se:
t < − t α ( 1 ), υ
Não rejeitar H0, caso contrário
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t
Como decidir?
Pressupostos do teste t:
Dados provenientes duma população normal
Como verificar os
pressupostos?
Avaliar se os pressupostos são cumpridos
Não
Transformação
dos dados
Sim
Não
O que fazer se não forem
cumpridos?
Testes não paramétricos
Testes paramétricos
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Testes a uma e duas amostras
Teste a uma amostra:
abordagem não-paramétrica
Testes a uma e duas amostras
Teste a uma amostra:
Teste de Wilcoxon
Hipóteses:
Teste de Wilcoxon
Hipóteses:
H0: µ=Y
H1: µ≠Y
Ri = ordem atribuída a Di (= Xi – Y)
Testes a uma e duas amostras
Teste a uma amostra:
abordagem não-paramétrica
Teste de Wilcoxon
wα é o quantil da distribuição da estatística de
wilcoxon
wi ≅
Critério de decisão: Rejeitar H0 se
H0:
µ=Y vs. H1: µ≠Y
T+ > w1- α/2 ou T+ < wα/2
H0:
µ ≥Y vs. H1: µ<Y
T+ > w1- α
H0:
µ ≤Y vs. H1: µ>Y
T+ < wα
Estatística de teste:
T + = ∑ ( Ri para os quais Di são positivos)
abordagem não-paramétrica
wα é o quantil da distribuição da estatística de wilcoxon
Testes a uma e duas amostras
Teste para comparação de duas
amostras
A
B
n( n + 1)
+ zi n(n + 1)(2n + 1) / 24
4
4
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t para comparação de duas amostras
Hipóteses:
H0: µA=µB
H1: µA≠µB
Estatística de teste:
t=
XA − XB
sX A −X B
Valor crítico:
Critério de decisão:
tα ( 2 ),υ
Não rejeitar H0 se:
t < t α ( 2 ), υ
Rejeitar H0 caso contrário
Testes a uma e duas amostras
Teste t para comparação de duas amostras
Estatística de teste:
t=
s 2p =
XA − XB
sX A −X B
SS1 + SS 2
υ1 + υ 2
,
sX A −X B =
onde
υ1 = n1 − 1
e
s 2p
n1
+
s 2p
n2
,
υ 2 = n2 − 1
Testes a uma e duas amostras
Teste t para comparação de duas amostras
Pressupostos do teste t:
Hipóteses:
H0: µA≤µB
H1: µA>µB
H0: µA≥µB
H1: µA<µB
Critérios de decisão:
Rejeitar H0 se:
t > t α ( 1 ), υ
Não rejeitar H0 caso contrário
Rejeitar H0 se:
1 - Dados provenientes duma
população normal
2 - Variâncias das populações das duas
amostras homogéneas
t < − t α ( 1 ), υ
Não rejeitar H0 caso contrário
No entanto, o teste t é bastante robusto, i.e. a sua validade não
é grandemente afectada por desvios moderados dos
pressupostos.
5
Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste para comparação de duas amostras: abordagem nãoparamétrica
Como decidir?
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
Avaliar se os pressupostos são cumpridos
Hipóteses:
H0: amostras provenientes da mesma população
H1: amostras não provenientes da mesma população
Não
Transformação
dos dados
Sim
Estatística de teste:
U = n1n2 +
Não
Testes não paramétricos
Testes paramétricos
n1 (n1 + 1)
− R1
2
Dado que a atribuição das ordens de forma crescente
ou decrescente é arbitrária, temos que calcular U’
Testes a uma e duas amostras
Teste para comparação de duas amostras: abordagem nãoparamétrica
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
Testes a uma e duas amostras
Teste para comparação de duas amostras: abordagem não-paramétrica
Teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
Hipóteses:
H0: amostras provenientes da mesma população
H1: amostras não provenientes da mesma população
Estatística de teste:
U = n1n2 +
U ' = n2 n1 +
n1 (n1 + 1)
− R1
2
n2 (n2 + 1)
− R2 = n1n2 − U
2
Valor crítico:
U α ( 2 ), n 1 , n 2
Critério de decisão:
Rejeitar H0 se:
U ∨ U ' > U α ( 2 ), n 1 , n 2
Não rejeitar H0 caso contrário
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Testes a uma e duas amostras
Testes a uma e duas amostras
Teste t para amostras emparelhadas
Testes para amostras emparelhadas
A
B
Hipóteses:
Estatística de teste:
H0: µd=0
H1: µd≠0
t=
d
sd
di=X1i – X2i
Valor crítico:
tα ( 2 ),υ
Critério de decisão:
Rejeitar H0 se:
t > t α ( 2 ), υ
Não rejeitar H0 caso contrário
Testes a uma e duas amostras
Teste de Wilcoxon para amostras emparelhadas
Hipóteses:
H0: d=0
H1: d≠0
Testes a uma e duas amostras
Teste de Wilcoxon para amostras
emparelhadas
Hipóteses:
Estatística de teste:
T = ∑ ( Ri para os quais d i é positivo)
+
H0: d=0
H1: d≠0
Critério de decisão:
Rejeitar H0 se:
T
T = ∑ ( Ri para os quais d i é negativo)
+
∨T
−
< T α ( 2 ), n
−
T+ =
Não rejeitar H0 caso
contrário
n(n + 1)
−T −
2
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Testes a uma e duas amostras
Síntese
Teste t
P
1 amostra
Teste Wilcoxon
Teste t
NP
P
2 amostras:
Teste Mann-Whitney
2 amostras
emparelhadas:
Teste t
para amostras emparelhadas
Teste Wilcoxon
amostras emparelhadas
para
NP
P
NP
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