UNIVERSIDADES UNIDAS DO NORTE DE MINAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE FUNORTE/SOEBRÁS
UNIDADE INSTITUTO RIO GRANDENSE DE ORTODONTIA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ORTODONTIA
CONCEITOS MATEMÁTICOS E FÍSICOS APLICADOS NA
BIOMECÂNICA ORTODÔNTICA
CARLOS EDUARDO LERMANN MORÁS
Monografia apresentada ao programa de
Especialização em Ortodontia da Faculdade do
Norte de Minas Gerais/SOEBRÁS – Núcleo
Canoas/RS, como parte dos requisitos para
obtenção de título de Especialista.
Canoas, 2013
UNIVERSIDADES UNIDAS DO NORTE DE MINAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS DA SAÚDE FUNORTE/SOEBRÁS
UNIDADE INSTITUTO RIO GRANDENSE DE ORTODONTIA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ORTODONTIA
CONCEITOS MATEMÁTICOS E FÍSICOS APLICADOS NA
BIOMECÂNICA ORTODÔNTICA
CARLOS EDUARDO LERMANN MORÁS
Monografia apresentada ao programa de
Especialização em Ortodontia da Faculdade do
Norte de Minas Gerais/SOEBRÁS – Núcleo
Canoas/RS, como parte dos requisitos para
obtenção de título de Especialista.
Orientador: Luiz Eduardo Schroeder de Lima
Canoas, 2013
M829c
Morás, Carlos Eduardo Lermann
Conceitos matemáticos e físicos aplicados na biomecânica ortodôntica /
Carlos Eduardo Lermann Morás. – 2013.
63 f. : il.
Trabalho de conclusão (especialização) - Programa de Especialização
em Ortodontia do ICS –FUNORTE / SOEBRAS Núcleo Canoas, 2013.
CDU 616.314-089.23:51
616.314-089.23:531.76
1. Odontologia : Ortodontia : Matemática. 2. Ortodontia : Biomecânica.
I. Título.
Catalogação elaborada pela Biblioteca Pública do Estado
UNIVERSIDADE UNIDAS DO NORTE DE MINAS – NÚCLEO CANOAS/RS
Área de Concentração: Ortodontia
Natureza do Trabalho: Revisão de Literatura
Objetivo: Obtenção do Título de Especialista em Ortodontia
Título: Conceitos Matemáticos e físicos aplicados na biomecânica ortodôntica
FOLHA DE APROVAÇÃO
CARLOS EDUARDO LERMANN MORÁS
Data da aprovação: ______________________, ______de ______________de _______
Banca Examinadora:
Professor: ______________________________________________________________
(Titulação e Nome Completo)
Instituição que Representa:_________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________________
Professor: ______________________________________________________________
(Titulação e Nome Completo)
Instituição que Representa:_________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________________
Professor: ______________________________________________________________
(Titulação e Nome Completo)
Instituição que Representa:_________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________________
DEDICATORIA
Dedico esta monografia aos meus pais por sempre terem me dado o apoio
sentimental e emocional durante minha formação acadêmica e profissional.
Dedico este trabalho a minha namorada Daiana por sempre ter me incentivado,
orientado, entendido e apoiado nesta formação. Sem teu apoio, carinho e amor tudo teria
sido mais difícil e trabalhoso.
Dedico esta pesquisa a todos os professores que acompanharam e se empenharam
no ensino e na transmissão dos conhecimentos essenciais a prática de uma odontologia de
qualidade e humanizada.
AGRADECIMENTOS
Agradeço de coração a minha mãe Gitel e a meu pai Mario, por sempre estarem ao
meu lado incentivando e orientando no correto caminho da vida. Sem vocês tudo seria
muito complicado.
Agradeço ao professor Orlando Viecilli por sempre estar disposto a transmitir e
cobrar conhecimentos essenciais e importantíssimos em ortodontia.
Agradeço ao professor Armando Daiki Hiraoka por sempre estar disposto e
mostrando o caminho correto dos conceitos ensinados.
Agradeço a orientação do professor Luiz Eduardo Schroeder de Lima por sempre
estar à disposição e ter presteza na transmissão de conhecimentos.
Agradeço a todos os colegas de curso por terem enfrentado junto comigo esta
estrada difícil, mas que com certeza pela convivência com vocês tudo ficou melhor.
Faço um agradecimento especial a minha namorada Daiana da Silva Castiglioni,
por todo carinho, amor, apoio e por sempre ter entendido os momentos de ausência em
decorrência de trabalho e cursos. Saiba que contigo tudo fica melhor.
RESUMO
A maioria dos alunos e profissionais da área da odontologia dedica-se ao estudo das
relações biológicas, entretanto em algumas especialidades como na ortodontia é
imprescindível o conhecimento e domínio de conceitos básicos de matemática e física para
o correto planejamento da biomecânica utilizada e dos aparelhos planejados de forma a
gerarem movimentos mais precisos, controlados e previsíveis. Sendo assim, o objetivo do
presente estudo foi realizar uma revisão de literatura dos conceitos pertinentes e procurar
relacionar a utilização destes em ortodontia. Foram abordados, dentre outros, conceitos
como coordenadas cartesianas, geometria plana e espacial, trigonometria, força, distância,
centro de resistência, centro de rotação, sistemas de forças, momento, tipos de movimentos
dentários, método de elementos finitos. Sendo assim, observou-se que existe um consenso
entre os autores nos conceitos, havendo poucas diferenças no que tange a valores. Além
disso, ficou evidente a importância do domínio de tais definições para o correto andamento
do tratamento e plena satisfação dos pacientes.
Palavras chaves: Ortodontia, conceitos matemáticos e físicos, biomecânica
ABSTRACT
Most students and professionals in the field of dentistry dedicated to the study of
biological relationships, though in some specialties like orthodontics is the essential
knowledge and mastery of basic concepts of mathematics and physics for proper planning
and use of biomechanical devices planned movements in order to generate more accurate,
controlled and predictable. Therefore, the objective of this study was to conduct a literature
review of relevant concepts and seek to relate the use of these in orthodontics. We also
addressed, among others, concepts such as cartesian coordinates, plane and spatial
geometry, trigonometry, strength, distance, center of resistance, center of rotation, force
systems, moment, types of tooth movement and the finite element method. Thus, it was
observed that there is a consensus among the authors on the concepts, there is little
difference when it comes to values or mode to location center of rotation. Moreover, it was
evident the importance of the domain of such definitions to the correct course of treatment
and patient satisfaction.
Keywords: Orthodontics, mathematical and physical concepts, biomechanics
SUMÁRIO
RESUMO............................................................................................................................ VI
ABSTRACT ..................................................................................................................... VII
LISTA DE FIGURAS ......................................................................................................... X
INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 13
REVISÃO DE LITERATURA ......................................................................................... 16
1 CONCEITOS MATEMÁTICOS .................................................................................. 16
1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS ........................................... 16
1.1.1 Sistema unidimensional de coordenadas ou sistema linear ........................... 16
1.1.2 Sistema bidimensional de coordenadas ........................................................... 16
1.1.3 Sistema de coordenadas retangulares ou sistema cartesiano no plano ........ 17
1.2 Geometria Plana...................................................................................................... 17
1.2.1 Distância entre dois pontos e Teorema de Pitágoras ..................................... 18
1.2.2 Área das figuras planas..................................................................................... 18
1.3 GEOMETRIA ESPACIAL .................................................................................... 20
1.3.1 Superfícies .......................................................................................................... 20
1.3.2 Sólidos geométricos ........................................................................................... 21
1.3.2.1 Superfície Cilíndrica ..................................................................................... 21
1.3.2.2 Superfície cônica .......................................................................................... 22
1.3.2.2.1 Área da superfície de um cone ........................................................... 22
1.3.2.2.2 Volume de um cone ............................................................................ 23
1.3.2.2.3 Área Total de um cone ....................................................................... 23
1.3.3 Superfícies de Revolução ................................................................................. 24
1.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS....................................................................... 25
1.4.1 Seno ..................................................................................................................... 25
1.4.2 Cosseno ............................................................................................................... 25
1.4.3 Tangente ............................................................................................................. 25
1.4.4 Co-tangente ........................................................................................................ 26
IX
1.4.5 Secante e co-secante .......................................................................................... 26
2 CONCEITOS FÍSICOS ................................................................................................. 27
2.1 FORÇA E DISTÂNCIA .......................................................................................... 27
2.2 LEIS DE NEWTON ................................................................................................. 29
2.2.1 Primeira Lei de Newton .................................................................................... 29
2.2.2 Segunda Lei de Newton..................................................................................... 29
2.2.3 Terceira Lei de Newton..................................................................................... 30
2.3 LEI DO PARALELOGRAMO .............................................................................. 31
2.4 SISTEMAS DE FORÇA.......................................................................................... 33
2.5 FORÇAS COPLANARES E NÃO COPLANARES ............................................ 34
2.6 CENTRO DE RESISTÊNCIA ................................................................................ 35
2.6.1 Centro de resistência de um dente ................................................................... 35
2.6.2 Força sobre o centro de resistência .................................................................. 36
2.6.3 Centro de Resistência de um segmento de dentes .......................................... 37
2.6.4 Centro de resistência do segmento anterior .................................................... 37
2.6.5 Centro de resistência de um arco dentário ..................................................... 38
2.6.6 Centro de resistência da Maxila ....................................................................... 38
2.7 CENTRO DE ROTAÇÃO ..................................................................................... 39
2.9 SISTEMAS DE FORÇAS EQUIVALENTES ...................................................... 40
2.10 SISTEMA DE ALAVANCAS .............................................................................. 41
2.11 MOMENTO............................................................................................................ 42
2.12 BINÁRIO ................................................................................................................ 44
2.13 SISTEMA DE FORÇAS ESTATICAMENTE DETERMINADO................... 45
2.14 SISTEMA DE FORÇAS ESTATICAMENTE INDETERMINADO .............. 45
2.15 TIPOS DE MOVIMENTOS DENTAL ............................................................... 46
2.15.1 Inclinação Descontrolada ou não controlada ................................................ 46
2.15.2 Inclinação controlada ...................................................................................... 47
2.15.3 Movimento de translação ou de corpo........................................................... 48
2.15.4 Movimento de raiz ou radicular .................................................................... 49
2.16 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ......................................................... 50
DISCUSSÃO ...................................................................................................................... 53
CONCEITOS MATEMÁTICOS ..................................................................................... 53
GEOMETRIA ................................................................................................................ 53
TRIGONOMETRIA ...................................................................................................... 53
CONCEITOS FÍSICOS .................................................................................................... 53
CENTRO DE RESISTÊNCIA ...................................................................................... 53
CENTRO DE ROTAÇÃO ............................................................................................ 55
TIPOS DE MOVIMENTOS DENTÁRIOS................................................................. 55
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ..................................................................... 56
CONCLUSÃO.................................................................................................................... 57
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................ 58
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Sistema cartesiano no plano com eixos x (horizontal) e y (vertical) e convenção
de sinais ............................................................................................................................... 17
Figura 2 Distância entre dois pontos no plano e demonstração da formação do teorema de
Pitagoras .............................................................................................................................. 18
Figura 3 Formação das superfícies abertas e fechadas ........................................................ 20
Figura 4 Identificação da geratriz em diferentes superfícies ............................................... 20
Figura 5 Sólidos geométricos. Na coluna da esquerda sólidos retos; na direita sólidos
oblíquos ............................................................................................................................... 21
Figura 6 Formação de uma superfície cilíndrica ................................................................. 21
Figura 7 Formação de uma superfície cônica ...................................................................... 22
Figura 8 Identificação da altura de um cone........................................................................ 22
Figura 9 Planificação de um cone para visualização de sua área. ....................................... 23
Figura 10 Superfícies de revolução formadas pela rotação de 360º ao redor de um eixo ... 24
Figura 11 Círculo Trigonométrico e um ponto P sobre ele ................................................. 25
Figura 12 Diagrama de forças na aplicação de um elástico em oclusão cêntrica................ 27
Figura 13 A- Variação da raiz nos movimentos antero-posteriores; B- Variação da raiz nos
movimentos transversos; C- Variação da raiz para intrusão e extrusão e relação de forças
necessárias para os três casos .............................................................................................. 28
XI
Figura 14 Terceira Lei de Newton sendo aplicado no fechamento de diastema de dois
incisivos centrais e a movimentação das molares quando aplicada um expansor palatino . 30
Figura 15
Terceira Lei de Newton se manifestando na retração de um canino e na
distalização de um molar ..................................................................................................... 30
Figura 16 Terceira Lei de Newton se manifestando na intrusão de um 2º Pré molar ........ 31
Figura 17 Lei do paralelogramo sendo aplicada quando é realizada a retração de um
Incisivo com elástico intermaxilar ....................................................................................... 32
Figura 18 Decomposição de forças demonstrando a distalização e extrusão de um primeiro
molar na utilização de um Aparelho Extra Bucal (AEB) .................................................... 32
Figura 19 Decomposição de uma força conhecida. ............................................................. 34
Figura 20 Localização do centro de resistência em um incisivo e em um molar ................ 35
Figura 21 Localização do centro de resistência em um dente com tecido periodontal
preservado e com perda periodontal .................................................................................... 36
Figura 22 Desenho esquemático da localização aproximada do centro de resistência de
grupos de dentes .................................................................................................................. 37
Figura 23 Localização do centro de resistência da Maxila e da dentição quando todos os
dentes superiores estão incluídos no arco ............................................................................ 39
Figura 24 Método de localização do fulcro do movimento dental ...................................... 40
Figura 25 Sistemas de forças equivalente............................................................................ 41
Figura 26 Em “A” sistema de alavancas com extremo livre. Em “B” alavanca apoiada nas
extremidades ........................................................................................................................ 42
Figura 27 Momentos gerados por diferentes forças simples .............................................. 43
Figura 28 Momentos de diferente intensidade e mesmo sentido (anti-horário) no ponto “A”
devido a distância se for mantida a mesma Força “F” ........................................................ 43
Figura 29 Binários dentários................................................................................................ 44
XII
Figura 30 Exemplos de binários aplicados aos dentes. ....................................................... 45
Figura 31 Sistema estaticamente determinado ................................................................... 45
Figura 32 Sistema de forças estaticamente indeterminado .................................................. 46
Figura 33 Inclinação Descontrolada. ................................................................................... 47
Figura 34 Inclinação Controlada. ........................................................................................ 48
Figura 35 Movimento de corpo ou de translação ................................................................ 49
Figura 36 Movimento Radicular......................................................................................... 49
Figura 37 Relação Momento/Força no bráquete e no centro de resistência. ....................... 50
Figura 38 Desenho esquemático de formação de um modelo experimental no Método de
Elementos Finitos ................................................................................................................ 51
Figura 39 Esquema de um modelo de MEF formado por um software.. ............................ 52
Figura 40 Modelo esquemático de uma maxila com arco facial construída pelo Método de
Elementos Finitos ................................................................................................................ 52
INTRODUÇÃO
Gregos e Etruscos, em torno de 1000 a.C., já almejavam ter corrigidos os dentes
apinhados, irregulares ou protusos. Entretanto, somente por volta de meados do século
XIX apareceram as primeiras evidências de ortodontia como ciência. Em 1879 Kingsley
apresentou ao mundo a tração occipital, desenvolvendo a força extra bucal aplicada sobre o
arco superior. No ano de 1880, Norman Kingsley escreve “Oral Deformities”, que tem
como tema descrever as forças extra-orais para a correção de dentes protuídos. Neste
tempo a dentição intacta era raridade e os detalhes nas relações dentais eram considerados
sem importância. A atenção voltada à oclusão dentária era mínima e as extrações dentárias
eram comuns para se tratar desalinhamento e apinhamentos. Em 1890, Edward H. Angle
publicou uma clara e simples definição de oclusão normal na dentição natural. O trabalho
de Angle (considerado o “Pai da Ortodontia Moderna”) baseava-se na relação
dos
primeiros molares. Estas foram divididas em quatro classes (oclusão normal, maloclusões
de classe I, II ou III). No século XX, então, a meta era ter não só o alinhamento de dentes
apinhados, mas também o tratamento da má oclusão baseado na oclusão normal de Angle
(PROFFIT, 2002).
Atualmente o objetivo primordial da ortodontia é propiciar ao paciente a melhoria
de sua condição de vida e bem estar, sendo esta área vista como um serviço que visa
estabelecer e manter o ajuste físico e emocional. Neste sentido, como em outras áreas da
saúde como ortopedia e cirurgia plástica, por exemplo, o indivíduo não apresenta uma
doença associada, mas sim uma alteração de desenvolvimento. Ou seja, as maloclusões
dentárias não são doenças que originam incapacidades físicas e mentais sendo importante o
14
seu tratamento apropriado para a qualidade de vida do paciente. (GRABER,
VANARSDALL JUNIOR, 2002).
Uma vez que o plano de tratamento foi definido, o sistema de aparelhos deve ser
minuciosamente planejado para que se alcancem movimentos e posições dentárias no
espaço tridimensional. A ortodontia moderna requer que esta relação no espaço da dentição
às estruturas ósseas, de suporte e de tecidos moles do complexo craniofacial sejam
consideradas, da mesma forma, que o alinhamento dos dentes dentro de um arco tenham a
oclusão adequada em relação ao arco antagonista. Independentemente do sistema do
aparelho projetado ao paciente existem diversos critérios a serem considerados, dentre
estes está o sistema de forças e suas repercussões. (BURSTONE, STEENBERGEN,
HANLEY, 2003).
Com o objetivo de que o tratamento ortodôntico seja realizado da maneira mais
eficaz possível poucos erros são admitidos. O tratamento ortodôntico eficiente requer
planejamento e planos mecânicos precisos para que tudo ocorra numa sequência natural e
não se tenha um tratamento “um passo à frente, dois passos atrás”. Para conseguir associar
resultados aceitáveis entre a oclusão normal e os resultados atuais de aumento de qualidade
de vida, tanto no sentido de saúde como estético, é de fundamental importância ao
ortodontista ter noções de conceitos básicos de matemática e física para serem aplicados
nas diferentes técnicas biomecânicas utilizadas em ortodontia (MARCOTTE, 1992).
É a visão biomecânica do tratamento ortodôntico que guiará o planejamento do
melhor sistema de forças a ser empregado, tanto no sentido da forma de sua aplicação
como na quantificação da carga, interpretando de que modo ocorre a distribuição de
pressões no ligamento periodontal (COTRIM-FERREIRA, 2001).
Os princípios mecânicos que se deve ter conhecimento encontram-se num ramo da
engenharia chamado de mecânica. Está descreve os efeitos das forças sobre os corpos
(inclui-se nesta definição dentes e ossos) e geralmente pode-se dividir em três áreas:
Estática: descreve os efeitos das forças sobre os corpos que estão em repouso ou
têm uma velocidade constante (em linha reta);
Cinética: descreve o comportamento dos corpos que possuem velocidades variáveis
(aceleração ou desaceleração);
15
Força dos materiais: descreve a relação entre pressão e tensão de diferentes
materiais e permite que selecionemos os materiais mais adequados para uma determinada
força específica. (MARCOTTE, 1992)
As vantagens destes conhecimentos brindam o ortodontista e seus pacientes com
uma maior eficiência terapêutica, obtendo-se um tratamento rápido e indolor, com mínimo
dano aos dentes e tecidos de suporte, mais econômico, com controle sobre os efeitos
colaterais e de resultados mais agradáveis e duradouros (COTRIM-FERREIRA, 2001).
O movimento dentário ótimo deve ser o que é produzido pela força leve e contínua.
Está neste ponto um dos maiores desafios para os ortodontistas, ou seja, produzir um
aparelho ortodôntico com sistemas de forças com essas características, criando forças que
não são nem tão pesadas nem tão variáveis com o passar do tempo. É um fator importante
que forças leves não decresçam rapidamente (PROFFIT, 2002)
Neste sentido, este trabalho tem como objetivo descrever conceitos de matemática e
física direcionados à biomecânica em ortodontia, para que se minimizem ou eliminem os
efeitos indesejáveis durante o tratamento e para que os sistemas de forças calculados sejam
o mais biocompátivel ao paciente.
REVISÃO DE LITERATURA
1 CONCEITOS MATEMÁTICOS
1.1 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Os sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma
correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais. Esses sistemas são
usados para investigação analítica de propriedades geométricas para, por exemplo,
determinar a equação de uma curva geométrica, muitas vezes interpretada como a
descrição da trajetória de um ponto em movimento.
Ao estudar o movimento de um ponto no plano, Renné Descartes preocupou-se em
determinar as propriedades geométricas de curvas planas relacionando variáveis como x e
y. Esse tipo de estudo proporcionou a criação do sistema de coordenadas retangulares ou
sistema cartesiano (ROCHA, 2007).
1.1.1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL DE COORDENADAS OU SISTEMA LINEAR
Neste sistema, os pontos podem se mover livremente sobre uma reta (ou espaço
unidimensional). Para proceder à localização dos pontos sobre uma reta, é necessário
primeiramente orientá-la. Usualmente, a orientação positiva de uma reta horizontal é da
esquerda para a direita, sendo 0 um ponto fixo sobre essa reta. O ponto 0 é denominado
origem do sistema orientado e a reta orientada é denominada eixo. É usual denominar o
eixo horizontal por eixo x ou eixo das abscissas.
A distância de um ponto P à origem é x vezes a unidade de medida de comprimento
adotada para a escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem 0, x é positivo. Se P
localiza-se à esquerda de 0, x é negativo (ROCHA, 2007).
1.1.2 SISTEMA BIDIMENSIONAL DE COORDENADAS
É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições de
um plano (ou espaço bidimensional). Para localizar um ponto no plano, é necessário um
sistema de coordenadas (ROCHA, 2007).
17
1.1.3 SISTEMA DE COORDENADAS RETANGULARES OU SISTEMA
CARTESIANO NO PLANO
Este sistema é representado usualmente por duas retas orientadas denominadas
eixos coordenados, perpendiculares entre si. O ponto 0 de intersecção entre os eixos
coordenados é denominado origem do sistema. A origem pode ser fixada em qualquer
ponto do plano. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrantes.
O eixo horizontal (x) é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical (y) é o eixo
das ordenadas. A orientação positiva do eixo x é para a direita. A orientação positiva do
eixo y é para cima. (RIGHETTO, 1982; LEHMANN 1987; ANTON 2000; ROCHA, 2007)
Figura 1 Sistema cartesiano no plano com eixos x (horizontal) e y (vertical) e convenção de sinais
(Fonte: Rocha, 2007).
O desenho anatômico utilizado na análise cefalométrica de Ricketts segue a
orientação de coordenadas cartesianas para os sinais de posicionamento dos pontos
cefalométricos e relacionamento de estruturas anatômicas. Um dente no eixo x mais
lingualizado recebe um sinal negativo, por outro lado quando este está vestibularizado
possui um sinal positivo. No eixo y quando está extruído tem sinal “+” e quando intruído
recebe o sinal de “-“ (RICKETTS, 1960; SILVA FILHO, 1984).
Além disso, as coordenadas cartesianas podem servir de referencial para mensurar
os resultados de tratamentos ou prever crescimento quando são utilizadas sobreposições
cefalométricas (SILVA, CARVALHO, ADIMARI, 1997).
1.2 GEOMETRIA PLANA
A geometria plana é importante, pois com ela é possível resolver várias soluções
como polígonos e sólidos. Objetivamente, é necessária para resolver problemas existentes
18
quando apenas existe a informação de apenas dois dos vértices, sejam consecutivos ou
opostos em um polígono (ROCHA, 2007).
1.2.1 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E TEOREMA DE PITÁGORAS
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a
medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(x a, ya) e
B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:
d AB 
xB  x A 2   y B  y A 2
ou
d AB 
x2  y 2
,
(MISIAK,2009).
Figura 2 Distância entre dois pontos no plano e demonstração da formação do teorema de Pitágoras
(Fonte, MISIAK, 2009).
1.2.2 ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
a) Quadrado
A = a.a = a2
a
a
b) Retângulo
A = a.b
a
b
19
c) Círculo
r
A = π.r2, onde π = 3,14
d) Paralelogramo
A = b.h
h
.
b
e) Losango
A = D.d
d
2
D
b
f) Trapézio
A = (B + b) . h
h
2
.
B
g) Triângulo
A = b.h
h
2
.
b
(GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JUNIOR, 1998).
20
1.3 GEOMETRIA ESPACIAL
A noção de como é calculada a área e o volume de figuras geométricas sólidas,
planas e espaciais é importante para que o conhecimento das forças aplicadas sobre as
raízes dentárias possam ser mensurados.
1.3.1 SUPERFÍCIES
Figura 3 Formação das superfícies abertas e fechadas ( Fonte: CHAVES, 2010).
Podem ser obtidas superfícies por meio de procedimentos como os descritos a
seguir:
1. Movendo uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um ponto fixo não
pertencente a ela.
2. Movendo uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz) sempre paralelamente
a outra linha reta fixa.
3. Fazendo um giro de 360° de uma curva (geratriz) em torno de uma linha reta fixada
(eixo de revolução) (CHAVES, 2010).
Figura 4 Identificação da geratriz em diferentes superfícies (Fonte: ROCHA, 2007)
21
1.3.2 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
São corpos contidos dentro de uma superfície fechada e limitada por uma ou mais
superfícies planas que intersectem aquelas.
- Altura do sólido: é a distância entre os planos das bases ou distância do vértice ao plano
da base;
- Sólido reto: é aquele cuja base ou as bases são perpendiculares às geratrizes (se elas
forem paralelas) ou à linha de união do vértice com o centro da base (superfícies cônicas);
- Sólido oblíquo: é o sólido que não é reto;
- Sólido regular: é o sólido reto com faces laterais iguais (CHAVES, 2010).
Figura 5 Sólidos geométricos. Na coluna da esquerda sólidos retos; na direita sólidos oblíquos (Fonte:
CHAVES,2010).
1.3.2.1 SUPERFÍCIE CILÍNDRICA
É a superfície gerada por uma linha reta que se move, de maneira que é sempre
paralela a uma dada reta fixa e passa sempre por uma curva fixa dada.
Figura 6 Formação de uma superfície cilíndrica (Fonte: CHAVES,2010).
22
A reta que se move é denominada geratriz e a curva dada fixa é a diretriz da
superfície cilíndrica. Qualquer posição da geratriz é denominada uma geratriz da superfície
cilíndrica. O sólido limitado por uma superfície cilíndrica recebe o nome de cilindro. O
nome da superfície cilíndrica (ou do cilindro) é dado a partir da forma da diretriz
(CHAVES, 2010).
1.3.2.2 SUPERFÍCIE CÔNICA
É uma superfície gerada por uma reta r (AA´) que se move ao longo de uma curva α
e que passa por um ponto fixo S fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz, a curva
α é denominada de diretriz e o ponto fixo de vértice do cone.
Figura 7 Formação de uma superfície cônica (Fonte: CHAVES,2010).
O vértice (S) separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas
sendo muito usual apresentamos apenas uma das folhas. O sólido limitado por uma
superfície cônica recebe o nome de cone. O nome da superfície cônica (ou do cone) é dado
a partir da forma da diretriz (CHAVES, 2010).
Figura 8 Identificação da altura de um cone (Fonte: CHAVES, 2010).
1.3.2.2.1 ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CONE
23
Planificar uma superfície cônica é a operação que consiste em cortar essa superfície
ao longo de uma de suas geratrizes, abrindo-as e tornando-as plana.
Figura 9 Planificação de um cone para visualização de sua área (Fonte: CHAVES, 2010).
Observação:
A figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada cônica reta é
um setor circular cujo raio é a geratriz e cujo arco correspondente é o perímetro de sua
base.
A área da figura obtida por meio da planificação de uma superfície fechada é
denominada área total e a área da superfície cônica que limita o sólido é chamada de área
lateral. Por exemplo, no cone circular reto a área lateral corresponde à área de um setor
circular e, a área total corresponde à área do setor acrescida da área da base que é um
círculo (CHAVES, 2010).
1.3.2.2.2 VOLUME DE UM CONE
Considerando o plano que contém a base de um cone. A fórmula para calcular o
volume desta figura é a seguinte:
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela
altura, então:
1.3.2.2.3 ÁREA TOTAL DE UM CONE
A área da base do cone é :
24
Como a área lateral pode ser obtida por:
Então, a área total será dada por:
(CHAVES, 2010).
1.3.3 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
Figuras geométricas geradas pelo movimento de rotação completa (360o) de uma
linha qualquer (eixo de rotação ou de revolução) em torno de um eixo (diretriz) são
denominadas superfícies de revolução. Pertencem a este tipo de superfícies os cones e
cilindros retos, a esfera, o toro, ogivas, e muitas outras. Este tipo de superfície tem grande
aplicação prática e pode ser encontrado em uma variedade muito grande de objetos, tais
como:
utensílios
domésticos,
embalagens,
componentes
mecânicos,
elementos
arquitetônicos, fuselagens de foguetes, mísseis e para caracterizar estruturas anatômicas do
corpo humano (CHAVES, 2010).
Figura 10 Superfícies de revolução formadas pela rotação de 360º ao redor de um eixo (Fonte:
CHAVES, 2010).
O conhecimento das figuras geométricas e dos cálculos de suas medidas é da
enorme importância para o estudo e mensuração de raízes, fios, cálculos de forças, em
ortodontia. Pois sabendo a área de uma raiz, por exemplo, o ortodontista poderá planejar a
força empregada sobre um dente (VIECILLI, 2011).
25
1.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Neste momento é importante, o conhecimento de algumas funções trigonométricas
para a resolução do problema. A esmagadora maioria das aplicações trigonométricas
relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo recorrendo a determinadas relações
dependentes de ângulos internos. Assim, algumas relações trigonométricas com esse fim
são apresentadas.
Figura 11 Círculo Trigonométrico e um ponto P sobre ele (Fonte: BATISTA, 2000).
1.4.1 SENO
É o quociente do comprimento do cateto oposto ao ângulo  pelo comprimento da
hipotenusa do triângulo, ou seja,
sen( ) 
cateto oposto y

hipotenusa
h
.
O seno de  pode aparecer com uma das seguintes representações: sem , sin ,
sen(), sin().
1.4.2 COSSENO
É o quociente do comprimento do cateto adjacente ao ângulo  pelo comprimento da
hipotenusa do triângulo, ou seja,
cos( ) 
cateto adjacente x

hipotenusa
h
.
Em geral, o cosseno de  aparece com uma das duas representações: cos , cos().
1.4.3 TANGENTE
É o quociente dos comprimentos do cateto oposto pelo cateto adjacente, ou seja,
26
tan( ) 
cateto oposto
y/h y h y

  
cateto adjacente x / h h x x
.
É usual representar a tangente de  de uma das seguintes maneiras: tan , tan(), tg,
tg().
1.4.4 CO-TANGENTE
É definida como o recíproco da tangente de :
cotan( ) 
1
x cateto adjacente
 
tan( ) y
cateto oposto
.
A co-tangente de  pode aparecer representada de uma das maneiras seguintes:
cotan(), cotg(), cotan , cotg .
Pelas definições expostas podemos ver que:
tan( ) 
sen( )
cos( )
e
cotg( ) 
cos( )
sen( )
.
1.4.5 SECANTE E CO-SECANTE
Definem-se ainda as funções secante de  e co-secante de  como,
respectivamente:
sec( ) 
1
h

cos( ) x
e cosec( ) 
1
h

sen( ) y
.
A secante pode ser representada por: sec(), sec. A co-secante pode ser
representada por: cosec(), cosec, csc(), csc. (VANCE, 1990; FERREIRA,
AMARAL, 1994; BATISTA, 2000).
Tabela 1 Principais valores trigonométricos (Fonte: FERREIRA, AMARAL, 1994).
27
Uma aplicação da trigonometria na ortodontia, por exemplo, é no cálculo das forças
aplicadas em um elástico intermaxilar (OLIVEIRA, 2005).
Figura 12 Diagrama de forças na aplicação de um elástico intermaxilar em oclusão cêntrica (Fonte:
OLIVEIRA, 2005).
A trigonometria pode ser utilizada para análises cefalométricas como a de Tweed,
desenvolvida em 1954, a qual relacionou o incisivo inferior com o plano de Frankfurt,
criando um triângulo formado pelo plano de Frankfurt, o plano mandibular e o longo eixo
do incisivo inferior. Com conhecimento de trigonometria, que estabelece que a soma dos
ângulos internos de um triângulo resulta, invariavelmente, em 180º, Tweed desenvolveu
sua análise, que obtém o valor ideal do posicionamento do incisivo inferior (IMPA Incisor Mandibular Plane Angle) a partir do valor encontrado nos outros ângulos (FMA Frankfurt Mandibular Plane Angle e FMIA - Frankfurt Mandibular Incisor Angle)
(CAPELOZZA FILHO et al, 2008).
2 CONCEITOS FÍSICOS
2.1 FORÇA E DISTÂNCIA
Algumas das unidades físicas mais usadas em ortodontia são força (F) e distância
(d). Define-se força como a ação de um corpo sobre o outro que modifica ou tende a
modificar a forma ou o movimento deste segundo corpo (por exemplo, um fio sobre um
dente). A força pode empurrar ou puxar. No sistema métrico a força é expressa em gramas
28
ou gramas por milímetros quadrados (g/mm2), dependendo se a consideração feita se refere
a uma força isolada ou a uma força por área de unidade (pressão) (MARCOTTE 1992).
Quando é projetado um dispositivo ortodôntico, é importante avaliar as forças que
são geradas e a reação fisiológica que ocorre. Como a força por unidade de área é definida
como pressão, a força aplicada varia de acordo com o tamanho da raiz envolvida e a
direção do movimento desejado. O tamanho mesio-distal da raiz deve ser medido quando
um dente está sendo movido antero-posteriormente nos segmentos posteriores ou
lateralmente na área anterior. O tamanho vestíbulo-lingual da superfície da raiz será
medido quando o dente deve ser movido transversalmente. O corte transversal da
superfície radicular é avaliado quando a intrusão ou a extrusão são planejadas. (BENCH,
GUGINO, HILGERS, 1996).
Figura 13 A- Variação da raiz nos movimentos ântero-posteriores; B- Variação da raiz nos
movimentos transversos; C- Variação da raiz para intrusão e extrusão e relação de forças necessárias
para os três casos ( Fonte: BENCH, GUGINO, HILGERS, 1996)
Força, então, pode ser também definida como sendo toda causa (agente) capaz de
provocar uma modificação na forma ou no movimento de um corpo (OLIVEIRA, 1999).
No caso da ortodontia existe força quando é aplicado um dispositivo mecânico (fio,
mola, elástico, etc.) sobre dentes ou ossos faciais.
29
Uma força considerada ótima em ortodontia é aquela que proporciona uma
movimentação dental rápida, sem desconforto ao paciente e sem danos aos tecidos (perda
óssea ou reabsorção radicular). Neste contexto, quando o profissional aplica uma força
considerada ótima, a pressão sobre os ligamentos periodontais irá preservar sua vitalidade
em toda extensão e iniciará uma resposta celular de aposição e reabsorção com máxima
intensidade.
A força ótima provocará a reabsorção das paredes alveolares ou reabsorção frontal
e será a força ortodôntica mais fisiológica (COTRIM-FERREIRA, 2001).
Uma carga aplicada sobre um objeto tenderá a movimentá-lo a uma posição
diferente no espaço. A força, apesar de definida rigidamente em unidades de Newtons (
massa vezes aceleração da gravidade) é comumente medida em unidades de peso, gramas
ou onças ( PROFFIT, 2002).
2.2 LEIS DE NEWTON
Os fundamentos da mecânica e sua aplicação aos corpos foram apresentados por
Isaac Newton em 1686 e os resultados divididos em três leis de movimento:
2.2.1 PRIMEIRA LEI DE NEWTON
Todo o corpo permanece em repouso, ou em movimento retilíneo uniforme, a
menos que sofra a ação de forças que atuem sobre ele (MARCOTTE 1992).
Em ortodontia pode-se afirmar que os dentes tendem a permanecer em repouso, a
menos que sobre eles incida uma força (COTRIM-FERREIRA, 2001).
2.2.2 SEGUNDA LEI DE NEWTON
A aceleração de um corpo (mudança de velocidade com o tempo) é na direção de, e
proporcional à força que a produz, e também é inversamente proporcional à massa do
corpo. Isto, diz que os efeitos de uma força dependem não apenas da magnitude da força e
da massa do corpo, mas também da direção em que ela age (MARCOTTE 1992).
Adaptando-se à ortodontia, pode-se dizer que os dentes movimentam-se no sentido
da força sobre ele aplicada e, quanto maior o volume radicular do elemento dental, maior
deverá ser a força utilizada para produzir sua movimentação fisiológica (COTRIMFERREIRA, 2001).
30
2.2.3 TERCEIRA LEI DE NEWTON
Para toda ação ou força, existe uma reação igual na direção oposta. Esta resposta
pode ser desejável ou indesejável (MARCOTTE 1992)
Não existe um ato ortodôntico isolado, pois cada movimento intencional é
acompanhado por vários efeitos colaterais que normalmente são adversos. Este fato
necessita que o ortodontista esteja atento para prevenir ou controlar os efeitos indesejáveis
para que o movimento desejado seja realizado. Na maioria dos casos uma reação
indesejável acompanha a ação desejável (TENTI, 1993).
Figura 14 Terceira Lei de Newton sendo aplicado no fechamento de diastema de dois incisivos centrais
e a movimentação das molares quando aplicada um expansor palatino (Fonte: TENTI, 1993).
Por exemplo, quando o objetivo é distalizar um canino, o profissional tem o risco
de perder a ancoragem, ou seja, o molar poderá mesializar. Ou quando, a pretensão é
distalizar um molar o incisivo corre o risco de ser vestibularizado.
Figura 15 Terceira Lei de Newton se manifestando na retração de um canino e na distalização de um
molar ( Fonte: TENTI, 1993).
31
Outro exemplo, que pode ser visto é o de quando o ortodontista planeja intruir um
dente o risco que existe é a extrusão dos vizinhos se não forem tomadas medidas de
controle as forças de reação.
Figura 16 Terceira Lei de Newton se manifestando na intrusão de um 2º Pré molar (Fonte: TENTI,
1993).
Na prática clínica esta talvez seja a característica que o ortodontista tem que ter o
maior cuidado, pois mostra que a toda ação ortodôntica há um efeito colateral (COTRIMFERREIRA, 2001).
2.3 LEI DO PARALELOGRAMO
As quantidades de força que possuem magnitude e direção são chamadas de
vetores. Os vetores podem ser somados pelo uso da lei do paralelogramo e os resultados de
tal somatório são chamados de paralelogramo de forças quando se refere a forças. Então
quando uma força possui apenas magnitude ela é denominada uma quantidade escalar e
quando possui magnitude e direção é denominada uma quantidade vetorial (MARCOTTE
1992).
Por exemplo, quando um incisivo central superior submetido simultaneamente à
força de retração e à ação de um elástico intermaxilar. As duas forças formarão os lados do
paralelogramo e a diagonal será a representação da resultante das forças aplicadas
(COTRIM-FERREIRA, 2001).
32
Figura 17 Lei do paralelogramo sendo aplicada quando é realizada a retração de um Incisivo com
elástico intermaxilar (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001) .
Quando existe a necessidade de encontrar a resultante de três ou mais forças,
sucessivos paralelogramos serão construídos até a obtenção de um só vetor. Esta regra só é
válida para as diversas forças aplicadas sobre o mesmo corpo (COTRIM-FERREIRA,
2001).
Caso o ponto de aplicação das forças não seja o mesmo, nos guiamos pelo princípio
de transmissibilidade em corpos rígidos, que afirma que o efeito da força aplicada sobre
um corpo rígido independe do seu ponto de aplicação, desde que esteja sobre a sua linha de
ação (corpo do vetor).
Como o dente e o osso são considerados corpos rígidos (não se deformam sob a
ação da carga aplicada) esta teoria pode ser empregada para a maioria das análises vetoriais
ortodônticas, deslocando o vetor sobre a linha de ação.
Os paralelogramos permitem também decompor uma força em seus componentes
vertical e horizontal. Este recurso é de grande utilidade para a definição de quanto existe de
tendência à distalização e quanto há de tendência à extrusão em uma força oblíqua
(COTRIM-FERREIRA, 2001).
Figura 18 Decomposição de forças demonstrando a distalização e extrusão de um primeiro molar na
utilização de um Aparelho Extra Bucal (AEB) (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001) .
33
A soma das grandezas vetoriais é muito diferente da soma das grandezas escalares.
Em outras palavras, a soma de duas forças em que cada uma tem sua direção e seu sentido
dará origem a uma força que por sua vez terá intensidade, direção e sentido, além de um
ângulo de referência em relação a qual delas tem sua direção estabelecida.
Através desta soma de forças, o resultado provoca uma força resultante, que é o
conjunto de forças capaz de produzir o mesmo efeito que o conjunto dado.
Quando o somatório de forças resulta numa resultante igual a zero é denominada de
força equilibrante. (OLIVEIRA, 1999).
2.4 SISTEMAS DE FORÇA
Para que toda a característica de uma força seja descrita, então, é necessário dizer a
magnitude, a direção, o sentido e o ponto de aplicação desta força. Por exemplo, no longo
eixo do dente, no bráquete, no cíngulo e assim por diante. Para fazer um esquema de todas
as forças envolvidas em determinado movimento sobre um corpo é confeccionado um
diagrama de corpo livre, que mostra todas as forças conhecidas ou presumidas.
A linha de ação, a direção e o sentido de cada força são mostrados. Assim fica mais
fácil visualizar as diferentes forças que estão agindo e sua relação umas com as outras.
Este deve ser um dos primeiros passos no processo de resolução de um problema,
ou seja, um pequeno e simples diagrama mostrando todas as forças existentes ou
presumidas. Assim, o cálculo de todas as forças desconhecidas pode ser realizado, pois elas
se tornam conhecidas num triangulo equilátero.
Nos triângulos, a soma de todos os ângulos é igual a 180º e nos triângulos
equiláteros um desses ângulos é de 90º (MARCOTTE 1992).
Para calcular as resultantes de todas as forças é utilizado o conceito de
decomposição de forças. A decomposição é realizada, pois o ortodontista está interessado
em exibir duas forças, por exemplo, capazes de fornecer o mesmo efeito que uma força
conhecida. Normalmente, para tanto, são utilizados dois eixos coordenados que formam
entre si 90º para o cálculo das componentes que serão ortogonais ou perpendiculares entre
si (OLIVEIRA, 1999).
34
Figura 19 Decomposição de uma força conhecida (Fonte: OLIVEIRA,1999).
Com o intuito de chegar aos movimentos dentários desejados, o sistema de forças
adequado é um requisito essencial. Fatores como proporção Momento/Força no acessório e
magnitude de força e momento estão potencialmente sob controle do clínico.
Os sistemas de forças requeridos são regidos de acordo com os movimentos
dentários desejados. Por isso os aparelhos ortodônticos projetados determinam as forças
atuantes nos dentes (BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003).
2.5 FORÇAS COPLANARES E NÃO COPLANARES
O sistema em que todas as forças agem sobre um corpo e estão no mesmo plano é
denominado forças coplanares; quando, ao contrário, as forças não agem no mesmo plano
são ditas não coplanares. Cada uma dessas divisões pode ser ainda subdividida em
concorrente e não concorrente. Concorrente é quando um sistema de forças atua sobre um
ponto comum, as forças num sistema concorrente devem ter magnitude direção e sentido.
Em um sistema de forças não concorrentes, o tipo mais usado em ortodontia, as forças
devem possuir magnitude, direção, sentido e localização e atuam sobre pontos diferentes
(MARCOTTE 1992, OLIVEIRA 1999).
Conforme os conceitos acima descritos é possível predizer que se um sistema de
forças estiver sendo aplicado sobre um corpo em um sentido e houver outro sistema sendo
35
aplicado sobre este corpo com iguais características e somente sentido opostos, o corpo
ficará em repouso, ou como é chamado de estado de equilíbrio. Como estas forças agem
em um mesmo ponto do corpo sobre um sistema coplanar, o corpo não tende a girar.
Outros conceitos importantes do movimento dentário, para o melhor entendimento
do papel da relação momento/força no movimento dentário, são o de centro de resistência
(C res), Centro de rotação (C rot) (BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003).
2.6 CENTRO DE RESISTÊNCIA
2.6.1 CENTRO DE RESISTÊNCIA DE UM DENTE
Centro de resistência (C res) é definido como o local onde a massa do corpo inteiro
(dente) pode ser concentrada naquele único ponto, por meio do qual uma força produzirá
apenas translação pura (todos os pontos do dente se movem em linha retas e paralelas). O
centro de resistência em um dente que esta sendo movimentado ortodonticamente, está
localizado a 9,9 mm apicalmente ao bráquete (BURSTONE, PRYPUTNIEWICZ, 1980;
HOCEVAR, 1981, BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003).
Para um dente unirradicular esse ponto localiza-se aproximadamente 66% do
comprimento da raiz, do ápice até a crista alveolar, ou 1/3 da distância da crista alveolar
até o ápice, entre o terço médio e o cervical da mesma; para um molar multirradicular o
centro de resistência é próximo a região de furca, ou entre 1 a 2 mm apicalmente à furca.
Neste momento é importante salientar que o centro de resistência de um dente não pode ser
modificado pela aplicação de forças externas. (BURSTONE, PRYPUTNIEWICZ, 1980;
MARCOTTE, 1992; COTRIM-FERREIRA, 2001; BURSTONE, STEENBERGEN,
HANLEY, 2003; SHIMIZU et al., 2004 ).
Figura 20 Localização do centro de resistência em um incisivo e em um molar (Fonte: COTRIMFERREIRA, 2001).
36
O centro de resistência é um ponto no qual a resistência ao movimento pode ser
concentrada para análise matemática. Para um objeto livre no espaço, o centro de
resistência é o mesmo que o centro de massa. Se o objeto é parcialmente fixo, como é o
caso de uma estaca penetrando na terra ou uma raiz dentária implantada no osso, o seu
centro de resistência será determinado pela natureza das pressões externas. O C res para o
dente está aproximadamente no ponto médio da porção da raiz envolvida pelo osso, ou
cerca da metade da distância entre o ápice da raiz e a crista do osso alveolar (PROFFIT,
2002).
O centro de resistência do incisivo está a aproximadamente 10mm apicalmente do
bráquete, de 12mm a 15mm do bráquete nos caninos e entre 8mm a 10mm nos pré molares
e molares (furca). (OLIVEIRA, 2005).
Para um dente que possui perda de inserção óssea radicular deve-se mensurar a
medida da crista óssea ao ápice radicular e dividir por três. O centro de resistência estará
localizado no ponto situado entre o primeiro e segundo terço apical de inserção óssea,
medindo-se de cervical para o ápice da raiz ou 40% da distancia do osso marginal ao ápice.
(OLIVEIRA, 2005; CATTANEO, DALSTRA, MELSEN 2008).
Figura 21 Localização do centro de resistência em um dente com tecido periodontal preservado e com
perda periodontal (Fonte: OLIVEIRA, 2005).
Em um canino saudável o centro de resistência está localizado a 11 mm do bráquete
em sentido apical (CATTANEO, DALSTRA, MELSEN 2008).
2.6.2 FORÇA SOBRE O CENTRO DE RESISTÊNCIA
Os movimentos dentários que ocorrem quando há a aplicação de forças diretamente
sobre o centro de resistência de um dente ou de um grupo de dentes como o que ocorre
com o uso de um cantilever, por exemplo, é denominado de translação ou de corpo. Ou
seja, quando a linha de ação da força resultante passar sobre o centro de resistência do
37
elemento todos os pontos da superfície do dente se movimentam a mesma distância
(MARCOTTE, 1992 ; GJESSING, 1994 )
2.6.3 CENTRO DE RESISTÊNCIA DE UM SEGMENTO DE DENTES
É o ponto onde ao ser aplicada uma força o segmento de dentes irá se deslocar em
translação ou de corpo. É admitido que os elementos pertencentes a um grupo de dentes
não se deslocam uns em relação aos outros, portanto se comportam como um corpo rígido.
Para isso, são usados fios de grande rigidez e que não admitem nenhuma liberdade do fio
em relação às canaletas dos bráquetes. O comportamento do segmento rigidamente
consolidado sob a ação de uma força pode ser prognosticado caso haja a possibilidade de
conhecer o comportamento de seu centro de resistência. Uma vez conhecido o sistema de
forças a ser aplicado ao centro de resistência o profissional deverá determinar qual o
sistema de forças equivalente deverá ser aplicado ao bráquete para se conseguir o
movimento desejado.
Quanto mais dentes são incorporados a um segmento, mais o centro de resistência
se desloca em direção aos dentes incorporados. A estimativa da localização depende do
estado do ligamento periodontal, do comprimento das raízes, da inclinação do dente e do
número de dentes do segmento, entre outros fatores (OLIVEIRA, 2005).
Figura 22 Desenho esquemático da localização aproximada do centro de resistência de grupos de
dentes (Fonte: OLIVEIRA, 2005)
2.6.4 CENTRO DE RESISTÊNCIA DO SEGMENTO ANTERIOR
Na análise realizada em dois crânios secos, tentando se observar a localização do
centro de resistência dos dentes anteriores durante a retração para diversas unidades
simétricas do segmento anterior da maxila. Foi verificado que o efeito da mudança em
magnitude de força sobre a localização dos centros da resistência de três unidades distintas,
uma utilizando-se os dois incisivos centrais, a segunda incluindo-se os quatro incisivos e a
38
terceira contendo os seis dentes anteriores foi investigada. A técnica de reflexão laser foi
usada para estudar a direção e a magnitude do deslocamento inicial dos dentes
consolidados sob forças. Os resultados indicaram que o centro de resistência mudou
apicalmente com a inclusão de um maior número de dentes no segmento anterior. Com a
unidade de seis dentes anteriores, o deslocamento apical do centro da resistência foi o
maior localizando-se a aproximadamente 07 mm apicalmente ao nível ósseo interproximal.
Considerando-se os quatro dentes anteriores, este centro de resistência fica a 05 mm do
nível ósseo. No segmento dos dois incisivos centrais esta distância ficou em mais ou
menos 3,5 mm.
Quando os níveis de força foram aumentados houve pouco efeito sobre a
localização do centro de resistência de uma determinada unidade. Este fenômeno foi
observado em ambos os crânios testados, sugerindo a existência de tendências gerais das
características de deslocamento da dentição quando sujeitos a sistemas de forças
controladas (BULCKE et al., 1987)
2.6.5 CENTRO DE RESISTÊNCIA DE UM ARCO DENTÁRIO
Quando um arco maxilar une os dentes, estes passam a responder como uma
estrutura única. A determinação de centro de resistência depende do número de dentes
envolvidos e do tamanho de suas raízes. Nos casos, por exemplo, em que todos os dentes
superiores estejam no arco, exceto primeiros pré-molares e segundos molares o centro de
resistência deste segmento estaria localizado na altura do terço médio da raiz do segundo
pré - molar (SHIMIZU et al., 2004).
2.6.6 CENTRO DE RESISTÊNCIA DA MAXILA
A localização do centro de resistência da maxila está situado na área pósterosuperior da sutura zigomaticomaxilar (TEUSCHER, 1978; SHIMIZU et al., 2004).
Estes dois últimos conceitos são extremamente importantes para a utilização de
aparelhos extra bucais (AEB). Ao conhecer estes conceitos o operador conseguirá presumir
os efeitos e controlar o tratamento de modo mais seguro.
39
Figura 23 Localização do centro de resistência da Maxila e da dentição quando todos os dentes
superiores estão incluídos no arco ( Fonte: SHIMIZU et al., 2004).
2.7 CENTRO DE ROTAÇÃO
Centro de rotação (C rot), em contrapartida é definido como o ponto em torno do
qual o dente rotaciona. Este centro pode variar de acordo com o sistema de forças aplicado.
A magnitude do giro produzido é diretamente proporcional à distância perpendicular entre
o centro de resistência a linha de força aplicada.
Se uma força e um binário são aplicados sobre um objeto, o centro de rotação pode
ser controlado de modo que se tenha qualquer posição desejada (BURSTONE,
PRYPUTNIEWICZ, 1980; HOCEVAR, 1981, MARCOTTE,1992 ; PROFFIT, 2002;
BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003).
O fulcro representa o centro de rotação do movimento dental e pode ser controlado
pelo ortodontista. Traçando-se uma linha que corresponda ao longo eixo do dente antes e
após o movimento, onde estas linhas se encontram esta o fulcro (LIU, HERSCHLEB,
1981; COTRIM-FERREIRA, 2001).
O centro de rotação será sempre localizado sobre uma reta perpendicular ao
caminho seguido pelo centro de resistência (o qual é paralelo a linha de ação da força)
durante o movimento dental. Partindo deste princípio o dente quando se desloca de uma
posição para outra a cada instante é criado um novo centro de rotação (centro de rotação
instantâneo). Quando se considera apenas os pontos iniciais e finais do deslocamento, faz
sentido o conceito de deslocamento médio e de um centro de rotação para o movimento
total. Ao se conhecer o centro de rotação do movimento dentário desejado é possível
40
estabelecer a direção da força a ser aplicada e conseqüentemente a relação Momento /
força.
Um método para localizar o centro de rotação consiste em :
1. Tomar dois pontos quaisquer do dente em suas posições inicial e final.
2. Traçar seguimentos de retas unindo estes dois pontos.
3. Estabelecer os pontos médios dos seguimentos obtidos no item 2.
4. Traçar perpendiculares aos segmentos de retas obtidas no item 2, passando
pelos seus pontos médios.
5. O centro de rotação é obtido pela interseção destas perpendiculares (OLIVEIRA
2005).
Figura 24 Método de localização do fulcro do movimento dental (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001).
2.9 SISTEMAS DE FORÇAS EQUIVALENTES
O profissional pode obter os mesmos movimentos sobre o centro de resistência,
aplicando determinados sistemas de forças sobre os bráquetes, isto é denominado de
“sistema de forças equivalentes”. Os centros de rotação se comportam da mesma maneira,
tanto se as forças forem aplicadas através de cantiléveres ou através de sistemas de forças
equivalentes (MARCOTTE, 1992; GJESSING, 1994).
Este tipo de sistema pode ser, também, chamados de correspondentes ou
substituintes. É dito que um sistema de forças aplicado em um determinado ponto de um
corpo rígido é equivalente a outro sistema de forças aplicado em um outro ponto do mesmo
corpo, quando ele produz no segundo ponto o mesmo efeito que o aplicado no primeiro.
41
Tal conceito é fundamental para o profissional entender qual sistema de forças deve ser
empregado no bráquete para corresponder a movimentos cujas forças e momentos atuem
sobre o centro de resistência, por exemplo.
Figura 25 Sistemas de forças equivalente. Em A está sendo aplicada uma força de 350g diretamente
sobre o centro de resistência para o movimento de translação. Em B mostra o sistema que deve ser
aplicado para gerar o mesmo movimento de corpo com 350g sendo aplicado sobre o bráquete (Fonte:
MARCOTTE, 1992).
2.10 SISTEMA DE ALAVANCAS
O princípio de alavancas é estudado desde períodos antes da era cristã. Baseado na
idéia de que um ponto de apoio firme é o que o ortodontista mais deseja, para ancorar com
segurança e efetuar os movimentos dentários planejados. Para melhor entendimento, os
fios e molas podem ser considerados como alavancas, suportados por uma extremidade (
por exemplo uma mola se projetando de um aparelho móvel) como por ambas
extremidades (o segmento de um arco no vão entre os acessórios dos dentes adjacentes)
(PROFFIT, 2002; FABER, ARAÚJO, 2008).
42
Figura 26 Em “A” sistema de alavancas com extremo livre. Em “B” alavanca apoiada nas
extremidades (Fonte: PROFFIT, 2002).
2.11 MOMENTO
O momento de uma força é o produto da intensidade da força pela distância
(perpendicular) tomada da linha de ação da força ao ponto ou eixo considerado. Ele mede a
tendência a produzir giros ou rotação de uma força.
Em muitas situações a linha de ação da força passa distante do centro de resistência,
isto gera uma tendência de rotação o que se denomina tecnicamente como Momento (giro).
A magnitude do momento de rotação é tanto maior quanto maior for a intensidade da força
e quanto mais distante do centro de resistência passar a linha de ação da força. Esta
afirmação pode ser representada pela equação:
M= F X d
Onde M = momento
F = Magnitude da força aplicada
d = Distância perpendicular entre a linha de ação da força e o Centro de
Resistência.
A unidade para a grandeza Momento é g-mm (grama – milímetro) e sua
representação gráfica é feita por uma seta curva que em diagramas bidimensionais pode ser
desenhada no sentido horário ou anti-horário. O momento é definido em um sentido ou no
outro prolongando o vetor da força em torno do centro de resistência. Momentos de maior
magnitude terão setas curvas com raio maior
43
Os momentos de forças simples tendem a produzir giros em dois sentidos, ou pode
ser no sentido dos ponteiros de um relógio (sentido horário) dito momento negativo, ou no
sentido contrário (sentido anti-horário). Os momentos que produzem movimentos nos
sentidos mesial ou vestibular da coroa recebem o sinal positivo, por outro lado os
momentos que geram giros da coroa para distal ou lingual recebem sinais negativos.
(MARCOTTE, 1992, OLIVEIRA, 1999, COTRIM-FERREIRA, 2001; PROFFIT, 2002).
Figura 27 Momentos gerados por diferentes forças simples (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001).
Figura 28 Momentos de diferente intensidade e mesmo sentido (anti-horário) no ponto “A” devido a
distância se for mantida a mesma Força “F” (Fonte: OLIVEIRA, 1999).
Um dos problemas que o ortodontista encontra é a restrição quanto ao ponto de
aplicação da força devido à altura vestibular e a tolerância do paciente a aparelhos, que
irritam ou interferem no tecido mole. Sendo assim, objetivando produzir movimentação
diferente da inclinação descontrolada pela aplicação de uma força somente no bráquete é
insuficiente. Uma tendência rotacional deve ser também aplicada no bráquete. A proporção
entre a tendência rotacional (momento) e a força aplicada no bráquete irá determinar o tipo
de movimento dentário produzido. Esta relação é determinada de Momento/ Força (M/F)
44
no bráquete. Este parâmetro determina o centro de rotação para um determinado dente.
(BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003).
2.12 BINÁRIO
O binário é constituído por duas forças paralelas, não coincidentes, de igual
magnitude e sentido oposto e separados por uma distância. É denominado de plano de um
binário o plano determinado pelas retas suporte das duas forças que constituem
determinado binário. Este sistema de forças é o único capaz de gerar a rotação pura de um
corpo, ou seja, em torno de seu centro de resistência. O momento de um binário é o
produto de uma das forças do binário pela distância (perpendicular) que as separa.
Os binários são equivalentes quando tem o mesmo valor do momento e mesmo
sentido. Os binários equilibrantes são aqueles que têm a mesma intensidade de momento,
porém sentidos opostos. (OLIVEIRA, 1999, COTRIM-FERREIRA, 2001).
Figura 29 Em “A” existe a aplicação de um binário equidistante ao Centro de Resistência de um dente
e os momentos são somados, pois ambos estão no sentido horário. Em “B” um binário é aplicado no
bráquete apresentando menor eficiência ao giro, pois os vetores dos momentos gerados estão em
sentidos opostos e existe diferenças nas distâncias de aplicação das forças ao Centro de Resistência do
dente (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001).
Um binário gerado por um fio retangular no interior de um bráquete denomina-se
torque (COTRIM-FERREIRA, 2001).
45
Figura 30 Exemplos de binários aplicados aos dentes. Na esquerda, um binário sendo aplicado através
de elásticos. Na direita, o binário está sendo aplicado através de um fio retangular inserido ao bráquete
o que gera um movimento de terceira ordem (torque) (Fonte: COTRIM-FERREIRA, 2001).
Um binário irá produzir rotação pura, girando o objeto ao redor do seu centro de
resistência, enquanto a combinação de uma força e um binário pode mudar o modo de girar
um objeto enquanto ele está sendo movido (PROFFIT, 2002)
2.13 SISTEMA DE FORÇAS ESTATICAMENTE DETERMINADO
Estes sistemas são fáceis de serem mensurados, simples e eficientes. Para a
execução deste tipo de sistema é necessário que um segmento do fio seja inserido na
canaleta ou no tubo em uma extremidade e a ponta oposta deverá ser apoiada ou amarrada.
Um excelente exemplo para este sistema são os cantiléveres, que possuem como
característica um alto grau de constância de forças durante o tratamento (CHIAVINI,
ORTELLADO, 2009).
Figura 31 Sistema estaticamente determinado (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
2.14 SISTEMA DE FORÇAS ESTATICAMENTE INDETERMINADO
Para existir este tipo de sistema é necessário que um fio esteja inserido em pelo
menos dois bráquetes ou tubos. Não é possível afirmar com segurança se as forças e
momentos existentes em relação aos acessórios são ativas ou reativas. Este sistema está
46
relacionado com o uso de molas ou aparelhos em que ambas as extremidades estão
inseridas nas canaletas dos bráquetes ou tubos. Outro exemplo de aplicação de um sistema
indeterminado é o arco contínuo (CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
Figura 32 Sistema de forças estaticamente indeterminado (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
2.15 TIPOS DE MOVIMENTOS DENTAL
Sabendo os conceitos de Centro de resistência (C res), Centro de rotação (C rot),
dissociação do sistema de forças aplicada, momentos e binários, o ortodontista pode prever
o tipo de movimento dental a ser realizado.
2.15.1 INCLINAÇÃO DESCONTROLADA OU NÃO CONTROLADA
A inclinação não controlada de um dente descreve um movimento que ocorre num
C rot apical a e muito próximo a seu C res. Este contato descontrolado pode ocorrer no
vestibulolingual e também no mesiodistal (MARCOTTE, 1992; COTRIM-FERREIRA,
2001; BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003; CHIAVINI, ORTELLADO,
2009).
É o movimento mais facilmente obtido pelo profissional. Pode ser denominado
como movimento pendular e é originado pelo somatório de uma força simples aplicada
distante do C res. A inclinação não controlada de um dente descreve um movimento que
ocorre num C rot apical a e muito próximo a seu C res Este contato descontrolado pode
ocorrer no vestibulolingual e também no mesiodistal.
Este tipo de movimento ocorre sempre que uma força simples é aplicada na coroa
de um dente. Como exemplos clínicos existem diversas molas de aparelhos removíveis
(molas recuperadoras de espaços, redutoras de diastemas, verticalizadoras de caninos,
molas digitais de vestibularização,...). Também produzem movimentos pendulares os
aparelhos expansores, planos inclinados, arco vestibular da placa de Hawley (quando
47
utilizado na lingualização de dentes anteriores), assim como os aparelhos fixos com fios
redondos na realização de movimentos vestíbulo linguais.
No que se refere à relação Momento/ Força deve ser considerado uma relação em
torno de zero milímetro quando a referência está no bráquete e uma relação em torno de 10
mm quando o ponto de referência é o C res do dente a ser movimentado. A distância entre
o C rot e o C res está praticamente em zero milímetro (OLIVEIRA, 2005).
Figura 33 Inclinação Descontrolada (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
2.15.2 INCLINAÇÃO CONTROLADA
Neste tipo de movimento o ortodontista move todo o dente, mantendo o ápice
radicular imóvel. Assim, O C rot do movimento dentário coincide com o final da raiz
(ápice). Ocorre quando uma força e um momento são localizados sobre a coroa, movendo
esta numa direção e com momento suficiente para impedir que a raiz se mova na direção
oposta. Podem ocorrer no sentido mesio-distal e vestíbulo-lingual (MARCOTTE,1992;
COTRIM-FERREIRA,
2001;
BURSTONE,
STEENBERGEN,
HANLEY,
2003;
CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
A inclinação controlada é requerida quando a coroa está mal posicionada e o ápice
esta bem localizado. Esta movimentação é executada, por exemplo, quando é realizada a
retração da bateria anterior em pacientes com protrusão dental e que foram submetidos à
extração de quatro pré-molares. Utilizando a inclinação controlada o profissional controla
para que o ápice radicular não vestibularize.
A inclinação controlada no sentido vestíbulo-lingual é possível quando parte da
tendência de rotação do dente (momento), decorrente da aplicação da força ortodôntica de
retração é anulada por um binário. Atualmente é utilizado um fio retangular torqueado e
amarrado justo ao bráquete para realizar esta movimentação (COTRIM-FERREIRA,
2001).
48
No que se refere à relação Momento/ Força deve ser considerado uma relação em
torno de cinco milímetros quando a referência está no bráquete e uma relação em torno de
05 mm também quando o ponto de refêrencia é o C res do dente a ser movimentado. A
distância entre o C rot e o C res gira em cinco milímetros também (OLIVEIRA, 2005).
Figura 34 Inclinação Controlada (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
2.15.3 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO OU DE CORPO
Ocorre quando o centro de rotação do movimento dentário se localiza no infinito.
Cada ponto do dente realiza um movimento paralelo na direção da força (MARCOTTE,
1992; COTRIM-FERREIRA, 2001; BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003;
CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
Consiste no deslocamento em que o dente não sofre alteração de seu longo eixo. O
centro de rotação encontra-se no infinito, pois os prolongamentos do longo eixo do dente
antes e depois do movimento são paralelos ou coincidentes.
São coincidentes quando o dente se mover no sentido de intrusão ou extrusão e
serão paralelos nos deslocamentos horizontais ou oblíquos.
A translação horizontal (corpo) é um dos movimentos mais complexos de serem
realizados. Sua obtenção é possível sempre que a linha de ação da força cruzar o C res
como é o que ocorre com os braços de alavanca (gurin), ou quando a tendência de rotação
decorrente de uma força distante do C res for totalmente anulada por um binário, isto pode
ser feito com fios retangulares, com forças leves e torque acentuado.
No que se refere à relação Momento/ Força deve ser considerado uma relação em
torno de dez milímetros quando a referência está no bráquete e uma relação em torno de
zero milímetro quando o ponto de referência é o C res do dente a ser movimentado. A
distância entre o C rot e o C res está localizada no infinito (OLIVEIRA, 2005).
49
Figura 35 Movimento de corpo ou de translação (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
2.15.4 MOVIMENTO RADICULAR OU DE RAIZ
O movimento radicular, ou de retração de raiz, acontece quando o dente envolvido
se movimenta com o C rot situado no bordo incisal do dente ou próximo a ele. O tempo
para este tipo de movimento é longo, pois o profissional deve ter amplo controle da força
empregada, pois a tendência a reabsorção óssea neste tipo de deslocamento é grande
(MARCOTTE, 1992; COTRIM-FERREIRA, 2001; BURSTONE, STEENBERGEN,
HANLEY, 2003; CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
Figura 36 Movimento Radicular (Fonte: CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
É o movimento de eleição para promover a mudança do longo eixo do dente, sem
alterar a posição da borda incisal. O centro de rotação está na região oclusal da coroa.
Normalmente, este tipo de movimento é obtido com a execução de um binário acentuado
na coroa (torque) e força de retração igual ou próxima de zero.
O movimento de correção radicular pode ser realizado no sentido mesio-distal com
a utilização de aparelhos fixos e pode ser usado tanto fios redondos como retangulares.
No que se refere à relação Momento/ Força deve ser considerado uma relação em
torno de quinze milímetros quando a referência está no bráquete e uma relação em torno de
cinco milímetros quando o ponto de referência é o C res do dente a ser movimentado. A
distância entre o C rot e o C res está em torno de 05 mm (OLIVEIRA, 2005).
50
Figura 37 Relação Momento/Força no bráquete e no centro de resistência. Em “A” a referência é o
bráquete, então a distância é medida perpendicular a linha de ação da força a está referência. Em “B”
a referência para medir a distância é o centro de resistência do dente (Fonte: OLIVEIRA, 2005).
TIPO DE MOVIMENTO
DISTÂNCIA CRot- CRes
(M/F)BR
(M/F)CR
INCLINAÇAO NÃO CONTROLADA
PRÓXIMO A ZERO
0
10
INCLINAÇÃO CONTROLADA
EM TORNO DE 5
5
5
TRANSLAÇÃO
INFINITO
10
0
MOVIMENTO DE RAIZ
EM TORNO DE 5
15
5
Tabela 2 Distância entre o Centro de Rotação (CRot) e o Centro de Resistência (CRes) nos diferentes
tipos de movimentos dentários, Relação Momento/Força em relação ao Braquete ( BR) e em relação ao
CR (Fonte: OLIVEIRA, 2005).
2.16 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Procurando solucionar limitações relacionadas a cálculos analíticos e descritivos
bidimensionais aplicados a estruturas tridimensionais, Gauss no final do século XVIII
propôs a utilização de funções de aproximação para a solução de problemas matemáticos.
Tal teoria, mais recentemente em 1960, foi denominada de Método dos Elementos Finitos
(MEF).
Este método é utilizado em diversas áreas da Engenharia, Medicina, Odontologia e
áreas afins. Sua aplicabilidade em Ortodontia é de grande utilidade e utilizado
especialmente no estudo do efeito das cargas (forças) aplicadas aos dentes.
51
O MEF é definido como um método matemático, no qual um meio contínuo é
subdividido em elementos que mantém as propriedades de quem os originou. Este método
de pesquisa possui a capacidade de modelar matematicamente estruturas complexas com
geometrias irregulares de tecidos naturais e artificiais, como os dentes e os diversos
biomateriais usados em Ortodontia. Com isso, é possível aplicação de um sistema de forças
em qualquer ponto e/ou direção, promovendo, desta forma, informações sobre
deslocamento e o grau de tensão provocado por essas cargas ao elemento dentário ou o
tecido analisado.
Figura 38 Desenho esquemático de formação de um modelo experimental no Método de Elementos
Finitos (Fonte: LOTTI et al, 2006)
No MEF existe a possibilidade de realizar as análises em duas ou três dimensões.
Modelos tridimensionais possuem vantagens uma vez que somente com eles é possível
verificar corretamente o que ocorre às estruturas dento-maxilo-faciais. Por exemplo, a
irregularidade dos dentes, as cargas aplicadas sobre estes, a distribuição das tensões e o
deslocamento sobre as várias estruturas que compõem o dente, como esmalte, dentina e
polpa e os resultados nos três planos do espaço.
O MEF dispõe também da possibilidade de diferenciar as propriedades das
estruturas e dos movimentos. No caso do deslocamento dentário ocorre um fenômeno
denominado viscoplástico, ou seja, o movimento do dente depende do tempo e após a
remoção da força ele não retorna completamente à sua posição de origem.
Em Ortodontia o MEF pode ser utilizado com variadas aplicações como no estudo
da distribuição de tensões durante o movimento dentário, no efeito de forças ortopédicas
no complexo craniofacial, em superposições cefalométricas, na verificação das cargas
52
exercidas em implantes como recursos de ancoragem, na avaliação da resistência de base
de bráquetes e na avaliação do desempenho de molas para fechamento de espaços.
(TANNE, KOENIG, BURSTONE ,1988; LOTTI et al, 2006).
Figura 39 Esquema de um modelo de MEF formado por um software. “A” Desenho de um canino
inferior; “B” conjunto dente e osso alveolar; “C” Malha do canino e osso alveolar desenvolvidas; “D”
Cada triângulo representa um elemento finito, inter-conectados pelos nós localizados nas extremidades
( Fonte: TANNE, KOENIG, BURSTONE ,1988).
A ação mecânica do AEB, por exemplo, pode ser estudada utilizando os conceitos
de centro de resistência, centro de rotação, ponto de aplicação e linha de ação de forças. No
entanto, desta forma não é possível descrever a complexidade mecânica do sistema, porque
é difícil representar em duas dimensões o que acontece em três dimensões (MARUO,
2011).
Figura 40 Modelo esquemático de uma maxila com arco facial construída pelo Método de Elementos
Finitos em uma vista oclusal (esquerda) e lateral (direita) (Fonte: MARUO, 2011).
DISCUSSÃO
O presente estudo foi baseado em conceitos matemáticos e físicos consagrados, por
este motivo pouco há o que discutir. No entanto, algumas divergências podem ser
observadas entre os estudos existentes na literatura. A presente discussão será realizada por
tópicos.
CONCEITOS MATEMÁTICOS
Os conceitos abordados nesta revisão foram e ainda são amplamente estudados
atualmente. Desta forma, existe um grande consenso entre os autores no que se refere a
estes definições básicas no campo da matemática.
GEOMETRIA
Conceitos apresentados nas áreas da geometria sejam na plana ou geométrica, estão
definidos e não há discordâncias entre os autores (ANTON 2000;CHAVES, 2010;
GIOVANNI,
CASTRUCCI,
GIOVANNI
JUNIOR,
1998;
LEHMANN
1987;
MISIAK,2009;RIGHETTO, 1982; ROCHA, 2007).
TRIGONOMETRIA
Os conceitos abordados em trigonometria são consenso entre os autores e são
consagrados pela literatura. Os valores e cálculos trigonométricos estão definidos e já
foram amplamente discutidos tornando-se precisos e inquestionáveis na atualidade
(FERREIRA, AMARAL, 1994; GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JUNIOR, 1998;
VANCE, 1990;).
CONCEITOS FÍSICOS
CENTRO DE RESISTÊNCIA
Vários autores têm estudado as unidades dentárias para que sejam determinados os
seus centros de resistência e os movimentos gerados por forças aplicadas durante o
tratamento ortodôntico (BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003; BURSTONE,
PRYPUTNIEWICZ, 1980; CATTANEO, DALSTRA, MELSEN 2008; COTRIM-
54
FERREIRA, 2001; GJESSING, 1994; HOCEVAR, 1981; MARCOTTE, 1992;
OLIVEIRA, 2005; PROFFIT, 2002; SHIMIZU et al., 2004).
Marcotte (1992), afirmou que vários tipos de movimentações dentárias a partir do
sistema de forças aplicado aos dentes podem ser obtidos. Uma forma de entender o
movimento dentário é observar como as forças resultantes agem sobre o centro de
resistência do dente ou do grupo de dentes a serem movimentados
Existe consenso entre a maioria dos autores que concluíram que, para dentes que
possuem ligamento periodontal integro, o centro de resistência localiza-se entre o terço
cervical e o terço médio radicular. Pouca diferença foi encontrada com relação a esta
média, nos trabalhos realizados em duas dimensões. Talvez as diferenças que existam são
devido às amostras serem variadas no que se refere a dentes com diferentes volumes e
alturas radiculares, pelo tipo de estudo realizado.
Proffit (2002), por outro lado encontrou a maior discrepância com relação aos
resultados do posicionamento do centro de resistência em um dente. O autor afirmou que o
centro de resistência está localizado aproximadamente no ponto médio da porção da raiz
envolvida pelo osso, ou cerca da metade da distância entre o ápice da raiz e a crista do osso
alveolar.
Oliveira (2005), Cattaneo, Dalstra, Melsen (2008) ressaltaram um conceito
importante de ser observado atualmente, com o aumento de pacientes adultos procurando
tratamento ortodôntico, que é a localização do centro de resistência em pacientes
periodontalmente comprometidos.
Quando precisamos reconhecer o centro de resistência de um grupo de dentes, o
importante é levar em conta a média dos tamanhos e volumes dos dentes envolvidos. O
centro de resistência dos quatro incisivos superiores estará mais cervical e mais anterior do
que os seis dentes anteriores (BULCKE et al, 1987; OLIVEIRA, 2005).
Para a utilização de um aparelho extrabucal (AEB), é de extrema importância que o
ortodontista domine o reconhecimento e a determinação do centro de resistência da maxila
(área póstero-superior da sutura zigomaticomaxilar) e do arco dentário. O centro de
resistência da maxila não pode ser alterado pelo ortodontista, por outro lado, a centro de
55
resistência do arco dentário pode ser alterado pelo profissional, através da inclusão de mais
ou menos dentes ao arco (SHIMIZU et al, 2004; TEUSCHER, 1978).
CENTRO DE ROTAÇÃO
Conforme os estudos de Burstone, Steenbergen, Hanley (2003), Burstone,
Pryputniewicz (1980), Hocevar (1981), Proffit, (2002), podemos verificar que ao
ortodontista é indispensável o conhecimento da relação momento e força para que o
movimento objetivado seja controlado e a mecânica necessária seja empregada
corretamente em relação ao centro de rotação do dente ou grupo de dentes.
Hocevar (1981) e Marcotte (1992) concluíram que quando não passarmos com a
força resultante, do sistema de forças, sobre o centro de resistência, teremos a rotação
somada a translação. A magnitude de rotação vai depender da distância que esta força
passa em relação ao centro de resistência do dente ou de um grupo de dentes. Quanto
maior a distância maior será a quantidade de rotação durante o deslocamento do dente.
É importante salientar que existe uma diferença na literatura quanto à forma de
localização do centro de rotação. Oliveira (2005) definiu como método de localização do
centro de rotação o encontro das perpendiculares dos pontos médios de dois pontos
referenciais no início e no final do movimento.
Por outro lado, Liu, Herschleb (1981) e Cotrim-Ferreira (2001) definiram que para
se encontrar o centro de rotação do movimento é necessário traçar o longo eixo do dente no
início e no final do movimento e onde se encontrarem esses dois traços estará o centro de
rotação. Sendo assim, pode ser notado que resultam pontos diferentes entre os dois casos.
Por isso, o método mais preciso é o de Oliveira (2005), pois o método preconizado
pelos outros autores não considera a possibilidade da existência de dilacerações apicais e
não consideram que o longo eixo dos dentes na maioria dos casos não coincide com o
longo eixo da coroa clínica e ainda que existe a enorme dificuldade de se determinar o
longo eixo dentário em dentes polirradiculares.
TIPOS DE MOVIMENTOS DENTÁRIOS
Diversos autores descrevem os tipos de movimentos realizados durante os
tratamentos ortodônticos que são definidos como inclinação descontrolada, inclinação
56
controlada, movimento de translação e movimento de raiz. Existe uma concordância nas
definições e nas relações de momento/ força para os diferentes movimentos (MARCOTTE,
1992; COTRIM-FERREIRA, 2001; BURSTONE, STEENBERGEN, HANLEY, 2003;
CHIAVINI, ORTELLADO, 2009).
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Este recurso matemático foi desenvolvido para reduzir ao máximo as limitações
que os métodos convencionais de cálculos apresentavam.
Segundo Lotti et al. (2006), as grandes vantagens deste método é que ele pode
presumir movimentos em duas e três dimensões, além de ser possível diferenciar as
estruturas que circundam os dentes nestes modelos matemáticos. Isto nunca foi possível
com os métodos convencionais segundo o autor.
Tanne, Koenig, Burstone (1988), Lotti et al. (2006), Maruo (2011) concordam que
existem inúmeras utilidades para este método em ortodontia e que os resultados deste tipo
de modelo matemático facilitam e tornam o tratamento ortodôntico mais fisiológico e
previsível.
CONCLUSÃO
É evidente a necessidade de conhecimento de conceitos matemáticos e físicos para
o aprendizado em ortodontia.
O profissional que souber e dominar conceitos básicos estará menos sujeito a
problemas e surpresas durante o desenvolvimento de um tratamento.
O domínio de conceitos como centro de resistência, centro de rotação e tipos de
movimentos desejados são imprescindíveis ao profissional e principalmente ao aluno que
esta iniciando sua formação.
Diante disto, podemos concluir que o conhecimento e o entendimento destes
conceitos básicos utilizados na biomecânica ortodôntica são imprescindíveis a alunos e
profissionais.
Esta importância torna-se evidente no momento de planejamento, execução,
finalização e manutenção do tratamento.
Tudo isso porque o correto planejamento da mecânica adotada proporcionará o
desenvolvimento de tratamentos mais rápidos, menos traumáticos, com reduzidos
imprevistos, com maior satisfação ao paciente e principalmente ao ortodontista.
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AUTORIZAÇÃO
Autorizo a reprodução total ou parcial peolos interessados.
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Carlos Eduardo Lermann Morás
CANOAS 2013