Matemáticas Gerais
(Licenciatura em Geologia)
Caderno de exercı́cios
(exercı́cios propostos e tabelas)
Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues
Departamento de Matemática
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Ano lectivo 2012/2013
Departamento de Matemática da FCTUC
Matemáticas Gerais
Licenciatura em Geologia
Caderno de exercı́cios
Ano lectivo 2012/2013
Funções - Revisões
1. Na figura seguinte estão representados os gráficos de duas funções f e g.
..
..........
...
........
•
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g
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•.............
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2
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f .................... ........
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0
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2
x
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...
.....
........
•......
•
...
...
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......
y
(a) Determine os valores de f (−4) e g(3).
(b) Indique os valores de x para os quais f (x) = g(x).
(c) Indique o domı́nio e o contradomı́nio de f e g.
(d) Em que intervalos f é decrescente?
2. Diga se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, indique o domı́nio e o contradomı́nio.
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◦
2 .............
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..2
.. 0 ...
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x
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y
y .......
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2..........
........
..............
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.........
....
........
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...... ......
.. ......
.........
....
............................................................................................................................
.
0 ...............
2
x
. ....
........ .............
........
..
.........
...
...........
..
...............
.......
........
...
.
3. Esboce o gráfico das funções seguintes e indique o seu domı́nio e o seu contradomı́nio.
{
1 − x se x ≤ 1
(a) a(x) = x + 3 (b) b(x) = x2 + 5x + 6 (c) c(x) =
x2
se x > 1
(d) d(x) = |x|
(e) e(x) = 1 + |x|
(f) f (x) =
√
4 − x2
4. Determine uma expressão para a função cujo gráfico é a recta que une os pontos (−2, 1) e (4, −6).
5. Determine o domı́nio das funções definidas por:
3x + 1
1
(a) g(x) =
(b) h(x) =
4−x
(x + 2)(x − 5)
(c) i(x) =
√
(x2 − 1)(x − 5)
(d) j(x) =
√
3
1−x
6. Indique quais das seguintes funções reais de variável real são pares, quais são ı́mpares e quais não são
pares nem ı́mpares:
√
x3 − x
x+2
(c) h(x) = |1 − x2 | (d) i(x) =
(a) f (x) = |x + 1| (b) g(x) = 2
x +1
x−1
7. Determine o domı́nio e a expressão analı́tica da aplicação g ◦ f , sendo:
√
√
1
(a) f (x) = x, g(x) = 2
(b) f (x) = x + 1, g(x) = 2x + 3
x −1
8. Dadas as funções reais de variável real
f (x) =
√
2−x
e g(x) =
1
√
1 − 2 + x2
(a) Determine o domı́nio de f e g.
(b) Indique o contradomı́nio de f .
(c) Averigúe se as funções são injectivas.
(d) Caracterize a aplicação f −1 , explicitando o seu domı́nio e a sua expressão analı́tica.
(e) Caracterize a aplicação g ◦ f , explicitando o seu domı́nio e a sua expressão analı́tica.
Funções exponenciais e logarı́tmicas
9. Simplifique as expressões seguintes:
(b) (x − 10) ln e(x+10)
(a) eln(2x−5)
(e) eln 5−3 ln x
(f) 43+2 log4 x
4
(c) x blogb x , b ∈ R+ \ {1}
(g) a−1+loga x , a ∈ R+ \ {1}
4
(d) e3 ln x
(h)
2
√
(x− 5)
log 23 ( 49 )
x2 − 5
10. Determine o domı́nio de cada uma das funções reais de variável real, cuja expressão designatória é:
(a)
5x2 − x
1 − e3x
√
(e) e
x+1
(b) x3 − 5x2 − log4 (x2 − 1)
x − 1
(f) ln
− log5 (3x − 2)
x
(c) log3 (4x + 1) + 3 ln(5 − 5x)
(g) log3 (|2x − 2| − |x + 1|)
(d) ln(|x − 3| − 3)
( x2 − 2x + 1 )
(h) ln
x−1
11. Resolva em R as seguintes equações.
(a) 2−2x−1 = 2x
2
1
(e) 2x +4x =
8
2
(b) 3x + 3x+3 = 84
(c) 5 ln x = ln 4 + ln 1944
(f) e(2+ln x)/3 − e = 0
(g) 1 + log9 (4x + 15) = log3 x
x
x
− ln = ln(x2 + 1)
2
4
x+1
2 x
(h) e
− 2x e = 0
(d) 2 ln
12. Escreva, na forma explı́cita, a expressão analı́tica da função inversa de cada uma das seguintes funções.
x
(a) y = 2 + 2x+1 (b) y = 4 − ln
(c) y = ex − 1 (d) y = 4 + ln(x + 4)
3
√
x+2
e4x
e
+7
(f) y = 1 − log5 3x (g) y = 4
(h) y = 2 − e 3
(e) y =
4
x
13. A intensidade de um terramoto I medida na escala de Richter é um número que varia entre I = 0 e
I = 8, 9 (sendo esta a intensidade do maior terramoto conhecido). A intensidade I é dada pela fórmula:
I=
E
2
log
,
3
E0
sendo E0 = 7 × 10−3 kWh e E a energia libertada no terramoto também em kWh.
(a) Determine a energia libertada no terramoto de 1755, cuja intensidade foi de 8,1.
(b) Suponha que era possı́vel converter a energia do terramoto em energia eléctrica. Se 100 mil pessoas
consomem cerca de105 kWh de energia eléctrica por dia, calcule para quantos dias forneceria o
terramoto de 1755 energia a uma cidade com essa população.
14. A quantidade de rádio puro, q, de uma amostra decai exponencialmente sendo regida pela equação
q(t) = q(0) e−λt , λ constante positiva, e tem meia vida de aproximadamente 1600 anos. Sabendo que
q(0) = 50 mg determine uma fórmula para q(t). Ao fim de quanto tempo a amostra apresenta 20 mg
de rádio puro?
15. O número de bactérias em certa cultura aumenta de 600 para 1800 em 2 horas. Supondo aplicável
a lei do crescimento exponencial , q(t) = q(0) eλt , λ constante positiva, determine uma fórmula para
o número de bactérias na cultura num instante arbitrário t. Qual o número de bactérias ao fim de 4
horas?
Funções trigonométricas e trigonométrica inversas
16. Calcule
[π ]
sen α + 2 cosec α + cotg α
3
, sabendo que cos α = − e α ∈
,π ;
sec α − 3 cos α + tg α
5
2
]
[ 3π
√
sen α + cos α
(b)
, sabendo que sec α = 5 e α ∈
, 2π .
cosec α − tg α
2
(a)
17. Prove que
(a) (cos α − sen α)2 = 1 − sen 2α
(b)
1 − cos α
sen α
+
= 2 cosec α
sen α
1 − cos α
18. Determine o domı́nio das seguintes funções
( x−1 )
( x − 3x2 )
(a) f (x) = arc sen
(b) f (x) = arc cos
3x + 2
x2 + 1
√
(
(
))
1 − cos x
x+1
(c) arc tg
(d) ln arc tg
1 + cos x
x−1
19. Calcule
1
(a) sen ( arc cos )
2
7π
(d) arc cos ( sen
)
6
(b) sen ( arc cotg (−1))
√
1
3
(e) sen ( arc tg
)
2
3
√
3
(c) cotg ( arc cotg 1 + arc cos
)
2
7
8
(f) cos( arc cos
− arc cos )
25
17
20. Simplifique as seguinte expressões
(a)
sen 2 x − 3 sen x
cos x( sen x − 3)
(b)
sen 4 x − 1
( sen 2 x + 1)2
(d)
1 1
+ cos(2x)
4 4
(e) tg (x + π) + tg (x − π)
(c)
1 − sen 2 x
cos2 x + 2 cos x
x
(f) tg (2 arc tg )
2
1
(h) cos2 ( arc cos x)
(i) cos(2 arc cos x)
2
21. Determine o domı́nio, o contradomı́nio, os zeros e a forma explı́cita das funções inversas de
π
(a) f (x) = π − arc cos (2x + 1)
(b) f (x) = − + arc cotg (−3x)
3
π
x
(c) f (x) = tg − arc tg
(d) f (x) = 2 sen (3x)
4
3
(π
)
π
(e) f (x) = − arc sen (3x)
(f) f (x) = cos
− 2x
3
6
(g) sen (2 arc sen x)
Derivadas
22. Determine a derivada das funções definidas por:
2
4
1
(a) f (x) = 3 + 4
(b) f (x) = 8 − x2 − x−4
x
x
2
(d) f (x) = (2x + 3)(2x − 3);
(g) f (x) = (5 +
√ 1/3
3x)
(j) f (x) = sen (2x) cos(4x)
(m) f (x) =
e−x − e3x
ex
1
(p) f (x) = arc sen ( )
x
2x2 + 3x − 1
;
x+2
√
√
(h) f (x) = x2 + 2x
(e) f (x) =
(k) f (x) = cotg ( sen x) + tg x
(n) f (x) =
32x − 4x
e4x
(q) f (x) = arc tg (ex )
(c) f (x) = (3x + 2)(4x2 + 1)
(f) f (x) =
√
7
3x + 5
(i) f (x) = sen x2 + x cos2 x
(l) f (x) = ln( cosec (2x))
(o) f (x) = arc sen (ex )
(r) f (x) = [ tg x + sen (2x)]3
√
√
(u) f (x) = ln( ln x)
√
23. Escreva uma equação das rectas tangente e normal ao ramo da parábola y = x no ponto de abcissa
x = 4.
(s) f (x) = arc cos (ln x2 )
(t) f (x) =
√
√
ln x
24. Determine os pontos da curva y = x3 − x2 − x + 1 onde a tangente é horizontal.
25. Seja f : R → R uma função derivável.
(a) Sabendo que a recta tangente à curva de equação y = f (x) em (4, 3) passa no ponto (0, 2),
determine f (4) e f ′ (4).
(b) Sabendo que a recta normal à curva de equação y = f (x) em (4, 3) passa no ponto (0, 2), determine
f (4) e f ′ (4).
26. Num dia de Verão, em Coimbra, o ı́ndice de poluição às 7 da manhã é de 20 partes por milhão,
aumentando a uma taxa de 15 partes por milhão. Supondo que o ı́ndice de poluição I varia em função
da hora t (contada a partir das 7 da manhã) segundo uma lei do tipo I(t) = M t + B:
(a) determine M e B;
(b) determine qual o ı́ndice de poluição às 6 da tarde.
27. O movimento vibratório de uma partı́cula pode ser dado por y(t) = A sen (ωt), sendo A e ω constantes.
Para um determinado instante, relacione a aceleração da partı́cula com a sua posição.
28. O valor do alcance x de um projéctil lançado obliquamente, com um ângulo de lançamento α, é dado
1
pela equação x = v02 sen α cos α. Calcule o valor de α para o qual o alcance tem o valor máximo.
g
29. De acordo com a lei do arrefecimento de Newton, a taxa a que um corpo aquecido vai arrefecendo é
proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do meio envolvente. Determine, em função
da temperatura do corpo T , a taxa de variação referida.
30. Numa reacção quı́mica, se uma molécula de produto C é produzida de uma molécula do reagente A
e duma molécula do reagente B e as concentrações de A e B têm um valor igual a a mols/L, então a
concentração de C, que denotamos por [C], é dada por [C] = a2 kt/(akt + 1), onde k é uma constante.
(a) Encontre a taxa de reacção no instante t.
(b) Mostre que se x = [C], então
dx
dt
= k(a − x)2 .
(c) O que acontece com a concentração e com a taxa de reacção quando t → +∞?
(d) O que significam os resultados da alı́nea anterior em termos práticos?
31. Um campo petrolı́fero tem 8 poços que produzem, em quantidades iguais, um total de 1600 barris de
petróleo por dia. Para cada poço adicional perfurado, a produção média por poço decresce de 10 barris
diários. Quantos poços adicionais devem ser abertos para maximizar a produção?
Integral Indefinido
32. Sejam F e G primitivas de f e g, respectivamente. É verdade que:
(a) F + G é uma primitiva de f + g?
(b) F G é uma primitiva de f g?
(c) F/G é uma primitiva de f /g?
33. Calcule as primitivas das funções indicadas:
1
(a) x3 − 4x 2
(b) cos 3x
3x
(f) 2x3 + √
1 − x2
(g) √
x3 − x
(k) √
9 − x4
(l)
1
cos x sen 4 x
9
(m) 31−2x
ex
1 − e2x
(c) 7x(x2 − 4)4
(h)
(p)
x
1 + x4
(q)
tg x
cos2 x
(r)
(u)
e tg x
cos2 x
(v)
1
x(1 + ln2 x)
(w)
(z)
e arc tg (5x+1)
1 + (5x + 1)2
1
√
54x
cos x
1 + sen 2 x
cosh (ln x)
x
(d)
ln x
x
sen 2x
(e) √
1 + sen 2 x
arc sen x
(i) √
1 − x2
(n) x2 5x
8
(j) √
3 − x2
3
(o)
sen x + cos x
cos x
(t)
√
( x + 3)2
√
x
(y)
1
9 + x2
−1
(s)
(x)
ex
x2
cos(4x)
sen 5 (4x)
34. Calcule, utilizando o método de primitivação por partes, as primitivas das funções reais de variável real
definidas pelas seguintes expressões analı́ticas:
(a)
ln(ln x)
x
(b)
x arc sen x
√
1 − x2
x2
ex
(c) x sen 2x
(d) (2x − 1)2 sen x
(e)
(j) x2 ln x
(f) ex sen 3x
(g) sen (ln x)
(h) cos2 x
(i) ln x
(k) ln2 x
(l) x 5x
(m) e3x (2x + 3)
(n) arc tg
(p) x arc tg x2
(q) sen x ln( sen x + 1)
(r) ex 2x−1
(s) arc sen (10x)
1
x
(0) e−2x cos 8x
(t) ln
x
2
35. Calcule as primitivas das funções reais de variável real definidas pelas seguintes expressões analı́ticas:
(a) cos4 x
(b) sen 3 x
(f) sen 2 x cos5 x
(g) sen 3 x
(k) cos 5x sen 2x
(l) sec3 4x tg 4x
√
3
cos x
(c) sec4 3x
(d) tg 3 x
(e) sen 2 x cos2 x
(h) cosec 3 x
(i) cos 2x cos 3x
(j) cotg 4 x
(m) cotg 2 x tg x
(n) cosec 4 2x
(0) cosh 2 x
36. Primitive as funções racionais definidas pelas expressões seguintes:
(a)
x5 + x4 − 8
x3 − 4x
(b)
x3 + 1
x3 − x2
(c)
1
x2 − 4x + 3
(d)
x2 + 6x − 1
(x − 3)2 (x − 1)
(e)
x4
x4 − 1
(f)
x−1
(1 + x2 )2 (x + 1)
(g)
3x + 2
x3 + x2 − 2x
(h)
x2 − 2x + 4
x2 (x − 2)2
(i)
1
(x2 + 1)(x2 + x)
(j)
x2 + 1
(x − 1)3
37. Calcule, utilizando o método de substituição, as primitivas das funções reais de variável real definidas
pelas seguintes expressões:
√
√
√
x3
1
x−1
x2 + 1
x2 − 9
√
(a) √
(b) √
(c) √
(d)
(e)
3
3
2
x
x
6( x + 1)
x−1− x−1
2−x
e3x
(f)
1 − e2x
√
√
1− x
(k)
x
cos x
(g)
sen 2 x − 2
cos x
(h)
1 − cos x
22x
(l) 4x
2 +4
(m)
√
4−
4x2
√
(i)
x+4
x
√
x
√
(n)
x− 3x
(j)
1
4 cos2 x − sen 2 x
(o)
cos 3x
sen 3x + sen 2 3x
38. Calcule uma primitiva das funções reais de variável real definidas pelas seguintes expressões analı́ticas:
x e arc sen x
(a) √
1 − x4
2
1
3x ln3 x
(c)
x2
tg (1 + x3 )
(h) cosec x
(f)
1
x ln x ln(ln x)
(g)
(k)
e arc tg x
1 + x2
(l)
(p)
x+3
x (x2 + 1)
(q) √
(u) cos(ln x)
ln x
x(1 − ln2 x)
(b)
1 − 6x
2x − 6x2
2x
1 − 4x
√
(v) x x − 1
1
sen x − cos x
(d)
(i)
1
cosec x − cotg x
1
x(1 + ln x)
(e)
(j)
−3x
x4 + e4
1
(4 +
x2 ) arc
(n) ex ( sen x + x)
(o) arc tg x
(r) ex−1 3x
x
(s) sen (2x) cos( )
3
(t) e arc
1
(w) √ √
x( 3 x + 1)2
(x)
(m)
tg 4 x
cos4 x
tg ( x2 )
sen x
(y) 2x3 ln(x2 + 7)2
39. Determine a primitiva F da função f que passa pelo ponto dado, em cada um dos seguintes casos:
1
(−1, 3)
(c) f (x) = cosh x,
(−2, 3)
(a) f (x) = sin x,
(π, 3)
(b) f (x) = − 2 ,
2x
40. Determine uma função F tal que F ′′ (x) = 2x−1 , F ′ (1) = 3 e F (1) = 0.
41. Determine uma função g tal que
e3x
g ′ (x)
=
e lim g(x) = 1.
g(x)
1 + e6x x→+∞
42. Para cada uma das funções definidas em R pelas expressões
cos(2x −
π
x
) e
4
1 + x4
obtenha, se possı́vel,
(a) a primitiva que se anula em x = 0;
(b) a primitiva que tende para 1 quando x tende para +∞;
Se para algum caso for impossı́vel obter uma primitiva que verifique a condição requerida, explique a
razão dessa impossibilidade.
43. A taxa de variação da temperatura T de uma solução de hidrocarbonetos é dada por
1√ 3
dT
=−
t + 10
dt
4
t - tempo em minutos
T - medida em graus Celsius.
Se a temperatura é 5o C para t = 0, obtenha uma fórmula para T em função de t.
Integral definido
44. Prove, por definição, que a função f : [0, 1] → R, definida por f (x) = x2 + 1, é integrável e calcule o
seu integral.
45. Em cada uma das alı́neas seguintes, determine o valor do integral definido, identificando-o com uma
área que indicará.
∫ 2
∫ 2
∫ 3√
∫ a√
(a)
(2x + 6) dx
(b)
(7 − 3x) dx
(c)
9 − x2 dx (d)
a2 − x2 dx, a > 0
−3
−1
46. Calcule os seguintes integrais definidos.
∫ 2
∫ 3
1
1
(a)
dx
(b)
dx
3
x
x
1
2
∫
1
(e)
e
t+et
∫
dt
∫
1
(f)
0
0
∫
1
x 2x dx
(i)
(j)
0
−a
0
π
2
∫
x cos x2 dx
∫
arc tg x
dx
1 + x2
(g)
3x sen x dx
(k)
0
∫
e
ln x dx
∫
1
∫
6
(n)
0
1
2
(h)
0
0
f (x) dx, com f (x) = |x − 1|
(m)
2
xex dx
1
2
1
(d)
π
0
∫
∫
2π
(c)
0
ex
dx
2x
e + 3ex + 2
∫
x2
1
dx
−1
π
| cos x| dx
(l)
0

 1
x
h(x) dx, com h(x) =
 √
x + 12
se x < 1
se 1 ≤ x < 4
se x ≥ 4
47. Determine o valor médio das funções nos intervalos indicados.
(a) f (x) = 4 − x2 , [−2, 2]
(b) f (x) = sen x, [0, π]
Aplicações do Cálculo integral
48. Calcule as áreas da região limitada pelas seguintes curvas:
(a) y = 3x2 , y = 3x
(b) y = 2x, y = 3x, x + y = 3
(c) y = 2 − x2 , eixo das abcissas
(d) y = −4 + x2 , y = 2, y = −2
(e) y = sen 2x, y = cos 2x, x = 0, x =
π
8
(g) y = x2 − 1, y = 4 − x2
(f) y 2 = 4 − x2 , y = 2 − x, y = −x, x =
(h)
√
2
y2
+ 4x2 = 1, y = 2x, y = 0, x = 1
4
49. Determine a área das regiões planas definidas pelas seguintes condições:
(a) y ≥ 2x3 ∧ y ≤ 2 ∧ x ≥ 0
(b) 0 ≤ y ≤ ln x ∧ 1 ≤ x ≤ e
(c) y ≤ x − 1 ∧ y 2 + (x − 1)2 ≤ 1 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
(d) (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 6 ∧ 2 + (x − 1)2 ≤ y
50. Determine o comprimento dos seguintes arcos de curva:
(a) y =
1
2
19
x3
+
, entre os pontos P (1, ) e Q(2, )
6
2x
3
12
(c) y 2 = x3 , entre os pontos P (0, 0) e Q(4, 8)
(e) y = 1 − ln(cos x), 0 ≤ x ≤
π
4
(b) y = ex , entre os pontos P (0, 1) e Q(1, e)
(d) y =
2
(1 + x2 )3/2 , 0 ≤ x ≤ 3
3
51. Mostre que o perı́metro de uma circunferência de raio r é 2πr.
52. Determine o volume dos sólidos de revolução gerados pela rotação da região limitada por:
(a) y = ln x, y = −2, y = 1, x = 0, em torno do eixo dos yy
π
π
(b) y = cos x, y = sen x, x = , x = , em torno do eixo dos xx
4
2
1
(c) y = , x = 0, y = 1, y = 4, em torno do eixo dos yy
x
(d) y = x2 + 1, y = 3 − x2 , em torno do eixo das ordenadas
53. Determine o volume dos sólidos de revolução gerados pelas regiões do plano limitadas pelas curvas
(a) y = sen x, y = 0, x = 0, x = − π2
(b) x2 + y 2 = 9, y 2 = −x
(c) y = ex , y = 0, x = 0, x = 1
quando rodam em torno do eixo dos x ou em torno do eixo dos yy.
54. Calcule o volume de um cone de revolução de altura h e raio da base r.
55. Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da circunferência de raio 1 e centro no
ponto (2, 0), em torno do eixo dos xx.
Integrais impróprios
56. Indique quais dos seguintes sı́mbolos representam um integral definido, quais representam um integral
impróprio e quais não representam nem um integral definido nem um integral impróprio:
∫ 2
∫ 0
∫ 2
∫ 2
1
1
1
√ dx; (b)
√
(a)
dx; (c)
dx;
(d)
sen x dx;
4 − x2
−2
−2 (1 + x) x
−2 x
−2
∫ 2√
∫ 1
∫ 2√
∫ 1√
1
4 − x2 dx;
(f)
x2 − 4 dx; (g)
1 − x2 dx;
(e)
dx;
(h)
2
−2
−1 x − x
−2
−2
57. Use a definição para determinar a natureza dos seguintes integrais impróprios e indique os seus valores
no caso de convergência:
∫ +∞
∫ 0
∫ +∞
∫ 1
2
1
2
x
(a)
dx
(c)
dx
x dx (b)
e dx
(d)
2
2
x
x
−∞
−∞
1
0
∫ 3
∫ 0
∫ +∞
∫ 4
1
1
1
−2x
e
·
cos
x
dx
(g)
(e)
dx
(f)
dx
(h)
dx
4
α
π
(3
−
x)
(x
−
2)α
5
−1 x
0
2
2
∫
+∞
1
dx é convergente.
2
−∞ 1 + x
1
(b) Esboce o gráfico da função f : R −→ R definida por f (x) =
, x ∈ R e interprete o integral
1 + x2
impróprio da alı́nea anterior como o valor de uma área que identificará.
58. (a) Mostre que o integral impróprio
59. Atribua, se possı́vel, um valor à área da região R definida por:
1
1
(b) R = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }
(a) R = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ }
x
x
1
1
(c) R = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √ } (d) R = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √
}
3
x
x
2
1
(e) R = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x ≤ 8, 0 ≤ y ≤ x− 3 } (f) R = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
}
x−1
Integração numérica
∫
60. Determine valores aproximados para
1
e−x dx, usando a Regra de Simpson. Indique um limite para
0
o erro cometido em cada um dos casos.
61. Determine o menor número de pontos que deve considerar em [−2, 2] para obter um valor aproximado
∫ 2
x2
de
e− 2 dx, com uma casa decimal correcta, usando a Regra dos Trapézios.
−2
∫
62. Considere I =
π
sen x dx.
0
(a) Determine uma aproximação para o valor de I utilizando o método de Simpson com n = 4.
(b) Indique um majorante para o erro da aproximação obtida na alı́nea anterior.
∫ −1
63. Seja I =
xe2x dx.
−2
(a) Qual o menor número de pontos que deve considerar em [−2, −1] por forma a que o erro cometido
no cálculo aproximado do integral não exceda 0.5 × 10−3 , quando se utiliza a Regra dos Trapézios.
(b) Calcule o valor aproximado de I de acordo com a alı́nea anterior.
(c) Repita (a) e (b) usando a Regra de Simpson.
∫
2
64. Use a Regra dos Trapézios com quatro subintervalos para obter uma aproximação de
1
o erro máximo cometido na aproximação.
1
dx. Estime
x
x2
65. Determine um valor aproximado do comprimento do arco de curva y =
entre x = 0 e x = 1, com
2
uma casa decimal correcta, utilizando a Regra dos Trapézios.
Raı́zes de Equações não Lineares
66. Localize graficamente e separe as raı́zes da equação
cos x.e−x = sen x, x ∈] −
π π
, [.
2 2
67. (a) Separe as raı́zes da equação |x| = 2 + sen x.
(b) Determine pelo método da bissecção uma aproximação para a menor raiz localizada com um erro
que não exceda 0.15.
68. (a) Mostre que a equação x3 − x − 1 = 0 tem uma e uma só raiz no intervalo [1, 2].
(b) Aplicando três vezes o Método da Bissecção, determine uma aproximação para essa raiz.
69. Localize graficamente as raı́zes reais das equações seguintes e determine um valor aproximado de uma
delas, com uma casa decimal correcta, utilizando o método de Newton
x
(a) ln x = 3 − 3
(b) |x| − ex−1 = 0
2
70. Considere a função f (x) = ln(4 − x2 ) − x.
(a) Faça a localização das raı́zes reais de f (x) = 0.
(b) Aplique o método de Newton, verificando as condições de convergência, para aproximar a raiz
positiva da equação f (x) = 0, com um erro inferior a 10−2 .
71. Considere o método de Newton para aproximar a raiz x∗ ∈ [0, 21 ] da equação ex − 4x = 0.
(a) Justifique que a equação dada tem uma única raiz no intervalo considerado.
(b) Escolha uma aproximação inicial x0 ∈ [0, 12 ] de modo a que fique assegurada a convergência do
método de Newton.
(c) Partindo de x0 = 0, calcule x1 .
72. (a) Localize graficamente a raiz positiva, r da equação ex + 2x2 − 2 = 0.
(b) Obtenha um valor aproximado de r aplicando o método de Newton duas vezes.
(c) Calcule a área da região do plano definida por
y ≥ ex ∧ y ≤ 2 − 2x2 ∧ x ≥ 0.
73. Considere a região do plano definida por 4x2 + 9y 2 ≤ 36 ∧ y + 1 ≥ x2 .
(a) Determine um intervalo de amplitude não superior a 1, que contenha a maior abcissa , r, do ponto
de intersecção das referidas curvas que limitam esta região.
(b) Calcule um valor aproximado de r, com uma casa decimal correcta, usando o método de Newton.
(c) Indique a expressão que lhe permite calcular a área da região acima definida.
Departamento de Matemática da FCTUC
Matemáticas Gerais I (2011/2012)
Licenciatura em Geologia
Mini-Atlas de funções
Funções polinomiais
Se a0 , a1 , . . . , an forem números reais, uma função polinomial tem a forma
f: D
x
−→ R
7−→ f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an .
Podemos tomar para D qualquer subconjunto de R.
Fracções racionais
Sejam P (x) e Q(x) dois polinómios. As fracções racionais são funções do tipo
f: D
x
−→ R
7−→ f (x) =
P (x)
.
Q(x)
Podemos tomar para D qualquer subconjunto de R onde Q não se anule.
Funções irracionais
Seja P (x) um polinómio. As funções irracionais são do tipo
−→ R
f: D
x 7−→ f (x) =
(√
)p
q
P (x) .
O seu maior domı́nio será R de q for ı́mpar e {x ∈ R : P (x) ≥ 0} se q for par.
Função exponencial
Para todo o a > 0 é possı́vel definir a função exponencial de domı́nio R que a cada x ∈ R associa ax .
Quando a = e (número de Euler), sendo
(
)n
1
e = lim 1 +
≈ 2.718281828459045 . . . ,
n→∞
n
temos a chamada função exponencial natural.
Propriedades
ax+y = ax ay ,
y
(ax ) = axy .
Função logarı́tmica
Logarı́tmo de base a:
Logarı́tmo de base 10:
Logarı́tmo natural:
ln (xy) = ln x + ln y,
y = loga x
y = log x
y = ln x
⇔
⇔
⇔
ay = x, a > 0,
10y = x;
ey = x.
Propriedades
( )
x
ln
= ln x − ln y, ln xy = y ln x;
y
loga x =
a ̸= 1;
ln x
(mudança de base).
ln a
Funções f (x)g(x)
Por definição
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) ,
onde e é o número de Euler. Isto significa que f (x)g(x) só está
definida
(√
)pse f (x) > 0. Nalguns casos particulares
q
p/q
que não exijam esta definição, como é o caso de f (x)
=
f (x) , o domı́nio pode ser alargado.
Funções trigonométricas directas
Fórmulas fundamentais
(
π)
cos x = sen x +
.
2
Outras funções trigonométricas
cos2 x + sen 2 x = 1,
tg x =
sen x
,
cos x
cotg x =
cos x
,
sen x
sec x =
1
,
cos x
cosec x =
1
.
sen x
Outras fórmulas importantes
sen 2 x =
1 − cos (2x)
,
2
1 + tg 2 x = sec2 x,
cos2 x =
1 + cos (2x)
;
2
1 + cotg 2 x = cosec 2 x;
sen (x ± y) = sen x cos y ± sen y cos x;
cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y;
tg (x ± y) =
tg x ± tg y
;
1 ∓ tg x tg y
1
( sen (x + y) + sen (x − y)) ;
2
1
sen x sen y = (cos (x − y) − cos (x + y)) ;
2
1
cos x cos y = (cos (x + y) + cos (x − y)) .
2
sen x cos y =
y ......
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1−
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.
π
π
.
.
π .......... 3π ..........2π
x
−π......... − 2 ......... ...
−2π − 3π
2
.........2.........
.....................
2
....
. −1−
....
...
....
.
y = sen x
y = tg x
..
.........
..
y ...
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....................|...........................|.........................|......................................................|.............................|.........................|..........................................
π
π
3π .
.....
..... ..
.....
x
− 3π..
.
...−π − 2...
... ....
... π
.
.
.
.
2
2 ..
2
...
.
.
.
.
. .−1
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.. −
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. ... −2−
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y ......
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1 ..............
...............
..........
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........−
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.......
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.... ...........
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.....
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...........|........................|...........................|..........................|..........................................................|..........................|..........................|............................|...............................................
...
...
π.........
..... π
...
..... 3π
x
−2π − 3π.......... −π .........−
2π
...
2
2 ........... π ............ 2
.....................
2
.........
...
−1−
...
....
.
y = cos x
y = cotg x
..
.........
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y .....
......
......
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2−
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1−
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..........................................|..........................|..............................|.........................................................|..........................|..............................|............................................................................
....
..
π ....... π
3π ........
....
− π .......
−2π .. − 3π ..... −π
...
.
.. 2π x
..
2 ..
2 .....
2 ...
2
..
.
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... ..
.−1
... .
... −
...
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−2
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y = sec x =
1
cos x
y = cosec x =
..
.........
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y ...
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.... ..... 2 −
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..... .. .....
...
......−
.........
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1
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....
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....
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....................|.........................|........................|.....................................................|..........................|........................|..........................................
π
3π.
....
π
x
−π − π
− 3π..
..
.
2....
2
.
...
2 ..
2
.
.
.....
.......
−1−
....
........ ...........
....... ..........
... ...
... ...
...
.... .....
.... .....
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1
sen x
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y .....
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2−
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.......................
....................
1−
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......................................|........................|..........................|..................................................|........................|..........................|..........................................................................
π
3π
....
−π
x
−π
−2π
− 3π
..π
.
2
2
.
....2π
....
2
2
....
.
.
.....
.......
...
........ ...........
....... ..........−1−
... ....
... ...
.... .....
....
.... .....
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... −
...
..
−2
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....
Funções trigonométricas inversas
y
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
=
arc
arc
arc
arc
arc
arc
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
sen x
cos x
tg x
cotg x
sec x
cosec x
sen y = x, − π2 ≤ y ≤ π2 ;
cos y = x, 0 ≤ y ≤ π;
tg y = x, − π2 < y < π2 ;
cotg y = x, 0 < y < π;
sec y = x, 0 < y < π;
cosec y = x, − π2 < y < π2 .
Principais fórmulas
(
arc tg x = arc sen
x
√
1 + x2
(√
)
= arc cosec
)
1 + x2
;
x
arc tg x + arc cotg x + arc sen x + arc cos x = arc cosec x + arc sec x =
y = sen x
.
..........
...
....
...
.......
−
1 ...
........ •
..
......
... ..........
... .....
.. ..
...........|......................................................................................|...............
.... ..
.... ....
.
π
π
.
.
−
.....
2
2
....
......
...
.......
............... −1 −
•
...
....
..
...
...
.
y
y = arc sen x
...
........
....
...
.
•
−
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...
..
...
..
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...
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...
...
... .......
... .....
........
.........................|.....................................................|.............................
..
..... ..
... ..
−1 ...... ....
1
...
.
....
...
...
...
.
.
.
..
....
.. − π −
•
2 ....
..
....
..
y
π
2
....
.......
..
...
...
... π −
•
...
...
...
...
...
...
....
...
....
..
.... ...
.... ..
..... ..
π ..−
......
2 .........
... .......
....
...
....
...
....
...
..
...
...
...
...
.........................|...................................................•
..|...............................
...
...
−1
1
...
...
..
y
y = cos x
...
........
..
...
...
..............
•
1 −
... ..........
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.
......................................................................|..........................................|..........................
.....
...
...
π .........
π
......
...
2
.....
...
..........
......•
...
..
−1 −
....
..
...
...
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y
y = arc cos x
π
.
2
y = tg x
.
...
y ........
..
.
...
...
...
...
......
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...
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..
...
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......
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.. ..... ... .. .
..............π
....|................................................π
.....|...................
... .
−
2.. ...... ....
2..
.. ...
..
...
.
.
.
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.... ....
....
....
...
...
.....
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.....
..
...
...
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.......
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.
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..
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...
..
....
.
y = arc tg x
y....
.....
π...
..
....... ....... ....... ....... ....... 2.......... ....... .............................................................
........
.... .............
.......
.
.......................................................................................................................................................
...
... ..
...... ...
............. ..
........................................................................... ....... ......... ....... ....... ....... ....... ..
..
−π
2
y = cotg x
.
...
y ..........
.
....
....
......
.
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.......
......
....
.......
.
... ...
... ....
....
... ...
... .....
.. .... ...
..
..................................π
..|........................|.............................
.
....
2 ........π..
...
... ...
..
...
.. ..
...
... ..
...
...
.....
...
......
...
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.....
...
.....
...
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......
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....
y ........
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..
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.....
...
.....
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......
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....
... ...
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...
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...
.. ...
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.
2−
................... .
•
1−
..
..
.
..............................π
.............................................
....
..
...•
2.. ........π
−1−
.
.
.
...
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.
. ...
−2−
....
.... ....
....
...
....
.
...
...
...
.......
....
...
...
....
......
....
...
...
.
...
..
...
.
.......
...
.
....
...
....
y ..........
.
.
......
...
....
......
.
......
..
..
.......
..
..
......
.......
...
.
.
....
.
..
..
.... ....
..
.
... ...
..
... ...... ...
... ........•
....
...
1−
.
.
.
...........................................π
.............
..
− π......
2
•
.. ........ −
..−1 2..
... ...
..
..
.. ...
.. ..
... ..
....
....
......
.....
....
....
......
.
.
......
......
....
....
.....
.
.....
....
.....
....
.
.
....
.
y=
arc cotg x
.
.
.......
y....
...
.
.................................................................. .......π.......... ....... ....... ....... ....... ..
.............. ..
...... ..
... ..
.....
π.......
2........
.... ...............
.....
.
.................................................................................................................................................................................................
....
.
y = arc sec x
y = sec x
y....
......
....... ....... ....... ....... ......•
...π.......... ....... ....... ....... ....... ..
.
.
.
.. ....
.
.
.... ...
............
.......................................................................... .......π.......... ....... .............................................................
2... .................
... ...
.. ...
.........................................................|......|...............•
.|......|...............................................................
−2
−1.... 1 2
..
y = arc cosec x
y = cosec x
y....
.....
π...
..
....... ....... ....... ....... ....... 2..........•
... ....... ....... ....... ....... ..
.... .....
... .............
....
.
.
.....................................................................................................|..............|.................................................................................................................
.............
.
...−1
... .... 1
... ..
. .
....... ....... ....... ....... ......•
... .......... ....... ....... ....... ....... ..
..
−π
2....
..
.
Funções hiperbólicas directas
Certas combinações das funções exponenciais ex e e−x surgem frequentemente em matemática e suas
aplicações e por isso merecem nomes especiais. Essas funções são análogas às funções trigonométricas e têm
a mesma relação com a hipérbole que as funções trigonométricas com o cı́rculo. Por essa razão são chamadas
funções hiperbólicas.
ex − e−x
ex + e−x
,
cosh x =
.
2
2
A aplicação mais famosa das funções hiperbólicas é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de
um cabo flexı́vel pesado suspenso entre dois pontos à mesma altura, como, por exemplo, uma linha telefónica
ou eléctrica. Prova-se que a forma desse cabo é a curva com equação y = c + d cosh (x/a), chamada catenária.
senh x =
Fórmula fundamental
cosh 2 x − senh 2 x = 1.
Outras funções hiperbólicas
tgh x =
senh x
,
cosh x
cotgh x =
cosh x
,
senh x
sech x =
1
,
cosh x
cosech x =
1
.
senh x
Outras fórmulas importantes
senh (x ± y) = senh x cosh y ± senh y cosh x;
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y;
tgh (x ± y) =
tgh x ± tgh y
.
1 ± tgh x tgh y
y = cosh x
y = senh x
..
..........
...
...
y ....
..
...
..
...
...
..
...
...
.
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.
...
..
...
....
......
...
..
...
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...
......
...
....
......
...
. .. ......
.
−
1
.... ..........
ex
−→ ... .......... ........
y =
. ..
.. ....
......................................................2
........................................................................................................................................−x
....................................
e
.... .. .. ....
.... ...... ....
.
.
← y = −
x
.. .. ...
.
.
. . ..
2
.. −1
......... −
...
...
.
.......
.
.
...
....
......
...
...
....
....
.
...
......
...
.
.
...
.
...
....
...
...
....
....
...
.
y = tgh x
.
.........
y ...
...
...
...
1 ..
....... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... ................................................ .......
..
............
.. ............
.... ........
...................................................................................................................................................................
..
..... ..
x
...... ....
.......
..
.............
.
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....... ....... ....... ....... ....... ....... .......... ....... ....... ....... ....... .......
−1 ....
....
....
..
...
...
y = sech x
...
........
.
y ...
..
...
...
1 ...
......
.
.
.
.
.
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..... .... ............
.
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.
......
.
.......
......
....
......
.......
.
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.
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.
................
......
..
.......
.................
.....................................................................................................................................................................
...
....
x
...
....
y ....
......
...
....
..
...
...
....
...
...
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...
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.. ....... .... ...............
............
..1
..... −
.... .......
ex
e−x
.
.
.
y =
−→
← y =
..........
.. . .... ....... ..
.
2
.
.
2
.
.
....
.....
.............................................................................................................................................................................................................................
...
...
x
...
...
.
...
........
.. .
... ...
... ..
y .... ....
.. ...
... ....
... ...
... ....
... .....
.
.....
.........
1 ....
.
....... ....... ....... ....... ....... ....... ......... ....... ........................................................ .......
....
..............................................................................................................................................................
...
x
....... ............................................................... ....... .......... ....... ....... ....... ....... .......
.........
..
.....
..... .... −1
.
... ..
... ..
.. ...
... ..
... ..
... ...
.. ...
.. ..
.. ..
.. ..
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...
..
y = cotgh x
..
..........
... .
... ...
.. ..
y ... ....
.... ....
... ...
... ...
... ....
... ...
... .....
.....
...
......
...
.........
..........
.
....................................................................................................................................................................................................
...............
...
.......
x
......
..
.
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... ..
... ...
.. ...
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... ..
... ..
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.. ...
.. ..
. ..
...
...
.
y = cosech x
Em Cálculo, volume 1, R. Larson, R. P. Hostetler e B. H. Edwards, McGraw-Hill Interamericana do
Brasil, 2006, podem encontrar mais informações sobre estas e outras funções.
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemáticas Gerais (Geologia)
2012/2013
DERIVADAS
TABELA 1
u = f (x), v = g(x), k constante real
Função
k
Derivada
0
x
1
u + kv
u′ + kv ′
Função
Derivada
arc sen u
u′
√
1 − u2
arc cos u
uv
u′ v + v ′ u
u
v
u′ v − v ′ u
v2
uk
kuk−1 u′
eu
eu u′
ku
k u u′ log k (k > 0)
uv
uv v ′ log u + vuv−1 u′
ln u
u′
u
logk u
u′
(k > 0)
u log k
sen u
(cos u)u′
cos u
−(sen u)u′
tg u
(sec2 u)u′
cotg u
−(cosec2 u)u′
sec u
(sec u tg u)u′
cosec u
−(cosec u cotg u)u′
arc tg u
−√
u′
1 − u2
u′
1 + u2
u′
1 + u2
arc cotg u
−
arc sec u
u′
√
u u2 − 1
arc cosec u
u′
− √
u u2 − 1
sh u
(ch u)u′
ch u
(sh u)u′
tgh u
(sech2 u)u′ =
arg sh u
u′
√
1 + u2
arg ch u
u′
√
u2 − 1
arg tgh u
u′
1 − u2
u′
ch2 u
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia)
2012/2013
PRIMITIVAS
TABELA 2
f = u(x), a e m constantes reais, C constante real (arbitrária) de primitivação
Função
a
f
m
·f
′
Primitiva
ax + C
f m+1
+ C (m ∈ IR\{−1})
m+1
f′
f
ln |f | + C
a ·f
af
+ C, (a ∈ IR+ \{1})
ln a
f
′
f ′ · senf
− cos f + C
f ′ · cos f
senf + C
f ′ · tg f
− ln | cos f | + C
f ′ · cotg f
ln |senf | + C
′
f · sec f
ln | sec f + tg f | + C
f ′ · cosec f
ln |cosec f − cotg f | + C
f ′ · sec2 f
tg f + C
f ′ · cosec2 f
−cotg f + C
f ′ · sec f · tg f
sec f + C
′
f · cosec f · cotg f
−cosec f + C
f′
√
1 − f2
arcsenf + C
ou
−arc cosf + C
f′
1 + f2
Primitiva
f ′ · shf
chf + C
f ′ · chf
shf + C
f ′ · th f
ln |chf | + C
f ′ · coth f
ln |shf | + C
f ′ · sech2 f
th f + C
f ′ · cosech2 f
−coth f + C
f ′ · sechf · th f
−sechf + C
f ′ · cosechf · coth f
−cosechf + C
f′
√
1 + f2
argshf + C
f′
√
f2 − 1
argchf + C
f′
1 − f2
argth f + C, se f (x) ∈ ]−1, 1[
f′
√
|f | · 1 − f 2
-argsechf + C
f′
√
|f | · 1 + f 2
argcosechf + C
ou
argcoth f + C, se |f (x)| > 1
arctg f + C
ou
-arccotg f + C
f′
√
|f | · f 2 − 1
Função
arcsecf + C
ou
−arccosecf + C
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia)
2012/2013
REGRAS DE PRIMITIVAÇÃO
TABELA 3
1. Potências de funções trigonométricas e hiperbólicas
(a) Potências ı́mpares de sen x, cos x, shx e ch x.
Destaca-se uma unidade à potência ı́mpar e o factor resultante passa-se à co-função usando
ch2 x − sh2 x = 1.
cos2 x + sen2 x = 1;
(b) Potências pares de sen x, cos x, shx e ch x.
Passa-se ao arco duplo usando
sen2 x =
1
[1−cos(2x)];
2
cos2 x =
1
[1+cos(2x)];
2
sh2 x =
1
[ch(2x)−1];
2
ch2 x =
1
[ch(2x)+1].
2
(c) Potências pares e ı́mpares de tg x, cotg x, tgh x e cotgh x.
Destaca-se tg2 x ou cotg2 x ou tgh2 x ou cotgh2 x e aplica-se uma das fórmulas
tg2 x = sec2 x − 1;
cotg2 x = cosec2 x − 1;
tgh2 x = 1 − sech2 x;
cotgh2 x = 1 + cosech2 x.
(d) Potências pares de sec x, cosec x, sech x e cosech x.
Destaca-se sec2 x ou cosec2 x ou sech2 x ou cosech2 x e aplica-se uma das fórmulas
sec2 x = 1 + tg2 x;
cosec2 x = 1 + cotg2 x;
sech2 x = 1 − tgh2 x;
cosech2 x = cotgh2 x − 1.
(e) Potências ı́mpares de sec x, cosec x, sech x e cosech x.
Destaca-se sec2 x ou cosec2 x ou sech2 x ou cosech2 x e primitiva-se, por partes, começando por esse
factor.
2. Produtos de potências das funções sen x e cos x (ou sh x e ch x).
(a) Potência ı́mpar de sen x (ou sh x ) por qualquer potência de cos x (ou ch x).
Destaca-se sen x (ou sh x ) e passa-se o factor resultante para a co-função usando
sen2 x = 1 − cos2 x;
sh2 x = ch2 x − 1.
(b) Potência ı́mpar de cos x (ou ch x ) por qualquer potência de sen x (ou sh x).
Destaca-se cos x (ou ch x ) e passa-se o factor resultante para a co-função usando
cos2 x = 1 − sen2 x;
ch2 x = 1 + sh2 x.
(c) Potência par de sen x (ou sh x ) por potência par de cos x (ou ch x).
Aplicam-se as fórmulas referidas em 1 b) e ainda
sen(2x) = 2sen x cos x;
sh(2x) = 2sh x ch x.
3. Produtos envolvendo factores do tipo sen(mx) e cos(nx) (ou sh(mx) e ch(nx) )
Aplicam-se as fórmulas
sen x sen y =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)];
2
1
[cos(x + y) + cos(x − y)];
2
1
sen x cos y = [sen(x + y) + sen(x − y)];
2
cos x cos y =
sh x sh y =
1
[ch(x + y) − ch(x − y)];
2
1
[ch(x + y) + ch(x − y)];
2
1
sh x ch y = [sh(x + y) + sh(x − y)].
2
ch x ch y =
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
Matemáticas Gerais (Licenciatura em Geologia)
2012/2013
PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
TABELA 4
Na tabela seguinte, a, b, c e d são constantes reais e m, n, p, q, r e s são números inteiros.
R (...) indica que se trata de funções racionais dos argumentos que se encontram entre parêntesis.
Tipo de Função
(x2
Substituição
1
, k ∈ IN, k > 1
+ a2 )k
x = a tg t
P (x)
, k ∈ IN, k > 1, b2 − 4ac < 0,
+ bx + c)k
com o grau do polinómio P (x) inferior a 2k
ax +
P (x)
, k ∈ IN, k > 1,
((x − p)2 + q 2 )k
com o grau do polinómio P (x) inferior a 2k
x = p + qt
(ax2
p
xm (a + bxn ) q , com
p
xm (a + bxn ) q , com
m+1
n
m+1
n
+
∈ ZZ
p
q
(
(
R x,
R (loga x)
)
)p (
)r
ax + b s
ax + b q
,
,...
cx + d
cx + d
p
r
R (x, (ax + b) q , (ax + b) s , . . .)
R (x,
√
a2 − b2 x2 )
R (x,
√
a2 + b2 x2 )
R (x,
√
b2 x2 − a2 )
=t
a + bxn = tq
∈ ZZ
R (arx , asx , . . .), a > 0
b
2
a + bxn = xn tq
amx = t, com m = m.d.c.(r, s, . . .)
t = loga x
ax + b
= tm , com m = m.m.c.(q, s, . . .)
cx + d
ax + b = tm , com m = m.m.c.(q, s, . . .)
x = ab sen t ou x =
a
b
cos t ou x = ab tgh t
x = ab tg t ou x = ab sh t
x=
a
b
sec t ou x = ab ch t
√ √
R (x, x, a − bx)
x = ab sen2 t ou x =
√ √
R (x, x, a + bx)
x = ab tg2 t
√ √
R (x, x, bx − a)
x=
a
b
a
b
cos2 t
sec2 t
√
R (x, ax2 + bx + c), com a > 0
√
√
ax2 + bx + c = x a + t
√
ax2 + bx + c), com c > 0
√
√
ax2 + bx + c = c + tx
R (x,
Tipo de Função
√
R (x, ax2 + bx + c),
com ax2 + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 )
√
ax2 + bx + c = (x − r1 )t ou
√
ax2 + bx + c = (x − r2 )t
R (sen x, cos x),
com R (−sen x, cos x) = −R (sen x, cos x)
cos x = t
R (sen x, cos x),
com R (sen x, − cos x) = −R (sen x, cos x)
sen x = t
R (sen x, cos x),
com R (−sen x, − cos x) = R (sen x, cos x)
R (sen x, cos x),
nos restantes casos (e até nos anteriores)
Substitução
tg x = t, logo, para x ∈]0, π2 [,
t
1
sen x = √
e cos x = √
2
1+t
1 + t2
(
logo, sen x =
x
tg = t
2
)
2t
1 − t2
e cos x =
1 + t2
1 + t2
R (sen (mx), cos (mx))
mx = t
R (ex , sh x, ch x)
x = log t
R (sh x, ch x),
com R (−sh x, ch x) = −R (sh x, ch x)
ch x = t
R (sh x, ch x),
com R (sh x, −ch x) = −R (sh x, ch x)
sh x = t
R (sh x, ch x),
com R (−sh x, −ch x) = R (sh x, ch x)
R (sh x, ch x),
nos restantes casos (e até nos anteriores)
R (sh (mx), ch (mx))
tgh x = t
(
)
t
1
logo, sh x = √
e ch x = √
1 − t2
1 − t2
x
tgh = t
2
(
)
2t
1 + t2
logo, sh x =
e ch x =
1 − t2
1 − t2
mx = t