Capı́tulo 19
Funções Inversas e suas Derivadas
19.1
Motivação
Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidas
por medidas de segurança especiais para impedir atos de vandalismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento
paralela à parede onde um quadro famoso está exposto. Calcule
o ângulo α de visão de um observador junto à corda em função da
distância x da corda à parede. Considere que a altura média (a)
dos visitantes é de 1,70 m, a distância da base do quadro ao solo
(b) é de 2,70 m e que a altura do quadro (c) é de 3 m, conforme
mostra o esquema ao lado.
c
α
d
β
b
a
x
Este cálculo é importante para se determinar a distância da corda de isolamento que permita um ângulo máximo
de visão ao observador.
De acordo com o nosso conhecimento de funções trigonométricas, as grandezas estão relacionadas pelo seguinte
sistemas de equações
tg(α + β) =
tg(β) =
c+d
x
d
x
Para resolver o problema proposto, é necessário determinar o valor de um ângulo sabendo-se o valor do seu seno
ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto é, conhecendo-se x encontrar α, tal que, por exemplo, sen(α) = x. Isto
equivale a achar uma função g tal que g(x) = α.
Em muitas situações práticas, como a do problema anterior, é preciso refazer uma seqüencia de passos desfazendo
o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir são dados outros exemplos em que este procedimento é
usado:
1. Qual é o número que multiplicado por cinco e somado com três é igual a 18?
2. Qual é o número positivo que elevado ao quadrado é igual a 4?
3. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posição
em cada instante de tempo t é dada pela equação s = v t + s0 , onde s0 representa a posição do trem no momento
em que se iniciou a contagem do tempo. Você é capaz de achar a expressão que define t como uma função de
s? (Para o chefe da estação, as duas informações são importantes, a primeira para que ele possa programar as
partidas dos trens que saem de sua estação em sentido contrário e a segunda para informar a hora de embarque
aos que desejam viajar.)
O problema acima é equivalente a: sendo dada uma função arbitrária y = f (x), determinar x como função de y,
isto é, a partir da função y = f (x), determinar x = g(y). Neste caso, dizemos que f e g são funções inversas. Os
exemplos estudados na próxima seção determinam as condições necessárias à resolução de problemas deste tipo.
250
Cap. 19.
19.2
Funções Inversas e suas Derivadas
Funções inversas
Considere as funções s(x) = x2 e f (x) = x3 e seus respectivos gráficos:
30
100
20
y
10
80
60
–10 –8
40
–6
–4
–2 0
2
4 x 6
8
10
–10
20
–10 –8
–6
–20
–2 0
–4
2
4 x 6
8
–30
10
A função f (x) = x3 goza das seguintes propriedades:
1. Cada reta horizontal corta o gráfico de f no máximo uma vez (veja o gráfico à esquerda, a seguir).
2. Para cada número y no conjunto imagem de f , a equação y = f(x) = x3 tem exatamente uma solução (veja o
gráfico à direita). Por exemplo, tomando-se y = −8, temos −8 = x3 ⇔ x = −2, e mais geralmente, y = x3 ⇔
1
x = y3.
30
30
20
20
y
10
10
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
–10 –8
–6
–4
–2 0
–10
–10
–20
–20
–30
–30
2
4 x 6
8
10
3. Se você refletir o gráfico de f em relação à diagonal principal, o novo conjunto obtido é o gráfico de uma função.
1
Em verdade, é o gráfico da função g(x) = x 3 .
2
y1
–2
–1
0
1
x
2
–1
–2
Neste caso, dizemos que x = (f −1 )(y) = g(y). As funções f e g são ditas inversas.
Além disso, como g deve “desfazer ou anular” o efeito de f , temos também que
(f ◦ g)(y) = y, qualquer que seja y no domı́nio de g e
(g ◦ f )(x) = x, qualquer que seja x no domı́nio de f .
Vamos examinar agora a função s(x) = x2 . Esta função não goza de nenhuma das propriedades enunciadas acima
para a função f , a saber:
1. Retas horizontais cortam duas vezes o gráfico de s.
2. Para y > 0, a equação y = x2 tem duas soluções: x =
–10 –8
–6
–4
30
28
26
24
22
20
18
y16
14
12
10
8
6
4
2
–2 0
√
√
y e x = − y. Veja as figuras:
10
8
6
y
4
2
2
4 x 6
8
10
–10 –8
–6
–4
–2 0
2
4 x 6
8
10
W.Bianchini, A.R.Santos
251
3. Se você refletir o gráfico de s em relação à diagonal principal, o novo conjunto de pontos obtido não é o gráfico
de nenhuma função, pois retas verticais interceptam este gráfico duas vezes.
2
y1
–2
–1
0
1
x
2
–1
–2
As observações anteriores permitem concluir que esta função não é invertı́vel.
Se você raciocinar um pouco chegará a conclusão de que as três condições enunciadas acima são equivalentes. Neste
caso, dizemos que a função é biunı́voca.
Definição 1
Uma função f é dita biunı́voca quando uma reta horizontal cortar o seu gráfico em apenas um ponto, ou, equivalentemente, quando a equação y = f (x) tiver uma única solução.
Esta condição pode ser expressa em termos algébricos, da seguinte maneira:
Definição 1’
Sejam x1 e x2 no domı́nio de f , tais que x1 ̸= x2 . Dizemos que f é biunı́voca se f (x1 ) ̸= f (x2 ).
Assim, se uma função f é biunı́voca, a equação y = f (x) pode ser resolvida para x, ou seja, é possı́vel determinar
a função g tal que x = g(y). Neste caso, f é invertı́vel e g é a função inversa de f .
Definição 2
Uma função f , biunı́voca, é também invertı́vel e sua inversa é uma função g calculada da seguinte maneira:
x = g(y) ⇔ y = f (x) .
Repare que o domı́nio de g é a imagem de f e a imagem de g é o domı́nio de f .
1
Para a função f (x) = x3 , temos y = f (x) ⇔ y = x3 ⇔ x = y 3 . Assim, a inversa da função f (x) = x3 é a função
1
g(x) = x 3 . Como seria de se esperar, o procedimento inverso de “elevar ao cubo” é “extrair a raiz cúbica”.
Se f e g são funções inversas, a definição acima nos diz que o ponto (x, y) está no gráfico de f se, e somente se, o
ponto (y, x) está no gráfico de g. Vamos interpretar geometricamente esta informação:
A reta y = x é formada pelos pontos que têm abscissa igual a ordenada. Assim, dado um ponto qualquer (x, y)
do plano, o ponto (y, x) é o seu simétrico, isto é, a sua imagem espelhada em relação a esta reta. Em outras palavras,
a reta y = x é a mediatriz do segmento que liga (x, y) a (y, x). (Veja o gráfico à esquerda.) Assim, podemos obter o
gráfico de uma função a partir do gráfico da sua inversa e vice-versa, refletindo cada um dos pontos de um dos gráficos
em relação à reta y = x (Observe o gráfico a seguir, à direita).
2
3
(x,y)
y1
2
–2
–1
0
1
x
2
1
(y,x)
0
1
x
2
–1
3
–2
Como vimos, a função s(x) = x2 , definida em toda a reta não é biunı́voca, portanto, não tem inversa. No entanto,
se restringirmos o domı́nio dessa função ao intervalo [0, +∞), esta nova função é biunı́voca e a reflexão do seu gráfico
em relação à reta y = x dá origem ao gráfico de uma outra função que será a sua inversa. Esta inversa é a raiz
quadrada positiva, porque se x ≥ 0,
√
y = x2 ⇔ x = y.
√
Assim, a função g(x) = x é a inversa de f (x) = x2 , com domı́nio restrito a [0, +∞), como mostra o gráfico:
252
Cap. 19.
Funções Inversas e suas Derivadas
2
1.8
1.6
1.4
1.2
y1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
x
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Este mesmo raciocı́nio pode ser empregado para achar inversas das demais funções potências positivas, restritas
ao intervalo [0, +∞).
19.3
Derivada da função inversa
O objetivo desta seção é deduzir uma maneira de calcular a derivada da inversa de uma função derivável f . Para isso
vamos raciocinar geometricamente. Considere um ponto (x1 , y1 ) do gráfico de f −1 . O ponto correspondente no gráfico
de f é o ponto (y1 , x1 ). É inteiramente razoável supor que, se o gráfico de f tem uma tangente, não vertical, no ponto
(y1 , x1 ), então o gráfico obtido pela reflexão deste último em torno da reta y = x tem uma tangente, não vertical, em
(x1 , y1 ), e a tangente do gráfico refletido é a reflexão da tangente ao gráfico original, como ilustra a figura à esquerda.
d−b
A declividade da reta original é dada por m1 = c−a
. A declividade da reta refletida é m2 = c−a
d−b . Conseqüentemente,
1
m2 = m1 , se m1 ̸= 0. Veja o gráfico à direita.
(d,c)
(c,d)
(b,a)
(y1,x1)
(x1,y1)
(a,b)
x1
Vamos retornar agora à função f e à sua inversa f −1 . Suponha que f tenha uma reta tangente com declividade
m2 ̸= 0 em (y1 , x1 ). Então, a declividade da reta tangente à f −1 , em (x1 , y1 ) é m12 . Mas, m2 = f ′ (y1 ) e y1 = f −1 (x1 ).
Conseqüentemente,
1
m2 = f ′ (f −1 (x1 )) ⇒ m1 = ′ −1
.
f (f (x1 ))
Mas m1 é precisamente o valor da derivada de f −1 em x = x1 . Assim, obtemos a fórmula:
(∗)
(f −1 )′ (x1 ) =
1
f ′ (f −1 (x1 ))
e esta fórmula vale qualquer que seja o ponto x = x1 do domı́nio de f −1 , tal que o denominador da fração acima seja
diferente de zero. Uma vez que se saiba isto, a fórmula acima pode ser deduzida como uma aplicação simples da regra
da cadeia. Como f e f −1 são funções inversas, temos f (f −1 (x)) = x. Usando a regra da cadeia para derivar esta
equação, obtemos f ′ (f −1 (x)) [Df −1 (x)] = 1 e daı́ segue a fórmula (*). Esta segunda maneira de deduzir a fórmula (*)
é mais fácil de usar que a própria fórmula. Vamos exemplificar com alguns casos que já conhecemos.
Exemplo 1: A função raiz cúbica
1
A função raiz cúbica f (x) = x( 3 ) satisfaz a equação
(1)
1
3
(f (x))3 = (x 3 ) = x.
(Repare que com isto estamos afirmando que f é a função inversa de g(x) = x3 .)
Derivando a equação (1), obtemos
3 f2 f′ = 1
e daı́ vem que
1
x− 3
1
=
.
2 =
2
3 f (x)
3
3 x3
2
f ′ (x) =
W.Bianchini, A.R.Santos
253
Exemplo 2: A função raiz n-ésima
1
A função f (x) = x n , para 0 < x < ∞, satisfaz a equação
[f (x)]n = x, para 0 < x < ∞ ,
pois f é definida como sendo a inversa de g(y) = y n , 0 < y < ∞. Supondo que f tem derivada, podemos derivar
ambos os lados da equação e obter
n [f (x)](n−1) f ′ (x) = 1 , para 0 < x < ∞ ,
logo,
1
1
x( n −1)
=
=
, para 0 < x < ∞
n−1
n
n [f (x)](n−1)
n x( n )
Quando n é ı́mpar, o mesmo raciocı́nio se aplica para −∞ < x < ∞ e não somente para 0 < x < ∞.
m
A fórmula deduzida acima conduz diretamente a fórmula análoga para a derivada de x( n ) . Usando a notação de
Leibniz, temos
1
f ′ (x) =
m
d (x( n ) )
m ( m −1)
=
x n
.
dx
n
Os exemplos acima sugerem que as derivadas das funções inversas podem ser facilmente calculadas, mas em cada
caso foi necessário supor, de partida, que a derivada existia. Esta hipótese é justificada pelo teorema a seguir, que
mostra que, em todos os casos razoáveis, a função inversa realmente possui derivada.
Teorema da função inversa
Suponha que o domı́nio de g é um intervalo aberto I e que
(i) g ′ (y) > 0 para todos os pontos y em I ou
(ii) g ′ (y) < 0 para todos os pontos y em I.
Então g é biunı́voca (o que implica que g tem uma inversa) e a sua inversa f tem derivada em todos os pontos do
seu domı́nio. Além disso
f ′ (x) =
1
g ′ (f (x))
Observação: A demonstração desse teorema é complicada, mas, como já vimos antes, geometricamente é fácil
observar que o resultado é verdadeiro. Se g ′ (y) > 0 ou (g ′ (y) < 0), para todos os y em I a função g é crescente (ou
decrescente) e possui uma tangente não horizontal em todos os pontos deste intervalo, cuja inclinação é dada por g ′ .
O gráfico refletido terá, portanto, uma tangente não vertical e a inclinação desta tangente fornece o valor de f ′ .
Para calcular a derivada da inversa de uma função, procedemos como nos exemplos dados, simplificando, no passo
final, a expressão g ′ (f (x)). Os detalhes desta simplificação dependem da função que está sendo derivada.
19.4
As funções trigonométricas inversas e suas derivadas
Nenhuma função trigonométrica é invertı́vel, pois, como estas funções são periódicas, retas horizontais cortarão seu
gráfico um número infinito de vezes. Assim, dado um número entre [−1, 1] a equação x = sen(θ) tem uma infinidade
de soluções. Veja esta afirmação ilustrada no gráfico da função seno.
>
plot([sin(x),0.5],x=-30..30);
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–30
–20
–10
0
–0.2
10
x
20
30
–0.4
–0.6
–0.8
–1
No entanto, como no caso da função f (x) = x2 , podemos restringir o domı́nio das funções trigonométricas de tal
modo que elas sejam invertı́veis em algum intervalo.
254
Cap. 19.
19.4.1
Funções Inversas e suas Derivadas
As funções arcsen(x) e arccos(x)
Define-se o valor principal da função seno como sendo a restrição do seno ao intervalo [− π2 ,
denotando esta função por seno (sen).
π
2 ].
Continuamos
A função valor principal do seno tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco seno (arcsen). Assim,
y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y).
• Qual o domı́nio da função arco seno? Qual a sua imagem?
• Qual o valor de arcsen( 12 )? E de arcsen(−1)?
Repare abaixo o gráfico da função arcsen(x), obtido a partir de uma reflexão em relação à diagonal principal do
gráfico da função y = sen(x), definida no intervalo [− π2 , π2 ].
>
plot(arcsin(x),x=-1..1,scaling=constrained);
1.5
1
0.5
–1 –0.5
0.5
x
1
–0.5
–1
–1.5
De maneira análoga, definimos o valor principal do coseno como sendo a restrição do cosseno ao intervalo [0, π], a
qual continuamos chamando de coseno. Esta função é invertı́vel e sua inversa denotada por arccos(x ) .
Cos(x)
arccos(x)
1
3
0.8
0.6
2.5
0.4
2
0.2
0
–0.2
0.5
1
1.5
x
2
2.5
1.5
3
1
–0.4
–0.6
0.5
–0.8
–1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0
0.2 0.4 x 0.6 0.8
1
Vamos agora calcular as derivadas das funções arcsen e arccos.
Pelo teorema da função inversa,
arcsen′ (x) =
1
cos(arcsen(x))
para todo x em (−1, 1)
Seja arcsen(x) = θ. Sabemos que
√
√
√
cos(θ) = ± 1 − sen 2 θ = ± 1 − [sen(arcsen(x))]2 = ± 1 − x2 .
Como para − π2 < θ <
π
2,
cos(θ) > 0, tem-se
arcsen′ (x) = √
1
para x ∈ (−1, 1)
1 − x2
Note que, para x ∈ (−1, 1), arcsen′ (x) é sempre positiva, como o gráfico dessa função mostrava que deveria ser.
Nos pontos extremos deste gráfico as tangentes são verticais.
1
De maneira semelhante prova-se que arccos′ (x) = − √1−x
, para x ∈ (−1, 1). Esta derivada é negativa, como o
2
gráfico do arco cosseno indicava.
19.4.2
As funções arctg(x) e arcsec(x)
Define-se o valor principal da função tangente como sendo a restrição da tangente ao intervalo (− π2 ,
Continuamos denotando esta função por tangente (tg).
π
2 ).
W.Bianchini, A.R.Santos
255
A função valor principal da tangente tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco tangente (arctg) .
Assim
y = arctg(x) ⇔ x = tg(y)
• Qual o domı́nio da função arco tangente? Qual a sua imagem?
• Qual o valor de arctg(1)? E de arctg(−1)?
Observe os gráficos das funções tg(x) e arctg(x).
Tg(x)
arctg(x)
3
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
y
1
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
x
1.5
–3
–2
–1
–2
–3
–1
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1.2
1
x
2
3
• Quais são as assı́ntotas horizontais ao gráfico dessa função?
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos calcular a derivada da função arctg. Pelo teorema da função
inversa,
1
arctg′ (x) =
para todo x real.
[sec(arctg(x))]2
Seja θ = arctg(x). Como sec2 θ = 1 + tg 2 θ,
[sec(arctg(x))]2 = 1 + [tg(arctg(x))]2 = 1 + x2
Logo,
arctg′ (x) =
1
, para todo x real.
1 + x2
Para a função secante a situação é um pouco pior. Examine o gráfico desta função:
4
y
2
–6
–4
–2
0
2
x
4
6
–2
–4
Em primeiro lugar, é preciso escolher um intervalo apropriado onde esta função tenha inversa e, portanto, seja possı́vel
aplicar o teorema da função inversa para calcular a sua derivada. O gráfico da secante consiste de várias partes às
quais o teorema se aplica, por exemplo, uma para 0 < θ < π2 e outra para π2 < θ < π. Consideraremos o primeiro
intervalo e definiremos uma nova função g como a restrição da secante ao intervalo (0, π2 ), isto é,
π
.
2
Como g ′ (θ) = sec(θ) tg(θ), temos que para 0 < θ < π2 , g ′ (θ) > 0 e o teorema da função inversa garante que a função
inversa de g, que designaremos por arcsec(x ), tem derivada e que
g(θ) = sec(θ),
arcsec′ (x) =
para 0 < θ <
1
.
sec(arcsec(x)) tg(arcsec(x))
Já sabemos que sec(θ) = x. Precisamos simplificar o fator tg(arcsec(x)). Para isso, como
√ das outras vezes, vamos
chamar arcsec(x) = θ. Usando a igualdade sec2 θ = tg 2 θ + 1, temos que tg(arcsec(x)) = ± x2 − 1. Como 0 < θ < π2 ,
vemos que tg(θ) = tg(arcsec(x)) > 0. Portanto, podemos abandonar o radical negativo. Assim,
arcsec′ (x) =
1
√
, para 1 < x < ∞.
x x2 − 1
256
Cap. 19.
Refazendo os cálculos acima, considerando agora g(θ) = sec(θ), para
arcsec′ (x) =
1
√
,
(−x) x2 − 1
π
2
Funções Inversas e suas Derivadas
< θ < π, obtemos
para −∞ < x < −1.
Combinando estes dois resultados, obtemos uma função cujo domı́nio consiste nos dois intervalos (−∞, −1) e
(1, ∞). Veja o seu gráfico:
3
2.5
2
y 1.5
1
0.5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
x
3
4
Observe que o termo
não está definido para | x | ≤ 1. Para x = 1 e x = −1, o gráfico da função arcsec(x )
apresenta uma tangente vertical e portanto a derivada não existe nestes pontos. Para x < −1 e x > 1, podemos
combinar os dois resultados obtidos acima e escrever que
√ 1
x2 −1
arcsec′ (x) =
1
√
.
| x | x2 − 1
Exemplo 3
Retornando ao problema da corda de isolamento de um quadro, tı́nhamos que
tg(α + β) =
c+d
x
e
d
.
x
Assim, α, que é o ângulo que queremos tornar máximo, pode ser expresso como
tg(β) =
c+d
d
) − arctg( ).
x
x
Substituindo os valores de c e d, derivando esta função e igualando o resultado a zero, obtemos:
>
f:=x->arctan(4/x)-arctan(1/x):
>
g:=diff(f(x),x);
4
1
g := −
+
16
1
x2 (1 + 2 ) x2 (1 + 2 )
x
x
>
g1:=simplify(g);
α = arctg(
g1 := −3
>
x2 − 4
(x2 + 16) (x2 + 1)
solve(g1=0,x);
2, −2
Como x é a distância da parede ao observador, podemos desprezar a raiz negativa. Vamos agora usar o teste
da derivada primeira para comprovar que este é o ponto de máximo procurado. Como o denominador da expressão
3 (x2 −4)
2
2
− (x2 +16)
(x2 +1) é sempre positivo, o sinal da derivada depende do termo −3 x + 12. Como −3 x + 12 > 0 para
x < −2 e −3 x2 + 12 < 0 para x > 2, concluı́mos, imediatamente, que no ponto x = 2 o ângulo α atinge o seu máximo
absoluto. Devemos, portanto, colocar a corda de isolamento a dois metros da parede onde o quadro está pendurado.
19.5
Exercı́cios
1. Considere a função dada pela tabela:
x
f (x)
-1
0,1
-0,9
0,12
-0,8
0,15
-0,7
0,2
-0,6
0,25
-0,5
0,31
-0,4
0,39
-0,3
0,5
-0,2
0,6
-0,1
0,7
0
1
W.Bianchini, A.R.Santos
257
(a) Determine o domı́nio e a imagem de f .
(b) Construa a tabela da função g inversa de f.
2. (a) Mostre que f (x) = 3 x − 5 é invertı́vel e ache sua inversa g. Calcule f (g(x)) e g(f (x)).
(b) Calcule a função g(x) inversa de f (x) =
2 x+1
x+1 .
Verifique que f (g(x)) = g(f (x)) = x.
ax +b
(c) De um modo geral, se a, b, c, d, são constantes tais que ad − bc ̸= 0 e f (x) = cx
+d , existe uma função
α x+β
g(x) = γ x+δ tal que f (g(x)) = g(f (x)) = x. Calcule as constantes α, β, γ, δ em função de a, b, c, d. Por
que a condição ad − bc ̸= 0 é necessária? Qual a relação existente entre f e g ?
3. Ache expressões algébricas para as seguintes funções, especificando o seu domı́nio:
(a) sen(arctg(x ))
(b) tg(arcsen(x ))
(c) cos(arctg(x ))
19.6
Problemas propostos
1. Prove que cada uma das funções dadas abaixo é invertı́vel no intervalo considerado. Deduza a fórmula para a
derivada da sua inversa e esboce o gráfico desta inversa especificando o seu domı́nio.
(a) g(θ) = cotg(θ), 0 < θ < π.
g(θ) = cossec(θ) 0 < | θ | < π2 .
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto (2, f (2)), sabendo que f (2) = 7 e
D(f −1 )(7) = 8.
√
3. Seja f (x) = x3 + 3 para 0 < x < ∞. Usando o teorema da função inversa, mostre que f é invertı́vel e calcule
(f −1 )′ )(2). Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f −1 no ponto (2, 1).
4. Seja a função f (x) = x5 + x3 + 3 x.
(a) Em que conjunto a função admite inversa? Justifique.
(b) Determine (f −1 )′ (5).
5. Use o teorema da função inversa para mostrar que f (x) = (x5 + 7) 3 , x > 0 é invertı́vel e calcule (f −1 )′ (2).
Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f −1 no ponto (2, 1).
1
3
6. Seja f (x) = arctg( x3 − x), x > 1.
(a) Usando o teorema da função inversa, mostre que f é invertı́vel e calcule D(f −1 )(0).
(b) Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f −1 no ponto (0, f −1 (0)).
7. Use o teorema da função inversa para mostrar que f (x) = arctg(x2 − 1), x > 0 é invertı́vel e calcule D(f −1 )( π4 ).
19.7
Para você meditar: Inversas?
Vimos que se f e g são funções inversas, então f (g(x)) = x e g(f (x)) = x. Observe os gráficos das funções sen(arcsen(x ))
e arcsen(sen(x )):
> plot(sin(arcsin(x)),x=-10..10);
>
plot(arcsin(sin(x)),x=-10..10);
10
1.5
8
1
6
4
0.5
2
–10 –8
–6
–4
–2
–2
2
4 x 6
8
10
–4
–6
–10 –8
–6
–4
–2
2
4 x 6
8
10
–0.5
–1
–8
–10
–1.5
1. Observando os gráficos acima, é possı́vel concluir que se g e f são funções inversas tem-se que f (g(x)) = x e
g(f (x)) = x?
2. Para que valores de x valem essas identidades?
258
Cap. 19.
Funções Inversas e suas Derivadas
3. Qual o domı́nio da função arcsen(sen(x))?
4. Em que intervalo essa função coincide com a função h(x) = x?
5. Em que intervalos a função y = sen(x) é invertı́vel?
6. Trace os gráficos de arcsen(sen(x)) e sen(arcsen(x)) e explique a diferença para o exemplo anterior.
7. Faça essa mesma análise para os pares de funções abaixo:
(a) arccos(x) e cos(x)
(b) arctg(x) e tg(x)
(c) x2 e
8. Para que valores de x é possı́vel calcular arcsen(sen(x)).
9. Explique porque arcsen(sen( π3 )) = arcsen(sen( 23π )).
10. O que se pode afirmar a respeito do valor de arcsen(sen(x + 2 π))?
11. Calcule essa função nos seguintes casos:
(a) para x em [− π2 , π2 ] .
(b) para x em [ π2 ,
3π
2 ].
(c) para x em [(2 k − 12 ) π, (2 k + 12 ) π] onde k é um inteiro qualquer.
(d) para x em [(2 k + 12 ) π, (2 k + 32 ) π] onde k é um inteiro qualquer.
√
x.