Instruções
Leia com atenção:
Confira se o seu nome e RG estão corretos.
A prova deverá ser apresentada, de preferência, a tinta.
Não é permitido o uso de calculadoras.
Não haverá substituição do Caderno de Questões.
O candidato é responsável pela devolução deste Caderno
de Questões ao fiscal de sala até o término do horário
permitido; após esse limite, a prova será anulada.
A duração total do Módulo Discursivo é de 4h.
O candidato só poderá deixar definitivamente os locais
das provas a partir de duas horas após o seu início.
• As questões das provas do Vestibular foram elaboradas conforme as novas regras do Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, promulgado, no Brasil,
pelo Decreto 6.583, em 29/09/2008. Nas respostas dos candidatos serão aceitos os dois Sistemas Ortográficos em vigor.
1
Uma reportagem publicada no jornal Folha de S. Paulo, SP, em 22/07/2009 mostra, mediante
um gráfico de barras, como deve cair a produção de eletrodomésticos da linha branca
(geladeira, fogão, máquina de lavar) e a produção do total de eletrodomésticos em 2009,
devido à valorização do real e à redução de oferta de créditos para a indústria.
A O gráfico mostra a variação da produção sempre em relação ao ano anterior, em %. Se, em
2006, a produção de eletrodomésticos foi no total de x unidades, é correto afirmar que, em
2008, foram produzidas 0,034. x unidades de eletrodomésticos? Por quê? Se precisar, use o
dado: 1 006 x 96 = 96 576.
B O gráfico também apresenta uma projeção da produção para os anos 2009 e 2010.
Considere que foram produzidos 100 000 eletrodomésticos da linha branca em 2008. Faça
uma estimativa para o total de eletrodomésticos da linha branca que deverão ser
produzidos em 2010, de acordo com o gráfico de barras.
RESOLUÇÃO
A Não, pois serão produzidos, aproximadamente:
2007 → x + 0,6% x = 1,006 x unidades
2008 → 1,006 x + 1,006 x.( −4%)
= 1,006 x(1 − 0,04)
= 0,97 unidades
B Em 2009, serão produzidas:
100 000 + 100 000(−2%) = 98 000 unidades
Em 2010, serão produzidas:
98 000 + 98 000.22% = 100 156 unidades da linha branca
1
2
Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de
Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas de anos após sua
morte.
Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar, em relação
a um ponto na praia.
Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um
pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco.
Conhecendo sua altura (h) , o comprimento da vara (c) e a altura do penhasco (d ) , ele
calculou a distância x em relação ao barco.
Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x . Em seguida, determine a
distância do navio à praia com estes dados:
h = 1,80m;
c = 0,75m;
d = 298,20m;
RESOLUÇÃO
Observando a figura, os dois triângulos são semelhantes, pois têm dois pares de ângulos
congruentes: Â é comum aos dois triângulos e D̂ e B̂ são retos.
Portanto:
h h+d
1,80 300
=
→
=
→ x = 125m
c
x
0,75
x
A distância do navio à praia é de 125 metros.
2
3
É comum as editoras enviarem exemplares de livros didáticos novos aos professores, para que
estes possam analisá-los e, eventualmente, usar como livro-texto nas suas salas de aula. O
gerente editorial de uma grande editora estima que, se x exemplares de um novo livro de
Cálculo forem distribuídos gratuitamente aos professores, as vendas no primeiro ano serão
aproximadamente f ( x) = 16 000 − 12 000.e
é o número de Euler.
−x
4000
exemplares, com x ≥ 0 , em que e = 2,718...
A Mediante a função f (x ) , determine quantos livros deverão ser vendidos, se a editora não
distribuir gratuitamente esse novo lançamento aos professores.
B
O gerente editorial planeja vender cerca de 12 000 livros de Cálculo no primeiro ano.
Quantos livros a editora deverá distribuir aos professores, aproximadamente? Se necessário,
use a aproximação: ln 3 = 1,1.
RESOLUÇÃO
A
f (0) = 16000 − 12000.e 0
f (0) = 4000 exemplares
−x
B 12000 = 16000 − 12000.e 4000
−x
1
= e 4000
3
−x
−x
= ln 1 − ln 3 →
= 0 − 1,1
4000
4000
x = 4400
A editora deverá distribuir cerca de 4400 livros aos professores.
3
4
Um economista depositou em um fundo de investimentos R$ 360 000,00, provenientes da
venda de uma casa, o que rendeu 10% de juro ao ano. É descontado 25% do juro obtido para o
imposto de renda.
Que porcentagem rendeu efetivamente o capital aplicado em um ano, após o pagamento do
imposto?
RESOLUÇÃO
360000(1 + 10%) = 396000
360000 + p.360000 = 396000 − 25%.36000
p = 0,075 = 7,5%
O capital rendeu efetivamente 7,5% ao ano.
4
5
Podemos dizer que duas figuras geométricas são semelhantes, se uma delas, ampliada ou
reduzida, for um modelo exato da outra, isto é, se a razão entre segmentos correspondentes for
sempre a mesma. A razão de semelhança entre essa ampliação e a foto original do cervo-dopantanal é igual a
13,5 9
= .
6
4
9cm
4cm
13,5cm
6cm
A As fotocopiadoras expressam a razão de semelhança como uma porcentagem. Qual é, em
porcentagem, a razão de semelhança entre a ampliação e a foto original?
B
A foto original de um uacari-branco mede 3,2 cm por 4 cm. Foi feita uma ampliação da foto
original. A razão de semelhança na ampliação foi de 125%. Expresse, em porcentagem, o
aumento da área da ampliação em relação à foto original do uacari-branco.
3,2cm
4cm
RESOLUÇÃO
A
B
13,5 9
= = 2,25 = 225% → razão de semelhança
6
4
4.125% = 5 ; 3,2.125% = 4
5.4 − 4.3,2
= 0,5625 = 56,25%
4.3,2
O aumento foi de 56,25%, ou seja, a área da ampliação é 100% + 56,25% = 156,25 % vezes a
área da foto original.
5
6
Em uma cidade há duas fábricas que produzem telas LCD para computadores. A fábrica A
produz 50 telas de 17 polegadas e 30 telas de 21 polegadas por dia. A fábrica B produz 60 telas
de 17 polegadas e 35 telas de 21 polegadas por dia. A jornada semanal de trabalho na fábrica A
é de 5 dias enquanto, na fábrica B, trabalha-se 6 dias por semana. Podemos expressar essas
informações na forma de matrizes:
50 60
P=

30 35
↑ ↑
A B
5 
Q= 
6 
↑
jornada semanal
A Obtenha o produto PQ e interprete o significado do elemento da matriz produto que
está na 2ª linha e 1ª coluna.
B Expresse na forma de uma matriz R de ordem 2 x 2 a produção semanal de telas de 17 e de
21 polegadas das duas fábricas. Na primeira coluna represente a produção semanal da
fábrica A e, na segunda coluna, da fábrica B.
C Obtenha uma matriz T tal que PT=R e interprete o significado dos elementos da diagonal
principal da matriz T, isto é, dos elementos tij com i = j .
RESOLUÇÃO
A
50.5 + 60.6 610
PQ = 
=

30.5 + 35.6 360
O elemento a 21 = 360 representa o total de telas LCD produzidas semanalmente pelas
duas fábricas.
B
250 360 
R=

150 210
C
50 60 a c  250 360 
30 35 b d  = 150 210


 

50a + 60b 50c + 60d  250 360 
30a + 35b 30c + 35d  = 150 210

 

 5 0
T =

 0 6
Os elementos da diagonal principal expressam a jornada semanal de trabalho de cada
fábrica.
6
7
Um colégio tem três primeiras séries do Ensino Médio: 1ª A, 1ª B e 1ª C. Dois irmãos gêmeos vão
frequentar a 1ª série. Os pais pediram que os dois não pertencessem à mesma turma. Por isso, a
direção da escola sorteou duas classes entre as três e colocou, em cada uma, um dos irmãos.
Qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de um deles ficar na 1ª série A e o outro, na
1ª série C?
RESOLUÇÃO
Probabilidade →
2!
1
=
C 3 , 2 .2 3
1
p
=
→ p = 33,3%
3 100
7
8
O número de sócios de um clube poliesportivo é limitado a 100. Os sócios pagam R$ 125,00 por
mês, mas esse valor cai para R$ 75,00 quando o sócio tem 60 anos ou mais de 60 anos. No mês
de outubro de 2009, o total pago pelos sócios abaixo de 60 anos excedeu o total pago pelos
sócios mais velhos em R$ 10 500,00. Devido à crise econômica, nesse mês o clube tinha menos
de 100 sócios, mas tinha sócios com 60 anos ou mais e com menos de 60 anos.
Quantos sócios tinham menos de 60 anos e quantos tinham 60 anos ou mais de 60 anos de
idade?
RESOLUÇÃO
x → sócios com menos de 60 anos
y → sócios com 60 anos ou mais de 60 anos
125 x − 75 y = 10500 (÷25)
5 x − 3 y = 420
5x
y=
− 140
3
x é um número natural e múltiplo de 3:
x
y
81
-5
X
84
0
X
87
5
90
10
X
93
15
X
Em outubro de 2009, o clube tinha 87 sócios com menos de 60 anos e 5 sócios com 60
anos ou mais de idade.
8
9
Pedro construiu um paralelepípedo reto-retângulo com quatro blocos de madeira coloridos
que também são paralelepípedos reto-retângulos que se encaixam do modo ilustrado na figura.
Sabe-se que o volume de cada do bloco é:
azul A →150 cm 3
vermelho B → 320 cm 3
verde C →120 cm 3
Qual é o volume do bloco amarelo?
RESOLUÇÃO
A razão dos volumes dos blocos C e A é
120 4
=
150 5
A razão dos volumes do bloco amarelo e vermelho é
Portanto:
V
4
= → V = 256cm 3
320 5
9
4
.
5
10 Em uma cidade do estado do Rio de Janeiro, uma loja vende dois tipos de pranchas de surf,
ambos fabricados por um mesmo surfista da cidade. Uma pesquisa mostrou que a procura por
cada tipo de prancha depende não somente de seu preço, mas do preço da outra. Assim, se a
prancha A for vendida por x reais e a prancha B por y reais, serão vendidas anualmente
− 30 x + 10 y + 9 180 unidades da prancha A e 20 x − 36 y + 4 000 unidades da prancha B.
Lembre que a função receita é igual ao número de unidades demandadas pelo preço de cada
unidade.
A Por razões comerciais, o dono da loja estabeleceu que a prancha B deve custar 50% a mais
que a prancha A. Nessas condições, a que preço deve vender cada prancha para maximizar
a receita?
B O surfista que fabrica as pranchas vende-as ao dono da loja por estes preços:
Prancha A → R$ 40,00
Prancha B → R$ 80,00
Com as mesmas condições do item (a), a que preço deve ser vendida cada prancha para
que a loja obtenha o maior lucro possível? Aproxime os valores para o número inteiro de
reais mais próximo.
RESOLUÇÃO
A Receita → x(9180 − 30 x + 10 y ) + y ( 4000 + 20 x − 36 y ) ; y = 1,5 x
R ( x) = x(9180 − 30 x + 15 x) + 1,5 x(4000 + 20 x − 54 x)
R ( x) = −15 x 2 + 9180 x + 6000 x − 51x 2
R ( x) = −66 x 2 + 15180 x
x=
− b − 15180
=
= 115 ; y = 115(1,5) = 172,5
2a
2(−66)
Para maximizar a receita, a prancha A deve ser vendida a R$115,00, e a prancha B, a
R$172,50.
B Lucro → −66 x 2 + 15180 x − [40(9180 − 30 x + 10 y ) + 80(4000 + 20 x − 36 y )]
L( x) = −66 x 2 + 15180 x − [687200 − 600 x − 2720 x]
L( x) = −66 x 2 + 18500 x − 687200
x=
− b − 18500
=
= 140 ; y = 210
2a
2(−66)
Para maximizar o lucro do lojista, a prancha A deve ser vendida por cerca de R$140,00,
e a prancha B, por cerca de R$ 210,00.
10