ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Abstract
The modeling and the control of flexible links are two emergent subjects in nowadays Mechatronics
and Robotics. The search for lighter, more economic manipulators leads to a stiffness loss that
deteriorates the manipulator performance. The overcoming of this gap can be achieved with the use
of control schemes capable of providing similar performances to those of a rigid link.
Seeking new answers in this area, this work consists of the modeling and control of a tubular flexible
link made of polycarbonate with piezoelectric sensors and actuators bonded to its surface, present at
LECA (Laboratório de Estruturas e Compósitos Adaptativos) at IST, in order to obtain its active
damping.
The modeling is accomplished through two approaches, one with the finite element method using the
software Ansys and the other with the assumed modes method using the Matlab toolbox Mecanismo.
Both models are then improved with the application of model updating techniques through an
interface program between Matlab and both platforms, specially built for this application.
By use of the resulting models, PPF (Positive Position Feedback) controllers are then designed and
tested in Simulink simulation environment, and afterwards implemented on the experimental setup by
a real time host-target system.
T. Carreno
Página i
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resumo
A modelação e o controlo de elos flexíveis são dois temas emergentes na Mecatrónica e na Robótica
actuais. A procura de manipuladores mais leves e económicos conduz a uma perda de rigidez que
deteriora as prestações do manipulador. A colmatação desta lacuna pode ser alcançada à custa de
esquemas de controlo capazes de fornecer prestações semelhantes às de um elo rígido.
Procurando encontrar novas respostas nesta área, o presente trabalho consiste na modelação e
controlo de um elo flexível tubular em policarbonato com actuadores e sensores piezoeléctricos
colados à sua superfície existente no LECA (Laboratório de Estruturas e Compósitos Adaptativos) do
IST, com vista a obter o active damping do mesmo.
A modelação é realizada através de duas abordagens, uma através do método dos elementos finitos
com o software Ansys e outra com o método dos modos assumidos através da toolbox Matlab
Mecanismo. Os modelos são melhorados com recurso às técnicas de model updating e a um
programa de interface entre o Matlab e ambas as plataformas, criado especialmente para o efeito.
Usando os modelos obtidos são desenvolvidos e testados em ambiente de simulação Simulink
controladores PPF (Positive Position Feedback) e posteriormente implementados na instalação
experimental através de um sistema host-target em tempo real.
Página ii
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Keywords
Keywords
3D FLEXIBLE LINK
VIBRATION CONTROL
MODEL UPDATING
PIEZOELECTRIC SENSOR / ACTUATOR
POSITIVE POSITION FEEDBACK
ANSYS/MATLAB INTERFACE
Palavras-chave
ELO FLEXÍVEL 3D
CONTROLO DE VIBRAÇÕES
OPTIMIZAÇÃO DE MODELOS
SENSOR / ACTUADOR PIEZOELÉCTRICOS
REALIMENTAÇÃO POSITIVA DA POSIÇÃO
INTERFACE ANSYS/MATLAB
T. Carreno
Página iii
Agradecimentos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Agradecimentos
Gostaria de agradecer em primeiro lugar, ao meu orientador, o Prof. José Sá da Costa, pela
disponibilidade, atenção e empenho que sempre manifestou em relação à realização da minha
dissertação, quer na alocação de recursos materiais (computador, montagem experimental), quer na
flexibilidade que me permitiu conjugar a minha bolsa Erasmus, as restantes cadeiras do curso e o
meu emprego na Siemens, quer no apoio académico que prestou.
Em seguida, gostaria de expressar o meu agradecimento aos meus co-orientadores, os Profs. Jorge
Martins e João Reis, pela paciência, dedicação e boa vontade com que sempre me guiaram na
realização desta dissertação. A realização deste trabalho não teria sido possível não fossem as
reuniões que tivemos, os mails que trocámos e as ideias que discutimos. Quero também ainda
agradecer-lhes o altruísmo com que me deixaram utilizar o seu trabalho, nomeadamente o simulador
de modos assumidos e a instalação experimental, indispensáveis à realização deste trabalho.
Uma palavra de agradecimento também ao Prof. Miguel Neves, pelo auxílio prestado com o updating
e a interface Ansys/Matlab, e ao aluno de doutoramento Soong-Oh Han, da TU Darmstadt, pela ajuda
prestada com a Model Order Reduction de modelos Ansys. Ambos tiveram a gentileza de ceder código
seu que por certo bastante trabalho lhes deu a desenvolver.
Queria agradecer aos meus colegas Luís Vieira, Tiago Bento, Zélia Santos e Gonçalo Vinagre pela
ajuda prestada com os livros da biblioteca, que sem eles teriam sido impossíveis de consultar em
horário pós-laboral. Queria agradecer também ao meu colega Hugo Soares pela ajuda com cálculo
integral. Um agradecimento especial aos colegas Hugo Alves e Luísa Pires pela abertura de espírito e
paciência com que sempre ouviram as minhas ideias e as comentaram, pela companhia e
cumplicidade que prestaram na realização deste trabalho e pela obtenção de artigos científicos não
disponíveis no IST, e à minha irmã pela colaboração na elaboração da bibliografia.
Um obrigado também a todos os meus colegas do ramo de Sistemas, por fomentarem um ambiente
de trabalho onde a entreajuda, a troca de ideias e a convivência académica em geral permitiram
tornar muitos dias e muitas noites muito mais agradáveis e produtivos.
Por último, expresso a minha infinita gratidão aos meus pais, por tudo o que não sei pôr em palavras
que faz de mim a pessoa que sou, e à minha namorada, que faz a pessoa que sou fazer sentido.
Página iv
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Conteúdos
Conteúdos
Abstract ..................................................................................................................................... i
Resumo .................................................................................................................................... ii
Keywords ..................................................................................................................................iii
Palavras-chave ..........................................................................................................................iii
Agradecimentos ........................................................................................................................ iv
Conteúdos ................................................................................................................................. v
Nomenclatura .......................................................................................................................... viii
Lista de figuras .......................................................................................................................... x
Lista de tabelas ....................................................................................................................... xiii
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1
1.1.
Elos flexíveis .................................................................................................................. 2
1.2.
Materiais e estruturas inteligentes ................................................................................... 3
1.3.
Materiais Piezoeléctricos ................................................................................................. 3
1.4.
Modelação de estruturas flexíveis .................................................................................... 5
1.5.
Soluções para o controlo de elos flexíveis ........................................................................ 5
1.6.
Relevância do trabalho ................................................................................................... 6
1.7.
Explicação do trabalho e seus objectivos .......................................................................... 7
CAPÍTULO 2
2.1.
MODELAÇÃO ....................................................................................................... 9
Apresentação dos modelos............................................................................................ 10
2.1.1.
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A .................................................. 10
2.1.1.1.
Geometria ........................................................................................... 10
2.1.1.2.
Modelos de Material ............................................................................. 10
2.1.1.3.
Elementos ........................................................................................... 11
2.1.1.4.
Malha ................................................................................................. 11
2.1.2.
Modelo em Simulador de Modos Assumidos – Modelo B .............................. 12
2.1.3.
Discussão sobre os modelos ..................................................................... 13
2.2.
A modelação como problema de optimização: Model Updating ........................................ 15
2.2.1.
Enunciado do problema ........................................................................... 16
2.2.2.
Discussão sobre os métodos de optimização .............................................. 17
2.2.3.
Objectivos e Significado Físico da Optimização ........................................... 18
2.3.
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A ...................................................................... 19
2.3.1.
Particularização do Enunciado do Problema de Optimização ......................... 19
2.3.2.
Algoritmo do Programa e Implementação .................................................. 20
2.3.3.
Pré-Optimização ...................................................................................... 22
T. Carreno
Página v
Conteúdos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.3.4.
Optimização............................................................................................ 23
2.3.5.
Inclusão dos zeros na optimização ............................................................ 23
2.4.
Modelo em Mecanismo – Modelo B ................................................................................ 24
2.4.1.
Particularização do Enunciado do Problema de Optimização ......................... 24
2.4.2.
Algoritmo do Programa e Implementação .................................................. 24
2.4.3.
Função objectivo ..................................................................................... 25
2.4.4.
Modelação dos sensores .......................................................................... 26
2.4.5.
Modelação dos actuadores ....................................................................... 32
2.4.6.
Funções de forma ................................................................................... 34
2.4.7.
Discretização do elo................................................................................. 34
2.4.8.
Optimização............................................................................................ 34
2.5.
Finalização dos modelos ............................................................................................... 35
2.5.1.
Model order reduction.............................................................................. 35
2.5.2.
Modelos A (modelos criados a partir do modelo A) ..................................... 36
2.5.3.
Modelos B (modelos criados a partir do modelo B) ...................................... 36
2.5.4.
Criação de uma biblioteca de modelos ....................................................... 36
CAPÍTULO 3
3.1.
CONTROLO ....................................................................................................... 37
Controlo de estruturas flexíveis levemente amortecidas .................................................. 38
3.1.1.
Controlo colocado ................................................................................... 38
3.1.2.
Roll-off e spillover .................................................................................. 39
3.2.
Estratégias de controlo por realimentação ...................................................................... 40
3.2.1.
3.2.1.1.
Positive Position Feedback (PPF) ............................................................... 42
Tuning de filtros PPF ............................................................................ 43
3.3.
Objectivos do controlo .................................................................................................. 44
3.4.
Simulação em Simulink ................................................................................................. 44
3.5.
Controlo experimental .................................................................................................. 45
CAPÍTULO 4
RESULTADOS .................................................................................................... 47
4.1.
Resultados – Modelo A ................................................................................................. 48
4.2.
Estudo sobre a localização dos zeros ............................................................................. 56
4.2.1.
Introdução ............................................................................................. 56
4.2.2.
Experiências de simetria - Resultados ........................................................ 57
4.2.3.
Experiências de posição dos piezoeléctricos ............................................... 61
4.2.4.
Experiências com prato ............................................................................ 63
4.2.4.1.
Página vi
Geometria e Malha ............................................................................... 63
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.2.4.2.
Frequências naturais e modos de vibração .............................................. 64
4.2.4.3.
Resultados .......................................................................................... 66
4.2.4.4.
Discussão dos resultados ...................................................................... 69
4.3.
Resultados – Modelo B ................................................................................................. 70
4.4.
Criação dos modelos para o controlo ............................................................................. 81
4.4.1.
Modelo A – Identificação por método de Levy ............................................ 81
4.4.2.
Modelo B – Linearização .......................................................................... 85
4.4.3.
Biblioteca de modelos final ....................................................................... 85
4.5.
Discussão dos resultados obtidos - Modelação................................................................ 86
4.5.1.
Modelo A ................................................................................................ 86
4.5.2.
Modelo B ................................................................................................ 88
4.5.3.
Comparação entre modelos ...................................................................... 88
4.6.
Controlo em simulação ................................................................................................. 89
4.7.
Controlo experimental .................................................................................................. 93
4.8.
Discussão dos resultados obtidos - Controlo ................................................................... 94
CAPÍTULO 5
5.1.
CONCLUSÕES ................................................................................................... 96
Conclusões .................................................................................................................. 97
5.1.1.
Modelação .............................................................................................. 97
5.1.2.
Controlo ................................................................................................. 97
5.2.
Notas para trabalhos futuros ......................................................................................... 98
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 99
ANEXO A
INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL .............................................................................. 102
Geometria ............................................................................................................................. 102
Materiais ............................................................................................................................... 102
Sensores e actuadores ........................................................................................................... 103
Configuração de Hardware ..................................................................................................... 105
ANEXO B
DADOS EXPERIMENTAIS ..................................................................................... 106
Resposta em frequência ......................................................................................................... 106
Frequências naturais e modos de vibração .............................................................................. 107
T. Carreno
Página vii
Nomenclatura
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Nomenclatura
Lista de símbolos e abreviaturas
LQG
AMM
FEM
PPF
LGR
SISO
MIMO
PZT
MFC
LECA
εij
σij
Epz
pz
dij
ξi
Di
E
J
mj
ej
pj
,
,
e
e
ξCL
D
thk
rho
L
Ep1, Ep2
Página viii
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Linear Quadratic Regulator
Assumed Modes Method
Finite Element Method
Positive Position Feedback
Lugar Geométrico das Raízes
Single Input/Single Output
Multiple Input/Multiple Output
Zirconato Titanato de Chumbo
Macro-Fiber Composite
Laboratório de Estruturas e Compósitos Adaptativos
tensor das deformações
tensor das tensões
Módulo de Young do piezoeléctrico
coeficiente de Poisson do piezoeléctrico
termos de acoplamento piezoeléctrico
permissividade do material
carga por unidade de volume
campo eléctrico
número de modos de vibração considerados
frequências naturais obtidas segundo o modelo
frequências naturais obtidas experimentalmente
pesos atribuídos a cada modo no cálculo do erro
eixo i do referencial da lei
eixo i do referencial do sensor
vectores das funções de forma das deflexões elásticas
vectores com as coordenadas generalizadas (referencial da viga)
curvaturas nos 3 eixos
vector com as componentes
das extensões
componentes da inversa da matriz de Hooke
Matriz de rotação de radianos em torno de
Constantes
Carga total no piezoeléctrico
Altura, Largura e Comprimento do piezoeléctrico
Limites de integração em
Raio exterior do elo
Capacitância do condensador de condicionamento de sinal
Tensão à saída do/fornecida ao piezoeléctrico
Vector com os binários puros aplicados em Mecanismo, segundo os 3 eixos.
Vector com a posição de um ponto em relação à fibra neutra da viga
Matriz com as tensões rodadas de um ângulo
Matriz com Módulo de Young, coef. de Poisson e as constantes piezoeléctricas
Ganho do filtro PPF
Frequência do filtro PPF
Coeficiente de amortecimento do filtro PPF
Espaçamento pólo-zero
Coeficiente de amortecimento do anel fechado
Diâmetro exterior do tubo
Espessura do tubo
Massa específica do policarbonato
Comprimento do tubo
Módulos de Young dos piezoeléctricos
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
rho_St
E_St
Lx
ax
tx
–
–
–
–
–
Nomenclatura
Massa específica do aço
Módulo de Young do aço
Comprimento da placa
Largura da placa
Espessura da placa
Referencial adoptado
O referencial adoptado neste trabalho é o indicado na Figura i. Sempre que neste texto se fizer
referência aos eixos, x, y ou z, são os deste referencial, excepto nos pontos 2.4.4. e 2.4.5. Nestes
sub-capítulos são utilizados outros referenciais, como se explica no início dos mesmos.
Figura i - Desenho do elo com o referencial de eixos adoptado neste texto
T. Carreno
Página ix
Lista de figuras
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Lista de figuras
FIGURA I - DESENHO DO ELO COM O REFERENCIAL DE EIXOS ADOPTADO NESTE TEXTO ...................................IX
FIGURA 1. 1. MACRO FIBER COMPOSITE - COMPÓSITO DE FIBRAS PIEZOELÉCTRICAS PZT EM MATRIZ
POLIMÉRICA, MOSTRANDO A MAIOR CAPACIDADE DE ADAPTAÇÃO A SUPERFÍCIES CURVAS. DE
SALIENTAR TAMBÉM A ESPESSURA REDUZIDA. ........................................................................................... 4
GRÁFICO 1. 1. NÚMERO DE RESULTADOS OBTIDOS NO GOOGLE SCHOLAR COM AS PALAVRAS "FLEXIBLE LINK"
MANIPULATOR NOS ÚLTIMOS 25 ANOS, EM FUNÇÃO DO ANO DA PUBLICAÇÃO. ....................................... 2
FIGURA 2.1. ELEMENTOS UTILIZADOS: ELEMENTO SOLID5 ............................................................................... 11
FIGURA 2.2. PORMENOR DA MALHA NOS SENSORES........................................................................................ 11
FIGURA 2.3. PORMENOR DA MALHA NA PLACA DE AÇO ................................................................................... 11
FIGURA 2.4. MALHA DO MODELO – VISTA GLOBAL ........................................................................................... 11
FIGURA 2.5. O MODELO SIMULINK CONSTRUÍDO COM A TOOLBOX MECANISMO, QUE ALIMENTA O CÁLCULO
DE CURVATURAS E DE ÂNGULOS. ESTES DEPOIS SÃO ALIMENTADOS NO CÁLCULO DOS SENSORES.......... 12
FIGURA 2.6. ESFORÇOS CONSIDERADOS NOS ACTUADORES PIEZOELÉCTRICOS DE ACORDO COM: A) TEORIA DE
VIGAS; B) TEORIA DE PLACAS E CASCAS .................................................................................................... 15
FIGURA 2.7. RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE UMA VIGA ENCASTRADA-LIVRE COM SENSOR PIEZOELÉCTRICO
COLADO À SUPERFÍCIE DE ACORDO COM A TEORIA DE VIGA E TEORIA DE PLACAS E CASCAS. .................. 15
FIGURA 2.8. ESQUEMA DO ALGORITMO DO PROGRAMA DE OPTIMIZAÇÃO ..................................................... 20
FIGURA 2.9. UMA EXECUÇÃO DO PROGRAMA DE OPTIMIZAÇÃO. PLOT DO VALOR DA FUNÇÃO OBJECTIVO AO
LONGO DAS VÁRIAS AVALIAÇÕES DA MESMA. (FORNECIDO PELO PROGRAMA) ....................................... 21
FIGURA 2.10. EXEMPLO DE ESTUDO PRÉ-OPTIMIZAÇÃO. VARIAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO MODELO
COM A MASSA ESPECÍFICA E MÓDULO DE YOUNG DO POLICARBONATO. OS PLANOS HORIZONTAIS
REPRESENTAM O VALOR EXPERIMENTAL. ............................................ ERRO! MARCADOR NÃO DEFINIDO.
FIGURA 2.11. OUTRO EXEMPLO DE ESTUDO PRÉ-OPTIMIZAÇÃO. VARIAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS COM
A ESPESSURA DO TUBO. AS LINHAS HORIZONTAIS REPRESENTAM OS VALORES EXPERIMENTAIS . ........... 23
FIGURA 2.12. EXEMPLO DE UMA EXECUÇÃO DO PROGRAMA. O PROGRAMA APARENTA ESTABILIZAR POR
VOLTA DA 40ª ITERAÇÃO, MAS APENAS POR FALTA DE ZOOM. DE SALIENTAR QUE OS PÓLOS CUJOS PESOS
ESTÃO A ZERO NÃO ESTÃO A SER CORRECTAMENTE CAPTURADOS. ......................................................... 24
FIGURA 2.13. ALGORITMO DA FUNÇÃO OBJECTIVO PARA O MODELO B ........................................................... 25
FIGURA 2. 14. ESQUEMA EXPLICATIVO DO INTEGRAL PARA OS SENSORES ....................................................... 29
FIGURA 2. 15. O MOMENTO DA COLAGEM DO SENSOR. O PLANO A CINZA CLARO E A LINHA A VERMELHO SÃO
PARA FACILITAR A VISUALIZAÇÃO. ANTES E DEPOIS DA COLAGEM, O COMPRIMENTO DAS LINHAS
VERMELHAS É O MESMO. (
) COM BASE NESTE PODEMOS CALCULAR AS EXPRESSÕES QUE
DEVOLVEM OS LIMITES DE INTEGRAÇÃO EM , EM FUNÇÃO DE . .......................................................... 30
FIGURA 2. 16. ESQUEMA DO AMPLIFICADOR DE CARGA LIGADO AO SENSOR................................................... 31
FIGURA 2.17. PORMENOR DO ELO MOSTRANDO OS PONTOS PARA O CÁLCULO DO SINAL DOS SENSORES. ..... 31
FIGURA 2.18. TENSÃO DE SAÍDA DO SENSOR .................................................................................................... 31
FIGURA 2. 19. CORTE TRANSVERSAL DO ELO. O VECTOR A VERMELHO É
. .............................................. 32
FIGURA 2. 20. ESQUEMA EXPLICATIVO DO CÁLCULO DOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO EM . .............................. 33
FIGURA 2.21. MODELAÇÃO DOS ACTUADORES EM SIMULINK - APROXIMAÇÃO ............................................... 34
FIGURA 3.1. LGR DE UM SISTEMA COLOCADO COM ALTERNÂNCIA PÓLO/ZERO ............................................... 38
FIGURA 3.2. LGR DE UMA ESTRUTURA LEVEMENTE AMORTECIDA COM PAR ACTUADOR/SENSOR COLOCADO:
A) SEM CONSIDERAR DINÂMICA DO ACTUADOR; B) CONSIDERANDO DINÂMICA DO ACTUADOR ............. 41
FIGURA 3. 3. DIAGRAMA DE BODE DE UM FILTRO PPF. ..................................................................................... 42
FIGURA 4. 1. MALHA EM ELEMENTOS FINITOS DO PRATO ................................................................................ 63
FIGURA 4.2. DESENHO TÉCNICO DO PRATO ...................................................................................................... 63
FIGURA 4.3. EXPLICAÇÃO DA INFLUÊNCIA DO PASSO DE AMOSTRAGEM NA CAPTURA DOS PÓLOS. ................. 86
FIGURA 4. 4 DIAGRAMAS DE BODE RESULTANTES DA IDENTIFICAÇÃO POR MÉTODO DE LEVY. MODELO COM
PLACA. ...................................................................................................................................................... 81
Página x
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Lista de figuras
FIGURA 4. 5 DIAGRAMAS DE BODE RESULTANTES DA IDENTIFICAÇÃO POR MÉTODO DE LEVY. MODELO COM
PRATO. ..................................................................................................................................................... 83
FIGURA 4.6. BIBLIOTECA DE MODELOS SIMULINK PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO ................................... 85
GRÁFICOS 4.1. COM A REFERIDA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS. FORAM TAMBÉM EFECTUADAS ANÁLISES
HARMÓNICAS TENDO COMO ENTRADA O ACTUADOR 1 E O ACTUADOR 2, E PARA CADA CASO A SAÍDA
MEDIDA NO SENSOR 4 E 5. APRESENTAM-SE TAMBÉM NOS GRÁFICOS GRÁFICOS 4.3 A GRÁFICOS 4.6. OS
RESULTADOS DESTAS ANÁLISES CONTRAPOSTOS AOS DADOS EXPERIMENTAIS DAS RESPOSTAS EM
FREQUÊNCIA, DESDE OS VALORES INICIAIS ATÉ AOS FINAIS A CADA PASSO DA ANÁLISE. POR ÚLTIMO
APRESENTAM-SE TABELA 4.2. E O ............................................................................................................. 48
GRÁFICOS 4.2. VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS AO LONGO DA OPTIMIZAÇÃO ................................................... 49
GRÁFICOS 4.3. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA EXPERIMENTAIS (A AZUL) E DO MODELO INICIAL (A VERMELHO) 51
GRÁFICOS 4.4. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA EXPERIMENTAIS (A AZUL) E DO MODELO APÓS OPTIMIZAÇÃO AO
TUBO (A VERMELHO) ................................................................................................................................ 52
GRÁFICOS 4.5. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA EXPERIMENTAIS (A AZUL) E DO MODELO APÓS OPTIMIZAÇÃO À
PLACA (A VERMELHO) ............................................................................................................................... 53
GRÁFICOS 4.6. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA EXPERIMENTAIS (A AZUL) E DO MODELO APÓS OPTIMIZAÇÃO
FINAL (A VERMELHO) ................................................................................................................................ 54
GRÁFICOS 4.7. EVOLUÇÃO DOS ERROS EM RELAÇÃO AOS ZEROS E PÓLOS E DA ÁREA ENTRE AS CURVAS
EXPERIMENTAIS E DO MODELO AO LONGO DA OPTIMIZAÇÃO ................................................................. 55
GRÁFICOS 4. 8. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA TEÓRICAS – COMPARAÇÃO ENTRE SENSORES ............................ 59
GRÁFICOS 4.9. VARIAÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DOS ZEROS COM A POSIÇÃO DOS PIEZOELÉCTRICOS ................... 61
GRÁFICOS 4.10. RESPOSTA EM FREQUÊNCIA TEÓRICA PARA O ESTUDO DA POSIÇÃO VERTICAL RELATIVA DOS
PIEZOELÉCTRICOS ..................................................................................................................................... 62
GRÁFICOS 4.11. RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA TEÓRICAS (A VERMELHO) E EXPERIMENTAIS (A AZUL) .............. 67
GRÁFICOS 4.12. COMPARAÇÃO ENTRE AS RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA DOS SENSORES .................................. 68
GRÁFICOS 4.13. OPTIMIZAÇÃO COM FUNÇÕES DE HERMITE, PRIMEIRA FASE: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO
MODELO COM PLACA USANDO OS SENSORES PELAS EXTENSÕES ............................................................. 71
GRÁFICOS 4.14. OPTIMIZAÇÃO COM FUNÇÕES DE HERMITE, PRIMEIRA FASE: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO
MODELO COM PLACA USANDO OS SENSORES PELOS ÂNGULOS ............................................................... 72
GRÁFICOS 4.15. OPTIMIZAÇÃO COM FUNÇÕES DE HERMITE, PRIMEIRA FASE: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO
MODELO COM PRATO USANDO OS SENSORES PELAS EXTENSÕES ............................................................ 73
GRÁFICOS 4.16. OPTIMIZAÇÃO COM FUNÇÕES DE HERMITE, PRIMEIRA FASE: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO
MODELO COM PRATO USANDO OS SENSORES PELOS ÂNGULOS............................................................... 74
GRÁFICOS 4.17. ERRO MÉDIO PARA A PRIMEIRA FASE DE OPTIMIZAÇÃO: PLACA ............................................. 75
GRÁFICOS 4.18. ERRO MÉDIO PARA A PRIMEIRA FASE DE OPTIMIZAÇÃO: PRATO............................................. 75
GRÁFICOS 4.19. MODELO COM A PLACA, DISCRETIZADO EM DOIS ELOS. APARECEM MODOS NATURAIS QUE
NÃO SÃO CARACTERÍSTICOS DO SISTEMA EXPERIMENTAL, BEM COMO ZEROS. ....................................... 76
GRÁFICOS 4.20. MODELO COM A PLACA, COM FUNÇÕES DE TERCEIRA ORDEM EM Y E DE HERMITE EM X. ERRO
QUADRÁTICO MÉDIO APROXIMADAMENTE 6,3. OS PARÂMETROS DO MODELO PERMITEM A DIFERENTE
RIGIDEZ ENTRE EIXOS. ............................................................................................................................... 76
GRÁFICOS 4.21. MODELO COM O PRATO, COM FUNÇÕES DE TERCEIRA ORDEM EM X E EM Y. AO TENTAR
PUXAR O PÓLO ADICIONAL ESTE VAI EMPURRAR OS OUTROS PARA FORA DO SÍTIO CORRECTO. .............. 77
TABELA 4.13, GRÁFICOS 4.22. E GRÁFICOS 4.23. VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS APÓS OPTIMIZAÇÃO FINAL –
MODELO COM PRATO............................................................................................................................... 78
GRÁFICOS 4.24. OPTIMIZAÇÃO FINAL: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO MODELO COM PLACA ......................... 79
GRÁFICOS 4.25. OPTIMIZAÇÃO FINAL: RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DO MODELO COM PRATO......................... 80
GRÁFICOS 4. 26. RESPOSTA NO TEMPO PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO A, PLACA. A AZUL O
SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO........................................................................ 89
GRÁFICOS 4. 27. RESPOSTA NO TEMPO PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO A, PRATO. A AZUL O
SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO........................................................................ 90
GRÁFICOS 4. 28. RESPOSTA NO TEMPO PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO B, PLACA. A AZUL O
SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO........................................................................ 91
GRÁFICOS 4. 29. RESPOSTA EM FREQUÊNCIA PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO B, PLACA. A AZUL
O SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO. ................................................................... 91
T. Carreno
Página xi
Lista de figuras
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
GRÁFICOS 4. 30. RESPOSTA NO TEMPO PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO B, PRATO. A AZUL O
SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO........................................................................ 92
GRÁFICOS 4. 31. RESPOSTA EM FREQUÊNCIA PARA O CONTROLO EM SIMULAÇÃO: MODELO B, PRATO. A AZUL
O SISTEMA SEM CONTROLO, A VERMELHO O CONTROLADO. ................................................................... 92
GRÁFICOS 4. 32. RESULTADOS EXPERIMENTAIS PARA O CONTROL FINAL COM TODOS OS MODOS. ................. 93
FIGURA A.1. GEOMETRIA DO ELO ................................................................................................................... 102
FIGURA A.2. FOTOGRAFIAS DO ELO REAL ....................................................................................................... 103
FIGURA A.3. DESENHO TÉCNICO DOS SENSORES NO ELO. ............................................................................... 103
FIGURA A.4. CONDICIONAMENTO DE SINAL DOS SENSORES ........................................................................... 104
FIGURA A.5. CONDICIONAMENTO DE SINAL DOS ACTUADORES ..................................................................... 104
FIGURA A. 6. CONFIGURAÇÃO DE HARDWARE DA INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL ............................................ 105
Página xii
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Lista de tabelas
Lista de tabelas
TABELA 2.1. ESPECIFICAÇÕES DO MODELO A.................................................................................................... 10
TABELA 2.2. DISTRIBUIÇÃO DOS ELEMENTOS DO MODELO A ........................................................................... 11
TABELA 2.3. DIFERENÇAS QUALITATIVAS ENTRE O MÉTODO DOS MODOS ASSUMIDOS E O MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................................................. 14
TABELA 2.4. LIMITES DE VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DE OPTIMIZAÇÃO ........................................................ 18
TABELA 3.1. QUADRO SÍNTESE COM ESTRATÉGIAS DE ACTIVE DAMPING POR REALIMENTAÇÃO...................... 41
TABELA 4. 1. VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS AO LONGO DA OPTIMIZAÇÃO
48
TABELA 4.2. PÓLOS E ZEROS OBTIDOS ATRAVÉS DAS RESPOSTAS EM FREQUÊNCIA EXPERIMENTAIS E DO
MODELO E RESPECTIVO ERRO E ÁREA ENTRE CURVAS (VALORES EM HZ)
50
TABELA 4.3. LOCALIZAÇÃO DOS ZEROS PARA AS VÁRIAS CONFIGURAÇÕES DE PIEZOELÉCTRICOS E CASOS DE
ACTUAÇÃO/MEDIDA (VALORES EM HZ; VARIAÇÃO EM TERMOS DOS VALORES NORMAIS)
57
TABELA 4.4. DEFORMAÇÃO DA SECÇÃO TRANSVERSAL DO TUBO NO PLANO DOS SENSORES, SUJEITO ÀS
VÁRIAS CONFIGURAÇÕES DE PIEZOELÉCTRICOS.
57
TABELA 4.5. DEFORMAÇÃO DO SISTEMA SUJEITO ÀS VÁRIAS CONFIGURAÇÕES DE PIEZOELÉCTRICOS.
58
TABELA 4.7. DEFORMAÇÃO DA SECÇÃO TRANSVERSAL DO TUBO NO PLANO DOS SENSORES, PARA AS VÁRIAS
POSIÇÕES DOS PIEZOELÉCTRICOS
61
TABELA 4. 6. LOCALIZAÇÃO DOS ZEROS E SUA VARIAÇÃO PARA AS VÁRIAS POSIÇÕES DOS PIEZOELÉCTRICOS 61
TABELA 4.8. FREQUÊNCIAS NATURAIS E MODOS DE VIBRAÇÃO EXPERIMENTAIS PARA O PRATO.
64
TABELA 4.9. COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS EXPERIMENTAIS E TEÓRICOS APÓS OPTIMIZAÇÃO
66
TABELA 4.10. DEFORMAÇÃO ESTÁTICA GLOBAL E DA SECÇÃO TRANSVERSAL NO PLANO DOS SENSORES
68
TABELA 4.11. OPTIMIZAÇÃO COM FUNÇÕES DE HERMITE: PRIMEIRA FASE
70
TABELA 4.12. VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS APÓS OPTIMIZAÇÃO FINAL – MODELO COM PLACA
77
TABELA 4.13, GRÁFICOS 4.22. E GRÁFICOS 4.23. VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS APÓS OPTIMIZAÇÃO FINAL –
MODELO COM PRATO
78
TABELA 4.14. QUADRO-SÍNTESE DOS MODELOS OBTIDOS
85
TABELA A.1. PROPRIEDADES DOS MATERIAIS DA INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL
TABELA A.2. CARACTERÍSTICAS DOS SENSORES E ACTUADORES
TABELA A.3. FREQUÊNCIAS E MODOS NATURAIS DE VIBRAÇÃO EXPERIMENTAIS.
T. Carreno
102
103
107
Página xiii
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
"I am a man of fixed and unbending principles, the first of which is to be flexible at all times."
Everett Dirksen
O presente trabalho consiste na modelação e controlo de um elo flexível. Este tipo de estruturas e o
seu interesse na robótica são apresentados no ponto 1.1. No ponto 1.2. traçam-se algumas
características o que são os materiais e as estruturas inteligentes e a sua importância para os elos
flexíveis. No ponto 1.3. aborda-se um tipo de material inteligente, os piezoeléctricos, com maior
profundidade. Um breve resumo de estado da arte e da literatura em termos de modelação de elos
flexíveis é apresentado no ponto 1.4. e em termos de controlo de elos flexíveis no ponto 1.5. Por fim,
é explicada a relevância do presente trabalho no ponto 1.6. e no que consiste e quais os seus
objectivos no ponto 1.7.
T. Carreno
Página 1
Elos flexíveis
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
1.1. Elos flexíveis
Os braços manipuladores robóticos são e têm sido o principal componente robótico utilizado na
indústria. São a solução mais utilizada para um vasto número de aplicações devido à sua flexibilidade
de adaptação a realizar tarefas distintas e o seu estudo tem sido um paradigma da robótica.
Tradicionalmente são estruturas grandes e pesadas. Requerem um esforço elevado para realizar os
movimentos pretendidos pelo que são dispendiosos, consomem grandes quantidades de energia e
operam cargas muito inferiores ao seu próprio peso. Torna-se importante tornar os braços
manipuladores robóticos mais ágeis e ligeiros, para que possam realizar tarefas mais rapidamente e
de um modo mais económico e permitam uma maior mobilidade e flexibilidade de integração no
ambiente industrial.
O problema com a redução de peso prende-se com a perda de rigidez associada, que origina
movimentos de deformação elástica que introduzem movimentos vibratórios e comportamentos de
fase não-mínima que se traduzem na degradação do desempenho do manipulador. É essencialmente
deste ponto que nasce o interesse pelo controlo de elos flexíveis: através do uso de esquemas de
controlo podemos recuperar a precisão obtida com elos rígidos, mantendo a leveza estrutural
desejada, sem onerar a solução com o emprego de materiais/técnicas de construção sofisticadas. O
interesse na investigação académica de manipuladores com elos flexíveis tem sido crescente nas
últimas duas décadas e meia (Gráfico 1. 1).
180
160
Nº de publicações
140
120
100
80
60
40
20
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
0
Ano da publicação
Gráfico 1. 1. Número de resultados obtidos no Google Scholar com as palavras
"flexible link" manipulator nos últimos 25 anos, em função do ano da publicação.
Para que se possa ter manipuladores ligeiros com condições de performance semelhantes aos seus
equivalentes rígidos é importante obter esquemas de controlo, nomeadamente no planeamento de
trajectórias, para que o manipulador se desloque do ponto A ao ponto B correctamente no espaço, no
controlo de força (impedância), para que a carga seja correctamente manuseada pelo manipulador e
de vibrações, para que o manipulador se comporte de uma forma o menos oscilatória possível. É para
este último ponto que o presente trabalho se propõe a encontrar soluções adequadas.
A passagem de elo rígido a flexível levanta uma série de problemas: passamos de um corpo rígido
com número finito de graus de liberdade, a um meio contínuo com infinitos graus de liberdade. São
necessárias técnicas de modelação e esquemas de controlo diferentes das tradicionais. Esta
passagem de rígido a flexível também implica uma perda de controlabilidade (e observabilidade): a
informação apenas relativa ao binário e ângulo na junta torna-se insuficiente. É necessário agir de
outra forma sobre o elo, e obter mais informação sobre a sua disposição no espaço, pelo que são
necessários novos esquemas de actuação/medida. Um campo que tem vindo a procurar soluções
para este problema é o dos materiais e estruturas inteligentes.
Página 2
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Materiais e estruturas inteligentes
1.2. Materiais e estruturas inteligentes
Um material inteligente é um material cujas propriedades podem ser drasticamente alteradas devido
a estímulos externos ou mudanças da sua vizinhança. Por exemplo, pode deformar-se, mudar de cor,
condutividade, de viscosidade, quando se altera o campo de temperaturas, de tensões, eléctrico,
magnético ou o pH da sua vizinhança. De notar que estas mudanças têm de ser drásticas por
comparação à alteração induzida para o material ser considerado inteligente: por exemplo, o petróleo
flui um pouco melhor quando aquece, mas há fluidos que podem mudar de viscosidade tão
drasticamente a ponto de se comportarem como sólidos quando aplicado um estado de tensão
ligeiramente diferente do original.
Uma estrutura inteligente é uma estrutura de materiais tradicionais com materiais inteligentes
embutidos ou montados à superfície e um sistema de controlo associado que use esses mesmos
materiais para obter prestações desejadas. Estes materiais inteligentes são basicamente sensores e
actuadores (Bandyopadhyay, et al., 2007). A característica que distingue as estruturas inteligentes é
que os sensores e actuadores são frequentemente distribuídos e altamente integrados na estrutura,
impossibilitando a modelação em separado (Preumont, 1997)
O tema dos materiais inteligentes é recente, em crescimento, e fortemente interdisciplinar: envolve o
campo dos materiais, da mecânica estrutural, do controlo, da medida, do processamento de sinal e
da electrónica.
1.3. Materiais Piezoeléctricos
Uma classe de materiais inteligentes que tem sido mais utilizada no controlo de estruturas
inteligentes é a dos materiais piezoeléctricos. Estes materiais exibem o chamado efeito piezoeléctrico:
quando sujeitos a tensão mecânica desenvolvem um potencial eléctrico. Este efeito foi demonstrado
pela primeira vez pelos irmãos Jacques e Pierre Curie em 1880. Este é chamado o efeito
piezoeléctrico directo. Posteriormente, em 1881, Gabriel Lippmann deduziu matematicamente o
chamado efeito piezoeléctrico inverso, que também é exibido pelos materiais piezoeléctricos: quando
submetidos a um campo eléctrico, produzem tensão e/ou extensão mecânica.
As leis constitutivas para um meio contínuo piezoeléctrico podem ser escritas na seguinte forma
(Martins, 2007):
(1. 1.)
(1. 2.)
Onde εij e σij são as componentes do tensor das deformações e das tensões respectivamente, Epz e
pz são o Módulo de Young e o coeficiente de Poisson do piezoeléctrico, dij são os termos de
acoplamento piezoeléctrico, ξi é a permissividade do material, Di a carga por unidade de volume e E o
campo de polarização. A equação (1. 1.) é a equação do efeito piezoeléctrico inverso e a equação (1.
2.) a do efeito piezoeléctrico directo.
T. Carreno
Página 3
Materiais Piezoeléctricos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Há materiais piezoeléctricos que ocorrem naturalmente (como por exemplo o quartzo ou a cana-deaçúcar (Ballato, 1995), mas os mais utilizados são feitos pelo homem. Estes podem ser cristalinos ou
cerâmicos, e os mais usuais em controlo estrutural são normalmente os cerâmicos. Destes últimos, o
material mais comum é o zirconato titanato de chumbo ou PZT.
As razões pelas quais os piezoeléctricos são o material inteligente mais frequentemente utilizado são
várias. Em primeiro lugar, os piezocerâmicos possuem uma rigidez estrutural elevada permitindo uma
actuação fortemente dependente da tensão eléctrica (Williams, et al.). Simultaneamente, as
frequências às quais exibem uma boa interacção com sistemas dinâmicos vão desde cerca de 1Hz até
aos MHz. Por último, o uso de materiais piezoeléctricos no controlo estrutural conta actualmente com
o uso de vários materiais compósitos.
Este último ponto é de especial importância. No passado, eram usados blocos monolíticos de material
piezocerâmico, o que trazia algumas condicionantes: os cerâmicos revelam uma capacidade limitada
de se adaptarem a superfícies curvas devido à sua fragilidade, e o uso de piezocerâmicos tipicamente
à base de chumbo adiciona uma massa considerável à estrutura. O advento dos materiais compósitos
com fibras piezocerâmicas imersas numa matriz polimérica (MFC) elimina estas desvantagens
(Williams, et al.). Mais ainda, esta configuração compósita permite uma anisotropia do piezoeléctrico
favorecendo o uso de sensores/actuadores para uma dada direcção e o uso de eléctrodos
interdigitados permite o desenvolvimento de maiores tensões/extensões (Williams, et al.).
Figura 1. 1. Macro Fiber Composite - Compósito de fibras piezoeléctricas
PZT em matriz polimérica, mostrando a maior capacidade de adaptação a
superfícies curvas. De salientar também a espessura reduzida.
Os actuadores e sensores piezoeléctricos deste trabalho são justamente compósitos de fibras PZT em
matriz polimérica. Explicações pormenorizadas destes actuadores e sensores podem ser encontradas
em (Williams, et al.) e (Sodano, et al., 2003). As características principais dos actuadores e sensores
utilizados estão resumidas no 5.2.ANEXO A. A título de curiosidade, refira-se ainda que os compósitos
MFC receberam o prémio de invenção do ano da NASA em 2007 (Steitz, et al.).
Entre os primeiros autores a abordar o uso de piezoeléctricos para a elaboração de estruturas
inteligentes estão (Crawley, et al., 1987), sendo uma das referências mais citadas em trabalhos
subsequentes. Analítica e experimentalmente os autores demonstraram que a eficácia dos
piezoeléctricos em aplicações de actuação/medida é independente do tamanho da estrutura,
avaliaram várias combinações de materiais piezoeléctricos com materiais de suporte, e configurações
à superfície e embebidas na estrutura. Posteriormente, vários autores abordaram esta temática. Dois
resumos actuais do estado da arte nesta matéria podem ser encontrados em (Chopra, 2002) e
(Esmaeilsabzali, et al., 2005).
Página 4
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelação de estruturas flexíveis
1.4. Modelação de estruturas flexíveis
O problema da modelação de estruturas flexíveis prende-se com serem sistemas distribuídos: as suas
propriedades não estão concentradas em pontos específicos, mas sim distribuídas ao longo de um
meio contínuo. Isto dificulta a obtenção de modelos destas estruturas: obter funções analíticas que
descrevam o comportamento de toda a estrutura de um modo contínuo é um problema difícil.
Por este motivo, a maioria das abordagens presentes na literatura passa por efectuar uma
discretização espacial do problema. Tipicamente uma de três abordagens é usada para realizar este
objectivo: o método dos modos assumidos (AMM), o método dos elementos finitos (FEM) ou o
método de parâmetros concentrados (lumped parameter).
Muito sucintamente: no primeiro método, o modelo consiste numa série finita de produtos de funções
de forma assumidas para os modos (daí a terminologia) e as amplitudes variantes no tempo. No
segundo a modelação consiste na discretização em pequenos subdomínios para os quais funções
admissíveis (tipicamente polinómios) são usadas. No terceiro, assumem-se tantas juntas fictícias não
actuadas quantas necessárias para descrever apropriadamente o comportamento do elo, chamadas
de pseudo-juntas. Cada pseudo-junta é acompanhada de uma mola linear para restringir o
movimento de junta e assim representar a flexibilidade.
As referências na literatura para a modelação de elos flexíveis são extremamente vastas e uma
síntese exaustiva do estado da arte está fora do âmbito deste trabalho. Apresenta-se neste capítulo
um breve resumo dos artigos, teses e livros considerados mais importantes para a pesquisa que foi
desenvolvida pelo autor nesta área.
Um artigo recente extremamente completo e abrangente sobre esta área é (Dwivedy, et al., 2006).
Oferece um excelente ponto de partida à pesquisa da literatura tanto para a modelação como para o
controlo. Fornece um compêndio da investigação efectuada em termos de modelação segundo os
métodos mais comuns (FEM, AMM, e Lumped parameter) bem como outros estudos. Particulariza
para manipuladores de um só elo flexível, dois elos flexíveis, e mais de dois elos. Aborda também
flexibilidade de junta, dinâmica inversa e estudos experimentais, bem como o controlo para
manipuladores com um, dois ou vários elos flexíveis. (Book, 1990) e (Piedbouef, et al., 1993) são
documentos anteriores que também fornecem resumos do estado da arte da modelação e controlo de
elos flexíveis. Um artigo de especial importância é (Theodore, et al., 1995), onde é feita a
comparação entre os dois métodos de modelação mais comuns, o dos modos assumidos e o dos
elementos finitos para um manipulador flexível. É feita uma comparação numérica e qualitativa e os
autores terminam recomendando abordagens diferentes consoante as aplicações dos modelos.
Em termos de livros, (Meirovitch, 1967) e (Meirovitch, 1980) oferecem duas referências clássicas na
modelação analítica de vibrações. (Junkins, et al., 1993) apresenta uma análise comparativa entre o
método dos modos assumidos e o dos elementos finitos. (Bandyopadhyay, et al., 2007) contém um
estudo da modelação de vigas inteligentes tendo por base a teoria de vigas de Timoshenko e de
Euler-Bernoulli. (Friswell, 1995) aborda o updating de modelos de elementos finitos em dinâmica
estrutural.
No âmbito das teses de doutoramento, (Piefort, 2001) oferece um estudo da modelação em
elementos finitos de piezoeléctricos. (Moberg, 2007) e (Vakil, 2008) abordam a modelação de
manipuladores flexíveis. (Martins, 2007) fornece um ambiente de modelação/simulação baseado no
método dos modos assumidos, a toolbox Mecanismo, que é uma componente essencial do presente
trabalho.
1.5. Soluções para o controlo de elos flexíveis
O controlo de manipuladores com elos flexíveis é um tópico que conta com uma grande quantidade
de trabalho desenvolvido (Gráfico 1. 1). Historicamente, o problema da flexibilidade dos elos de
T. Carreno
Página 5
Relevância do trabalho
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
manipuladores começou por ser evitado ao invés de se tentar procurar soluções para este, tanto em
robots terrestres como em aplicações espaciais. Como é referido em (Book, 1993), “Designers of
Earth-bound robots have a philosophy that avoids confronting the flexible monster. (…) Make it
heavy; heavy enough to pass as rigid. Designers of space based systems have their own strategy:
Move it slowly; slowly enough to pass as static”.
Tornar os elos flexíveis estruturas inteligentes não é solução única para o problema da flexibilidade: o
uso de geometrias e/ou de materiais que ofereçam maior rigidez pode oferecer melhorias. Todavia, o
uso de controlo é preferível. Um sistema de controlo pode ser aplicado a estruturas com materiais
relativamente simples (Crawley, et al., 1987), e é sem dúvida uma solução mais económica e eficaz
para o problema.
Há soluções para o controlo de elos flexíveis desenvolvidas em vários ramos do controlo: desde
estratégias de controlo por realimentação e realimentação de estado (Balas, 1978), (Fanson, et al.,
1990) (Baz, et al., 1992), (Friswell, et al., 1999), (Vasques, et al., 2006), de controlo directo, de
controlo óptimo (Vasques, et al., 2006), robusto (Kar, et al., 2000), não linear (Yang, et al., 1998),
adaptativo (Feliu, et al., 1990), através de redes neuronais (Yegildirek, et al., 1994), controladores
fuzzy (Moodgal, et al., 1994). Mais recentemente tem-se procurado não a eliminação de vibrações
mas o seu confinamento (Tang, et al., 2004), há também estratégias de controlo por input shaping
(Mohamed, et al., 2003) (Singer, et al., 1988). O campo é vasto e a literatura também.
Mais uma vez, (Dwivedy, et al., 2006) fornece um apanhado geral do trabalho efectuado neste
âmbito, sendo (Book, 1990), (Piedbouef, et al., 1993) (Benosman, et al., 2004) outros documentos
com o mesmo escopo mas não tão recentes.
O controlo estrutural é um tópico bastante desenvolvido e conta com vários livros já publicados.
(Meirovitch, 1990) aborda métodos de dinâmica estrutural e controlo: controlo modal,
posicionamento de pólos, projecto de LQGs. (Fuller, et al., 1996) aborda o controlo activo de
vibrações: realimentação, controlo óptimo, controlo modal, controlo feedforward, controlo adaptativo,
actuadores e sensores distribuídos. (Inman, 1989) e a edição mais recente (Inman, 2006) introduzem
os conceitos básicos do controlo de vibrações: controlo, estabilidade, modelos de parâmetros
distribuídos, (Preumont, 1997) é uma referência na área, elaborando as temáticas actuais de controlo
por realimentação, controladores LQG, posicionamento de sensores e actuadores, sensores e
actuadores piezoeléctricos e contém aplicações em engenharia civil e aeroespacial. (Junkins, et al.,
1993) é outra referência, sendo um livro mais avançado que aborda as temáticas da aproximação em
modelos de dimensão finita de estruturas flexíveis (modos assumidos, elementos finitos), a
realimentação de estado, medidas de controlabilidade e observabilidade e o problema do
posicionamento de sensores e actuadores. (Wang, et al., 2003) aborda o planeamento de
trajectórias, o controlo de força, controlo por realimentação, controlo robusto, não linear e o projecto
de elos flexíveis, entre outras temáticas, (Gawronski, 2004) é um livro bastante recente, abordando
tópicos avançados do controlo estrutural como a modelação e model order reduction, controlabilidade
e observabilidade e posicionamento óptimo de sensores e actuadores, actuadores e sensores modais,
a identificação de sistemas, o controlo colocado, controladores LQG e controlo robusto.
(Bandyopadhyay, et al., 2007) apresenta uma série de esquemas de controlo para estruturas
inteligentes, sobretudo vigas inteligentes com piezoeléctricos à superfície.
1.6. Relevância do trabalho
Como descrito nos capítulos anteriores, as soluções para o controlo de vibrações de elos flexíveis são
muitas e variadas. No entanto a grande maioria incide na resolução de problemas planares, em que a
rigidez do elo é muito grande em todos os eixos menos um. Há ainda por desenvolver trabalho no
que diz respeito a elos tridimensionais que sofram deformações consideráveis em todos os eixos. A
passagem do caso anterior para este último não é trivial. Em (Dwivedy, et al., 2006), os autores
concluem da sua pesquisa do estado da arte que vários pontos ainda merecem ser objecto de estudo,
nomeadamente no que diz respeito à existência de deformações devido a flexão em mais que um
eixo e torção. Os autores (Benosman, et al., 2004) dizem também que na sua opinião os objectivos
Página 6
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Explicação do trabalho e seus objectivos
de controlo a atingir já o foram, na sua maioria, para o caso planar. É talvez uma afirmação um
pouco arrojada, mas o caso tridimensional é de facto menos estudado. O presente trabalho insere-se
justamente nas lacunas levantadas por estes autores. O elo sobre o qual este trabalho se baseia
permite o estudo desses fenómenos, pois a sua geometria faz com que as deformações sejam
consideráveis nos vários eixos.
1.7. Explicação do trabalho e seus objectivos
O presente trabalho consiste então na modelação e controlo de um elo flexível. O elo em questão é
um elo desenvolvido no âmbito da tese de doutoramento do Prof. João Reis e uma das plataformas
experimentais do LECA (Laboratório de Estruturas e Compósitos Adaptativos), do IST. O elo possui
sensores e actuadores piezoeléctricos, através dos quais pode ser controlado. A descrição da
instalação experimental é feita ao pormenor no anexo A.
Figura 1. 2. Fotografia do elo flexível utilizado neste trabalho.
A modelação foi desenvolvida seguindo duas abordagens: uma em software de elementos finitos e
outra em simulador de modos assumidos. A modelação em elementos finitos foi desenvolvida em
Ansys, a no simulador foi desenvolvida na toolbox Mecanismo, desenvolvida no âmbito da tese de
doutoramento do Prof. Jorge Martins (Martins, 2007). Após uma construção inicial dos modelos
procedeu-se à sua parametrização e optimizaram-se os parâmetros para obter comportamento
próximo do experimental (model updating), enquanto se adquiria também conhecimento empírico
sobre o sistema e se estudavam algumas características. A modelação é apresentada no capítulo 2.
O controlo tem por objectivo conseguir o active damping do sistema. Foi implementada uma
metodologia através de Positive Position Feedback (PPF), usando os modelos obtidos na fase de
modelação para realizar a simulação em Simulink. Numa segunda fase, realizou-se o mesmo trabalho
mas desta vez com a instalação experimental. Toda a fase de controlo é apresentada no capítulo 3.
Os resultados de todo o trabalho estão apresentados no capítulo 4.
No capítulo 5 descrevem-se as conclusões obtidas com este trabalho e sugestões para trabalhos
futuros.
T. Carreno
Página 7
Explicação do trabalho e seus objectivos
Página 8
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
CAPÍTULO 2 MODELAÇÃO
"A model's just an imitation of the real thing."
Mae West
Para este trabalho foram elaborados dois modelos do sistema. O primeiro foi um modelo em
elementos finitos, usando o software ANSYS, o modelo A. O segundo modelo foi um modelo no
simulador de modos assumidos, a toolbox de Matlab – Mecanismo, o modelo B. Estes modelos estão
apresentados no ponto 2.1., onde também feita uma discussão sobre ambos, do ponto de vista das
técnicas de modelação envolvidas. Ambos os modelos foram sujeitos a uma optimização dos seus
parâmetros com vista a aproximar as suas respostas em frequência das obtidas experimentalmente
para o elo real (ver 5.2.ANEXO B). Esta abordagem de encarar a modelação dos parâmetros como
um problema de optimização é chamada model updating. Esta técnica e a sua relevância para este
trabalho estão explicadas no ponto 2.2., onde também são explicados os métodos considerados,
discutidas as opções tomadas referentes à optimização de um modo geral e é enunciado o problema
de optimização. A particularização para cada modelo em termos de algoritmo, método, função
objectivo e optimização vem também descrita nos pontos 2.3. e 2.4. Como etapa final da optimização
foi criada uma biblioteca de modelos, procedendo à sua adaptação para o controlo. Esta etapa é
explicada no ponto 2.5.
T. Carreno
Página 9
Apresentação dos modelos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.1. Apresentação dos modelos
2.1.1. Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
Este modelo do sistema é um modelo em Elementos Finitos. Está realizado no software de elementos
finitos ANSYS. Do modelo constam:
-o tubo em policarbonato, encastrado na base
-a placa de aço solidária com a extremidade do tubo
-os sensores piezoeléctricos e os actuadores piezoeléctricos solidários com a face do tubo.
2.1.1.1.
Geometria
A geometria do modelo é a mesma da instalação experimental, conforme vem descrita no
5.2.ANEXO A.
2.1.1.2.
Modelos de Material
Existem três modelos de material no modelo. Um para o tubo, outro para o aço e outro para os
piezoeléctricos. As especificações dadas para os modelos constam na Tabela 2.1.
Tabela 2.1. Especificações do Modelo A
Acrílico e Aço
Piezoeléctrico
Modelo estrutural
linear, elástico, isotrópico
linear, elástico, ortotrópico
Massa específica
Constante e igual em todas as
direcções
Constante e igual em todas as direcções
Módulo de Young
Constante e igual em todas as
direcções
Constante segundo x, constante com outro
valor segundo y e z
Coeficiente de
Poisson
Constante
Constante
Rigidez à torção
-
Constante segundo xy e xz, constante com
outro valor segundo yz
Permissividade
-
Constante segundo x, nula nas outras
direcções
0


Matriz de tensão
piezoeléctrica
-

e yz

0




0
Página 10
e xz

0
T. Carreno
Apresentação dos modelos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.1.1.3.
Elementos
Os elementos de ANSYS usados são o SOLID5, de oito nós com seis graus de liberdade em cada nó
devido a pretender estudar as deformações em A geometria destes elementos é a da Figura 2.1
Figura 2.1. Elementos utilizados: elemento SOLID5
2.1.1.4.
Malha
A malha do modelo é como se pode ver nas figuras Figura 2.2 a Figura 2.4 Na Tabela 2.2 vê-se a
distribuição dos elementos.
Tabela 2.2. Distribuição dos elementos do modelo A
Tabela 2.2. Distribuição dos elementos do modelo A
Tabela 3.1. - Distribuição dos elementos do modelo
Tabela
3.1
Distribuição de elementos
Figura 2.2. Pormenor da malha nos sensores
Figura 2.3. Pormenor da malha na placa de aço
Figura 2.4. Malha do modelo – Vista global
T. Carreno
Página 11
Apresentação dos modelos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.1.2. Modelo em Simulador de Modos Assumidos – Modelo B
O Modelo B foi realizado na plataforma Mecanismo (Martins, 2007). Esta é uma toolbox para Matlab
(Simulink) que consiste numa ferramenta de modelação simbólica de estruturas robóticas flexíveis,
usando o kernel de Maple da toolbox de manipulação simbólica do Matlab.
Este software baseia-se na teoria de vigas de Timoshenko. Esta teoria vai para além a teoria de vigas
clássica (Euler-Bernoulli), tendo em conta deformações de corte e efeitos da inércia rotacional. É
usada para vigas curtas (relações comprimento/espessura menores que 10) ou excitações de alta
frequência com comprimento de onda próximo da espessura da viga. No entanto, não são
consideradas distorções da secção do elo, como no caso do Modelo A, porque a teoria de vigas de
Timoshenko assume que as secções transversais permanecem planas após a deformação, ou seja
despreza o empeno.
Além dos pressupostos implícitos nesta teoria, o software assume outros, como por exemplo:
- A fibra neutra da viga tem extensão nula;
- O eixo neutro da viga pré-deformada é uma linha recta;
- As secções transversais da viga são de massa específica constante e
simétricas em relação aos seus eixos principais.
- As extensões devidas a corte e flexão são consideradas pequenas (de
primeira ordem)
As motivações por trás destes pressupostos estão explicadas em detalhe em (Martins, 2007).
O software permite a simulação de actuação através de laminados fornecendo, como saída o
deslocamento elástico da linha neutra da viga. É necessário calcular a resposta dos sensores com
base nestes valores. Este cálculo é explicado melhor nos pontos 2.4.4. e 2.4.5. Este cálculo é
bastante complexo pelo que foram adoptadas duas metodologias para calcular uma aproximação.
Figura 2.5. O modelo Simulink construído com a toolbox Mecanismo, que alimenta o cálculo de curvaturas e de
ângulos. Estes depois são alimentados no cálculo dos sensores.
Página 12
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Apresentação dos modelos
O software permite ainda discretizar os corpos flexíveis em mais do que um elemento (se quisermos,
teria o seu paralelo em refinar a malha no Ansys – abordagem h) ou usando outras funções de forma
de ordem superior (também se quisermos, teria o seu paralelo em alterar o tipo ou o grau dos
elementos no Ansys – abordagem p). Estas alterações envolvem um número consideravelmente
maior de cálculos pelo que acarretam também um maior custo computacional.
Também está acoplado um bloco VRsink que permite a visualização tridimensional do elo em
simulação, permitindo ver a resposta a qualquer entrada.
Figura 2. 6. Visualização 3D do elo em Mecanismo. A azul e verde os eixos do referencial do programa.
2.1.3. Discussão sobre os modelos
As diferentes plataformas de implementação dos modelos A e B baseiam-se em metodologias de
cálculo diferentes, possuindo características que podem revelar-se como vantagens e desvantagens
consoante a aplicação.
No entanto, tanto o método dos modos assumidos (AMM) como o método dos elementos finitos
(FEM) são métodos Rayleigh-Ritz.
Os métodos Rayleigh-Ritz aproximam um sistema contínuo, de infinitos graus de liberdade por um de
n graus de liberdade, sendo n um número finito.
A diferença básica entre o AMM e o FEM é que no primeiro a solução é aproximada por uma série
finita de funções admissíveis para todo o domínio, ao passo que no segundo se usam funções de
forma admissíveis apenas para pequenos subdomínios simples, os elementos finitos. (Rao, 2004) por
exemplo, diz que ambos os métodos são essencialmente equivalentes, na medida em que ambos
procuram uma combinação linear de um conjunto de funções admissíveis, que extremize ou
mantenha estacionário um dado funcional, com vista a obter uma solução aproximada para o
problema, residindo a única diferença nos domínios para os quais as funções são definidas.
Deste modo, a principal vantagem do FEM é a sua versatilidade. O FEM pode ser usado para calcular
as frequências e modos naturais de qualquer sistema linear elástico (Beards, 1995). A tarefa de
definir funções admissíveis para todo o domínio no AMM é muitas vezes complexa e impraticável, no
caso de geometrias não uniformes. No entanto no FEM, esse problema não se coloca, podendo-se
resolver problemas diferentes sem necessitar de encontrar de novo outras funções, apenas
distribuindo os elementos de forma diferente.
T. Carreno
Página 13
Apresentação dos modelos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
No entanto, quando a geometria é simples e não há mudanças súbitas nas propriedades do sistema,
como as distribuições de massa e rigidez, o FEM revela piores prestações que o AMM (Meirovitch,
1980) (Junkins, et al., 1993). Este facto é devido ao elevado número de graus de liberdade associado
ao FEM necessário para conseguir boa precisão, o que onera a solução computacional 1. Convém
porém salientar, que à medida que o hardware vai evoluindo, este factor é progressivamente menos
relevante. Ainda assim, a tecnologia infelizmente ainda não chegou a um ponto em que este factor
não seja importante, sobretudo em situações de controlo online.
Em (Junkins, et al., 1993), além de ser feita uma síntese das diferenças qualitativas entre ambos os
métodos, que neste trabalho é apresentada na Tabela 2.3, é feito um estudo comparativo numérico
entre ambos os métodos de discretização espacial, para o cálculo de frequências naturais de uma
estrutura flexível. Como conclusão, é referido que na maioria dos casos, o FEM converge para o
modelo real com menos graus de liberdade que o AMM, nas circunstâncias mais comuns, em que se
usam funções de configuração que apenas satisfaçam condições de fronteira essenciais e não as
naturais.
Tabela 2.3. Diferenças qualitativas entre o método dos Modos Assumidos e o método dos Elementos Finitos
Método dos Modos Assumidos
Método dos Elementos Finitos
Funções
Admissíveis
Funções globais definidas
para todo o domínio
Funções complexas
Difíceis de escolher para
estruturas de geometria
complexa
Funções locais definidas
para pequenos
subdomínios
Simples e polinómios de
baixo grau
Ordem do
Sistema
Baixa ordem (tipicamente)
Alta ordem
Coordenadas
Normalmente M, K altamente
acoplados
Normalmente não esparsas,
embora muitas vezes
predominantemente
diagonais
M e K esparsamente
populados
Coordenadas físicas
Aplicação
Útil para problemas em que a
geometria é simples
Largamente aplicável a
geometrias arbitrárias
Para uma
geometria
diferente
Um novo conjunto de funções
tem de ser seleccionado
As mesmas funções são
usadas (tipicamente)
Em (Theodore, et al., 1995) também é feita uma comparação qualitativa e numérica do AMM e do
FEM para a modelação de um manipulador flexível. Como conclusão, os autores recomendam o uso
de AMM para manipuladores de apenas um elo flexível ou casos de secção transversal constante,
recomendando o FEM para casos de secção transversal variável ou manipuladores com vários elos
flexíveis. No mesmo artigo, é referido que o FEM sobrestima a rigidez. Os autores oferecem ainda
uma breve análise relativamente ao número de modos a modelar. É dito que o número de modos
exacto a ser incluído pode ser determinado a partir de análises de custo modal (Book, 1990), mas
que tradicionalmente se consideram apenas os primeiros modos. A justificação vem das altas
frequências e baixas amplitudes dos modos não modelados, e do facto dos actuadores e sensores
1
Há maneiras de lidar este problema. Uma delas é descrita no ponto 2.5.1: Model Order Reduction
Página 14
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
A modelação como problema de optimização: Model Updating
não funcionarem a altas frequências. No presente trabalho optou-se por apenas considerar os modos
cuja frequência seja inferior a 100Hz.
Em (Vakil, 2008) é referido que o FEM é preferível para projecto de manipuladores flexíveis e o AMM
para controlo e simulação.
Figura 2.8. Resposta em frequência de uma viga
encastrada-livre com sensor piezoeléctrico colado
à superfície de acordo com a teoria de viga e
teoria de placas e cascas.
Figura 2.7. Esforços considerados nos actuadores
piezoeléctricos de acordo com: a) teoria de vigas; b) teoria
de placas e cascas
Além das diferenças de método numérico envolvido, há também diferenças em termos de modelação
estrutural. O modelo B, ao seguir a teoria de vigas de Timoshenko, despreza esforços de membrana e
binários no eixo perpendicular ao do actuador; o modelo A não. É portanto de esperar que hajam
diferenças qualitativas entre as respostas em frequência obtidas com um modelo e as obtidas com
outro. Em (Preumont, 1997) apresenta-se a Figura 2.8 como exemplo de uma comparação com as
respostas em frequência de uma viga encastrada-livre de acordo como o modelo de viga e o modelo
de placas e cascas. O modelo de placas e cascas considera os esforços acima referidos ao passo que
o de viga não. Em (Piefort, 2001) apresenta-se a Figura 2.7. que evidencia esses esforços.
2.2. A modelação como problema de optimização: Model
Updating
O updating de modelos é um tema bastante estudado, com aplicações estruturais, estatísticas,
económicas, entre outras (Friswell, 1995). É usado com algoritmos genéticos, redes neuronais,
métodos de programação matemática, colónias de formigas, método da descida do gradiente, e
vários outros métodos de optimização numérica.
O updating consiste em actualizar os parâmetros de um modelo com vista a minimizar
(iterativamente ou não) o desvio dos resultados em relação aos dados experimentais do sistema que
esse modelo representa. É um problema de optimização com função desconhecida, pois a função que
computa o desvio de um qualquer resultado obtido com o modelo em relação aos dados
experimentais a partir apenas dos parâmetros é muitas vezes desconhecida (ou de tal modo
complexa, que pode ser encarada como tal, de um ponto de vista computacional).
De salientar que o model updating não é o mesmo que a identificação de sistemas. No primeiro
necessitamos da existência de um modelo antes de começar o updating. O updating por si só não
fornece modelos, apenas adequa melhor o seu comportamento com o comportamento de um sistema
experimental para o qual há resultados conhecidos. Esse modelo pode e deve sempre que possível
ser feito de forma directa, através das leis físicas que consideramos válidas para o sistema ( white-box
modelling). No caso da identificação de sistemas, o que se faz é a avaliação de relação entre as
entradas e as saídas de um sistema para se poder então obter o modelo do sistema, sem
considerações físicas sobre este (black-box modelling).
T. Carreno
Página 15
A modelação como problema de optimização: Model Updating
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Ao longo deste capítulo chama-se “erro” a esse desvio entre dados experimentais e resultados do
modelo. É um abuso de linguagem visto que os valores experimentais são medidos com um erro
inerente à cadeia de medida e não são os valores exactos, mas que é cometido com vista a
desembaraçar o discurso.
Para usar o updating é então preciso decidir qual o método de optimização, função objectivo e
evidentemente um modelo. Estes três aspectos estão intimamente ligados e a sua escolha é uma
etapa delicada do processo. É preciso escolher uma função objectivo que avalie os parâmetros e
compute o erro da forma mais expedita possível mas que seja também esclarecedora quanto à
relevância destes parâmetros, para possibilitar poucas iterações e permitir descartar parâmetros aos
quais o sistema não seja sensível cedo. Além disso, a escolha desta função depende do método de
optimização utilizado e a escolha deste depende por sua vez do comportamento dela em relação aos
parâmetros tidos como relevantes. Simultaneamente, essa escolha está sujeita a restrições, quer de
capacidade (ou tempo) de processamento, quer físicas do modelo ou matemáticas do método. Esta
escolha para este trabalho é explicada mais à frente neste capítulo no ponto 2.2.2.
(Pinheiro, et al., 2004) e (Fernandez, et al., 2005) por exemplo, apresentam aplicações práticas deste
método em casos estruturais.
2.2.1. Enunciado do problema
Antes porém, desta escolha, é preciso definir correctamente o problema de optimização. No caso
deste trabalho, o objectivo é ajustar a resposta em frequência do modelo à experimental, ou seja
minimizar o erro:
m in f ( x )
(2. 1.)
x A
em que f(x) é a função objectivo que represente o erro do modelo, x o vector de parâmetros que
alimentam o modelo e A é conjunto dos valores possíveis para os parâmetros. Se houver n
parâmetros
.
Em seguida, pode-se submeter a optimização a constrangimentos no que diz respeito ao domínio de
procura. Os constrangimentos podem ser algo que tenha que ser verdadeiro fisicamente (uma
condição-fronteira, ou de continuidade), ou majorantes/minorantes do valor do parâmetro, ou ainda
uma qualquer outra inequação entre funções em x que faça sentido para o problema. Do ponto de
vista computacional é preferível usar constrangimentos para ter um espaço de soluções mais
pequeno, logo mais facilmente pesquisável. Do ponto de vista físico também, porque as funções
objectivo em problemas estruturais têm tipicamente vários mínimos locais, grande parte destes não
satisfazendo o problema, sendo nesse caso boa ideia assegurar que os mínimos encontrados sejam
soluções válidas do problema. No caso deste trabalho, os constrangimentos foram definidos em
termos de limitar a variação dos parâmetros ao intervalo de x m in a x m ax , sendo estes os valores
máximos e mínimos que sejam aceitáveis de um ponto de vista físico para os parâmetros. Por
exemplo, dado que o tubo que constitui o elo é em policarbonato não faz sentido que a sua massa
específica seja muito distante dos 1200 kg/m3. Assim sendo o enunciado do problema de optimização
para este trabalho é o seguinte:
m in f ( x )
(2. 2.)
x A
sujeito a:
x m ax
Página 16
x
x m in
(2. 3.)
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
A modelação como problema de optimização: Model Updating
2.2.2. Discussão sobre os métodos de optimização
O modelo em elementos finitos difere do modelo em modos assumidos em vários aspectos atrás
descritos no ponto 2.1.3. De realçar são o software utilizado e o peso computacional.
A análise de elementos finitos necessária para o modelo A demora muito mais tempo do que em
modos assumidos para o modelo B. Este factor é importante visto que a maioria dos algoritmos de
optimização recorrem a um grande número de iterações para garantir uma convergência com a
solução óptima, e no caso de convergirem para um óptimo local, na sua maioria têm de ser
reiniciados. Alguns destes algoritmos até avaliam a função objectivo várias vezes por iteração. Deste
modo torna-se extremamente proibitiva a adopção de um método deste género para o primeiro
modelo. A título de exemplo, diga-se que uma análise harmónica dos 0Hz aos 100Hz (para poder
comparar com os dados experimentais, ver anexo C), se usarmos incrementos ( load steps) de
metade dos da resposta experimental, necessitamos de 600 avaliações deste tipo, ou iterações.
Mesmo num computador com 4GB de memória RAM, cada load step demora cerca de 14 segundos.
Assim, a análise leva cerca de 2 horas e 20 minutos. Note-se que necessitaríamos no mínimo de uma
análise por iteração, necessitando de cerca de 100 iterações para convergir (e possivelmente para um
mínimo local), o que seria uma quantidade de tempo bastante elevada.
No caso do Modelo B, o custo computacional não é tão elevado, sendo mais permissivo no que diz
respeito aos métodos de optimização que lhe possam ser aplicados.
Há ainda que considerar que o método deve assegurar uma convergência rápida. Esta exigência
torna-se tão mais grave quanto mais alto for o custo computacional da iteração, pelo que mais uma
vez, é um factor a ter em conta especialmente no caso do primeiro modelo.
Simultaneamente, o método deve ser compatível com o modelo em termos de software ou pelo
menos não deve requerer uma implementação/programação excessivamente complexa/pesada
computacionalmente.
Após a ponderação de todos estes factores, a escolha de método para o modelo A recaiu para o
método fmincon da toolbox de optimização do software Matlab.
Esta função além de ter a vantagem de já estar implementada, tendo apenas que se escrever a
função objectivo, adapta-se bem às necessidades deste trabalho por vários motivos. Em primeiro
lugar porque faz uma minimização da função objectivo, mas obedecendo a constrangimentos, tal
como necessário para o nosso problema. O algoritmo só procura soluções dentro do intervalo que
definimos à partida. Outro aspecto significativo é o facto de esta função permitir uma optimização
multi-variável, aceitando tantos parâmetros quanto se queira, desde que a função objectivo seja
escrita de acordo. Todavia, não permite a optimização multi-objectivo, o que provoca a necessidade
de fazer alguns ajustes que são descritos mais tarde no ponto 2.3.2.
Este método baseia-se numa programação quadrática sequencial (SQP), i.e. resolve um problema de
programação quadrática a cada iteração, e continua até que os critérios de paragem sejam atingidos.
Estes são:
- Os parâmetros da nova iteração variarem menos de uma tolerância em relação à
iteração anterior (o programa estagnou);
- O valor da função objectivo da nova iteração variar menos de uma tolerância em
relação à iteração anterior (convergência);
- Os parâmetros infringirem os constrangimentos acima de uma dada tolerância;
Paralelamente à existência do método fmincon, o Matlab é interessante como software “mestre” para
a optimização, devido à sua facilidade de utilização, permitindo manipular matrizes e construir
T. Carreno
Página 17
A modelação como problema de optimização: Model Updating
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
gráficos de forma muito expedita e desse modo compreender melhor o que está a acontecer a cada
instante, o que possibilita um desenvolvimento rápido e eficaz do programa.
Para o modelo B os custos computacionais já são mais permissivos, podendo ser aplicados métodos
de optimização mais pesados. No entanto verificaram-se muito boas prestações da função fmincon
para este caso, no que diz respeito à rapidez de convergência sendo tomada a opção de manter esta
estratégia de optimização.
2.2.3. Objectivos e Significado Físico da Optimização
A ideia por detrás desta optimização é fazer com que o modelo se comporte o mais possível como o
sistema experimental. Nessa medida, a optimização prende-se com atribuir os melhores valores aos
parâmetros do modelo.
O significado desta afirmação é importante e vale a pena ser elaborado. Os parâmetros iniciais são
parâmetros que foram retirados da instalação experimental, como medidas de comprimentos,
diâmetros, propriedades dos materiais (retiradas das especificações do fabricante).
A ideia de optimizar os parâmetros não advém do facto de se pensar que há erros de medida nestes
valores. Existem esses erros seguramente, (e até há questões de ordens de grandeza, como por
exemplo o módulo de Young só é sabido até ao MPa), todavia, optimizar os parâmetros tem o intuito
de achar os parâmetros que fazem com que o modelo se comporte o mais possível como o da
realidade. Estes novos valores não têm significado físico por si só nem fazem sentido fora do âmbito
do modelo. O modelo no final da optimização é como um sistema fictício que tem um comportamento
estrutural, pelo menos no que diz respeito à resposta em frequência, muito semelhante ao
experimental, ainda que os parâmetros de um e de outro sejam diferentes.
Contudo, é preciso ter cuidado com variações excessivas, pois corre-se o risco de o sistema já não
estar a representar a realidade. Por exemplo, não faz sentido restringir a variação do diâmetro do
tubo em 1mm só porque é sabido que a medida foi efectuada com um erro inferior, porém não se
pode deixar que varie, por exemplo, mais de metade. A modelação por elementos finitos não é
apenas um método numérico independente da realidade física, assenta numa teoria válida e produz
resultados aproximados, e é de esperar que os valores dos parâmetros que conduzem a uma maior
aproximação sejam próximos daqueles reais. No entanto, a grandeza desta proximidade nada tem
que ver com a grandeza do erro de medida com que se mediram os parâmetros reais.
Com base nestas considerações e no conhecimento empírico extraído da fase de pré-optimização,
tomaram-se como limites de variação para os parâmetros da optimização para o modelo A os valores
apresentados na Tabela 2.4.
Tabela 2.4. Limites de variação dos parâmetros de optimização
Diâmetro exterior do tubo (mm)
Espessura do tubo (mm)
Módulo de Young do policarbonato (GPa)
Massa específica do policarbonato (kg/m3)
Coeficiente de Poisson do policarbonato
Módulo de Young dos piezoeléctricos segundo x (GPa)
Módulo de Young dos piezoeléctricos segundo y e z (GPa)
Comprimento do tubo (mm)
Massa específica do aço (kg/m3)
Módulo de Young do aço (GPa)
Página 18
Valor
Mínimo
Valor
Máximo
50,6
3
2
1000
0,27
29,73
15,54
1178
7
190
51
7
4,5
3000
0,33
30,94
16,18
1198
8.5
230
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
290
52
4
Comprimento da placa (mm)
Largura da placa (mm)
Espessura da placa (mm)
310
67
8
No caso do modelo B, admitiram-se limites de variação mais permissivos, não por se considerar que
este modelo é mais rudimentar, (devido à ausência de efeitos de membrana que poderiam revelar
maiores discrepâncias na descrição da realidade), mas principalmente por ausência de conhecimento
prévio sobre o funcionamento do software. Novamente, não se está a assumir que a teoria
subjacente ao programa é menos correcta do que a teoria de elementos finitos, apenas que dentro
do contexto deste problema é de esperar variações maiores dos parâmetros. A abordagem adoptada
foi a de a cada realimentação permitir que os parâmetros pudessem variar desde metade do seu
valor inicial até ao dobro, como forma grosseira de restringir o espaço de resultados.
2.3. Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
2.3.1. Particularização do Enunciado do Problema de Optimização
Para o modelo A, as análises harmónicas são extremamente pesadas computacionalmente, pelo que,
usar como função objectivo a minimizar por exemplo a área entre ambas as respostas em frequência
(experimental e do modelo) ou a diferença ponto a ponto ou outra expressão que use informação
sobre todo o espectro é muito demorada. Outra alternativa é fazer análises modais. Estas, ao invés
de incrementarem a frequência a pouco e pouco, resolvem o problema de valores próprios que
devolve as frequências naturais directamente das matrizes do sistema em elementos finitos. Este
facto torna uma análise modal muito mais leve computacionalmente e muito mais rápida. Por
exemplo, para este modelo demora apenas cerca de 3 minutos (recordemos que a análise harmónica
demora 2h20m). Por essa razão são as análises que foram usadas neste trabalho.
Este aspecto faz com que a função objectivo use para o cálculo do erro apenas os valores máximos
da resposta em frequência experimental. É um método que usa pouca informação experimental. Não
é usada informação quanto aos mínimos da resposta em frequência experimental, ou seja, os zeros
do sistema. É de esperar contudo que uma vez tendo o modelo as frequências naturais no sítio, os
zeros também se encontrem no sítio certo. Para verificar este ponto, são tiradas quando se encontra
um bom modelo análises harmónicas que permitam garantir que a resposta em frequência está bem
aproximada nas restantes frequências.
Há ainda a agravante da resposta experimental ser um espectro discreto com intervalos finitos.
Quando a frequência natural se situa algures entre dois extremos de um intervalo não é
correctamente captada, pelo que os pontos tidos como máximos e consequentemente como
frequências naturais do sistema podem não ser os mais correctos.
Assim sendo o problema de optimização para este modelo é:
J
m in
x m in
x x m ax
p j (m j
ej)
2
(2. 4.)
j 1
em que J é o número de modos de vibração considerados, mj as frequências naturais obtidas
segundo o modelo, ej os modos obtidos experimentalmente e pj os pesos atribuídos a cada modo.
A escolha desta função objectivo prende-se com o facto de o erro quadrático ser um bom indicador
do erro pois é sempre positivo e tanto menor quanto menor for o erro de forma quadrática, ou seja
com descidas mais acentuadas para erros mais pequenos o que faz com que o algoritmo estabeleça o
critério de paragem mais tarde. Foi afectado de um peso, escolhido entre 0 e 1, para permitir uma
maior flexibilidade de optimização, privilegiando os modos que estejam pior representados, ou
mesmo não considerando por completo os modos que se queiram, atribuindo-lhes peso nulo. É
também uma função que devolve um escalar, satisfazendo as especificações do método fmincon que
permite optimização multivariável, mas não multiobjectivo.
T. Carreno
Página 19
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.3.2. Algoritmo do Programa e Implementação
O algoritmo do programa é muito simples: parte de um vector de parâmetros inicial fornecido pelo
utilizador, alimentando a rotina de optimização fmincon, que se encarrega de ir avaliando
sucessivamente a função objectivo como já foi descrito no ponto 2.2.2., até que os critérios de
paragem descritos no mesmo ponto sejam estabelecidos. A análise estrutural é feita em ANSYS como
parte integrante da função objectivo. Esta função é constituída pela interface ANSYS/Matlab e pelo
cálculo do erro.
O algoritmo do programa de optimização é então o seguinte:
1. Inicializa os parâmetros do modelo com valores escolhidos pelo utilizador, apaga ficheiros
onde posteriormente irá guardar informação.
2. Corre a função fmincon do Matlab com a função objectivo até satisfazer um dos critérios de
paragem (explicitados anteriormente no ponto 2.2.2.)
Figura 2.9. Esquema do algoritmo do programa de optimização
Página 20
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
Com o seguinte algoritmo como função objectivo:
1.
2.
3.
4.
5.
Escrita de um ficheiro com os parâmetros que alimentam o modelo em ANSYS.
Realização de uma análise modal em ANSYS.
Leitura de um ficheiro escrito pelo ANSYS com os resultados da última análise.
Cálculo do erro pesado.
Actualização de gráfico relativo ao progresso do programa.
A interface ANSYS/Matlab é então efectuada através da escrita e leitura de ficheiros de parte a parte
e de duas funcionalidades importantes de ambos os softwares: a possibilidade de correr o ANSYS em
modo batch e a existência do comando dos() no Matlab.
Quando o ANSYS é corrido em modo batch, toda a análise está já programada num ficheiro, e o
programa é chamado a partir da linha de comandos do DOS com uma sintaxe específica que indica
esse ficheiro como input. Esse ficheiro por sua vez refere o ficheiro com parâmetros que é actualizado
por Matlab. Os resultados da análise são também guardados num ficheiro que é depois lido no
Matlab. Através do comando dos(), o Matlab chama o ANSYS em modo batch.
O algoritmo do programa está esquematizado na Figura 2.8.
À medida que corre, o programa vai criando um gráfico como o da Figura 2.10. Cada ponto
representa o valor da função objectivo naquela avaliação da função objectivo. Como a cada iteração é
resolvido um problema de programação quadrática, existem vários pontos em cada iteração. No
gráfico é fácil de verificar quando muda a iteração pois é quando subitamente o valor da função
objectivo se afasta do óptimo. O gráfico da Figura 2.10. Uma execução do programa de optimização.
Plot do valor da função objectivo ao longo das várias avaliações da mesma. (fornecido pelo
programa) corresponde a uma execução do programa de optimização em que um critério de paragem
foi satisfeito ao fim de cerca de 146 avaliações da função e cerca de 5 iterações. No entanto,
posteriormente foram realimentados os últimos parâmetros e programa continuou com outra
execução. Cada avaliação da função demora cerca de 3 minutos, aproximadamente o mesmo tempo
que uma análise modal em ANSYS, o principal consumidor computacional envolvido.
Figura 2.10. Uma execução do programa de optimização. Plot do valor da função objectivo ao longo das várias
avaliações da mesma. (fornecido pelo programa)
T. Carreno
Página 21
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
2.3.3. Pré-Optimização
O programa de optimização utilizado fornece resultados diferentes consoante o vector de parâmetros
inicial que se lhe fornece. A escolha destes é importante na convergência do método e na produção
de resultados válidos. Para colmatar esta lacuna, ao invés de introduzir valores aleatórios e ir
realimentando o programa, encontrando na maior parte dos casos más soluções, fez-se uma préoptimização. A pré-optimização consiste no estudo do sistema em termos de como este reage aos
parâmetros, que tipo de influência estes manifestam, tanto a solo como em conjunto.
É sempre importante fazer uma pré-optimização antes de fazer o updating a um modelo. Na maior
parte dos casos é feito um estudo estatístico no âmbito do delineamento de experiências ( design of
experiments) (Fernandez, et al., 2005) (Montgomery, 1997), para averiguar qual a influência dos
parâmetros que são tidos empiricamente como relevantes, e as suas influências simultâneas aos
pares, trios, a correlação entre eles, etc. Após esta fase, o projectista/modelador está apto a garantir
que a escolha de parâmetros dele é correcta na medida em que são os que influenciam o modelo na
direcção que ele deseja. Desse modo, fica apenas o problema de optimização dos seus valores, sendo
então o problema apenas quantitativo e já não também qualitativo.
Figura 2.11. Exemplo de estudo pré-optimização. Variação das frequências naturais do modelo com a massa
específica e módulo de Young do policarbonato. Os planos horizontais representam o valor experimental
Neste trabalho optou-se por executar a pré-optimização de um modo um pouco mais empírico. Não
se delinearam experiências baseadas na teoria matemática clássica neste campo, pois essa via seria
não só morosa como talvez excessivamente pormenorizada. O que foi feito foi a variação dos
parâmetros do modelo, de alguns valores acima e abaixo do original, para vários parâmetros e para
alguns pares de parâmetros obtendo gráficos como os da Figura 2.11. e Figura 2.12. A primeira
mostra a variação das frequências naturais do sistema com a massa específica do tubo e o seu
módulo de Young. Os patamares horizontais representam os valores desejados. A segunda
representa a variação das frequências naturais com a espessura do tubo. Este método rudimentar
permitiu uma inferência heurística do comportamento do modelo revelando de que forma alimentar o
programa consoante o resultado pretendido (por exemplo: aumentar a 3ª frequência natural ou
afastar a 4ª da 5ª, ou baixar todas por igual, etc.) e a que parâmetros este era mais sensível e de
que forma.
Página 22
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelo em Elementos Finitos – Modelo A
Figura 2.12. Outro exemplo de estudo pré-optimização. Variação das frequências naturais com a espessura do
tubo. As linhas horizontais representam os valores experimentais .
2.3.4. Optimização
A fase de optimização propriamente dita teve três partes. Na primeira, consideraram-se parâmetros
só referentes ao tubo e pesos unitários para todos os modos. Em seguida, com os parâmetros do
tubo optimizados e constantes consideraram-se os referentes à placa também com pesos unitários.
Por fim deixaram-se variar livremente os parâmetros da placa e do tubo variando também os pesos
de forma a obter os melhores resultados possíveis.
Em cada parte houve várias execuções do programa, ora realimentando valores, ora tentando outros.
Também em cada parte começou-se sempre por considerar primeiro o primeiro modo de vibração
com peso unitário e os restantes a zero, em seguida adicionando o segundo modo, depois o terceiro
e assim sucessivamente. Este procedimento deve-se ao facto de o primeiro modo ser aquele mais
insensível à variação dos parâmetros e necessitar de mudanças mais agressivas dos parâmetros para
se aproximar ao valor experimental. Foi na gestão dos valores com que se alimentou o programa que
se usou o conhecimento adquirido na fase de pre-optimização. Também se verificaram discrepâncias
de sensibilidade do modelo à variação dos parâmetros que tiveram de ser compensadas com a
agressividade do algoritmo. Por fim, quando se verificou que o modelo não melhorava acima de um
patamar, tomaram-se aqueles parâmetros como óptimos.
2.3.5. Inclusão dos zeros na optimização
Finalizada a optimização atrás descrita, realizou-se um estudo sobre a localização dos zeros do
sistema. Este estudo está descrito no ponto 4.2. Após este estudo, considerou-se a inclusão dos
valores das anti-ressonâncias (zeros) obtidas através do modelo no cálculo da função objectivo do
algoritmo de optimização.
A optimização tendo apenas como referência os pólos revelou uma boa aproximação dos zeros
experimentais, muito semelhante à dos pólos, factor que indicia uma boa simulação da dinâmica do
sistema. (ver ponto 4.1.) A motivação da inclusão dos zeros na optimização prende-se com a
tentativa de melhorar globalmente o resultado anterior com a inclusão de uma maior parte de dados
experimentais.
T. Carreno
Página 23
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
No entanto, o ANSYS não permite o cálculo dos zeros per se, sendo este obtido indirectamente a
partir de análises harmónicas. Estas são muito pesadas computacionalmente. Mesmo reduzindo a
gama de frequências ao mínimo intervalo possível que ainda assim capture todos os zeros (e
possíveis variações destes) há um grande aumento do peso computacional do programa, em que
cada avaliação da função objectivo passa a demorar mais cerca de 18 minutos do que demorava na
optimização anterior.
Este custo computacional é bastante proibitivo, sobretudo se tivermos em conta que as melhorias
obtidas por esta estratégia esperavam-se marginais e de ordem de grandeza reduzida. Como tal
optou-se por não efectuar a inclusão dos zeros na optimização.
2.4. Modelo em Mecanismo – Modelo B
2.4.1. Particularização do Enunciado do Problema de Optimização
Para este modelo, a formulação do problema de optimização é a mesma do Modelo A (expressão 2.4)
2.4.2. Algoritmo do Programa e Implementação
Para este modelo o algoritmo do programa e implementação são idênticos aos do Modelo A. As
únicas diferenças prendem-se apenas com o algoritmo função objectivo.
Agora não há necessidade de comunicar com o Ansys e todo o processamento é feito dentro do
Matlab. Ainda assim, é necessário compilar o modelo dentro da toolbox Mecanismo. Esta compilação
é feita através de função JB, que cria uma estrutura com as propriedades geométricas e estruturais
do modelo que é depois alimentada à função BuildModel que constrói o modelo para posterior
interpretação em Simulink.
Figura 2.13. Exemplo de uma execução do programa. O programa aparenta estabilizar por volta da 40ª iteração,
mas apenas por falta de zoom. De salientar que os pólos cujos pesos estão a zero não estão a ser correctamente
capturados.
Página 24
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelo em Mecanismo – Modelo B
2.4.3. Função objectivo
A obtenção das respostas em frequência no Mecanismo é também totalmente diferente da utilizada
no Ansys. A estratégia abordada consiste em linearizar o sistema considerando o cálculo do sinal dos
sensores como saídas e os binários fornecidos às secções dos actuadores como entradas, e obter a
resposta em frequência desse sistema linearizado. Deste modo, obtém-se posteriormente a
informação que se quiser, quer sobre os pólos, quer sobre os zeros, quer sobre qualquer outra zona
do espectro de resposta, a um custo computacional aceitável.
Dada esta facilidade, uma opção interessante para a função objectivo seria a utilização de toda
resposta em frequência e compará-la com a experimental, visto que se utilizaria muito maior
informação experimental do que apenas a localização dos pólos. Todavia, esta estratégia revela
grandes desvantagens. Em primeiro lugar, os dados experimentais são obtidos através da resposta
impulsional e posterior transformada de Fourier (ver 5.2.ANEXO A), revelando algum ruído, que
contrasta com a grande suavidade exibida pela resposta em frequência teórica, o que transformaria a
função objectivo numa função mal comportada e por conseguinte difícil de obter uma estimativa
adequada do seu gradiente, condição essencial a uma optimização eficaz. Em segundo lugar, para o
controlo é mais relevante o que se passa em torno dos zeros e pólos do que nas outras zonas do
espectro. Isto faz com que a prioridade seja adequar a resposta em termos das suas singularidades,
de modo a aproximar os dados experimentais não de uma forma global em todo o espectro, mas
apenas nas zonas de maior interesse para o controlo.
Figura 2.14. Algoritmo da função objectivo para o modelo B
T. Carreno
Página 25
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Deste modo, o algoritmo da função objectivo para o modelo B é o seguinte:
1.
2.
3.
4.
5.
Escrita de uma estrutura criada com os parâmetros que alimentam o modelo em Mecanismo.
Compilação do modelo.
Linearização do sistema e cálculo dos pólos.
Cálculo do erro pesado.
Actualização de gráficos relativos ao progresso do programa (devido à maior leveza
computacional optou-se por mostrar mais informação no ecrã, nomeadamente a evolução
dos parâmetros e do erro pólo a pólo).
2.4.4. Modelação dos sensores
O software Mecanismo devolve como saídas as deformações locais, pelo que é necessário proceder
ao cálculo do sinal dos sensores. Este cálculo não é trivial.
De seguida procede-se à explicação desse cálculo. Ao longo deste cálculo falar-se à de vários
referenciais. o referencial do software Mecanismo (referencial da viga), o referencial das expressões
(1.1.) e (1.2.) (referencial da lei) e o referencial do sensor. É essencial compreender bem estes
referenciais ou a explicação não fará sentido. O referencial do sensor é coincidente com o referencial
da lei, apenas mudando os nomes dos eixos, i.e.:
Figura 2. 15. Referenciais usados no cálculo: da viga, do sensor e da lei. (da esq. para a dir.)
O referencial do sensor é o referencial da viga rodado 45º em torno de x3viga.
O software devolve como saídas as aproximações de Rayleigh-Ritz das deflexões de flexão pura
nos eixos 2 e 3 e o ângulo de torção pura:
e
(2. 5.)
Página 26
T. Carreno
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Em que
,
e
são os vectores das funções de forma das deflexões elásticas e
,
e
são
os vectores com as coordenadas generalizadas correspondentes, medidos no referencial da viga.
A partir destes é possível obter as curvaturas nos três eixos
,
e
:
(2. 6.)
Usando a notação de (Martins, 2007), as extensões para um dado ponto P podem ser obtidas através
da matriz:
(2. 7.)
Fazendo apenas o seguinte cálculo (equivalente ao produto externo ver Figura 2. 21):
(2. 8.)
Em que
é um vector com a extensão normal segundo o eixo 1, e as de corte
segundo 2 e 3. Todas as outras extensões são nulas como consequência da teoria de viga do
simulador. Em seguida, sabendo as extensões na viga, podemos calcular as tensões
na viga,
através da lei de Hooke:
(2. 9.)
Em que a matriz de constantes
é a inversa da da expressão (1.1.).
Assim, sabendo o tensor de tensões na viga, podemos rodá-lo para o referencial do sensor, obtendo
deste modo o tensor
que é o tensor das deformações no piezoeléctrico. Para o sensor 4 é preciso
rodar =+45º em torno de , e para o sensor 5 é preciso rodar =-45º em torno de . Ou seja:
(2. 10.)
Em que
(2. 11.)
É a matriz de rotação de um sistema de coordenadas ortonormado
em torno de
.
Uma vez tendo o tensor das tensões no piezoeléctrico, assumimos o sensor em curto-circuito (campo
eléctrico nulo) (Preumont, 1997) e como tal podemos calcular a carga eléctrica no sensor usando a lei
do efeito piezoeléctrico directo (1.2.):
T. Carreno
Página 27
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
(2. 12.)
Fazendo
, e
(o sensor é PZT laminado). De notar que a expressão tal esta
está escrita no referencial da lei. Substituindo o vector de tensões pelos valores obtidos em (tal) fica:
(2. 13.)
Assumindo que o piezoeléctrico está em estado de tensão plana, com apenas as componentes
, para o sensor 5 temos:
e
(2. 14.)
E para o sensor 4,
(2. 15.)
Pelo que a carga fica:
(2. 16.)
(2.
17.)
Recordando que, para a viga,
,
e
(2.10.) e (2.8.):
(2. 18.)
E recordando as expressões (2.6.), fica, em coordenadas cilíndricas para facilitar o integral (ver
Figura 2. 16):
(2. 19.)
Página 28
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelo em Mecanismo – Modelo B
(2. 20.)
Em que,
(2. 21.)
Temos agora uma expressão que nos fornece a carga eléctrica, de forma local, i.e. em função de um
ponto, e também no tempo. Ou seja:
(2. 22.)
Resta agora integrar para toda o volume do piezoeléctrico para obter a carga total gerada no sensor.
Supondo que a carga é constante ao longo da espessura do piezo (h<<l; h<<w)
(2. 23.)
Para proceder à realização deste integral convém dividir o piezoeléctrico em três zonas distintas, para
se conseguir escrever os limites de integração.
Figura 2. 16. Esquema explicativo do integral para os sensores
Deste modo, a expressão anterior passa a ser:
(2. 24.)
Os limites de integração destes integrais podem ser obtidos à custa de alguns cálculos geométricos.
Tendo em conta que para
(área A),
(área B) e
(área C), os ângulos
,
e
variam linearmente com , pode-se obter então a seguinte expressão (é necessário
multiplicar por ρ porque este é o Jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas para
cilíndricas):
(2. 25.)
T. Carreno
Página 29
Modelo em Mecanismo – Modelo B
O cálculo de
,
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
é obtido da seguinte forma:
(2. 26.)
O cálculo dos coeficientes e
entanto conhecer o valor de
é feito resolvendo um sistema de duas equações. É necessário no
e de para dois pontos. Por exemplo, para
tem-se:
(2. 27.)
é conhecido: é a distância da base do elo até ao primeiro vértice do sensor e
. Para obter os ângulos, basta constatar que são os ângulos dos arcos de
circunferência de raio igual ao raio exterior do cilindro e de comprimento igual à distância entre o
eixo do cilindro e o ponto antes de o piezoeléctrico ser “colado” ao cilindro, e de ainda estar “plano”.
A Figura 2. 17 ilustra este raciocínio melhor do que as palavras.
Assim,
(2. 28.)
Agora resta apenas proceder à substituição no sistema de equações anterior, calcular a expressão
para
e utilizá-la como limite inferior no integral para a área A. Para os outros limites de
integração e áreas procede-se do mesmo modo.
Figura 2. 17. O momento da colagem do sensor. O plano a cinza claro e a linha a cinza escuro são para facilitar a
visualização. Antes e depois da colagem, o comprimento das linhas cinza escuro é o mesmo. (
base neste podemos calcular as expressões que devolvem os limites de integração em
Página 30
) Com
, em função de
.
T. Carreno
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Findo todo este cálculo, resta relacionar a carga total obtida no piezoeléctrico com a tensão obtida à
saída do amplificador de carga. Este último passo é feito tendo em conta que (Preumont, 1997):
(2. 29.)
Em que
é a tensão à saída do amplificador e
é a capacitância do condensador (figura tal).
Figura 2. 18. Esquema do amplificador de carga ligado ao sensor.
Devido à complexidade deste cálculo, o modelo torna-se pesado. Foram então desenvolvidas algumas
aproximações e deixado para mais tarde a verificação de acordo com o cálculo mais correcto.
Como primeira aproximação, assumiu-se que o sinal é proporcional à extensão no centro do sensor.
Com base nas curvaturas, foi calculada a extensão nesse ponto e em seguida rodado o referencial
para obter a extensão na direcção longitudinal dos sensores. O problema com esta metodologia
reside na teoria de viga em que o modelo se baseia: o ponto no centro do sensor encontra-se sobre a
linha neutra das flexões em x, o que torna estes modos não observáveis. Assim sendo, foi
considerada a média das extensões nos pontos extremos do sensor (Figura 2.19).
Figura 2.19. Pormenor do elo mostrando os pontos para o cálculo do sinal dos sensores.
Uma outra aproximação foi obtida considerando o caso de uma viga de secção rectangular. Em
(Preumont, 1997) demonstra-se que, para um laminado piezoeléctrico de altura e largura constantes
ligado a um amplificador de carga colado numa face recta de uma viga, a tensão à saída do
amplificador, v0 é
v0 t
E p d 31 hb p
w '( b )
w '( a )
(2. 30.)
Cf
Figura 2.20. Tensão de saída do sensor
T. Carreno
Página 31
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
com Ep sendo o módulo de Young do piezoeléctrico, a constante piezoeléctrica d 31,h a distância à
linha neutra, Cf a capacitância do amplificador e w’ os ângulos de deflexão.
Esta equação foi obtida através da integração das leis constitutivas no volume do sensor há
semelhança do cálculo inicial. Não é válida para o elo deste trabalho por dois motivos: em primeiro
lugar a secção transversal do elo é circular; em segundo lugar os sensores do elo estão colados a 45º
com a direcção longitudinal da viga e não alinhados com esta. Desse modo, foram considerados três
sensores fictícios, um para cada direcção (x,y e z) que começam e terminam nos pontos a e b da
Figura 2.19. Posteriormente, foram atríbuidos ganhos a cada um desses sinais fictícios que foram
afinados com o programa de optimização de forma a obter resultados próximos do experimental.
Foi programado o modelo para fornecer as duas aproximações para simular os sensores e deixada
para após a optimização utilização do cálculo inicial para o modelo final. Esta escolha não influencia a
optimização visto que as frequências naturais do sistema são estruturais e não dependem de como
ou onde se mede2. Deste modo, poupou-se algum tempo na optimização.
2.4.5. Modelação dos actuadores
O software Mecanismo recebe como inputs os binários puros nos três eixos efectuados pelo actuador.
Em (Martins, 2007), mostra-se que são aplicados de acordo com:
(2. 31.)
Em que
é o vector com os binários puros nos três eixos,
é uma matriz de rotação (no caso em
que o piezoeléctrico não está colocado longitudinalmente, mas faz um certo ângulo com a
longitudinal),
é uma matriz que contém o módulo de Young, o coeficiente de Poisson e os termos
do acoplamento piezoeléctrico e
é a diferença de potencial fornecida ao actuador e
matriz definida do seguinte modo:
é uma
(2. 32.)
Em que
,
e
são as componentes do vector
que vai da linha neutra até um
ponto do piezoeléctrico (ver Figura 2. 21).
Figura 2. 21. Corte transversal do elo. O vector a vermelho é
.
2
Esta afirmação não é verdade para um ponto nodal, que não se move quando o sistema vibra num dado modo de vibração.
No entanto, para os modos de vibração estudados este problema não se coloca para estas duas opções de medida.
Página 32
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Modelo em Mecanismo – Modelo B
A área agora é área ao longo da espessura do piezoeléctrico. Analisando a expressão, podemos
constatar que os termos
,
e
são constantes no espaço, para toda a área do actuador (o
domínio da integração).
Assim, a expressão pode ser re-escrita como:
(2. 33.)
Em que
é o resultado do produto matricial
, é todos os seus termos são constantes. Resta
calcular o integral. Em coordenadas cilíndricas, como feito para os sensores, (mais uma vez, é
necessário multiplicar por ρ) a expressão anterior torna-se em:
(2. 34.)
Em que é o raio do cilindro e a altura do piezoeléctrico, e e
são os limites de integração em
torno de . De salientar que mantendo a mesma aproximação que se cometeu nos sensores, fica:
(2. 35.)
No caso dos actuadores, como estes se encontram alinhados com o tubo, os limites em já não são
função de , mas sim valores constantes. Para os calcularmos, basta lembrar de novo que o actuador
ao ser colado mantém as mesmas dimensões, isto é, o arco de circunferência que se vê o actuador
descrever quando se observa o elo em corte transversal, tem raio igual ao exterior do elo e
comprimento igual à largura do actuador (ver Figura 2.21.).
Figura 2. 22. Esquema explicativo do cálculo dos limites de integração em
.
Ou seja,
(2. 36.)
Deste modo, substitui-se na expressão do integral e obtém-se a função desejada
que
fornece os binários puros a fornecer ao Mecanismo a partir da tensão eléctrica aplicada ao actuador.
A matriz
, visto que tanto o actuador 1 como o actuador 2 estão alinhados com o elo torna-se
assim na matriz identidade. A matriz
para o actuador 1 é a matriz com as propriedades tal como
estas são conhecidas e para o actuador 2 é com essas propriedades rodadas 45º, visto que as suas
fibras estão dispostas com esse ângulo.
T. Carreno
Página 33
Modelo em Mecanismo – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Todavia, foi também implementada uma outra aproximação. Atribuiram-se ganhos às várias
componentes de binários aplicados (flector em y, flector em x e torsor), e foram afinados com o
programa de optimização de modo a obter o melhor ajuste possível às curvas experimentais. (De
salientar que apesar do actuador 1 actuar essencialmente à flexão em y e do actuador 2 actuar
essencialmente à torção e à flexão em y, é necessário ter em conta que vão também induzir flexão
em x, devido à secção do elo ser circular). No fim da optimização foi retomado o cálculo correcto, à
semelhança do que se passou com os sensores.
Figura 2.23. Modelação dos actuadores em Simulink - aproximação
2.4.6. Funções de forma
Outro parâmetro susceptível de alteração no programa é as funções de forma utilizadas. Para o
cálculo com dois modos de vibração à flexão foram usadas funções cúbicas de Hermite, e para o
cálculo de três modos de vibração à flexão foram usadas funções trigonométricas. Para a torção foi
sempre considerada uma função linear.
Funções de Hermite: 1º modo e 2º modo
(2.37)
Funções de trigonométricas: primeiros três modos (i=1,2,3)
(2.38)
Estas funções são apenas admissíveis, isto é, satisfazem apenas as condições de fronteira
geométricas do problema.
2.4.7. Discretização do elo
O modelo original só considera um corpo flexível: o do tubo. No entanto, pode-se construir o modelo
para que o mesmo tubo seja modelado por mais corpos flexíveis. A única diferença entre este e o
original reside no facto de apenas o tubo a seguir à base ter actuadores e sensores.
2.4.8. Optimização
Devido às melhores prestações computacionais deste programa, não se realizou a fase de préoptimização, partindo directamente para a fase de optimização. Esta foi feita de forma progressiva à
semelhança do modelo A. Numa primeira fase optimizou-se apenas para o primeiro modo, depois
para os outros. Em cada fase do processo, os parâmetros a variar também foram introduzidos
gradualmente, bem como os pesos atribuídos aos modos. Optou-se por optimizar também primeiro o
tubo e depois a placa.
Página 34
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Finalização dos modelos
Após esta primeira fase, tentou-se melhorar o modelo alterando as funções de forma. Na primeira
fase usaram-se funções de Hermite, ao passo que na segunda usaram-se funções de trigonométricas.
Numa terceira fase, mantiveram-se as funções de Hermite, discretizando o tubo em dois elementos.
Por último, considerou-se o melhor modelo, o caso com os melhores sensores e optimizaram-se os
ganhos dos binários aplicados pelos actuadores para permitir a melhor adequação possível em termos
de amplitude da resposta em frequência.
2.5. Finalização dos modelos
Os modelos obtidos em Ansys e Mecanismo, após a optimização não são usados directamente para o
controlo. É preciso extrair destes, uma representação conveniente que facilite o seu uso para a
simulação e o controlo.
Para este passo foram usados vários métodos, obtendo como consequência vários modelos, com o
intuito de posteriormente comparar os modelos entre si, e os resultados com eles obtidos na fase de
controlo.
De seguida explicam-se estas várias abordagens.
2.5.1. Model order reduction
O modelo obtido em Ansys após o fim do updating é de elevada ordem. Este facto traz grandes
desvantagens do ponto de vista do controlo. Um modelo de elevada ordem significa que é difícil de
trabalhar computacionalmente, devido a envolver uma complexidade de cálculo maior.
Este caso é muito comum no controlo estrutural e tradicionalmente o modelo em Ansys é tratado
através da Model Order Reduction (MOR).
A MOR é um ramo da teoria de sistemas e controlo, que estuda propriedades de sistemas dinâmicos
com vista a reduzir a sua complexidade preservando (até onde possível) o seu comportamento inputoutput. Há vários métodos para cumprir este objectivo: o método Krylov-subspace (ou momentmatching), o método de balanced realization e o método da propor orthogonal decomposition, entre
outros. Todos estes métodos se baseiam em obter um modelo que mantenha as características
fornecidas pelos valores próprios (pólos) dominantes do sistema. A explicação detalhada destes
métodos não faz parte do âmbito deste trabalho. Explicações podem ser encontradas em (Antoulas,
et al., 2001), (Gawronski, 2004) e (Junkins, et al., 1993)
A realização da MOR é hoje em dia facilitada pela integração do Ansys com algumas ferramentas
escritas com esse objectivo. Por exemplo, o software mor4ansys, escrito pelo Prof. Evgeni Rudnyi
(Rudnyi E., 2006), que realiza a MOR de uma forma relativamente expedita permitindo ao projectista
de controladores a obtenção de um modelo em espaço de estados de ordem reduzida que possa ser
aplicado em esquemas de controlo.
Esta é uma abordagem que se torna então bastante vantajosa pois permite obter modelos que
conjuguem a precisão de resultados que se pode obter com os elementos finitos com a leveza
computacional de modelos mais reduzidos.
No decorrer deste trabalho tentou-se utilizar esta ferramenta para proceder à criação de modelos
reduzidos a partir do modelo Ansys. No entanto não foi possível realizar esse processo. O problema
prende-se com o facto de o modelo que se pretende obter seja para o sistema que tem como
entradas a tensão fornecida aos actuadores e como saídas a tensão devolvida pelos sensores. Este
modelo tem acoplamento piezoeléctrico entre o campo eléctrico dos sensores o seu campo de
T. Carreno
Página 35
Finalização dos modelos
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
tensões. Este facto faz com que a matriz de massas devolvida pelo Ansys tenha linhas nulas, e como
tal não seja invertível, o que é uma condição necessária à aplicação do software.
2.5.2. Modelos A (modelos criados a partir do modelo A)
Devido aos problemas com a implementação de um modelo reduzido através da MOR, os modelos
obtidos em Ansys foram finalizados de outra forma. A estratégia utilizada foi fazer a identificação das
respostas em frequência obtidas no Ansys. Foi usado o método de Levy. Esta abordagem é também
de certa forma uma redução da ordem do modelo, na medida em que preserva as propriedades
dinâmicas, mas reduzindo significativamente a sua ordem, à custa de obtenção também de maior
erro.
Uma questão plausível neste ponto é o interesse de realizar esta abordagem para o modelo A e não
directamente aos resultados experimentais iniciais. O argumento por detrás desta escolha é
tripartido.
Em primeiro lugar, tem interesse para este trabalho o estudo das técnicas de modelação utilizadas,
para concluir quanto à viabilidade/interesse das mesmas e comparar diferenças de qualidade dos
modelos. A palavra qualidade neste contexto prende-se com a eficácia do seu uso para simulação e
controlo.
Em segundo lugar, as respostas em frequência experimentais são curvas acidentadas, o que as torna
difíceis de identificar, ao passo que o modelo A oferece curvas muito mais suaves, devido a não
contemplar o ruído existente na montagem experimental. De certa forma, identificar as curvas
obtidas em elementos finitos é como identificar um sistema teórico, sem elementos não
contemplados na teoria. (ver ponto 2.2.)
Por último, o modelo A é um modelo de ordem muito elevada. Visto que a aplicação de técnicas MOR
não foi possível, a aplicação das técnicas de identificação em frequência ao modelo Ansys fornece
uma solução expedita, e é interessante no âmbito deste trabalho verificar se oferece uma boa
alternativa.
2.5.3. Modelos B (modelos criados a partir do modelo B)
O modelo obtido com a toolbox Mecanismo é um modelo Simulink. Usou-se então uma linearização
do modelo através da função linearize da control systems toolbox. Este passo já era realizado durante
a fase de optimização, pois as respostas em frequência usadas para comparação com as
experimentais eram as do sistema já linearizado, pelo que o correcto é usar o modelo linearizado e
não o original. Os modelos obtidos deste modo foram agrupados com a designação modelos B.
2.5.4. Criação de uma biblioteca de modelos
Como último passo da fase de modelação, criou-se uma biblioteca de modelos. Como a quantidade
de modelos obtidos é considerável, foram organizados de forma a facilitar o seu uso no controlo e
posterior avaliação sobre a sua qualidade.
Esta biblioteca consiste num ficheiro .mat com os modelos todos, prontos a usar para a simulação do
controlo em ambiente Matlab/Simulink. No ponto 4.4.3, apresenta-se o quadro síntese com a
biblioteca de modelos.
Página 36
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Finalização dos modelos
CAPÍTULO 3 CONTROLO
"... and the machine became perfectly wild"
G. B. Airy.
Após a fase de modelação, os modelos obtidos foram utilizados para o controlo. Neste capítulo
apresentam-se algumas considerações e bases teóricas tidas em conta para o projecto de
controladores. No ponto 3.1. são referidas propriedades e fenómenos característicos do controlo de
estruturas flexíveis amortecidas. No ponto 3.2. são apresentadas estratégias de controlo por
realimentação para estes sistemas. No ponto 3.3. traçam-se os objectivos definidos para a realização
do controlo do elo e resume-se a estratégia utilizada. No ponto 3.4. descreve-se a metodologia
adoptada para o projecto de controladores. Este projecto foi realizado com auxílio do Simulink. No
ponto 3.5. explica-se como esses controladores foram implementados e reajustados para o sistema
experimental.
T. Carreno
Página 37
Controlo de estruturas flexíveis levemente amortecidas
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
3.1. Controlo de estruturas flexíveis levemente amortecidas
Diz-se do sistema a controlar neste trabalho que é uma estrutura flexível levemente amortecida:
flexível por ter rigidez/dimensões tais cujas deformações transversais são consideráveis e levemente
amortecidas porque o seu amortecimento estrutural é reduzido. Este tipo de sistemas tem
características mecânicas próprias de grande interesse no seu controlo.
Das várias estratégias que se têm realizado para o controlo deste tipo de estruturas, o controlo
colocado tem desempenhado um papel cada vez de maior relevo, através da utilização de materiais
inteligentes (Inman, 2001) (Preumont, 1997). Diz-se que um controlo é colocado, quando as medidas
dos sensores são efectuadas no mesmo local onde os actuadores actuam. Apesar de o sistema deste
trabalho não ser colocado (na realidade, é quase-colocado3), não deixa de ser importante o estudo
deste tipo de sistemas e das suas propriedades, para ver até que ponto são relevantes neste caso.
3.1.1. Controlo colocado
Como demonstrado por exemplo em (Preumont, 1997) é propriedade de uma estrutura sem
amortecimento que uma função de transferência entre um seu par actuador/sensor colocado seja tal
que:
- a sua amplitude vai sempre para
às frequências de ressonância i, nas quais
há um par de pólos imaginários puros conjugados. A fase sofre um atraso de 180º.
- em cada intervalo entre frequências de ressonância consecutivas há uma antiressonância onde a amplitude vai para 0, onde ocorre um par de zeros puros
imaginários. A fase sofre um avanço de 180º.
Esta propriedade, (chamada neste texto alternância pólo/zero) é relevante para o controlo pelas
seguintes razões:
- em primeiro lugar, faz com que um sistema não
amortecido tenha sempre os pólos e os zeros no limite
de estabilidade. Se houver algum amortecimento,
ainda que pequeno, os pólos e os zeros deslocar-se-ão
um pouco para o semi-plano esquerdo e tanto maior
será esse deslocamento quanto mais altas forem as
frequências a que ocorrem.
- em segundo lugar, graças a esta propriedade de
alternância, através da análise do LGR do sistema
verifica-se que os ramos do anel fechado também
fiquem no semi-plano esquerdo.
Figura 3.1. LGR de um sistema
colocado com alternância pólo/zero
Isto faz com que o sistema não tenha problemas quanto a instabilidade ou comportamentos de fase
não-mínima.
Se o par actuador/sensor não for colocado, esta alternância não é garantida, bem como a
estabilidade. Todavia, mesmo que o par actuador/sensor seja colocado, pode ainda ocorrer troca
3
Na realidade, no elo os actuadores não estão no mesmo sítio que os sensores, havendo distâncias entre eles. Se
considerarmos um corpo flexível como uma cadeia de infinitos sistemas massa-mola de massa infinitesimal, torna-se evidente
que a actuação seria feita num e a medida noutro. O facto de um par actuador/sensor não ser colocado não implica que não se
possa pensar num sistema da mesma maneira, numa dada região de interesse. Se houver alternância pólo/zero é correcto
pensar no sistema como colocado. Na realidade, há um grande número de sistemas deste género, chamados quase-colocados.
Um controlo estritamente colocado é até por vezes pouco prático, pois requer o uso de actuadores auto-sensíveis (Dosch, et
al., 1992), havendo até autores que desencorajam esta abordagem (Preumont, 1997) (Yang, et al., 1998).
Página 38
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Controlo de estruturas flexíveis levemente amortecidas
pólo-zero, por exemplo se houverem zeros de compensador próximos de pólos do sistema ou
cancelamento de pólo-zero por alteração dos parâmetros do sistema.
Em caso de ocorrer troca pólo-zero, o anel fechado pode tornar-se instável pois os ramos do LGR
passam agora pelo semi-plano direito.
É importante também referir que estabilidade garantida é diferente de performance garantida. Esta
última depende fortemente da existência de boa controlabilidade e observabilidade, que são
essencialmente fruto do bom posicionamento e dimensionamento dos sensores e actuadores (Inman,
2001).
Outra vantagem devido à alternância pólo-zero é o facto de o projecto de alguns controladores,
nomeadamente de compensadores em avanço/atraso, poder ser efectuado de maneira
descentralizada, considerando cada par actuador/sensor como um anel SISO independente
(Preumont, 1997).
Sendo o elo deste trabalho quase-colocado, considerá-lo como colocado numa dada gama de
frequências pode ser correcto desde que a alternância pólo/zero se verifique. Além disso, o facto de o
sistema não ser colocado não quer dizer que ter os actuadores e sensores à superfície do elo não traz
benefícios (comparativamente a apenas actuar/medir numa junta): independentemente da
metodologia de controlo, a incerteza na função de transferência é reduzida ao colocar os actuadores
e sensores (ainda que não estritamente no mesmo sítio) pelo que a robustez é melhorada
(MacMartin, 1995).
3.1.2. Roll-off e spillover
A alternância pólo-zero oferece propriedades interessantes para o controlo. Contudo, é preciso ter em
atenção que o anel aberto (controlador + sistema) tenha roll-off suficiente a altas frequências para
acomodar dinâmicas do condicionamento de sinal e o inevitável atraso de fase. Roll-off é o
decaimento do ganho com a frequência (declive negativo no diagrama de ganho para altas
frequências, à semelhança de um filtro passa-baixo). É uma propriedade desejável a altas frequências
pelas seguintes razões:
- Menor sensibilidade a ruído (este costuma acontecer a altas frequências)
- Menor sensibilidade a perturbações
- Menos problemas com spillover
A última razão refere um fenómeno de relevo no controlo de estruturas levemente amortecidas: o
spillover. Este está relacionado com o facto de ao contrário do sistema real, que tem um número
infinito de modos de vibração, o modelo desse sistema ter um número finito de modos. O spillover
(literalmente “transbordo”) acontece quando um controlador que foi projectado com base num
modelo com menos modos de vibração modelados que os reais (infinitos), é aplicado ao sistema
completo e excita inadvertidamente um ou mais modos de vibração não modelados, ditos residuais,
podendo provocar instabilidade. Esta instabilidade pode ser estrutural (ressonância de um modo
residual), mas tipicamente advém do facto da saída do sistema ficar contaminada com os modos
residuais e de o controlador não estar preparado para lidar com eles. Daí o termo spillover, porque é
como se a energia da acção de controlo “transbordasse” para fora da zona modelada do espectro.
O spillover pode ser explicado da seguinte forma, de acordo com (Inman, 2001).
Consideremos um sistema definido pelas seguintes equações de estado (3.1, 3.2) e lei de
realimentação (3.3):
(3.1.)
(3.2.)
(3.3.)
T. Carreno
Página 39
Estratégias de controlo por realimentação
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Por simplicidade, assumamos que é SISO. Nesse caso a matriz de entrada B passa a ser um vector b
e a matriz de medida C o vector c. Assumamos ainda que a matriz de ganhos é a matriz identidade
(G=I). Sendo P a matriz de vectores próprios que transforma a matriz de estado A numa matriz
diagonal de valores próprios (a matriz Λ), aplicando a transformação x=Pz a (3.1) e (3.2),
substituindo 3.3 em 3.2, substituindo esse resultado em 3.1 e particionando para k modos, temos:
(3.4.)
Onde os vectores P-1b e cTP estão particionados de acordo com
(3.5.)
Apesar da matriz de estados ficar diagonal os termos na segunda parcela contendo os parâmetros do
hardware de controlo têm elementos não diagonais. Se b2n-k e c2n-k forem ambos zero, o anel fechado
fica desacoplado na sua forma modal. Infelizmente, se não forem zero, os termos não diagonais
acoplam os primeiros k modos com os últimos 2n-k. O termo b2n-k dá origem a acoplamento devido à
acção de controlo (denominado spillover de controlo), e o termo c2n-k origina acoplamento devido à
medida (denominado spillover de observação). O termo b2n-kcT2n-k representa a acção de controlo que
transborda para os modos não controlados (2n-k), no caso da lei de controlo apenas considerar os
primeiros k modos. Se este termo for considerável, a performance ou até mesmo a estabilidade do
anel fechado podem ser perdidas.
O spillover também pode acontecer com dinâmicas não-modeladas (pólos de sensores, actuadores,
etc.)
Ter um bom roll-off ajuda a combater o spillover, pois os modos residuais encontram-se a
frequências mais elevadas.
Outra maneira de lidar com o spillover é utilizar configurações de sensores/actuadores que permitam
situações de controlabilidade/observabilidade que minimizem este problema (Inman, 2001).
3.2. Estratégias de controlo por realimentação
Há várias estratégias de controlo clássico com provas dadas no controlo de estruturas levemente
amortecidas. Contudo, no âmbito deste trabalho não se consideraram estratégias de feedforward,
apenas de feedback, devido a estas apresentarem os melhores desempenhos.
O controlo por realimentação é muito usado para produzir active damping. Uma série de esquemas
para active damping através de um anel de realimentação de estruturas levemente amortecidas com
pares actuador/sensores colocados já foram estudados por exemplo em (Preumont, 1997). A Tabela
3.1 apresenta uma síntese dessas estratégias com estabilidade garantida para controlo colocado.
Todas estas estratégias se baseiam em torno de um princípio comum que é o de colocar um
compensador cujos pólos/zeros venham “puxar” os ramos do LGR para o lado esquerdo, aumentando
não só a estabilidade relativa, mas também o amortecimento.
Estas estratégias só aumentam de facto o amortecimento em torno das frequências de ressonância,
deixando o resto do espectro com amortecimento idêntico, deixando assim algo a desejar em termos
de performance.
Página 40
T. Carreno
Estratégias de controlo por realimentação
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Tabela 3.1. Quadro síntese com estratégias de active damping por realimentação
Força
Actuador
Extensão
Linear
Compensador em
avanço
Deslocamento
Velocidade
Direct Velocity
Feedback
Sensor
Direct Velocity
Feedback:
Aceleração
Positive Position
Feedback
Extensão
Força
Integral Force
Feedback
Outra desvantagem destas estratégias é partirem do princípio que as dinâmicas do actuador e do
sensor são perfeitas. No entanto, esta situação não se verifica na prática. Em (Preumont, 1997)
demonstra-se que a dinâmica de um actuador pode ser aproximada como um filtro passa-baixo de
segunda ordem.
Figura 3.2. LGR de uma estrutura levemente amortecida com par actuador/sensor colocado: a) sem considerar
dinâmica do actuador; b) considerando dinâmica do actuador
Na Figura 3.2 pode ver-se o efeito que esta tem no LGR do sistema, fazendo com que só haja
estabilidade para uma determinada gama de frequências. Outra condicionante prende-se com a
T. Carreno
Página 41
Estratégias de controlo por realimentação
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
possibilidade de haver ramos no LGR com fraca controlabilidade/observabilidade, que eventualmente
também podem reduzir a gama de frequências do controlador.
No entanto, há algumas vantagens nestas estratégias, como a possibilidade de projectar
controladores independentemente para cada par actuador/sensor (desde que colocado), o projecto
ser expedito e sobretudo não necessitar de um modelo do sistema.
No caso do presente trabalho, devido a terem sido utilizados sensores e actuadores de extensão
resolveu-se utilizar o Positive Position Feedback (PPF).
3.2.1. Positive Position Feedback (PPF)
O controlo por PPF foi introduzido em primeiro lugar por (Goh, et al., 1985). O facto de não
necessitar de um modelo analítico do sistema em conjunto com outras propriedades atraentes, como
a robustez quanto à incerteza de propriedades estruturais do sistema, a simplicidade do projecto dos
controladores e sobretudo a estabilidade garantida para certas condições (Fanson, et al., 1990), fez
com que fosse uma estratégia muito popular e levou a várias aplicações no controlo estrutural de
vibrações ((Baz, et al., 1992), (Fanson, et al., 1990), (Dosch, et al., 1992), (Fagan, 1993), (Agnes,
1997), (McEver, 1999), (DeGiulio, 2000), (Shan, et al., 2005)).
A própria terminologia é esclarecedora quanto ao anel de controlo: a posição é realimentada com
sinal positivo. Um controlador PPF é essencialmente um filtro de segunda ordem:
Em que é o ganho do filtro,
é a frequência natural do filtro e o coeficiente de amortecimento
do filtro. Uma análise de estabilidade pelo critério de Nyquist deste sistema revela que 0<g<1 é
condição necessária e suficiente para a estabilidade (Fanson, et al., 1990).
Mais ainda, dinâmicas finitas de actuador não instabilizam um anel de controlo PPF (Fanson, et al.,
1990).
À semelhança de um absorsor mecânico (tuned mass damper) um filtro PPF comporta-se como o seu
equivalente electrónico, devendo-se escolher os parâmetros do filtro para adicionar amortecimento a
um modo específico.
Figura 3. 3. Diagrama de Bode de um filtro PPF.
Na Figura 3. 3 apresenta-se o diagrama de Bode de um filtro PPF típico. A sua característica de
passa-baixo de segunda ordem é também outra propriedade desejada, pois não só traz consigo um
bom roll-off (o que, entre outras coisas, não induz spillover) como também significa que um filtro
PPF afinado para um determinado modo não afectará modos de frequências mais elevadas (desde
Página 42
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Estratégias de controlo por realimentação
que suficientemente espaçados), o que permite a calibração de múltiplos filtros PPF para os vários
modos da estrutura de forma independente para um mesmo par actuador/sensor. Esta calibração
deve ser realizada primeiro para os pólos de frequências mais elevadas e em seguida para os de
frequências mais baixas (top-down approach) (Fagan, 1993). Infelizmente o critério de estabilidade
para múltiplos filtros PPF não é tão simples como no caso de filtro PPF único (Fanson, et al., 1990)
mas experiências demonstraram que, para pólos suficientemente espaçados, o uso de até três filtros
PPF não oferece problemas de estabilidade (DeGiulio, 2000). No entanto, é preciso ter em atenção o
ajuste dos ganhos de filtros já calibrados ao introduzir um novo filtro.
3.2.1.1.
Tuning de filtros PPF
O projecto de controladores PPF envolve então essencialmente a escolha de 3 parâmetros: ,
,e
. Esta calibração ou tuning pode ser feita de várias maneiras, e já vários autores se debruçaram
sobre o assunto: (Dosch, et al., 1992), (Fagan, 1993), (Agnes, 1997), (McEver, 1999), (DeGiulio,
2000). Na sua maioria, a literatura consiste em controladores desenvolvidos por tentativa e erro, com
os autores a fornecerem intervalos usuais para os parâmetros que forneceram os melhores resultados
na sua pesquisa. A maioria dos autores sugere que a frequência do filtro seja ligeiramente superior à
estrutural a amortecer. (Dosch, et al., 1992) sugerem por exemplo um factor de 1,3 entre estas
frequências ao passo que (Fagan, 1993) sugere 1,45. Já o amortecimento do filtro encontrado na
literatura varia entre 0,01 e 0,5. De notar que estes valores podem parecer contra-intuitivos: se se
pretende um maior amortecimento pode pensar-se que não se deve usar coeficientes de
amortecimento baixos. No entanto, a eficácia dos filtros PPF prende-se justamente com o facto de
ressoarem a uma frequência próxima do pólo a amortecer. Aliás, o aumento do coeficiente de
amortecimento faz com que a curva de fase do filtro tenha um declive mais suave e por isso age
numa gama de frequências maior sendo mais tolerante a incertezas quanto à frequência de
ressonância.
McEver foi um autor que sistematizou a problemática do tuning de filtros PPF (McEver, 1999),
propondo um algoritmo que fornece os parâmetros óptimos. Alguns trabalhos foram depois
desenvolvidos com esta abordagem ou semelhantes, usando controladores on-line que fazem o auto
tuning (Hegewald, 2000).
O algoritmo de McEver parte da premissa de achar os pólos do anel fechado óptimos, i.e., aqueles
que maximizem o amortecimento. McEver demonstrou que este problema equivale a colocar os dois
pares de pólos (o do sistema a amortecer e o do controlador) de forma a terem o mesmo
amortecimento.
Figura 3. 4. Localização óptima dos pólos de acordo com McEver
Partindo deste argumento simples, e através de alguma manipulação matemática que pode ser
omitida sem perda de continuidade e pode ser encontrada em (McEver, 1999), são obtidas as
seguintes expressões e regras para as utilizar. Neste texto chamar-se-á a esta abordagem de tuning
de filtros PPF o algoritmo de McEver:
T. Carreno
Página 43
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
1.
2.
3.
4.
5.
Escolher o ganho do filtro g, positivo se wpz > 1, negativo se wpz < 1.
Calcular wfp da equação (3).
Escolher α= 1.
Calcular o amortecimento do anel fechado ξCL da equação (2).
Calcular o amortecimento do filtro ξf da equação (1).
(1)
(2)
(3)
Em que, wpz= wp/ wz é o espaçamento polo/zero.
O algoritmo de McEver foi concebido para uma ressonância de um sistema colocado e como tal
apenas considera casos em que há alternância pólo/zero. No caso do sistema deste trabalho, esta
situação nem sempre se verifica. Por vezes há pólos seguidos sem haver um zero pelo meio, ou há
zeros antes de pólos. No entanto, usar o algoritmo com a frequência do pólo a amortecer e uma
frequência 10% acima para a frequência de um zero fictício (valor indicado por McEver como usual
em sistemas colocados) nestes casos revelou fornecer um bom ponto de partida para o processo de
tentativa e erro usual na calibração dos filtros deste trabalho. Esta foi a abordagem usada.
3.3. Objectivos do controlo
A estratégia de controlo adoptada neste trabalho (Positive Position Feedback) tem como objectivos:
- Aumento do amortecimento em todo o espectro;
- Estabilidade relativa elevada;
- Largura de banda o mais vasta possível (dentro do intervalo em estudo de 0Hz - 100Hz);
- Atenuação a altas frequências para rejeição de ruído de medida e robustez relativamente a
modos não controlados.
3.4. Simulação em Simulink
Usaram-se os modelos MIMO obtidos na fase de modelação para modelar o sistema e os sistemas
SISO para o projecto de controladores. Em seguida, construíram-se modelos Simulink com os vários
modelos do sistema e estratégias correspondentes (Figura 3. 5.).
Figura 3. 5. Modelo Simulink para a simulação do controlo
Página 44
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Controlo experimental
Depois esses modelos foram usados para calibrar parâmetros dos controladores. Usando as
funcionalidades do software pode-se avaliar o impacto dos controladores nas respostas em frequência
e no tempo do anel fechado para os vários esquemas de controlo e modelos.
Para os controladores PPF, estes foram obtidos inicialmente como descrito no ponto 3.2.1.1. Depois,
usando o modelo Simulink, criou-se um sinal de teste que excitasse todos os modos do modelo, para
testar e melhorar os controladores no que diz respeito à sua resposta no tempo. O esquema de teste
que consistia em fornecer o sinal ao sistema durante sete segundos, ao fim dos quais se ligava o anel
de controlo e se desligava o sinal de teste. Como objectivo pretendia-se que o sistema parasse o seu
movimento oscilatório o mais cedo possível após esses sete segundos. Paralelamente, foram obtidas
linearizações do anel fechado de forma a verificar as melhorias na resposta em frequência.
Figura 3. 6. Subsistema Simulink que gera o sinal de
teste (idêntico ao experimental)
Figura 3. 7. Resposta em simulação do modelo A com
placa ao sinal de teste (sem controlo)
3.5. Controlo experimental
Após a realização das experiências de controlo em simulação, foi efectuado o controlo experimental.
A instalação experimental encontra-se descrita no 5.2.ANEXO A.
O controlo experimental foi implementado através do Simulink, correndo em modo external. Para
validar os controladores procedeu-se de um modo semelhante ao usado na simulação. As diferenças
foram o uso do actuador 3 e a análise do espectro de potência da resposta do elo controlado, para
verificar o que acontecia em termos de frequência, (na simulação obtinha-se a resposta em
frequência directamente do sistema linearizado).
De salientar que apesar do controlo experimental ser digital, os controladores projectados foram
contínuos. Deste modo, usou-se como parâmetro da simulação um fixed step de 0.001s, devido aos
sinais provenientes dos sensores serem amostrados a 1kHz (5.2.ANEXO A).
T. Carreno
Página 45
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Página 46
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
CAPÍTULO 4 RESULTADOS
"In theory, there is no difference between theory and practice. But, in practice, there is."
Jan van de Snepscheut
No presente capítulo são apresentados os resultados e a respectiva discussão. No ponto 4.1.
apresentam-se os resultados da modelação para o Modelo A. No ponto 4.2. apresenta-se um breve
estudo realizado sobre a localização dos zeros. No ponto 4.3. apresentam-se os resultados da
modelação para o modelo B. No ponto 4.4. apresentam-se os modelos finais preparados para o
controlo. No ponto 4.5. apresenta-se a discussão dos resultados da modelação. No ponto 4.6.
apresentam-se os resultados do controlo em Simulink. No ponto 4.7. apresentam-se os resultados do
controlo experimental. No ponto 4.8. são discutidos os resultados do controlo.
T. Carreno
Página 47
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.1. Resultados – Modelo A
Após todo o processo descrito em 2.3., obtiveram-se os valores finais dos parâmetros do modelo.
Estes vêem apresentados na Tabela 4. 1. Apresentam-se também os Gráficos 4.2. com a referida
variação dos parâmetros. Foram também efectuadas análises harmónicas tendo como entrada o
actuador 1 e o actuador 2, e para cada caso a saída medida no sensor 4 e 5. Apresentam-se também
nos Gráficos 4.2. a 4.5. os resultados destas análises contrapostos aos dados experimentais das
respostas em frequência, desde os valores iniciais até aos finais a cada passo da análise. Por último
apresentam-se Tabela 4.2. e os Gráficos 4.6. com os valores do erro dos pólos e dos zeros teóricos
dos modelos inicial, final e a cada passo em relação aos experimentais, bem como a sua evolução ao
longo da optimização em termos médios e a área absoluta entre as curvas experimentais. Todos os
valores referidos como amplitude estão em Volt e todos os referidos como frequência em Hz.
Tabela 4. 1. Variação dos parâmetros ao longo da optimização
Após optimização referente ao tubo
Diâmetro do tubo (mm) [D]
Espessura do tubo (mm) [thk]
Módulo de Young do acríclico (GPa) [E]
Massa específica do policarbonato (kg/m3) [rho]
Comprimento do tubo (m) [L]
Inicial
50,800
4,000
2,400
1200,00
1,188
Optimizado
50,917773
4,393359
3,010045
1480,20000
1,17925
Variação (%)
0,23
9,83
25,42
23,35
-0,74
Inicial
7860,00
200,000
300,000
60,000
6,000
Optimizado
7875,971168
227,500000
310,000000
54,910497
5,259653
Variação (%)
0,20
13,75
3,33
-8,48
-12,34
Inicial
50,800
4,000
2,400
1200,00
300,000
30,340
Optimizado
50,925090
4,397952
2,920486
1428,848757
304,158157
30,344184
Variação (%)
0,25
9,95
21,69
19,07
1,39
0,01
15,860
1,188
7860,00
200,000
300,000
60,000
6,000
15,847501
1,179212
7909,067607
227,322915
310,000000
54,878306
5,085058
-0,08
-0,74
0,62
13,66
3,33
-8,54
-15,25
Após optimização referente à placa
Massa específica do aço (kg/m3) [rho_St]
Módulo de Young do aço (GPa) [E_St]
Comprimento da placa (mm) [Lx]
Largura da placa (mm) [ax]
Espessura da placa (mm) [tx]
Após optimização final
Diâmetro do tubo (mm) [D]
Espessura do tubo (mm) [thk]
Módulo de Young do policarbonato (GPa) [E]
Massa específica do policarbonato (kg/m3) [rho]
Coeficiente de Poisson do policarbonato [NU12]
Módulo de Young dos piezoeléctricos (x) (GPa) [Ep1]
Módulo de Young dos piezoeléctricos (y,z) (GPa)
[Ep2]
Comprimento do tubo (m) [L]
Massa específica do aço (kg/m3) [rho_St]
Módulo de Young do aço (GPa) [E_St]
Comprimento da placa (mm) [Lx]
Largura da placa (mm) [ax]
Espessura da placa (mm) [tx]
Página 48
T. Carreno
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.1. Variação dos parâmetros ao longo da optimização
Variação percentual dos pârametros do tubo
Variação percentual dos pâram etros da placa
20
30
25,42
15
25
13,75
23,35
10
15
5
3,33
%
%
20
0,20
9,83
10
0
rho_St
E_St
Lx
ax
tx
-5
5
-0,74
0,23
-8,48
-10
0
D
thk
E
rho
L
-12,34
-15
-5
Variação percentual final de todos os parâmetros
25
21,69
19,07
20
13,66
15
9,95
10
%
5
3,33
1,39
0,25
-0,74
0,62
L
rho_St
0,01
0
D
thk
E
rho
NU12
Ep1
Ep2
-0,08
E_St
Lx
ax
tx
-5
-10
-8,54
-15
-15,25
-20
T. Carreno
Página 49
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Tabela 4.2. Pólos e zeros obtidos através das respostas em frequência experimentais e do modelo e respectivo erro e área entre curvas (Valores em Hz)
Experimentais
Pólos
Zeros
Pólos
4,333
24,000
28,000
47,333
62,000
3,500
21,750
25,750
44,750
61,750
27,667
60,333
Modelo Inicial
Erro(%)
Zeros
-19,22
-9,38
-8,04
-5,46
-0,40
Erro médio 8,50
Área entre curvas
Experimentais
Pólos
Zeros
Pólos
4,333
24,000
27,667
47,440
62,000
3,500
21,750
25,500
44,750
61,750
3,000
21,333
28,000
45,000
61,000
-19,22
-9,38
-7,83
-5,67
-0,40
Pólos
-7,83
1,11
Erro médio 4,47
1162,95
Modelo Inicial
Erro(%)
Zeros
Erro médio 8,50
Área entre curvas
Experimentais
Pólos
Zeros
25,500
61,000
Erro(%)
2,750
19,500
25,750
42,000
61,500
Erro(%)
-8,33
-8,59
-8,04
-6,67
0,82
Erro médio 6,49
1118,92
Modelo Inicial
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Actuador 1 Sensor 4
Modelo Após Optimização do Tubo
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Modelo Após Optimização da Placa
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Pólos
3,833
24,000
28,000
45,833
63,330
4,000
24,500
27,833
47,333
62,333
4,000
24,333
27,667
47,333
62,000
-11,54
0,00
0,00
-3,17
2,15
27,667
62,667
0,00
3,87
Erro médio 3,37
Área entre curvas
Erro médio 1,93
1121,70
Actuador 1 Sensor 5
Modelo Após Optimização do Tubo
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
3,833
24,000
27,833
45,833
63,330
-11,54
0,00
0,60
-3,39
2,15
3,000
21,167
28,000
43,667
63,000
0,00
-0,78
0,00
-2,96
3,28
Erro médio 3,53
Área entre curvas
Erro médio 1,40
901,02
Actuador 2 Sensor 4
Modelo Após Optimização do Tubo
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
-7,69
2,08
-0,60
0,00
0,54
Erro médio 2,18
Área entre curvas
27,667
61,833
0,00
2,49
Erro médio 1,24
1342,19
Modelo Após Optimização Final
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Erro médio 2,05
Área entre curvas
Modelo Após Optimização da Placa
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Pólos
4,000
24,500
27,833
47,333
62,333
4,000
24,333
27,500
47,333
62,000
-7,69
2,08
0,60
-0,23
0,54
Erro médio 2,23
Área entre curvas
3,167
21,333
28,333
45,333
62,167
5,57
0,00
1,19
0,74
1,91
Erro médio 1,88
Modelo Após Optimização da Placa
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
-7,69
1,39
-1,19
0,00
0,00
-0,60
1,93
Erro médio 1,27
7811,30
Modelo Após Optimização Final
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
-7,69
1,39
-0,60
-0,23
0,00
Erro médio 1,98
Área entre curvas
Pólos
27,500
61,500
3,167
21,167
27,667
45,333
61,667
5,56
-0,78
-1,19
0,74
1,09
Erro médio 1,87
3783,98
Modelo Após Optimização Final
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
4,333
3,000
3,500
-19,22
2,750
-8,33
3,833
-11,54
2,500
-16,67
4,000
-7,69
2,667
-11,10
4,000
-7,69
2,667
-11,10
24,000
20,667
21,750
-9,38
18,000
-12,90
24,000
0,00
20,000
-3,23
24,500
2,08
20,500
-0,81
24,333
1,39
20,333
-1,62
27,667
28,000
25,750
-6,93
25,500
-8,93
27,833
0,60
27,667
-1,19
27,833
0,60
27,670
-1,18
27,667
0,00
27,500
-1,79
47,333
62,000
46,000
61,000
44,750
61,750
-5,46
-0,40
43,000
61,250
-6,52
0,41
45,833
63,330
-3,17
2,15
43,833
62,667
-4,71
2,73
47,333
62,333
0,00
0,54
45,167
61,833
-1,81
1,37
47,333
62,000
0,00
0,00
45,333
61,333
-1,45
0,55
Erro médio -8,28
Área entre curvas
Experimentais
Pólos
Zeros
Pólos
4,333
24,000
27,667
47,440
62,000
3,500
21,750
25,500
44,750
61,750
28,000
48,000
63,333
Modelo Inicial
Erro(%)
Zeros
-19,22
-9,38
-7,83
-5,67
-0,40
Erro médio 8,50
Área entre curvas
Erro médio global
Área entre curvas média
Página 50
Pólos
Erro médio 7,42
486,47
8,44
25,750
46,000
64,250
Erro(%)
-8,04
-4,17
1,45
Erro médio 4,55
400,75
Zeros
5,73
922,779
Erro médio 3,49
Área entre curvas
Erro médio 5,71
424,39
Actuador 2 Sensor 5
Modelo Após Optimização do Tubo
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
3,833
24,000
27,833
45,833
63,330
-11,54
0,00
0,60
-3,39
2,15
Erro médio 3,53
Área entre curvas
Pólos
3,48
28,000
47,000
65,500
0,00
-2,08
3,42
Erro médio 1,83
397,63
Zeros
2,72
815,703
Erro médio 2,18
Área entre curvas
Erro médio 3,25
Erro médio 1,81
Área entre curvas
Modelo Após Optimização da Placa
Pólos
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
Pólos
4,000
24,500
27,833
47,333
62,333
4,000
24,333
27,500
47,333
62,000
-7,69
2,08
0,60
-0,23
0,54
Erro médio 2,23
Área entre curvas
Pólos
2,20
28,000
45,500
64,500
0,00
-5,21
1,84
Erro médio 2,35
307,63
Zeros
2,18
743,810
Modelo Após Optimização Final
Erro(%)
Zeros
Erro(%)
-7,69
1,39
-0,60
-0,23
0,00
Erro médio -1,43
Área entre curvas
Pólos
Erro médio 3,30
1337,12
1,98
27,833
48,500
64,167
-0,60
1,04
1,32
Erro médio 0,59
1036,93
Zeros
0,98
4310,799
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resultados – Modelo A
Gráficos 4.2. Respostas em frequência experimentais (a azul) e do modelo inicial (a vermelho)
T. Carreno
Página 51
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.3. Respostas em frequência experimentais (a azul) e do modelo após optimização ao tubo (a vermelho)
Página 52
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.4. Respostas em frequência experimentais (a azul) e do modelo após optimização à placa (a vermelho)
T. Carreno
Resultados – Modelo A
Página 53
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.5. Respostas em frequência experimentais (a azul) e do modelo após optimização final (a vermelho)
Página 54
T. Carreno
Resultados – Modelo A
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.6. Evolução dos erros em relação aos zeros e pólos e da área entre as curvas experimentais e do modelo ao longo da optimização
Evolução do erro médio para os zeros
8
Actuador 1 Sensor 4
7
Evolução do erro m édio para os pólos
Evolução da área entre curvas
9000
9
Act uador 1 Sensor 4
Act uador 1 Sensor 4
Actuador 1 Sensor 5
Act uador 1 Sensor 5
Act uador 1 Sensor 5
Actuador 2 Sensor 4
Act uador 2 Sensor 4
Actuador 2 Sensor 5
Act uador 2 Sensor 5
Média
M édia
8
6
Act uador 2 Sensor 4
8000
7
7000
6
6000
5
5000
Act uador 2 Sensor 5
M édia
%
%
4
%
5
4
4000
3
3000
2
2000
1
1000
3
2
1
0
T. Carreno
0
0
inicial
tubo
placa
final
inicial
tubo
placa
final
inicial
tubo
placa
final
Página 55
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.2. Estudo sobre a localização dos zeros
4.2.1. Introdução
Após a primeira optimização um aspecto que se faz notar é a localização dos zeros do sistema. Para o
mesmo caso de actuação, a localização dos zeros é diferente medindo através do sensor 4 e através do
sensor 5. (a numeração dos sensores pode ser observada no ANEXO A.)
Para melhor compreender a localização dos zeros do sistema realizaram-se algumas experiências.
Para verificar se as discrepâncias em termos de localização de zeros foram devidas a assimetria em termos
de rigidez/massa, no modelo em ANSYS com os parâmetros já optimizados, colocou-se um quarto actuador
fictício, o actuador 6, simétrico ao actuador 1. Efectuaram-se as mesmas análises harmónicas para os
mesmos quatro casos, sendo o elo apenas actuado pelos actuadores 1 e 2, como anteriormente.
Em seguida estabeleceu-se também uma simetria de actuação, para além da de rigidez/massa. O actuador
3 foi actuado em fase com o actuador 2 para produzir torção pura, e o actuador 6 foi actuado em oposição
de fase com o actuador 1 para produzir flexão.
Posteriormente, foi feito ainda um último teste mantendo a simetria de rigidez/massa e de actuação, onde
se retirou a placa de aço da extremidade, estudando a vibração apenas do tubo com os actuadores e
sensores.
Estas experiências com o modelo foram agrupadas com a designação “Experiências de simetria”.
Pretendeu-se ainda estudar a relevância da posição vertical relativa dos sensores e actuadores, afastando
os actuadores não actuados e os sensores do actuador actuado, desta feita na ausência de simetria (não
há actuador 6). Desse modo quando se actua o actuador 1, os sensores 4 e 5 e os actuadores 2 e 3
afastam-se (sobem) 10mm, e quando se actua o actuador 2, os sensores e o actuador 1 afastam-se
(descem) 10mm. Estas experiências vêm designadas como “Experiências de posição dos piezoeléctricos”.
Para além destas experiências, realizou-se uma nova montagem experimental em que a placa rectangular
de aço foi substituída por um prato cilíndrico. Este prato é apresentado na secção 4.2.4. Este foi montado
para que a sua massa estivesse distribuída de forma simétrica, ou seja coaxial com o cilindro. Esta nova
montagem experimental foi modelada em ANSYS e obtiveram-se as respostas em frequência experimentais
e teóricas para o sistema actuado apenas pelo actuador 1, apenas pelo actuador 2, apenas pelo actuador 3
e simultaneamente pelos actuadores 2 e 3. Neste estudo não se considerou o actuador fictício 6, sendo a
configuração de piezoeléctricos do modelo idêntica à experimental. Estas experiências foram agrupadas
com a designação “Experiências com o prato”. O modelo em ANSYS foi também sujeito a uma optimização
idêntica à que se fez para a placa.
Em todas as experiências efectuadas, procedeu-se paralelamente à análise estática das deformações do
modelo, para estudar como estas influenciam as medidas tomadas pelos sensores. Observou-se o sistema
total em deformação estática para os vários casos bem como o comportamento da secção transversal do
tubo ao nível do plano médio dos sensores.
Os parâmetros utilizados em todo este estudo foram os obtidos após a optimização realizada aos pólos
(ver Tabela 4.2).
Página 56
T. Carreno
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.2.2. Experiências de simetria - Resultados
Tabela 4.3. localização dos zeros para as várias configurações de piezoeléctricos e casos de actuação/medida (valores
em Hz; variação em termos dos valores normais)
configuração de piezoeléctricos
normal
actuador sensor
1
4
1
5
2
4
2
5
zeros
(Hz)
27,500
61,500
3,167
21,167
27,667
45,333
61,667
2,667
20,333
27,500
45,333
61,333
27,833
48,500
64,167
simetria rigidez/massa
zeros
(Hz)
27,500
61,667
3,333
21,500
27,830
45,830
61,830
2,667
20,670
27,500
45,670
61,500
27,833
49,500
64,330
variação(%)
0,00
0,27
5,24
1,57
0,59
1,10
0,26
0,00
1,66
0,00
0,74
0,27
0,00
2,06
0,25
simetria
rigidez/massa e
actuação
zeros
variação(%)
(Hz)
4,333
24,000
27,500
0,00
49,830
62,667
1,90
4,000
26,30
23,830
12,58
27,830
0,59
47,670
5,16
61,500
-0,27
3,500
31,23
18,000
-11,47
27,500
0,00
45,670
0,74
62,330
1,63
4,500
13,500
27,833
0,00
48,830
0,68
61,670
-3,89
simetria
rigidez/massa
e actuação
sem aço
natureza do
modo mais
próximo
zeros (Hz)
12,000
62,000
166,000
190,000
268,000
8,000
58,000
164,000
190,000
280,000
94,000
300,000
94,000
300,000
flexão em x/y
torção
2º flexão em x
2º flexão em y
3º flexão em x
flexão em x/y
torção
2º flexão em x
2º flexão em y
3º flexão em x
flexão em x/y
torção
2º flexão em x
2º flexão em y
3º flexão em x
flexão em x/y
torção
2º flexão em x
2º flexão em y
3º flexão em x
Tabela 4.4. Deformação da secção transversal do tubo no plano dos sensores, sujeito às várias configurações de
piezoeléctricos.
Actuador
normal
simetria rigidez/massa
simetria rigidez/massa
e actuação
simetria rigidez/massa
e actuação sem aço
1 (e 6)
2 (e 3)
T. Carreno
Página 57
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Tabela 4.5. Deformação do sistema sujeito às várias configurações de piezoeléctricos.
Actuador
normal
simetria rigidez/massa
simetria rigidez/massa
e actuação
simetria rigidez/massa
e actuação sem aço
1 (e 6)
2 (e 3)
*
* nota: esta figura aparenta ter uma deformação superior à realidade. É devido a um erro no pacote gráfico do Ansys.
Página 58
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Estudo sobre a localização dos zeros
Gráficos 4. 7. Respostas em frequência teóricas – comparação entre sensores
T. Carreno
Página 59
Estudo sobre a localização dos zeros
Página 60
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
T. Carreno
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.2.3. Experiências de posição dos piezoeléctricos
actuador
1
1
2
2
Posição dos piezoeléctricos
original original + 5mm original + 10 mm
zeros
zeros variação zeros variação
sensor
(Hz)
(Hz)
(%)
(Hz)
(%)
27,500 27,333
0,61 27,333
0,61
4
61,500 61,333
0,27 61,333
0,27
média 0,44
média_0,45
3,167 3,000
5,27
3,000
5,27
21,167 21,000
0,79 20,667
2,36
5
27,667 27,667
0,00 27,667 0,00
45,333 45,333
0,00 45,333 0,00
61,667 61,667
0,00 61,667 0,00
média 1,21
média_1,53
2,667 2,667
0,00
2,667
0,00
20,333 20,000
1,64 20,000
1,64
4
27,500 27,330
0,62 27,330
0,62
45,333 45,333
0,00 45,000
0,73
61,333 61,333
0,00 61,333 0,00
média 0,45
média_0,60
27,833 28,000
0,60 28,000
0,60
5
48,500 48,667
0,34 49,000
1,03
64,167 64,333
0,26 64,667
0,78
média 0,40
média_0,80
média
média_
0,69
0,93
global
global_
Tabela 4. 6. Localização dos zeros e sua variação para as várias posições
dos piezoeléctricos
Variação da localização dos zeros
com a posição dos piezoeléctricos
1
0,5
0
variação
da
localizaç
ão
dos
-0,5
zeros
(%)
0
5
10
-1
-1,5
actuador 1 - sensor
4
actuador 1 - sensor
5
-2
posição dos piezoeléctricos (mm)
Gráficos 4.8. Variação da localização dos
zeros com a posição dos piezoeléctricos
Tabela 4.7. Deformação da secção transversal do tubo no plano dos sensores, para as várias posições dos
piezoeléctricos
Actuador
0mm
5mm
10mm
1
2
T. Carreno
Página 61
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.9. Resposta em frequência teórica para o estudo da posição vertical relativa dos piezoeléctricos
Página 62
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Estudo sobre a localização dos zeros
4.2.4. Experiências com prato
4.2.4.1.
Geometria e Malha
A geometria do prato é a da Figura 4.2. Desenho técnico do prato. A malha em elementos finitos foi feita
com os mesmos elemento e modelo material que para a placa e pode ser observada na Figura 4. 1.
Figura 4. 1. Malha em elementos finitos do prato
Figura 4.2. Desenho técnico do prato
T. Carreno
Página 63
Estudo sobre a localização dos zeros
4.2.4.2.
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Frequências naturais e modos de vibração
As frequências naturais e modos naturais de vibração para o sistema com o prato foram obtidas como já
tinha sido feito com a placa (ver5.2.ANEXO B). Apresentam-se os resultados dessa análise na Tabela 4.8.
Tabela 4.8. Frequências naturais e modos de vibração experimentais para o prato.
Modo
Forma
1º
Frequência(Hz)
4,000
1º Flexão em x
2º
4,000
1º Flexão em y
3º
22,000
Torção em z
Página 64
T. Carreno
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4º
35,333
2º Flexão em x
5º
39,333
2º Flexão em y
6º
83,333
3º Flexão em x
7º
85,000
3º Flexão em x
T. Carreno
Página 65
Estudo sobre a localização dos zeros
4.2.4.3.
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resultados
Tabela 4.9. Comparação entre resultados experimentais e teóricos após optimização
actuador 1 - sensor 4
actuador2 - sensor 4
experimental
modelo
experimental
modelo
pólos zeros pólos erro(%) zeros erro(%) pólos zeros pólos erro(%) zeros erro(%)
4,000
3,667
20,333
39,333 71,333 40,000
83,333
85,333
-8,33
1,70
2,40
7,333
20,166
71,000
-0,47
4,000 3,667
22,000
39,333 34,667
38,333
85,333 84,000
3,667
20,333
39,500
40,000
84,833
-8,33
-7,58
0,42
-0,59
2,833
14,833
38,833
39,667
84,000
85,670
-22,74
12,02
3,48
0,00
médio -1,41 médio
-0,47
médio -4,02 médio -1,81
actuador 1 - sensor 5
actuador2 - sensor 5
experimental
modelo
experimental
modelo
pólos zeros pólos erro(%) zeros erro(%) pólos zeros pólos erro(%) zeros erro(%)
4,000 3,333 3,667
22,333 22,000 20,333
39,333 34,667 40,000
83,333 36,000 85,333
80,333
-8,33
-8,96
1,70
2,40
2,833
20,170
-14,99
-8,32
36,170
82,170
0,47
2,29
médio
-3,30
médio
Página 66
-5,14
4,000 36,000 3,667
22,000
20,333
35,333 86,999 39,500
39,333
40,000
85,000
84,833
85,333
-8,33
-7,58
11,79
1,70
-0,20
39,667
41,333
médio
-0,52
médio
10,19
10,19
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.10. Respostas em frequência teóricas (a vermelho) e experimentais (a azul)
T. Carreno
Estudo sobre a localização dos zeros
Página 67
Estudo sobre a localização dos zeros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.11. Comparação entre as respostas em frequência dos sensores
Tabela 4.10. Deformação estática global e da secção transversal no plano dos sensores
Actuador 1
Global
Página 68
Secção Transversal
Actuador 2
Global
Secção Transversal
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.2.4.4.
Estudo sobre a localização dos zeros
Discussão dos resultados
Após análise dos resultados obtidos, pode-se concluir que a rigidez/massa dos piezoeléctricos é
desprezável. Deste modo, alterar a sua posição enquanto desligados não traz grandes alterações
estruturais pelo que os pólos permanecem constantes (Gráficos 4. 7.)
As diferenças no número de zeros observados consoante o sensor parecem ter origem no facto de
não haver simetria de actuação. Quando a actuação não é simétrica, o sensor do lado oposto não
detecta tantos zeros quando o do lado do actuador (Gráficos 4. 7.). Isto é provavelmente devido aos
efeitos de membrana, a secção transversal não permanece perfeitamente circular e do lado não
actuado esse efeito é menor. Quando a actuação é simétrica, ambos os lados da secção sofrem
deformações semelhantes (Tabela 4.4).
A mudança de posição dos sensores provoca como seria de esperar diferenças na localização dos
zeros. O zero correspondente ao segundo modo é também como seria de esperar o menos afectado,
pois a torção produz deformação linear. A mudança de posição dos sensores não afecta a deformação
da secção, visto estes terem rigidez/massa desprezáveis (Tabela 4.7).
O afastamento dos sensores relativamente a um actuador faz aumentar a frequência dos zeros no
sensor do lado oposto ao actuador e diminuir no sensor do mesmo lado do actuador (Gráficos 4.9).
Nas experiências com o prato comprovou-se que a presença de modos em componentes não actuadas
não se revela nas respostas em frequência. Quando o actuador 1 é actuado, o segundo modo de
(torção) não é visível (Gráficos 4.11). No entanto, e à medida que as frequências naturais são mais
elevadas, ocorrem modos de flexão separados, apesar de agora haver rigidez idêntica para ambos os
eixos (Gráficos 4.11). Este facto é particularmente verdade para o actuador 2, devido a este induzir
uma componente de flexão perpendicular à desejada. De salientar também, que à excepção do
segundo modo o sensor do lado do actuador passa pelo zero antes do pólo e que no sensor do lado
oposto passa-se o inverso (Gráficos 4.11). Este aspecto é coerente com os resultados obtidos nas
experiências de simetria (Gráficos 4. 7.).
T. Carreno
Página 69
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.3. Resultados – Modelo B
Tabela 4.11. Optimização com funções de Hermite: primeira fase
experimental
pólos
zeros
Modelo com prato
actuador 1 - sensor 4
actuador 1 - sensor 4
sensor das extensões
pólos
4,333 27,667 2,383
24,000
23,830
28,000
28,040
47,333
Modelo com placa
sensor dos ângulos
experimental
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
-45,00
-0,71
0,14
28,030
1,31
2,383
23,830
28,040
-45,00
-0,71
0,14
27,730
0,23
médio
1,31
médio
0,23
47,410
0,16
médio
-11,35
47,410
0,16
médio
-11,35
zeros
sensor das extensões
pólos
erro(%)
zeros
4,000
22,000
39,333
3,384
21,020
39,960
-21,90
-12,42
42,71
8,147
21,020
39,333
40,420
médio
pólos
erro(%)
zeros
3,384
21,020
39,920
-21,90
-12,42
42,57
8,129
21,020
44,36
39,920
-15,66
30,35
médio
23,14
actuador 1 - sensor 5
experimental
sensor das extensões
experimental
zeros
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
4,333
3,000
2,383
-45,00
3,987
32,90
2,383
-45,00
2,848
-5,07
24,000 21,333 23,830
27,667 28,000 28,040
47,440 45,000 47,410
-0,71
1,35
-0,06
28,090
31,240
0,32
-30,58
23,830
28,040
47,410
-0,71
1,35
-0,06
27,680
44,430
-1,14
-1,27
médio
-11,35
médio
21,27
médio
-11,35
médio
2,49
zeros
sensor das extensões
pólos
erro(%)
zeros
4,000
2,383
-45,00
22,000
39,333
39,333
23,830
28,040
47,410
-0,71
1,35
-0,06
médio
11,78
actuador2 - sensor 4
pólos
zeros
sensor dos ângulos
experimental
zeros
erro(%)
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
zeros
pólos
erro(%)
4,333 3,000 2,383
24,000 20,667 23,830
27,667 28,000 28,040
47,333 46,000 47,410
-45,00
-0,71
1,35
0,16
0,554
-81,53
-28,77
28,030
47,050
0,11
2,28
22,000
39,333
39,333
4,000
3,666
38,333
0,14
0,50
-45,00
-0,71
1,35
0,16
2,137
28,040
46,230
2,383
23,830
28,040
47,410
2,383
23,830
28,040
47,410
-45,00
-0,71
1,35
0,16
médio
-11,35
médio
27,39
médio
-11,35
médio
10,39
médio
11,81
actuador2 - sensor 5
pólos
pólos
erro(%)
zeros
8,147
3,384
-21,90
8,129
21,020
21,020
39,920
39,920
-12,42
44,29
-15,85
21,020
médio
23,61
erro(%)
zeros
sensor dos ângulos
erro(%)
52,850
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
3,384
21,020
39,920
39,920
-21,90
-12,42
44,29
-15,66
2,744
41,240
-25,15
7,58
médio
23,57
médio
16,37
actuador2 - sensor 5
sensor das extensões
sensor dos ângulos
experimental
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
pólos
4,333
2,383
24,000 28,000 23,830
27,667 48,000 28,040
47,440 63,333 47,410
-45,00
-0,71
1,35
-0,06
2,922
28,050
48,100
0,18
0,21
2,383
23,830
28,040
47,410
-45,00
-0,71
1,35
-0,06
2,137
28,030
47,050
0,11
-1,98
4,000
22,000
39,333
39,333
médio
-11,35
médio
0,19
médio
-11,35
médio
1,04
Página 70
zeros
pólos
sensor das extensões
erro(%)
experimental
sensor dos ângulos
erro(%)
actuador2 - sensor 4
sensor das extensões
pólos
erro(%)
actuador 1 - sensor 5
sensor dos ângulos
pólos
experimental
sensor dos ângulos
erro(%)
zeros
36,000
sensor das extensões
sensor dos ângulos
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
2,383
23,830
28,040
47,410
-45,00
-0,71
1,35
-0,06
5,487
34,980
-2,83
médio
11,78
médio
2,83
pólos
erro(%)
zeros
erro(%)
3,384
21,020
39,920
39,920
-21,90
-12,42
44,29
-15,85
4,750
36,840
2,33
médio
23,61
médio
2,33
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resultados – Modelo B
Gráficos 4.12. Optimização com funções de Hermite, primeira fase: resposta em frequência do modelo com placa usando os sensores pelas extensões
T. Carreno
Página 71
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.13. Optimização com funções de Hermite, primeira fase: resposta em frequência do modelo com placa usando os sensores pelos ângulos
Página 72
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resultados – Modelo B
Gráficos 4.14. Optimização com funções de Hermite, primeira fase: resposta em frequência do modelo com prato usando os sensores pelas extensões
T. Carreno
Página 73
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.15. Optimização com funções de Hermite, primeira fase: resposta em frequência do modelo com prato usando os sensores pelos ângulos
Página 74
T. Carreno
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.16. Erro médio para a primeira fase de optimização: placa
Erro médio para os zeros
30
Actuador 1 Sensor 4
Actuador 1 Sensor 5
Actuador 2 Sensor 4
Actuador 2 Sensor 5
Média
25
Erro médio para os pólos
14
Actuador 1
Sensor 4
Actuador 1
Sensor 5
12
10
20
8
%
%
15
6
10
4
5
2
0
0
por extensões
por ângulos
ambos os sensores
Gráficos 4.17. Erro médio para a primeira fase de optimização: prato
Erro médio para os zeros
18
Actuador 1 Sensor 4
Actuador 1 Sensor 5
Actuador 2 Sensor 4
Actuador 2 Sensor 5
Média
16
Erro médio para os pólos
14
Actuador 1
Sensor 4
Actuador 1
Sensor 5
12
14
10
12
8
%
%
10
8
6
6
4
4
2
2
0
0
por extensões
T. Carreno
por ângulos
ambos os sensores
Página 75
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Após a primeira optimização, testaram-se esses parâmetros nos modelos construídos com mais
funções de forma e com o elo discretizado em dois. Os resultados obtidos com estes modelos não
foram satisfatórios. Com o elo discretizado em dois obtêm-se o dobro dos pólos, mas os novos pólos
não correspondem aos experimentais. Com as funções de forma trigonométricas obtém-se o pólo
adicional que falta modelar, no entanto ele aparece nos 160Hz. Após optimização para a placa o
modelo perde qualidade (o erro quadrático médio mínimo sextuplica) e para o prato, visto este não
permitir rigidez diferente para x e y o pólo adicional permanece naquela zona. A esse respeito,
apresentam-se apenas alguns gráficos exemplificativos do que acontece com estes modelos:
Gráficos 4.18. Modelo com a placa, discretizado em dois elos. Aparecem modos naturais que não são
característicos do sistema experimental, bem como zeros.
Gráficos 4.19. Modelo com a placa, com funções de terceira ordem em y e de Hermite em x. Erro quadrático
médio aproximadamente 6,3. Os parâmetros do modelo permitem a diferente rigidez entre eixos.
Página 76
T. Carreno
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.20. Modelo com o prato, com funções de terceira ordem em x e em y. Ao tentar puxar o pólo adicional
este vai empurrar os outros para fora do sítio correcto.
A escolha para o modelo final é de usar as funções de Hermite apenas, em ambos os eixos, e usar os
sensores por ângulos. Os pólos e zeros mantêm-se no mesmo sítio. Os resultados para a optimização
final (após ajuste de amplitudes) são os seguintes:
Tabela 4.12. Variação dos parâmetros após optimização final – modelo com placa
Diâmetro do tubo (mm)
Espessura do tubo (mm)
Módulo de Young do policarbonato (GPa)
Massa específica do policarbonato (kg/m3)
Comprimento do tubo (m)
Massa específica do aço (kg/m3)
Módulo de Young do aço (GPa)
Comprimento da placa (mm)
Largura da placa (mm)
Espessura da placa (mm)
T. Carreno
iniciais
50,8
4
2,4
1200
1,188
7860
200
300
60
6
finais
44,993691
2,842038
2,201836
1800,000000
1,767146
1573,068
227,322915
115,408693
134,000000
135,000000
variação (%)
-11,43
-28,95
-8,26
50,00
48,75
100,14
13,66
-61,53
123,33
2150,00
Página 77
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Variação percentual final de todos os parâmetros
2500
2150,00
2000
%
1500
1000
500
50,00
0
48,75
-11,43 -28,95 -8,26
D
thk
E
13,66
-99,98
rho
L
rho_St E_St
123,33
-61,53
Lx
ax
tx
-500
Tabela 4.13, Gráficos 4.21. e Gráficos 4.22. Variação dos parâmetros após optimização final – modelo com prato
Diâmetro do tubo (mm)
Espessura do tubo (mm)
Módulo de Young do policarbonato (GPa)
Massa específica do policarbonato (kg/m3)
Comprimento do tubo (m)
Massa específica do aço (kg/m3)
iniciais
50,8
4
2,4
1200
1,188
7860
finais
52,503210
3,525263
2,853218
2043,825526
1,126017
7409,943785
variação (%)
3,35
-11,87
18,88
70,32
-5,22
-5,73
Variação percentual final de todos os parâmetros
80
70,32
70
60
50
%
40
30
18,88
20
10
3,35
0
-10
-20
Página 78
D
thk
E
rho
L
-5,22
rho_St
-5,73
-11,87
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Resultados – Modelo B
Gráficos 4.23. Optimização final: resposta em frequência do modelo com placa
T. Carreno
Página 79
Resultados – Modelo B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4.24. Optimização final: resposta em frequência do modelo com prato
Página 80
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Criação dos modelos para o controlo
4.4. Criação dos modelos para o controlo
4.4.1. Modelo A – Identificação por método de Levy
Com as curvas obtidas no Ansys (amplitude e fase) para os modelos com prato e placa, obtiveram-se
as funções de transferência correspondentes aplicando o método de Levy. Apresentam-se aqui os
resultados dessa aplicação.
Figura 4. 3 Diagramas de bode resultantes da identificação por método de Levy. Modelo com placa.
T. Carreno
Página 81
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Página 82
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Figura 4. 4 Diagramas de bode resultantes da identificação por método de Levy. Modelo com prato.
T. Carreno
Página 83
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Página 84
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.4.2. Modelo B – Linearização
Para os modelos obtidos com o simulador de modos assumidos, procedeu-se à linearização de todo o
modelo Simulink constituído pelo simulador e os blocos de cálculo dos sensores e actuadores (ver
figura Figura 2.5). Para tal usou-se a função linearize da Control System toolbox.
4.4.3. Biblioteca de modelos final
Após a preparação dos modelos para o controlo obteve-se então o objectivo da modelação: os vários
modelos para utilização no controlo. A Tabela 4.14. apresenta um quadro síntese dos mesmos e a
Figura 4.5 apresenta a biblioteca de modelos criada em Simulink para permitir o uso expedito dos
modelos no controlo.
Tabela 4.14. Quadro-síntese dos modelos obtidos
Modelo
Elemento terminal
Actuador
1
placa
2
A
1
prato
2
1
placa
2
B
1
prato
2
Sensor
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
Desginação
G14A_placa
G15A_placa
G24A_placa
G25A_placa
G14A_prato
G15A_prato
G24A_prato
G25A_prato
G14B_placa
G15B_placa
G24B_placa
G25B_placa
G14B_prato
G15B_prato
G24B_prato
G25B_prato
Figura 4.5. Biblioteca de modelos Simulink para o controlo em simulação
T. Carreno
Página 85
Discussão dos resultados obtidos - Modelação
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.5. Discussão dos resultados obtidos - Modelação
4.5.1. Modelo A
No que respeita à abordagem adoptada no caso do modelo A, é importante fazer uma avaliação
mediante dois aspectos: a qualidade do modelo, isto é, o quão bem traduzida nele é a realidade e a
qualidade do método, isto é, a capacidade do método não só para produzir um modelo com qualidade
mas também para o fazer de forma expedita e simples.
Quanto ao primeiro, a avaliação é claramente positiva. O modelo final demonstrou erros inferiores a
1,5% em média e no pior caso foi em torno dos 7,5% (Tabela 4.2 e Gráfico 4.7). Este pior caso
refere-se ao primeiro modo de vibração, cuja frequência natural experimental é de 4,33Hz. Ao analisar
o valor do erro neste caso, é preciso ter em conta que o espectro experimental é discreto, com passos
de 0,33Hz. Assim sendo, o facto de a resposta em frequência experimental apresentar um valor
máximo de amplitude para a frequência de 4,33Hz, não quer dizer que a primeira frequência natural
do sistema seja de facto esse valor. Pode acontecer ser qualquer outro entre 4Hz e 4,66Hz exclusive e
nesse caso não ter sido correctamente captado experimentalmente. Este raciocínio está ilustrado na
figura Figura 4.6. Se aliás repararmos, todos os erros absolutos em termos de pólos são no máximo
0,33Hz. O facto de o erro ser tão grave para o primeiro modo prende-se com o facto de a ordem de
grandeza da frequência a que ocorre ser próxima da do erro absoluto típico obtido na análise.
Figura 4.6. Explicação da influência do passo de amostragem na captura dos pólos.
No modelo em ANSYS, podem ser feitas análises modais, que fornecem um valor para os modos que
não é um múltiplo inteiro de 0,33Hz, mas sim o valor que advém da solução do problema de valores
próprios do cálculo de frequências naturais. Essas foram as análises usadas para a optimização, no
entanto, para a obtenção de resultados e os cálculos dos erros da Tabela 4.2, foram usadas análises
harmónicas. O procedimento que o ANSYS segue é idêntico ao da realidade. Ele excita o sistema com
sinusóides de frequências incrementalmente crescentes e regista o valor da amplitude da resposta.
Para estes incrementos escolheu-se o valor de 0,166Hz que corresponde a metade do experimental. O
uso desta análise permite uma melhor apreciação dos resultados, porque os valores que foram
tomados como frequências naturais foram aqueles cujas respectivas amplitudes são um máximo local,
à semelhança do procedimento experimental. Deste modo quando há um erro absoluto de 0,166Hz
pode dar-se um caso de não ser de facto um “erro”, mas sim resultante do facto de o incremento
Página 86
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Discussão dos resultados obtidos - Modelação
utilizado ser mais fino permitir uma melhor captura do modo. O mesmo argumento leva a dizer que
também pode não só ser de facto um “erro” como ainda de ser maior do que 0,166Hz. Este raciocínio
é idêntico ao ilustrado na Figura 4.6.
Outro problema com esta abordagem prende-se com o facto de serem usadas análises modais
durante a optimização. Esta escolha foi forçada devido ao excessivo peso computacional, e no que diz
respeito à qualidade do modelo que oferece é uma desvantagem. Da informação experimental
disponível o método usa muito pouca, apenas o valor das frequências naturais. Nada é fornecido ao
algoritmo de optimização sobre o que resta do espectro, inclusive sobre os zeros. Seria de esperar
então que o modelo representasse de forma pouco correcta o resto do espectro.
Em termos de pontos singulares, isso não se verificou. O modelo final apresenta até em termos
médios erros ligeiramente maiores para os pólos do que para os zeros na maioria dos casos (Tabela
4.2 e Gráfico 4.7). No entanto, para o resto do espectro os erros foram tanto maiores quanto mais
afastado de pontos singulares é o ponto, como se pode ver nos Gráficos 4.5. Ainda assim, conclui-se
que a optimização também actua positivamente sobre o resto do espectro, diminuindo o erro dos
pólos dos zeros e do espectro em geral, como se pode apreciar pela evolução da área entre as
respostas em frequência experimental e teórica (Gráfico 4.7). Todavia, à medida que o algoritmo se
aproxima do óptimo, as aproximações em relação ao resto do espectro começam a ser cada vez
piores (Gráficos 4.2. a 4.5.). Na optimização final o erro em a área entre curvas aumentou para mais
de cinco vezes o seu valor anterior (Gráfico 4.7). Tal como todos os algoritmos de optimização, este
requer especial cuidado e atenção nas fases finais, devido ao risco de overfitting. Se se optasse por
continuar a optimizar ainda mais, perder-se-ia a noção do problema em causa, deixando este de ser o
de escolher os parâmetros que melhor aproximam a resposta em frequência para ser o de escolher os
parâmetros que melhor aproximam numericamente o valor das frequências naturais.
Na literatura é comummente referido que o método dos elementos finitos tende a sobrestimar a
rigidez da estrutura ((Theodore, et al., 1995) e (Meirovitch, 1980)). Todavia não foi isso que os
resultados demonstraram, mas sim precisamente o oposto: o modelo por optimizar revelava rigidez
inferior aos resultados experimentais (Gráficos 4.1. e 4.2.). De salientar que a estratégia abordada de
recorrer ao updating resolve esse tipo de problemas, quer o modelo em elementos finitos sobre ou
subestime uma qualquer propriedade, o algoritmo de optimização ajustá-la-á para que o modelo
apresente os resultados correctos.
Quanto ao método, este revelou prestações razoáveis ainda que com algumas lacunas. Estas são
principalmente devidas à escolha de modelar em elementos finitos. Todos os cálculos em elementos
finitos requerem elevado esforço computacional, limitando desde logo a optimização, quer em termos
da quantidade de informação experimental como atrás foi referido como também em termos da
escolha do método de optimização. O modelo em elementos finitos não permite a escolha de
algoritmos que requeiram grande número de iterações, tendo sido por isso utilizada a rotina fmincon
do Matlab. Esta emprega a programação quadrática sequencial, que não só é mais lenta a produzir
soluções tão próximas do óptimo como outros métodos, como ainda estagna muitas vezes. O declive
da função objectivo tem de ser abrupto e óbvio para o programa perceber a proximidade de um
mínimo local, e a suavidade das funções estruturais não é propícia a isso. Este é talvez o pior aspecto
do programa. O programa não funciona num regime em que lhe são fornecidos parâmetros iniciais e
depois apenas se tem que esperar pelos resultados. Requer um acompanhamento e uma utilização
atenta, e algum conhecimento empírico sobre o comportamento da função objectivo. O ideal seria um
método que não necessitasse de requerimento nenhum da parte do utilizador e que revelasse a
solução óptima apenas com uma execução.
A finalização do modelo por método de Levy revelou ser uma boa alternativa às técnicas MOR. É de
aplicação expedita, e de certa forma realiza os mesmos propósitos: fornece um modelo de ordem
reduzida mantendo as características desejadas do sistema (comportamento em frequência). A
aplicação do método de Levy não deve contudo ser feita de ânimo leve. O modelo Ansys após
optimização não modela o amortecimento estrutural do elo. Este facto pode levantar problemas e
fazer com que o método de Levy devolva funções de transferência instáveis, devido a erro numérico.
É preciso acrescentar um amortecimento muito reduzido para fazer com que o sistema volte a ficar
estável. Este passo tem de ser feito tendo em conta os dados experimentais: não se trata de aplicar
T. Carreno
Página 87
Discussão dos resultados obtidos - Modelação
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
um amortecimento que seja conveniente para estabilizar o sistema, mas sim de aplicar um
amortecimento que devolva as características estáveis que o sistema revela na realidade.
4.5.2. Modelo B
No que diz respeito aos resultados do Modelo B, os modelos obtidos são de qualidade razoável. O erro
médio tanto em termos de pólos como de zeros anda em torno dos 10% e há zeros diferentes dos
experimentais (Tabela 4.11, Gráficos 4.23. e Gráficos 4.24). Paralelamente, não há captura do último
modo de vibração. Esta é a pior lacuna do modelo. Todavia, convém fazer notar que o erro médio só
é tão elevado devido ao primeiro pólo. Pelas mesmas razões descritas para o modelo B o erro
absoluto é na ordem de um passo de amostragem. Aliás todos os outros pólos são modelados com
erro em torno dos 0,5% com excepção do pior caso que é 1,37% (Tabela 4.11, Gráficos 4.16 e
Gráficos 4.17). Toda análise feita para o Modelo A com base na ideia da Figura 4.6. ainda é válida
para o modelo fazendo com que este erro para o primeiro pólo tem que ser tido em conta não tanto
como um erro de modelação mas mais como um erro de medida experimental.
A alta flexibilidade de modelação permitiu melhorar bastante os resultados. O modo como se
simularam os sensores e os actuadores permitiu adequar melhor as curvas através do ajuste dos seus
vários ganhos, possibilitando até melhorias no que diz respeito à amplitude. A leveza computacional
do modelo é um factor determinante nesta flexibilidade pois permite execuções expeditas da
optimização e atingir melhores resultados mais rapidamente. Além disso permite a realização de um
grande número de iterações sendo mais robusta e maior agressividade do algoritmo.
O programa actuou sobretudo sobre a massa na extremidade necessitando de um valor bastante
maior para aproximar os valores experimentais (Tabelas 4.12 e 4.13 e Gráficos 4.22 e 4.23). Os
parâmetros que sofreram maiores alterações foram a massa específica e as dimensões da placa
(Tabela 4.12 e Gráfico 4.22)., no caso do modelo com placa e a massa específica do aço no caso do
prato (Tabela 4.13 e Gráfico 4.23). Os parâmetros do tubo sofreram alterações menos
significativas(Tabelas 4.12 e 4.13 e Gráficos 4.22 e 4.23). Estes aspectos parecem indicar melhores
prestações do software para corpos flexíveis do que rígidos.
A utilização de diferentes funções de forma e discretizações do elo produzem resultados menos
correctos(Gráficos 4.18, Gráficos 4.19 e Gráficos 4.20). Os valores dos parâmetros começam a
adquirir valores bastante diferentes dos reais para produzir resultados próximos e começam a
aparecer frequências naturais em sítios do espectro não observados na realidade.
A finalização dos modelos é directa, não necessitando de nenhuma operação que possa acrescentar
erro numérico, ao contrário do Modelo A.
4.5.3. Comparação entre modelos
O modelo A produz resultados mais próximos dos experimentais do que o modelo B. Foi usado o
mesmo algoritmo de optimização e o mesmo processo para tentar melhorar os resultados. Foi usada a
mesma informação de ambos os modelos. A principal razão para haver melhores aproximações no
caso do modelo A parece então prender-se com a teoria por detrás de cada um dos modelos.
A teoria de vigas do Modelo B é uma simplificação do caso mais geral que é considerado no FEM do
Modelo A. As diferenças referidas no ponto 2.1.3. parecem ser as responsáveis pela não tão boa
aproximação da realidade: as deformações locais consideradas no Modelo A são demasiado
importantes para não serem consideradas. Todavia, de uma forma macroscópica, o Modelo B fornece
um comportamento também próximo do experimental, apesar de não tão próximo quanto o A.
Outra razão para haver piores resultados para o modelo B pode ter a ver com as funções de forma
utilizadas. Estas são um componente determinante do processo (Gráficos 4.19, Gráficos 4.20), e
provavelmente podem também não ser as mais correctas. Talvez obtendo melhores funções de forma
se conseguisse obter melhores resultados. Por exemplo, obtendo as deformadas modais do Ansys ou
através de dados experimentais, poder-se-ia obter uma tradução mais correcta da realidade.
Página 88
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Controlo em simulação
4.6. Controlo em simulação
Após o controlo em simulação, as respostas em frequência obtidas para os sistemas controlado e não
controlado foram as seguintes.
Gráficos 4. 25. Resposta no tempo para o controlo em simulação: modelo A, placa. A azul o sistema
sem controlo, a vermelho o controlado.
T. Carreno
Página 89
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4. 26. Resposta no tempo para o controlo em simulação: modelo A, prato. A azul o sistema
sem controlo, a vermelho o controlado.
Página 90
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4. 27. Resposta no tempo para o controlo em simulação: modelo B, placa. A azul o sistema
sem controlo, a vermelho o controlado.
Gráficos 4. 28. Resposta em frequência para o controlo em simulação: modelo B, placa. A azul o
sistema sem controlo, a vermelho o controlado.
T. Carreno
Página 91
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Gráficos 4. 29. Resposta no tempo para o controlo em simulação: modelo B, prato. A azul o sistema
sem controlo, a vermelho o controlado.
Gráficos 4. 30. Resposta em frequência para o controlo em simulação: modelo B, prato. A azul o sistema
sem controlo, a vermelho o controlado.
Página 92
T. Carreno
Controlo experimental
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.7. Controlo experimental
Os gráficos seguintes apresentam os resultados do controlo experimental. Os gráficos à esquerda
representam a resposta no tempo dos sensores, e à direita representam o espectro de potência da
resposta no primeiro segundo após o início do controlo. As curvas a azul são referentes ao sistema
sem controlo e as a vermelho ao sistema com controlo.
Gráficos 4. 31. Resultados experimentais para o controlo final com todos os modos.
Sensor 4
[V]
Resposta no tempo
[V]
Espectro de potência
Frequência (Hz)
Tempo (s)
Sensor 5
[V]
Resposta no tempo
Tempo (s)
T. Carreno
[V]
Espectro de potência
Frequência (Hz)
Página 93
Discussão dos resultados obtidos - Controlo
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
4.8. Discussão dos resultados obtidos - Controlo
A aplicação dos controladores PPF confirmou as propriedades esperadas: os controladores PPF: são
fáceis de aplicar e robustos em termos de estabilidade quando calibrados correctamente.
Conseguiram-se resultados bons tanto em simulação para ambos os modelos com o prato e com placa
como em controlo experimental.
O controlo experimental revelou resultados de acordo com a simulação teórica: obteve-se
amortecimento das frequências naturais do sistema (Gráficos 4. 25 a Gráficos 4. 31) e a vibração do
elo foi quase eliminada ao fim de pouco tempo. Nos casos de simulação, ao fim de cerca de 1s a
vibração pode considerar-se quase como eliminada, persistindo uma vibração residual virtualmente
até ao infinito devido aos modelos não contemplarem amortecimento estrutural (Gráficos 4. 25 a
Gráficos 4. 30). No caso experimental a vibração pode ser considerada como eliminada ao fim de
cerca de 1,5s, não se mantendo uma vibração residual devido ao amortecimento estrutural do elo
(Gráficos 4. 31). O tempo maior que se obteve no controlo experimental deve-se a haver uma
limitação da acção de controlo ao passo que para a simulação essa limitação não existiu.
Página 94
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
T. Carreno
Discussão dos resultados obtidos - Controlo
Página 95
Discussão dos resultados obtidos - Controlo
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES
“If you want a happy ending, that depends, of course, on where you stop your story.”
Orson Welles
Após o trabalho descrito nos capítulos anteriores, apresentam-se as conclusões desta dissertação. No
ponto 5.1 são apresentadas essas mesmas conclusões. No ponto 5.2 apresentam-se as notas para
trabalhos futuros que possam ser realizados na continuação desta dissertação.
Página 96
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Conclusões
5.1. Conclusões
Após a realização deste trabalho apresentam-se as conclusões obtidas.
5.1.1. Modelação
A modelação em elementos finitos oferece vantagens e desvantagens relativamente à modelação em
simulador de modos assumidos: Se por um lado não necessita de tanto conhecimento sobre o
comportamento do sistema, por outro é um processo longo e moroso. Além disso, o resultado final é
um modelo de ordem demasiado complexa para permitir uma utilização expedita. É necessária uma
redução da ordem do modelo para que este possa vir a ter uso numa situação de simulação/controlo.
Contudo, a aplicação do método de Levy revelou ser uma boa abordagem neste caso. Não oferece
problemas devido ao acoplamento piezoeléctrico, ao contrário das técnicas MOR. Mesmo que a
realização desta redução traga consigo um acréscimo no erro, o modelo original revela uma
aproximação suficientemente boa que colmate esta degradação.
A modelação em simulador de modos assumidos revela-se bastante mais agradável neste ponto. Os
modelos obtidos são-no mais expeditamente, e assumem uma leveza computacional que os torna
mais viáveis para o trabalho em esquemas de simulação/controlo. Não necessitam da etapa adicional
de redução de ordem o que é uma vantagem em relação aos modelos obtidos com elementos finitos.
No entanto, a aproximação aos resultados experimentais revelou resultados mais fracos. Todavia, no
escopo deste trabalho, é talvez mais interessante que a dinâmica do modelo seja próxima da
realidade do que aproximação exacta das frequências naturais do sistema. No entanto, para o uso em
esquemas de controlo model-based este factor é de extrema importância, e os modelos em elementos
finitos revelaram melhores prestações nesse sentido.
5.1.2. Controlo
A estratégia adoptada para o controlo do elo confirmou as várias propriedades agradáveis referidas na
literatura. Os controladores PPF são simples de implementar: Não requerem um modelo do sistema, a
sua estrutura é simples, o número de parâmetros a calibrar é reduzido, não oferecem grandes
problemas quanto à estabilidade e podem ser projectados separadamente uns dos outros. Todavia, o
seu projecto é para os sistemas SISO de cada par actuador/sensor, e é preciso um controlador para
cada modo. Num sistema que possua um número significativo de sensores e actuadores torna-se
dispendioso o processo de calibração para todos os modos de todos os pares actuador/sensor. O
algoritmo de McEver fornece um bom ponto de partida, mas para casos em que o actuador/sensor
estejam menos colocados para o modo em questão torna-se demorada a escolha de parâmetros.
O controlo efectuado neste trabalho cumpriu quase todos objectivos de performance estabelecidos:
Conseguiu-se amortecimento adicional para as frequências naturais, mas o resto do espectro (0Hz 100Hz) manteve-se praticamente inalterado. Este factor sugere a aplicabilidade dos controladores PPF
como controladores escravos de um outro controlador que se encarregue de amortecer o resto de
espectro. Conseguiu-se também um bom roll-off (como é característico do PPF) a altas frequências
que fornece robustez ao sistema a ruído de medida e modos residuais. Estas performances foram
tanto atingidas em simulação como em controlo experimental. Verificou-se assim que a aplicação do
controlo PPF para casos tridimensionais e de deformações de flexão em dois eixos e torção é uma
estratégia válida no amortecimento das frequências naturais do sistema.
T. Carreno
Página 97
Notas para trabalhos futuros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
5.2. Notas para trabalhos futuros
O tema da presente dissertação está longe de estar esgotado, quer pela tecnologia estar em
permanente evolução, quer por haver áreas teóricas ainda por explorar. Nessa medida, apresentamse algumas considerações úteis para trabalhos posteriores a esta dissertação:
Os modelos construídos neste trabalho foram apenas usados para simulação. É bastante
interessante usá-los para o controlo com abordagens model-based, por exemplo para
realimentação de estado, esquemas de controlo óptimo, etc;
Tentar encontrar funções de forma que descrevam melhor o elo pode melhorar as piores
prestações do Modelo B; um caminho a explorar é talvez com a utilização das deformadas
modais do Ansys.
É interessante tentar arranjar alternativas à finalização do modelo A. Um trabalho futuro de
relevo seria a implementação de técnicas MOR ao modelo Ansys, até talvez aplicando a fase
de optimização directamente a um modelo já reduzido para reduzir o tempo que esta demora.
Pode tentar-se contornar o problema dos piezoeléctricos usando um modelo reduzido que
tenha como entradas o campo de tensão no local dos actuadores e os deslocamentos no local
dos sensores e obter uma maneira de realizar o cálculo adicional que converta esses valores
na tensão fornecida/medida nos actuadores/sensores, isto é, separar a modelação estrutural
da dos piezoeléctricos;
O programa de optimização concebido para a modelação pode ser utilizado para a concepção
de um novo elo. Algumas funções-objectivo interessantes seriam por exemplo: o
posicionamento óptimo de sensores e actuadores ou as características geométricas que
oferecem melhor rigidez mantendo um peso reduzido e características o menos flexíveis
possível, ou outras. O programa desenvolvido é uma ferramenta útil nesta área;
Um dos principais interesses na investigação de elos flexíveis prende-se com o seu uso na
construção de manipuladores mais leves, ágeis e inteligentes que os tradicionais. Um trabalho
posterior interessante seria verificar o desempenho dos controladores obtidos em termos de
movimento vibratórios devido a movimentos de corpo rígido impostos ao elo, como seria o
caso se este estivesse acoplado a uma junta: seriam estes controladores capazes de
amortecer devidamente o elo em casos de translacção/rotação? Que alterações deveriam ser
efectuadas?
Página 98
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Notas para trabalhos futuros
BIBLIOGRAFIA
Agnes G. Performance of Nonlinear Mechanical, Resonant-Shunted Piezoelectric, and Electronic
Vibration Absorbers for Multi-Degree-of-Freedom Structures [Relatório]. - 1997.
Antoulas A., Sorensen D. e S. Gugercin A survey of model reduction methods for large-scale
systems [Artigo] // Contemporary Mathematics. - 2001.
Balas G. Robust Control of Flexible Structures: Theory and Experiments [Relatório]. - 1990.
Balas M. Feedback Control of Flexible Systems [Artigo] // IEEE. - 1978.
Balas M. Trends in Large Space Structure Control Theory: Fondest Hopes, Wildest Dreams [Artigo] //
IEEE Transactions on Automatic Control. - 1982.
Bandyopadhyay B., Manjunath T. e Umapathy M. Modeling, Control and Implementation of
Smart Structures, A FEM-State Space Approach [Livro]. - [s.l.] : Springer, 2007.
Banks H. Control and Estimation in Distributed Parameter Systems [Livro]. - 1992.
Baweja M. The Finite Element Method Simulation of Active Optimal Vibration Attenuation in
Structures [Relatório]. - 2004.
Baz A., Poh S. e Fedor J. Independent Modal Space Control with Positive Psoition Feedback
[Artigo] // Transactions of the ASME. - 1992. - Vol. 114.
Beards C. Engineering Vibration Analysis with Application to Control Systems [Livro]. - [s.l.] : Edward
Arnold, 1995.
Benjeddou A. Advances in Piezoelectric Finite Element Modeling of Adaptive Structural Elements: a
Survey [Artigo] // Computers $ Structures. - 2000.
Benosman M. [et al.] Flexible Links Manipulators: from Modelling to Control [Artigo] // Journal of
Intelligent and Robotic Systems. - 2002.
Benosman M. e Le Vey G. Control of flexible manipulators: A survey [Artigo] // Robotica. - 2004. Vol. 22.
Book W. Modeling, Design and Control of Flexible Manipulator Arms: A tutorial review
[Conferência] // Proceedings of th 29th Conference on Decision and Control. - 1990.
Book W. Structural Flexibility of Motion Systems in the Space Environment [Artigo] // IEEE
Transaction on Robotics and Automation. - 1993. - Vol. 9.
Caughey T. Dynamic Response of Structures Constructed from Smart Materials [Artigo] // Smart
Materials and Structures. - 1995.
Choi S., Cheong C. e Shin H. Sliding Mode control of vibration in a single-link flexible arm with
parameter variations [Artigo] // Journal of Sound and Vibration. - 1995.
Chopra I. Review of State of Art of Smart Structures and Integrated Systems [Artigo] // AIAA
Journal. - 2002.
Clark W. Active/Passive Vibration Control and Nonlinear Dynamics of Structures [Livro]. - 1997.
Crawley E. e Luis J. Use of Piezoelectric Actuators as Elements of Intelligent Structures [Artigo] //
AIAA Journal. - 1987.
DeGiulio A. A Comprehensive Experimental Evaluation of Actively Controlled Piezoceramics with
Positive Position Feedback for Structural Damping [Relatório]. - 2000.
Dosch J., Inman D. e Garcia E. A self-sensing piezoelectric actuator for collocated control
[Artigo] // Journal of Intelligent Materials, Systems and Structures. - 1992. - 166-185 : Vol. 3.
Dwivedy, S. e Eberhard P. Dynamic Analysis of Flexible Manipulators, a Literature Review
[Artigo] // Mechanism and Machine Theory. - 2006.
Esmaeilsabzali H., Poshtan J. Reza, M. e Nezamabadi R. An Overview on Smart Structures and
Materials [Conferência] // Proceedings of the International Conference on Intelligent Systems. - 2005.
Fagan G. An Experimental Evaluation into Active Damage Control Systems Using Positive Position
Feedback for AVC [Relatório]. - 1993.
Fanson J. e Caughey T. Positive Position Feedback control for large space structures [Artigo] //
AIAA Journal. - 1990.
T. Carreno
Página 99
Notas para trabalhos futuros
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Feliu V., Rattan K. e Brown Jr. H. Adaptive Control of a Single-Link Flexible Manipulator [Artigo] //
IEEE Control Systems Magazine. - 1990.
Fernandez J., Ruffieux Y. e Perriard Y. Design Optimization Analysis of a Standing Wave
Ultrasonic Linear Actuator [Artigo] // IEEE Ultrasonics Symposium. - 2005.
Friswell M. e Inman D. The relationship between positive position feedback and output feedback
controllers [Artigo] // Smart Materials and Strutures. - UK : [s.n.], 1999.
Friswell M. Finite Element Model Updating in Structural Dynamics [Livro]. - [s.l.] : Springer, 1995.
Fuller C., Elliott S. e Nelson P. Active Control of Vibration [Livro]. - [s.l.] : Academic Press, 1996.
Gandhi M. e Thompson B. Smart Materials and Structures [Livro]. - 1992.
Gawronski W. Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures [Livro]. - [s.l.] :
Springer, 2004.
Goh C. e Caughey T. On the stability problem caused by finite actuator dynamics in the control of
large space structures [Artigo] // International Journal of Control. - 1985.
Halim D. Vibration Analysis and Control of Smart Structures [Relatório]. - 2002.
Hastings G. Controlling Flexible Manipulators, an Experimental Investigation [Relatório]. - 1986.
Hegewald T. Vibration Suppression Using Smart Materials in the Presence of Temperature Changes
[Relatório]. - 2000.
Holterman J. e de Vries T. Active Damping Based on Decoupled Collocated Control [Artigo] //
IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. - 2005. - Vol. 10.
Inman D. Active Modal Control for Smart Structures [Artigo] // Philosophical Transactions:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - [s.l.] : The Royal Society, 2001. - The Royal
Society. - Vols. 359 N. 1778 pp.205 - 219.
Inman D. Vibration with Control [Livro]. - [s.l.] : Wiley, 2006.
Inman D. Vibration: with Control, Measurement and Stability [Livro]. - [s.l.] : Prentice-Hall, 1989.
Junkins J. e Kim Y. Introduction to Dynamics and Control of Flexible Structures [Livro]. - [s.l.] :
American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1993.
Kar I., Seto K. e Doi F. Multimode Vibration Control of a Flexible Structure Using H-infinity-Based
Robust Control [Artigo] // IEEE/ASME Transactions on Mechatronics. - 2000.
Kaw A. Mechanics of Composite Materials [Livro]. - [s.l.] : CRC Press, 2006.
Leo D. e Inman D. Optimal Collocated Control of a Smart Antenna [Artigo] // Proceedings of the
33rd Conference on Decision and Control. - 1994.
MacMartin D. Collocated Structural Control: Motivation and Methodology [Artigo] // IEEE. - 1995.
Martins J. Modelling Identification and Control of Flexible Structures [Relatório]. - 2007.
McEver M. Optimal Vibration Suppression Using On-line Pole/Zero Identification [Relatório]. - 1999.
Meirovitch L. Analytical Methods in Vibrations [Livro]. - [s.l.] : Macmillan, 1967. - Collier - Macmillan.
Meirovitch L. Computational Methods in Structural Dynamics [Livro]. - [s.l.] : Sijthoff & Noordhoff,
1980.
Meirovitch L. Dynamics and Control of Stucstures [Livro]. - 1990.
Meirovitch L. e Baruh H. On the Problem of Observation Spillover in Self-Adjoint Distributed
Parameter Systems [Artigo] // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1983. - Vol. 29.
Moberg S. On Modeling and Control of Flexible Manipulators [Relatório]. - 2007.
Mohamed Z. e Tokhi M. Command shaping techniques for vibration control of a flexible robot
manipulator [Artigo] // Mechatronics. - 2003.
Montgomery D. Design and Analysis of Experiments [Livro]. - [s.l.] : Wiley, 1997.
Moodgal V., Passino K. e Yurkovich S. Rule-Based Control for a Flexible-Link Robot [Artigo] //
IEEE Transactions on control systems technology. - 1994.
Piedbouef J. [et al.] Modelling and Control of Flexible Manipulators - Revisited [Artigo] // IEEE. 1993.
Piefort V. Finite Element Modeling of Piezoelectric Active Structures [Relatório]. - 2001.
Página 100
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Notas para trabalhos futuros
Pinheiro L. e Neves M. SOBRE A ANÁLISE DE SENSIBILIDADES EM INSTABILIDADE ELÁSTICA
LINEARIZADA: ELEMENTO FINITO BEAM3 DO ANSYS [Artigo] // MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM
ENGENHARIA. - [s.l.] : MÉTODOS COMPUTACIONAIS EM ENGENHARIA , 2004. - APMTAC.
Preumont A. Vibration Control of Active Structures - An Introduction [Livro]. - [s.l.] : Kluwer
Academic Publishers, 1997.
Rao S. The Finite Element Method in Engineering - 4th edition [Livro]. - [s.l.] : Butterworth Heinemann, 2004.
Rudnyi E. Korvink G. Model Order Reduction for Large Scale Engineering Models Developed in
ANSYS [Secção do Livro]. - [s.l.] : Springer Berlin/Heidelberg, 2006.
Shan J., Liu H. e Sun D. Slewing and Vibration Control of a Single-link Flexible Manipulator by
Positive Position Feedback [Artigo] // Mechatronics. - 2005.
Singer N. e Seering W. Preshaping Command Inputs to Reduce System Vibration [Artigo] // ASME
Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. - 1988.
Sodano H., Park G. e Inman D. An investigation into the performance of macro-fiber composites
for sensing and structural vibration applications [Artigo] // Mechanical Systems and Signal
Processing. - 2003.
Steitz
D.
e
Rink
C.
[Online]. http://www.nasa.gov/home/hqnews/2007/dec/
HQ_07287_Invention_of_the_Year.html.
Stemple T. Dynamics and Control of Flexible Multibody Structures [Relatório]. - 1998.
Swift [et al.] Dynamical Systems and Control [Livro]. - 2004.
Tang J. e Wang K. Vibration Confinement via Optimal Eigenvector Assignment and Piezoelectric
Networks [Artigo] // ASME Journal of Vibrations and Acoustics. - 2004.
Theodore R. e Ghosal A. Comparison of the Assumed Modes and Finite Element Methods for
Flexible Multilink Manipulators [Artigo] // The International Journal of Robotics Research. - 1995.
Tokhi M. e Veres S. Active Sound and Vibration Control: Theory and Applications [Livro]. - 2002.
Vakil M. Dynamics and Control of Flexible Manipulators [Relatório]. - 2008.
Vasques C. e Rodrigues J. Active Vibration Control of Smart Piezoelectric Beams: Comparison of
Classical and Optimal Feedback Control Strategies [Artigo] // Computers & Structures. - 2006.
Wang F. e Gao Y. Advanced Studies of Flexible Robotic Manipulators: Modeling, Desing, Control and
Applications [Livro]. - 2003.
Williams R. e D. Inman An overview of composite actuators with piezoceramic fibers [Online] //
Smart Material corp.. - http://www.smart-material.com.
Yang J., Lian F. e Fu L. Nonlinear Adaptive Control of Flexible-Link Manipulator [Artigo] // IEEE
Transactions on robotics and automation. - 1997.
Yang S. e Huang W. Is a Collocated Piezoelectric Sensor/Actuator Pir Feasible for an Intelligent
Beam? [Artigo] // Journal of Sound and Vibration. - 1998.
Yegildirek A., Vandegrift M. e Lewis F. A Neural Network Controller for Flexible-Link Robots
[Artigo] // International Simposium on Intelligent Control. - 1994.
T. Carreno
Página 101
Geometria
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
ANEXO A
INSTALAÇÃO EXPERIMENTAL
Geometria
O elo consiste num um tubo em policarbonato encastrado numa base em alumínio e uma placa em
aço encastrada na extremidade livre. A placa tem como função deslocar o centro de massa do
conjunto em relação ao eixo de revolução do tubo. Na Figura A.1. está descrita a geometria do elo,
bem como o encastramento na base de alumínio e a interface entre o elo e a placa.
Figura A.1. Geometria do elo
Materiais
As propriedades dos materiais do sistema experimental são as mostradas na Tabela A.1 (valores do
fabricante/revendedor)
Policarbonato
Piezoeléctricos
Aço
Massa volúmica (kg/m3)
Módulo de Young (Gpa)
Coeficiente de Poisson
Massa volúmica(kg/m3)
Módulo de Young longitudinal (Gpa)
Módulo de Young transversal (Gpa)
Coeficiente de Poisson maior
Coeficiente de Poisson menor
D11 (m/v)
D12 (m/v)
E11
E12
Massa volúmica
Módulo de Young
Coeficiente de Poisson
1200
2,40
0,30
4060
30,340
15,860
0,31
0,16
400
-170
11,901
-0,794
7860
200
0.30
Tabela A.1. Propriedades dos materiais da instalação experimental
Página 102
T. Carreno
Sensores e actuadores
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Sensores e actuadores
O elo possui 3 actuadores e 2 sensores piezoeléctricos, cuja localização se pode ver na Figura A.2. e
na Figura A.3.
Figura A.2. Fotografias do elo real
Figura A.3. Desenho técnico dos sensores no elo.
As características dos actuadores e sensores estão dispostas na Tabela A.2.
Actuador 1
Actuador 2 e 3
Sensores 4 e 5
Tabela A.2. Características dos sensores e actuadores
T. Carreno
Página 103
Sensores e actuadores
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
O sinal dos sensores está sujeito a um condicionamento como o da Figura A.4.
ADCIN
Gerador
de carga
CPZTs=1.55nF
Ri=1M
Sensor PZT
Figura A.4. Condicionamento de sinal dos sensores
Deste modo, o sensor e a resistência de descarga constituem um filtro passa-alto. A compensação
deste efeito é feita em software através de:
(A.1.)
O sinal aplicado aos actuadores está também sujeito a um condicionamento como o da Figura A.5.
Ro=470
ADCOUT
CPZTs=660 nF
CPZTa
Gerador
de carga
Actuador PZT
Figura A.5. Condicionamento de sinal dos actuadores
Esta configuração geométrica dos actuadores permite que seja aplicada flexão pura em y através do
actuador 1, torção pura em x através dos actuadores 2 e 3 em fase e flexão/torção através da
actuação do actuador 2 ou 3 isoladamente (ver Figura i).
Página 104
T. Carreno
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Configuração de Hardware
Configuração de Hardware
O hardware da instalação experimental consiste num sistema host-target. O host é um PC com
Windows NT como sistema operativo que corre o Matlab/Simulink. Está ligado em Ethernet ao target
é um bus VME com uma placa processadora MVME177, com o sistema operativo de tempo real
VxWorks e uma placa de aquisição com entradas e saídas analógicas de 16bit. O Matlab/Simulink
controla a instalação em tempo real através do ambiente Tornado.
Figura A. 6. Configuração de Hardware da instalação experimental
T. Carreno
Página 105
Resposta em frequência
ANEXO B
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
DADOS EXPERIMENTAIS
Resposta em frequência
A montagem experimental foi sujeita a uma análise impulsional. Cada um dos actuadores, à vez, foi
actuado com um impulso de 1500V e 3ms de duração e a resposta do elo foi medida com os
sensores. Posteriormente aplicou-se-lhe a transformada de Fourier, obtendo assim os espectros de
frequência para os vários casos de actuação/medida.
Gráficos A. 1. Respostas em frequência experimentais
Página 106
T. Carreno
Frequências naturais e modos de vibração
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
Frequências naturais e modos de vibração
Após a obtenção das respostas em frequência, obtiveram-se as frequências naturais do sistema
(máximos das respostas em frequência) apresentadas na Tabela A.3. As figuras da mesma tabela
ilustram os modos naturais de vibração do sistema e foram obtidas com o software ANSYS, através do
modelo A.
Tabela A.3. Frequências e modos naturais de vibração experimentais.
Modo
Forma
1º
Frequência(Hz)
4,333
1º Flexão em x
2º
4,333
1º Flexão em y
3º
24,000
Torção em z
T. Carreno
Página 107
Frequências naturais e modos de vibração
4º
ESTIMAÇÃO E CONTROLO DE UM ELO FLEXÍVEL
27,667
2º Flexão em x
5º
47,333
2º Flexão em y
6º
62,000
3º Flexão em x
Página 108
T. Carreno