OUTRAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1. (Pucpr 2004) Três números ‘, ’ e š estão em progressão aritmética.
Então, o valor de:
(sen‘ + sen’ + senš)/(cos‘ + cos’ + cosš) é:
a) tg (‘+’+š)
b) tg ’
c) cotg (‘+’)
d) tg ‘
e) tg (š - ‘)
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2. (Unesp 96) Considere as matrizes reais 2x2 do tipo
a) Calcule o produto A(x).A(x).
b) Determine todos os valores de xÆ[0,2™] para os quais A(x).A(x)=A(x).
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3. (Ufrrj 2005) Milena, diante da configuração representada abaixo, pede ajuda aos
vestibulandos para calcular o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa
que o
sen ‘ = 0,6.
Calcule o comprimento da sombra x.
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4. (Ufc 99) Considere a igualdade tgx=cotgx+[P.(2-sec£x)/2tgx]. Assinale a opção que
apresenta o valor de P, para o qual a igualdade acima seja válida para todo xÆR, x·k™/2, k
inteiro.
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) -1.
e) -2.
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5. (Ufsm 2003) Se o gráfico da função f(x) = a + b (cos(2x) + sen(2x)) é dado por
então 5a£ + 3b£ vale
a) 47
b) 51
c) 57
d) 72
e) 92
6. (Unesp 91) Sejam a e b ângulos tais que a=2b. Se vale a relação
(cos a + cos b)£ + (sen a + sen b)£ = 3
determinar a e b.
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7. (Fei 94) Transformando a expressão: sen(a)+sen(b)/cos(a)+cos(b) onde existir, temos:
a) sen (a + b)
b) b) 1/cos(a + b)
c) cotg[(a + b)/2]
d) tg[(a + b)/2]
e) 1/sen(a + b)
8. (Unaerp 96) Sendo sen x = 1/2; x ÆIQ, o valor da expressão cos£x.sec£x+2senx é:
a) zero
b) 1
c) 3/2
d) 2
e) 3
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9. (Unb 97) Julguem os itens que se seguem.
(1) Se um ângulo mede 1,5 rad, então ele é menor que um ângulo reto.
(2) A partir do valor de senš, encontra-se um único valor de š, tal que 0 ´ š < 360°.
(3) Se tgš é racional, então senš e cosš são ambos racionais.
(4) Para todo número real š fixado, o polinômio p(x)=x£-xsen£šcos£š possui duas raízes reais
pertencentes ao intervalo [0, 1].
10. (Uel 97) O triângulo ABC é retângulo em A. Se cos ï = 0,6, então cotg ð é igual a
a) 5/3
b) 4/3
c) 3/4
d) 3/5
e) 1/2
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11. (Uel 98) Seja x um número real pertencente ao intervalo [0,™/2]. Se secx=3/2, então tgx é
igual a
a) Ë2/3
b) 2/3
c) 1/2
d) Ë5/2
e) Ë3/2
12. (Ita 2002) Se x, y e z são ângulos internos de um triângulo ABC e
senx=(seny+senz)/(cosy+cosz), prove que o triângulo ABC é retângulo.
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13. (Ufscar 2000) O conjunto das soluções em r e š do sistema de equações
ýr . senš = Ë3
ÿr . cosš = 1
para r > 0 e 0 ´ š < 2™ é:
a) {2, ™/6}
b) {1, ™/3}
c) {2, 1}
d) {1, 0}
e) { 2, ™/3}
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14. (Ufrrj 2000) Os arcos da forma 72°n+10°, onde n Æ Z definem sobre uma circunferência os
vértices de
a) um triângulo equilátero.
b) um hexágono irregular.
c) um pentágono regular.
d) um triângulo isósceles.
e) um hexágono regular.
15. (Fatec 2000) Se x é um arco do 3Ž quadrante e cosx= -4/5, então cossecx é igual a
a) -5/3
b) -3/5
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/3
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16. (Ufc 2002) Sejam x = rsen•cosš, y = rsen•senš e z = rcos•, onde 0´•´™ e 0´š´2™.
Então x£ + y£ + z£ é igual a:
a) r£
b) r£senš
c) r£cos•
d) r£sen•
e) r£cosš
17. (Ufjf 2003) O valor de y = sen£ 10° + sen£ 20° + sen£ 30° + sen£ 40° + sen£ 50° + sen£ 60° +
sen£ 70° + sen£ 80° + sen£ 90° é:
a) -1.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) 5.
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18. (Ufsm 2003) Sendo a · k™, k Æ Z, e P(x, y) um ponto do plano tal que
cos a = (4x - 16)/5 e cossec a = 5/(4y - 8),
pode-se afirmar que P(x, y) é um ponto da circunferência de raio ____ que está centrada no
ponto_____ .
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.
a) 5; (4, 2)
b) 5; (16, 8)
c) 5/4; (4/5, 2/5)
d) 5/4; (4, 2)
e) 1; (cos a, sen a)
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19. (Unesp 2003) Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a
uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo ‘, conforme a figura:
a) Admitindo-se que sen(‘) = 3/5, calcule a distância x.
b) Assumindo-se que o barco se aproximou do farol e que uma nova observação foi realizada,
na qual o ângulo ‘ passou exatamente para 2‘, calcule a nova distância x' a que o barco se
encontrará da base do farol.
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20. (Ufrs 2004) Dentre os gráficos abaixo, o que pode representar a função y = (cos x)£ + (sen
x)£ é
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21. (Ufv 2004) Duas placas metálicas, medindo 4 cm de largura e 6 cm de comprimento, estão
sobrepostas e fixadas no ponto médio M. Com um giro de 45° em uma das placas, obtém-se
uma região poligonal comum às duas placas, conforme ilustra a figura a seguir.
A área dessa região poligonal, em cm£, é:
a) 1 + 4Ë2
b) 4 + 4Ë2
c) 5 + 4Ë2
d) 2 + 4Ë2
e) 3 + 4Ë2
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22. (Fgv 2005) a) Num triângulo isósceles ABC, em que AB = AC, o ângulo  mede o dobro da
soma dos outros dois. O lado æè mede 10cm. Obtenha o perímetro desse triângulo.
b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em função de k, o valor da expressão sen¤x +
cos¤ x .
23. (Ufg 2006) Certas combinações entre as funções eÑ e e Ñ. (onde "e" é o número de Euler, x
Æ |R) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física. O seno hiperbólico e
o cosseno hiperbólico são definidos por
senh(x) = (eÑ - e Ñ)/2 e cosh(x) = (eÑ + e Ñ)/2
Então, cosh£(x) - senh£(x) é igual a:
a) 0
b) 1/4
c) - 1/4
d) 1
e) - 1
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24. (Fatec 2006) Se f é uma função real definida por f(x) = (2tgx)/(1 + tg£x) então f(x) é igual a
a) cosec 2x
b) sec 2x
c) tg 2x
d) cos 2x
e) sen 2x
25. (Ufla 2006) Sabendo que sen (a/2) = •Ë[(1 - cos a)/2) e
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a), calcule o seno de 37,5°.
26. (Fuvest 96) Os números reais sen (™/12), sen a, sen (5™/12) formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética. Então o valor de sen a é:
a) 1/4
b) (Ë3)/6
c) (Ë2)/4
d) (Ë6)/4
e) (Ë3)/2
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27. (Fuvest 95) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°.
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
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28. (Ita 2000) Para x no intervalo [0, ™/2], o conjunto de todas as soluções da inequação
sen (2x) - sen [3x + (™/2)] > 0
é o intervalo definido por
a) ™/10 < x < ™/2.
b) ™/12 < x < ™/4.
c) ™/6 < x < ™/3.
d) ™/4 < x < ™/2.
e) ™/4 < x < ™/3.
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29. (Ita 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média
geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do
triângulo é igual a
a) 4/5.
b) (2 + Ë3)/5.
c) (1/2) Ë(2 + Ë3).
d) (1/4) Ë(4 + Ë3).
e) (1/3) Ë(2 + Ë3).
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30. (Unirio 2000) O valor de
é:
a) 4 (cos a + sen a)
b) 4
c) 2 (cos£ a - sen a)
d) 2
e) 0
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GABARITO
1. [B]
2. Observe a figura a seguir:
3. x ¸ 13,33 metros
4. [E]
5. [C]
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6. a = 2™/3 + 4n™ e b = ™/3 + 2n™ ou
a = - 2™/3 + 4n™ e b = - ™/3 + 2n™, n Æ Z
7. [D]
8. [D]
9. V F F V
10. [B]
11. [D]
12. .
2.{sen[(y+z)/2].cos[(y-z)/2]}
sen x = ____________________________
2.{cos[(y+z)/2].cos[(y-z)/2]}
sen x = tg [(y+z)/2]
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Como (y+z)/2 = 90 - x/2
sen x = tg (90 - x/2)
sen x = cotg (x/2)
2 . sen (x/2) . cos (x/2) = cos (x/2)/sen (x/2)
sen (x/2) = • Ë2/2
x = 90°
13. [E]
14. [C]
15. [A]
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16. [A]
17. [E]
18. [D]
19. a) x = 48m
b) x' = 10,5m.
20. [C]
21. [B]
22. a) {10 + [20(Ë3)/3]} cm
b) (3k - k¤)/2
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23. [D]
24. [E]
25. {Ë [ 8 + 2(Ë2) - 2Ë6 ] }/4
26. [D]
27. [B]
28. [A]
29. [C]
30. [D]
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