EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2015-2
Segundo Semestre de 2015 - 04 de maio de 2015
VERIFIQUE SE O SEU CADERNO CONTÉM 6 PROBLEMAS.
OS 6 PROBLEMAS SÃO OBRIGATÓRIOS.
A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
DADOS PARA A PROVA:
Z
∞
0
Z
dx
x3
π4
dx x
=
e −1
15
√
x2
x
√
+
log[x
+
x2 + a] + C
=
−
(x2 + a)3/2
x2 + a
Problema 1: Um gás ideal é especificado por três quantidades termodinâmicas as quais podem por
exemplo ser o número de partı́culas N , seu volume V e sua temperatura T . Por sua vez, em um gás
de fótons necessita-se apenas de duas variáveis termodinâmicas já que o número de fótons é função do
volume e da temperatura do gás. Com efeito, em um gás de fótons o número de partı́culas contidas em
um volume V mantido a temperatura T é N = r V T 3 onde r = 2, 03 × 107 m−3 K −3 . Considerando que
este gás de fótons apresenta uma distribuição espectral igual a de um corpo negro, sua densidade de
energia por unidade de frequência segue a distribuição de Planck, ou seja,
ρ(ν) =
8πh
ν3
c3 ehν/(kB T ) − 1
,
onde ν é a frequência, T a temperatura e as constantes h, c e kB são respectivamente a constante de
Planck, a velocidade da luz e a constante de Boltzmann.
a) Prove a lei de Stefan-Boltzmann dada por
4
ε = σ T4
c
na qual a densidade de energia ε, em um corpo negro, é proporcional à temperatura à quarta potência.
Dados:
σ≡
4
2π 5 kB
= 5, 67 × 10−8 J. s−1 . m−2 . K −4
15c2 h3
1
b) Para um gás de fótons, a energia livre de Helmholtz, F ≡ U − T S, é dada por F = − 4σ
V T 4 . Mostre
3c
que a entropia do gás é
16
S = σ V T3
3c
c) Sabendo que um gás de fótons satisfaz uma equação similar a lei de gás ideal, ou seja,
PV
4σ
=
NT
3rc
calcule a variação de sua energia interna quando o gás sofre uma expansão isotérmica reversı́vel, a
temperatura To , de um volume Vi até um volume Vf .
Problema 2: Considere o experimento da fenda dupla de Young, conforme esquematizado na Figura
1. O sistema produz franjas de interferência a partir de uma fonte de luz pontual monocromática S0 ,
a qual emite com comprimento de onda λ. A fonte S0 ilumina duas fendas estreitas S1 e S2 separadas
por uma distância d. A tela de observação está em uma distância L do anteparo que contém as duas
fendas, com L d.
S1
S0
d
S2
L
Figura 1: Problema 2.
a) Tomando a separação entre os dois primeiros mı́nimos de interferência como sendo z (distância entre
as franjas escuras centrais), determine a distância d entre as fendas. Expresse sua resposta em termos
de L, λ e z.
b) Uma das fendas é coberta com uma placa fina transparente de faces paralelas e ı́ndice de refração n.
Considere que isso produz um deslocamento de m franjas na figura de interferência (a franja central
clara se desloca para a posição que era ocupada pela franja clara de ordem m na ausência da placa).
Determine a espessura x da placa em termos de m, λ e n.
Sugestão: Considere que a luz incide perpendicularmente sobre o anteparo em que estão as fendas e
investigue a diferença de fase entre as ondas causada pela presença da placa (quando elas chegam às
fendas S1 e S2 ).
Problema 3: Um corpo de massa m1 = M desliza com velocidade v = v0 î sobre um plano horizontal
sem atrito na direção x. Este corpo colide elástica e instantaneamente com outro corpo, inicialmente
em repouso, formado por duas massas m2 = m3 = M ligadas por uma mola ideal de coeficiente k, como
na Figura 2. No instante da colisão a mola está em sua posição de repouso.
2
Figura 2: Problema 3.
a) Calcule as velocidades da massa m1 e do centro de massa do corpo formado por m2 e m3 logo após
a colisão.
b) Calcule a energia potencial elástica máxima que o sistema apresenta.
c) Calcule a razão entre as energias cinética média e a energia potencial média do sistema após a colisão.
Problema 4:
dada por
Considere um bastão retilı́neo, fino, de comprimento 2L, com densidade linear de carga
λ1 = Cz, (−L1 ≤ z ≤ L1 ),
em que C é uma constante, conforme mostra a Figura 3.
Figura 3: Problema 4.
a) Determine o campo elétrico E(s) devido a tal bastão, em um ponto a uma distância s do bastão, no
seu plano médio perpendicular de simetria (z = 0).
b) Suponha agora que trazemos um segundo bastão do infinito, onde ele estava em repouso, até a posição
mostrada na Figura 4, onde novamente o deixamos em repouso. Sabe-se que esse segundo bastão é
retilı́neo, fino, de comprimento L2 e densidade linear de carga uniforme λ2 . Qual o trabalho feito
pela força elétrica nesse processo? Justifique a sua resposta.
c) Com uma carga de prova, um pesquisador mede a amplitude do campo elétrico criado por uma barra
semelhante à do item (a), novamente no plano médio perpendicular de simetria. Cada medida é feita
a uma distância diferente do centro da barra. Os resultados estão apresentados na Figura 5. As retas
são somente guias para os olhos. Analisando este gráfico justifique, apenas em palavras, o que se
pode inferir sobre a carga elétrica total e a distribuição de carga desta barra. Utilize de 5 a 10 linhas
para tal.
3
|E(s)| (unid. arbitrárias)
Figura 4: Problema 4.
104
100
1
0.01
0.01 0.10
1
10
100
distância s (unid. arbitrárias)
Figura 5: Problema 4.
Problema 5: Considere o Hamiltoniano de uma partı́cula carregada q de massa m em um campo
eletromagnético
2
1 ~ + qφ,
p~ − q A
2m
~ r) o potencial vetor e φ(~r) o potencial escalar.
onde p~ é o momento canônico conjugado, A(~
H=
Sabendo que a evolução temporal do valor esperado de um operador arbitrário Q é dada por:
d
i
∂Q
hQi = h[H, Q]i +
dt
~
∂t
a) Mostre que:
dh~ri
1
~
= h(~p − q A)i
dt
m
b) Identificamos dh~ri/dt com o valor esperado da velocidade da partı́cula h~v i. Mostre que as compo~ = m~v obedecem a seguinte relação de comutação:
nentes do operador momento cinético Π
4
~ j, Π
~ k ] = i~qεjkl Bl ,
[Π
onde εjkl é o tensor completamente antissimétrico de Levi-Civita e Bl a l-ésima componente do campo
magnético.
c) Obtenha o seguinte resultado:
m
dh~v i
~ + q h(~v × B
~ −B
~ × ~v )i
= qhEi
dt
2
~ e B
~ são uniformes, o valor esperado da
d) Demonstre que no caso particular em que os campos E
velocidade se move de acordo com a lei de força de Lorentz, i.e.,
m
Problema 6:
unidimensional
dh~v i
~ + h~v i × B
~
=q E
dt
Considere um feixe monoenergético de partı́culas de massa m sujeito ao potencial
0,
x<0
V (x) =
(1)
−V0 , x > 0,
com V0 > 0. Considere que a intensidade do feixe de partı́culas que incide sobre este degrau de potencial
seja constante e que ele é emitido em uma posição x → −∞ com energia mecânica E. Nestas condições,
levando em consideração que se trata de um sistema microscópico onde valem as leis da Mecânica
Quântica:
a) Calcule o percentual médio de partı́culas transmitidas t (i.e., detectadas em x → ∞) como função
de V0 e de E.
b) Diga o que ocorre com a transmissividade no limite V0 → ∞ (ou, equivalentemente, E V0 ).
Justifique sua resposta. Compare o resultado quântico com o que deveria acontecer se as partı́culas
do feixe fossem regidas pela Mecânica Clássica.
5
EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
EDITAL 2015-2
Second Semester 2015 - May 4th , 2015
CHECK IF YOU HAVE ALL 6 PROBLEMS.
YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM.
USEFUL DATA:
Z
∞
dx
0
Z
dx
π4
x3
=
ex − 1
15
√
x2
x
√
+
log[x
+
x2 + a] + C
=
−
2
(x2 + a)3/2
x +a
Problem 1: An ideal gas can be specified by three thermodynamic quantities which can be, for
example, the particle number N , its volume V and its temperature T . On the other hand, a photon gas
requires only two thermodynamic variables, as the number of photons is a function of the volume and
the temperature of the gas. Indeed, the number of particles in a photon gas contained in a volume V at
a temperature T is given by N = r V T 3 , where r = 2, 03 × 107 m−3 K −3 . Let the spectral distribution
of the photon gas be given by a black-body spectrum, such that its energy density per frequency follows
Planck’s distribution, i. e.
ν3
8πh
,
ρ(ν) = 3 hν/(k T )
B
c e
−1
where ν is the frequency, T the temperature and the constants h, c and kB are respectively Planck’s
constant, the speed of light and Boltzmann’s constant.
a) Prove the Stefan-Boltzmann law, given by
4
ε = σ T4
c
in which the black-body energy density ε is shown to be proportional to the fourth power of the
temperature.
Definition:
2π 5
σ≡
= 5, 67 × 10−8 J. s−1 . m−2 . K −4
2
3
15c h
b) For a photon gas, the Helmholtz free energy, F ≡ U − T S, is given by F = − 4σ
V T 4 . Show that the
3c
gas entropy is given by
16
S = σ V T3
3c
1
c) Knowing that a photon gas satisfies an equation similar to the ideal gas law, namely,
4σ
PV
=
NT
3rc
evaluate the internal energy variation when the gas is submitted to a reversible isothermal expansion,
at temperature To , from a volume Vi until it reaches a volume Vf .
Problem 2: Consider Young’s double-slit experiment, as sketched in the figure below. The system
produces interference fringes from a source of monochromatic point light S0 , which emits at a wavelength
λ. The source S0 illuminates two narrow slits S1 and S2 separated by a distance d. The observation
screen is at distance L of the wall containing the two slits, with L d .
a) Taking the separation between the first two minima of interference as z (distance between the central
dark fringes), determine the distance d between the slits. Express your result in terms of L , λ, and
z.
b) One of the slits is covered with a thin transparent plate of parallel faces and refractive index n.
Consider that this yields a shift of m fringes in the interference figure (the bright central fringe
moves to the position that was occupied by the bright fringe of order m in the absence of the plate).
Determine the thickness of the plate x in terms of m , λ, and n.
Hint: Assume that light is perpendicularly incident on the wall containing the slits and investigate
the phase difference between the waves caused by the presence of the plate (as they reach at the slits
S1 and S2 ).
S1
S0
d
S2
L
Figure 1: Problem 2.
Problem 3: A body of mass m1 = M slides over a frictionless horizontal plane with velocity v = v0 î on
the x-direction until instantaneously colliding elastically with another body, initially at rest, constituted
by two identical objects with masses m2 = m3 = M , and linked by an ideal spring with coefficient k, as
shown in the figure. At the collision instant the spring is at its resting position.
a) Calculate the velocity of m1 and the center of mass velocity of the body m2 + m3 right after the
collision.
b) Calculate the maximal elastic potential energy the system presents after the collision.
2
Figure 2: Problem 3.
c) Calculate the ratio between the mean kinetic energy and the mean potential energy of the system
after the collision.
Problem 4:
Consider a straight thin and long bar of length 2L, with linear charge density given by
λ1 = Cz (−L1 ≤ z ≤ L1 ),
as shown in figure 3.
a) Determine the electric field E(s) at a distance s from the bar on a plane perpendicular to it containing
its center (z = 0).
b) Suppose now that we bring a second bar from infinity, where it was at rest, to the position shown in
Figure 4, where again the bar is at rest. This second bar is also straight and thin, but with uniform
charge density λ2 and length L2 . What is the work done by the electric force in this process? Justify
your answer.
c) With a test charge, a researcher measures the amplitude of the electric field created by a bar similar
to the one in item (a), again at its symmetry plane. Each measurement is made at a different distance
from the center of the bar. The results are shown in figure 5. The two lines are only to guide the
eye. Looking at the plot justify, only in words, what can be inferred about the total electric charge
and the distribution of the charge on this bar. Use from 5 to 10 lines for this purpose.
Figure 3: Problem 4.
Problem 5: Consider the Hamiltonian of a charged particle of mass m and charge q under the influence
of an electromagnetic field,
3
|E(s)| (unid. arbitrárias)
Figure 4: Problem 4.
104
100
1
0.01
0.01 0.10
1
10
100
distância s (unid. arbitrárias)
Figure 5: Problem 4.
2
1 ~
p~ − q A(~r) + qφ(~r),
H=
2m
~ r) is the vector potential and φ(~r) is the scalar
where p~ is the canonically conjugate momentum, A(~
potential.
The time evolution of the mean value of an arbitrary operator Q is given by:
i
∂Q
d
hQi = h[H, Q]i +
dt
~
∂t
(a) Show that:
dh~ri
1
~
= h(~p − q A)i
dt
m
(b) We identify dh~ri/dt as the mean value for the particle velocity h~v i. Show that the components of
~ = m~v obey the following commutation rule:
the kinetic momentum operator Π
[Πj , Πk ] = i~qεjkl Bl (~r),
where εjkl is the Levi-Civita symbol and Bl the l
4
th
component of the magnetic field.
(c) Derive the following result:
m
dh~v i
~ + q h(~p × B
~ −B
~ × p~)i.
= qhEi
dt
2m
~ eB
~ are uniform, the velocity mean value moves
(d) Show that in the particular case where the fields E
accordingly to a Lorentz force law, i.e.,
dh~v i
~
~
= q E + h~v i × B .
m
dt
Problem 6:
potential
Consider a monoenergetic beam of particles of mass m subject to the unidimensional
V (x) =
0,
x<0
−V0 , x > 0,
(2)
with V0 > 0. Consider that the beam intensity is constant and that particles are emitted from x → −∞
with mechanical energy E. Under these conditions and taking into account the laws of Quantum
Mechanics,
(a) Calculate the average fraction t of transmitted particles (i.e., detected at x → ∞) as a function of
V0 and E.
(b) Describe what happens to the particle transmissivity t in the limit V0 → ∞ (or, equivalently,
E V0 ). Justify your answer. Compare the quantum result with what should happen if the beam
particles were ruled by Classical Mechanics.
5