Formulário de Geometria Analítica
Prof. Júlio César Tomio
MATEMÁTICA BÁSICA
Produtos Notáveis:
(a + b) 2 = (−a − b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Equação do 2º grau:
(a − b) 2 = (−a + b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
ax 2 + bx + c = 0
com
x=
−b± ∆
2a
Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau:
∆ = b 2 − 4ac
sendo
x ′ + x ′′ = −
(a + b).(a − b) = a 2 − b 2
b
a
e
x ′ . x ′′ =
c
a
ESTUDO DO PONTO NO ℝ3
Distância entre dois pontos
A
e
B
no espaço:
d ( A, B ) =
( xB − x A ) 2 + ( yB − y A )2 + ( z B − z A ) 2
M ( x M , y M , z M ) de um segmento de reta AB :
x + xB
y A + yB
z A + zB
, yM =
e zM =
↳ Coordenadas: x M = A
2
2
2
Ponto médio
G ( xG , yG , z G ) de um triângulo qualquer:
x +x +x
y + y B + yC
↳ Coordenadas: x G = A B C , y G = A
3
3
Baricentro
e
z A + z B + zC
3
zG =
TRIÂNGULOS
# Ângulos Internos de um triângulo:
• Ângulo Reto: ângulo de 90º
• Ângulo Agudo: 0 < α < 90º
• Ângulo Obtuso: 90º < α < 180º
Observação: A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180º.
# Classificação dos Triângulos:
Quanto aos Ângulos:
• Acutângulo: Três ângulos agudos
• Retângulo: Um ângulo reto
Quanto aos lados:
• Eqüilátero: Três lados iguais (e três ângulos iguais de 60º)
• Isósceles: Dois lados iguais (e dois ângulos iguais ou congruentes)
• Escaleno: Três lados diferentes (e três ângulos diferentes)
• Obtusângulo: Um ângulo obtuso
Considerando “a” o maior lado de um triângulo e Â
o seu vértice oposto, temos que:
Se a2 = b2 + c2 ⇒ Triângulo retângulo (Â = 90º)
Se a2 < b2 + c2 ⇒ Triângulo acutângulo (Â < 90º)
Se a2 > b2 + c2 ⇒ Triângulo obtusângulo (Â > 90º)
# Segmentos Notáveis de um Triângulo:
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Bissetriz de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
Altura de um triângulo é um segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando com o lado oposto um ângulo reto (90º).
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento passando pelo seu ponto médio.
A Mediana, a bissetriz e a altura são conhecidas como “cevianas”, em homenagem a Tommaso Ceva, matemático italiano (1648–1736).
# Pontos Notáveis de um Triângulo:
Baricentro: é o ponto (G) de encontro das três medianas de um triângulo.
Incentro: é o ponto (I) de encontro das três bissetrizes de um triângulo.
Ortocentro: é o ponto (O) de encontro das três alturas de um triângulo.
Circuncentro: é o ponto (C) de encontro das três mediatrizes dos lados de um triângulo, e é o centro da circunferência circunscrita em um triângulo.
# Triângulo Retângulo – Informações Básicas:
Relações Trigonométricas:
β
cat
●
hip
α
cat
Ângulos complementares:
Teorema de Pitágoras:
sen θ =
cat op
hip
,
cos θ =
α + β = 90º
(hip ) 2 = (cat ) 2 + (cat ) 2
cat adj
hip
,
tg θ =
cat op
cat adj
Formulário de Geometria Analítica
Prof. Júlio César Tomio
ÁLGEBRA VETORIAL NO ℝ3
r
v = (x , y , z )
r
A e B : v = AB = B − A
r
r
r
r
Notação através da combinação linear da base canônica (vetor posição):
v = xi + yj + zk
r
r u
x1 y1 z1
Paralelismo:
=
=
= n com n ∈ ℝ
Versor de um vetor: vers u = r
u
x2 y 2 z 2
Notação analítica (vetor posição):
Módulo de um vetor:
Produto Escalar:
r
u =
Produto Vetorial:
x2 + y2 + z 2
r r
cos θ = ru ⋅ wr
u .w
r
r r
i
j k
r r
u × w = x1
y1
z1
x2
y2
z2
Aplicações do Produto Vetorial:
Produto Misto:
Vetor Unitário:
r r
u ⋅ w = x1 .x2 + y1 . y 2 + z1 .z 2
Ângulo entre dois vetores:
Notação utilizando dois pontos
r r
r
r
u ⋅ w = u . w . cos θ
ou
com
0 ≤ θ ≤ 180°
Módulo:
y1
z1
y2
y3
z2
z3
r r
u×w
Área Triângulo =
Obs.: Se
r r
u, v
r r r
(u , v , w)
e
r
w
2
são coplanares
r r r
⇒ (u , v , w) = 0
Volume do Tetraedro =
r
AP = t.v
ou
r
P = A + t.v
ou ainda
r
1 ⋅ (ur , vr , w
)
6
( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z 0 ) + t.(a, b, c)
A( x0 , y0 , z 0 ) ∈ r , “ v ” é o vetor diretor de r , “ t ” é o parâmetro e P
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
y
Coordenadas polares → P ( r , θ)
y
é um ponto genérico de
Coordenadas cartesianas → P(x , y )
r.
P
r
x = r. cos θ
Conversão de polar para retangular:
2
2
r = x + y
Conversão de retangular para polar:
y = r. sen θ
e
2
e
30º
1
2
45º
60º
2
2
sen
0
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
tg
0
3
3
1
3
θ
y
tg θ =
x
x≡p
x
0
Conversão graus ⇔ radianos: 180º →
VALORES TRIGONOMÉTRICOS
0º
r r
r r
u ⊥w ⇒ u ⋅w = 0
x
y
z
cos α = r , cos β = r e cos γ = r com cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
|v |
|v |
|v |
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA “ r ”:
Sendo que
0 ≤ θ ≤ 180°
com
Observação: Se
r r
u×w
Aplicações do Produto Misto: Volume do Paralelepípedo =
Ângulos e cosenos diretores:
x2 + y2 + z 2 = 1
r r
r
r
u × w = u . w .sen θ com 0 ≤ θ ≤ 180°
r r
r r r
Observação: Se u // w ⇒ u × w = 0
Área Paralelogramo =
x1
r r r
r r r
u ⋅ (v × w) = (u , v , w) = x2
x3
r
u =
90º
1
0
∄
120º
135º
3
2
1
−
2
2
2
− 3
−
2
2
−1
150º
1
2
π
rad
180º
270º
360º
0
−1
0
sen
−
3
2
−1
0
1
cos
−
3
3
0
∄
0
tg
Acadêmico(a):_______________________________________________________________ Turma: _________________
Versão B1