Anais do XVI Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XVI ENCITA / 2010
Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, 20 de outubro de 2010
TRAJETÓRIAS LUNARES E INTERPLANETÁRIAS
Guilherme Lourenço Mejia
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA
Rua H8C, 324, Campus do CTA, 12228-462, São José dos Campos/SP
Bolsista PIBIC-CNPq
[email protected]
Sandro da Silva Fernandes
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA
Praça Marechal Eduardo Gomes, 50, Vila das Acácias, 12228-900, São José dos Campos/SP
Bolsista PQ-CNPq
[email protected]
Resumo. O objetivo deste projeto é o estudo de trajetórias lunares e interplanetárias realizadas mediante a aplicação
de impulsos (mudanças instantâneas do vetor velocidade), utilizando a aproximação “patched-conic”, caracterizada
pelo uso do conceito de esfera de influência e de resultados analíticos do problema de dois-corpos. O trabalho abrange
os seguintes assuntos: problema de dois-corpos, elementos orbitais, equação para o tempo de vôo, Problema de Kepler
e Problema de Gauss. Tais tópicos são necessários para os seguintes temas serem abordados: transferência coplanar
entre uma orbita circular ao redor da Terra e uma orbita circular ao redor da Lua; trajetórias interplanetárias
utilizando manobra “patched-conic” em conjunto com a transferência de Hohmann; e a aplicação da resolução do
Problema de Gauss em variáveis universais nas transferências Terra-Planeta Alvo. Finalmente o estudo é aplicado
utilizando-se o software MATLAB para o desenvolvimento dos algoritmos necessários.
Palavras chave: Trajetórias lunares, transferências interplanetárias, e aproximação “patched-conic”
1. Introdução
Os problemas de otimização de trajetórias espaciais - transferências simples e “rendez-vous” - são fundamentais
em Mecânica Espacial e têm sido tema de diversos estudos analíticos e numéricos desde o início dos anos 50 quando
Lawden (1954, 1963) estabeleceu os fundamentos da moderna navegação espacial através do Cálculo de Variações
clássico - Teoria de Euler-Lagrange (Bliss, 1946; Gelfand e Fomin, 1963; Elsgolts, 1977).
Deve-se ressaltar que o primeiro estudo analítico sobre o problema de transferências espaciais ótimas foi
desenvolvido por Hohmann (1960) em 1925, antes do advento da Era Espacial. Hohmann estabeleceu uma elipse
bitangente como a trajetória de menor consumo de combustível entre as órbitas de dois planetas, considerando que a
transferência é realizada através de impulsos para razões de raios final e inicial r2/r1 menores ou iguais a 11.94,
considerando as órbitas coplanares.
Os principais resultados analíticos têm sido desenvolvidos para transferências de pequenas amplitudes com duração
fixada, realizadas através de sistemas propulsivos de baixo empuxo e potência limitada, para as transferências de longa
duração fixada, também realizadas através de sistemas propulsivos de baixo empuxo e potência limitada (Edelbaum,
1964, 1965; Marec e Vinh, 1981), e para as transferências impulsivas entre órbitas quaisquer com duração livre
(Marchal, 1967a, 1976; Marchal, Marec e Winn, 1967; Bell ,1968; Edelbaum, 1964, 1967; Gobetz e Doll, 1969).
Excelentes sínteses sobre estes problemas podem ser encontradas nos trabalhos de Marec (1967, 1979, 1984), Marchal
(1967b), Gobetz e Doll (1969). Trabalhos mais recentes têm considerado manobras impulsivas com duração fixada
(Eckel e Vihn, 1984; Lawden, 1993) e problemas de “rendez-vous” em torno de um ponto (estação espacial) em órbita
(Carter, 1984, 1989, 1990; Carter e Humi, 1987; Carter e Brient, 1991, 1992).
A maioria destes estudos, realizados nas décadas de 60 e 70, e em parte da década de 80, consideram a hipótese de
campo central Newtoniano. A possibilidade de se empregar forças secundárias tais como o achatamento do corpo
central, o arrasto nas manobras na atmosfera, as forças atrativas devido a outros planetas no caso de viagens
interplanetárias no sistema solar, foi ressaltada por Marchal (Marchal, Marec e Winn, 1967), e tem recentemente
despertado o interesse dos pesquisadores.
Conforme foi ressaltado nos parágrafos anteriores, a maior parte das análises preliminares de missões utiliza a
hipótese de campo central Newtoniano (que define o clássico problema de dois corpos), tanto para aplicações
envolvendo manobras de satélites artificiais como para trajetórias lunares ou interplanetárias de sondas ou naves
espaciais tripuladas. No caso de trajetórias lunares ou interplanetárias, utiliza-se na análise preliminar de missões a
aproximação patched-conic (Bate et al, 1971; Prussing e Conway, 1993), que envolve o conceito de esfera de
influência, segundo a qual a trajetória de uma sonda ou nave espacial enviada da Terra para um Planeta-Alvo pode ser
decomposta em três fases distintas cada uma descrita pela dinâmica do problema de dois corpos: a primeira fase
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,
corresponde ao vôo nas proximidades da Terra, a segunda ao vôo interplanetário em que o Sol é o centro de atração e a
terceira corresponde ao vôo nas proximidades do Planeta-Alvo.
2. Problema de dois-corpos
Consideram-se dois corpos puntiformes 1 e 2 de massas m1 e m2, respectivamente, cujos vetores posição em um
sistema de referencia inercial Oxyz são denotados por r1 e r2. Seja O’x’y’z’, onde O’=CM (centro de massa), um
sistema inercial associado ao CM em Oxyz. F1 e F2 representam as forças gravitacionais atuantes. Conforme a Fig. 1
abaixo.
Figura 1. Representação dos sistemas referenciais Oxyz e O’x’y’z’
2.1. Integrais Primeiras
Pode-se chegar à Eq. (1) do movimento relativo no problema de dois corpos:
d2r

 3r
2
dt
r
(1)
onde µ: parâmetro gravitacional, igual a G.m1, quando m1>>m2, sendo m1 o corpo central. A partir da Eq. (1), podemse deduzir as seguintes Eqs. (2), (3) e (4).
2.1.1. Integral de energia

v2 

2 r
Equação (2) representa a conservação de energia mecânica.
2.1.2. Integral de Momentum Angular
(2)
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,
h  r
dr
dt
(3)
A conservação de momentum angular, Eq. (3) , mostra que o movimento ocorre no plano.
2.1.3. O vetor de Laplace-Runge-Lenz
B  vh  
r
r
(4)
2.2. Equação polar da trajetória
Considera-se o movimento do corpo orbitante m em torno do corpo primário M, M >> m. A trajetória é descrita no
plano de movimento através da Eq. (5).
r
(h 2 /  )
1  ( B /  ) cos f
(5)
onde f: ângulo entre r e B denominado de anomalia verdadeira
2.3. Seções cônicas
r
p
1  e cos f
(6)
onde p: semi-latus rectum, e: excentricidade
Note que a equação polar da trajetória está sob a forma da equação das seções cônicas.
2.4. Órbitas elíptica, circular, parabólica e hiperbólica
As órbitas são classificadas como:
 Circular se e = 0
 Elíptica se 0 < e < 1
 Parabólica se e = 1
 Hiperbólica se e > 1
Caso h = 0 haverá um caso degenerado, movimento em linha reta.
3. Elementos Orbitais
A título de ilustração considere o movimento de um satélite artificial com respeito ao sistema geocêntricoequatorial, sistema no qual com a origem está no centro da terra, o plano xy é o plano do Equador e o eixo x segue a
direção de γ, conforme as Figs. 2 e 3 a seguir.
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,
Figura 2. Representação elementos orbitais no sistema geocêntrico-equatorial
Figura 3. Representação dos elementos orbitais no plano da órbita
Elementos orbitais clássicos ou Keplerianos:
 a: semi-eixo maior
 e: excentricidade e=(c/a)
 I: inclinação do plano da órbita: I pertencente a [0º, 180º]
 Ω: longitude do nodo ascendente: Ω pertencente a [0º, 360º[
 ω: argumento do pericentro: ω pertencente a [0º, 360º[
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,
 f: anomalia verdadeira: f pertencente a [0º, 360º[
Além da anomalia verdadeira existem duas outras grandezas angulares associados à posição do objeto em órbita: a
anomalia excêntrica E e anomalia média M.
3.1. Relação entre r e v com elementos orbitais
Dados o vetor posição e o vetor velocidade em um instante t, podem ser determinados os elementos orbitais
clássicos através das Eqs (7) a (15).
h  rv
(7)
N  kh
(8)
a
r
rv 2
2

e
1
r
rh  

r
(9)
(10)
cos I 
k h
h
(11)
cos  
iN
N
(12)
cos  
iN
N
(13)
cos  
e N
eN
(14)
cos f 
er
er
(15)
onde e ≠ 0 e N ≠ 0.
3.2. Expressão de r e v em termos dos elementos orbitais
A passagem do sistema geocêntrico-equatorial para o sistema de Gauss (sistema móvel inserido no plano de órbita)
é efetuada através de três rotações sucessivas. Para tanto matrizes de rotação serão usadas:
 cos  sen 0 
RZ      sen cos  0 
 0
0
1 
0
0 
1

RX 1  I   0 cos I sen I 
0 sen I cos I 
 cos   f  sen   f  0 


RZ 2   f    sen   f  cos   f  0 

0
0
1 
O produto destas matrizes define a matriz de transformação Gauss|Geo:
(16)
(17)
(18)
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,
TGauss|Geo  , I ,   f   RZ 2   f  RX 1  I  RZ   
(19)
Uma vez que essa transformação é ortogonal, chegam-se as Eqs. (20) e (21).
(20)
(21)
4. Equação para o tempo de vôo
A equação para o tempo de vôo é aquela que descreve a trajetória de um objeto orbitante em função do tempo.
4.1. Equação de Kepler (para o movimento elíptico)
(22)
M  E  e senE
onde E é a anomalia excêntrica elíptica, M é a anomalia média e:
M  n(t   )
n
(23)

(24)
a3
sendo n o movimento médio e τ: o tempo de passagem pelo periapsis.
4.2. Equação de Barker (para o movimento parabólico)
2  (t   )  pD 
D3
3
(25)
onde D é anomalia excêntrica parabólica:
D
f
2
p tan
(26)
4.3. Generalização da Equação de Kepler para o movimento hiperbólico
N  esenh F  F
(27)
onde F é a anomalia excêntrica hiperbólica, N é a anomalia média hiperbólica e:
N  nH (t  )
nH 

 a 
3
(28)
(29)
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,
4.4. Métodos de resolução da equação para o tempo de vôo:
A forma de resolução da equação para o tempo de vôo pode ser divida em dois tipos: solução analítica – método de
aproximações sucessivas e solução numérica – métodos iterativos. Com respeito a solução numérica, os processos
estudados foram método de Newton-Raphson, da bissecção e o método de Newton-Raphson de segunda ordem.
5. Problema de Kepler
O problema de Kepler consiste em determinar os vetores posição e velocidade em um instante qualquer t, dados
seus valores no instante t0 conhecidos (t0 < t). (Fonte: Bate, 1971)
5.1. Resolução clássica, envolvendo elementos orbitais
Primeiramente determinam-se os elementos orbitais através dos dados iniciais. Em seguida calcula-se anomalia
verdadeira f para o instante t a através de uma das equações listadas no tópico 4. Finalmente, determinam-se os vetores
posição e velocidade em t pelas expressões de 3.2
5.2. Coeficientes de Lagrange
Desde que o movimento do corpo orbitante se realize em um plano – plano da órbita – e os vetores posição e
velocidade sejam linearmente independentes (nos casos não-degenerados), podem-se estabelecer as Eqs. (30) e (31).
r t   f r 0  gv0
(30)
v  t   f ' r 0  g ' v0
(31)
f e g são funções do tempo t, onde f, g, f’, g’ são denominados de coeficientes de Lagrange
Encontrando as Eqs. (32) a (35):
(32)
(33)
(34)
(35)
Pode-se resolver o problema de Kepler através dos coeficientes de Lagrange, sem o uso de elementos orbitais
clássicos.
6. Problema de Gauss
A formulação (PVCDP – problema de valor de contorno em dois pontos) pode ser descrita pela frase a seguir.
Dados os vetores posição r1 e r2, o intervalo de tempo Δt=t2-t1, e, o sentido de movimento, determinar os vetores
velocidade v1 e v2, isto é, estabelecer a trajetória do objeto em estudo.
6.1. Algoritmos de resolução em anomalia excêntrica e método de iteração em p
O código desenvolvido através do programa MATLAB para o caso elíptico pode ser visto pela Fig. 4.
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Figura 4. Algoritmo de resolução do problema de Gauss em anomalia excêntrica com iteração em p
7. Trajetórias lunares
O cálculo preciso de uma trajetória lunar só pode ser feito por integração numérica das equações de movimento,
levando em conta a forma geóide da Terra, perturbações solares, pressão solar e a atração da Lua na fase final entre
outros fatores. Devido aos movimentos complexos da Lua, o planejamento de uma missão real se baseia fortemente nas
efemérides lunares, que é uma lista tabulada da posição da Lua a intervalos regulares de tempo. Deste modo, missões
lunares são planejadas respeitando uma base horária, diária e mensal.
7.1. Esfera de influência
É coveniente definir a esfera de influência em torno de cada corpo gravitacional e dizer que quando o objeto cruza a
fronteira da “esfera de influência”, considera-se que esse objeto atingiu a velocidade de escape e, portante, está livre da
ação gravitacional do corpo central. Obviamente recorre-se a tal artifício para simplificar a análise da trajetória descrita,
pois a velocidade de escape só seria atingida à uma distância infinita. (Fonte: Bate, 1971)
7.2. Método da aproximação “patched-conic”
Pode-se levar em conta a gravidade lunar e ainda usar a mecânica orbital de dois-corpos, basta considerar que a
nave esteja sob influência única da gravidade terrestre até entrar na “esfera de influência” da Lua e assumir que aí ela se
move apenas sob a influencia gravitacional da Lua. Este é o chamado método “patched-conic”. Pode-se dizer que esta é
uma boa aproximação para uma análise preliminar.
7.3. Algoritmo para determinação de trajetórias lunares com condições iniciais e de contorno: r0, v0, φ0 e λ1.
Basicamente determina-se a trajetória descrita pela nave conhecendo as condições iniciais e de contorno: raio da
órbita circular em torno da Terra r0; velocidade inicial v0; ângulo φ0 entre v0 e a velocidade da órbita circular em torno
da Terra vcirc0; e o ângulo λ1 de chegada na esfera de influência da Lua.
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7.4. Algoritmo iterativo em v0 para determinação de trajetórias lunares com condições iniciais e de contorno: r0,
rf, φ0 e λ1.
Neste caso, a trajetória é determinada conhecendo-se: raio r0; raio da órbita final circular em torno da Lua rf; ângulo
φ0 ; e o ângulo λ1. Para resolver este problema utilizou-se um método iterativo em v0 com o auxílio do algoritmo
anterior. A Fig. 5 mostra a execução do código desenvolvido através do programa MATLAB.
Figura 5. Algoritmo iterativo em v0 para determinação de trajetórias lunares com condições iniciais e de contorno: r0, rf,
φ0 e λ1.
A Fig. 6 gerada mostra o arco de hipérbole da trajetória geocêntrica descrita pela nave espacial; o arco circular da
trajetória da Lua durante o Δt considerado; a esfera de influência da Lua, quando a nave passa a sofrer o efeito
gravitacional lunar; e, finalmente, o arco de hipérbole da trajetória selenocêntrica. Note que também estão desenhados
mais dois círculos completos, correspondendo às órbitas circulares inicial em torno da Terra e final em torno da Lua.
Figura 6. Trajetória da viagem da Terra à Lua utilizando o método “patched-conic”.
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8. Trajetórias interplanetárias
8.1. Transferência de Hohmann
É a transferência entre duas órbitas circulares coplanares feita através de um arco de elipse tangente as duas órbitas
circulares. A Fig. 7 a seguir representa a trajetória de transferência de uma órbita circular inicial de raio r1 para uma
órbita final de raio r2 com r2> r1.
Figura 7. Transferência de Hohmann entre as órbitas circulares 1 e 2. (Fonte: Bate , 1971 )
Também é transferência que requer o mínimo de Δv para a mudança de órbitas circulares para razões de raios final
e inicial r2/r1 menores ou iguais a 11.94, considerando as órbitas coplanares. As Eqs. (36) a (42) são mostradas abaixo.
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
8.2. Algoritmo para determinação de trajetórias interplanetárias e do ângulo de fase necessário para
transferências de Hohmann Terra-Planeta Alvo
Determina-se a trajetória descrita por uma nave espacial entre a Terra e um planeta do Sistema Solar utilizando a
transferência de Hohmann. Sabendo a velocidade angular do planeta alvo, também é calculado o ângulo de fase, que é o
ângulo que os dois planetas devem formar no instante de partida da nave da Terra. Neste modelo, o único efeito
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gravitacional considerado foi o do Sol. O ângulo de fase é calculado considerando o tempo total da transferência de
Hohmann e a velocidade angular relativa dos dois planetas.
Considerando a trajetória correspondendo a transferência de Hohmann, montou-se a Tab. 1 com os elementos
orbitais principais e as manobras delta-V necessárias: delta-V1 para sair da órbita circular inicial e injetar a nave na
semi-elipse de transferência e delta-V2 para sair da semi-elipse de trasferência e entrar na órbita circular final.
Tabela 1. Transferência de Hohmann da Terra para cada outro planeta do Sistema Solar, sendo calculadas as manobras
delta-V de partida 1 e de chegada 2; o ângulo de fase gama1; o tempo –“tof” ou “time of flight”- da manobra;
o semi-eixo maior e a excentricidade da órbita de transferência.
Terra-Mercúrio
Terra-Vênus
Terra-Marte
Terra-Júpiter
Terra-Saturno
Terra-Urano
Terra-Netuno
Terra-Plutão
delta-V1(km/s)
delta-V2(km/s)
gama1(rad)
tof(anos)
a(km)
e
7,532951207
9,611558980
-4,39254505
0,28899510
1,04E+08
0,441859
2,495394171
2,706569998
-0,94302239
0,40020582
1,29E+08
0,160542
2,944816435
2,648998985
0,77397406
0,70922967
1,89E+08
0,207514
8,791817329
5,643160046
1,69561054
2,73177161
4,64E+08
0,677482
10,28894723
5,442738161
1,85169376
6,05162409
7,88E+08
0,810212
11,28057615
4,659720627
1,94289892
16,0404614
1,51E+09
0,900908
11,65358505
4,054234655
1,97497860
30,6142156
2,32E+09
0,935598
11,81325781
3,688030760
1,98836108
45,4920065
3,02E+09
0,950543
8.3. Algoritmo para determinação de trajetórias interplanetárias Terra-Planeta Alvo usando a aproximação
“patched-conic”.
Determina-se a trajetória descrita por uma nave espacial entre a Terra e um planeta do Sistema Solar utilizando o
método “patched-conic”. Este modelo é mais refinado do que o adotado pelo algoritmo anterior, pois considera os
efeitos gravitacionais dos planetas em suas respectivas esferas de influência, e a gravidade do Sol entre as duas esferas.
Considerando a fase heliocêntrica da trajetória correspondendo a transferência de Hohmann, calculam-se os
elementos orbitais principais e as manobras delta-V necessárias para viagem Terra-Planeta do Sistema Solar. Para
exemplificar segue abaixo a Tab. 2, transferência Terra-Marte. As altitudes das órbitas circulares de partida da Terra e
de chegada em Marte consideradas foram 300km e 200km, respectivamente.
A definição da velocidade hiperbólica de excesso é a velocidade que a nave espacial possui após ter saído da esfera
de influência, isto é, trata-se da velocidade final após ter escapado da ação gravitacional do corpo central considerado.
Tabela 2. Transferência Terra-Marte, com manobras delta-V; velocidades hiperbólicas de excesso Vhexc; semi-eixos
maior e excentricidades; ângulo de fase gama1; e tempo –“tof”. Os índices 1, 2, H correspondem aos dados
relativos a esfera de influência da Terra, de Marte e do Sol, respectivamente. E “delta-Vt” é o delta-V total.
delta-V1(km/s) delta-V2(km/s)
delta-Vt(km/s)
Vhexc1(km/s) Vhexc2(km/s)
a1(km)
e1
3,590038734
18,54821627
22,138255
2,944816435
21,4804012 -45964,3 1,1453
aH(km)
eH
a2(km)
e2
gama1(rad)
tofH(anos)
188771418,1
0,207513753
-95,0266025
38,82098806
0,77393503
0,709229666
8.4. Algoritmo para determinação de trajetórias interplanetárias Terra-Planeta Alvo usando resolução do
Problema de Gauss em variáveis universais e método de iteração em anomalia excêntrica.
Determina-se a trajetória descrita por uma nave espacial entre a Terra e um planeta do Sistema Solar resolvendo o
Problema de Gauss em variáveis universais e método de iteração em anomalia excêntrica. Este modelo considera
apenas a gravidade do Sol e permite a determinação de quaisquer trajetórias, inclusive aquelas que não sejam
transferência de Hohmann.
Considerando diversos tempos de vôo Δt e diversas diferenças de anomalias verdadeiras Δf, calcularam-se os
elementos orbitais principais e as manobras delta-V necessárias para viagem Terra-Marte. Para exemplificar segue
abaixo a Tab. 3, transferência Terra-Marte para um caso particular.
Tabela 3. Transferência Terra-Marte usando a resolução do Problema de Gauss em variáveis universais, sendo
calculadas as manobras delta-V de partida 1 e de chegada 2; o semi-eixo maior e a excentricidade da órbita.
sentido do movimento
progressivo
Δt(anos)
Δf(rad)
delta-V1(km/s)
delta-V2(km/s)
a(km)
e
2,83692
3,1316
17,53731693
17,44848213
3,26E+08
0,6689
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,
9. Conclusões
A Mecânica Orbital tem como foco o estudo trajetórias de naves espaciais, incluindo manobras orbitais, mudanças
de plano de órbita, e transferências interplanetárias. É usada em missões para prever os resultados de manobras
propulsivas. A Mecânica Newtoniana é suficiente na maioria dos casos de cálculo de trajetórias. Entretanto, a
Relatividade Geral de Einstein é algumas vezes usada em ambientes de alta gravidade (por exemplo, orbitas próximas
ao Sol) ou que requerem maior precisão
O projeto em questão limita-se a Mecânica Newtoniana, mais especificamente, ao problema de dois-corpos. Esta
será parte fundamental para aplicações posteriores.
Como já foi dito o estudo de trajetórias lunares e interplanetárias realizadas mediante a aplicação de impulsos
(mudanças instantâneas do vetor velocidade), utilizando a aproximação “patched-conic” pode ser usado em uma análise
preliminar de missões espaciais lunares ou interplanetárias.
Para os casos considerados as trajetórias lunares são coplanares com a órbita da Lua e as trajetórias interplanetárias
são coplanares com as órbitas dos principais planetas do Sistema Solar. Isso pode ser explicado pelo fato de as
mudanças de plano de órbita demandarem energia extra de propulsão (sendo, portanto, mais custosas).
Nas trajetórias lunares foram analisados os efeitos do tempo de vôo da manobra e do ângulo de entrada na esfera de
influência, sobre o delta-V necessário para a realização da manobra. Enquanto, nas trajetórias interplanetárias foram
determinados os raios da esfera de influência de cada planeta, os ângulos fase para a realização do “rendez-vous” com
o planeta alvo, a duração da manobra e os incrementos necessários para a realização da transferência de Hohmann.
Finalmente, o problema de Gauss possui grande versatilidade em aplicações em Mecânica Orbital tais como:
problemas de “rendez-vous” (encontro de naves espaciais), problemas de interceptação e de trajetórias interplanetárias.
10. Agradecimentos
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico – CNPq, ao Instituto Tecnológico de
Aeronáutica, e ao orientador Sandro da Silva Fernandes.
11. Referências
Bate, R.R., Mueller, D.D. & White, J.E., 1971, “Fundamentals of Astrodynamics”, Dover, New York.
Carter, T.E., 1984, “Fuel - Optimal Maneuvers of a Spacecraft Relative to a Point in Circular Orbit”, Journal of
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