Relatório da
Disciplina de Matemática I
2004-2005
Docentes
Fernando Carapau, [email protected]
Departamento de Matemática, Universidade de Évora.
Fátima Correia, [email protected]
Departamento de Matemática, Universidade de Évora.
Abstract
Este relatório crı́tico está relacionado com a disciplina de Matemática I ministrada
pelo Departamento de Matemática da Universidade de Évora às seguintes licenciaturas:
Engenharia Agrı́cola, Biologia, Engenharia Biofı́sica, Engenharia de Recursos Hı́dricos,
Engenharia de Recursos Geológicos, Engenharia Alimentar, Ensino de Biologia e Geologia,
Engenharia Zootécnica e Ciências do Ambiente. Neste relatório o corpo docente tenta
expor e analisar o trabalho realizado durante o ano lectivo 2004-2005.
1
Programa da disciplina
O programa da disciplina de Matemática I do ano lectivo 2004-2005 foi o seguinte:
1. Noções topológicas em R
1.1 Vizinhança de um ponto
1.2 Posição relativa entre um ponto e um conjunto não vazio
1
1.3 Noção de conjunto aberto e de conjunto fechado
2. Cálculo diferencial em R
2.1 Conceito de derivada num ponto
2.2 Interpretação fı́sica
2.3 As regras usuais de derivação
2.4 Monotonia, concavidades, extremos e assı́mptotas
2.5 Teorema de Rolle, de Lagrange e de Cauchy
2.6 Regra de Cauchy e de L’Hôpital
3. Primitivação
3.1 Definição e algumas propriedades
3.2 Primitivas imediatas
3.3 Primitivas por partes e por substituição
3.4 Primitivas de funções racionais
4. Integração
4.1 Integral de Darboux e de Riemann
4.2 Algumas propriedades do integral de Riemann
4.3 Teorema fundamental do cálculo integral e fórmula da Barrow
4.4 Integração por partes e substituição
4.5 Teoremas da média do cálculo integral
5. Aplicações do cálculo integral
5.1 Cálculo de áreas planas
5.2 Cálculo de comprimento de uma linha
5.3 Cálculo de volumes de sólidos de revolução
5.4 Cálculo de áreas de uma superfı́cie de revolução
2
6. Integrais impróprios
6.1 Definição e generalidades
6.2 Teoremas e critérios de convergência
6.3 Convergência absoluta e simples
7. Séries numéricas
7.1 Definição e generalidades
7.2 Séries geométricas, aritméticas, Dirichlet e de Mengoli
7.3 Teoremas e critérios de convergência
7.4 Séries alternadas, convergência absoluta e simples
8. Séries de potências
8.1 Definição e generalidades
8.2 Intervalo e raio de convergência
8.3 Séries de Taylor e Mac-Laurin
9. Equações diferenciais ordinárias
9.1 Equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n
9.2 Equações diferenciais lineares não-homogéneas de ordem n
9.3 Aplicações
Os pontos 2 − 9 deste programa fazem parte do programa mı́nimo acordado, há uns anos
a esta parte, entre o Departamento de Matemática e as Comissões de Curso das seguintes
licenciaturas: Engenharia Agrı́cola, Biologia, Engenharia Biofı́sica, Engenharia de Recursos
Hı́dricos, Engenharia de Recursos Geológicos, Engenharia Alimentar, Ensino de Biologia e
Geologia, Engenharia Zootécnica e Ciências do Ambiente. Além do programa mı́nimo o corpo
docente acrescentou o ponto sobre as Noções Topológicas em R o qual deixou de fazer parte dos
programas do ensino secundário. O programa proposto (pontos 1 − 9) foi cumprido na
integra pelo corpo docente do ano lectivo 2004-2005 de uma forma profissional, exigente
e rigorosa.
3
2
Material de apoio
No inı́cio do ano lectivo foi apresentado aos alunos um manual (versão β) - da autoria do docente
das aulas teóricas - com a exposição teórica da matéria do programa da disciplina. O manual
em causa foi uma forma de auxiliar o estudo dos alunos. Para além da exposição teórica, no
final de cada capı́tulo foram apresentados exercı́cios para aulas teóricas, aulas práticas e para
trabalho de casa. Actualmente uma versão mais completa do manual está a ser impresso na
colecção Manuais da Universidade de Évora como texto didáctico para os futuros alunos da
disciplina de Matemática I.
Todas as semanas, durante o semestre, os alunos foram convidados a resolver um trabalho
para casa (TPC) proposto pelos docentes o qual não contava para a classificação final. É claro
que a resolução semanal de um TPC por parte dos alunos responsáveis promove um estudo extra
de extrema importância para o sucesso na disciplina1 . Os TPC propostos foram os seguintes:
Matemática Io
Trabalho de Casa n 1
Entregar até sexta-feira dia 24 de Setembro de 2004
Considere o seguinte conjunto
√ A = x ∈ Z; | 2x − 1 |< 3 ∧ x 6 2 .
Indique quando possı́vel, Int(A), Ext(A), F r(A), o conjuntos dos pontos aderentes, i.e. Ā,
o conjunto dos pontos de acumulação, i.e. A0 . Diga se o conjunto A é aberto ou fechado.
⊗
Matemática Io
Trabalho de Casa n 2
Entregar até sexta-feira dia 1 de Outubro de 2004
1
Nos anexos existe informação detalhada com o nome e curso dos alunos que fizeram os TPC. Assim como
informação sobre a assiduidade dos alunos às aulas teóricas e às aulas práticas.
4
1. Considere a seguinte função real de variável real:
f (x) =
x2 + x + 1
x+1
(i) Determine o domı́nio da função f .
(ii) Estude a função f quanto à monotonia, extremos relativos, sentido da concavidade e à
existência de assı́mptotas.
(iii) Tendo em conta as alı́neas anteriores esboce o gráfico da função f .
⊗
Matemática Io
Trabalho de Casa n 3
Devido ao feriado, pode entregar o trabalho de casa até segunda-feira dia 11 de Outubro de
2004
1. Considere em R a seguinte função f (x) = ln(sin(x)). Verifique se f satisfaz as condições
do teorema de Rolle no intervalo [ π6 , 5π
]. Caso afirmafivo, determine a constante no intervalo
6
[
que
verifica
o
teorema.
] π6 , 5π
6
2. Considerando em R a função f (x) = ln(x), definida no intervalo [1, x], com x > 1.
Verifique se f satisfaz as condições do teorema do valor médio de Lagrange no intervalo em
causa. Caso afirmafivo, prove a seguinte desigualdade:
√
x2 − x
ln( xx ) <
, ∀x > 1.
2
3. Sejam f e g funções reais de variável real:
f (x) = x2 , g(x) = ln(x),
5
definidas no intervalo [1, e]. Verifique se f e g satisfazem as condições do teorema do valor
médio de Cauchy no intervalo em causa. Caso afirmafivo, determine a constante no intervalo
]1, e[ que verifica o teorema.
4. Mostre que existe
x − sin(x)
,
x→+∞ x + sin(x)
lim
mas não pode aplicar-se no seu cálculo nem a regra de Cauchy nem a regra de L’Hôpital.
⊗
Matemática I
Trabalho de Casa no 4
Entregar até sexta-feira dia 15 de Outubro de 2004
Determine as seguintes primitivas, indicando um intervalo onde seja válido essa primitivação:
(i) Primitivas imediatas:
Z
x
2 − 3x2
Z
5 dx
cos(2x) +
1
dx
2x
(ii) Primitivas por partes:
Z
Z
2
x + 3 e2x dx
cos3 (x)dx
(iii) Primitivas por substituição:
Z √
Z
2−
3x2 dx
(iv) Primitivas de fracções racionais:
Z
x3
dx
x2 + x − 2
6
√
ex
dx
1 − e2x
Z
x4
1
dx
+ 2x2
⊗
Matemática Io
Trabalho de Casa n 5
Entregar até sexta-feira dia 22 de Outubro de 2004
Determine a famı́lia das seguintes primitivas:
Z
πx
Z
2 dx
sin(x)
dx
cos3 (x)
Z
x
3
√
Z
xdx
cos(−2x)ex dx
√
Z
Z
xn ln(x)dx, n ∈ N
5x − 10
dx
x2 − 3x − 4
Z
Z
x2 ln(x)dx
Z
ln(x)
√ dx
x
3x4 + 3x3 − 5x2 + x − 1
dx
x2 + x − 2
Z
Z
e
√
x−2
x−2
1 − 5x2
dx
x5 + x3
⊗
Matemática I
Trabalho de Casa no 6
Entregar até sexta-feira dia 29 de Outubro de 2004
7
dx
1. Determine o valor dos seguintes integrais definidos:
Z
1
π/2
2x + 3
dx
2
x (x + 1)
Z
π
2x
Z
2x
2
x
e cos(e )dx
2
√
Z
x − 1dx
1
π/2
π
(x − 1)2 sin(x)dx
0
2. Tendo em conta a função f (x) = |x| determine o seguinte integral definido:
Z 2
f (x)dx
−1
3. Prove que se f for uma função ı́mpar, então
Z a
f (x)dx = 0, a ∈ R
−a
dê uma explicação geométrica para o resultado anterior.
4. Ache a área da região entre as curvas y = x2 e y = x + 6.
5. Determine a área do seguinte subconjunto de R2 :
n
o
A = (x, y) ∈ R2 ; x 6 y 6 −x2 + 2
6. Determine o comprimento da linha f (x) = 1 − ln(cos(x)) com 0 6 x 6 π/4.
7. Determine o comprimento da linha definida de forma paramétrica:
x = et cos(t), y = et sin(t), 0 6 t 6 π/2
⊗
Matemática Io
Trabalho de Casa n 7
Entregar até sexta-feira dia 5 de Novembro de 2004
8
1. Considere a área do seguinte subconjunto de R2 :
n
o
B = (x, y) ∈ R2 ; 0 6 y 6 −x + 3, 1 6 x 6 3
1.1 Determine o volume e a área da superfı́cie do sólido de revolução gerado pelo conjunto B
em que o eixo de revolução é o eixo das abcissas.
1.2 Determine o volume e a área da superfı́cie do sólido de revolução gerado pelo conjunto B
em que o eixo de revolução é o eixo das coordenadas.
⊗
Matemática I
Trabalho de Casa no 8
Entregar até segunda-feira dia 15 de Novembro de 2004
1. Classifique e estude por definição a natureza dos seguintes integrais impróprios:
Z 1
Z +∞
Z +∞
1
1
x
√
dx
dx
dx
3
x2 + 1
x−1
x2
−1
0
0
2. Estude a natureza do seguinte integral impróprio
Z 1
1
dx
α
0 x
em função do parâmetro α.
3. Estude, utilizando os critérios de convergência, a natureza do seguinte integral impróprio:
Z +∞ √ 2
x +1
√
dx.
x5 + 1
1
9
4. Estude, utilizando o critério geral de comparação, a natureza do seguinte integral impróprio:
Z +∞
sin2 (x)
dx.
x2
1
⊗
Matemática I
Trabalho de Casa no 9
Entregar até segunda-feira dia 29 de Novembro de 2004
1. Verifique se as séries em causa são geométricas, indicando a sua natureza e soma quando
possı́vel:
+∞
+∞
X
−3 X 3n+1
n=1
4n
n=1
2
2. Verifique se as séries em causa são de Mengoli, indicando a sua natureza e soma quando
possı́vel:
+∞
+∞
X
X
1
1
n(n − 1) n=1 (n + 1)(n + 2)
n=2
3. Analisando o limite do termo geral o que pode concluir sobre as seguintes séries:
+∞
X
n=1
n3
n3 + n + 1
+∞
X
(−1)n
n=1
n+2
4. Utilizando o critério do integral (verifique as condições do critério) estude a natureza da
seguinte série:
+∞
X
1
3n + 2
n=1
5. Utilizando o critério de D’Alembert estude a natureza das seguintes séries:
+∞ n
X
3
n=1
n!
+∞
X
n=1
10
1.4.9...n2
1.5.9...(4n − 3)
6. Utilizando o critério da raiz de Cauchy estude a natureza das seguintes séries:
+∞
X
n
3n
n=1
+∞
X
(1 − e−n )n
n=1
7. Utilizando os critérios de comparação e seus corolários estude a natureza das seguintes séries:
+∞
X
n=1
+∞ √
X
n2
n
√
3
3
n4 + 1 n=1 n + 1
8. Estude em termos de convergencia absoluta ou simples as seguintes séries:
+∞
X
(−1)n
n=1
n
+∞
X
(−1)n
n=1
n!
⊗
Matemática I
Trabalho de Casa no 10
Entregar até segunda-feira dia 13 de Dezembro de 2004
1. Determine o raio de convergência das seguintes séries de potências. E, estude em R a natureza
das séries (i.e. o intervalo onde a série converge e o intervalo onde a série diverge)
+∞
X
(−1)n xn 2n
n=1
n+1
,
+∞
X
n=1
+∞
X
1
,
(−1)n (x − 1)n
n(2x − 1)n n=1
2. Desenvolva em série de potências de x, por definição, as seguintes funções:
f (x) =
1
2
, f (x) = e−x
2
(1 + x)
3. Desenvolva em série de potências de x − 1, por definição, as seguintes funções:
f (x) =
1
, f (x) = ln(x)
x
11
4. Desenvolva por definição em série de potência de x a função f (x) = arctg(x) e utilize esse
resultado para determinar o seguinte limite
arctg(x) − x
lim
x→0
x3
5. Considere a seguinte equação diferencial homogénea de ordem 3:
y 000 (t) + y 0 (t) = 0.
(i) Verifique se a função y(t) = C1 e2t + C2 cos(t) + C3 sin(t) com C1 , C2 , C3 ∈ R satisfaz a
equação diferencial dada.
(ii) Determine a solução da equação diferencial em causa tal que
y 00 (0) = 2, y 0 (0) = 1, y(0) = 0.
6. Resolva a seguinte equação diferencial não-homogénea de ordem 2
y 00 (t) − y 0 (t) = 3, y(0) = 2, y 0 (0) = 1.
⊗
No inı́cio do semestre os alunos foram alertados para a existência de uma web page com
toda a informação relevante sobre a disciplina, por exemplo: programa, avaliação, TPC, testes,
notas, atendimento, etc...
http://evunix.uevora.pt/∼flc/stud.html
Como complemento do manual foi recomendado aos alunos a seguinte bibliografia:
1. Figueira, Mário, 1996, Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, Univ.
de Lisboa Fac. de Ciências Demat.
2. Anton, Howard, 1999, Cálculo um novo horizonte, volume I,II, 6a Edição, Bookman.
3. Sarrico, Carlos, 1997, Análise Matemática, leituras e exercı́cios, Trajectos Ciência, Gradiva,
Lisboa.
4. Swokowski, Earld William, 1994, Cálculo com geometria analı́tica, Vol.2, 2a edição, Makron
Books do Brasil editora, Ltda.
5. Apostol, M.T., 1994, Cálculo volume I,II, Editora Reverté, Ltda.
6. Ferreira, J.Campos, 1987, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian.
7. Piskounov, N., 1988, Cálculo Diferencial e Integral volume I,II, Editora Lopes da Silva.
12
3
Carga lectiva semanal
A carga lectiva semanal por licenciatura foi a seguinte: 3 horas de aulas teóricas + 2 horas de
aulas práticas.
4
Atendimento aos alunos
Fernando Carapau (aulas teórias e aulas práticas): 4a feira das 15h às 17h, gabinete no 256 do
CLV, fora este horário o docente esteve sempre disponı́vel para esclarecer os alunos em
alguma dúvida concreta.
Fátima Correia (aulas práticas): 4a feira das 14h às 16h, gabinete no 221 do CLV, fora este
horário o docente esteve sempre disponı́vel para esclarecer os alunos em alguma dúvida
concreta.
5
Avaliação e resultados
(i) Avaliação contı́nua - neste tipo de avaliação o aluno pode realizar a 1a e a 2a frequência.
Considera-se o aluno aprovado desde que obtenha média, arredondada às unidades,
superior ou igual a dez valores no conjunto das duas frequências, não tendo obtido
classificação inferior a 8 valores em nenhuma delas.
(ii) Avaliação por exame - podem realizar este tipo de avaliação os alunos que não escolheram
a avaliação contı́nua e aqueles que reprovaram na mesma. Considera-se o aluno aprovado
desde que obtenha classificação, arredondada às unidades, superior ou igual a dez valores.
Datas dos testes
Primeira frequência dia 5 de Novembro de 2004. O teste proposto aos alunos foi o
seguinte:
Universidade de Évora
Departamento de Matemática
Matemática I
1a Frequência - 5 de Novembro de 2004
20h-23h
1. Determine o interior, fronteira, exterior, derivado e aderência do seguinte subconjunto de R:
o
n
(−1)n
, n∈N ,
A = x ∈ R; x =
n
13
indicando se o conjunto A é aberto ou fechado.
3
. Determine o domı́nio da
x2 + 1
função f , indicando se a função é par ou ı́mpar. Estude a função em termos de existência
ou não de assı́mptotas verticais e não verticais. Estude a função em termos de monotonia,
extremos, concavidades e pontos de inflexão. E, por fim, esboce o gráfico da função.
2. Considere a seguinte função real de variável real:f (x) =
3. Determine a famı́lia das seguintes primitivas:
Z arctg(x/2)
Z
e
dx
xcos(2x)dx
4 + x2
4. Determine o valor dos seguintes integrais definidos:
Z π
Z 3
1
3x
dx
xe dx
2
1
2 x x+2
Z √
Z
3
√
1
1 − x2 dx
1
dx
x 1+x
5. Determine, representando graficamente, a área da superfı́cie plana definida pelo conjunto:
n
o
Ξ = (x, y) ∈ R2 ; y 6 x2 + 1, y > x, −1 6 x 6 2
6. Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de uma linha dada pelas
equações paramétricas:
x = t,
y = 5t, 0 6 t 6 1
e confirme o resultado usando a fórmula obtida nas aulas teóricas para calcular o
comprimento de uma linha dada pelas suas equações paramétricas.
7. Considere a área do seguinte subconjunto de R2 :
n
o
∆ = (x, y) ∈ R2 ; 0 6 y 6 4 − x2 , 1 6 x 6 2
(i) Determine o volume do sólido de revolução gerado pelo conjunto ∆ em que o eixo de
revolução é o eixo das abcissas. Represente graficamente o processo de gerar o sólido.
(ii) Determine a área da superfı́cie do sólido de revolução gerado pelo conjunto ∆ em que o
eixo de revolução é o eixo das coordenadas. Represente graficamente o processo de gerar
o sólido.
14
⊗
Segunda frequência dia 17 de Dezembro de 2004. O teste proposto aos alunos foi o seguinte:
Universidade de Évora
Departamento de Matemática
Matemática I
a
2 Frequência - 17 de Dezembro de 2004
20h-23h
1. Classifique e estude por definição a natureza dos seguintes integrais impróprios:
Z 1
Z +∞
Z +∞
1
1
p
dx
ln(x)dx
dx
2
3
(x − 1)2
0
1
−∞ 2 + x
2. Recorrendo à definição de integral impróprio mostre a seguinte igualdade:
Z +∞
a
, a > 0, b ∈ R
e−ax cos(bx)dx = 2
a + b2
0
3. Estude a convergência absoluta ou simples do seguinte integral impróprio:
Z +∞
cos(2x)
√
dx
x3
1
4. Estude a natureza das seguintes séries, indicando a sua soma quando possı́vel:
+∞
+∞
+∞
+∞
X
X
X
X
2n !
3
1
n2 + 2 n3
√
3
4n
4n
n2
2n − 1
n=1
n=1
n=1
n=1
5. Considere a seguinte série de potências de x
+∞
X
(−1)n xn
n=1
n3n
Determine o raio de convergência e estude em R a natureza da série.
6. Considere a seguinte função:
f (x) = ln(1 − x)
15
(i) Recorrendo à definição, desenvolva em série de Mac-Laurin a função f .
(ii) Tendo em conta o desenvolvimento anterior determine o valor do seguinte limite:
ln(1 − x)
x→0
x
lim
7. Determine a solução da seguinte EDO homogénea de ordem 2 com condições iniciais:
 00
 y (t) − 6y 0 (t) + 9y(t) = 0

y(0) = 1, y 0 (0) = 1
⊗
Primeiro exame dia 4 de Janeiro de 2005. O teste proposto aos alunos foi o seguinte:
Universidade de Évora
Departamento de Matemática
Matemática I
Exame - 4 de Janeiro de 2005
14h-17h
1. Determine a famı́lia das seguintes primitivas:
Z
Z
2
arctg(x)dx
dx
√ √
x 1−x
Z
x2
x
dx
+x−2
2. Considere a área do seguinte subconjunto de R2 :
n
o
♦ = (x, y) ∈ R2 ; 0 6 y 6 −x + 3, para 1 6 x 6 3
Determine o volume do sólido de revolução gerado pelo conjunto ♦ em que o eixo de
revolução é o eixo das coordenadas. Represente graficamente o processo de gerar o sólido.
3. Utilizando o critério do integral (verifique as condições do critério) estude a natureza da
seguinte série:
+∞
X
1
k=1
16
e2k
4. Estude a natureza das seguintes séries:
+∞
X
n=1
+∞
X
2n+1
(n + 1)n
n=1
n
3
n +1
+∞ n
X
3
n=1
n!
5. Considere a seguinte série de potências de x
+∞ n
X
x
n=1
n
Determine o raio de convergência e estude em R a natureza da série.
6. Utilizando a definição, desenvolva em série de potências de x − 1 a seguinte função:
f (x) =
1
x
7. Determine a solução da seguinte EDO não-homogénea de ordem 2 com condições iniciais:
 00
 y (t) − 2y 0 (t) = 1

y(0) = 1, y 0 (0) = 1
⊗
Exame de recurso dia 27 de Janeiro de 2005. O teste proposto aos alunos foi o seguinte:
Universidade de Évora
Departamento de Matemática
Matemática I
Exame - 27 de Janeiro de 2005
14h-17h
1. Sendo ♠ o domı́nio da função
√
−x2 + x + 2
x−5
determine a fronteira, interior, exterior, aderência, derivado e pontos isolados do conjunto
♠.
f (x) =
17
2. Determine o valor dos seguintes integrais definidos:
Z π
Z 1
Z e 2
2
1
ln (x)
√ dx
dx
xsin(x)dx
x
x
0
0 1+
1
Z
3
2
1
dx
x(x − 1)
3. Determine, representando graficamente, a área da superfı́cie plana definida pelo conjunto:
n
o
♣ = (x, y) ∈ R2 ; y 6 −x2 + 4, y 6 3x, x > 0, y > 0
4. Considere a seguinte linha dada pelas suas equações paramétricas:

 x = cos(2t)
0 6 t 6 π2

y = sin(2t),
determine o comprimento da linha em causa para t ∈ [0, π2 ].
5. Estude a natureza das seguintes séries:
+∞
X
n!
2n
n=1
+∞
X
n=1
n2
n4 + n + 5
+∞ X
n=1
n 2n
2n + 3
6. Utilizando a definição, desenvolva em série de potências de x (i.e. série de Mac-Laurin) a
seguinte função:
f (x) = e2x
7. Considere a seguinte EDO homogénea de ordem 2:
y 00 (t) + 4y(t) = 0
i) Verifique se a função y(t) = te−2t + cos(−2t) satisfaz a equação diferencial dada.
ii) Determine a solução da equação diferencial dada com condições de fronteira
π
y(0) = 1, y 0 ( ) = 2
2
⊗
De seguida vamos analisar os resultados da avaliação licenciatura a licenciatura2 :
2
Para mais detalhe sobre os resultados da avaliação consultar anexos. Nos quais pode consultar, por exemplo:
as notas dos testes, assiduidade dos alunos às aulas e o número de TPC entregues pelos alunos.
18
5.1
Licenciatura em Engenharia de Recursos Hı́dricos (LERH)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LERH: 30
2. Número de alunos da LERH avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 18
3. Número de alunos da LERH (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 9
4. Número de alunos da LERH (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de
casa: 6
5. Dos alunos avaliados da LERH foram aprovados 16 e reprovados 2
6. Melhor e pior classificação da LERH : 16 valores e 6 valores, respectivamente
5.2
Licenciatura em Engenharia de Recursos Geológicos(LERG)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LERG: 17
2. Número de alunos da LERG avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 13
3. Número de alunos da LERG (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 11
4. Número de alunos da LERG (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de
casa: 12
5. Dos alunos avaliados da LERG foram aprovados 10 e reprovados 3
6. Melhor e pior classificação da LERG : 16 valores e 1 valor, respectivamente
5.3
Licenciatura em Engenharia Biofı́sica(LEB)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEB: 57
2. Número de alunos da LEB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 12
3. Número de alunos da LEB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 7
4. Número de alunos da LEB (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
5
19
5. Dos alunos avaliados da LEB foram aprovados 6, reprovados 3 e 3 não realizaram os exames
6. Melhor e pior classificação da LEB : 16 valores e 7 valores, respectivamente
5.4
Licenciatura em Engenharia Alimentar(LEAL)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEAL: 37
2. Número de alunos da LEAL avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 8
3. Número de alunos da LEAL (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 6
4. Número de alunos da LEAL (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de
casa: 6
5. Dos alunos avaliados da LEAL foram aprovados 2, reprovados 2 e 4 não realizaram os exames
6. Melhor e pior classificação da LEAL : 12 valores e 5 valores, respectivamente
5.5
Licenciatura em Engenharia Agrı́cola(LEA)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEA: 94
2. Número de alunos da LEA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 29
3. Número de alunos da LEA (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 14
4. Número de alunos da LEA (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
11
5. Dos alunos avaliados da LEA foram aprovados 20, reprovados 7 e 2 não realizaram os exames
6. Melhor e pior classificação da LEA : 17 valores e 1 valor, respectivamente
5.6
Licenciatura em Ciências do Ambiente(LCA)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LCA: 73
2. Número de alunos da LCA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 32
3. Número de alunos da LCA (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 27
20
4. Número de alunos da LCA (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
23
5. Dos alunos avaliados da LCA foram aprovados 24 e reprovados 8
6. Melhor e pior classificação da LCA : 19 valores e 1 valor, respectivamente
5.7
Licenciatura em Biologia(LB)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LB: 122
2. Número de alunos da LB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 56
3. Número de alunos da LB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou prática:
54
4. Número de alunos da LB (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
50
5. Dos alunos avaliados da LB foram aprovados 26, reprovados 22 e 8 não realizaram os exames
6. Melhor e pior classificação da LB : 19 valores e 0 valores, respectivamente
5.8
Licenciatura em Engenharia Zootécnica(LEZ)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LEZ: 126
2. Número de alunos da LEZ avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 28
3. Número de alunos da LEZ (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 20
4. Número de alunos da LEZ (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
15
5. Dos alunos avaliados da LEZ foram aprovados 9, reprovados 15 e 4 não realizaram os exames
6. Melhor e pior classificação da LEZ : 12 valores e 2 valores, respectivamente
21
5.9
Licenciatura em Ensino de Biologia e Geologia(LBG)
1. Número de alunos inscritos na disciplina de Matemática I da LBG: 80
2. Número de alunos da LBG avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 23
3. Número de alunos da LBG (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teórica ou
prática: 20
4. Número de alunos da LBG (dos avaliados) que entregaram pelo menos um trabalho de casa:
15
5. Dos alunos avaliados da LBG foram aprovados 15, reprovados 7 e 1 não realizou os exames
6. Melhor e pior classificação da LBG : 17 valores e 1 valor, respectivamente
6
Conclusões e perpectivas
Dos 636 alunos inscritos na disciplina de Matemática I apenas foram avaliados 221 alunos (i.e.
número de alunos que foram a pelo menos um teste). Dos alunos avaliados apenas 168 alunos
foram a pelo menos a uma aula teórica ou prática e apenas 144 alunos entregaram pelo menos
um trabalho de casa proposto pelos docentes. Dos alunos avaliados foram aprovados 128 alunos,
reprovaram 67 e 26 não realizaram os exames finais.
6.1
Alguns factores relacionados com o insucesso
Na opinião do corpo docente o insucesso dos alunos na disciplina de Matemática I está
relacionada com os seguintes factores:
1. O número fantasma de alunos que estão inscritos na cadeira mas que não frequentam a
universidade e as aulas de forma activa. Estes alunos apenas aparecem para realizar
os testes. Na maior parte dos casos aparecem aos testes sem estarem minimamente
preparados para a resolução do mesmo e acabam por desistir. Alguns destes alunos têm
explicações o que neste caso concreto é um factor positivo.
2. Nas primeiras quatro semanas de aulas (não é exagero) os alunos do primeiro ano são
desviados de forma sistemática das aulas por causa das praxes académicas perdendo
assim aulas teóricas e aulas práticas essenciais para a compreensão das matérias seguintes.
Quando finalmente aparecem às aulas ficam completamente perdidos. E depois desistem
facilmente.
22
3. Alguns alunos de outros anos não têm horário para frequentar as aulas, lá aparecem uma
vez por outra. De forma geral são alunos com outra maturidade e empenhados em fazer
a disciplina. Alguns destes alunos têm explicações o que neste caso concreto é um factor
positivo.
4. Em relação aos alunos que entram na 2a fase o problem é o seguinte: já aparecem tarde
na universidade e ainda têm as ditas praxes académicas, quando finalmente aparecem às
aulas ficam completamente perdidos e desistem facilmente.
5. Para fazer uma disciplina como Matemática I é necessário ir sempre ou quase sempre às
aulas, fazer um estudo contı́nuo, honesto e rigoroso, consultar os livros recomendados,
ou outros, sobre a matéria exposta e combater as dúvidas existentes sempre que possı́vel
por iniciativa própria. Na opinião do corpo docente são poucos os alunos com sentido de
responsabilidade.
6. Ao longo do semestre os alunos raramente aparecem nos atendimentos semanais dos docentes.
Alguns, aparecem apenas nas vésperas dos testes que é quando iniciam o estudo da
matéria para avaliação. Esta atitude de não ir aos atendimentos semanais de uma forma
sistemática é muito negativa para o sucesso na disciplina.
7. É claro que a motivação e a preparação de base dos alunos são um factor decisivo para o
sucesso ou insucesso na disciplina.
6.2
Alguns factores relacionados com o sucesso
Na opinião do corpo docente o sucesso dos alunos na disciplina de Matemática I está relacionada
com os seguintes factores:
1. Alguns alunos do primeiro ano têm uma boa preparação de base. Em relação aos alunos de
outros anos nota-se que adquiriram com o tempo uma certa maturidade que lhes permitiu
uma preparação de base aceitável ou mesmo boa.
2. O empenho e a dedicação do corpo docente motivou, sem dúvida alguma, o estudo da maior
partes dos alunos que iam às aulas. É de notar que tanto as aulas teóricas como práticas
tiveram ao longo do semestre uma assistência notável.
3. A apresentação por parte do docente das aulas teóricas de um manual didáctico sobre o
programa da disciplina auxiliou, sem dúvida alguma, o estudo dos alunos responsáveis.
4. A introdução dos TPC a entregar semanalmente constituiu para os alunos responsáveis um
estudo extra de extrema importância.
23
5. E claro a motivação pessoal de cada aluno, alheia ao corpo docente, também foi determinante
para a nota final.
Perpectivas para o futuro: no próximo ano lectivo irá ficar disponı́vel para auxiliar o
estudo dos alunos um texto didáctico sobre o programa da disciplina a ser publicado na colecção
Manuais da Universidade de Évora. Além deste texto didáctico irá ficar disponı́vel um livro de
edição de autor sobre a resolução de exercı́cios.
Para o trabalho desenvolvido pelo corpo docente ficar completo gostaria de sugerir às
Comissões de Curso um inquérito aos alunos sobre o funcionamento da disciplina de Matemática
I.
Por tudo o que foi feito durante o ano lectivo 2004-2005 o corpo docente está disponı́vel
para leccionar a mesma disciplina para o ano lectivo 2005-2006.
Sem outro assunto, atenciosamente
Évora, 10 de Fevereiro de 2005
Os docentes
(Fernando Carapau)
(Fátima Correia)
24
ANEXOS
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