EQUAÇÃO DA ONDA.
Vanderléa Rodrigues Bazão, Suetônio de Almeida Meira, José Roberto Nogueira
Departamento de Matemática, Estatística e Computação, FCT, UNESP
19.060-900, Presidente Prudente, SP
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O presente trabalho tem como objetivo estudar a formulação da equação da onda. A maioria
dos problemas físicos é modelado matematicamente por equações, ou sistemas de equações, que
envolvam derivadas parciais da função incógnita. Isto ocorre por entidades físicas, que na maioria das
vezes são funções de mais de uma variável, como por exemplo, a propagação de uma onda que pode
variar ponto a ponto, no meio e depender do tempo. As taxas de variação destas entidades são
representadas por suas derivadas parciais. Faz-se necessário, portanto, a apresentação de soluções para
estas equações. Em alguns casos é possível resolvê-las obtendo as chamadas soluções analíticas, mas
em outros só consegue-se soluções obtidas através de métodos numéricos.
Uma onda surge quando um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a
perturbação pode se deslocar ou se propagar de uma região para outra do sistema. As ondas são
relevantes em todos os ramos da ciência físicas e biológicas; temos como exemplos de fenômenos
ondulatórios: a oscilação de cordas, o som, a luz, as ondas do mar, a transmissão de rádio e de
televisão e os terremotos.
As Ondas Mecânicas são as mais familiares, elas são encontradas praticamente o tempo
todo, como nas ondas na água, as ondas sonoras e as ondas sísmicas; todas possuem certas
características centrais, pois são governadas pelas leis de Newton e podem existir apenas dentro de um
meio material, como na água, no ar e nas rochas.
Assim em nosso trabalho vamos analisar a situação da oscilação de uma corda,
consideremos uma corda flexível com peso desprezível que está fixa nas extremidades nos pontos
(0,0) e (π ,0) . A corda é deformada para alguma posição inicial y = f (x ) no plano xy e depois
solta. Vamos ignorar os efeitos de amortecimento como a resistência do ar, e ainda supomos a posição
de repouso.
Agora se puxarmos a corda na direção vertical e assim colocada em movimento em um
plano vertical, supondo que a oscilação tenha amplitude pequena. Quando em equilíbrio, o segmento
ocupará um pequeno intervalo, de comprimento Δx centrado em x . Adotamos a convenção física
usual de supor que o deslocamento (movimento) do elemento de corda é pequeno, de forma que existe
um erro mínimo em supor que o movimento de cada ponto do elemento de corda seja extritamente
vertical.
A massa Δm do segmento, dividida pelo comprimento do mesmo se define como a
densidade de massa que denotaremos por ρ (medida em unidade de massa por unidade de
comprimento): Δm = ρΔx . Supomos também que a densidade de massa seja uniforme ao longo da
corda.
Vamos denotar a tensão na corda no ponto x no instante t , por T ( x, t ) , note que a corda
está em equilíbrio quando T ( x,0 ) que supomos ser uniforme. Para uma situação, de "não equilíbrio",
o segmento terá um deslocamento transversal aproximado u ( x, t ) , sobre o segmento. Assim esse
segmento, não será mais reto, terá em geral uma "curvatura" e desse modo, a tensão no segmento terá
deixado de ser T ( x,0 ) , pois seu comprimento será aumentado.
Buscamos, agora a força resultante sobre o segmento, notando, que no extremo esquerdo, o
seguimento é puxado para baixo com uma força igual T ( x, t )senθ e no extremo direito é empurrado
para cima com uma força igual a T ( x + Δx,t ) cos(θ + Δθ ) , vide na (Figura 1.1).
Figura 1.1: Oscilação da corda
Assim usando as Leis de Newton e alguns conceitos do cálculo diferencial, obtemos que:
T ∂ u ∂ 2u
.
=
ρ ∂x 2 ∂t 2
2
É tradicional, denotar a constante (T/ρ) à esquerda por c 2 . E finalmente, chegamos a Equação
da Onda:
c2
∂ 2u ∂ 2u
=
∂x 2 ∂t 2
(1.1)
onde c 2 é a tensão dividida pela densidade linear, de modo que c tem dimensão de velocidade, assim c
é a propagação da onda ao longo da corda.
A equação (1.1) é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, para obter uma possível
solução para essa equação é necessário impor condições de fronteira, como nas hipóteses feitas
anteriormente na quais as extremidades estão fixas, entretanto para essa mesma equação poderiam
ocorrer outras situações como: uma extremidade estar livre e a outra presa, ou ambas estarem livres.
Também é preciso estabelecer as condições iniciais, como a posição inicial da corda e a
velocidade que devem ser escritas como funções de variáveis reais. Para obter uma solução escrita
para essa equação diferencial é muito importante estabelecer as hipóteses sobre as condições iniciais,
pois o Método de Fourier permite escrever essa solução como uma série de senos e cosenos, entretanto
nem sempre é possível escrever a solução analítica para o problema, dessa forma existem os métodos
numéricos que fornece aproximações para a solução.
É interessante frisar que as equações diferencias que definem diversos outros problemas
ondulatórios como os de linhas transmissão ou das vibrações longitudinais, são escritos de uma forma
geral do mesmo modo da equação (1.1).
Referências
[1] FIGUEIREDO, D. G., Analise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. Rio de Janeiro: Projeto
Euclides, 1977.
[2] HALLIDAY, D. RESNIK, R.WALKER, Fundamentos de Física 2. Rio de Janeiro: LTC, 1996
[3] MEDEIROS, L. A. & ANDRADE, N. G., Iniciação às equações diferenciais parciais. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1978.
[4] SIMMONS, G. F. & KRANTZ, S. G., Equações Diferenciais: Teoria, Técnica e Prática. São Paulo:
McGraw-Hill, 2008.
[5] YOUNG, H. D.& FREEDMAN, R. A., Física II: Termodinâmica e Ondas. 10ª ed. São Paulo:
Pearson Addison Wesley, 2003.
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