Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área de Matemática
Investigação Operacional / Técnicas de Optimização e Decisão
Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente, Engenharia Informática e Engenharia Civil
Ano lectivo 2004/2005
Folha 5
—–3—–
1. Uma fábrica de mobiliário produz quatro tipos de móveis em três secções: Polimento, Montagem
e Corte. A actual capacidade dessas secções é de 480, 800 e 900 horas-máquinas, respectivamente.
Tendo como objectivo a maximização do lucro, a formulação do problema conduziu ao seguinte
programa linear:
max z = 90x1 + 160x2 + 40x3 + 100x4
s.a 2x1 + 8x2 + 4x3 + 2x4 ≤ 480
5x1 + 4x2 + 8x3 + 5x4 ≤ 800
7x1 + 8x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 900
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
A resolução do problema conduziu à solução óptima com as variáveis básicas com os seguintes
valores:
x2 = 25
x4 = 140
x7 = 0.
(a) Determine os intervalos de sensibilidade para as margens unitárias de cada produto.
(b) Determine os intervalos de sensibilidade para as capacidades das três secções.
(c) Determine os intervalos de sensibilidade para os consumos unitários na secção de Montagem
por parte dos produtos 1 e 2.
(d) Determine as implicações na solução óptima de um aumento de 200 horas-máquina na secção
de Montagem.
(e) Determine o novo plano de fabrico associado a um lucro unitário adicional de 20 u. m. no
produto 1.
(f) Calcule o lucro mı́nimo que o mobiliário do tipo 2 pode dar sem alterar o actual plano de
fabrico.
(g) Encara-se a hipótese de o mobiliário passar a ser também envernizado de acordo com os
seguintes consumos especı́ficos.
tipo 1 - 10 H-H
tipo 2 - 1 H-H
tipo 3 - 3 H-H
tipo 4 - 5 H-H
Supondo que as disponibilidades desta secção são de 600 H-H, determine o novo plano de
fabrico.
1
2. A empresa M, Lda. produz três artigos. Para desenvolvimento da sua actividade produtiva a empresa dispõe de 8 operários, cada um podendo trabalhar 40 horas/semana, e de 400 tons de matéria
prima por semana. Cada unidade do produto 1 necessita de 5 horas-homem e 6 tons de matéria
prima, sendo de 8 h-h e 8 tons as necessidades para o produto 2 e de 6 h-h e 7 tons para o produto
3. As previsões de vendas mensais para cada um dos produtos são de 30, 25 e 40 tons respectivamente. Com a venda destes produtos a empresa consegue uma margem unitária de 5, 10 e 8 u. m.
respectivamente.
Para planeamento da sua produção a empresa serviu-se dum modelo de P. L. cujo quadro óptimo é
o seguinte:
x3
x5
x6
x2
x7
f. o.
x1
0
1
1
5/8
−5/8
−5/4
x2
0
0
0
1
0
0
x3
1
0
0
0
0
0
x4
0
−1
0
1/8
−1/8
−5/4
x5
0
1
0
0
0
0
x6
0
0
1
0
0
0
x7
0
0
0
0
1
0
x8
1
−1
0
−3/4
3/4
−1/2
40
40
30
10
15
−42
(a) Até quanto pode diminuir a margem bruta unitária do produto 2 sem que ele deixe de ser
produzido?
(b) Analise as implicações da contratação de mais um operário.
(c) A direcção comercial propõe um plano de expansão do mercado que se traduz num acréscimo
das vendas potenciais em 10 tons no produto 1, 15 tons no produto 2 e 20 tons no produto 3,
prevendo para isso um investimento de 10 u. m.. Analise as implicações desta proposta.
(d) O cliente do produto 1 está disposto a pagar mais 1,5 u. m./ton, desde que a empresa se
comprometa a entregar pelo menos 15 tons desse produto. Tome uma decisão fundamentada
e analise as suas implicações.
3. A empresa Kapa, Lda. fabrica dois produtos, 1 e 2, não tendo problemas com a venda da totalidade
da produção. Cada unidade do produto 1 necessita de 2 H-H do departamento A e 1 H-M do
departamento B, enquanto que cada unidade do produto 2 necessita de 2 H-H do departamento A e
2 H-M do departamento B. As disponibilidades dos dois departamentos são de 160 H-H e 120 H-M
respectivamente. Por outro lado, cada unidade do produto 1 necessita de 4 unidades de matéria
prima e cada unidade do produto 2 de 2 unidades desse recurso, sendo de 280 unidades as suas
disponibilidades. Quanto às margens unitárias, estas são de 10 e 15 u. m. para os produtos 1 e 2,
respectivamente.
A direcção de produção serviu-se dum modelo de P. L. cuja solução óptima é dada no quadro
seguinte:
x1
x2
x5
f. o.
x1
1
0
0
0
x2
0
1
0
0
x3
1
−1/2
−3
−5/2
2
x4
−1
1
2
−5
x5
0
0
1
0
40
40
40
−1000
(a) Até quanto pode aumentar a capacidade produtiva do departamento B sem que o seu preço
sombra se altere?
(b) Suponha que há possibilidade de recorrer a um turno extraordinário, com acréscimo de 40
H-H no departamento A e 30 H-M no departamento B, a que corresponde um acréscimo de
custos de 120 u. m.. Acha que é de recomendar o recurso ao turno extraordinário? Em caso
afirmativo indique o novo plano de produção.
(c) O Departamento de Investigação e Desenvolvimento, após ter realizado os estudos respectivos, propôs alterações no produto 2. De acordo com essa proposta o produto 2 passará
a necessitar de apenas 1 H-H do departamento A e 1,5 do departamento B, mantendo-se o
consumo unitário de matérias-primas. Analise as implicações da proposta.
(d) O Departamento de Marketing sugere a introdução de um novo produto que necessita de
1 H-H do departamento A, 3 H-M do departamento B e 3 unidades de matéria prima, por
unidade produzida, possibilitando uma margem unitária de 20 u. m.. Analise igualmente as
implicações desta sugestão. Caso seja recomendável e perante a imposição de aceitação de
apenas uma das propostas - do Departamento de I&D ou do Departamento de Marketing indique por qual delas optaria.
(e) Analise separadamente o comportamento da solução óptima perante a variação das disponibilidades de matéria prima entre 200 e 400 unidades e da margem do produto 2 entre 10 e 20
u. m..
4. Considere a formulação de um problema de maximização de lucros, em que a primeira restrição
se refere à capacidade, em horas-máquina (2000 h/mês), a segunda ao trabalho (3500 h/mês) e a
terceira às matérias primas (8000 Kg/mês):
max z = 3x1 + 3x2
s.a x1 + 3x2 ≤ 2000
4x1 + 2x2 ≤ 3500
6x1 + 14x2 ≤ 8000
x1 , x2 ≥ 0
A resolução do problema conduziu à solução óptima:
x1 = 750,
x2 = 250,
x3 = 500,
x4 = 0,
x5 = 0
e
z = 3000
(a) A empresa foi solicitada a alugar 600 H-M da sua capacidade mensal por 100 u. m.. Tome
uma decisão fundamentada.
(b) Dada a incerteza que existe quanto à disponibilidade de matérias primas podendo variar ±
1000 Kgs no próximo mês, alterava a estrutura do plano de produção?
(c) Estude o comportamento do plano de fabrico quando a disponibilidade mensal das matérias
primas varia entre 8000 e 11000 Kgs.
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5. Uma fabrica de objectos de mármore produz quatro tipos de objectos: jarras, cinzeiros, formas
livres e estátuas. Para cada objecto são necessárias as seguintes horas:
Secção
Corte
Cinzelagem
Polimento
Lucro Unitário u. m.
Jarras
30
20
0
280
Produto
Cinzeiros F. Livres
5
45
8
60
20
0
40
500
Estátuas
60
30
120
510
Disponibilidade
300
180
300
Nestas condições o plano de fabrico é dado pelo seguinte quadro
x4
x1
x7
f. o.
x1
0
1
0
0
x2
−7/15
11/10
76
−30
x3
−3
15/2
360
−70
x4
1
0
0
0
x5
1/15
−1/10
−8
−6
x6
−1/10
1/5
12
−5
x7
0
0
1
0
2
6
60
2700
(a) Suponha que a produção de bustos pode ser feita nas seguintes condições:
Corte - 15H; Cinzelagem - 10H; Polimento - 20H; Lucro Unitário - 240 u. m.
Deverá a empresa alterar o seu plano de produção no sentido de produzir bustos?
(b) Suponha que dispendendo 75 u. m. a empresa pode dispor de mais 5 horas na secção de
Corte e 5 horas na secção de Cinzelagem. Trará esse acréscimo de capacidade vantagens para
a empresa?
(c) De quanto deve ser aumentado o lucro das formas livres de modo a que esta actividade se
torne lucrativa?
(d) Determine o intervalo de variação para o lucro unitário das jarras de forma que não haja
alteração da estrutura do plano óptimo. Que actividades se tornam básicas nos extremos do
intervalo?
(e) Suponha que um novo processo permitia produzir cinzeiros gastando apenas 5, 8 e 15 horas
das três secções. Alterava o plano de produção? E se o consumo das jarras passasse a ser de
20, 20 e 0 horas das três secções, qual o novo plano óptimo?
(f) Proceda à análise de sensibilidade de consumo unitário de horas de corte das jarras e por parte
dos cinzeiros.
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6. Seja um problema de planeamento da produção de três produtos, em que as restrições se referem a
capacidades máximas (expressas em minutos/dia) nas três secções de fabrico a que corresponde o
seguinte P. L.:
max z = 6x1 + 2x2 + 5x3
s.a x1 + 2x2 + x3 ≤ 430
3x1 + 2x3 ≤ 460
x1 + 4x2 ≤ 220
x1 , x2 , x3 ≥ 0
A resolução deste programa conduziu à solução óptima:
x2 = 100,
x3 = 230,
x6 = 20,
x1 = x4 = x5 = 0
e
z = 1350
(a) Admitindo que é necessária a passagem dos três produtos por uma quarta secção de fabrico
caracterizada por ter uma produção máxima baseada em 480 minutos/dia de 120 unidades
do produto 1 ou 480 unidades do produto 2 ou 240 unidades do produto 3, determine a nova
solução no caso dessa secção ser utilizada 548 minutos/dia.
(b) No problema original, suponha que é possı́vel proceder ao aumento das capacidades das três
secções, uma de cada vez.
i. Qual o acréscimo máximo de capacidade de cada secção que deixa a estrutura do plano
de fabrico inalterada?
ii. Indique os planos de fabrico respectivos.
iii. Qual a secção que recomendaria para a expansão da capacidade.
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