Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Área de Matemática
Investigação Operacional / Técnicas de Optimização e Decisão
Engenharia Quı́mica, Engenharia do Ambiente, Engenharia Informática e Engenharia Civil
Ano lectivo 2004/2005
Folha 1
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1. Um vendedor de limões e de laranjas pretende, para efeitos de venda, formar os seguintes grupos:
• 5 limões e uma laranja com o preço de 0, 4 euros;
• 1 limão e 10 laranjas com o preço de 0, 6 euros.
Na totalidade dispõe de 60 limões e 110 laranjas. Qual será a distribuição mais vantajosa para ele,
entre os dois tipos de grupos? Formule o problema.
2. Um fabricante produz bicicletas e motoretas, devendo cada uma delas ser fabricada em duas oficinas. A oficina 1 tem um máximo de 120 horas de trabalho disponı́veis e a oficina 2 um máximo
de 180 horas. A fabricação de uma bicicleta requer 4 horas na oficina 1 e 3 horas na oficina 2.
Em relação à produção de motoretas sabe-se que requer 6 horas na oficina 1 e 2 horas na oficina
2. Se o lucro é de 400 euros para uma bicicleta e de 550 euros para uma motoreta, formule o problema da determinação do plano de produção como um problema de programação linear, de modo
a maximizar o lucro.
3. Um agricultor quer assegurar que as suas galinhas recebam pelo menos 24 unidades de ferro e
8 unidades de vitaminas diariamente. Uma unidade de milho fornece 4 unidades de ferro e 1
unidade de vitaminas. Uma unidade de farinha de soja fornece 2 unidades de ferro e 1 unidade
de vitaminas, e finalmente uma unidade de farinha leguminosa fornece 5 unidades de ferro e 5
unidades de vitaminas. Formule o programa linear que lhe permite saber em que proporções devem
os três produtos ser misturados, a fim de obter a satisfação das necessidades diárias a um custo
mı́nimo, sabendo que os custos unitários dos três produtos são 40, 20 e 60 euros respectivamente.
4. Um agricultor pode usar dois tipos de cereais para alimentar as suas galinhas, de acordo com a
seguinte tabela:
Tipo de cereal
1
2
Núm. mı́nimo
de unidades
nutritivas por dia
Un. nutritivas p/kg
Vit. A Vit. B Proteı́nas
5
4
2
7
2
1
8
15
Custo p/kg
60
35
3
Sabendo que se pretende minimizar o custo de alimentação das galinhas, formule o problema na
forma de um programa linear.
1
5. Uma companhia fabrica dois tipos de cimento a partir de dois produtos quı́micos que designaremos
respectivamente por XJ100 e XJ200. O primeiro tipo de cimento contém, por quilo de cimento,
250 gramas de XJ100 e 500 gramas de XJ200, além de outros tipos de produtos não escassos. Do
mesmo modo, o segundo tipo de cimento contém, por quilo, 500 gramas de XJ100 e 250 gramas
de XJ200. A secção de vendas da empresa não garante um volume de vendas do cimento do 10
tipo superior a 10 toneladas. Além disso, a fábrica dispõe no máximo de 8 toneladas de XJ100 e de
7 toneladas de XJ200. Se a empresa lucrar 0.05 unidades monetárias e 0.02 unidades monetárias
por cada quilo de cimento do 10 e 20 tipos respectivamente, quais as quantidades a produzir de
modo que o lucro seja máximo?
6. Pretendemos alimentar uma famı́lia da forma mais barata possı́vel, mas sem deixar de lhe fornecer
a quantidade necessária de nutrientes indispensáveis. Para esse efeito, dispomos de 3 géneros
alimentı́cios que designaremos por A1 , A2 e A3 , cujos preços por quilo são de 41, 35 e 96 euros
respectivamente. Pretende-se seleccionar uma dieta (X1 unidades de A1 , X2 unidades de A2 e
X3 unidades de A3 ) o mais barata possı́vel. As exigências nutritivas desta dieta cifram-se pela
presença de nutrientes básicos (como por exemplo vitaminas, proteı́nas, etc.) que designaremos
por B1 , B2 , B3 e B4 , que terão que figurar na dieta nas quantidades mı́nimas de 1250, 280, 900
e 232.5 unidades respectivamente. No quadro seguinte apresentamos as quantidades unitárias de
nutrientes presentes em cada um dos alimentos:
Elementos
nutritivos
B1
B2
B3
B4
Alimentos
A1 A2 A3
1
3
7
1
1
0
5
3
0
6
25
1
Formule o programa linear associado a este problema.
7. Uma fábrica produz dois tipos diferentes de chapéus. Cada chapéu do primeiro tipo requer o dobro
do trabalho de um chapéu do segundo tipo. Se todos os chapéus fossem apenas do segundo tipo,
a companhia poderia produzir um total de 500 chapéus por dia. O mercado estabelece um limite
de vendas diárias de 150 chapéus do primeiro tipo e 250 chapéus do segundo tipo. O lucro de
venda é de 80 euros por cada chapéu do primeiro tipo e de 50 euros por cada chapéu do segundo
tipo. Formule o problema linear que lhe permite calcular o número de chapéus de cada tipo a ser
manufacturado de maneira a maximizar o lucro.
8. Um banco tem três actividades principais a desenvolver, a que estão ligadas três variáveis (variáveis
de decisão). Uma é o nı́vel dos seus saldos de tesouraria (cash), outra a sua actividade prestamista
(empréstimos) e a terceira a compra de acções. Face a certas restrições legais, os saldos de tesouraria devem constituir pelo menos 30 % dos depósitos legais e as acções não podem ultrapassar 65
% desses mesmos depósitos. Os depósitos totais são de 100 mil euros e os saldos de tesouraria,
empréstimos e acções não podem ultrapassar os depósitos totais. O juro dos empréstimos é de 18
%, o das acções de 19 % e é nulo o juro dos saldos de tesouraria. O banco deseja maximizar os juros
provenientes daquelas três actividades bancárias. Formule este problema na forma de um programa
linear.
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9. Uma empresa que fabrica rádios produz três marcas, A, B, e C cujos lucros por unidade são, respectivamente, 8, 15 e 25 unidades monetárias. A produção mensal mı́nima necessária é de 100 rádios
da marca A, 150 rádios da marca B e 75 da marca C. Por razões de fabrico, por cada 3 rádios da
marca C produzidos não podem ser fabricados mais que 4 rádios da marca A. Cada rádio requer
um certo tempo de produção das peças, para a montagem e para a embalagem. Especificamente, a
produção de uma dúzia de rádios da marca A requer 3 horas na secção de fabrico, 4 horas na secção
de montagem e 1 hora na secção de embalagem. Para os rádios da marca B, cada dúzia requer,
respectivamente, 3.5h, 5h e 1.5h. A produção de uma dúzia de rádios da marca C necessita de 5h,
8h e 3h respectivamente. Mensalmente, a empresa poderá utilizar cada uma das secções durante o
seguinte tempo:
• Secção de fabrico: 150 horas;
• Secção de montagem: 200 horas;
• Secção de embalagem: 60 horas.
Formule o problema que consiste na maximização do lucro total mensal da venda de rádios na
forma de um programa linear.
10. Uma companhia aérea está a considerar o problema da aquisição de aviões de passageiros para
novas rotas de longo alcance (LA), médio alcance (MA) e curto alcance (CA). O preço da compra
é de 6.7, 5 e 3.5 milhões de euros por unidade, respectivamente, de LA, MA e CA. O conselho
directivo da empresa autorizou um orçamento máximo de 150 milhões de euros para a compra de
novos aviões. Independentemente do tipo de aviões a comprar, sabe-se que eles serão utilizados
no máximo das suas capacidades. Assim, estima-se que o lucro lı́quido dado anualmente seja de
420, 300 e 230 mil euros respectivamente, por cada avião LA, MA e CA. Prevê-se a existência de
um número suficiente de pilotos para a companhia operar até 30 novos aviões. Se se comprassem
apenas aviões de CA, as oficinas de manutenção não dariam para mais de 40 desses novos aviões.
Por outro lado, em termos de utilização dessas oficinas, cada avião de MA é equivalente a 11
3 aviões
de CA e cada avião de LA é equivalente a 4 aviões de CA. Toda esta informação foi obtida com
o objectivo de levar a cabo uma análise preliminar do problema. Usando estes dados como uma
primeira aproximação, o gabinete de planeamento e gestão deseja saber quantos aviões de cada tipo
deverão ser adquiridos de modo a maximizar o lucro total anual. Formule o problema como um
programa linear, ignorando o facto de que o número de aviões deve ser inteiro.
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