IV – Uma nova visão do Espaço e do Tempo
Contração do Comprimento
Considere uma barra em repouso em relação a um referencial R’, que se movimenta com
velocidade constante u relativamente a um sistema de referência inercial R.
Fig 1.6 Contração do Comprimento.
O comprimento da barra em cada um desses referenciais é
L = x2 − x1
e
L' = x 2' − x1'
Pelas equações da relatividade de Einstein
x2' = γ ( x 2 − ut )
x1' = γ ( x1 − ut )
subtraindo membro a membro
x2' − x1' = γ[( x 2 − ut ) − ( x1 − ut )]
x2' − x1' = γ ( x2 − x1 )
Logo
v2 '
L = 1−
L
c2
Sendo γ > 1, resulta L < L’ onde a contração do comprimento só ocorre na direção do movimento.
“O comprimento medido do referencial em relação ao qual um objeto está em movimento é
menor do que o comprimento medido em relação ao qual o objeto está em repouso”
Fig 1.7 Se o carro pudesse se deslocar com velocidade próxima à da luz, o observador parado na
calçada veria o carro mais curto. O observador no carro veria os quarteirões mais estreitos.
Dilatação do Tempo
Na relatividade de Galileu-Newton, o tempo é absoluto; não dependendo do referencial em
que é medido. Entretanto, se assumirmos como verdadeiro o princípio da constância da velocidade
da luz da relatividade de Einstein, somos forçados a aceitar a relatividade do tempo.
Fig 1.8 Uma fonte de luz F, situada no piso do veículo, emite um feixe vertical que atinge o teto de
percorrer a distância d (em relação ao referencial R’), durante um intervalo ∆t’[d = c ∆t’].
Em
∆
relação ao referencial R (fixo no solo), a luz percorre a distância D com a mesma velocidade c, num
intervalo de tempo ∆t. Assim, temos: d = c ∆t.
∆
No intervalo de tempo ∆t o veículo percorre a distância u ∆t.
∆ Aplicando o teorema de
Pitágoras ao triângulo na Fig. 1.8 (c), temos:
(c ∆ t )2 = (u ∆ t )2 + (c ∆ t ')2
⇒ ∆t2 =
2
2
2
2
c ∆ t'
c −u
(
)
⇒ ∆ t 2 c 2 − u 2 = c 2 ∆ t'2
⇒ ∆t2 =
∆ t'
2
⇒∆t =
2
1−
u
c2
∆ t'
1−
u2
c2
isto é
∆ t = γ∆ t ' =
∆ t'
1−
v2
c2
Como o fator de Lorentz γ > 1 => ∆t > ∆t’. O intervalo de tempo ∆t’ é chamado intervalo de tempo
próprio.
Assim, para quem está dentro do veículo (∆
∆t’=tempo próprio=∆t0), o intervalo de tempo
medido é menor, isto é, o tempo passa mais devagar! Por outro lado, se u << c temos γ ≈ 1 e
∆ t ≅ ∆ t 0 , isto é, os intervalos de tempo “são iguais” nos dois referenciais (∆t representa o
intervalo de tempo dilatado).
Fig 1.8 Em velocidades próximas à da luz, o movimento afeta a medida do tempo. Em (A) o trem
parte da estação às 9 h (o relógio da estação e o do trem estão sincronizados). Em (B), ao chegar em
outra estação, o relógio da estação marca 10 h (tempo dilatado) e o do trem 9:35 h (tempo próprio)
Massa e Energia
Para que o princípio da conservação da quantidade de movimento continuasse válido no
domínio de colisões interatômicas (onde a velocidade das partículas é comparável à velocidade da
luz), Einstein reformulou os conceitos de massa e energia.
Seja m0 amassa de repouso de um corpo, isto é, a massa de um corpo que está em repouso
em relação a um sistema de referência inercial R. Seja m a massa do mesmo corpo quando se move
com velocidade u, em relação ao mesmo referencial R. A relação entre m e m0 é dada por:
m = γ m0 =
m0
1−
u2
c2
Com γ > 1 (γ = 1 quando u = 0), decorre m > m0, isto é, a massa do corpo é maior quando
em movimento do que quando em repouso. O aumento de massa não significa que aumenta o
número de partículas (átomos, moléculas etc.) do corpo, e sim a inércia deste. Se o corpo atingisse a
velocidade da luz, nenhuma força seria capaz de acelerá-lo, pois foi atingida a velocidade limite.
Nesse caso, a inércia do corpo seria infinita.
Uma das maiores conseqüências da teoria da relatividade especial é o fato de que a massa é
uma forma de energia, ou seja, a energia tem inércia. Essa dualidade massa - energia é expressa
pela equação
E = mc 2
Essa equação estabelece que a energia total (em joules) de um corpo de massa m (em
quilogramas) é o produto de sua massa pelo quadrado da velocidade da luz no vácuo (em metros
por segundo). Por essa equação, 1 kg de massa é equivalente a 9 × 10 6 J , ou seja, 2,5 × 1011 kWH .
Com essa energia, uma lâmpada de 100 W poderia ficar acesa durante 2,5 × 1011 horas , o que
equivale a aproximadamente 2,8 × 10 7 anos .
A conversão de matéria em energia ocorre continuamente em fontes de energia como o Sol e
estrelas, e em todos os processos nos quais a energia é liberada, como, por exemplo, nas bombas
atômicas.
Observe que E é a energia total do corpo para um observador que mediu a massa m. Se o
corpo está em repouso relativamente ao observador, a massa do corpo é a massa de repouso m0,
sendo que a energia:
E = m0 c 2
é chamada energia de repouso do corpo. Se E é a energia total do corpo e E0, sua energia de
repouso, decorre que a energia cinética Ec será:
E c = E − E 0 = mc 2 − m0 c 2
como m = γ m0 , temos:
E c = γ m0 c 2 − m 0 c 2
isto é
E = m0 c 2 (γ − 1)
Energia e Quantidade de Movimento
Seja m a massa de um corpo que se move com velocidade u, em relação a um sistema de
referência inercial R. A energia total do corpo e sua quantidade de movimento p são dadas por:
E = mc 2 =
m0 c 2
1−
p = mu =
u2
c2
m0 u
1−
u2
c2
A relação entre E e p é
(
E 2 = p 2 c 2 + m0 c 2
2
)
Para m0 = 0, resulta:
E = pc
Portanto, partículas que possuem massa de repouso nula têm energia e quantidade de movimento. É
o caso dos fótons.