Respostas dos Exercícios de Fixação
Última Atualização:
27/12/2013
Capítulo 1
1.1)
1.2)
 
   
3
a ⋅ c + a ⋅ b + b ⋅ c =−
2

p =3
 124 64 
 239 87 
=
,
, Q 
,
1.7) P =


 49 49 
 49 49 
 
=
6
1.8) u + v
max
1.10) ( 4b , − 2b )
1.17) Área =
(
)(
3
. AB + BC . BC + CD
12
)
Capítulo 2
b. (1 − m )
a 
 1+ m  
 +

b 
2
 2 
0
2.2) 3y + x − 10 =
3
5
2.3) y =
− x + 2 e=
y
x + 2
4
12
5
2.4) − > y > − 3
3
.  x − a. 
2.1) y =
5

2.5)  x − 
2

4
2.7)
5
2
+
( y − 4 )2
=
− 4y 11
2.8) 3x
2.9) q =
e
9
=
4
5x=
+ 6y
12
3
4
2.10) a) x o > −
y o2 p
+
2p 2
=
xo
b) O L.G. é a reta
p
(p > 0 )
2.11) O L.G. de P é uma esfera com centro coincidindo com o centro (2,2,2)
do cubo, e raio igual à metade da diagonal do cubo, i.e. R = 2 3
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no
enunciado. O enunciado correto deveria ser: É dado um cubo de aresta 4.
Considere o ponto P variável no espaço de tal forma que a soma dos
quadrados das distâncias de P às 6 faces do cubo é constante e vale
48. Determine o Lugar Geométrico de P.
2.12) 12
2.13)
3 3 2
. L onde L é o comprimento da aresta do cubo
4
2
2
9
1
1


+ y +  =

2
2
2


Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na
numeração da questão. A questão referida aparece como número 2.12
(repetido), em vez do número 2.32.
2.12) L.G. é a circunferência de equação:  x −
2.14)
L2 3
3
2.15)
(x
138
+ 2y )Max =
11
(
2.16) a) ( x − 3 ) + y − 2 2
2
2.17) b)
(


2
3
. a2 + 2ab − 2b2
2
5 e x = 2y
2.18) 2x + y =
2.19)  x −
)
2
25 
25
+ y2 =
4 
16
2.20) x = z
1
2.22) β : x + y =
)
5+ 2 2 ±
=
9 b) y =
4
( x − 3)
3
 x2 − 1
2
2
2.23) y = R .  2 
 x 
2.24) R =
2.25)
145 2 + 15 29
49
22
22
y−
35=
35= z − 44
−5
3
35
x−
2.26) V =
100
unidades de volume
9
278
21
2.27)
36
2.28) ( x² + y² )máx =
2.29) 6
2.30)
1
unidades de distância
3
0
2.31) − 2x + y + z + 1 =
1
unidades de distância
3
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na
numeração da questão. A questão impressa com o 2.32 é uma repetição da
questão 2.30.
2.32)
0
2.33) x + y + 1 =
Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no
enunciado. O enunciado correto deveria ser:
Considere os feixes de retas concorrentes (onde p e q são parâmetros
reais) abaixo. Determine a equação da reta comum aos dois feixes.
3.x – y + 3 + p.( x + y + 1) = 0
2.x + 2.y + 2 + q. (4.x – y + 2 ) = 0
Para o enunciado original, a resposta seria: “há infinitas retas comuns aos
dois feixes”.
y
2.34) A segunda reta tem equação:=
3x − 2
Existem duas circunferências que atendem à descrição do problema, e suas
equações são dadas por:
2
2
1
2
13


e
x − 5 + y + 5 =
5




2
2.35) x + y + 2z − 6 − 6 =
0
2.36) Dois pares de retas atendem às condições:
y=
2x − 3 e 2y =
9 − x ou 2y =
x+3 e y =
− 2x + 9
2.37) x 2 + ( y + 2 ) =
8
2
2.38) Circunferência de centro (0,0) e raio
2.39) x − 1 =
6
y+2
= z −1 = t ∈
−2
2.40) ( x − 2 ) 2 + ( y + 4 )
2
2
9
18 
73


x + 5 + y − 5  =
5




=
18
2.43) Circunferência de centro em (xo,yo) e raio r.
Capítulo 3
3.1) Eixos : 6 2 e 12, excentricidade :
3.2) Elipse de centro em
comprimentos
OBS: Sendo
3
a

 2 , 0  e semieixos maior e menor de


a b
e
, respectivamente.
2 2
x2
a2
+
y2
1 a equação da elipse dada, com A = (-a,0),
=
b2
temos que a equação do LG pedido é:
a

x − 2


a
2
 
2
2
+
y2
b
2
 
2
=
1
3.3) O LG procurado é uma elipse de centro no ponto médio de AB e
semeixos maior de medida
p . ( p − 4c )
p − 2c
e menor de medida
sendo
12
6
2c a medida de AB . Do LG devemos excluir os 2 vértices localizados no
eixo focal.
3.4) Par de hipérboles: x 2 − y 2 =
±
1
3
3.5) LG é a circunferência de centro B e raio (2a – d), a menos dos pontos
colineares a A e B.
3.6) y 2 − x 2 =
16 (hipérbole), com exceção do ponto B
8

3.7) a) F =−
 2 , − 3


b) d: 3x + 4y +
125
=
0
3
3.8) Elipse de eixos maior e menor de medidas 6 e 3, respectivamente, com
exceção dos vértices do eixo foca
OBS: Sendo
x2
a2
y2
+
b2
=
1 a equação da elipse dada, temos que a
equação do LG pedido é:
x2
4y 2
+
=
9
9
1 , y≠0
3.9) Elipse de eixo maior AB e eixo menor de medida 4, com exceção dos
pontos A e B.
3.10) Mostra-se que as equações são equivalentes a:
(x −
xo )
2
+
a2
(y −
yo )
b2
2
=
1
Uma parametrização para a equação da parábola proposta pode ser:
 x = t


t2
 y = 2p

3.12) b) 2y= 1 + x 2
c) D = (3,5)
2
x2
AB
3.13) y =
−
+
h
4h
(parábola )
3.18) S
=
(a.x
a
2
2
o
− yo
)
3
2
LG de A, admitindo S constante é parábola de equação:
1
 a.S2  3
y a x2 − 
=
 4 


2
p
.y² +
p
2
(duas parábolas com vértice coincidindo com o foco da parábola original)
3.19) ± x=
0
3.20) O LG terá equação: 2 x y − y o x − x o y ± K =
i) Par de hipérboles, se K ≠
x o2 + y o2
4
ii) Par de retas perpendiculares, se K =
x o2 + y o2
4
2
7
162

3.22) O LG terá equação:  x −  − y 2 = (hipérbole)
5
25


Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no
enunciado. O enunciado correto deveria ser:
De um ponto variável P traça-se uma reta de coeficiente angular m = 1,
que intercepta a reta de equação 5 . x – 16 = 0 em um ponto Q. Sendo
A = (5,0), determine o Lugar Geométrico dos pontos P sabendo-se que
este se move de modo que PA = PQ.
3.24) O L.G. do ponto médio do segmento AC é a semi-circunferência de
centro no ponto médio de AO e raio R/2.
3.27) O L.G. de A é dado pela equação paramétrica:
yA2
d2
+ xA2 =
k
Discutindo o LG para os casos particulares de k:
0 < k < 1





3.29) −
→
elipse, com eixo principal na horizontal
k
1
=
→
circunferência de raio d e centro ( 0,0 )
k > 1
→
elipse, com eixo principal na vertical
3
4
3.33) O LG é a diretriz da parábola.
3.37) O ângulo entre as curvas são: ± Arc tan
( 6)
3.38) x 2 − y 2 =
9 (hipérbole)
3.39)
a2
x '2
+
b2
y '2
=
1
Gráfico: o esboço abaixo considera uma elipse tal que b > a. Note que,
apesar da aparência hiperbólica, o LG não é uma cônica.
3.41) a) O LG é uma superfície cônica que compartilha o mesmo eixo do
 cos α 
cone e cuja geratriz vale: β = Arcsen 

 2 
b) A área do segmento é dada=
por: S
8 2
d senα
3
3.42) x 2 + ( y − 3 ) =
4 , com exceção dos pontos (0,1) e (0,5)
2
3.43) Hipérbole centrada em ( r , − 2r ) com semi-eixos valendo r.
3.44) O L.G. de M2 é a circunferência de centro F e raio 2.a
3.45) 10 ( y + 3 )
2
− 3x 2 =
30
3.46) Elipse com focos nos centros de C1 e C2 e eixo maior de medida
r1 + r2
3.47) Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um
erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser:
2
2
Considere a parábola y = x e o ponto variável P = (t, t ) pertencente a
parábola (t variando no conjunto dos reais). Seja h uma constante
real, e os pontos A e B sobre a parábola com abcissas t – h e t + h,
respectiveamente. Mostre que a área do triângulo PAB é constante,
independente de t.
Capítulo 4
4.1) a) hipérbole
y
y"
x"
1
.arctan ( 3 )
2
x
b) elipse
y
y"
x"
45º
x
c) Duas retas concorrentes ( 2y + x = 0 e y = 2x – 1 )
y
x
d) Duas retas paralelas ( 2x + y = 0 e 2x + y + 3 =0 )
y
x
y
x"
y"
e) hipérbole :
45º
x
f) hipérbole
y
y"
x
x"
g) parábola
y"
x"
y
45º
x
1
3
Arc tan  
4.2) a) hipérbole, θRotação =
2
4
45o
b) elipse, θRotação =
45o
c) hipérbole, θRotação =
4.3)
a
4
= −
b
15
4.4) Ponto de tangência = ( 2, 0)
Nota do Autor: A seção cônica aparece, em algumas versões impressas,
escrita de forma errada. A correta equação deveria ser:
x 2 − 4 x.y − y 2 + 2x − 4y − 8 =
0
4.5)
=
α
Existem
π
ou
=
α
4
dois
valores
de
5π
4
α
que
atendem
à
condição:
0
4.6) 7x + 15y + 7 =
 t 2 − p2
4.7) O ângulo agudo é dado por: θ = Arc tan 

p





Nota do autor: Alguns leitores chamaram atenção para umaa possível
confusão com uma das palavras usadas para descrever P no enunciado.
Em vez de “P está sobre a parábola”, a melhor escolha de palavras diria: “P
está acima da parábola”.
4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x 2 + 2 y 2 =
8
4.10) O LG pedido é a elipse de equação: x 2 + 2 y 2 =
2
4.12) Os possíveis valores de a são: 1,
3
5
e
4
4
4.13) O L.G. é representado pelas duas curvas:
4x 2 + 4y 2 + 4 3 b y − b2 =
0 ( circunferência )
 2
2
2
0 ( hipérbole )
4x − 28y + 4 3 b y − b =
4.14) k =
5
2
4.18) O L.G. do ponto médio do segmento AB é a curva de equação
4y 2 + 6xy + 3y − 45 =
0 (hipérbole)
Gráfico:
y
s
y"
A
t
B
x
P
x"
4.19) Tipo parábola
4.20)

a < −2

−
≤
2
a < 2


 2 ≤ a < 5

=
a
5


a > 5

4.21)

a > 1

 0 < a ≤ 1

=
a
0

→ 0 soluções
→ 1 solução
→ 2 soluções
→ 1 solução
→ 0 soluções
→ 1 solução
→
2 soluções
→ 1 solução
4.22)
a < 0

a > 0
→ 1 solução
→ 2 soluções