Sala de Professor • ARTE NA GALERIA: PERSPECTIVA
CONCEITOS
Artes
• A arte como produção humana de sentidos para a cultura e que se transforma no
tempo e no espaço.
• A perspectiva geométrica.
• O scorso.
• A anamorfa.
• A perspectiva aérea/atmosférica.
Matemática
• Comparação dos conceitos abaixo no plano e na esfera:
- Conceito de reta, círculo máximo e menor distância entre dois pontos.
- Unidades de medidas de distância.
- Retas paralelas e perpendiculares.
- Triângulos: possibilidades de construções e soma dos ângulos internos.
Psicologia
• Relações entre o mundo e a maneira como o homem o percebe ao longo do tempo.
• Motivações para a expressão artística.
• Processos de ensino e aprendizagem em arte.
MATERIAIS
• Lápis, borracha, canetas, etc.
• Folhas de papel sulfite.
• Cartolina, pincéis, canetas hidrográficas para cartazes.
• Quadro-negro e giz.
• Jornais e revistas.
• Gravações sonoras e de imagem.
• Gravadores e fitas cassetes.
• Máquina fotográfica e filme (preto-e-branco e/ou colorido).
• Régua, bola de plástico ou borracha (que seja lisa), álcool e pano para apagar os
riscos com as canetas hidrográficas, barbante.
• Material opcional: globo terrestre e mapa-múndi (plano).
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SUGESTÕES DE ATIVIDADES
Introdução: a arte.
O programa apresenta, de maneira ágil, uma das mais importantes coleções de arte do
mundo. É aconselhável que seja visto demoradamente, com direito a todas as pausas
que se fizerem necessárias.
Além do conteúdo explícito, ele é uma excelente oportunidade para que o
professor de Artes comente com a classe a especificidade da coleção da
National Gallery de Londres, e mesmo que encomende aos alunos trabalhos
que expandam as informações veiculadas na fita. Será uma ocasião importante
para que os alunos reflitam sobre o papel educacional dos museus, de como
essas instituições têm se constituído em parceiras das atividades escolares.
Caberá ainda enfatizar como os museus têm constituído depar tamentos
específicos de educação, para melhor adequar o contato do público com as
diferentes apresentações de suas coleções.
Valerá lembrar e informar que a concepção do museu inspirou e colaborou na formatação
da coleção do MASP – Museu de Arte de São Paulo Assis Chateaubriand, que, à maneira
do museu londrino, também coleciona arte ocidental do século XIII ao século XX, e
ainda que tenha uma coleção importantíssima, não se equipara à excepcional referência
inglesa.
O vídeo aborda um tema de grande destaque nas artes plásticas: a questão da
reprodução visual do “real” e suas implicações pelo uso ou não do recurso técnico da
perspectiva para sua representação. Por essa razão, a proposta é a de que este trabalho
interdisciplinar seja coordenado pela disciplina Artes.
Quando apresentar o projeto aos alunos, o professor de Artes deverá mencionar a
participação das demais disciplinas (Matemática e Psicologia) na construção conjunta
de um trabalho, e alertar para a valiosa contribuição que cada uma dará para a
realização da atividade.
A proposta de integrar áreas aparentemente tão distintas deve-se ao fato de que, ao
longo da História, arte e ciência sempre estiveram relacionadas. Por exemplo: a pintura
e a arquitetura da Renascença são incompreensíveis sem a Matemática e a teoria da
harmonia e das proporções; a pintura impressionista, incompreensível sem a física e a
óptica, isto é, sem a teoria das cores, etc.
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Ou seja, ainda que o conceito perspectiva seja especialmente caro à área das artes
visuais, ele pode ser explorado por outras áreas do conhecimento.
Nessa oportunidade, é importante também que o professor faça esclarecimentos acerca
das etapas que serão desenvolvidas, bem como um cronograma que deverá ser
cumprido (a ser combinado com os docentes de cada disciplina envolvida).
O vídeo é interessante por abordar de maneira clara, dinâmica e didática um seleto
conjunto de pinturas da National Galley de Londres, uma das mais prestigiosas
coleções de arte ocidental existentes no mundo, sobretudo européia, do século XIII
ao século XX.
A escolha dispõe metalingüisticamente as obras selecionadas numa perspectiva histórica,
visando a dar à compreensão, o aprimoramento contextualizado das técnicas de
representação pictóricas do real.
Ao explorar a temática da perspectiva e suas possibilidades em obras produzidas em
diferentes períodos históricos, o vídeo oferece também uma boa oportunidade para
que o aluno estabeleça relações entre o mundo e a maneira com que o homem o
percebe ao longo do tempo.
Não deixe de assinalar para a classe os recursos usados pelo realizador para enfatizar
ou explicar os conceitos estudados: os closes, as inserções, enfim, um divertido conjunto
de procedimentos que atualizam para o espectador, na linguagem videográfica,
inúmeras questões abordadas pictoricamente pelos artistas selecionados.
Nesse sentido, ele evidencia que toda experiência de criação apresenta elementos
estéticos, com diferentes significados relacionados, entre outros aspectos, à determinada
época histórica e contexto cultural.
Ao encarar a arte como produção de significações e sentidos que se transformam no
tempo e no espaço, o aluno terá também a oportunidade de contextualizar a época
em vive e sua relação com as demais.
O vídeo também ajuda a problematizar um mito bastante difundido no senso comum de
que fazer arte é um dom. Ou seja, de que não existem processos de ensino e
aprendizagem em arte, já que esta é uma atividade espontânea e natural do ser humano
predestinado pelo dom ou talento inato.
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O apoio das disciplinas
A Psicologia
A compreensão dos conceitos estudados em geometria que ensinamos aos alunos é a
de que conceitos e propriedades são verdades absolutas, imutáveis e indiscutíveis. Isso
porque somente apresentamos a eles a geometria plana elementar e raramente nos
referimos a outros tipos de geometrias, em superfícies não planas.
A sugestão para expandir esse quadro de referencias é trabalhar com algumas
propriedades e conceitos básicos e, através de atividades exploratórias, mostrar aos
alunos que existem “outras verdades”, se olharmos o mesmo mundo sob outro ponto de
vista, ou melhor, segundo uma outra perspectiva, diferente daquela habitualmente usada.
Dessa forma, para melhor apoiar o trabalho interdisciplinar, a proposta em Matemática
é trabalhar com conceitos como distâncias, retas paralelas e perpendiculares, e
triângulos, sobre uma superfície esférica, explorando os resultados, no plano e na esfera,
e comparando-os.
Com essas atividades, os alunos poderão perceber que os conceitos e propriedades
conhecidos por eles podem ser bem diferentes se mudarmos o “ponto de vista” para o
seu estudo.
A proposta em Psicologia para apoiar o trabalho é a de justamente discutir alguns aspectos
que motivam e caracterizam a experiência do fazer artístico.
Na primeira etapa do trabalho com a área de Psicologia, os alunos serão convidados a
reassistirem ao filme (devidamente munidos de papel e caneta), com a tarefa de registrar
individualmente as impressões e questões suscitadas ao longo da projeção, no que diz
respeito aos diferentes modos de interpretar e representar a realidade apresentada.
Acabada a exposição, o professor deverá solicitar que os alunos façam alguns
comentários sobre as anotações individuais. Em seguida, deverá analisar com a turma
alguns pontos relevantes do assunto. Nessa atividade, o professor pode sugerir alguns
temas para esquentar o debate: o que e quem os artistas retratam por meio da pintura?
A realidade? Aspectos da realidade? Aquilo que o artista quis destacar da realidade?
Ou ainda, aquilo que a realidade destacou no universo mental do artista? Nesse momento,
é importante lembrá-los que a arte, apesar de capturar os dramas humanos e sociais,
não é – e nem pretende ser – o espelho da realidade, pelo menos não o tempo todo.
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A arte é justamente o campo da percepção, da imaginação, de tudo o que está também
além do real. É por essa razão que descobrir o que está presente numa obra pode ser
tão enigmático e instigante.
O vídeo mostra como as artes e a técnica (assim como a sociedade) se modificam ao
longo do tempo. São, portanto, históricas.
Em outras palavras, demonstra os diferentes modos de ver, de representar e exprimir a
realidade construídos ao longo da história. Mas será mesmo que essa história é tão
cumulativa, evolutiva, progressiva e contínua como pode parecer?
Ou, ao contrário, ela pode também ser descontínua, realizar-se por saltos, e cada nova
expressão artística possuir um sentido próprio, válido apenas para ela, sem que seja
necessariamente uma evolução? Ela não pode ser uma negação, uma ruptura com o
que a antecedeu?
Aproveite também para informar a turma que, assim como as noções e modos de tratar
a representação se modificaram ao longo do tempo, a percepção dela, isto é, da
representação, também se modifica ao longo da vida dos indivíduos.
Vale a pena tecer alguns comentários sobre a gênese da arte infantil, destacando a
influência que esta recebe das imagens, do meio e da ação educativa. Diferentemente
do adulto, a criança pequena (entre dois e quatro anos de idade) não possui noção de
perspectiva. É por essa razão que é comum vermos crianças dessa faixa etária, por
exemplo, estendendo as mãos para a lua na esperança de agarrá-la ou tentando pegar
um pássaro no céu.
Nessa fase, as percepções de tempo e de espaço das crianças ainda são bastante
rudimentares e passará muito tempo até que se tornem como nos adultos. Seus desenhos,
por sua vez, expressam justamente esse modo de ver o mundo.
Numa segunda etapa, proponha uma reflexão em grupos de, no máximo, cinco alunos,
sobre as motivações para a expressão artística. Reproduza numa folha os dois trechos
que apresentamos a seguir, um da filósofa brasileira Marilena Chauí, e o outro da arteeducadora paulista Mirian Celeste Martins.
A obra de arte busca caminhos de acesso ao real e de expressão da verdade. Em
outras palavras, as artes não pretendem imitar a realidade, nem pretendem ser ilusões
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sobre a realidade, mas exprimir, por meios artísticos a própria realidade. O pintor deseja
revelar o que é o mundo do visível; o músico, o que é o mundo sonoro; o dançarino, o
que é o mundo do movimento; o escritor, o que é o mundo da linguagem, o escultor o
que é o mundo da matéria e da forma. Para fazê-lo, recorrem às técnicas e aos
instrumentos técnicos (como sempre o fizeram, apesar da imagem do gênio criador
inspirado, que tira de dentro de si a obra). (Chauí, 1995. p. 318)
[...] cor não existe para ser fria ou quente, primária ou secundária, mas para expressar
estados da alma, para construir sutis mutações ou explodir com a sua materialidade...
Linha não existe para ser sinuosa, reta ou quebrada, mas para expressar tensão, fluência,
devaneio, rigor... Temas não existem para registrar a história, para serem encomendas
da Igreja, da nobreza ou da escola, mas para expressar a vida, interpretando-a e
ressignificando-a sob a ótica pessoal, crítica e única de seu criador. A perspectiva não
existe para o exercício geométrico ou de linhas de horizonte, mas para dar a ilusão de
profundidade e burlar o compreensível na tridimensionalidade também surrealista ou na
economia minimalista. A técnica não existe para ser experimentada apenas, mas para
que sustente e dê corpo às idéias que se desvelam pelas linguagens das artes visuais,
dança, teatro, música e de outras tantas. (Martins, 2002. p. 54)
As sínteses das discussões deverão ser apresentadas, para toda a classe, em forma de
painéis.
A Matemática
Nas escolas, o curso de geometria fundamenta-se principalmente nos conceitos e nas
estruturas euclidianas. Selecionei e traduzi algumas atividades do livro As aventuras nãoeuclidianas na esfera de Lénárt – Pesquisas na geometria plana e esférica, de István
Lénárt (vide bibliografia) como sugestão de trabalho para o professor aplicar e discutir
com os alunos alguns conceitos básicos da geometria, como retas, círculos, distância e
triângulos, tratados aqui segundo dois pontos de vista diferentes: no plano e na esfera.
Esses conceitos são explorados, de forma comparativa, no plano e na esfera, e os alunos
terão a oportunidade de observar que algumas propriedades tão “óbvias” na geometria
plana elementar são diferentes e fascinantes quando aplicadas na superfície esférica.
O vídeo sugere uma discussão sobre a perspectiva a partir de diferentes pontos de vista,
já que faz comparações, ao longo do tempo, de como cada artista representou sua
visão de mundo em suas obras. Ao trazer essa discussão para a disciplina de Matemática,
mais especificamente no campo da geometria, precisamos repensar na geometria vista
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e trabalhada com os alunos durante toda a sua vida escolar. Acabamos por criar nos
alunos que a imagem dos conceitos vistos em geometria é a de que as teorias e as
propriedades são verdades absolutas, imutáveis e indiscutíveis. Isso porque somente
apresentamos a eles a geometria plana elementar, e raramente nos referimos a outros
tipos de geometrias, em superfícies não planas. A sugestão é trabalhar com alguns
conceitos e propriedades básicos e, através de atividades exploratórias, mostrar aos
alunos que existem “outras verdades” se olharmos sob outro ponto de vista, ou melhor,
segundo uma outra perspectiva diferente daquela a que eles estão tão habituados.
A proposta de Matemática é trabalhar com conceitos como distâncias, retas paralelas e
perpendiculares e triângulos, sobre uma superfície esférica, explorando os resultados,
no plano e na esfera, e comparando-os. Com essas atividades, os alunos poderão
perceber que os conceitos e propriedades conhecidos por eles podem ser bem diferentes
se mudarmos o “ponto de vista”, isto é, se forem observados sobre uma esfera, em vez
da superfície plana.
ATIVIDADE 1: UMA CHARADA
Qual é a cor do urso?
Um urso andarilho sai de casa e anda 100 quilômetros para o sul. Depois de descansar
um pouco, ele se vira para o oeste e anda 100 quilômetros em frente e em linha reta.
Depois, vira de novo e vai para o norte. Para sua surpresa, descobriu que estava de volta
à sua casa. Qual é a cor do urso?
• É possível que o urso retorne ao mesmo ponto de onde partiu? Peça aos alunos que
tentem resolver o problema no plano e na esfera.
• Após perceberem que só é possível encontrar a solução na esfera, pergunte:
• Onde o urso vive?
• Qual é a cor do urso?
• Solução da charada: o urso polar branco só é encontrado no Pólo Norte.
ATIVIDADE 2: A TRAJETÓRIA MAIS CURTA
Construção no plano
• Desenhe dois pontos diferentes no plano. Identifique-os como A e B.
• Ligue os pontos A e B com três retas ou curvas diferentes.
• Trace a trajetória mais curta entre os pontos A e B, se ainda não o fez. Use um barbante
esticado para mostrar que você realmente traçou a trajetória mais curta.
• Com a régua, prolongue a trajetória mais curta até alcançar as bordas do papel.
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1. Se você prolongar continuamente as extremidades da linha, elas se encontrarão?
2. Explique qual a diferença da trajetória mais curta entre os pontos A e B em relação às
outras trajetórias que você traçou.
3. a. Em quantas partes os pontos A e B dividem a sua reta?
b. Quantas dessas partes são finitas?
c. Quantas dessas partes são infinitas?
4. Quantas retas diferentes você pode traçar por um ponto de um plano?
5. Quantas retas diferentes você pode traçar por dois pontos de um plano?
Construção na esfera
• Desenhe dois pontos diferentes na esfera. Identifique-os como A e B.
• Estique um pedaço de barbante na esfera, entre os dois pontos, para encontrar a
trajetória mais curta entre eles. Peça ao seu parceiro que trace uma linha, com a
hidrográfica, ao longo do barbante esticado.
• Continue esticando o barbante ao longo da linha e a prolongue o máximo possível
nas duas direções. Trace a linha, ao longo do barbante.
1. Você acabou de criar um círculo máximo em uma esfera. Descreva-o com suas
palavras.
2. a. Em quantos arcos os pontos A e B dividem o círculo máximo?
b. Quantos desses arcos são finitos?
c. Quantos desses arcos são infinitos?
3. a. Quantos círculos máximos você pode traçar por um ponto da esfera?
b. Quantos círculos máximos você pode traçar por dois pontos da esfera?
4. A sua resposta é válida para quaisquer dois pontos de uma esfera?
Mais sugestões
1. a. Coloque uma gota de água em uma superfície plana inclinada e deixe a gota
escorrer pela superfície. Descreva a trajetória da gota de água.
b. Coloque uma gota de água perto da parte superior da esfera e deixe a gota
escorrer pela superfície.
2. Pegue um globo terrestre.
a. Procure dois lugares no globo que tenham entre eles vários caminhos mais curtos.
b. Encontre outros dois lugares como os acima.
3. Use um globo terrestre e um mapa-múndi planificado de seu atlas.
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a. Escolha duas cidades, em países diferentes, e descreva o caminho mais curto
para o vôo de uma até a outra.
b. Explique por que existe apenas um caminho mais curto.
c. Siga o mesmo trajeto, agora no mapa planificado. O caminho parece ser reto?
4. Por que o círculo máximo tem esse nome?
ATIVIDADE 3: COMO MEDIR A DISTÂNCIA?
Construção no plano
• Trace dois pontos distintos em um plano. Identifique-os como A e B.
• Os pontos A e B com três retas ou curvas. Trace a trajetória ao longo da qual você
mediu a distância.
1. Por que essa é a única trajetória ao longo da qual você pode medir a distância entre
os pontos A e B?
Construção na esfera
1. Desenhe um círculo máximo inteiro.
2. Divida esse círculo em quatro partes iguais, identificando os pontos como A, B, C e D,
nessa ordem.
1. a. Quantos arcos ligam os pontos A e B?
b. Que medida de arco podemos usar para calcular a distância entre os pontos A e
B, sem usar as unidades de comprimento habituais (cm, m, etc.)?
c. Quais são as distâncias entre A e C, entre B e C, entre B e D, entre A e D e entre
C e D?
2. a. Qual é a maior distância possível entre dois pontos em um plano?
b. Qual é a maior distância possível entre dois pontos em uma esfera?
c. Qual é a menor distância possível entre dois pontos em um plano?
d. Qual é a menor distância possível entre dois pontos em uma esfera?
Mais sugestões
1. a. Verifique, na esfera, qual é o tamanho de um círculo máximo inteiro. Dê a resposta
em graus.
b. Qual o tamanho do Equador da Terra? Dê a resposta em graus.
c. Qual o tamanho do equador de uma bola de tênis? Dê a resposta em graus.
d. Qual é a vantagem de medir a distância esférica em graus?
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2. a. Procure um lugar no globo que fica a 90° de sua cidade.
b. Quantos lugares você pode encontrar que têm essa distância?
3. a. Procure um lugar no globo que fica a 180° de sua cidade.
b. Quantos lugares você pode encontrar que têm essa mesma distância?
4. A distância de um ponto a uma reta é sempre medida ao longo da reta perpendicular
que passa por esse ponto.
a. Qual é a distância mais curta entre um ponto e uma reta no plano?
b. Qual é a distância mais longa entre um ponto e uma reta no plano?
c. Qual é a distância mais curta entre um ponto e um círculo máximo na esfera?
d. Qual é a distância mais longa entre um ponto e um círculo máximo na esfera?
e. Em cada caso, qual é a localização do ponto?
Atividade 4: paralelas
Construção no plano
• Trace uma reta. Identifique-a como r.
• Tente traçar outra reta que não tenha nenhum ponto em comum com a reta r.
Identifique-a como a.
• Tente traçar uma reta que tenha um ponto em comum com r e identifique-a como b.
• Tente traçar uma reta que tenha exatamente dois pontos em comum com a reta r e
identifique-a como c.
• Tente traçar uma reta que tenha mais de dois pontos em comum com a reta r.
Identifique-a como d.
1. Quais são as construções possíveis no plano?
2. Quais das retas traçadas são paralelas? Por quê?
3. Descreva todas as formas diferentes pelas quais duas retas distintas podem se cruzar
no plano.
Construção na esfera
1. Realize na esfera os mesmos procedimentos que você realizou no plano,
substituindo as retas por círculos máximos. Verifique quais construções são possíveis
na esfera.
2. Descreva todas as formas pelas quais dois círculos máximos distintos podem se cruzar
na esfera.
3. É possível que dois círculos máximos sejam paralelos?
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Mais sugestões
1. Imagine que seja possível prolongar os dois trilhos de uma estrada de ferro em toda a
volta da Terra. Os trilhos podem representar linhas paralelas?
2. A distância entre as retas paralelas no plano é sempre a mesma. Desenhe um círculo
máximo na esfera. Depois, desenhe uma figura diferente que tenha todos os pontos
eqüidistantes desse círculo máximo.
a) Descreva essa figura.
b) Essa figura poderia ser um círculo máximo?
3. Um barco percorre um caminho que fica sempre a 50 km do Equador. Explique por
que o barco não está navegando na trajetória mais curta entre dois pontos.
4. Euclides, matemático da Grécia antiga, é famoso por ter sido um dos primeiros a
organizar as idéias da geometria. No tratado intitulado Elementos de Geometria,
Euclides relaciona um conjunto de axiomas para a geometria. Os axiomas de Euclides
eram afirmações que ele acreditava tão obviamente verdadeiras que resolveu aceitálas sem provas. Quase 2 500 anos depois, nós ainda fundamentamos a geometria
plana nos axiomas de Euclides. Contudo, seu último axioma, comumente chamado
de postulado das paralelas (ou o quinto postulado de Euclides) tem sido objeto de
debate. Eis uma forma do postulado das paralelas de Euclides: “Dada uma reta e um
ponto fora dessa reta, você só pode traçar uma única reta por esse ponto que seja
paralela à reta dada”.
a) Num pedaço de papel, trace uma reta e um ponto fora dela. Trace quantas retas
você puder por esse ponto que sejam paralelas à primeira reta. Com esse desenho,
explique por que o postulado das paralelas de Euclides faz sentido no plano.
b) Reescreva o postulado das paralelas para a esfera, substituindo a palavra reta por
círculo máximo. Depois, faça uma construção na esfera semelhante à construção
que acabou de fazer no plano. Agora, explique por que o postulado das paralelas
de Euclides não faz sentido na esfera.
c) Escreva um postulado das paralelas que seja verdadeiro para a geometria em
uma esfera.
5. Descreva todas as formas pelas quais três círculos máximos distintos possam se cruzar.
ATIVIDADE 5: PERPENDICULARES
Construção no plano
• Trace duas retas concorrentes que dividam o plano em regiões que sejam congruentes.
• Meça e identifique todos os ângulos de cada ponto de intersecção dessas duas retas.
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1. As duas retas que você traçou são perpendiculares entre si. Registre as observações
que fizer sobre as retas perpendiculares em um plano.
Construção na esfera
• Desenhe dois círculos máximos distintos que dividam a esfera em 4 regiões congruentes.
• Identifique a medida de todos os ângulos formados em cada ponto de intersecção
desses dois círculos máximos perpendiculares.
1. Os dois círculos máximos que você desenhou são perpendiculares entre si. Registre as
observações que fizer sobre os círculos máximos perpendiculares em uma esfera.
Mais sugestões
1. Os pares de ângulos verticais são sempre congruentes no plano. Construa alguns
pares de ângulos verticais na esfera e verifique se essa afirmação é verdadeira para
a esfera.
2. a. Desenhe dois círculos máximos perpendiculares e os seus pontos polares. O que
você pode observar sobre esses pontos polares? Descreva a sua descoberta.
b. Você pode encontrar uma situação equivalente no plano? Em caso afirmativo ou
negativo, por quê?
3. Desenhe dois círculos máximos distintos na esfera que não sejam perpendiculares.
Descreva as regiões que eles criam.
Atividade 6: triângulos esféricos
Construção no plano
• Desenhe várias possibilidades de posicionarmos três retas distintas no plano.
1. Para cada desenho, determine quantas regiões as três retas determinam.
2. Para cada desenho, determine quantas regiões são finitas e quantas regiões são
infinitas.
Construção na esfera
• Desenhe três círculos máximos distintos na esfera.
1. Em uma esfera, quantas regiões você pode criar com três círculos máximos distintos?
Relacione todas as respostas possíveis para esta pergunta.
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2. Em um dos casos acima, você obteve regiões triangulares. Os triângulos são
congruentes se seus lados e ângulos correspondentes são congruentes.
a. No desenho que você fez para este caso, encontre um par de triângulos congruentes
pertencentes a hemisférios opostos da sua esfera.
b. Marque cada par desses triângulos com uma cor diferente.
c. Quantos pares desses triângulos foram formados pelos três círculos máximos?
ATIVIDADE 7: UM TRIÂNGULO PODE TER MAIS DE UM ÂNGULO RETO?
Pergunta: um triângulo pode ter mais de um ângulo reto?
1. Explique por que é impossível que, no plano, um triângulo tenha mais de um ângulo
reto.
Construção na esfera
• Desenhe um ponto P. Depois, trace o círculo máximo equatorial que tenha P como um
ponto polar.
• Trace uma perpendicular do ponto P até o seu equador.
• Trace três outras perpendiculares. Identifique os pontos de intersecção no equador
de A, B e C, como mostramos.
1. a. As somas dos ângulos internos dos triângulos esféricos sempre são iguais a 180°,
como nos triângulos planos?
b. As somas dos ângulos internos dos triângulos esféricos podem ser maiores ou menores
que 180°? Tente construir exemplos para suas conclusões.
2. Desenhe um triângulo que tenha três ângulos retos. Registre o tamanho de seus lados
e a soma de seus ângulos.
Mais sugestões
1. A atividade 1 propôs para você um enigma sobre um urso andarilho.
Modifique o enigma de modo que a trajetória do urso trace um triângulo com três
ângulos retos. Como devem ser as distâncias que o urso percorre em cada uma das
três direções?
2. Verifique se o Teorema de Pitágoras mantém-se verdadeiro para os triângulos retângulos
na esfera.
3. No plano, os ângulos da base dos triângulos isósceles são congruentes. Verifique se
isso é verdadeiro para os triângulos isósceles na esfera.
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4. O que acontece se desenharmos um triângulo com dois ângulos retos e com o terceiro
ângulo medindo 180°?
ETAPAS DO TRABALHO
O professor pode dispor a classe em grupos para facilitar a manipulação dos materiais
e as discussões dos resultados. Cada grupo irá seguir as atividades propostas, realizadas
no plano (folha de papel) e na esfera (uma bola, de superfície relativamente lisa, onde
possam ser feitos e apagados traços com canetas de cores diferentes).
• Uma exploração livre sobre a esfera é bastante interessante para instigar os alunos:
como fazer uma linha “reta”? ou um ângulo? Como desenhar ou medir formas
geométricas? etc.
• A etapa seguinte seria a comparação entre as menores distâncias entre dois pontos
no plano e na esfera. Eles chegam com facilidade à conclusão de que o círculo
máximo representa a menor distância e, portanto, é o que corresponde à “reta” na
esfera.
• Em seguida, o professor pode propor uma exploração de retas paralelas: como fazer
linhas paralelas na esfera? É possível construirmos círculos máximos paralelos? Sempre
pedindo aos alunos que façam as figuras correspondentes, no plano, para que possam
visualizar melhor a comparação.
• Na seqüência, pode-se fazer a exploração de retas perpendiculares: como são os
círculos máximos perpendiculares? Quantos podemos traçar, dois a dois
perpendiculares? Como traçar um círculo máximo perpendicular a dois outros que se
cruzam?
• Para trabalhar com triângulos, o professor pode começar, antes, com a pergunta: é
possível construirmos um polígono de dois lados? Os alunos logo percebem que, na
esfera, existe essa figura e, nesse momento, o professor já estabelece com eles a
nomenclatura dessa figura: o “biângulo”. Assim, fica natural a definição de triângulos
na esfera para começar as construções.
• É interessante que o professor peça que os alunos construam triângulos com círculos
máximos e também com ângulos retos. Desafiá-los a construir um triângulo com dois
ângulos retos e instigá-los a descobrir que a soma dos ângulos de um triângulo esférico
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pode variar, para mais e também para menos, que o valor que eles já estão tão
habituados a utilizar como único (180o).
AVALIAÇÃO
O trabalho será avaliado pela equipe de professores participantes do projeto, pelos
alunos que se auto-avaliarão e serão avaliados pelos colegas.
VEJA TAMBÉM
Livros e periódicos
• ARGAN, Giulio Carlo. Arte moderna. São Paulo: Companhia das Letras, 1993.
• BONATO, Ernesto. A matéria da pintura. São Paulo: Serviço Educativo do MASP, 1999.
• CHAUÍ, Marilena. Convite à Filosofia. São Paulo: Ática, 1995.
• CUMMING, Robert. Para entender a arte. São Paulo: Ática, 1996.
• DIDI-HUBERMAN, Georges. O que vemos, o que nos olha. São Paulo: Editora 34, 1998
(Coleção Trans).
• GOMBRICH, Ernst Hans. A história da arte. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1985.
• HOCKNEY, David. O conhecimento secreto: redescobrindo as técnicas perdidas dos
grandes mestres. São Paulo: Cosac & Naify, 2001.
• LÉNÁRT, Istvan. Non euclidian adventures on the Lènart Sphere. In: Key Curriculum Press.
Berkeley, 1996.
• MARTINS, Mirian Celeste. MARTINS, M. Conceitos e terminologia. Aquecendo uma
transformação: atitudes e valores no ensino da Arte. In: BARBOSA, A. M. Inquietações e
mudanças no ensino da arte. São Paulo: Cortez, 2002.
• MAYER, Ralph. Manual do artista. São Paulo: Martins Fontes, 1996.
• PAREYSON, Luigi. Os problemas da estética. São Paulo: Martins Fontes, 1984.
• PARRAMÓN, José M. A perspectiva na arte. Lisboa: Editorial Presença,1994.
• SPROCCATI, Sandro. Guia de história da arte. 2. ed. Lisboa: Editorial Presença, 1995.
• STOTT, Carole. O guia do astrônomo: guia prático para as experiências e técnicas de
observação do céu. Porto (Portugal): Américo Fraga Lamares & C. Ltda; Livraria
Civilização Editora, 1999.
Páginas da internet
• http://www.cefa.org.br
• www.masp.art.br
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Sala de Professor • ARTE NA GALERIA: PERSPECTIVA
• www.nationalgallery.org.uk
• www.tvcultura.com.br/artemateatica
Outros documentários
• História da arte a partir do acervo do MASP. Realização Yázigi Internacional/MASP 1996/
97. São Paulo. vol. 1-4.
• Arte & Matemática: uma série de 13 programas para TV. São Paulo, TV Cultura. vol. 1,
2, 3 e 4.
Para sinopses, títulos e tempos de duração dos documentários, devem ser acessados
os seguintes endereços:
• http://www.mec.gov.br/seed/tvescola/Guia/pdf96-02/23_como_fazer.pdf
Para o guia dos documentários exibidos na TV Escola, no “Como Fazer?”
• Anjos e carrascos (TV Escola, Programa Como Fazer, 246).
• http://www.mec.gov.br/seed/tvescola/Guia/pdf96-02/22_acervo.pdf
Para os programas “Acervo”.
• Vida com números.Ver para crer (TV Escola, Programa Acervo, 349).
Há necessidade do programa Acrobat para ver os guias.
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