4.as Olimpíadas Concelhias da Matemática
Final do Sotavento
- Proposta de Resolução Categoria: A (7º, 8º e 9º ano)
9 de Abril de 2008
Parte I : Escolha Múltipla
Soluções:
Cotação da Parte I:
Questão:
Resposta Correcta:
1
(B)
Nº de
respostas:
0
1
2
3
2
(D)
0
0
0
0
0
3
(B)
1
5
4
3
2
10
9
3
15
Certas
Erradas
Proposta de resolução das questões da Parte I : Escolha Múltipla
1.
2 2 23 2 4
22005 22006
2
+ 2 + 3 + ... + 2004 + 2005 = 2
+ 2 +
+ ... + 2 +2 = 2005 × 2 = 4010
2 2 2
2
2
2005 parcelas iguais
A soma dos algarismos desse número é 4+0+1+0=5.
Opção (B)
2. Como a área da folha é 300 cm2, cada quadrado sombreado (face do cubo) tem de
300
área
= 25 cm 2 , e portanto, cada aresta do cubo mede 25 = 5cm . Logo, o
12
volume do cubo é 53=125 cm3.
Opção (D)
3. Seja x o número de problemas que o grupo resolveu em Setembro de 2007.
x + 2 x + 4 x + 8 x + 16 x + 32 x= 1134 ⇔ 63 x= 1134
1134
⇔x=
63
18
⇔x=
Opção (B)
Parte II : Resposta Aberta
Regras gerais para a correcção de todos os problemas
•
A resolução dum problema que contenha apenas a resposta correcta, será cotada
com 1 Ponto
•
A resolução dum problema que, na sequência dum raciocínio errado, apresenta a
resposta correcta, será cotada com 0 Pontos
•
As resoluções elaboradas na base de raciocínios correctos, mas que contêm
erros, serão avaliadas de acordo com os critérios adoptados pelos professores
nomeados para a correcção do respectivo problema. Recomenda-se que cada
erro menor seja penalizado em 1 Ponto
Proposta de resolução do problema 4
Cotação: 10 Pontos
A figura mostra um círculo de área 36 cm2 sobre o qual estão desenhados três
triângulos equiláteros e um triângulo isósceles com dois ângulos iguais de 62º de
amplitude. Os quatro triângulos têm um vértice comum no centro do círculo.
Qual é a área da região do círculo sombreada?
62 º
Proposta:
• Cálculo da amplitude do ângulo do triângulo isósceles com vértice no centro do
círculo:
180º −2 × 62º =56º
• Cálculo da soma das amplitudes dos ângulos dos 3 triângulos equiláteros com
vértice no centro da circunferência:
60º +60º +60º =
180º
• Cálculo da soma das amplitudes dos ângulos com vértice no centro da
circunferência dos quatro triângulos:
180º +56º =
236º
• Cálculo da área do círculo tapada pelos triângulos:
360º ____ 36 cm 2
236 × 36
=
x = 23, 6 cm 2
360
236º ____ x
• Cálculo da área do círculo sombreada: A =
36 − 23, 6 =
12, 4 cm 2
Resposta: A área da região sombreada é de 12,4 cm2.
Critérios de correcção:
Cálculo da amplitude do ângulo do triângulo isósceles com vértice no centro do
círculo....................................................................................................................2 Pontos
Cálculo da soma das amplitudes dos ângulos dos 3 triângulos equiláteros com vértice no
centro da circunferência........................................................................................2 Pontos
Cálculo da soma das amplitudes dos ângulos com vértice no centro da circunferência
dos quatro triângulos.............................................................................................2 Pontos
Cálculo da área do círculo tapada pelos triângulos...............................................2 Pontos
Cálculo da área do círculo sombreada…………………………….…………….1 Ponto
Resposta................................................................................................................1 Ponto
Proposta de resolução do problema 5:
Cotação: 10 Pontos
Uma livraria recebe 130 livros de Matemática e 195 de Português. O Sr. Silva, dono da
livraria, quer arrumá-los em estantes, colocando igual quantidade de livros em cada
estante, sem misturar os de Matemática com os de Português na mesma estante.
Quantos livros o Sr. Silva deve colocar em cada estante para que o número de estantes
utilizadas seja o menor possível?
Proposta:
Designemos por n o número de livros que o Sr. Silva vai colocar em cada estante.
Então:
130:n = número de estantes para os livros de Matemática
e
195:n=número de estantes para os livros de Português
Logo, n deve ser um divisor comum de 130 e 195, pois o número de estantes utilizadas
é um número inteiro.
Sabemos que quando aumentamos o denominador de uma fracção esta fracção diminui
130
195
logo quanto maior for o denominador n, menores serão as fracções
e
, o que
n
n
significa que menor será o número de estantes utilizadas. Assim n deve ser o maior
divisor comum de 130 e 195. Como 130=2x5x13 e 195= 3x5x13 então o máximo
divisor comum entre 130 e 195 é 5x13=65. Logo o Sr. Silva vai colocar 65 livros em
cada estante.
Critérios de correcção:
Designar por n o número de livros que o Sr. Silva vai colocar em cada estante..2 Pontos
Escrever expressões que designem o número de estante para os livros de Matemática e
de Português em função de n................................................................................2 Pontos
Concluir que n é o máximo divisor comum de 130 e 195 e calculá-lo….............4 Pontos
Concluir que cada estante deve levar 65 livros………………………………….1 Ponto
Resposta................................................................................................................1 Ponto
Proposta de resolução do problema 6:
Cotação: 10 Pontos
Quatro amigas Ana, Joana, Maria e Catarina encontraram-se para lanchar numa
geladaria. A amiga que se sentou à esquerda da Joana bebeu uma limonada. A Ana
sentou-se à frente da que comeu gelado de chocolate. A que se sentou à direita da
Catarina bebeu batido de groselha. A que comeu um crepe e a amiga que bebeu batido
de groselha estavam sentadas frente a frente.
Descobre qual o lanche de cada uma das amigas.
Proposta:
Joana
Joana
1
2
Limonada
Limonada
Ana?
Ana?
3
Joana
Joana
Crepe
Catarina
Gelado de
chocolate
Limonada
Ana
Catarina
Batido de
Groselha
4
Limonada
Ana?
Batido de
Groselha
Maria
Ana?
R: Ana- limonada, Joana-crepe, Maria-batido de groselha, Catarina-gelado de chocolate
Critérios de correcção:
Esquema 1 ............................................................................................................2 Pontos
Esquema 2……………………………………..……………...............................3 Pontos
Esquema 3.............................................................................................................1 Ponto
Esquema 4 …………………………………………………………...………….3 Pontos
Resposta................................................................................................................1 Ponto