UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS
NATURAIS E MATEMÁTICA
MARIA MARONI LOPES
CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O
ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
NATAL – RN
2010
MARIA MARONI LOPES
CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O
ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática, Centro de Ciências Exatas e da
Terra da UFRN, como requisito parcial para a
obtenção do título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Orientadora: Profª. Drª. Bernadete Barbosa
Morey
NATAL – RN
2010
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Especializada do Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Lopes, Maria Maroni.
Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de
trigonometria usando software geogebra / Maria Maroni Lopes. – Natal, RN, 2010.
138 f. : il.
Orientador : Profª. Drª. Bernadete Barbosa Morey.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro
de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática.
1. Trigonometria – Ensino e aprendizagem - Dissertação. 2. Educação – Novas
tecnologias – Dissertação. 3. Software educativo – Dissertação. I. Morey, Bernadete
Barbosa. II. Título.
RN/UF/BSE-CCET
CDU 514.116:37
MARIA MARONI LOPES
CONSTRUÇÃO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O
ENSINO DE TRIGONOMETRIA USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Aprovado em: 17/08/2010
Banca Examinadora
__________________________________________________________________
Prof. Dra. Bernadete Barbosa Morey
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Orientadora
_____________________________________________________________________
Prof. Dr. Antônio Vicente Marafioti Garnica
Universidade Estadual Paulista Julio de Mesquita Filho – UNESP/Bauru (SP)
Examinador externo
_____________________________________________________________________
Prof. Dra. Giselle Costa de Sousa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Examinador interno
Dedico este trabalho a uma grande professora, que doou
parte de sua vida para cuidar com muito amor de seus
alunos e dos seus cinco filhos, Rita Gomes de Oliveira,
minha mãe.
AGRADECIMENTOS
Durante o período em que estive fazendo a pós-graduação, aprendi muito com
as pessoas com as quais convivi. Não foram somente conhecimentos específicos da
minha pesquisa, mas sobre amizade, companheirismo, colaboração, solidariedade,
paciência, organização e a ser solícito com aqueles que nos visitam. Esses
conhecimentos me foram oferecidos por pessoas maravilhosas com quem pude contar.
Em especial, agradeço:

A Deus, que sempre me amparou, fazendo meu caminho ser mais suave;

À professora Bernadete Barbosa Morey, minha orientadora, por sua atenção,
dedicação e importantes contribuições ao longo deste estudo, principalmente
pela amizade e confiança depositada em minha pessoa, meu muito obrigada.

À minha família, pelo carinho e incentivo nos meus estudos, em especial aos
meus pais, meus irmãos: Edmilson, Francilene, Eilson e Clécia, minha cunhada
Karísia e meus sobrinhos Stefany, Paula, Mavy, Beatriz, Raquel, Felipe e
Máriton;

Ao meu grupo de estudos, com quem pude contar sempre: Edigites, Sidney,
José Roberto, Georgiane, Suzany e Severo;

Ao professor Antônio Vicente Marafioti Garnica, pelas sugestões, comentários
e importantes contribuições na elaboração da dissertação;

A Silvio César Otero Garcia, pela revisão, comentários, sugestões e
importantes críticas nas conclusões da dissertação, principalmente pela
amizade, carinho e cumplicidade;

Aos professores do PPGCNM, com um carinho especial à Giselle Costa de
Sousa, Paulo Cézar Farias, Iran Abreu Mendes e Márcia Goreth Lima da Silva,
pelas valiosas contribuições ao meu crescimento e amadurecimento;

Aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática, em especial aos bolsistas
PIBID que participaram deste estudo, pelas sugestões e contribuições que nos
deram na aplicação das atividades na escola;

À Iguaracy Medeiros dos Santos e ao Daniel Carvalho Soares, pelo carinho e
pronto atendimento nas inúmeras vezes em que pedi ajuda;

A Rafael Motoito e Odenise, pelo apoio, incentivo, mas principalmente pela
nossa saudável amizade;

Aos amigos do Colégio Nossa Senhora das Neves, que sempre me incentivaram
nesta caminhada, em especial Cristina Freitas, Simoneuza, Cláudia, Alani,
Diva, Otair, Helder, Solange, Josevalda e Sandra.

Aos amigos do Apodi: Cláudio, Talita, Maxwel, Marlice, Nativa, Sandra,
Ednélvia, Socorro, Rocilda e Joseana, pela amizade e companheirismo em
todos os momentos;

À Luciana, Keidy e ao Breno amigos incondicionais;

Aos amigos do PPGCNM com um carinho especial à Márcia Cristiane, Boniek,
Ene, Elaine, Frank, Alcindo e ao Ricardo;

À CAPES/REUNI pela concessão da minha bolsa de estudos;

À direção da Escola Estadual Castro Alves pelas facilidades oferecidas para o
desenvolvimento do nosso estudo;

Aos alunos da Escola Castro Alves que participaram da nossa pesquisa, pela
colaboração e, sobretudo, pelo interesse em realizar as atividades.
RESUMO
O presente estudo tem como objetivo analisar as potencialidades e limitações do
software GeoGebra no ensino e aprendizagem de Trigonometria. Baseando-se nos
recursos presentes nas escolas públicas estaduais do Rio Grande do Norte, a pesquisa
pretendeu responder à seguinte questão: “Poderíamos utilizar as condições hoje
presentes na escola e, os recursos do software Geogebra para otimizar o ensino e
aprendizagem de Trigonometria?”. Para tanto, foi elaborado e aplicado um módulo
de atividades investigativas. A intervenção metodológica foi realizada com alunos da
segunda série do Ensino Médio de uma escola pública na cidade do Natal, RN.
Tomamos como base o referencial teórico da Didática da Matemática, adotando as
concepções de Borba e Penteado (2007), Valente (1999) e Zulatto (2002, 2007) no
que se refere ao uso da Tecnologia Informática (TI) na sala de aula de Matemática.
Para elaborar as atividades investigativas, adotamos as concepções de Ponte,
Brocardo e Oliveira (2005) e Ernest (1996). A análise das atividades ajudou-nos a
entender como os alunos realizam suas construções e fazem a apreensão visual por
meio do processo de arrastar as figuras na tela do computador. Além disso, as
atividades aplicadas com o recurso do software GeoGebra nos levaram a afirmar
sobre as alternativas e performance dos estudantes face a solução de alguns
problemas de Trigonometria.
Palavras-chave:
Ensino
e
Aprendizagem
Investigativas. Software GeoGebra.
de
Trigonometria.
Atividades
ABSTRACT
The present study aims to analyze the potentialities and limitations of GeoGebra
software on what concerns trigonometry’s teaching and learning processes. Taking
the present resources of public school from the state of Rio Grande do Norte, the
research intends to answer the following question: “Could we use the current
conditions of public school and the Geogebra software to optimize the
trigonometry’s learning and teaching processes situation?”. To make it a possible to
answer the question above, a module of investigative activities was created and
applied. The methodological intervention was made among second year High School
students from a public school in Natal, RN. The theoretical reference of Mathematics
Didactics was taken was a base, adopting the conceptions of Borba and Penteado
(2001), Valente (1999) and Zulatto (2002, 2007) about the use of Information
Technology (IT) on Mathematics classrooms. In order to create the investigative
activities helped us to understand how the students make their constructions and their
visual perception through the process of dragging images on the computer screen.
Furthermore, the activities done with the GeoGebra software’s resources facilitate
the resolution of trigonometry situations.
Keywords: Trigonometry Learning and Teaching Processes. Investigative
Activities. GeoGebra Software.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Traçando a altura de um triângulo com o GeoGebra
41
Figura 2: Construção de um triângulo Retângulo com o software GeoGebra
41
Figura 3: Construção do Ciclo Trigonométrico com o software GeoGebra
42
Figura 4: Construção de triângulos retângulos com o GeoGebra
44
Figura 5: Razões Trigonométricas nos Triângulos Retângulos
44
Figura 6: Tela inicial do GeoGebra
54
Figura 7: Planta baixa da Escola Estadual Castro Alves
57
Figura 8: Construção feita por uma das duplas
63
Figura 9: Applet das Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
65
Figura 10: Alunos resolvendo as atividades
66
Figura 11: Applet do Ciclo Trigonométrico
67
Figura 12: Alunos explicando seu planejamento
68
Figura 13: Construção dos triângulos semelhantes realizada pelos alunos
84
Figura 14: Construção realizada pelos alunos
86
Figura 15: Construção do aluno Allan
87
Figura 16: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
89
Figura 17: Construção do Ciclo Trigonométrico
90
Figura 18: Applet do Ciclo Trigonométrico
91
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria
24
Quadro 2 – Publicações em Tecnologia Informática (TI)
28
Quadro 3 – Momentos na realização de uma atividade investigativa
48
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de Trigonometria
19
Tabela 2 – Número de alunos organizados por faixa etária
82
Tabela 3 – Número de alunos que conhece alguns dos recursos da
83
informática
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
13
1.1 PROBLEMÁTICA E PROBLEMA DE PESQUISA
13
1.2 QUESTIONAMENTOS
16
1.3 OBJETIVOS
16
2 ALGUMAS PUBLICAÇÕES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
19
REFERENTES
AO
ENSINO
E
APRESNDIZAGEM
DE
TRIGONOMETRIA E USO DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI)
COMO RECURSO EM SALA DE AULA
3 PRINCÍPIOS NORTEADORES DO ENSINO DE TRIGONOMETRIA
30
POR MEIO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA
3.1 A PRESENÇA DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA NO ENSINO E
30
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
3.2 SOFTWARE DE GEOMETRIA DINÂMICA
37
3.3 O SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE
42
TRIGONOMETRIA
3.4 ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NA SALA DE AULA DE
45
MATEMÁTICA
3.5 DIRETRIZES PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA: LDB; PCNS;
50
PCN+; OCEM
3.6 DESCRIÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA
4 CONSTRUÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA COM O USO DO
56
SOFTWARE GEOGEBRA
4.1 CARACTERIZAÇÃO DO AMBIENTE DA PESQUISA E DOS
56
SUJEITOS ENVOLVIDOS
4.1.1 A escola
56
4.1.2 Os sujeitos da pesquisa
59
4.1.3 Instrumentos utilizados
59
4.2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA
60
5. RESULTADOS OBTIDOS NAS DUAS EXPERIÊNCIAS
61
5.1 PRIMEIRA EXPERIÊNCIA
61
5.2 OBTENDO INFORMAÇÕES COM AS ATIVIDADES
62
5.3 OBTENDO INFORMAÇÕES COM A ENTREVISTA
69
5.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA
69
5.5 SEGUNDA EXPERIÊNCIA
72
5.5.1 Descrição das atividades
75
5.6 CONSTRUÇÃO DOS DADOS COM A SEGUNDA EXPERIÊNCIA
82
5.7 DISCUSSÃO DOS DADOS CONSTRUÍDOS COM A SEGUNDA
92
EXPERIÊNCIA
REFERÊNCIAS
97
APÊNDICES
102
APÊNDICE A – Produto educacional (uma sequência didática para o ensino
103
de trigonometria com o uso do software GeoGebra
APÊNDICE B – Atividades aplicadas na primeira experiência
129
APÊNDICE C: Entrevista
136
APÊNDICE D: Questionário
137
12
1 INTRODUÇÃO
1.1
PROBLEMÁTICA E PROBLEMA DE PESQUISA
Esse estudo traz, dentro de uma perspectiva mais geral da inserção da
Tecnologia Informática (TI) em sala de aula, uma discussão sobre o uso de softwares
de geometria dinâmica em atividades investigativas. Nosso objetivo é analisar as
potencialidades e limitações do software GeoGebra na formação dos conceitos
básicos de Trigonometria.
A motivação desse estudo surgiu a partir da nossa prática em sala de aula da
rede pública de ensino do Rio Grande do Norte (RN) e das nossas vivências em
estudos, planejamentos, cursos de formação de professores, entre outros. Nessas
vivências, em contato direto com colegas da área, evidenciamos que parte dos
professores de Matemática do Ensino Médio das escolas públicas estaduais substituía
conteúdos como trigonometria, logaritmos e números complexos, por considerá-los
de difícil entendimento para os alunos, por uma revisão de temas já abordados
anteriormente. Desse modo, o conteúdo de trigonometria fica relegado a um segundo
plano.
Pontuamos essas mesmas dificuldades com alunos da graduação, quando
acompanhamos as disciplinas Cálculo I ou Matemática para Engenharia I dos cursos
de Engenharia, Estatística, Geofísica e Matemática, como bolsista REUNI1, no
período de 2008.1 a 2010. Nossa tarefa consistia em fazer um levantamento das
dificuldades dos alunos por meio de entrevistas e análise das provas já aplicadas
anteriormente. Além disso, tínhamos a incumbência de ministrar aulas de reforço.
Nesse processo percebemos que as dificuldades dos alunos estão relacionadas
sobretudo com temas do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Deter-nos-emos aqui
apenas àqueles relacionados à trigonometria, que é o foco de nosso estudo.
Destacamos alguns erros encontrados nas atividades:
a) tg.x
1
Planos de Reestruturação e Expansão das Universidades Federais.
13
Ao analisarmos essa situação, entendemos que talvez o aluno não tenha
compreendido o significado de tangente do ângulo x, e não tenha percebido o x como
argumento da tangente. Parece-nos plausível que tgx tenha sido visto como uma
multiplicação de duas variáveis, a exemplo do que acontece em a.b, 2.x, que podem
ser escritos como ab e 2x.
b)
cos 2 x
 cos 2
x
O mesmo tipo de raciocínio da situação anterior pode ter acontecido com
cos 2 x
, ou seja, o aluno “corta” o x no numerador e no denominador, considerando
x
as regras de divisões algébricas.
c) senx 
3
 senx  60
2
Essa situação demonstra a dificuldade conceitual que existe em distinguir os
valores do seno de um ângulo dos valores da medida do seu arco.
d) cos (60° + 30°)= cos60º + cos30º
Quando analisamos o tipo de erro cometido entendemos que o aluno vê as
funções trigonométricas como linear, isto é f(x+y) = f(x) + f(y). Evidentemente os
alunos não têm esse domínio, implicitamente, o que vêm em mente é algo parecido
com a propriedade distributiva da multipliação, o que lhe permitiria igualar cos(60°
+ 30°) a cos60°+ Cos30°.
Estudos que abordam dificuldades no ensino e aprendizagem de trigonometria
têm sido objeto de atenção em diversas publicações. Podemos citar, por exemplo,
Briguenti (1994), Nacarato (2007), Brito e Morey (2004). Trataremos disso com
mais detalhes no próximo capítulo.
Segundo Pinto (2000), o erro do aluno dirige o olhar do professor para o
contexto e para o processo do conhecimento a ser construído. A autora afirma que o
próprio processo de ensino pode ser um gerador de erros.
As Tecnologias de Comunicação e Informação (TIC) estão, cada dia mais,
presentes no nosso cotidiano, constituindo-se num instrumento de trabalho essencial,
razão pela qual exercem um papel cada vez mais importante na educação,
notadamente na Educação Matemática.
14
Pesquisas sobre o uso da TI em sala de aula ressaltam a sua relevância no
ensino de Matemática, assinalando que é de fundamental importância a sua presença
na formação inicial dos professores.
Segundo Ponte (2000), as TIC podem ter um impacto muito significativo no
ensino de disciplinas específicas, como a Matemática: pois seu uso pode reforçar a
importância da linguagem gráfica e de novas formas de representação, valorizar as
possibilidades de realização de projetos e atividades de modelação, exploração e
investigação.
As discussões sobre o uso das TIC na educação têm se apresentado de forma
constante na literatura. Pesquisas assinalam as contribuições do uso desse recurso na
aprendizagem de conceitos matemáticos. Entre esses estudos, podemos citar os
desenvolvidos por Borba e Penteado (2007), Borba e Villareal (2005), Zulatto (2002,
2007) e Barbosa (2009).
As recomendações dos PCNEM (1998) (Parâmetros Curriculares Nacionais
para o Ensino Médio) sobre o desenvolvimento da capacidade de comunicação
indicam que é de grande relevância que os alunos saibam utilizar as tecnologias
básicas de redação e informação, como os computadores. E, no que concerne à
contextualização sociocultural, destacam que os educandos necessitam construir a
competência de utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo
suas limitações e suas potencialidades.
As nossas primeiras experiências com o uso de informática em sala de aula
ocorreram na Fundação Bradesco 2, por meio da qual nos foram oferecidos cursos,
tanto presenciais quanto totalmente a distância. Destacamos o curso ministrado
totalmente a distância pelos professores Marcelo de Carvalho Borba e Rubia Zulatto,
Geometria com Geometricks, oferecido pela Fundação Bradesco em parceria com o
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP3 de Rio Claro, e
cujo objetivo era a familiarização dos cursistas com o software, de modo a facilitar
seu uso em sala de aula.
Os encontros síncronos4 aconteciam uma vez por semana, e neles discutíamos
as atividades enviadas previamente aos participantes (que eram professores da
2
Escola de Educação Básica e Profissional Fundação Bradesco de Natal (RN), atende à população com
Ensino Fundamental, Ensino Médio e Educação de Jovens e Adultos.
3
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho.
4
Todos os alunos se encontravam ao mesmo tempo com os professores.
15
Fundação Bradesco do Brasil todo). Nesses momentos, tínhamos a oportunidade de
discutir sobre o que fora construído com o software e esclarecer nossas dúvidas. A
interação do grupo possibilitou a troca de informações extra-curso e a colaboração no
desenvolvimento de projetos nas escolas. Para Kenski (2009), desenvolver atividades
colaborativas em ambientes virtuais de aprendizagem pressupõe a participação de
todas as pessoas envolvidas no processo, que se tornam atores ativos na medida em
que compartilham suas experiências, pesquisas e descobertas.
As atividades educacionais feitas de forma participativa possibilitam que os
membros dos ambientes colaborativos debatam sobre os temas propostos,
emitam opiniões e apresentem seus pontos de vista em uma discussão.
(KENSKI, 2008, p. 224).
Assim sendo, nesses ambientes os participantes têm a possibilidade de refletir
sobre o seu aprendizado, fazer questionamentos trocar ideias e manter um diálogo
constante com os demais componentes do grupo.
Ao participarmos de alguns eventos em Educação Matemática, nos inteiramos
das potencialidades do software GeoGebra no ensino e aprendizagem da matemática.
Por ser esse um software livre e de fácil acesso para alunos e professores. Foi a partir
dessas vivências que emergiu o nosso interesse em aliar a TI ao ensino de
Trigonometria, tendo como perspectiva minimizar as dificuldades já citadas.
Tendo em mente as dificuldades enfrentadas, tanto por parte dos professores
da rede pública do RN como dos alunos da graduação, percebidas a partir da nossa
prática e das análises dos resultados das pesquisas, fomos levados a considerar
relevante um estudo que venha a contribuir para alterar positivamente a situação
vigente. Além disso, buscamos uma estratégia de ensino que se fundamente nos
recursos já existentes na escola pública do RN: os softwares livres como, por
exemplo, o GeoGebra5. Lembramos ainda que as escolas de Natal, RN, dispõem de
laboratórios de informática com micros conectados à internet, possibilitando fazer
download de softwares livres.
Considerando-se o acima exposto, a pergunta norteadora que delineia nossa
pesquisa é: “Poderíamos utilizar as condições hoje presentes na escola e, os recursos
5
Software de Geometria Dinâmica, detalhado no capítulo três desta dissertação.
16
do software Geogebra para otimizar a situação referente ao ensino e aprendizagem de
trigonometria?”.
1.2 QUESTIONAMENTOS.
Ao partirmos da hipótese que a TI tem demonstrado um grande potencial de
uso em aulas de Matemática, levantamos os seguintes questionamentos no que tange
ao ensino de trigonometria:
1. O software GeoGebra permite ao aluno compreender as relações e propriedades
da trigonometria?
2. O aluno será capaz de transferir seus conhecimentos trigonométricos obtidos
com o uso do software para resolver problemas semelhantes no ciclo
trigonométrico?
3. A quais estratégias os alunos recorrem ao aprender trigonometria por meio do
software?
Dentro do escopo delimitado pelas indagações acima, vamos formular nossos
objetivos de pesquisa.
1.3 OBJETIVOS
Objetivos gerais
1. Analisar as potencialidades e limitações do software GeoGebra no ensinoaprendizagem dos conceitos básicos de trigonometria.
17
2. Elaborar um caderno de atividades para o ensino de trigonometria com
recomendações de uso em sala de aula.
Objetivos específicos
Os objetivos gerais acima especificados, por serem de caráter demasiado
amplo, podem ser desdobrados em objetivos específicos:
1. Identificar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio em
trabalhar os conteúdos de trigonometria, tanto em sala de aula quanto na
informática;
2. Produzir e aplicar um bloco de atividades referentes a uma sequência didática
para o ensino de trigonometria;
3. Elaborar um manual com orientações para o uso do software GeoGebra no
ensino de trigonometria;
4. Disponibilizar, na forma digital e/ou impressa, para os professores das escolas a
sequência didática elaborada, o manual correspondente e os resultados da
pesquisa.
A fim de proporcionar uma visão geral do nosso trabalho, apresentamos uma
breve descrição dos assuntos de que iremos tratar em cada um dos capítulos.
No capítulo 1, apresentamos a introdução do trabalho, a problemática e o
problema de pesquisa, os objetivos e as questões norteadoras.
No capítulo 2, discorremos sobre as publicações em Educação Matemática,
referentes ao ensino de trigonometria e ao uso da Tecnologia Informática (TI) em
sala de aula de Matemática.
No capítulo 3, discutimos o referencial teórico que norteia nossa pesquisa.
Falamos sobre a TI na sala de aula de Matemática e os softwares de geometria
dinâmica. Apresentamos uma descrição do software GeoGebra, bem como as suas
potencialidades de uso em atividades investigativas de Trigonometria. Abordamos,
18
ainda, as diretrizes para o ensino de Trigonometria: LDB, PCN, PCN+ e OCEM.
Fazemos ainda uma descrição sobre o software GeoGebra.
No capítulo 4, apresentamos duas experiências realizadas com o software
GeoGebra no ensino de Trigonometria. Transcorreremos sobre a caracterização do
ambiente da pesquisa, os sujeitos envolvidos e a sequência didática.
No capítulo 5, discorremos sobre os resultados obtidos com as duas
experiências de que tratamos no capítulo anterior: a primeira, com alunos da
licenciatura em Matemática, e a segunda, com alunos de uma escola pública estadual
do RN; detalhamos as atividades desenvolvidas e a busca de informações com a
aplicação nos dois ambientes de ensino e aprendizagem. Trazemos ainda uma
discussão dos dados obtidos na segunda experiência, as dificuldades e limitações da
aplicação da sequência didática em sala de aula e as considerações finais.
19
2 ALGUMAS PUBLICAÇÕES EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA REFENTES
AO ENSINO E APRENDIZAGEM DE TRIGONOMETIRA E USO DA
TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI) COMO RECURSO EM SALA DE
AULA.
Fizemos inicialmente um levantamento bibliográfico de pesquisas em
Educação Matemática que tratam do ensino e aprendizagem de Trigonometria e do
uso da TI como recurso em sala de aula de Matemática, incluindo artigos, livros,
teses e dissertações produzidas a partir da década de 1990, tendo como perspectiva
situar nosso estudo no contexto da literatura existente.
Conforme a tabela 01, descrevemos as publicações referentes ao ensino e
aprendizagem de trigonometria.
Tabela 01: Publicações em Ensino e Aprendizagem de Trigonometria.
Ano de Publicação
Teses
Dissertações
Livros
Artigos
Total
1994
1
1
1997
2
2
1998
1
2000
2001
1
2
1
1
2
2002
3
2003
3
2004
1
2005
3
2006
2
2008
1
2009
1
2
19
8
Total
2
3
3
1
1
4
4
3
4
1
1
5
2
2
6
1
3
8
37
Fontes: Portal da CAPES, BDTD – PUC/ SP, DEDALUS 6, SBU7, BDTD- UFRN,
BDTD- UNESP/ SP, periódicos: BOLEMA8, revista ZETETIKÉ9, revistas eletrônicas
e anais de congressos.
6
7
Sistema de busca da biblioteca da USP – SP.
Sistema de bibliotecas da UNICAMP.
20
Pontuamos preferencialmente as publicações que tratam das dificuldades com
o ensino e aprendizagem da trigonometria e a trigonometria no contexto das
tecnologias da informação e comunicação.
Briguenti (1994), baseada na sua experiência em sala de aula com alunos da
licenciatura em Matemática e após a aplicação de um teste diagnóstico, detectou que
alguns alunos no início do ensino superior demonstravam dificuldades em aplicar os
conceitos de seno e cosseno no triângulo retângulo em determinados tipos de
questões, fazendo as relações de forma incorreta entre cateto e hipotenusa. Verificou
ainda que os alunos não apresentavam conhecimentos prévios em relação ao ciclo
trigonométrico, no que se refere à conversão de grau para radiano ou de radiano para
grau. Percebeu, por exemplo, que os alunos não sabiam que

correspondia, na
6
circunferência trigonométrica, a 30°, ou ainda que 2k  radianos, com k  Z, indica o
número de voltas inteiras no ciclo. Em seu estudo, a autora propõe um curso
completo para alunos do Ensino Fundamental e Médio de duas escolas de Bauru –
SP, fundamentado na teoria cognitiva de David Ausubel, visando à aprendizagem
significativa dos conceitos.
Nacarato (2007, p. 63-93) trata, em sua pesquisa das Tendências no Ensino de
Trigonometria no Brasil, sobre uma perspectiva histórica. Fez uma análise dos
documentos curriculares e dos livros didáticos, concluindo que o estudo de
Trigonometria esteve presente nas escolas secundárias 10 brasileiras durante todo o
século XX. Identificou três tendências presentes no ensino de trigonometria no
Brasil: o enfoque geométrico (até 1929), o enfoque da geometria vetorial (até a
década de1960) e o enfoque de funções circulares (até a década de 1980). Constata
ainda que os livros didáticos dedicam boa parte de seu conteúdo a tal tema, sendo
esse talvez um dos motivos pelos quais o estudo de Trigonometria se estende por
quase um semestre em algumas escolas. Mesmo com essa carga horária, os alunos
entram no Ensino Superior sem o conhecimento básico do referido tema.
Brito e Morey (2004, p. 65-70), em artigo sobre um estudo realizado com
professores do Ensino Fundamental, enfatizam as dificuldades que esses professores
encontravam no ensino dos conceitos de geometria e trigonometria, e de como o
8
Boletim de Educação Matemática.
ZETETIKÉ é uma publicação do círculo de estudos, memória e pesquisa em Educação Matemática da
Faculdade de Educação da UNICAMP.
10
Hoje Ensino Fundamental e Ensino Médio.
9
21
ensino desses conceitos foi sendo proposto nos livros didáticos nas últimas quatro
décadas do século XX. Esse estudo destaca algumas dificuldades apresentadas pelos
professores no decorrer do desenvolvimento das atividades, como trabalhar com
semelhança, entender as expressões “cateto oposto” e “cateto adjacente” como uma
relação entre os lados e os ângulos do triângulo, e ainda transferir os conhecimentos
sobre simetria ao círculo trigonométrico. As autoras argumentam que o ensino de
trigonometria no Ensino Médio é feito de forma simplificada, causando prejuízo para
o aluno. Ao concluírem, afirmam que as dificuldades dos professores investigados
estavam intimamente relacionadas à formação escolar das décadas de 1970 e 1980,
uma época caracterizada pelo descaso para com a trigonometria.
Costa (1997) investigou a introdução das funções seno e cosseno em dois
contextos – computador e “mundo experimental11” no processo de construção do
conhecimento em trigonometria. Trabalhou com alunos de 1º e 2º ano do Ensino
Médio de uma escola privada de São Paulo, que já tinham algumas ideias prévias
sobre funções. Esse estudo se fundamentou na Psicologia Cognitiva e na Didática da
Matemática, através das ideias de Piaget, Vygotsky, Vergnaud, Nunes, Brousseau,
Duady, Duval e Balacheff. Na Psicologia Cognitiva, trata da formação de conceitos,
abordando a aquisição de conhecimento no processo ensino-aprendizagem. No que
se refere ao trabalho com o computador, destaca a importância de o professor
planejar suas atividades antes de aplicá-las, na intenção de perceber se elas são
viáveis ou não, em relação à economia de tempo, simplificação do ensino e
contribuição para a aprendizagem. Em sua conclusão, faz uma análise geral do
desempenho dos grupos formados pelos alunos durante o desenvolvimento das
atividades da pesquisa e destaca que o aprendizado no contexto computacional tornase mais eficiente quando o aluno não teve contato com o conteúdo, ou é precedido
por manipulações concretas em situações menos comprometidas com o formalismo.
Pereira (2002) apresentou uma proposta de utilização dos computadores no
processo de ensino e aprendizagem, através da criação e implementação de um
software computacional que pudesse auxiliar professores e alunos na tarefa de
ensinar e compreender os conceitos das funções trigonométricas, facilitando a
formulação e a visualização de situações inerentes ao conteúdo, que podem ser
propostas pelo professor ou criadas pelo próprio educando. Concluiu que, com o uso
11
Atividades utilizando material concreto, como: maquetes, régua e compasso.
22
do computador orientado pelo professor, a interconectividade entre o conteúdo de
trigonometria e o cotidiano do aluno pode ser favorecido.
Martins (2003), em sua dissertação, apresenta como objetivo central
introduzir o conceito de seno e cosseno de forma coordenada, partindo do triângulo
retângulo, passando pelo ciclo trigonométrico e finalizando com os gráficos das
funções correspondentes, na perspectiva de propiciar aos alunos condições de
construir esses conteúdos de forma significativa. Para tanto, foi elaborada uma
sequência didática composta de sete atividades, com a intenção de investigar se
alunos do 2° ano do Ensino Médio, que já trabalharam com trigonometria no
triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico, podem, por meio dela e com o auxílio
do software Cabri-Geométre, utilizar esses conhecimentos, na construção dos
gráficos das funções seno e cosseno.
A elaboração da proposta é baseada na
dialética, ferramenta-objeto e interação entre domínios de Regina Douady, visando
sempre à aprendizagem a partir de conhecimentos anteriores.
Sormani (2006), em seu trabalho, propôs um estudo exploratório sobre o uso
da informática na resolução de problemas trigonométricos, elaborando uma
abordagem qualitativa e exploratória. Quatro sujeitos, alunos da segunda série do
segundo grau12 de uma escola pública do interior do estado de São Paulo, foram
observados enquanto resolviam problemas de Trigonometria, usando o software
Cabri Géomètre II, com o objetivo de obter informações sobre como o uso de
recursos tecnológicos poderia influenciar esse processo e fornecer subsídios para a
elaboração de estratégias educacionais que contemplassem o uso de tecnologia. Sua
fundamentação teórica está embasada na teoria da formação de conceitos de
Klausmeier e Goodwin, na teoria de Sternberg sobre a resolução de problemas e na
teoria de Ausubel no que se refere à aprendizagem significativa.
O autor discute os resultados obtidos, os quais indicaram que o uso do Cabri,
dentro de estratégias educacionais elaboradas pelo professor, pode conduzir à
aprendizagem significativa, em virtude de sua alta potencialidade. Além disso, seu
uso parece favorecer o processo de resolução de problemas, possibilitando
acompanhar as atividades cognitivas dos sujeitos durante este processo.
Após análises das pesquisas presentes na literatura, descrevemos o perfil dos
estudos realizados que investigam o ensino e aprendizagem da Trigonometria. Nos
12
Hoje 2ª série do Ensino Médio.
23
vários estudos, por exemplo, Brito e Morey (2004), Briguenti, (1994) estão presentes
discussões das dificuldades de alunos e professores em trabalharem com o conteúdo
trigonometria e algumas propostas de possibilidades, na tentativa de minimizar as
dificuldades apresentadas em relação ao conteúdo, através da formulação de bloco de
atividades. Alguns autores desenvolveram atividades com a manipulação de modelos
experimentais13 envolvidos em situações problemas.
As estratégias utilizadas visam à utilização dos recursos da informática
implementadas com os softwares de Geometria Dinâmica, a grande maioria com
Cabri Géomètre. Outro recurso utilizado é a História da Matemática como estratégia
didática para a sala de aula de Matemática.
Alguns autores apresentam parte dos conteúdos de Trigonometria que
usualmente é abordada no Ensino Médio: Ciclo Trigonométrico e Funções
Trigonométricas; outros, optaram por abordar as Razões Trigonométricas no
Triângulo Retângulo. Os princípios norteadores estão centrados no construtivismo
com concepções de Vygotsky, Vergnaud e Brousseau, na aprendizagem significativa
de David Ausubel e na engenharia didática de Douady e Duval.
O quadro a seguir sistematiza algumas compreensões esquemáticas sobre as
teses e dissertações que tivemos como referências para este nosso trabalho no que diz
respeito ao ensino e a aprendizagem de trigonometria.
13
Atividades com material concreto.
Publicações em Ensino e Aprendizagem de Trigonometria
Noções
básicas
Referencial
Recursos
Conteúdos
Modelos
TIC com
Experimentais
softwares
Engenharia
Construtivismo
Didática
Razões
para o estudo de
Trigonométricas no
trigonometria
Triângulo Retângulo
História da Matemática
Vygotsky, Vergnaud
Construção de
Ciclo Trigonométrico e
Trigonométrica
Análises de
Livros didáticos
Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria.
Fonte: arquivo pessoal da professora pesquisadora.
e Brousseau
Tabela
Recurso didático
Funções Trigonométricas
Douady e Duval
Aprendizagem
significativa de Ausubel
Os estudos que pontuamos a seguir não se referem especificamente ao
conteúdo de trigonometria, discorrem sobre o uso da TI no contexto da sala de aula.
Borba (1993) analisou a compreensão dos alunos nas transformações de
funções, utilizando para tanto o recurso de softwares que permitem múltiplas
representações. O estudo foi realizado com dois alunos de uma escola norteamericana de Ithaca, Nova York, que possuíam conhecimentos prévios sobre
diferentes tipos de funções, e ainda entendiam um pouco do uso dos recursos da
informática. Porém, esses alunos desconheciam o software. O estudo contou de oito
encontros de duas horas cada, com os alunos trabalhando individualmente. O autor
tinha por objetivo analisar a percepção dos estudantes em relação ao comportamento
dos gráficos nas mais variadas funções. As contribuições desse estudo advêm das
discussões sobre a importância de investigar as transformações de funções por
múltiplas representações no contexto computacional. Borba conclui que o uso das
tecnologias facilitou o estabelecimento da conexão entre as representações, devido à
flexibilidade das investigações feitas pelos alunos, e ainda que as atividades no
computador permitiram o desenvolvimento de estratégias originais quanto à
resolução de problemas.
Zulatto (2002) estudou o perfil dos professores que utilizam software de
Geometria Dinâmica em suas salas de aula de Matemática. Seu objetivo era conhecer
as concepções dos professores sobre o potencial educativo dos softwares e, em
especial, o processo de demonstração em Geometria. Fizeram parte da pesquisa
professores da rede pública e privada do ensino fundamental e médio de várias partes
do pais. Os professores que participaram da pesquisa apontaram como aspecto
positivo do software a possibilidade de realizar atividades com construções
geométricas, permitindo realizar a investigação e a visualização de entes
matemáticos que não são possíveis com régua e compasso. Em suas conclusões,
Zulatto (2002) afirma que a formação continuada e um acompanhamento sistemático
podem contribuir para que os professores sintam-se preparados e seguros ao utilizar
tecnologias em sala de aula. Outro ponto destacado pela autora refere-se aos recursos
dos softwares de Geometria Dinâmica, que apresentam como ponto forte a
perspectiva de arrastar os objetos pela tela.
Farias (2007) investigou as diferentes formas representativas de conceitos
matemáticos mediados por softwares educativos, numa perspectiva semiótica na
construção dos conhecimentos de professores em formação inicial. Os sujeitos de sua
26
pesquisa foram alunos do Curso de Matemática do IGCE/ UNESP/Rio Claro, na
disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Seu referencial baseia-se na representação
Semiótica de
Raymond Duval e teóricos que discorrem sobre a Formação Inicial de
professores. Em suas conclusões, a autora destaca que foi unânime, na concepção dos
alunos, a relevância da associação, das representações gráficas mediadas pelo uso de
softwares educacionais à visualização de conceitos, e como meio de compreender as
representações na forma algébrica ou escrita nos estudo de uma função ou na
demonstração de um teorema.
Outra pesquisa de Zulatto (2007) buscou entender como se dá a aprendizagem
de conteúdos matemáticos em cursos online de formação continuada de professores
em Geometria. O estudo foi realizado com professores da Fundação Bradesco em
âmbito nacional, através de um curso totalmente a distância. A pesquisadora fez uso
do software Geometricks. Seu referencial teórico traz uma discussão acerca do
percurso histórico da Educação a Distância (EaD) em três gerações, abordando o que
de mais relevante aconteceu nesses momentos. Tece algumas considerações acerca
do papel do professor e do aluno na EaD e, em seguida, trata das concepções teóricas
que deram sustentação à proposta do curso. Em suas conclusões, a autora destaca a
importância da aprendizagem matemática em um ambiente online, e destaca ainda
que o modo como o professor aprende em um processo coletivo colaborativo e
argumentativo pode condicionar a maneira como ele percebe e desenvolve a
Matemática em sala de aula.
Barbosa (2009), em seu estudo com alunos do curso de Matemática, investiga
como os coletivos formados por alunos munidos dos recursos das Tecnologias da
Informação e Comunicação produzem conhecimentos a cerca dos conteúdos de
Cálculo Diferencial e Integral, especificamente função Composta e Regra da cadeia.
A autora destaca as potencialidades das TIC nos processos de visualização,
demonstrando que esse processo transforma os modos de aprender do aluno. Utilizou
como referencial teórico as concepções de Borba e Villarreal no que se refere a seres
humanos com mídia, e de Ponte, Oliveira e Brocardo, quanto às atividades
investigativas exploratórias.
Farias (2007) e Barbosa (2009) discutem sobre as dificuldades dos alunos do
curso de Matemática na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I e destacam as
27
potencialidades das TIC no processo de construção de conhecimento nesta disciplina.
Zulatto (2002, 2007) discorre sobre a formação de professores e o uso das
tecnologias de Informação e Comunicação em cursos a distância.
Salazar (2009) objetivou em seu estudo analisar como os alunos do segundo
ano do ensino médio se apropriam das transformações geométricas no espaço quando
interagem com as ferramentas do software Cabri 3D. O referencial teórico utilizado
pela autora está centrado na Engenharia Didática, baseando-se na abordagem
instrumental de Rabordel, para compreender como os alunos interagem com o
software Cabri 3D, e que conteúdos mobilizam na resolução dos problemas
propostos nas atividades e na teoria dos registros semióticos de Duval,
especificamente nas diferentes apreensões de uma figura. A proposta de ensino foi
aplicada com 11 alunos de uma escola privada do estado de São Paulo. Em suas
conclusões, Salazar (2009) ressalta a importância do uso do Cabri 3D na apreensão
perceptiva das figuras, permitindo dinamizá-las. Destaca ainda a relevância do
referido software no processo de visualização das modificações posicionais das
figuras.
O quadro a seguir sistematiza algumas compreensões esquemáticas sobre as
teses e dissertações que tivemos como referências para nosso estudo no que diz
respeito a tecnologia informática (TI).
Publicações em Tecnologia Informática (TI).
Recursos
Conteúdos
Funções
Geometria
Calculadora
softwares
gráfica.
Função
Transformações
Composta e
geométricas no
Regra da Cadeia.
espaço.
Limites, Derivada e
Integral.
Quadro 1 – Publicações em ensino e aprendizagem de trigonometria.
Fonte: arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Winplot, Geometrisks,
Referencial
Tecnologia
Engenharia
Informática (TI)
Didática
Borba, Lévy,
Douady, Duval
Penteado, Villarreal,
e Rabordel.
Tikhomirov
GeoGebra, Cabri 3D.
Atividades
Investigativas
nas
concepções de Ponte, Oliveira e
Brocardo.
Os estudos citados anteriormente se aproximam da nossa investigação acerca do
tema pesquisado no que se refere ao uso dos recursos dos softwares de Geometria
dinâmica em sala de aula de Matemática. Entretanto, o trabalho que nos propomos a
desenvolver vem trazer uma análise diferenciada, enfocando as potencialidades e
limitações do uso da tecnologia informática (TI) numa sala de aula do Ensino Médio
de uma escola pública com todos os alunos da sala participando da investigação, não
apenas com uma amostra da turma escolhida como sujeitos da pesquisa, tendo como
perspectiva apresentar as dificuldades enfrentadas pelo professor ao decidir pelo uso
da TI no ensino público regular 14. Propomo-nos elaborar e testar uma sequência
didática com o uso dos recursos das TI no estudo de Trigonometria, utilizando o
software GeoGebra, que será apresentado aos professores com recomendação de uso
em sala de aula.
14
Consideramos em nosso estudo ensino regular, o ensino fundamental e médio.
30
3 PRINCÍPIOS NORTEADORES DO ENSINO E APRENDIZAGEM DE
TRIGONOMETRIA POR MEIO DO USO DO SOFTWARE GEOGEBRA.
Neste capítulo, apresentamos inicialmente o referencial teórico que norteou a
nossa pesquisa, centrado na Didática da Matemática. Adotamos as concepções de
Borba, Penteado, Valente e Zulatto no que se refere ao uso da Tecnologia
Informática (TI) em sala de aula de Matemática.
Ressaltamos que, na literatura, alguns pesquisadores, como Ponte (2003),
Miskulin et al (2008), Kenski (2003), Almeida (2008), ao investigar o uso do
computador no meio educacional, utilizam a nomenclatura Tecnologias de
Informação e Comunicação(TIC). Salazar (2009), ao avaliar as potencialidades do
software Cabri 3D no ensino de Geometria, se refere ao uso desse recurso como
ambiente computacional (AC). Esclarecemos que, em nosso estudo, ao nos
referirmos ao uso do software de Geometria Dinâmica (GeoGebra) no ensino e
aprendizagem de Trigonometria, descreveremos como Tecnologia Informática (TI),
de acordo com as definições adotadas por Borba e Penteado (2007).
No que se refere às atividades investigativas, nos apoiamos nos trabalhos de
Ponte, Brocardo, Oliveira e Ernest.
3.1 A PRESENÇA DA TECNOLOGIA INFORMÁTICA (TI) NO ENSINO E
APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA.
As constantes mudanças impostas pela sociedade da informação e a presença
das tecnologias nas mais variadas camadas da sociedade, têm significado um
repensar na educação e na sua forma de montar os currículos escolares. Pesquisas
que analisam as potencialidades da TI em sala de aula ressaltam a sua relevância no
ensino de Matemática. Borba e Penteado (2007) e Scheffer (2002) asseguram que a
Tecnologia Informática pode ser uma grande aliada no ensino da Matemática, visto
que permite a experimentação e a ênfase no processo de visualização. Ao incluir a TI
como parte das atividades em sala de aula, o aluno realiza descobertas incentivando a
compreensão e dando significado ao conhecimento matemático.
31
Ponte (2003) afirma que os professores de Matemática, em sua prática,
precisam saber usar as ferramentas das Tecnologias da Informação e Comunicação
em suas salas de aula, incluindo softwares educacionais próprios da sua disciplina ou
de educação no âmbito geral. Essas ferramentas são consideradas por Kenski (2009)
não apenas um suporte, pois interferem em nossa forma de pensar, de nos
relacionarmos, de adquirirmos conhecimentos. A autora destaca ainda que meios de
comunicação como a televisão e o computador, através de seus recursos,
movimentaram a educação e provocaram novas mediações entre a abordagem do
professor, a compreensão do aluno e o conteúdo que circula nesses meios.
Tais recursos, quando utilizados adequadamente, podem provocar mudanças
na postura do professor e dos alunos no sentido de auxiliar na compreensão do que
está sendo estudado. Porém, para que estas mudanças possam ocorrer, são
necessárias algumas ações, igualmente importantes, como equipar as escolas com
salas de informática com computadores ligados à internet e apoiar o professor para
utilizar pedagogicamente estas tecnologias.
Os incentivos por parte dos órgãos governamentais para que sejam utilizados
os recursos da informática em sala de aula têm aumentado consideravelmente. Por
exemplo, o PROINFO15, desenvolvido pelo governo federal, é um programa
educacional com o objetivo de promover o uso pedagógico da informática na rede
pública de educação básica. O programa leva às escolas computadores, recursos
digitais e conteúdos educacionais. Em contrapartida, estados, Distrito Federal e
municípios devem garantir a estrutura adequada para receber os laboratórios e
capacitar os educadores para o uso das máquinas e tecnologias.
No Rio Grande do Norte boa parte das escolas da rede estadual de ensino já
possue um laboratório de informática16, equipado com uma TV, DVD e kit
multimídia. Com a chegada destes recursos nas escolas, foram promovidos cursos de
introdução à informática, onde se tinha um treinamento sobre como utilizar algumas
ferramentas básicas. Dessa maneira, os professores se sentiram obrigados a
utilizarem esses recursos, mesmo não sendo formados para o uso pedagógico das TI,
passando a utilizar com freqüência apresentações de conteúdos com recursos da
informática e não mais na lousa.
15
16
Programa Nacional de Informática na Educação.
Segundo dados da Secretaria de Educação do Estado do Rio Grande do Norte.
32
Contudo em algumas escolas do RN os computadores não foram instalados,
muitos laboratórios estão desativados por questões de infra-estrutura ou por falta de
pessoal habilitado para colocar as máquinas em funcionamento. Assim, destacamos a
importância de pensar uma mudança na forma do uso destas tecnologias na escola.
As discussões sobre o uso dessa tecnologia na educação têm se apresentado
de forma constante na literatura nacional e internacional sobre Educação, em
particular na Educação Matemática. O interesse dos alunos por essas ferramentas
vem motivando os professores e pesquisadores a buscarem formas de aliar o uso da
informática ao ensino e aprendizagem de Matemática.
Focando no tema deste trabalho, segundo Costa (1997), o uso do software
Cabri-Géomètre teve uma grande contribuição na criação de situações que
facilitaram o entendimento e o processo de construção dos conhecimentos dos alunos
sobre as funções trigonométricas. Portanto, o desenvolvimento de atividades aliada
ao uso do computador pode ser um facilitador na construção dos conceitos da
trigonometria.
Borba e Penteado (2007) apresentam ganhos no uso da TI na Educação
Matemática apontando argumentos favoráveis ao uso desses recursos.
Pesquisas já feitas em nosso grupo de pesquisas, GPIMEM – Grupo de
Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação Matemática –,
apontam para a possibilidade de que trabalhar com os computadores
abre novas perspectivas para a profissão docente. O computador,
portanto, pode ser um problema a mais na vida atribulada do professor,
mas pode também desencadear o surgimento de novas possibilidades
para o seu desenvolvimento como um profissional da educação.
(BORBA e PENTEADO, 2007, p. 15).
Outro argumento favorável refere-se à motivação que esse recurso provoca no
aluno pelo seu dinamismo. Essas considerações tornam-se evidentes, ao analisarmos
os efeitos da TI no ensino de Matemática, sendo através de calculadoras gráficas ou
através de software de geometria dinâmica. A representação gráfica e a
movimentação na tela proporcionam uma visualização que não pode ser percebida
com lápis e papel ou na lousa.
Assim sendo, quando a informática faz parte do ambiente escolar num
processo dinâmico de interação entre alunos, professores e TI, ela passa a despertar
33
no professor a sensibilidade para as diferentes possibilidades de representação da
Matemática, o que é importante no momento de realizar construções, análises,
observações de regularidades e ao estabelecer relações.
Para Scheffer (2002), quando a informática é trabalhada na escola na
perspectiva de produzir conhecimentos, o aluno é levado a fazer análises de modo a
poder refletir sobre seus procedimentos de solução, testes e conceitos empregados na
resolução de problemas.
Nesse sentido, Kaput e Thompson (1994 apud SCHEFFER, 2002), quando se
referem à pesquisa com tecnologias na Educação Matemática, destacam três aspectos
que podem promover uma profunda transformação na experiência de fazer e
aprender matemática: Interatividade – proporciona a interação entre o homem e o
saber produzido; Controle utilizável dos ambientes de aprendizagem – favorece a
resolução de problemas, e Conectividade – que possibilita a conexão entre
professores e alunos de diferentes partes do mundo.
Documentos oficiais, como as Orientações Curriculares para o Ensino Médio
(OCEM) e os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio (PCNEM),
oferecem diretrizes para o uso desses recursos em sala de aula. Uma das
recomendações dos PCNEM17, no que se refere a desenvolver a capacidade de
comunicação, destaca a relevância dos estudantes saberem utilizar as tecnologias
básicas de redação e informação, com os recursos do computador. Ao discorrer sobre
a contextualização sociocultural, ressaltam que os alunos necessitam construir a
competência de utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo
suas limitações e suas potencialidades.
Segundo Valente (1999), existe formas diferenciadas de se trabalhar com o
computador na educação. As atividades de uso do computador podem ser para
transmitir informação ao aluno e consiste na informatização dos tradicionais métodos
de ensino, nesse caso, o professor está apenas mudando de mídia, saindo do quadro e
giz para o computador. Outra prática diz respeito a quando o aluno usa o computador
para construir seus conhecimentos, caso que favorece a interação do aluno com
objetos do ambiente computacional. O computador passa a ser uma máquina para ser
ensinada, propiciando condições para o aluno descrever a resolução de problemas,
refletir sobre os resultados obtidos e depurar 18 suas ideias por intermédio da busca de
17
18
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio.
Processo de encontrar e reduzir defeitos num aplicativo de software ou mesmo em hardware.
34
novos conteúdos e novas estratégias. Ainda segundo Valente (1999), o envolvimento
com o objeto em construção cria oportunidades para o aluno colocar em prática os
conhecimentos que possui. Se esses conhecimentos não são suficientes para resolver
os problemas encontrados, o aluno terá de buscar novas informações nas mais
variadas fontes que lhe estejam disponíveis.
Assim sendo, o aluno usa o computador para resolver problemas, ou seja,
realizar tarefas como desenhar, escrever, construir, calcular, analisar, após efetuar
alguns comandos, levantar hipóteses, formular e testar conjectura, entre outras
possibilidades. A construção do conhecimento advém do fato do aluno ter de buscar
novos conteúdos e estratégias para acrescer ao conhecimento de que já dispõe sobre
o assunto que está sendo estudado via computador.
Borba e Penteado (2007) apontam algumas dificuldades enfrentadas pelos
professores ao utilizarem a informática em sala de aula. Primeiro podemos destacar
os de ordem estrutural, salas pequenas com poucas máquinas que não comportam
metade da turma, a outra metade precisa ficar sozinha em sala, visto que grande parte
das escolas não dispõe de um profissional que os auxiliem em sala. Máquinas que
quebram constantemente, softwares que são desinstalados e a internet que nem
sempre funciona, entre outros problemas.
Destacam ainda que, para explorar o potencial educacional da Tecnologia
Informática (TI), é preciso haver mudanças na organização da escola, em especial no
trabalho do professor. Quanto à postura desses profissionais, descrevem que as
mudanças envolvem desde questões operacionais, organização do espaço físico e a
integração entre o novo e o que costumavam fazer. Até mesmo questões
epistemológicas, como as referentes ao que chamam de zona de risco19. Os
educadores saem de sua zona de conforto20, onde têm controle da situação, para um
estágio no qual o índice de certeza e controle da situação de ensino é muito pequeno.
Para trabalhar com a TI, o professor necessita de tempo para explorar o
software escolhido, planejar atividades, procurar entender o funcionamento das
máquinas e fazer os agendamentos, visto que o laboratório é utilizado por outros
colegas nos mais variados componentes curriculares. Podemos perceber que, de
modo geral, planejar é uma estratégia que deve ser uma constante na vida do
19
Definição de Penteado (2007) para um ambiente onde não se tem domínio das situações que são
apresentadas.
20
Situação controlada como a sala de aula tradicional.
35
professor que opta trabalhar com essa ferramenta. Planejar inclusive para situações
como, por exemplo, as atividades propostas para o laboratório não funcionarem, se o
laboratório estiver interditado, ou qualquer imprevisto que possa vir a acontecer. Para
isso deve criar, antecipadamente, outras atividades para realizar com os alunos.
Inúmeras são as contribuições que a informática pode trazer para o ensino e
aprendizagem de Matemática, quando o professor se propõe a trabalhar com esses
recursos em suas salas de aula.
Desse modo, de acordo com Borba Penteado (2007), a TI é importante nas
práticas educacionais, como, por exemplo, na modelagem matemática, na formação
de professores, na resolução de problemas e trabalhos com projetos que têm sido
valorizados nas pesquisas em Educação Matemática.
Algumas mudanças percebidas por Penteado (2000) em seus estudos com os
recursos da TI se referem à relação professor/aluno. Os alunos, em sua grande
maioria, apresentam facilidades em utilizar a informática e os equipamentos de
mídias, ou seja, eles passam também a orientar em sala de aula, questionam
resultados, analisam possíveis erros e investigam outras possibilidades que a
ferramenta oferece.
A presença da TI altera as relações de poder na sala de aula. À frente de um
computador o aluno faz várias opções. Pode acessar softwares, usar ajuda
online, comparar com programas e equipamentos que possuem em casa e
descobrir caminhos novos que o professor desconhece. (PENTEADO, 2000,
p. 31).
Assim, como aponta a autora, o poder pelo domínio do conhecimento muda, a
informação não está só nas mãos do professor. O aluno, em alguns casos, tem um
maior domínio da informática do que os professores. Os alunos conquistam a cada
dia mais espaço nas negociações em sala de aula. Para isso, os professores precisam
estar abertos à ajuda do aluno ou até mesmo a buscar ajuda com outros colegas de
profissão, funcionários e técnicos que tenham domínio das ferramentas da
informática na escola ou nas secretarias de educação.
Zulatto (2002) corrobora com Valente (1999), ao afirmar as muitas
possibilidades que a TI oferece para a educação, porém, é preciso ter uma atenção
voltada para a forma como as propostas de ensino são interpretadas e implementadas
36
pelos professores, de forma que não seja apenas uma mera informatização do
processo de ensino. Para que a TI auxilie o processo de construção do conhecimento,
é importante que aconteçam algumas mudanças na escola, que vão além da formação
de professores, e devem passar por todos os segmentos: alunos, professores, pais,
direção e supervisão pedagógica.
Em seus estudos sobre formação de professores integrados ao uso das novas
tecnologias na Educação Matemática, Ponte e Oliveira (2001) apresentam o seguinte
pensamento sobre a internet no ensino de matemática:
A internet, como rede mundial de computadores, constitui um extensíssimo
manancial de recursos onde podemos procurar todo o tipo de informações,
documentos, notícias sobre acontecimentos, software, sugestões para a sala
de aula, etc. Possibilita, também, um espaço de publicação das nossas
próprias produções, que ficam assim disponíveis para um público alargado.
Mas, mais do que um instrumento de acesso à informação e um meio de
divulgação de produtos educacionais, a internet permite a interação virtual
entre pessoas envolvidas em atividades muito diversas, incluindo
professores, alunos, pais, futuros professores, formadores, cientistas,
profissionais, políticos e muitos outros agentes sociais. (PONTE;
OLIVEIRA, 2001, p. 65-70).
A internet pode ser vista como uma ferramenta a mais no planejamento dos
professores, mesmo no ensino presencial é possível perceber as facilidades de
comunicação através dessa ferramenta, podendo ter um impacto significativo no
ensino de Matemática, possibilitando o trabalho com projeto e atividades que
promovam a investigação.
Outro argumento favorável ao uso da TI em sala de aula diz respeito às
oportunidades de troca de experiências entre educadores. Diversas comunidades
virtuais têm surgido no campo do ensino da Matemática. Podemos destacar um
grande número de cursos de formação de professores, lista de discussões, blogs, sites
e comunidades com orientações de uso da TI em sala de aula.
37
3.2 SOFTWARES DE GEOMETRIA DINÂMICA.
Os softwares de Geometria Dinâmica têm como característica principal o
movimento de objetos na tela. Possibilitam fazer investigações, descobertas,
confirmar resultados, fazer simulações, e permitem levantar questões relacionadas
com a sua aplicação prática.
Segundo Goldemberg e Cuoco (1998), o termo Geometria Dinâmica foi
inicialmente usado por Nick Jackiw e Steve Rasmussem, de forma genérica, com o
objetivo de apresentar a diferença entre software de Geometria Dinâmica e outros
softwares de Geometria. Os softwares de Geometria Dinâmica possuem um recurso
que possibilita a transformação contínua em tempo real, ocasionada pelo “arrastar”
(GODEMBERG e CUOCO, 1998, p. 132).
Com o recurso de um software de Geometria Dinâmica os alunos podem
realizar construções que usualmente fazem com régua e compasso, os quais não os
permitem interagir com o desenho, por serem estáticos. O que difere numa atividade
com o recurso do software é a possibilidade de movimentação dos objetos e, a partir
desses movimentos, o aluno investigar o que acontece com a sua construção,
levantando hipóteses como: a construção permanece com as mesmas características?
Um simples movimento muda todas as características originais? Entre várias
hipóteses que são possíveis levantar diante das próprias tomadas de decisão,
percebendo assim as suas regularidades.
No que se refere ao uso de software no meio educacional, Valente (1993b)
afirma que as tecnologias da informática podem ser relevantes no processo ensino e
aprendizagem da Matemática. O autor destaca algumas modalidades de programas
computacionais que podem ser utilizados em sala de aula como:
 Os tutoriais: apresentam como características a inserção de modelos com
animação e som, o que difere de uma abordagem feita com lápis e papel;
 Sistemas de exercícios e práticas: são usados para revisar material visto em
classe, envolvem memorização e repetição, requerendo uma resposta imediata
do aluno;
38
 Jogos educacionais: usados para explorar um determinado conteúdo;
 Simuladores: envolvem a criação de modelos dinâmicos e simplificados do
mundo real, que permitem a exploração de diferentes situações. Possibilitam ao
aluno desenvolver hipóteses, testá-las e analisar os resultados, formular
conjecturas e analisar as propriedades dos objetos construídos.
Assim sendo, tomando com referência as modalidades e características dos
softwares citadas por Valente (1993a), entendemos que o GeoGebra possua
características semelhantes de um software simulador. Com o referido software, o
aluno pode, a partir de uma construção, alterar os objetos preservando as
características originais.
Valente (1993a) ressalta que o recurso de um software facilita a
aprendizagem quando o aluno interage com a máquina, como, por exemplo, quando
o aluno utiliza os softwares que apresentam linguagem de programação, o
conhecimento não fica restrito ao computador, ocorre a partir da interação do aluno
com as ferramentas da informática.
Ao fazer uma análise dos diferentes tipos de softwares usados na educação,
Valente (2001) observa que o papel do professor é de extrema relevância na
aprendizagem dos alunos.
Em todos os tipos de softwares, sem o professor preparado para desafiar,
desequilibrar o aprendiz, é muito difícil esperar que o software por si só crie
as situações para ele aprender. A preparação desse professor é fundamental
para que a Educação dê o salto de qualidade e deixe de ser baseada na
transmissão da informação e na realização de atividades para ser baseada na
construção do conhecimento pelo aluno. (VALENTE, 2001, p. 10).
Nesse sentido, o professor precisa obter as informações necessárias para
assumir o papel de facilitador da construção do conhecimento do aluno e deixar de
ser o profissional que transmite informações ao aprendiz. Isso significa ser formado
tanto no aspecto computacional, de domínio do computador e dos diferentes
softwares, quanto no aspecto da integração do computador nas atividades
39
curriculares. O professor deve ter muito claro quando e como usar o computador
como ferramenta para estimular a aprendizagem.
Com algumas mudanças no currículo das escolas da rede pública, foram
retiradas disciplinas como Desenho Geométrico, ficando a cargo do professor de
Matemática abordar as construções geométricas. Permanecendo na maioria das vezes
em segundo plano, nesse sentido, o aspecto de construção de objetos geométricos
raramente é abordado, dificilmente encontramos nas atividades em sala de aula
atividades que possibilitem a construção de objetos, e, no entanto essa é uma das
atividades que leva o aluno ao domínio de conceitos geométricos.
No entanto, ao se depararem com um software que permite a interação do
aluno com a tela, através da possibilidade de arrastar objetos sem mudar as suas
características, e interagir com eles, os alunos podem transformar a aula de
matemática em algo prazeroso e bem proveitoso. Diante de uma investigação, através
das construções, os alunos elaboram suas próprias conjecturas e testam na tentativa
de provar sua validade, ou ainda a partir de uma falha nos testes, elaborar novas
conjecturas. Chegando a conclusões e permitindo a construção de conceitos.
Segundo Gravina (1996), esses softwares podem ser ferramentas riquíssimas
na superação das dificuldades dos alunos com o estudo de conteúdos como os de
Geometria. A autora acrescenta que
Vemos emergir uma nova forma de ensinar e aprender Geometria; a partir
de exploração experimental viável somente em ambientes informatizados,
os alunos conjeturam e, com o feedback constante oferecido pela máquina,
refinam ou corrigem suas conjeturas, chegando a resultados que resistem ao
“desenho em movimento”, passando então para a fase abstrata de
argumentação e demonstração matemática. (GRAVINA, 1996, p. 5).
A autora sugere que o professor pode utilizar esse tipo de software de duas
maneiras: na primeira, os alunos fazem suas próprias construções, mas eles precisam
ter domínio dos procedimentos para obterem a construção. Outro modo de trabalhar é
com a figura pronta, o professor constrói a figura previamente e a apresenta para os
alunos, a qual a autora chama de “caixa preta”. Nesse momento, os alunos são
convidados a reproduzi-la, analisando as suas propriedades e fazendo inferências
sobre ela. Os problemas propostos podem ser abertos, ou seja, no enunciado não há
40
indicação de resposta. “As explorações e estratégias que vão se delineando ao longo
do trabalho são similares às que acontecem no ambiente de pesquisa de um
matemático profissional” (GRAVINA, 1996, p. 3). Essa postura investigativa
contribui para a formação de uma concepção sobre matemática diferente daquela
construída, usualmente, ao longo da vida escolar.
Mostramos a seguir um exemplo de uma atividade de construção com o
recurso de um software de Geometria Dinâmica:
 Construa um triângulo de vértices A, B e C;
 Trace uma reta perpendicular ao lado BC passando pelo vértice A;
 Trace uma reta paralela ao lado BC passando pelo vértice A;
 Mantenha o lado BC fixo, conforme figura 1;
 Faça o vértice oposto A deslocar-se na reta paralela a este lado.
Obtemos uma família de desenhos com triângulos e segmentos, alturas em
diversas situações. O segmento altura passa a ser visto com mais significado.
Desmistificando algumas ideias que parte dos alunos apresenta em relação à altura de
um triângulo, percebendo como um segmento interno ao triângulo. Ao arrastar um
dos vértices, os alunos terão a possibilidade de visualizar na tela o que para eles não
é possível com régua e compasso.
Construção inicial, antes de movimentar o vértice A
41
Construção após arrastar o vértice A
Figura 1 – Traçando a altura de um triângulo com o GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Outra possibilidade descrita pela autora citada anteriormente, é o professor
entregar para o aluno a figura pronta para que ele a investigue. Como exemplo,
apresentar o triângulo retângulo, conforme figura 2, entregamos a construção para o
aluno; em seguida, pedimos que arraste um de seus vértices em qualquer direção,
aumentando e diminuindo o seu tamanho, e analise se o triângulo permanece ou não
retângulo, e se permanece, por que isso acontece.
Construção de um Triângulo Retângulo
Figura 2 – Construção de um Triângulo Retângulo com o software GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Nas atividades com software de Geometria dinâmica, o recurso de arrastar
permite a visualização das propriedades das figuras construídas. Para Oliveiro e
outros (1998 apud ZULATTO, 2002), durante a fase de conjectura, o processo de
42
arrastar pode ser dividido em três categorias no desenvolvimento das atividades, que
são: Arrastar sem um propósito determinado, sendo possível encontrar regularidades;
arrastar para testar, procurando testar uma hipótese previamente levantada; e lugar
geométrico ao arrastar, ao realizar o processo de arrastar preservando algumas
regularidades de uma figura, um determinado lugar geométrico será construído. A
construção 2 é um exemplo de arrastar para testar uma hipótese levantada
previamente.
3.3 O SOFTWARE GEOGEBRA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE
TRIGONOMETRIA
O software GeoGebra apresenta algumas potencialidades no ensino e
aprendizagem de Trigonometria. Como citado anteriormente, de posse de um
software de Geometria Dinâmica, o aluno tem a possibilidade de arrastar os objetos
construídos pela tela do computador, tendo como perspectiva fazer testes, levantar
hipóteses, perceber regularidades. Permite movimentos interativos que possibilitam
ao usuário realizar atividades que não são possíveis com lápis e papel. Como
exemplo, podemos citar o processo de visualização no ciclo trigonométrico
construído com os recursos do software, conforme figura 3.
Figura 3 – Construção do Ciclo Trigonométrico com o software GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
43
Na lousa, a figura é estática, o aluno terá que imaginar os pontos se movendo,
enquanto que, com o recurso do software, essa situação é facilitada como o processo
de visualização. Para Borba e Villarreal (2005), o componente visual parece ser o
principal foco desde que os computadores passaram a ter monitor de vídeo. A
visualização é um processo bastante privilegiado em ambientes computacionais. Os
autores apresentam em seus trabalhos algumas definições e terminologias associadas
à visualização, tais como: habilidade espacial, que representa a capacidade em gerar,
reter e manipular imagens abstratas; imagens mentais, corresponde à percepção de
um objeto, mesmo quando ele não está presente aos órgãos dos sentidos; imagem
visual e visualização, a imagem visual é um esquema mental que representa uma
informação visual ou espacial, que inclui diferentes tipos de modelos, pinturas,
fórmulas, imagens dinâmicas na mente.
Um outro exemplo se refere ao estudo de semelhança de triângulos. É comum
os estudantes do Ensino Fundamental e Médio apresentarem algumas dificuldades
para entender que os triângulo retângulos não são sempre semelhantes.
O professor pode pedir, com o recurso do software GeoGebra, que os alunos
construam um triângulo retângulo e em seguida determinem a razão entre os lados,
conforme figura 4, movimentem21 um de seus vértices sem alterar a medida dos
ângulos e façam anotações do que observaram; em seguida, pode solicitar que
arrastem um dos vértices alterando a medida dos ângulos. Ao realizar essa atividade,
os alunos terão a oportunidade de argumentar sobre os resultados obtidos e, a partir
das suas observações e argumentações, tirar conclusões sobre as propriedades dos
triângulos semelhantes. Assim sendo, abre-se um espaço para a constituição de um
ambiente em que os alunos se envolvem na discussão matemática, expondo e
defendendo suas ideias, comentando as ideias dos colegas e levantando
questionamentos sobre os resultados obtidos.
21
Refere-se a mover um dos seus vértices, aumentando e diminuído o tamanho do triângulo.
44
Construção Inicial
Construção após arrastar o vértice B
Figura 4 – Construção de Triângulos Retângulos com o GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Ao abordar a trigonometria no triângulo retângulo, o professor pode pedir que
os alunos construam o triângulo e determinem as razões trigonométricas. Ou optar
por entregar a construção (applet)22 já preparada anteriormente para o aluno, como a
apresentada na figura 5, para que observem o movimento dos vértices do triângulo e
possam analisar o que acontece com as razões trigonométricas, fazendo anotações e
discutindo quando as razões se alteram e quando os valores são os mesmos. Após as
investigações feitas, passam a fazer conjecturas, levantar hipóteses e argumentar
sobre os resultados obtidos.
Figura 5 – Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
22
É um software aplicativo que é executado no contexto de outro programa.
45
3.4 ATIVIDADES INVESTIGATIVAS NA SALA DE AULA DE MATEMÁTICA.
Existem algumas definições de investigação. O termo apresenta diferentes
significados, podendo ser aplicados nos mais variados contextos. De acordo com
Ponte, Brocado e Oliveira (2005, p.13): “[...] para os matemáticos profissionais,
investigar é descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou
desconhecidos, procurando identificar as respectivas propriedades”. Ao definirem
investigação, os autores apontam que, nesse tipo de atividade, o aluno se vê
envolvido em um ou mais problemas. O primeiro momento de uma investigação se
dá na descoberta do problema, ou seja, na sua identificação, é preciso haver clareza
do que realmente será investigado para que, em seguida, seja possível determinar as
estratégias de resolução. Ainda segundo esses autores, investigar em matemática é
descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos,
procurando identificar as suas propriedades.
Alguns pesquisadores ao tentar definir “investigação” apresentam diferenças
e semelhanças entre essa e a resolução de problemas. Ernest (1996) considera que
existem características que possibilitam entender o que é uma investigação
matemática. Segundo esse autor, na resolução de problemas as questões estão
formuladas inicialmente, enquanto que nas investigações esse será o primeiro passo a
ser tomado. Outra diferença entre investigação e resolução problema refere-se aos
objetivos. No problema procura-se atingir um ponto não imediatamente acessível, ao
passo que numa investigação o objetivo é a própria exploração. Assim sendo, a
exploração de uma investigação é um processo divergente, enquanto que na
resolução de problemas é um processo convergente.
Ainda segundo Ernest (1996), tanto a resolução de problemas como as
investigações podem ser entendidas como uma abordagem pedagógica na Educação
Matemática, entretanto, suas características são diferentes, porque tanto o papel do
aluno quanto o do professor podem diferir bastante. Numa abordagem centrada na
resolução de problemas, o professor propõe o problema, enquanto o aluno tem a
tarefa de encontrar um caminho que lhe permita chegar à solução. Numa abordagem
pedagógica investigativa, o professor pode escolher a situação de partida ou
concordar com a escolha do aluno, mas cabe ao aluno formular as questões e definir
quais serão seus problemas dentro da situação proposta.
46
Em Brocardo (2001) encontramos uma observação de Pirie, ele ressalta que
uma investigação constitui uma situação aberta, uma exploração que não tem como
objetivo chegar a uma resposta certa. E sim o contrário o objetivo é o caminho a ser
seguido, não o resultado. Ao propor aos alunos uma investigação pretende-se que
esses explorem possibilidades, formulem conjecturas e confiem na validade de suas
descobertas.
As investigações matemáticas podem apresentar um grande potencial
educativo, mostrando-se importantes no desenvolvimento da criatividade do aluno.
Segundo Brocardo (2001), uma investigação matemática é uma atividade que
envolve três processos: Exploração de Possibilidades; Formulação de conjecturas;
Argumentos que validem as hipóteses levantadas. Nessa perspectiva, as atividades
de investigação são caracterizadas por vários processos matemáticos que não podem
ser seguidos de forma linear, visto que, ao perceber que os testes realizados não
confirmam determinadas conjecturas, é necessário voltar atrás e formular novas
conjecturas. Para isso, é preciso visualizar o que ocorreu para que a primeira
conjectura não se sustentasse Portanto uma atividade de investigação permite que o
aluno reinicie os questionamentos quantas vezes for necessário.
Pontes e Matos (1996) afirmam que numa atividade de investigação
matemática os alunos são colocados frente a frente com questões que sugerem o
levantamento de hipóteses, a elaboração de conjecturas, o teste das hipóteses e a
busca de falhas de abordagem ou apoio de fundamentos que as sustentem. Destacam
ainda que:
Nas investigações matemáticas os alunos são colocados no papel dos
matemáticos. Perante uma situação, objeto, fenômeno ou mecanismo
suficientemente ricos e complexos eles tentam compreendê-los, descobrir
padrões, relações, semelhanças e diferenças de forma a conseguir chegar a
generalizações. As investigações matemáticas vão desde as tarefas bastante
elaboradas e complexas que podem levar algum tempo a resolver, até às
questões mais simples que podem ser levantadas a partir de uma pequena
variação de um fato ou procedimento conhecido. (PONTES; MATOS,
1996, p.23)
De forma geral, investigar nada mais é do que buscar, descobrir, procurar
conhecer, tentar elaborar soluções para os problemas e situações as quais nos são
47
proporcionadas. Esse tipo de competência é de grande relevância para atuarmos no
mundo no qual estamos inseridos. Devendo ser esse um trabalho constante em sala
de aula, tanto por parte dos alunos como com os professores.
Skovsmose
(2000)
amplia
a
discussão
escrevendo
que
atividades
investigativas podem, não somente contribuir para o desenvolvimento da
aprendizagem matemática, mas para favorecer o desenvolvimento crítico do
educando para que ele atue na sociedade criando relações calcadas na valorização do
ser humano e da vida.
As recomendações Curriculares Nacionais e outros documentos presentes
nas escolas têm nos orientado a trabalhar nessa perspectiva apontada pelos autores
citados anteriormente, sugerem que o professor promova nas aulas de Matemática a
capacidade de raciocínio e a competência em formular e resolver problemas. Não
podemos nos prender a tarefas que limitem o aluno apenas em acumular conteúdos e
resolver listas de exercícios. Não devemos nas nossas atividades de sala de aula
construir apenas conhecimentos específicos, mas trabalhar atividades que promovam
o desenvolvimento de capacidades, aptidões, atitudes e valores. Para isso é
necessário proporcionar aos alunos experiências com atividades adequadas. Aulas
que privilegiam atividades de investigação permitem desenvolver o poder
matemático dos alunos e ainda levá-los a pensar matematicamente.
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2005), a realização de uma
atividade de investigação envolve quatro momentos:
 Formulação de questões;
 Formulação de conjecturas;
 Teste de Conjecturas;
 Prova das conjecturas que resistiram a sucessivos testes.
Os autores afirmam ainda que cada um desses momentos pode incluir
diversas atividades com etapas e características de uma investigação, como as
apresentadas no quadro 1.
.Reconhecer uma situação problemática
Exploração e Formulação de questões
. Explorar a situação problemática
. Formular questões
48
. Organizar dados
Conjecturas
.
Formular
Conjecturas
(e
fazer
afirmações sobre uma conjectura)
Testes e reformulação
. Realizar testes
. Refinar uma conjectura
Justificação e avaliação
. Justificar uma conjectura
. Avaliar o raciocínio ou o resultado do
raciocínio
Quadro 3 – Momentos na realização de uma atividade investigativa
Fonte: (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2005, p. 21)
Algumas vezes, os momentos citados anteriormente podem apresentar-se de
forma desordenada, ou seja, de forma não-linear. As conjecturas e as formulações de
questões podem aparecer simultaneamente, enquanto que o teste de uma conjectura
pode conduzir a formulações de novas questões.
Fonseca, Brunheira e Ponte (1999) mostram que o momento de apresentação
do problema é uma fase de extrema importância, pois tem uma dinâmica própria que
poderá influenciar decisivamente no sucesso do trabalho, principalmente se os alunos
não estiverem familiarizados com esse tipo de atividade. Nessa fase de arranque, é
determinante o modo de apresentação da proposta de trabalho à turma. Nessa
perspectiva, o professor pode optar pela distribuição do enunciado escrito,
acompanhado por uma pequena apresentação oral, na tentativa de explicar o tipo de
atividade que se quer desenvolver com as investigações e, por outro lado, criar um
ambiente favorável ao desenvolvimento do trabalho dos alunos. Isso pode ser feito a
partir de uma leitura preliminar, acompanhada de comentários que o professor
considere pertinentes para que o aluno possa entender o que está sendo proposto.
Porém, o professor pode optar por não fazer a leitura prévia e fazer um
acompanhamento mais próximo aos grupos, no sentido de ajudá-los a entender o que
se pretende.
49
Os autores anteriormente citados destacam que, se os alunos já estão
familiarizados com esse tipo de atividade e a apresentação escrita estiver clara, o
atendimento do professor será diminuído, ou seja, o aluno terá autonomia de ler e
interpretar no grupo o que está sendo pedido. Outra possibilidade é o professor optar
por um enunciado oral, fazendo questionamentos durante as atividades, dando
disparadores para que eles caminhem. Anotar as repostas e, de acordo com elas,
formular novos questionamentos.
Em seu artigo Investigação sobre investigações matemáticas em Portugal,
publicado no site investigar e aprender, Ponte (2003) comenta que a noção de
investigação matemática no contexto da sala de aula e na formação de professores
em Portugal tem se destacado como tema central de diversos projetos de
investigação, teses de doutorado e dissertações de mestrado em Educação
Matemática, e tem sido discutido em inúmeros encontros, os quais são apresentados
os resultados obtidos com essas pesquisas.
Mendes (2009), ao descrever um trabalho sobre atividades investigativas no
ensino de trigonometria, aponta contribuições desse tipo de atividades tanto para o
aluno quanto para o professor
O professor deve propor situações que conduzam os alunos à (re)descoberta
do conhecimento através do levantamento e testagem de suas hipóteses
acerca de alguns problemas investigados, através de exploração
(investigação), pois nessa perspectiva metodológica espera-se que eles
aprendam o “que” e o “porque” fazem / sabem desta ou daquela maneira,
para que assim, possam ser criativos, críticos, pensar com acertos, a colher
informações por si mesmos face a observações concretas e usar o
conhecimento com eficiência na solução dos problemas do cotidiano. Essa
prática, então, dá oportunidade ao aluno de construir sua aprendizagem,
através da aquisição de conhecimentos e redescobertas de princípios.
(MENDES, 2009, p. 110).
Assim sendo, esse tipo de abordagem metodológica possibilita a interpretação
dos problemas pelos alunos, o levantamento de hipóteses e as discussões em grupo
na tentativa de chegar a uma conclusão e, por fim, o momento em que partilham as
discussões com todo o grupo e com o professor. Ainda segundo Mendes (2009),
mesmo nas escolas que não disponham de uma infraestrutura adequada, não se
justifica a não abordagem de conteúdos de forma dinâmica por parte dos professores.
50
É de grande relevância que o professor esteja sempre atento a novas abordagens e
metodologias que facilitem a construção do conhecimento do aluno em sala de aula.
Em suma, investigar nas aulas de Matemática significa formular boas
questões e usar processos e conhecimentos matemáticos que permitam tomar
decisões sobre essas questões. Esse tipo de atividade envolve vários processos
matemáticos: formulação de questões, formulação de conjecturas, teste de
conjecturas, prova das conjecturas que resistiram a sucessivos testes, que interagem
entre si.
3.5 DIRETRIZES PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA: LDB, PCNS, PCN+,
OCEM.
De acordo com a Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional (LDB/96), o
currículo do Ensino Médio será composto por um núcleo comum, obrigatório em
âmbito nacional, e uma parte diversificada, de acordo com as peculiaridades locais.
Essa parte diversificada atende aos aspectos sociais e históricos da clientela escolar.
O documento apresenta mais outro aspecto que merece destaque: refere-se ao
aprimoramento do educando como ser humano, sua formação ética, desenvolvimento
de sua autonomia intelectual e de seu pensamento crítico, sua preparação para o
mundo do trabalho e o desenvolvimento de competências para dar continuidade aos
estudos.
Na Declaração Universal dos Direitos Humanos temos, no seu artigo 26, três
eixos que norteiam os sistemas educacionais em âmbito internacional:
1. Todos têm direito à educação;
2. A educação elementar deve ser compulsória;
3. A educação deve ser dirigida para o desenvolvimento pleno da pessoa e
para reforçar o respeito pelos direitos humanos e pelas liberdades fundamentais.
Deve promover compreensão, tolerância e amizade entre todas as nações, grupos
raciais e religiosos, e deve fazer avançar os esforços para se alcançar a paz universal
e duradoura.
Pensar numa educação de qualidade é ter como objetivo atingir esses três
eixos. D’Ambrósio aponta que:
51
O grande desafio que se apresenta para os educadores matemáticos é
reconhecer como o ensino da matemática está inserido e contribuindo para
essas metas maiores da educação. Essas metas respondem a uma filosofia de
educação muito diferente daquela que prevalecia em meados do século
XIX, quando a grande parte dos conteúdos que ainda hoje são ensinados foi
incorporada aos sistemas escolares. A educação não era para todos e os
grandes objetivos dos sistemas educacionais visavam à consolidação de
uma elite dominante. A grande maioria da população mundial vivia sob o
regime colonial ou em subordinação quase-colonial. Os programas de
matemática respondiam a essa situação. O Brasil não era exceção. Uma
rápida análise da história dos currículos de matemática no Brasil confirma,
este tipo de exercício pode ser contraposto por uma proposta de ensino
voltada para uma abordagem que contemple o uso de atividades de
investigação. (D’AMBROSIO, 2002, P. 3).
Por outro lado, os PCNs não apontam especificamente que conteúdos os
professores deverão abordar em sala de aula, mas dão diretrizes relevantes para a
formação do aluno, dentre as quais estão:
Compreender os conceitos, procedimentais e estratégias matemáticas que
permitam ao aluno desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral [...]
Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em
relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e cooperação [...]. (BRASIL, 1998, P.45).
As Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCN+ (2000, p. 7) apresentam, entre seus objetivos centrais, a
necessidade de facilitar a organização do trabalho da escola. Destacam que a “área de
Ciências da Natureza e Matemática não pode mais ser encarada desvinculada das
Linguagens e Códigos e das Ciências Humanas”. No que se refere à Matemática,
especificamente, nos faz refletir sobre quais os objetivos principais dos conteúdos
dessa disciplina no Ensino Médio e propõem, nessa perspectiva, uma abordagem
curricular centrada na integração dos conteúdos.
Nessa etapa da escolaridade, portanto, a Matemática vai além de seu caráter
instrumental, colocando-se como ciência com características próprias de
investigação e de linguagem e com papel integrador importante junto às
demais Ciências da Natureza. Enquanto ciência, sua dimensão histórica e
sua estreita relação com a sociedade e a cultura em diferentes épocas
52
ampliam e aprofundam o espaço dos conhecimentos não só nesta disciplina,
mas nas suas inter-relações com outras áreas do saber [...]. (BRASIL, 2000,
p.7).
Quanto às Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM (2006),
visando à contribuição aos documentos anteriores e com a intenção de promover um
debate sobre as orientações curriculares, contempla três aspectos: a escolha dos
conteúdos; a forma de abordagem dos conteúdos; o projeto pedagógico e a
organização curricular. No que se refere aos conteúdos, destacam que o professor
deve ter em mente ao selecionar seus conteúdos que, ao final do Ensino Médio, o
aluno deva ter construído algumas competências em relação ao conhecimento
matemático:
Ao final do ensino médio espera-se que os alunos saibam usar a Matemática
para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos
em outra áreas do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma
ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e
demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e
historicamente construído; saibam apreciar a importância da matemática no
desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006, p.70).
No tocante ao estudo de trigonometria, as OCEM recomendam que se
trabalhe com os triângulos antes de abordar as funções seno, cosseno e tangente.
Desse modo, deve-se priorizar as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do
seno e do cosseno, visto que esses pontos têm grande relevância para o estudo das
funções trigonométricas. As OCEM orientam ainda que, ao abordar as razões
trigonométricas seno e cosseno para ângulos variando de 0° a 90°, deve-se ressaltar
as propriedades de semelhança de triângulos, as quais dão sentido a esse estudo. A
importância do estudo da trigonometria é ressaltado nesse documento, que fala da
sua relevância para a resolução de problemas, e como instrumento para outras áreas
do conhecimento.
53
3.6 DESCRIÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA23
O GeoGebra é um software matemático que reúne Geometria, Álgebra,
Cálculo e Estatística.
Segundo seu manual traduzido por Ribeiro (2007), foi
desenvolvido
Horenwarter
Markus
e
Judith
Preiner
para
ser
empregado
principalmente no ensino e aprendizagem de Matemática nas escolas básicas e
secundárias.
O referido software reúne as características de um software de geometria
dinâmica, pois permite construir vários objetos como pontos, vetores, segmentos,
retas, secções cônicas, gráficos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem,
depois, ser modificados dinamicamente. Permite, ainda, a introdução de equações e
coordenadas Permite a visualização de um lugar geométrico ao se traçar a trajetória
de um ponto escolhido Essa é uma das características do software que é de grande
relevância para o nosso estudo, visto que, com sua contribuição, o aluno pode
observar o comportamento das funções seno, cosseno e tangente ponto a ponto.
O GeoGebra fornece três diferentes janelas: Gráfica, algébrica ou numérica,
além da folha de cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três
diferentes
representações:
graficamente
(pontos,
gráficos
de
funções),
algebricamente (coordenadas de pontos,equações) e nas células da folha de cálculo.
Assim, todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e
adaptam-se automaticamente às
mudanças
realizadas em qualquer
delas,
independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente construídos.
23
Para maiores informações sobre o software GeoGebra,ver apêndice A.
54
3.6.1 Tela inicial do GeoGebra.
Barra de Menus
Caixa de Entrada
Figura 6 – Tela inicial do GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Encontrado livremente para cópia no site http://www.geogebra.org/cms/.
Como exposto, o software possui três diferentes janelas de visualização: a
janela a direita chamada janela gráfica; a da esquerda, janela algébrica, e a janela de
cálculo. A barra de ferramenta é composta por caixa de diálogos conforme mostra a
figura 6.
Em cada janela da barra de ferramentas encontramos comandos que darão
acesso às seguintes funções:
 Arquivo: Nova janela; novo; abrir; gravar; gravar com; visualização da
impressão e exportar.
 Editar: Desfazer; refazer; apagar; selecionar tudo e propriedades.
 Exibir: Eixo; malha; janela de álgebra; objetos auxiliares; divisão horizontal;
campo de entrada; lista de comandos; protocolo de construção; barra de
navegação para passos da construção; atualizar janelas.
55
 Opções: Pontos sobre a malha; unidades de ângulos; casas decimais;
continuidade; estilo da fonte; estilo do ângulo reto; coordenadas; rotular;
tamanho da fonte; idioma; janela de visualização; salvar configurações.
 Ferramentas: Criar uma nova ferramenta; ferramentas de controle; configurar
a caixa de ferramentas.
 Janela: Nova janela.
 Ajuda:
Ajuda;
sobre/licença.
www.geogebra.org;
GeoGebra
fórum;
geogebrawiki;
56
4
CONSTRUÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA COM O USO DO
SOFTWARE GEOGEBRA.
Para o desenvolvimento do nosso estudo, que se apresenta numa perspectiva
qualitativa, houve a interação entre a professora pesquisadora e os alunos em sala de
aula. Elaboramos e aplicamos uma sequência didática que compreende os conceitos
básicos da trigonometria. Segundo Bogdan e Biklen (1994), as modalidades
qualitativas de pesquisa veem o ambiente como fonte natural de dados, sendo que o
pesquisador é o seu principal instrumento.
De acordo com Garnica:
A pesquisa qualitativa é um meio fluido, vibrante, vivo e, portanto,
impossível de prender-se por parâmetros fixos, similares à legislação, às
normas, às ações formalmente pré-fixadas. Em abordagens qualitativas de
pesquisa não há modelos fixos, não há normatização absoluta, não há a
segurança estática dos tratamentos numéricos, do suporte rigidamente exato.
É investigação que interage e, interagindo, altera-se. É alteração que se
aprofunda nas malhas do fazer e forma-se em ação. (GARNICA, 2001, p.
42).
Assim sendo, os sujeitos de nossa pesquisa são alunos da 2ª série do ensino
médio de uma escola pública do RN.
Nesse capítulo, discorremos sobre a nossa proposta de pesquisa, sujeitos
envolvidos, os ambientes da pesquisa, os recursos utilizados, os instrumentos
diagnósticos e a sequência didática.
4.1 CARACTERIZAÇÃO DO AMBIENTE DA PESQUISA E DOS SUJEITOS
ENVOLVIDOS.
a) A escola.
A escola onde desenvolvemos nossa pesquisa é a Escola Estadual Castro
Alves, localizada no bairro Lagoa Nova, Zona Sul da cidade de Natal. Essa é uma
57
escola da rede estadual de ensino, pertencente à 1ª DIRED24. Possui 57 funcionários,
sendo 32 professores, dos quais 6 são professores de Matemática. A escola funciona
nos turnos matutino, vespertino e noturno. Os demais funcionários compõem o
quadro de merendeiras, auxiliar de serviços gerais, secretários, coordenadores,
supervisores, bibliotecários, vice-diretor e diretor. Quanto à estrutura física, conta
com 7 salas de aula, como mostra a figura 7, todas em funcionamento nos três turnos;
uma biblioteca; um laboratório de informática; laboratório de ciências; uma sala
ambiente e auditório. Temos, ainda, a sala dos professores; uma sala onde funciona a
supervisão; uma para a secretaria; a diretoria; sala de vídeo, e cozinha.
Figura 7 - Planta baixa da Escola Estadual Castro Alves.
Fonte: Arquivo do PIBID.
Em relação à clientela atendida na escola, fizemos um levantamento com os
alunos e, conforme quadro apresentado posteriormente, a maioria é do próprio bairro,
talvez por ser esta a única escola pública de Ensino Médio próxima àquela
comunidade. Tendo como referência as demais escolas da rede estadual de ensino,
24
Diretoria Regional de Educação, órgão pertencente à Secretaria Estadual de Educação do Rio Grande
do Norte.
58
essa tem uma grande quantidade de alunos por sala. No turno matutino, há em média
45 alunos, quantidade não muito comum nas escolas públicas estaduais de Natal.
Quanto ao atendimento, na escola funciona o ensino Fundamental e Médio
nos três turnos. Contempla uma turma por série em cada turno, ou seja, tem uma
turma do 6º ao 9º, uma turma da 1º série, uma da 2º e uma da 3º.
Inicialmente, a escola contemplada por nós era a Escola Estadual Professora
Maria Queiroz, por nossa vivência como professora do quadro permanente.
Porém, tivemos alguns entraves que nos fizeram mudar em relação aos
sujeitos da pesquisa. Após a primeira aplicação do bloco de atividades na experiência
que denominamos de estudo piloto, em julho de 2009, fizemos as modificações
necessárias e estávamos com as atividades prontas para serem aplicadas na escola,
entretanto, os professores da rede estadual de ensino entraram em greve por tempo
indeterminado, impedindo o prosseguimento da nossa pesquisa.
Organizamo-nos novamente para desenvolver as atividades na escola em
dezembro de 2009 já que as aulas iriam até janeiro. Novamente, tivemos alguns
problemas, os professores decidiram encerrar o bimestre no início de janeiro e não
seria conveniente fazer nossa interferência no final do semestre letivo, ocasião em
que os professores estavam fechando as notas dos alunos. Mesmo com nossas
atividades atrasadas, resolvemos, então, aplicá-las em fevereiro no início das aulas, o
que novamente não foi possível, pois as aulas foram adiadas e só começariam em
março. Em março, os professores decidiram entrar outra vez em greve por tempo
indeterminado.
Foi diante dos problemas acima mencionados que decidimos mudar nossa
escola pesquisada para a Castro Alves.
Nesse período, estávamos atuando como bolsista REUNI de docência
assistida, e entramos em contato com a coordenadora do PIBID para que atuássemos
junto aos alunos do PIBID em suas atividades de docência na escola Castro Alves.
Nesse sentido, teríamos a oportunidade de aplicar as atividades, pois essa instituição
não tinha entrado em greve. Diante desse quadros, mudamos de escola, e passamos a
desenvolver nosso estudo na Escola Estadual Castro Alves, como citado
anteriormente.
59
b) Os sujeitos da pesquisa
Os sujeitos de nossa pesquisa foram os alunos do segundo ano A do ensino
Médio do turno matutino. A turma contava com 42 alunos, sendo que a frequência
média era de 34. A professora responsável pela disciplina de Matemática estava de
licença maternidade, por isso, assumimos a responsabilidade pela turma junto com os
alunos do PIBID/UFRN, conforme orientação da coordenadora do PIBID/UFRN e da
direção da escola. Iniciamos nossas atividades em março de 2010 e encerramos no
início de maio de 2010. Ao todo, foram 15 encontros.
Vale destacar que ensino médio das escolas estaduais do RN está organizado
em séries anuais com os componentes curriculares distribuídos em blocos semestrais,
correspondendo cada bloco a 100 dias letivos. A estrutura curricular organizada em
blocos semestrais é composta de três áreas de conhecimento: Linguagens, Códigos e
suas Tecnologias; Ciências Humanas e suas Tecnologias, e Ciências da Natureza,
Matemática e suas Tecnologias. As disciplinas que os alunos do 2º ano cursaram no
primeiro semestre foram: Português, Matemática, Física, Sociologia, Biologia e
Química. A disciplina de Matemática conta com 6 (seis) aulas semanais de 50
minutos cada.
c) Instrumentos utilizados.
A fim de elaborar e definir com mais precisão os nossos instrumentos
diagnósticos e sequência de ensino, realizamos um “estudo de referência”, isto é,
uma aplicação preliminar da sequência didática com um grupo de alunos da
Licenciatura em Matemática 25 da Universidade Federal do Rio Grande do Norte
(UFRN).
25
Sendo esses alunos bolsistas PIBID(Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência).
Coordenados pela professora Dra. Giselle Costa de Souza - professora do Departamento de Matemática e
da Pós Graduação em Ciência Naturais e Matemática – UFRN.
60
4.2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA
A construção da nossa sequência didática teve como ponto de partida o
objetivo geral do nosso estudo: analisar as potencialidades e limitações do software
GeoGebra no ensino e aprendizagem de trigonometria. Tal sequencia foi direcionada
a alunos da 2ª série do Ensino Médio, momento em que o conteúdo de trigonometria
geralmente é abordado. Foi elaborada com o intuito de introduzir os conceitos
básicos da trigonometria utilizando os recursos do software GeoGebra. Os conteúdos
abarcados tratam da trigonometria no triângulo retângulo, passam pelo ciclo
trigonométrico, e vão até as funções trigonométricas. Adotamos uma perspectiva
investigativa, estabelecendo um diálogo constante entre as investigações no ensino
de Matemática e os recursos da TI em sala de aula.
61
5
RESULTADOS OBTIDOS NAS DUAS EXPERIÊNCIAS.
5.1 PRIMEIRA EXPERIÊNCIA.
Conforme já dissemos, nosso bloco de atividade foi aplicado inicialmente
com os professores em formação (alunos da Licenciatura em Matemática), com o
intuito de introduzir os conceitos básicos de trigonometria, utilizando os recursos do
software GeoGebra e obter informações sobre as possíveis aplicações dessas
atividades em sala de aula do ensino regular26. Iniciamos com uma atividade de
familiarização do software e, em seguida, atividades referentes às razões
trigonométricas no triângulo retângulo, ciclo trigonométrico e, por último, funções
trigonométricas. Focamos uma perspectiva investigativa.
Descreveremos a seguir as etapas das atividades que foram desenvolvidas
durante o minicurso intitulado Potencialidades do GeoGebra no Ensino de
Trigonometria. O nosso objetivo era oportunizar uma revisão dos conteúdos de
trigonometria a um grupo composto por 14 alunos da Licenciatura em Matemática,
sendo 13 bolsistas PIBID e 1 voluntário. Entretanto, a ótica adotada foi a do ensino
de tais conteúdos. Sendo assim, o minicurso, que foi desenvolvido durante uma
semana com uma carga horária de 15horas/aula, era um espaço não só de discussão
sobre a trigonometria, mas também e principalmente sobre os métodos de ensino
dessa disciplina na educação básica.
Detalharemos aspectos das atividades que consideramos relevantes para o
nosso estudo, notadamente as possíveis aplicações nas salas de aula dos professores
em formação e as dificuldades apresentadas com o ensino da Trigonometria.
Nossas observações, realizadas através de anotações, entrevistas coletivas e
recursos audiovisuais, foram feitas durante todo o minicurso com o intuito de buscar
informações nas investigações e discussões das atividades propostas.
O minicurso foi composto por três etapas: na primeira, de familiarização com
o software, explicamos inicialmente algumas das funções das ferramentas do
26
Consideramos neste estudo, como ensino regular, o ensino fundamental maior e o ensino médio.
62
GeoGebra (Figura 11); na segunda, dividimos a turma em duplas e cada uma delas
desenvolveu as atividades de acordo com as orientações contidas num roteiro. No
terceiro momento, os participantes foram divididos em trios para planejar uma aula
de 50min com o recurso do GeoGebra para as suas turmas de ensino fundamental ou
médio. Os trios apresentariam em 10 minutos o seu planejamento.
5.2 OBTENDO INFORMAÇÕES COM AS ATIVIDADES.
Atividade 127: Semelhança de Triângulos
Objetivos:
 Familiarizar os participantes com o software GeoGebra;
 Investigar as propriedades, noções e conceitos em triângulos semelhantes.
1. Construa um triângulo retângulo de vértices A, B e C. Marque um ponto D
livre sobre o lado BC, trace uma reta paralela ao lado AB passando por D;
2. Determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos;
3.
Movimente a reta e os vértices do triângulo, o que você observa ao
movimentar os pontos livres?
4. Ao traçar a reta paralela ao lado AB, você obteve dois triângulos retângulos,
com o auxílio da calculadora calcule a razão entre seus lados. Como você justifica
o que observou?
5. Os triângulos obtidos no item anterior são ditos semelhantes. Com base nas
observações feitas, que definição você daria para triângulos semelhantes?
6. Construa dois ou mais triângulos retângulos, verifique se eles são semelhantes e
justifique sua resposta.
Enquanto as atividades eram desenvolvidas, considerando-se que os
professores em formação atuam em escolas da rede pública de ensino do RN,
27
Desenvolvida com base nas atividades propostas por Zulatto no curso Geometria com Geometricks,
oferecido aos professores da Fundação Bradesco.
63
procuramos sempre direcionar os questionamentos para duas questões: as possíveis
aplicações de atividades desse tipo em sala de aula e as dificuldades de se trabalhar
com softwares no ensino de trigonometria. Todos consideraram perfeitamente
possível a realização dessa atividade em sala de aula, incluindo-se seus momentos de
investigação e levantamento de hipóteses.
No que se refere ao desenvolvimento da atividade citada anteriormente, os
participantes analisaram suas construções, discutiram em duplas e, em seguida,
partilharam suas conclusões com os demais. A ministrante conduziu as discussões e
levantou alguns questionamentos. Pareceu-nos que todas as duplas compreenderam
plenamente os objetivos da atividade e, além disso, perceberam a sua relevância para
um melhor entendimento das razões trigonométricas nos triângulos retângulos por
parte dos alunos.
No item 6 da primeira atividade, foi observado que, ao se construir vários
triângulos retângulos, movimentando seus vértices, é possível concluir que nem todo
triângulo retângulo é semelhante. Ressaltou-se ainda a importância de se deixar um
tempo para que seus alunos investiguem as figuras construídas e discutam com os
colegas sobre suas conclusões, para, em seguida, socializar com o grupo.
Para alguns dos professores em formação seria interessante trabalhar, em sala
de aula, primeiro com construções utilizando régua e compasso e só depois utilizar o
software, que, nesse caso, serviria para reforçar o contato anterior. Para outros, o
ambiente computacional oferece recursos suficientes para que os alunos construam
conceitos a partir de suas ferramentas. Sendo mais dinâmico e interessante, pode
servir de motivação para que o aluno depois trabalhe com régua e compasso.
Figura 8 – Construção feita por uma das duplas.
Fonte: Arquivo da professora pesquisadora .
64
Atividade 2: Razões Trigonométricas nos Triângulos Retângulos
Objetivos:
 Familiarizar os alunos com o software GeoGebra;
 Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas
nos triângulos retângulos.
1. Trace um segmento de reta AB.
2. Trace uma reta perpendicular a AB passando por A.
3. Marque um ponto C sobre a reta r.
4. Trace os segmentos BC e AC e em seguida esconda areta r.
5. Determine o comprimento dos lados do triângulo.
6. Calcule a razão entre os lados AC e BC e entre AB e BC.
7. Movimento o vértice B pela tela, o que você observa? Por que isso acontece?
8. Movimente o vértice C pela tela, o que você observa? Justifique.
9. Abra a construção (apllet) 2 do arquivo, arraste um dos vértices do triângulo.
O que você observa? O que você exploraria com seus alunos com essa
construção?
Durante o desenvolvimento dessa atividade, os participante analisaram suas
construções, discutiram em duplas e, em seguida, partilharam suas conclusões com o
restante do grupo. A ministrante conduziu as discussões e levantou alguns
questionamentos.
Nessa atividade os alunos perceberam que, ao arrastar o vértice B (conforme
Figura 22), o triângulo era ampliado em virtude da construção a partir do segmento
AB, assim sendo, as razões entre os lados não se alteravam. Pontuamos alguns
comentários feitos na discussão:
Não se altera porque eu estou aumentando e diminuindo o segmento AB.
65
Percebi, à medida que aumenta AB, o triângulo aumenta na mesma
proporção.
Figura 9 – Applet das Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Fonte: Arquivo da professora pesquisadora.
Ao movimentar o vértice C, ocorre uma mudança nas razões entre os lados.
Ao serem questionados por que isso acontecia, os participantes tiveram alguma
dificuldade em responder, entretanto, após várias discussões com a dupla, concluíram
que, como o ponto C é livre, ele modifica a estrutura original da construção do
triângulo.
Veja, se determinarmos a amplitude dos ângulos fica mais fácil de perceber.
Quando movimentamos o ponto C, os ângulos aumentam e diminuem, aí as
razões também mudam. (Comentários dos Professores em Formação).
Concluíram ainda que a construção possibilita o entendimento sobre as razões
entre os lados do triângulo, e proporciona ao aluno uma aprendizagem sobre as
razões trigonométricas de forma significativa. Entenderam que, em sala de aula no
ensino médio, os alunos teriam a possibilidade de visualizar que seno de 30° terá
sempre o mesmo valor independente se o triângulo é maior ou menor.
66
Figura 10 – Alunos resolvendo as atividades.
Fonte: Arquivo da professora pesquisadora
Atividade 3: Ciclo Trigonométrico
Nosso objetivo com essa atividade é verificar se o conhecimento obtido com
o uso do software nas razões trigonométrica seria transferido para o ciclo
trigonométrico. Os alunos receberam um applet28 em um arquivo no computador,
sobre o ciclo trigonométrico. Para tanto, os participantes seguiram o seguinte roteiro:
abra a construção 3 do arquivo, arraste o ponto P pela circunferência, o que você
observa ?Qual o comportamento do seno e do cosseno no primeiro quadrante?
Observe os sinais do seno e do cosseno nos quatro quadrantes em seguida, construa
uma tabela com os resultados obtidos. Com uma atividade nesse mesmo estilo o que
você exploraria?
28
Applet é um software aplicativo que é executado no contexto de outro programa (como, por exemplo,
um web browser), uma applet geralmente executa funções bem específicas, e não pode rodar
independemente.
67
Figura 11 – Applet do Ciclo Trigonométrico.
Fonte: Arquivo da professora pesquisadora.
Observamos que os participantes conseguiram perceber que, ao arrastar o
ponto P pela circunferência no sentido horário, o ângulo e o arco correspondentes
vão crescendo. Identificaram, sem dificuldades, a origem e a extremidade dos arcos
ao movimentar o ponto P. Com relação às questões abertas, essas foram discutidas
pelos participantes primeiramente em cada dupla e, em seguida, com o grupo como
um todo. Sinteticamente, na opinião dos professores em formação, investigar a figura
facilita o entendimento das razões trigonométricas no ciclo por parte dos alunos que
costumam ter dificuldades nesse ponto do conteúdo. Por outro lado, não souberam
precisar de que maneira direcionariam o levantamento das questões disparadoras na
investigação do applet em sala de aula com os alunos.
Na atividade de fechamento do minicurso, pedimos aos participantes que
planejassem uma aula de 50min para os seus alunos do Ensino Fundamental ou
Médio. Nosso objetivo foi avaliar o entendimento dos participantes em relação ao
minicurso, suas dificuldades e possíveis aplicações que poderiam ser apresentadas.
68
Roteiro da atividade: Defina os objetivos; o tema e o conteúdo da aula.
Elabore as atividades de acordo com o tempo que dispõe. Como você avaliaria seus
alunos nesse tipo de atividade?
Em duplas ou trios, os participantes fizeram seus planejamentos durante o
minicurso; selecionaram os conteúdos a serem abordados, e elaboraram as atividades
que seriam propostas para seus alunos. Os conteúdos selecionados foram:
semelhança de triângulos; altura de triângulos; sistema de equações; construção de
figuras planas; construção de triângulos congruentes; pontos notáveis de um
triângulo.
Durante as apresentações, os participantes demonstraram segurança no uso
das potencialidades do software GeoGebra para o ensino da Matemática. Percebemos
que nenhum grupo optou por abordar as razões trigonométricas no triângulo
retângulo ou funções trigonométricas.
Figura 12 – Alunos explicando seu planejamento.
Fonte: Arquivo da professora pesquisadora.
Os participantes destacaram que, se a familiarização com o software permitiu
que eles se interessassem em buscar informações sobre construções de figuras planas
com régua e compasso, então isso também pode acontecer com os alunos em sala de
aula. Comentaram ainda que, através do processo de arrastar ou movimentar a figura
na tela, o aluno tem a possibilidade de desenvolver a noção intuitiva dos entes
matemáticos, por exemplo: saber definir o que é a reta tangente, que relação ela tem
69
com o ângulo central, analisar a variação do seno e do cosseno em todos os
quadrantes, entre outras possibilidades.
5.3 OBTENDO INFORMAÇÕES COM A ENTREVISTA
Ao fim do minicurso, realizamos uma entrevista com os participantes. Nosso
interesse era conhecer suas concepções em relação às atividades desenvolvidas com
o software GeoGebra no ensino de trigonometria e as dificuldades em relação ao seu
uso em salas de aula.
Alguns pesquisadores apontam ganhos acerca da coleta de dados através de
entrevistas. Podendo ser uma entrevista semiestruturada, como no nosso caso, que
pode ser utilizada em várias áreas do conhecimento, visto que oportunizam a
otimização do tempo disponível, o tratamento dos dados e ainda a formulação de
novas questões.
É importante ressaltar que as questões da entrevista semiestruturada deste
estudo foram originadas a partir dos nossos objetivos e da teoria que embasa esta
pesquisa, além de todas as outras informações que foram coletadas anteriormente no
desenvolvimento do minicurso.
No momento das entrevistas, explicamos nossos objetivos e fizemos a
condução de forma a deixar os participantes do minicurso o mais à vontade possível
para exporem suas ideias. Com o intuito de colaborar com o andamento da entrevista,
elaboramos um roteiro prévio (Apêndice B), que nos auxiliou e nos serviu de guia
em nossos questionamentos.
5.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A PRIMEIRA EXPERIÊNCIA.
A avaliação da primeira experiência foi feita em dois momentos: o primeiro,
através das análises das atividades desenvolvidas durante o minicurso e, o segundo,
através da entrevista com os participantes. Os alunos verbalizaram que o minicurso
70
atendeu às suas expectativas e que conseguiram compreender todas as etapas das
atividades propostas. Destacamos alguns comentários durante a entrevista 29:
As atividades estavam bem objetivas, bem básicas, dizendo realmente o que
se queria.
São atividades atrativas para os alunos, acho que precisa apenas rever
alguns enunciados, pode ser que os alunos sintam dificuldades, por não
orientar passo a passo
No que se refere ao software GeoGebra, os participantes sentiram
dificuldades em trabalhar com a caixa de entrada, que exige uma linguagem de
programação desconhecida por eles. Entretanto, foi destacado que as potencialidades
desse software na aprendizagem de conteúdos matemáticos é inegável.
Com o GeoGebra fica fácil aprender trigonometria, a partir de agora eu vou
conseguir entender melhor.
Pontuaram, ainda, algumas ações que os professores precisariam desenvolver
no caso optarem por utilizar a TI nas aulas de Matemática: as atividades precisam ser
planejadas de acordo com o tempo disponível em cada aula e com o nível das turmas;
pode-se levar figuras prontas (applets), construídas previamente pelo professor, ou
optar por construí-las em sala com os alunos; o professor precisa de tempo para
planejar as atividades e determinar o conteúdo que vai usar os recursos do software.
Porém, no que diz respeito à escola pública, todos enfatizaram as dificuldades
existentes com o uso do laboratório, visto que a quantidade de máquinas costuma ser
limitada. De fato, boa parte das escolas do RN que dispõem de laboratório, tem no
máximo 15 máquinas funcionando.
A escola em que os alunos do PIBID atuam possui uma laboratório com 11
computadores e as turmas têm, em média, 40 alunos. Desse modo, não só o
professor, mas a escola precisa estar organizada para que as atividades que envolvam
os recursos da informática sejam desenvolvidas. Borba e Penteado (2007) destacam
29
Informações coletadas em entrevista realizada em julho de 2009.
71
essas mesmas implicações quando o professor se dispõe a trabalhar com a TI em sala
de aula:
O professor sai do seu ambiente de controle para zona de risco30, onde não é
possível prever o que acontecerá durante a sua aula, se os softwares ainda
estão instalados, se a internet está funcionando. O professor geralmente
necessita do auxílio de alguém para configurar a máquina e instalar
softwares e o tempo é muito curto para que as providências sejam tomadas
no momento da aula. (BORBA E PENTEADO, 2007, p.55).
Quanto ao ensino e aprendizagem de Trigonometria, questionamos o grupo
sobre a razão de não ter abordado razões trigonométricas nos triângulos retângulos
ou funções trigonométricas. A resposta foi que, apesar do minicurso estar voltado ao
ensino de trigonometria, os participantes não se sentiam seguros para tratar desses
conteúdos com seus alunos. Mesmo dispondo das atividades construídas previamente
(applets), não conseguiam saber que questionamentos poderiam ser feitos, ou seja, o
que poderia ser explorado. Essa insegurança pode ser notada em algumas falas31:
Normalmente nas escolas públicas não se estuda Trigonometria, estudei
minha vida toda na escola publica.
Quando é dado, a gente vê apenas as razões trigonométricas no triângulo
retângulo.
Não podemos negar que o professor prioriza aquilo que tem facilidade, se
eu gosto mais de probabilidade eu vou dar probabilidade.
Brito e Morey (2004) delineiam algumas dificuldades por parte dos
professores que estão atuando em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio, ao
abordarem o conteúdo de trigonometria, como, por exemplo, trabalhar com
semelhança, entender as expressões “cateto oposto” e “cateto adjacente” como uma
relação entre os lados e os ângulos do triângulo, e ainda transferir os conhecimentos
sobre simetria ao círculo trigonométrico. As autoras destacam que o ensino de
trigonometria no Ensino Médio é feito de forma simplificada, causando prejuízo para
o aluno.
30
Referem-se à zona de risco ligada à perda de controle e obsolescência.
31
Informações coletadas em entrevista realizada em julho de 2009.
72
No tocante às atividades investigativas, percebemos que a discussão entre as
duplas fluiu significativamente; os alunos passaram a ler os questionamentos e
discutirem entre si, analisando cada passo das construções, levantando hipóteses,
fazendo, analisando e testando conjecturas. Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005),
esse é um momento privilegiado no ensino da Matemática, no qual, de algum modo,
existe semelhança entre o fazer do matemático e o fazer do aluno em atividades
investigativas.
Borba e Villarreal (2005) apontam que a visualização em Matemática está
vinculada a habilidades de interpretar e manipular imagens figurais. Nesse sentido,
destacamos que a visualização foi um ponto forte no levantamento de hipóteses e
formulação de conjecturas a partir da análise dos applets ou nas construções
produzidas pelos alunos.
5.5 SEGUNDA EXPERIÊNCIA
A partir das sugestões feitas pelos participantes do minicurso descrito
anteriormente, com base em outro minicurso que ministramos na semana da
licenciatura em matemática da UNESP de Bauru-SP, e ainda tendo como referência
as informações obtidas como participante de um curso de extensão 32, fizemos
algumas alterações no nosso bloco de atividades antes de aplicá-lo na sala de aula da
escola onde nos propomos a fazer parte da nossa pesquisa.
Como citado anteriormente, a escola em questão é a Escola Estadual Castro
Alves, situada no bairro de Nova Descoberta em Natal. Os sujeitos do nosso estudo
foram alunos do 2º ano A do turno matutino.
As aulas de Matemática na turma ocorriam às terças e quintas, com três aulas
em cada um dos dias. Para um melhor andamento do nosso estudo, que foi planejado
previamente com os alunos da Licenciatura em Matemática bolsistas do PIBID,
decidimos que a turma de 42 alunos seria dividida em dois grupos, já que o
32
Abordagem Gráfica de Diferentes Famílias de Funções: Uma experiência com o Software
GeoGebra. Oferecido pela Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro,
Ministrado por: Juliana Viola e Andricelli Richt.
73
laboratório dispunha de apenas onze micros. Desse modo, enquanto um grupo
estivesse na sala de informática com a professora pesquisadora, o outro ficaria em
sala de aula, sendo acompanhado por dois alunos do PIBID. Esse segundo grupo, ao
invés de estudar conteúdos de trigonometria, fez uma revisão de temas abordados no
Ensino Fundamental, já que essa é a incumbência dos alunos do PIBID no projeto.
Vale salientar que o grupo de alunos que ia primeiro para a informática depois teria o
mesmo conteúdo que os outros que ficaram em sala.
O ambiente de cada atividade foi caracterizado pela atuação dos estudantes
em parceria com o professor pesquisador junto aos recursos disponíveis. Estiveram
sempre à disposição dos alunos um computador com o software GeoGebra; o roteiro
das atividades que continha as orientações e procedimentos a serem utilizados, e a
calculadora, cujo uso foi solicitado em algumas situações. O professor pesquisador
dispôs, em algumas das aulas, de um notebook, datashow, quadro branco, pincel e de
um caderno de anotações. Nesse último, eram descritas as discussões dos alunos, as
estratégias utilizadas nas construções com o recurso do software GeoGebra e no
fechamento de cada atividade.
Antes de prosseguirmos com nossa descrição, gostaríamos de relatar a
dificuldade estrutural que tivemos com o GeoGebra. Apesar desse software poder ser
baixado gratuitamente pela internet, não permite a cópia de um computador para o
outro, de modo que sempre era necessário que fizéssemos o seu download
diretamente pelo site. Assim sendo, precisávamos que o laboratório da escola tivesse
internet em todos os computadores; felizmente tinha. Instalamos o software em todas
as máquinas com a autorização da direção, mas não foi possível rodar o GeoGebra,
devido à falta de um Java compatível. Os computadores estavam equipados com o
Linux Educacional 3.0 (boa parte das escolas do RN utilizam o Linux Educacional
3.0). Procuramos a pessoa responsável pelo laboratório de informática e ela nos
informou que desconhecia o Linux Educacional, e que apenas o diretor da escola
tinha um conhecimento sobre como utilizar esse sistema operacional. Entretanto,
nem mesmo o diretor da escola possuía a senha do administrador da rede, apenas a
Secretaria de Educação tinha autorização para instalar e desinstalar qualquer
software.
Procuramos a Secretaria de Educação que nos informou que o responsável
pelo suporte de uso do laboratório estava em Brasília e só retornaria uma semana
74
depois. Decidimos, então, procurar o Centro de formação Presidente Kennedy, que
atua junto às escolas, ministrando cursos de formação de professores sobre o uso dos
recursos da informática em sala de aula. Mesmo assim, não obtivemos sucesso.
Voltamos à Secretaria de Educação e, dessa vez, encontramos o responsável que
outrora estava em Brasília. Apesar de sua disposição em nos ajudar, não
conseguimos instalar o GeoGebra.
Recorremos então ao GeoGebra webstart que, ao abrir, carrega um Java
compatível com ele, entretanto, essa versão necessita de acesso à rede durante todo o
seu funcionamento. Conseguimos começar nossas atividades, depois de termos
perdido em uma semana o equivalente a seis aulas. Após iniciadas as atividades,
tivemos problemas com a internet, o modem parou de funcionar. Procuramos a
direção da escola, que contatou a operadora responsável. Essa, entretanto, comunicou
que não fornecia outro modem, sendo necessário comprá-lo.
Fomos até a Secretaria de Educação para tentar conseguir um modem o mais
rápido possível, pois nossa pesquisa já estava atrasada. Foi-nos informado que a
responsabilidade era da escola. Os alunos do PIBID, então, orientaram-nos a utilizar
um modem banda larga, que seria instalado em cada micro. Desse modo,
instalávamos e fazíamos todo o processo antes do início da aula, o que levava
praticamente um horário inteiro. Conseguimos prosseguir nas atividades, entretanto,
cada vez que o modem parava de funcionar, era necessário desinstalá-lo em cada
máquina para, em seguida, instalar novamente e, assim, a internet funcionar.
Destacamos que essas limitações certamente tornariam difícil o trabalho do
professor, que precisaria de muito tempo e disposição para conseguir êxito.
Quanto ao andamento das atividades, como levávamos metade da turma para
o laboratório a outra metade ficava em sala, uma turma fazia as atividades na
informática na terça e a outra na quinta, o que significava três encontros por semana.
Para os alunos do PIBID, o conteúdo também atrasava, pois o que era visto com um
grupo num dia ia ser visto de novo com o outro no encontro seguinte. Detalhamos as
dificuldades porque elas interferiram na nossa pesquisa, principalmente no que se
refere à quantidade de atividades aplicadas e às limitações de discussão com a turma
como um todo. Nesse sentido, algumas atividades que foram planejadas inicialmente,
deixaram de ser aplicadas por falta de tempo.
75
5.5.1 Descrição das atividades.
Fizemos inicialmente uma explanação sobre o software GeoGebra e
promovemos algumas atividades de familiarização. Constatamos que os alunos não
conheciam o GeoGebra, mas conforme os dados colhidos nos questionários aplicados
no nosso primeiro encontro, todos já tinham conhecimentos de informática.
Semelhança de Triângulo
Atividades A33
O objetivo dessa atividade é familiarizar os alunos com o software GeoGebra.
Os passos que serão utilizados na construção de diferentes triângulos devem
possibilitar a visualização das características e propriedades dos triângulos
semelhantes.
Passos para a Construção:
a) Construa um triângulo de vértices A, B e C (selecione o botão polígono
e, e
clique na janela gráfica).
b) Marque um ponto D no lado AB do triângulo.
c) Trace uma reta paralela ao lado BC (clique no botão
, no lado BC e no ponto
D).
d) Marque a intersecção entre a reta e o lado do triângulo ABC (clique no botão
, na reta e no lado do triângulo).
33
Com base nas atividades propostas por Zulatto no curso Geometria com Geometricks.
76
e) Trace o novo triângulo ligando os pontos A, D, E e A (clique no botão
e) Determine o comprimento dos lados do triângulo (clique no botão
).
e nos
lados do triângulo).
f) Determine a amplitude dos ângulos dos triângulos ABC e ADE (clique no botão
e em cada ângulo ).
g) Determine a razão entre os lados dos triângulos ABC e ADE (digite na caixa de
entrada a/b, por exemplo, aparecerá na janela algébrica o valor correspondente).
h) Movimente um dos vértices do triângulo ABC, o que acontece com a razão entre
lados?
i) Movimente o ponto D vértice do triângulo ADE, o que acontece com a razão
entre os lados?
j) Que conclusões você chegou em relação aos triângulos ABC e ADE? Eles são
semelhantes? Justifique.
Procedimentos
1. Os alunos foram divididos em duplas, cada uma das duplas ficou em um
computador com o roteiro da atividade em mãos.
2. Os alunos leram o roteiro da atividade e, em seguida, passaram a construir e
analisar os passos de cada construção.
3. Após a construção, discutiram sobre o processo de arrastar as figuras na tela,
levantaram hipóteses e formularam conjecturas.
77
Construção de Triângulos Retângulos Semelhantes
Atividade B.
 Construa dois ou mais triângulos retângulos semelhantes; em seguida,
determine a amplitude dos ângulos e o comprimento dos lados. Movimente os
vértices dos triângulos, eles permanecem semelhantes? Justifique.
 Construa triângulos retângulos que não sejam semelhantes, determine o
comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos. Justifique suas construções.
Por que os triângulos não são semelhantes? Movimente os vértices dos
triângulos, as características se mantêm?
Essa atividade, assim como a anterior, objetiva proporcionar aos alunos
momentos de familiarização com o software, porém, dessa vez sem um roteiro
explícito que os oriente quanto aos comandos a serem seguidos.
Os procedimentos na atividade foram:
Levantamento dos conhecimentos prévios sobre triângulos retângulos por
meio de questionamentos: Quando um triângulo é considerado retângulo? Como se
constrói um triângulo retângulo com régua e compasso? Como posso fazer essa
construção com o software GeoGebra garantindo que o triângulo seja sempre
retângulo?
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Atividade C.
Objetivamos com essa atividade que o aluno investigue as propriedades e
características das razões trigonométricas nos triângulos retângulos através do
processo de construção e visualização na tela.
78
Roteiro da Atividade:
a) Trace um segmento de reta AB (clique no botão
).
b) Trace uma reta b perpendicular ao segmento AB passando por A (clique no botão
e, em seguida, no segmento AB e no ponto A).
c) Marque um ponto C sobre a reta b, (clique no botão
e na reta).
d) Construa o triângulo (clique no botão polígono da barra de ferramentas
e,
em seguida, nos pontos A, B, C e A).
e) Determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos.
f) Encontre a razão entre os lados do triângulo, digite na caixa de entrada (distância
[A, C]/distância [B, C]), em seguida digite (distância [A, B]/distância [B, C]),
aparecerá na janela algébrica a razão entre os lados do triângulo.
6. Arraste o vértice B do triângulo, o que você observa em relação às razões?
Justifique suas conclusões.
Procedimentos
 Questionamentos de como se deu o processo de construção, feitos oralmente.
 Discussão em dupla sobre as conclusões que chegaram após o processo de
mover o objeto na tela.
 Exposição oral justificando o que foi observado após o processo de arrastar a
figura pela tela na janela gráfica do software.
79
Atividade D:
Roteiro da Atividade
a) Abra a Construção (applet)34 01 do arquivo, em seguida arraste um dos vértices
dos triângulos. O que você observa? Agora, arraste o vértice A do triângulo e
investigue o que acontece com o ângulo α e com as razões trigonométricas. O
que você observou? Por que isso acontece? Discuta com seus colegas sobre
suas investigações e anote as conclusões. Arraste o vértice C do triângulo, o
que você observa em relação ao ângulo α e as razões trigonométricas? Por que
isso acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações e anote as
conclusões.
Essa atividade objetiva: investigar as propriedades, noções e conceitos das
razões trigonométricas nos triângulos retângulos, através do processo de visualização
do objeto e do movimento quando se clica e arrasta um dos vértices dos triângulos;
entender como cresce e decresce o ângulo agudo do triângulo usado como base para
calcular as razões trigonométricas; perceber como crescem e decrescem as razões
trigonométricas.
Ciclo Trigonométrico
Atividade E
O objetivo dessa atividade é investigar as propriedades, noções e conceitos
das razões trigonométricas no ciclo trigonométrico.
34
A construção encontra-se no CD-ROM anexo a Dissertação.
80
Roteiro da Atividade.
a) Construa uma circunferência com centro em A (0, 0) passando por B (0, 1),
(Clique em exibir eixo).
b) Insira na caixa de entrada
e em
seguida, tecle enter; insira o ponto B = (1, 0). Fixe os pontos A e B (clique em cima
dos pontos com o botão direito do mouse, aparecerá a seguinte caixa de diálogo:
, selecione propriedades e fixar ponto.
c) Selecione o botão
e clique nos pontos A e B.
d) Marque um ponto C na circunferência no primeiro quadrante, trace uma reta
perpendicular ao segmento AB passando por C.
e) Assinale a intersecção entre a reta r e o segmento AB (selecione o botão
e clique no segmento AB e no ponto C).
f) Trace o triângulo ACD (clique no botão .
e nos pontos A, C, D e A).
g) Utilizando a ferramenta distância, determine a medida dos lados do triângulo
ACD e complete a tabela.
Medida de AD
Medida de DC
Medida de AC
DC/AC
81
h) Arraste o ponto C duas vezes e anote as medidas na tabela, você percebe
alguma propriedade? Discuta com seus colegas e anote as observações feitas.
Atividade F
a) Utilizando a figura construída anteriormente, esconda a reta r e determine a
amplitude do ângulo A.
b) Encontre a razão entre os lados do triângulo (escreva na caixa de entrada, por
exemplo, a/b, se a letra correspondente ao lado for a1 digite a_1, aparecerá na janela
algébrica o valor das razões.
c) Movimente o ponto C e investigue o que acontece com as razões entre os lados. O
que você observou? Discuta com os seus colegas e anote suas observações.
Atividade G
Abra a Construção (applet) do arquivo, em seguida arraste o ponto P pelo
ciclo trigonométrico, o que você observa? O que acontece com o ângulo α e com as
razões trigonométricas? Existe alguma relação entre as razões no triângulo retângulo
e no ciclo trigonométrico? Justifique sua resposta.
O objetivo dessa atividade é, através da visualização e movimento dos objetos
na tela, estabelecer relações entre as razões trigonométricas nos triângulos retângulos
e no ciclo trigonométrico.
82
5.6 CONSTRUÇÃO DOS DADOS COM A SEGUNDA EXPERIÊNCIA.
Nossa finalidade nesta seção é descrever e analisar as experiências que
tivemos na aplicação de atividades na escola estadual Castro Alves, na cidade do
Natal/RN. Nessas atividades, o software GeoGebra foi utilizado como recurso para o
ensino e aprendizagem de Trigonometria.
Antes de iniciarmos a aplicação das atividades, tivemos a preocupação de
conhecer um pouco mais os alunos. No nosso primeiro encontro, aplicamos um
questionário com os alunos do 2º ano A do Ensino Médio, turno matutino, composto
de duas etapas: identificação e uso dos recursos da informática. Nossa pretensão era
conhecer as experiências que os alunos tinham em informática.
Com relação à identificação, questionamos (Apêndice A) sobre a idade, sexo
e bairro onde mora. Apresentamos os dados coletados na Tabela 3.
Tabela 2 – Número de alunos organizados por faixa etária
Idade
21
19
18
17
16
15
13
anos
anos
anos
anos
anos
anos
anos
Número
de
01
01
01
10
12
03
01
alunos
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Observamos que a maioria dos 29 alunos que responderam ao questionário
tem entre 16 e 17 anos. Não estão, portanto, fora da faixa etária da maioria dos
alunos do turno matutino de outras escolas da cidade de Natal. Conforme pesquisa
realizada pelos alunos do PIBID/UFRN, os alunos pesquisados apresentaram
dificuldades em conteúdos do Ensino Fundamental.
83
Quanto ao sexo, 13 são meninas e 16 meninos, no que se refere ao bairro
onde residem, constatamos que 26 alunos são do bairro onde está localizada a escola
e apenas dois alunos são de bairros vizinhos.
Sobre o uso dos recursos da informática, todos os alunos responderam que
tinham alguma experiência com as tecnologias da informática. Como constatamos no
questionário, 25 alunos têm msn e e-mail, todos os alunos possuem Orkut e já
realizaram alguma atividade escolar usando o computador e a internet. Por outro
lado, nenhum aluno conhecia o GeoGebra ou qualquer outro software específico de
Matemática. Mesmo o Linux Educacional, apenas 4 alunos conheciam, apesar de ser
esse o sistema operacional instalado no laboratório da escola.
Tabela 3 – Número de alunos que conhece alguns dos recursos da informática
Recursos
Site de
Copiar
Gravar
Possui
Possui
Conhece o
Utilizados
busca
textos
CD,
e-mail
Orkut
Linux
DVD
e msn
20
25
educacional
Nº de
alunos
28
29
29
04
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Iniciamos a atividade A (semelhança de triângulos) no laboratório de
informática. Distribuímos o roteiro/passos para a construção e, em seguida,
acompanhamos as discussões entre as duplas.
Na atividade citada anteriormente, os alunos conseguiram perceber através da
construção de vários triângulos, aqueles que eram semelhantes. A atividade permitiu
a investigação através do processo de arrastar um dos vértices dos triângulos, esse
processo promoveu a discussão entre as duplas, permitindo que argumentassem sobre
os resultados obtidos. Os alunos perceberam que, ao traçar uma reta paralela a uma
das bases do triângulo, os dois triângulos formados são semelhantes:
84
Agora eu sei, sempre que traçar uma reta paralela a um dos lados do
triângulo, os dois triângulos vão ser semelhantes, em qualquer posição fica
a mesma coisa.
Chamou-nos a atenção a forma como a descoberta foi feita pelo aluno:
construiu vários triângulos, conforme a figura 13, na tentativa de encontrar um erro,
mas, como sempre dava certo, conclui que, ao traçar uma reta paralela ao lado de um
triângulo, esses serão sempre semelhantes, independentemente de como sejam
construídos.
Construção Inicial
Construção após o processo de arrastar
Figura 13 – Construção dos triângulos semelhantes realizada pelos alunos.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
O processo de visualização através do movimento da construção geométrica
permitiu que os alunos percebessem as propriedades dos triângulos semelhantes.
Zulatto (2007) ressalta que o processo de arrastar a construção pela tela permite que
o estudante faça a análise da figura em várias posições, promovendo, assim, o pensar
matematicamente, diferentemente do que acontece com as construções com régua e
compasso, ou quando pedimos para que nossos alunos imaginem uma figura sem o
recurso visual. Outro ponto que merece destaque nessa atividade é o processo de
investigação. Os alunos passavam muito tempo discutindo cada situação nova antes
85
que tirassem conclusões e as partilhassem com o grupo. Segundo Zulatto (2002),
quando os professores trabalham um conteúdo matemático utilizando os softwares,
os alunos têm mais facilidade de visualizar as figuras, suas propriedades e
invariantes.
Em nossa investigação, pontuamos e anotamos algumas falas e discussões
que consideramos relevantes para o nosso estudo. No processo de análises dos dados
é comum, numa abordagem qualitativa, que alguns eventos sejam vistos com mais
interesse que outros. Assim sendo, Goldemberg afirma que:
É irreal que se pode ver, descrever e descobrir a relevância teórica de tudo.
Na verdade, o pesquisador acaba se concentrando em alguns problemas
específicos que lhe parecem de maior importância. (GOLDEMBERG, 2009,
p. 54).
Os critérios que nos fizeram descrever alguns dados em detrimento de outros
estão intimamente relacionados com o nosso referencial teórico e com a busca por
respostas à questão norteadora.
A aluna Rafaela (nome fictício) não teve a mesma facilidade que outros
alunos tiveram para compreender a atividade sobre semelhança de triângulos.
Rafaela afirmou inicialmente que os ângulos se modificavam; disse, porém, que os
triângulos eram semelhantes. Ela ainda não apresentava segurança para perceber
quando dois ou mais triângulos são semelhantes. Após várias discussões com a sua
dupla e com alguns questionamentos feitos pela professora pesquisadora, a aluna
destacou:
Pensei que vocês estivessem perguntando se os valores dos ângulos
mudavam quando movimentamos um dos vértices. Não tinha entendido
ainda, percebi agora, os valores entre os ângulos do primeiro triângulo e do
segundo realmente não se modificam
Os softwares de Geometria Dinâmica têm a possibilidade de proporcionar o
movimento de objetos pela tela do computador, o que permite uma visualização de
diferentes ângulos. Segundo Valente (1993), o envolvimento com o objeto em
construção cria oportunidades para o aluno colocar em prática os seus
conhecimentos. Se esses não são suficientes para resolver os problemas encontrados,
86
o aluno terá de mobilizar novas informações nas mais variadas fontes para tentar
solucionar as situações que lhe são apresentadas. Para Lévy (1997), os recursos da
informática podem nos proporcionar uma forma diferente de pensar.
Na atividade B (semelhança de triângulos retângulos), os alunos apresentaram
dificuldades para realizar as construções, não conseguiam entender como traçar o
ângulo reto no triângulo. Apresentaremos algumas construções e discussões
posteriormente.
Construção antes de mover
Construção após mover o vértice C.
um dos vértices
Figura 14 – Construção realizada pelos alunos.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Discussão nos grupos:
Para melhor compreensão, descrevemos parte do diálogo entre os alunos com
a intervenção da professora pesquisadora, na atividade B.
Alunos35: Rafaela, Marcos, Pedro e Allan
Rafaela: Consegui fazer, vejam como construí.
35
São todos nomes fictícios, utilizados com a intenção de ilustrar o diálogo entre os alunos.
87
Allan: Tá errado, mexa, se ficar um ângulo reto estará certo.
Professora pesquisadora: Movimente um dos vértices do triângulo e veja se o
triângulo permanece retângulo.
Rafaela: Não ficou, por que não ficou?
Allan: Foi como você construiu.
Marcos: O meu também não deu certo.
Pedro: Olha como eu fiz, primeiro fui em exibir malha, depois fiz o triângulo.
Observamos nesse momento que os alunos ainda não tinham conseguido
entender que as características dos objetos não se mantêm nas construções realizadas
com pontos livres, mesmo na malha quadriculada. Na tentativa de proporcionar uma
nova investigação, questionamos os alunos sobre os passos seguidos.
Allan: Consegui, vejam como eu fiz.
Professora pesquisadora: Explique todos os passos da sua construção.
Allan: Foi fácil, eu construí um quadrado, cliquei em polígono regular e depois
tracei uma reta de A para C, ficaram dois triângulos retângulos.
Pedro: Quando você movimenta os dois triângulos continuam retângulos?
Allan: Sim, permanecem, porque como é um quadrado, vão permanecer sempre
retângulos.
O quadrado citado pelo aluno Allan é uma construção que está pronta, é um
recurso que o GeoGebra apresenta, o software constrói um polígono a partir da
quantidade de lados que o usuário digitou.
Figura 15 – Construção do aluno Allan.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
88
As discussões continuaram entre as duplas que, em seguida, partilhavam as
conclusões com todo o grupo. Sugerimos, após muita discussão, que traçassem os
triângulos com o recurso das retas paralelas e perpendiculares, disponível no
software. Após muitas tentativas, conseguiram construir.
Essa atividade proporcionou momentos de discussão bastante valorosos. O
processo de arrastar os objetos pela tela permitiu que os alunos compreendessem que
os passos envolvidos na construção dos triângulos são importantes para que a figura
mantenha as suas propriedades e características. Os softwares de Geometria
Dinâmica possuem um recurso que possibilita visualizar de modo contínuo a
transformação feita pelo “arrastar”.
Assinalamos que os alunos não costumam fazer construções com régua e
compasso36, o que pode ter dificultado o entendimento de como realizar as
construções sem os roteiros que orientam cada passo a ser seguido.
Objetivamos com a atividade C (Razões Trigonométricas no Triângulo
Retângulo) que os alunos investiguem as propriedades e características das razões
trigonométricas nos triângulos retângulos, através do processo de construção e
visualização na tela.
Com o roteiro em mãos, os alunos construíram os triângulos e passaram a
investigar e fazer suas conjecturas em dupla. Afirmaram que, com o roteiro em mãos,
é mais fácil de realizar as construções. Apesar disso, alguns alunos apresentaram
dificuldades para traçar as retas, visto que assinalavam os pontos sobre as retas e não
verificavam se elas eram realmente perpendiculares ou não, o que é possível de
perceber na fala de um aluno:
Agora deu certo, é porque eu não tinha passado a reta em cima do ponto, ela
passou por outro ponto fora.
Entenderam que os valores das razões entre os lados do triângulo não se
modificam, porque estão na verdade obtendo uma série de triângulos pelo processo
de aumentar e diminuir os lados do triângulo inicialmente construído. Essa função de
alterar objetos preservando-se sua construção permite dizer que o GeoGebra, e de um
36
Informações obtidas com os alunos durante os encontros.
89
modo mais geral qualquer software de Geometria Dinâmica, é do tipo “uma
construção e vários testes”. A régua e compasso, por outro lado, é do tipo “uma
construção e um teste.” Desse modo, a partir de uma única construção podemos
realizar um número arbitrário de testes, o que não é possível com a régua e compasso
no papel.
Percebemos com a atividade D, que as conclusões tiradas através das
construções foram reforçadas. Os alunos argumentaram que, ao arrastarem o vértice
A do triângulo, esse aumenta e diminui, mas ao movimentarem o vértice C, a figura é
modificada, o ângulo tomado como referência é alterado e, por isso, as razões são
diferentes (ver figura 16).
Figura 16 - Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
As atividades E, F e G abordaram o estudo do ciclo trigonométrico. Como
fazíamos em todos os encontros, começamos com uma retomada dos conteúdos
discutidos na aula anterior. Em seguida, passamos a entregar o roteiro das atividades
que seriam realizadas. Perguntamos se alguém tinha conseguido baixar o software
para realizar outras atividades; alguns falaram que sim. Um aluno comentou que
estava tentando entender melhor o funcionamento do software e que em casa
conseguiu refazer as atividades propostas em sala.
A partir desse momento, começamos a discutir sobre o roteiro da atividade E.
Com o auxilio do datashow, pedimos aos alunos que descrevessem para a turma
como tinham realizado suas construções. Antes disso, porém, disponibilizamos um
tempo para que cada aluno discutisse com a sua dupla.
90
Após algumas observações, os alunos passaram a argumentar sobre as
relações estabelecidas entre as razões trigonométricas no ciclo trigonométrico e no
triângulo retângulo.
Professora é a mesma coisa do Triângulo Retângulo que agente fez, os
resultados são os mesmos.
Figura 17 – Construção do Ciclo Trigonométrico.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Na atividade G, sobre o ciclo trigonométrico, os alunos receberam um applet
construído previamente e passaram a fazer suas investigações. Uma vez que a
construção da figura requer um domínio maior do software, decidimos construí-la
previamente, de modo que coube aos alunos apenas observá-la e analisá-la. Eles
visualizaram a variação do seno e do cosseno, movimentando o ponto P pelo ciclo
trigonométrico. Observaram que as figuras construídas por eles apresentavam um
erro; o seno e o cosseno no terceiro quadrante aparecia positivo. Passaram a analisar
as duas figuras: a feita por eles e o applet que foi entregue. Por que nas construções
deles o seno e o cosseno não apresentavam valores negativos? Não conseguimos
descobrir de imediato.
91
Após várias investigações, e depois de analisarmos o protocolo de construção
das duas figuras, percebemos que a diferença ocorreu devido ao applet estabelecer a
relação entre os eixos X e Y e o seno e o cosseno. Já na construção feita pelos
alunos, determinou-se a razão entre os lados do triângulo, logo os valores eram
sempre positivos.
Figura 18 – Applet do Ciclo Trigonométrico.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Observamos, assim, que o uso de softwares de Geometria Dinâmica requer
cuidado. Uma atividade mal elaborada pode ocasionar análises incorretas e acarretar
em erros conceituais.
92
5.7
DISCUSSÃO
DOS
DADOS
CONSTRUÍDOS
COM
A
SEGUNDA
EXPERIÊNCIA.
Apresentamos nesta seção uma discussão dos dados construídos durante a
aplicação da nossa sequência de ensino e aprendizagem de trigonometria.
Procuraremos aqui responder a questão que norteia nosso estudo: Poderíamos utilizar
as condições hoje presentes na escola, e os recursos do software GeoGebra para
otimizar a situação referente ao ensino e aprendizagem de trigonometria?
Dentre as potencialidades apresentadas pelo software no ensino e
aprendizagem de Trigonometria, destacamos: construção, dinamismo, investigação,
visualização e argumentação.
Uma das nossas preferências foi que os alunos construíssem suas figuras,
visto que os softwares de Geometria Dinâmica são baseados nas construções com
régua e compasso. Objetivamos com isso que os alunos desenvolvessem o domínio
sobre os procedimentos para obter uma construção.
Na atividade C, pedimos aos alunos que movimentassem um dos vértices dos
triângulos retângulos e, em seguida, analisassem se a figura resultante era semelhante
à inicialmente construída. Allan37 sugeriu que se determinasse a razão entre os lados
do triângulo e verificasse se elas se modificavam com o processo de arrastar. As
figuras feitas por Allan foram criadas e testadas com o processo de arrastar do
GeoGebra. Nesse caso, os argumentos estavam baseados no recurso visual
proporcionado pelo software. Assim sendo, o software possibilitou, a partir de várias
posições de uma figura, a exploração visual em tempo real, como sugere
Zulatto(2007).
Segundo Lévy (1996), a informática faz com que pensemos qualitativamente
diferente. O GeoGebra permite que uma construção geométrica seja arrastada pela
tela em diferentes posições. Isso nos permite pensar de uma forma matematicamente
diferente do que se estivéssemos trabalhando com uma construção estática ou apenas
falando dela, sem nenhum recurso visual.
37
Aluno da 2ª série do ensino médio, sujeito de nosso estudo.
93
Para Zulatto (2007), aprende-se de outras maneiras quando se interage com os
vários recursos da Tecnologia Informática.
Após formularem suas conjecturas, os alunos podem imediatamente testá-las,
fazendo investigações através da prova de arrastar (OLIVEIRO et al, 1998;
LABORDE, 1998). Desse modo, os alunos se sentem motivados com as atividades
de exploração, pois são convidados a fazerem os testes através do movimento das
figuras e verificarem sozinhos se as suas construções estão ou não corretas.
Aliar as atividades de investigação a um software de Geometria Dinâmica foi
um dos nossos objetivos, e entendemos que tenha sido um ponto positivo em nosso
estudo, visto que, com atividades investigativas aliadas aos recursos da TI, os alunos
têm a possibilidade de formular boas questões e usar processos e conhecimentos
matemáticos que permitem tomar decisões sobre essas questões.
Essas atividades, segundo Brocardo (2001), envolvem diversos processos
matemáticos como: formulação de conjecturas, teste de conjecturas e prova das
conjecturas que resistiram a sucessivos testes. Todos esses processos foram
facilitados pelo uso do GeoGebra, que permite a visualização de suas construções.
O uso do GeoGebra permite encorajar o processo de descoberta e de
autoavaliação dos alunos, reservando momentos ao professor, através da verificação
do recurso “protocolo de construção”, analisar como os alunos entenderam os
procedimentos necessários para realizar uma construção.
Sobre algumas das dificuldades que o professor pode enfrentar ao utilizar a TI
em sala de aula, destacamos as dificuldades estruturais. Nem sempre há
computadores suficientes nas escolas, ou em condições de uso. O acesso a eles pode
ser restrito e até mesmo dificultado pelo setor administrativo das escolas. Para que
possa haver alguma forma de trabalho organizado que incentive a aplicação de certas
estratégias educacionais, os computadores devem existir em número compatível com
a quantidade de alunos. No presente estudo, os alunos trabalhavam em duplas, cada
qual no seu computador.
Conseguimos realizar nosso trabalho porque era possível dividir a turma em
dois grandes grupos, entretanto, isso nem sempre pode ser possível para o professor,
visto que tivemos o auxílio dos alunos do PIBID, como citado anteriormente, que
trabalhavam com a parte da turma que ficava em sala de aula enquanto ficávamos
com a outra no laboratório. Alem disso, há de ser lembrado que o uso dos
94
equipamentos favorece a ocorrência de danos e a necessidade de reparos, que, por
sua vez, envolvem custos com os quais as escolas, principalmente as escolas
públicas, geralmente não podem arcar (neste estudo ocorreu uma situação dessa
natureza, quando, por exemplo, o modem foi danificado e não foi substituído até o
fechamento do nosso trabalho).
Concluímos, com base no que foi discutido até o presente momento, que o
uso do software GeoGebra pode auxiliar na resolução de problemas de trigonometria,
especialmente em atividades investigativas, de forma que os estudantes possam
interagir com as figuras construídas.
Ainda no que se refere ao uso dos recursos da Tecnologia Informática nas
aulas de Matemática, especificamente no ensino e aprendizagem de trigonometria,
observamos que o GeoGebra pode contribuir para que algumas das dificuldades com
o ensino do referido tema sejam minimizadas. Os softwares de Geometria Dinâmica
são ferramentas que motivam o aluno a realizar investigações, o que pode facilitar o
interesse pela construção de seus conhecimentos.
A nossa observação dos alunos realizando as atividades de trigonometria com
auxílio do GeoGebra permitiu que chegássemos às seguintes conclusões no que tange
às suas vantagens:
 Permite a exploração visual das figuras construídas, o que não é possível com as
figuras estáticas feitas com régua e compasso;
 Facilidade do aluno em construir as figuras com o recurso do software;
 Permite que os dados sejam alterados graficamente, mantendo as características
da construção (Geometria Dinâmica);
 Aumenta o poder de argumentação do aluno através do processo de arrastar as
figuras pela tela do computador, fazendo os sucessivos testes;
O nosso estudo também permitiu identificar algumas vantagens para o
professor na utilização de recursos da TI:
95
 O software é encontrado livre para download, e de fácil acesso a qualquer
usuário.
Os
alunos,
mesmo
não
tendo
conhecimento
do
GeoGebra,
familiarizaram-se com rapidez e não apresentaram dificuldades em manuseá-lo;
 Facilidade em adequar qualquer atividade de diferentes conteúdos matemáticos
ao software;
 Permite visualizar a maneira como os alunos construíram suas figuras, através do
protocolo de construção38;
 O software pode ser instalado em qualquer sistema operacional, o que facilita seu
uso nas escolas públicas.
Analisando a utilização da TI, ficou evidente que existem problemas de
ordem prática, que podem dificultar a implementação desses recursos em sala de
aula. Destacamos os seguintes:
 Necessidade de reestruturação dos laboratórios de informática da rede estadual de
ensino do RN, adequando-se à clientela atendida na escola. Essa adequação se
refere tanto à quantidade de equipamentos disponíveis, quanto à existência de
verbas para a sua manutenção;
 Necessidade de cursos de atualização para que os professores se familiarizem
com os diferentes tipos de softwares de Matemática disponíveis gratuitamente;
 Falta de conhecimento do sistema operacional instalado nas escolas, o Linux
Educacional no caso das escolas públicas do RN.
38
Recurso disponível no software GeoGebra, o qual possibilita a visualização de todos os passos seguidos
na construção de um objeto.
96
Para pesquisas futuras que venham a se apoiar de algum modo neste nosso
estudo, podemos pensar naquelas que optem tratar do ensino de outros pontos da
trigonometria, especialmente as funções trigonométricas, com o auxílio do software
GeoGebra. Investigações que possam articular detalhadamente a TI com os recursos
de régua e compasso nas construções de figuras planas também pode ser uma
possibilidades de pesquisa futura. Sugerimos ainda estudos colaborativos com
professores de Matemática, utilizando o software GeoGebra em outros conteúdos.
97
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regra da cadeia. 2009. 199 f. Tese (Doutorado em Educação Matemática).
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Multi- representational Software. 1993. Tese (Doutorado). Cornell University,
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102
APÊNDICES
103
APÊNDICE A – PRODUTO EDUCACIONAL (UMA SEQUENCIA DIDÁTICA
PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA COM O USO DO SOFTWARE
GEOGEBRA
104
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS
NATURAIS E MATEMÁTICA
SEQUENCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA
USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
NATAL – RN
2010
105
MARIA MARONI LOPES
SEQUENCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO DE TRIGONOMETRIA
USANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Sequência
didática
para
o
ensino
de
trigonometria apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de
Ciências
Naturais e Matemática, Centro de Ciências
Exatas e da Terra da UFRN, como produto
educacional da Dissertação de Mestrado.
Orientadora: Profª. Drª. Bernadete Barbosa
Morey
NATAL – RN
2010
106
SUMÁRIO
1
107
INTRODUÇÃO
1.1 APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
108
1.2 TELA INICIAL DO GEOGEBRA
109
1.3 TUTORIAL
110
1.4 COMO INSTALAR DO SOFTWARE GEOGEBRA
111
1.5 UTILIZANDO OS COMANDOS DO GEOGEBRA
111
2 ATIVIDADES DE TRIGONOMETRIA COM O SOFTWARE
119
GEOGEBRA
2.1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO
119
2.2 ALTURA DE TRIÂNGULO
121
2.3 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
121
2.3
RAZÕES
TRIGONOMÉTRICAS
NOS
TRIÂNGULOS
124
RETÂNGULOS
2.4 CICLO TRIGONOMÉTRICO
125
REFERÊNCIAS
128
107
1 INTRODUÇÃO
Elaboramos esta sequência didática 39, pensando nos professores da rede
pública de ensino que se propõe trabalhar em suas salas de aulas com os recursos da
Tecnologia Informática (TI). A referida sequência apresenta como argumento teórico,
os estudos realizados na elaboração da nossa dissertação, desenvolvida junto ao
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática
(PPGCNM), que teve como objetivo, analisar as potencialidades e limitações do
software GeoGebra no ensino e aprendizagem de Trigonometria.
A linguagem digital, expressa em múltiplas TIC, vem impondo mudanças no
modo como obtemos informação e nos comunicamos. O poder da linguagem digital,
baseado no acesso a computadores e todos os seus periféricos, à internet, e os
softwares tem influenciado cada vez mais a forma como construímos nossos
conhecimentos e como a escola organiza seus currículos. Para Kensky (2009), quando
esses recursos são bem utilizados provocam alterações nas relações entre professores e
alunos e ainda proporcionam um maior aprofundamento nos conteúdos estudados.
Nossas vivências na rede pública de ensino nos impulsionaram investigar as
dificuldades dos alunos com a aprendizagem de Matemática, preferencialmente as
referentes ao estudo de trigonometria. Assim sendo, objetivamos aliar nas nossas
atividades educacionais os recursos da TI ao ensino de trigonometria com as
potencialidades do software Geogebra40.
Um outro ponto que merece destaque em nossa tomada de decisão refere-se ao
fato de que a maioria das escolas públicas estaduais do Rio Grande do Norte (RN)
possui sala de informática equipadas com computadores conectados à internet, o que
possibilita aos usuários o acesso a softwares educacionais em diversas áreas do
conhecimento. Encontramos alguns destes softwares livres para download, como por
exemplo, o software Geogebra.
39
Consideramos no nosso estudo como sequência didática, um bloco de atividades elaboradas com o
recurso do software GeoGebra para ser aplicadas em sala de aula do Ensino Médio.
40
Software de Geometria dinâmica, encontrado para download no site: http://www.geogebra.org/cms/.
108
Apresentamos um bloco de atividades que fez parte da nossa pesquisa 41
elaborada e aplicada em uma experiência com estudantes de licenciatura em
Matemática, durante nosso período de investigação, consideradas como estudo de
referencia, e uma segunda experiência, com alunos do ensino médio de uma escola
pública do RN.
Um dos desafios que enfrentamos foi elaborar as atividades de forma a deixálas acessíveis para qualquer um que se proponha a desenvolvê-las até mesmo aqueles
que não tenham muita familiaridade com a informática, com o GeoGebra ou qualquer
outro software similar.
Fizemos aqui, inicialmente uma descrição rápida do software, apresentando
sua tela principal e sua barra de ferramentas, para que os professores tenham uma
familiarização e entenda a função de cada uma. Em seguida apresentamos um tutorial
com alguns comandos que são utilizados na construção de figuras.
A segunda parte da nossa sequências traz uma descrição das atividades com os
recursos do software GeoGebra, referentes ao conteúdo de trigonometria
1.1 APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
O GeoGebra é um software matemático, para ser utilizado em ambiente de sala
de aula, que reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Segundo seu manual
traduzido por Ribeiro (2007), foi desenvolvido por Markus Horenwarter e Judith
Preiner para ser empregado principalmente no ensino e aprendizagem de Matemática
nas escolas básicas e secundárias na universidade norte-americana Florida Atlantic
University.
O referido software reúne as características de um software de Geometria
Dinâmica, admite construir vários objetos como pontos, vetores, segmentos, retas,
secções cônicas, gráficos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem, depois,
serem modificados dinamicamente. Permite, ainda, a introdução de equações e
41
Desenvolvida Junto ao Programa de Pós-Graduação em ensino de Ciências Naturais e Matemática
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, a dissertação foi defendida em agosto de
2010.
109
coordenadas, digitando-se diretamente na sua caixa de entrada. Possibilita a
visualização de um lugar geométrico ao traçar a trajetória de um ponto escolhido,
enquanto um outro ponto está sendo deslocado, conservando as propriedades
particulares das figuras. Essa é uma das características do software que é de grande
relevância para o nosso estudo, visto que, com sua contribuição, o aluno pode
observar o comportamento de funções como seno, cosseno e tangente ponto a ponto.
O GeoGebra fornece três diferentes janelas: gráfica, algébrica ou numérica, e
a folha de cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes
representações: graficamente (pontos, gráficos de funções), algebricamente
(coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim, todas as
representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se
automaticamente às mudanças realizadas em qualquer delas, independentemente da
forma como esses objetos foram inicialmente construídos.
1.2 TELA INICIAL DO GEOGEBRA.
Barra de Ferramentas
Janela
Janela Gráfica
Algébrica
Planilha ou
folha de cálculo.
Caixa
de
Entrada
Figura 1 – Tela inicial do GeoGebra.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora
110
1.3 TUTORIAL
 Site para download: http://www.geogebra.org/cms.
 Recursos:

Visualização interativa entre as janelas algébrica (geométrica) e gráfica

Construções dinâmicas que permitem ao usuário interagir com o objeto de
estudo.

Criação de Applets
 Alguns Comandos Definidos
Comandos
Função do Comando
*
Multiplicação
^
Potenciação
sin( x)
Traça o gráfico da função seno
cos(x)
Traça o gráfico da função cosseno
tan( x)
Traça o gráfico da função tangente
abs( )
Módulo
exp(x)
Calcule e elevado a x
pi
Utiliza o valor numérico de PI
!
Fatorial
log(b, x)
Logaritmo de x na base b
sqrt( )
Raiz quadrada
Quadro 1 – Comandos do GeoGebra.
Fonte: Arquivo da professora.
111
1.4 COMO INSTALAR DO SOFTWARE GEOGEBRA
 Acesse o site: http://www.geogebra.org/cms.
 Faça o download do GeoGebra, de acordo com o sistema operacional presente no
computador, salvando o arquivo GeoGebra.
 Execute o arquivo GeoGebra e siga as instruções de instalação.
1.5 UTILIZANDO AS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA
Ao iniciar o software, será aberta uma tela inicial com a interface de trabalho.
Essa interface do GeoGebra apresenta elementos comuns aos softwares que
funcionam em ambiente Windows.
O menu principal, apresenta acesso a várias ferramentas, conforme quadro 2.
Ao se clicar sobre cada uma dessas opções, aparecerá uma caixa de diálogo contendo
novos comandos a serem escolhidos.
Arquivo
Editar
Exibir
Opções
Ferramenta
janela
Ajuda
Quadro 2: Barra de Ferramentas do GeoGebra
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Abaixo do menu principal existem onze botões de desenho. Cada um deles,
quando selecionado em seu canto inferior direito, dá acesso a uma novo grupo de
ferramentas.
Figura 2 – Ferramentas de desenho.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora
112
Apresentamos em seguida, algumas das ferramentas de forma detalhada, para
que o usuário possa entender melhor a funcionalidade de cada elemento apresentado
no quadro 2.
 Arquivo: contém as opções Nova Janela, Novo, Abrir, Gravar, Gravar
como, Visualização da Impressão, Exportar e Fechar. Veja a figura 4.
Figura 3– Opções referentes ao menu arquivo.
Fonte: Arquivo pessoal da Professora pesquisadora.
 Editar: dá acesso às ferramentas: Desfazer, Refazer, Apagar, Selecionar tudo
e Propriedade. Observe a figura 4.
113
Figura 4 – Opções referentes ao menu Editar.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
 Exibir: habilita as opções de Eixo, Malha, Janela de álgebra, Objetos
auxiliares, Divisão horizontal, Campo de entrada, Lista de comandos,
Protocolo de construção, Barra de navegação para passos da construção e
Atualizar Janelas. O que pode ser observado na figura 5.
Figura 5 – opções referentes ao menu Exibir
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
114
 Opções: habilita as opções Pontos sobre a malha, Unidades de ângulo, Casas
decimais, Continuidade, Estilo do Ponto, Estilo de ângulo reto, Coordenadas,
Rotular, Tamanho da fonte, Idioma, Janela de visualização, Salvar
configurações e Restaurar a configuração padrão. Observe a figura 5.
Figura 6 – opções do menu opções
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Ferramentas: habilita as opções Criar uma nova ferramenta, Ferramentas de
controle e Configurar a caixa de ferramenta. Observe a figura 6.
Figura 7: Opções do menu ferramenta.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
115
Janela: habilita a opção Nova Janela que permite ao usuário abrir uma nova janela.
Veja a figura 8.
Figura 8: opções do menu janela.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
Ajuda: disponibiliza endereços de páginas web para consulta ao tutorial e fóruns de
discussão de usuários do software. Contém as opções Ajuda, www.geogebra.org,
GeoGebra Fórum, GeoGebrawiki e Sobre/Licença. Observe a figura 8.
Figura 9: opções referentes ao menu janela
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
116
Como falamos anteriormente, abaixo do menu principal o GeoGebra
disponibilidade alguns menus de desenho. Ao lado dos botões de desenho aparece um
campo que mostra qual é a ferramenta selecionada e uma breve descrição dela.
Figura 10: Outros menus do Geogebra
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
O grupo do botão
contém as opções: Mover e Girar em torno de um
ponto. Permite ao usuário deslocar os eixos, bem como mover figuras e gráficos.
O grupo do botão
dá acesso as opções: Novo Ponto, Intersecção de dois
objetos, Ponto médio ou centro. Permite ao usuário inserir novos pontos no plano
cartesiano, determinar a intersecção entre dois objetos e calcular o ponto médio entre
outros.
O grupo do
botão permite acesso as opções: Reta definida por dois
pontos, Segmento definido por dois pontos, Segmento com dado comprimento a
partir de um ponto, Semi-reta definida por dois pontos, Vetor definido por dois
pontos e Vetor a partir de um ponto. Permite ao usuário traçar retas, segmentos,
semi-retas e vetores.
No grupo do botão
contêm as opções: Reta perpendicular, Reta
paralela, Mediatriz, Bissetriz, Tangentes, Reta polar ou diametral e Lugar
geométrico. Permite ao usuário traçar diferentes tipos de retas no plano cartesiano.
O grupo do botão
contém as opções: Polígono e Polígono Regular.
Possibilita ao usuário a construção de polígonos quaisquer e polígonos regulares.
117
O grupo do botão :
contêm as opções: Círculo definido pelo centro e um
dos seus pontos, Círculo dados centro e raio, Círculo definido por três pontos, Arco
circular dados o centro e dois pontos, Arco circuncircular dados três pontos, Setor
Circular dados o centro e dois pontos, Setor circuncircular dados três pontos e
Cônica definida por cinco pontos. Permitem ao usuário traçar circunferências, arcos
de circunferência e setores circulares.
O grupo do botão
dá acesso as opções: Elipse, Hipérbole, Parábola e
Cônica definida por cinco pontos.
O grupo do botão
dá acesso as opções: Ângulo, Ângulo com amplitude
fixa, Distância, Comprimento ou Perímetro, Área e Inclinação.
O grupo do botão
dá acesso as opções: Reflexão com relação a uma
reta, Reflexão com relação a um ponto, Inversão, Girar em torno de um ponto por
um ângulo, Transladar objetos por um vetor, Ampliar ou reduzir objetos dados
centro e Fator da homotetia
No grupo do botão .
permite o usuário ter acesso as opções: Seletor,
Caixa para exibir/ esconde objeto, Inserir texto, Incluir imagem, Relação entre dois
objetos.
No grupo do botão
dá acesso as opções: Deslocar eixos, Ampliar,
Reduzir, Exibir/Esconder objetos, Exibir/ Esconder rótulo, Copiar estilo visual,
Apagar objeto.
Situado à direita dos botões de desenho, existe um campo de mensagens que
indica a ferramenta que está sendo selecionada.
118
Além desses menus, o Geogebra dispõe ainda de uma caixa de entrada,
localizada na parte inferior da tela do software, como nos mostra a figura 10.
Figura 12 – Caixa de Entrada do GeoGebra.
Fonte: Arquivo da professora.
Podemos entrar com equações, pontos, equações definidas por
intervalos, entre outras opções.
119
2
ATIVIDADES DE TRIGONOMETRIA UTILIZANDO OS RECURSOS
DO SOFTWARE GEOGEBRA
Descreveremos nessa seção, as atividades da nossa pesquisa, que foram
elaboradas e aplicadas numa escola pública da cidade do Natal RN.
2.1 SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO.
1ª Atividade42: Soma dos ângulos internos de um triângulo
Procedimentos:
a) Construa um triângulo de vértices A, B e C (selecione o botão polígono
e
clique na janela gráfica);
b) Determine a amplitude dos ângulos lados (clique no botão
e nos lados dos
triângulos);
c) Movimente um dos vértices do triângulo ABC, o que acontece com a soma dos
ângulos?
2.2 ALTURAS DE TRIÂNGULOS
2ª Atividade: Altura de Triângulos
Objetivos
 Familiarizar os alunos com o software GeoGebra;
 Perceber o segmento altura com mais significado;
42
Um exemplo da construção encontra-se em CDROM anexo a Dissertação.
120
 Desmistificando algumas ideias que parte dos alunos apresenta em relação à
altura de um triângulo percebendo como um segmento interno ao triângulo.
Procedimentos
a) Trace uma reta AB (clique no botão
e na janela gráfica);
b) Marque um ponto C fora da reta;
c) Trace uma reta paralela a reta AB passando por C (Clique no botão
na reta AB e no ponto C);
d) Marque um ponto D na reta b paralela a reta AB;
e) Trace uma reta perpendicular a reta AB passando por D (Clique no botão
, na reta AB e no ponto D);
f) Construa um triângulo ligando os pontos A, B, D e A.
g) Faça o vértice D do triângulo deslocar-se na reta paralela ao lado AB do
triângulo, o que você observa ao movimentar o vértice D? Justifique.
h) Determine a área do triângulo ABD ( Clique no botão
e no triângulo),
movimente o vértice D do triângulo na reta b. O que você observa?
Construção inicial, antes de movimentar o vértice D
121
Construção após arrastar o vértice D
Figura 13 - Traçando a altura de um triângulo com GeoGebra
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
2.3 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
3ª Atividade: Semelhança de Triângulos
Objetivos:
 Familiarização os alunos com o software GeoGebra;
 Investigar propriedades em triângulos semelhantes;
 Perceber que os triângulos retângulos não são sempre semelhantes.
 Construção de Triângulos Semelhantes.
Procedimentos
a) Construa um triângulo de vértices A, B e C (selecione o botão polígono
clique na janela gráfica);
e
122
b) Marque um ponto D no lado AB do triângulo;
c) Trace uma reta paralela ao lado BC (clique no botão
, no lado BC e no ponto
D);
d) Marque a intersecção entre a reta e o lado do triângulo ABC (clique no botão
e no lado e na reta );
e) Trace o novo triângulo ligando os pontos A, D, E, A (clique no botão
f) Determine o comprimento dos lados (clique no botão
);
e nos lados dos
triângulos) e a amplitude dos ângulos dos triângulos ABC e ADE ( clique no botão
);
g) Determine a razão entre os lados dos triângulos ABC e ADE (digite na caixa de
entrada a/b, por exemplo, aparecerá na janela algébrica o valor correspondente);
h) Movimente um dos vértices do triângulo ABC, o que acontece com a razão entre
lados?
i) Movimente o ponto D vértice do triângulo ADE, o que acontece com a razão entre
os lados?
j) que conclusões você chegou em relação aos triângulos ABC e ADE? Eles são
semelhantes? Justifique.
 Construção de triângulos retângulos semelhantes
a) Construa dois ou mais Triângulos retângulos semelhantes, em seguida determine a
amplitude dos ângulos e o comprimento dos lados. Movimente os vértices dos
Triângulos, eles permanecem semelhantes? Justifique.
123
Opção de construção ver figura 1443
Figura 14 – Construção de Triângulos semelhantes.
Fonte: Arquivo pessoal da professora pesquisadora.
b) Construa triângulos retângulos que não sejam semelhantes, determine o
comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos. Justifique suas construções,
por que os triângulos não são semelhantes? Movimente os vértices dos
triângulos, as características se mantêm?
c) Abra a Construção 344 do arquivo, em seguida arraste um dos vértices dos
triângulos. O que você observa? Agora arraste o ponto P pela tela. O que você
observou? Por que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas
investigações, anote suas conclusões.
43
O applet da figura 14 está no CD ROM anexo a dissertação.
44
Para mais detalhes ver a construção 3 que esta nos anexos no CD ROM.
124
2.4 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS.
4ª Atividade: Razões Trigonométricas nos triângulos retângulos.
Objetivos
 Familiarização os alunos com o software GeoGebra;
 Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
Procedimentos
a) Trace um segmento de reta AB (clique no botão
);
b)Trace uma reta b perpendicular ao segmento AB passando por A (clique no botão
e em seguida no segmento AB e no ponto A);
c) Marque um ponto C sobre a reta b, (clique no botão
e na reta);
d) Construa o triângulo (clique no botão polígono da barra de ferramentas
e em
seguida nos pontos A, B, C e A);
e) Determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos;
f) Encontre a razão entre os lados do triângulo, digite na caixa de entrada (distância [A,
C]/distância [B, C]) em seguida digite (distância [A, B]/distância [B, C]), aparecerá na
janela algébrica a razão entre os lados do triângulo.
6. Arraste o vértice B do triângulo, o que você observa em relação às razões? Justifique
suas conclusões.
125
 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
a) Abra a Construção (applet) 02 do arquivo, em seguida arraste um dos vértices dos
triângulos. O que você observa? Agora arraste o vértice A do triângulo e investigue o
que acontece com o ângulo α e com as razões trigonométricas. O que você observou?
Por que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações e anote as
conclusões.
b) Abra a Construção (applet) 03 do arquivo e em seguida arraste o vértice C do
triângulo. O que você observa em relação ao ângulo α e as razões trigonométricas? Por
que isto acontece? Discuta com seus colegas sobre suas investigações e anote as
conclusões.
c) Ainda com relação a construção(applet) do arquivo 03, selecione o botão exibir da
barra de ferramentas e clique em exibir protocolo de construção, a partir do protocolo de
construção elabore um applet das razões trigonométricas no triângulo retângulo.
2.5 CICLO TRIGONOMÉTRICO
5ª Atividade: Ciclo Trigonométrico
Objetivos:
 Familiarizar os alunos com o software GeoGebra;
 Investigar as propriedades, noções e conceitos das razões trigonométricas no
ciclo trigonométrico.
126
Procedimentos:
a). Construa uma circunferência com centro em A (0, 0) passando por B(0, 1), (Clique
em exibir eixo). Insira na caixa de entrada
e em seguida tecle enter, insira o ponto B = (1, 0).
b) Fixe os pontos A e B (clique em cima dos pontos com o botão direito do mouse
aparecerá a seguinte caixa de diálogo
,
selecione propriedades e fixar ponto
c) Selecione o botão
e clique nos pontos A e B;
d) Marque um ponto C na circunferência no primeiro quadrante, trace uma reta
perpendicular ao segmento AB passando por C;
e) Assinale a intersecção entre a reta r e o segmento AB (selecione o botão
e
clique no segmento AB e no ponto C);
e) Trace o triângulo ACD (clique no botão .
e nos pontos A, C, D e A);
f) Utilizando a ferramenta distância, determine a medida dos lados do triangulo ACD e
complete a tabela.
Medida de AD
Medida de DC
Medida de AC
DC/AC
127
g) Arraste o ponto C duas vezes e anote as medidas na tabela, você percebe alguma
propriedade? Discuta com seus colegas e anote as observações feitas.
 Ciclo Trigonométrico
a) Utilizando a figura construída anteriormente, esconda à reta r e determine a amplitude
do ângulo A.
b) Encontre a razão entre os lados do triângulo (escreva na caixa de entrada, por
exemplo, a/b, se a letra correspondente ao lado for a1 digite a_1, aparecerá na janela
algébrica o valor das razões).
c) Movimente o ponto C e investigue o que acontece com as razões entre os lados. O
que você observou? Discuta com os seus colegas e anote suas observações.
128
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C.. Explorando tópicos de matemática do
ensino fundamental e médio através do GeoGebra. Disponível em:
<http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/60.pdf>. Acesso em: 08 jun. 2009.
KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. 5. ed.
Campinas, SP.Papirus, 2009. 141 p.
HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J.. Ajuda GeoGebra: Manual Oficial
da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português António Ribeiro,. Disponível
em: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em: 12 jul. 2009 .
129
APÊNDICE B: Atividades desenvolvidas no minicurso: Potencialidades do
software Geogebra no ensino de trigonometria.
Atividade 1: Construção de um Quadrado
Construa um quadrado, em seguida meça os comprimentos dos lados e as amplitudes
dos ângulos. Movimente um de seus vértices, o que você observa? As características
do quadrado se mantêm?
Construção de um quadrado utilizando retas paralelas e perpendiculares
1. Esconda os eixos;
2. Defina um segmento AB;
3. Trace uma reta perpendicular ao segmento de reta que passe pelo ponta A;
4. Construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo ponto B;
5. Marque um dos pontos de intersecção da circunferência com a reta;
6. Trace uma reta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a AB que passe
por B;
7. Marque os pontos de intersecção das retas e defina os segmentos BC, CD e DA;
8. Esconda a circunferência e as retas auxiliares;
9. Meça os pontos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadrado;
10. Arraste um dos pontos azuis e verifique se as propriedades do quadrado se
mantêm. Anote suas observações.
Atividade 2: Soma dos ângulos internos de um triângulo
a) Construção do triângulo seguindo os passos abaixo:
1. Esconda o sistema de eixos
2. Defina um triângulo trançando três segmentos de retas;
3. Meça as amplitudes dos ângulos internos do triângulo (O GeoGebra atribui
automaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos);
130
4. Calcule a soma dos três ângulos;
5. Arraste os pontos, alterando o triângulo. Observe o que acontece com soma dos
ângulos internos do triângulo.
b) analisar a figura do arquivo (Triângulo )
1. Abra a figura 1 do arquivo;
2. Movimente o ponto verde;
3. Anote suas observações.
Atividade 3: Mediatriz de um segmento
1. Trace um segmento de reta AB;
2. Construa uma circunferência com centro em A passando por B;
3. Construa uma circunferência com centro em B passando por A;
4. Marque os pontos (C,D) de intersecção das circunferências;
5. Trace uma reta passando por C e D;
6. Marque um ponto P sobre a reta e em seguida trace os segmentos AP e BP;
7. Esconda as duas circunferências;
8. Determine o comprimento dos segmentos AP e BP;
9. Arraste o ponto P sobre a reta, o que você observa? Justifique sua resposta;
10. Marque o ponto M de interseção da reta com o segmento AB;
11. Determine o comprimento dos segmentos AM e MB;
131
12. Arraste o ponto P sobre a reta, o que você observa? Arraste os pontos A e B o que
acontece? Justifique sua resposta.
13. Com base nas suas observações elabore uma definição de Mediatriz de um
segmento.
Atividade 4: Semelhança de Triângulos
1. Construa um triângulo de vértices A, B e C. Marque um ponto D livre sobre o lado
BC, trace uma paralela ao lado AB;
2. Determine o comprimento dos lados e a amplitude dos ângulos;
3. Movimente a reta e os vértices do triângulo, o que você observa ao movimentar os
pontos livres?
4. Ao traçar a reta paralela ao lado AB, você obteve dois triângulos, com o auxílio da
calculadora calcule a razão entre seus lados. Como você justifica o que observou?
5. Considerando que os dois triângulos sejam semelhante. Com base nas observações
anteriores, como você definiria dois triângulos semelhantes?
Atividade 5: Semelhança de triângulos
a) Construa dois triângulos retângulos, verifique se eles são semelhantes, justifique
sua resposta.
Atividade 6: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
1. Trace um segmento de reta AB;
2. Trace uma reta perpendicular a AB passando por A;
3. Marque um ponto C sobre a reta r:
4. Trace os segmentos BC e AC e em seguida esconda a reta r;
5. Determine o comprimento dos lados do triângulo;
6. Calcule a razão entre os lados AC e BC e entre AB e BC?
7. Movimento o vértice B pela tela, o que você observa? Por que isto acontece?
8. Movimente o vértice C pela tela, o que você observa? Justifique
Atividade 7. Razões Trigonométricas nos Triângulos Retângulos
132
1. Abra a Construção 02, arraste um dos vértices do triângulo. O que você
observa? O que você exploraria com seus alunos com esta construção?
02. Com base na construção, monte uma figura semelhante. (sugestão: exibir o
protocolo de construção e seguir os comandos)
Atividade 8: Arco Central de Uma Circunferência
a) Construa uma circunferência com centro em A passando por B, marque um ponto C
na circunferência. Destaque com uma cor diferente o arco AB e m seguida determine
o seu comprimento. Movimente os pontos livres, o que você observa? Justifique
Atividades 9: Ângulo Central de uma circunferência
1. Construa uma circunferência com centro em O passando por B, trace uma reta
passando pelo centro O e passando por B, marque o ponto de intersecção entre a
reta e a circunferência;
2. Trace uma reta perpendicular a reta r passando por O, marque os pontos de
intersecção entre a reta e a circunferência;
133
3. Trace o segmento OB e OC em seguida calcule a amplitude do ângulo BÔC,
você consegue estabelecer uma relação entre o ângulo central e o arco BC?
Justifique sua resposta.
4. Marque um ponto F sobre a circunferência, trace as retas FC e BC, calcule a
amplitude do ângulo BFC. O que você observa em relação aos ângulos BÔC e
BFC? Movimente os pontos livres, o que acontece?
Atividade 10 : Ciclo Trigonométrico
1. Construa uma circunferência com centro A( 0, 0) passando por B;
2. Marque um ponto C na circunferência no primeiro quadrante, trace uma reta
perpendicular ao segmento AB passando por C;
3. Assinale a intersecção entre a reta r e o segmento AB;
4. Você observa alguma característica entre a reta r e o segmento AB?
5. Utilizando a ferramenta distância, determine a medida dos lados do triangulo BAC
e complete a tabela
Medida de AB
Medida de AC
Medida de BC
BC/AC
6. Altere o raio da circunferência 2 vezes e anote as medidas na tabela, você percebe
alguma propriedade? Discuta com seu colega e anote as observações feitas.
7. Movimente o ponto C o que você observa em relação a BC/AC?
Atividade 11: Ciclo trigonométrico
1. Abra a figura 3 do arquivo (Ciclo trigonométrico)
134
2. Movimente o ponto P, o que você observa em relação ao sinal do seno e do
cosseno? O que mais você acha que pode ser explorado com seus alunos a
partir desta construção?
Atividade 12: Abra a figura do arquivo (Gráfico da função sen)
1. Movimente o ponto P lentamente pela circunferência, como varia o seno no 1°,
2°, 3° e 4º quadrante, ou seja, quando x cresce o que acontece com o seno? E
quando x decresce?
2.
O que acontece quando P está em cima do eixo dos Y? E em cima do eixo dos
X?
3. Movimentando o ponto pela circunferência o que podemos concluir em relação
ao domínio e a imagem de f(x) = senx ?
Atividade 13: Abra a figura do arquivo (Gráfico da função Cosseno)
1. Movimente o ponto P lentamente pela circunferência, observe como varia o
cosseno no 1°, 2°, 3° e 4º quadrante.
2. O que acontece quando P está em cima do eixo dos Y? E em cima do eixo dos X?
3. Movimentando o ponto P pela circunferência o que podemos concluir em relação
ao domínio e a imagem de f(x) = cosx ?
Atividade 14: Abra a figura do arquivo (Gráfico da função Tangente)
135
1. Movimente o ponto P lentamente pela circunferência, como varia a tangente no
1°, 2°, 3° e 4º quadrante, ou seja, quando x cresce o que acontece com a
tangente? E quando x decresce?
2. O que acontece quando P está em cima do eixo dos Y? E em cima do eixo dos
X?
3. Movimentando o ponto pela circunferência o que podemos concluir em relação
ao domínio e a imagem de f(x) = tgx ?
Atividade 15: Construção dos gráficos.
1. Abra a caixa de ferramentas Exibir e ative o protocolo de construção do gráfico
da função f(x) = senx, em seguida construa o gráfico da função f(x) = senx.
2. Você teve dificuldades nesta construção? Seus alunos sentiriam dificuldades em
construir os gráficos das funções trigonométricas no Geogebra? Justifique sua
resposta.
Atividade 16: Elaboração de uma aula com o recurso do GeoGebra.
1. Em dupla ou trio, planeje uma aula de 50min para os seus alunos do Ensino
Fundamental ou Médio;
2.
Defina os Objetivos; o tema e o Conteúdo da aula;
3. Elabore as atividades (lembre-se que você tem 50 min de aulas, veja quantas
atividades serão desenvolvidas).
4. Avaliação (Como você avaliaria seus alunos neste tipo de atividade)
5.
Esta atividade será apresentada para os demais colegas na sexta dia 31/07.
Obs: Será uma apresentação rápida de 10min
136
APÊNDICE C: Roteiro da entrevista com os alunos (Professores em formação),
que participaram do minicurso: Potencialidades do software Geogebra no ensino
de trigonometria.
1. Vocês compreenderam todas as partes do minicurso, ou seja, todas as atividades
propostas?
2. Quais as maiores dificuldades na compreensão (roteiro das atividades), na
abordagem, na metodologia empregada, outras?
3. Existe a possibilidade de vocês utilizarem parte desse minicurso na escola
questão desenvolvendo as atividades? Justifique.
4. Em sua opinião, os recursos do software Geogebra facilita ou dificulta a
compreensão das razões trigonométricas no triângulo retângulo e das funções
trigonométricas? Argumente.
5. Qual atividade que você mais gostou de realizar com o recurso do Geogebra e a
que menos gostou? Justifique
6. Que conceitos de Geometria Plana é importante que os alunos tenham construído,
para compreenderem melhor os conceitos de trigonometria?
7. Quando o computador é usado em sala de aula, os alunos podem acabar se
distraindo com outras atividades que o micro possibilita, como joguinhos, ouvir
músicas, entrar no msn, orkut, entre outros. Você acha que o uso do computador
nas aulas ajuda ou atrapalha? Justifique
8. Quando vocês fizeram o ensino médio, estudaram o conteúdo de trigonometria?
Se sim em que série?
137
APÊNDICE D: Questionário
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO E CULTURA DO ESTADO DO RIO
GRANDE DO NORTE
ESCOLA ESTADUAL POETA CASTRO ALVES
DISCIPLINA: MATEMÁTICA – 2010
QUESTIONÁRIO
IDENTIFICAÇÃO
Aluno(a) ________________________________________ Turma _____________
1. Data de nascimento ___/___/_______ 2. Sexo ( ) feminino ( ) Masculino
2. Onde mora: ( ) no bairro ( ) em outro bairro. Qual? ____________________
USO DOS RECURSOS DA INFORMÁTICA
1. Já utilizou a internet para realizar trabalhos da escola?
2. Sabe realizar busca na internet, copiar figuras da internet e inserir em seus
trabalhos?
3. Sabe salvar um documento numa pasta do computador?
4. Já comprou alguma coisa pela internet?
( ) sim
não ( )
5. Possui algum e-mail? Em caso afirmativo, quantos e-mails em média você
envia por dia?
6. Possui msn, Orkut, skipe, Facebook, blog?
7. Gosta de usar o computador? Se gostar, para fazer que tipo de atividade, jogar,
pesquisar conversar com amigos, outros?
138
8. Onde usa computadores?
(
) casa
(
) trabalho
( )escola
(
) Lan house
9. Você conhece algum software educacional? Qual?
10. Você já freqüentou algum curso de informática fora da escola?
Assinale a alternativa que indica a intensidade do que você sabe sobre cada um
dos programas abaixo:
Programas
Muitos
Pouco
Nunca
Windows
Word
Excel
PowerPoint
Internet
msn
Orkut
e-mail
GeoGebra
Skipe
11. Você acha importante o uso do computador na escola? Com que finalidade?