UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
DARIO VIEIRA DE OLIVEIRA FILHO
CONCEPÇÕES DE PROFESSORES DA REDE PÚBLICA ESTADUAL
DE SÃO PAULO ACERCA DO ENSINO DAS FRAÇÕES NO ENSINO
FUNDAMENTAL
SÃO PAULO
2011
DARIO VIEIRA DE OLIVEIRA FILHO
CONCEPÇÕES DE PROFESSORES DA REDE PÚBLICA ESTADUAL
DE SÃO PAULO ACERCA DO ENSINO DAS FRAÇÕES NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada como exigência
parcial à Banca Examinadora da
Universidade Bandeirante de São Paulo –
Uniban, para obtenção do título de Mestre
em Educação Matemática, sob orientação
da Professora Dra. Angélica da Fontoura
Garcia Silva.
SÃO PAULO
2011
Banca Examinadora:
__________________________________________________
Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
(Presidente-Orientador)
__________________________________________________
Prof. Dr. Alécio Damico
(1.º titular externo – Fundação Santo André)
__________________________________________________
Profa. Aparecida Rodrigues Silva Duarte
(1.º titular interno – Uniban)
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _____________________________________
Local e Data: ___________________________________
Dedico este trabalho à minha querida mamãe ISOLINA
MORAES VIEIRA
DE
DE
OLIVEIRA, que tanto me incentivou e tem me
apoiado neste e em todos os meus projetos de vida e ao meu
papai DARIO VIEIRA DE OLIVEIRA, que já não está entre nós, mas
que em momento algum sai do meu coração, por tanto apoio e
carinho que teve para comigo.
Dedico também aos meus queridos filhos Everton e Priscila
pelo apoio, as minhas irmãs DALETE e ELIANE pelo o incentivo e
aos meus sobrinhos VANESSA e MATHEUS pelo carinho.
Agradeço a DEUS por ter me abençoado, aos meus familiares,
amigos e professores pelo incentivo.
Agradeço em especial a minha orientadora, Professora DRA.
ANGÉLICA
DA
FONTOURA GARCIA SILVA, que se mostrou sempre
presente e disposta a me ajudar no que fosse necessário para
a realização deste trabalho.
Agradeço também a Professora. DRA. TÂNIA M M CAMPOS
Presidente do Conselho de Pós-Graduação e Pesquisa, da
Universidade Bandeirante de São Paulo e aos Professores
participantes da banca examinadora Professor DR. ALÉCIO
DAMICO e Professora APARECIDA RODRIGUES SILVA DUARTE, pela
oportunidade de crescimento pessoal profissional.
Não fortalecerás a dignidade e o ânimo se
subtraíres ao homem a iniciativa e a
liberdade.
ABRAHAM LINCOLN
RESUMO
Este estudo tem como objetivo analisar as concepções de professores de
matemática que lecionam no sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental e
integram o Projeto Observatório da Educação, sobre o ensino dos números racionais
na representação fracionária. Para a coleta de dados, foram feitas entrevistas com
seis professores participantes do Projeto, considerando as orientações contidas no
material de apoio do currículo da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo.
Teoricamente, esta pesquisa fundamenta-se em estudos realizados por Schön
(1983) sobre a reflexão de professores acerca de suas práticas e nas discussões a
respeito do conhecimento profissional docente de Shulman (1986), Tardif (2000) e
Ponte (1992). Esta investigação apoia-se, ainda, em estudos que discutem questões
relacionadas ao ensino e a aprendizagem dos números racionais na representação
fracionária, como a classificação proposta por Nunes (2003) e na Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud (1990). A análise dos dados permitiu verificar que
os professores introduzem o tema fundamentalmente por meio do significado partetodo. Além disso, foi possível observar, por exemplo, que esses docentes utilizam
representações gráficas para introduzir a noção de equivalência de frações e
justificar, assim, a adição e subtração. Por outro lado, esses professores não
apresentam explicações para o trabalho com a multiplicação e divisão de frações,
preferindo introduzir essas operações apenas por intermédio dos algoritmos.
Palavras-chave: Educação Matemática; Concepções; Currículos de Matemática;
Ensino e Aprendizagem de Frações; Observatório da Educação.
ABSTRACT
This study has as objective, analyze the conceptions of mathematics teachers of
public schools in São Paulo, who teach in the sixth and seventh year of elementary
school and part of the Monitoring Project Education, about the instruction of rational
numbers on fractional representation. For data collection, interviews were conducted
with six teachers participating on the project, considering the guidelines on the
support material of curriculum of Department of Education of Sao Paulo State.
Theoretically this research is based on studies realized by Schön (1983) about the
reflection of teachers and their practices and discussions about teacher professional
knowledge of Shulman (1986), Tardif (2000), Bridge (1992). This investigation still
relies in studies which discuses questions related to the teaching and the learning of
rational numbers on fractional representation, how is the classified proposed by
Nunes (2003), based on Kieren’s (1988) ideas and on the Theory of Conceptual
Fields of Vergnaud (1990). The data analyze allowed verify that teachers introduce
the theme, fundamentally by the part-all meaning. Moreover, was possible to see, for
example, that those teachers use the graphic representation to introduce the fraction
equivalence idea and justify the addition and subtraction. On the other hand, those
teachers don’t present explanation to work with multiplication and division on fraction,
preferring introduce those operations just for algorithms ways.
Keywords: Mathematics Education; Concepts; Curriculum; Teaching and Learning
of fractions; Observatory of Education.
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CAPES
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
CENP
Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas
CA
Cadernos do Aluno
CP
Cadernos do Professor
INEP
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
LDBEN
Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
MEC
Ministério da Educação e do Desporto
M.M.C.
Mínimo Múltiplo Comum
MMM
Movimento da Matemática Moderna
PCN
Parâmetros Curriculares Nacionais
PUC-SP
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
SA
Situação de Aprendizagem
SARESP
Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo
SECAD
Secretaria da Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade
SEE/SP
Secretaria de Estado da Educação de São Paulo
UNESP
Universidade Estadual Paulista ―Júlio de Mesquita Filho‖
UNIBAN
Universidade Bandeirante de São Paulo
UNICAMP Universidade de Campinas
USP
Universidade de São Paulo
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
FIGURA 1
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
91
FIGURA 2
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
92
FIGURA 3
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
93
FIGURA 4
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
93
FIGURA 5
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
94
FIGURA 6
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) .......
94
FIGURA 7
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3,
Atividade 1) ..................................................................................
FIGURA 8
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3,
Atividade 1) ..................................................................................
FIGURA 9
95
96
– Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3,
Atividade 2) ..................................................................................
97
FIGURA 10 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-4) .......
99
FIGURA 11 – Correspondência entre as quatro primeiras casas decimais
e as frações decimais .................................................................. 106
FIGURA 12 – Representação das figuras em linguagem mista e forma
decimal ........................................................................................ 107
FIGURA 13 – Relação de equivalência entre submúltiplos da unidade ............ 108
FIGURA 14 – Relações de equivalência entre alguns submúltiplos da unidade 108
FIGURA 15 – Geoplano ..................................................................................... 114
FIGURA 16 – Geoplano ..................................................................................... 114
FIGURA 17 – Geoplano ..................................................................................... 115
FIGURA 18 – Geoplano ..................................................................................... 116
FIGURA 19 – Geoplano ..................................................................................... 117
FIGURA 20 – Geoplano ..................................................................................... 118
FIGURA 21 – Multiplicação de frações (orientações) ........................................ 128
FIGURA 22 – Multiplicação de frações (orientações) ........................................ 129
QUADRO 1 – Saberes Docente .........................................................................
38
QUADRO 2 – Conteúdos de Matemática por série e bimestre: Ensino
Fundamental (Ciclo II) .................................................................
81
QUADRO 3 – Estratégias práticas ..................................................................... 109
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
15
1.1 ANTECEDENTES E MOTIVAÇÕES
16
1.2 CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA
17
1.3 OBJETIVOS
20
2 PERCURSOS DA INVESTIGAÇÃO: PROCEDIMENTOS TEÓRICOS
2.1 ETAPAS DA INVESTIGAÇÃO
22
22
2.1.1 Quanto à natureza da pesquisa
24
2.1.2 Observatório da Educação: uma descrição
25
2.1.3 Processo de formação: números racionais
26
2.1.4 Nosso Protocolo de pesquisa
29
2.1.5 Caracterização dos sujeitos de pesquisa
30
3 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
3.1 QUANTO À FORMAÇÃO DE PROFESSORES
32
32
3.1.1 Schön (1987): ―Formar professores como profissionais reflexivos‖
32
3.1.2 Shulman (1986): ―Those Who Understand: Knowlwdgw Growth in
Teaching‖
35
3.1.3 Tardif (2000): ―Saberes, tempo e aprendizagem do trabalho no
magistério‖
37
3.1.4 Ponte (1992, 1994): Concepções dos professores de Matemática
40
3.2 SOBRE A RELAÇÃO FORMAÇÃO DE PROFESSORES E OS
PROCESSOS DE INOVAÇÕES CURRICULARES
41
3.2.1 Pietropaolo (2002): ―Parâmetros Curriculares de Matemática para
o Ensino Fundamental‖
41
3.3 QUANTO AO OBJETO MATEMÁTICO: NÚMEROS RACIONAIS NA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
41
3.3.1 Caraça (1951): ―Conceitos Fundamentais da Matemática‖
42
3.3.2 Vergnaud (1991, 2010): Sobre a Teoria dos Campos Conceituais
43
4 REVISÃO DA LITERATURA
47
4.1 ESTUDOS RELACIONADOS AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS COM
FOCO NO PROFESSOR
47
4.1.1 Silva (1997): ―Sobre a introdução do conceito de números
fracionários
47
4.1.2 Santos (2005): ―O conceito de fração em seus diferentes
significados: um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no
ensino fundamental‖
49
4.1.3 Silva (2005): ―Investigando saberes de professores do ensino
fundamental com enfoque em números fracionários para a quinta série‖
51
4.1.4 Canova (2006): ―Crença, concepção e competência dos professores
do 1.º e 2.º ciclos do ensino fundamental com relação à fração‖
53
4.1.5 Garcia Silva (2007): ―O desafio do desenvolvimento profissional
docente: análise da formação continuada de um grupo de professores das
séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o
processo de ensino e aprendizagem das frações‖
55
4.1.6 Damico (2007): ―Uma investigação sobre a formação inicial de
professores de matemática para o ensino de números racionais no ensino
fundamental‖
56
4.2 ESTUDOS RELACIONADOS AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS COM
FOCO NO ALUNO
58
4.2.1 Bezerra (2001): ―Introdução do conceito de número fracionário e de
suas representações: uma abordagem criativa para a sala de aula‖
58
4.2.2 Merlini (2005): ―O conceito de fração em seus diferentes
significados: um estudo diagnóstico com alunos de 5.ª e 6.ª séries
do
Ensino Fundamental‖
59
4.2.3 Montinho (2005): ―Fração e seus diferentes significados: um estudo
com alunos das 4.ª e 8.ª séries do ensino fundamental‖
61
5 OS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA E OS NÚMEROS RACIONAIS NA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
63
5.1 PROPOSTAS CURRICULARES DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA O
ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL: DÉCADAS DE 80
E 90
63
5.1.1 Proposta Curricular de Matemática: representação de um número
racional absoluto sob a forma fracionária e sob a forma decimal
67
5.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
70
5.2.1 Os números racionais nos Parâmetros Curriculares Nacionais:
primeiro e segundo ciclos do Ensino Fundamental
71
5.2.2 Os números racionais nos Parâmetros Curriculares Nacionais:
terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental
73
5.3 CURRÍCULO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO (2008)
76
5.3.1 Concepção do ensino na área de matemática e suas tecnologias
78
5.3.2 O currículo de matemática para o ensino fundamental (Ciclo II)
80
6 CONCEITO DE FRAÇÕES: AS ORIENTAÇÕES CONTIDAS
CADERNOS DO PROFESSOR (SÃO PAULO, 2008-2010)
NOS
6.1 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 1
6.1.1 Situação de Aprendizagem 3: Na medida certa: dos números
naturais às frações
87
87
89
6.1.2 Situação de Aprendizagem 4: Equivalência e operações com
frações
98
6.2 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 2
103
6.3 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 3
112
6.3.1 Situação de Aprendizagem 3: Geometria e Frações com
Geoplano ou Malha Quadriculada
113
6.4 O CADERNO DO PROFESSOR, 6.ª SÉRIE/7.º ANO: VOLUME 1
7 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
7.1 O TEMA FRAÇÃO E A FORMAÇÃO DOCENTE
121
133
133
7.1.1 Reflexões do professor sobre o ensino e a aprendizagem
da fração na escola básica: lembranças da formação docente
134
7.1.2 Reflexões do professor sobre sua formação inicial e os
processos de ensino e aprendizagem da fração
136
7.2 O TEMA FRAÇÃO E A PRÁTICA DOCENTE
137
7.2.1 Reflexões do professor sobre o ensino e a aprendizagem
da fração na escola básica: lembranças da sua prática
pedagógica antes da mudança curricular
137
7.2.2 Reflexões sobre a prática pedagógica em um cenário de
mudança curricular
139
7.2.3 Reflexões do professor sobre o ensino e aprendizagem da
fração: dificuldades
142
7.2.4 Reflexões do professor sobre a abordagem das frações
nos materiais de apoio
144
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
147
REFERÊNCIAS
151
ANEXOS
ANEXO A – Conteúdos de Matemática por série e bimestre: Ensino
Fundamental (Ciclo II)
ANEXO B – Entrevistas
i
vi
15
1 INTRODUÇÃO
O objetivo maior deste estudo é analisar as concepções que professores de
matemática da Rede Pública Estadual de São Paulo, que lecionam no sexto e
sétimo anos do Ensino Fundamental1 e integram o Projeto Observatório da
Educação, têm sobre o ensino dos números racionais na representação fracionária
no currículo do Estado de São Paulo, contida no Caderno do Professor.
O Projeto Observatório da Educação tem a finalidade de promover e analisar
o desenvolvimento profissional docente de professores de matemática, quando
estes estão inseridos em processos de implementação de inovações curriculares. A
Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban) participa dessa proposta de
investigação por meio do projeto denominado ―Educação Continuada de Professores
de Matemática do Ensino Fundamental e Médio: Constituição de um Núcleo de
Estudo e Investigação de Processos Formativos‖, o qual conta com financiamento
da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas (Inep) e Secretaria da Educação Continuada,
Alfabetização e Diversidade (Secad).
Nossos sujeitos participaram de um processo de formação continuada, cujo
foco foi a discussão sobre as inovações curriculares propostas pela Secretaria de
Estado da Educação de São Paulo (SEE/SP) desde 2008. Tal inovação curricular
pressupõe diversas ações e a utilização de materiais de apoio. Dentre eles
destaquem-se os documentos-base, ―Cadernos do Professor‖ e ―Cadernos do
Aluno‖, distribuídos para todos os professores e alunos da rede paulista.
Nos Cadernos do Professor de Matemática (CP), como materiais de apoio às
atividades docentes, encontram-se propostas de atividades para todas as aulas e
anos, além de indicação de materiais complementares para estudo, sugestões de
avaliação e projetos de recuperação paralela. Nos Cadernos do Aluno de
1
A Lei Federal n.º 11.274, de 6 de fevereiro de 2006, alterou a Lei de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional (LDBEN n.º 9.394/1996), ampliando o Ensino Fundamental para nove anos de duração, e
assim, o Ciclo II (séries/anos finais) corresponde às turmas do 6.º ao 9.º anos. Em nosso trabalho,
quando nos referirmos ao 6.º e 7.º anos será o mesmo que 5.ª e 6.ª séries.
16
Matemática (CA), por seu turno, estão presentes sugestões de atividades para a
sala de aula e ―lições de casa‖, apresentando as atividades discutidas no CP e
complementando com outras. Segundo seus elaboradores,2 a finalidade do CA é
facilitar o processo de ensino e aprendizagem. Ambos os cadernos estão
organizados por bimestre (ou volume) e disciplina.
Nesta pesquisa, fizemos uma análise desses documentos e entrevistamos
professores participantes do projeto. As entrevistas que realizamos, cujo foco recaiu
sobre as propostas contidas no Caderno do professor SEE/SP destinado ao sexto e
sétimo anos do Ensino Fundamental, se mostram, a nosso ver, como referências
privilegiadas para reflexão e análise de concepções de professores integrantes do
Projeto Observatório da Educação, no que diz respeito ao ensino dos números
racionais nesse nível de ensino.
Para justificar essa preocupação, descrevemos inicialmente a vivência
profissional do autor da dissertação, para, em seguida, justificar a relevância do
tema.
A opção por escrevermos este capítulo na primeira pessoa do singular se
deve ao fato de apresentarmos aqui experiências próprias do investigador. Os
demais capítulos foram redigidos na terceira pessoa do plural, pois entendemos que
esta dissertação contou com contribuições da banca, de professores, de colegas e,
especialmente, da orientadora desta investigação.
1.1 ANTECEDENTES E MOTIVAÇÕES
Ingressei no magistério em 1997 e nesse mesmo ano comecei a ministrar
aulas de matemática em uma escola estadual na cidade de Osasco. Em 2001, fui
admitido para o cargo de docente em um colégio particular na mesma cidade.
2
São autores dos Cadernos do Professor e dos Cadernos do Aluno: Nilson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Granja, José Luiz Pastore Mello, Walter Spinelli, Rogério Ferreira da Fonseca e
Ruy César Pietropaolo.
17
Nesses 13 anos em que venho trabalhando como professor do Ensino
Fundamental e Médio, tenho vivenciado diversas experiências. No entanto, observo
ainda dificuldades entre os professores relacionadas às diversas questões
envolvendo o ensino e a aprendizagem da matemática e, em específico, dos
números racionais.
Notei ainda que muitos alunos que chegam à quinta série/sexto ano do
Ensino Fundamental encontram muitas dificuldades em compreender o tema, e isso
pode ter relação com a forma com que esses alunos, nos anos anteriores,
vivenciaram as atividades introdutórias aos números racionais na representação
fracionária.
Atuo em uma escola que possui três professores que ministram aulas para
alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental com diferentes turmas de quarta
série/quinto ano e que não trabalham da mesma forma. Um desses docentes,
procura conduzir as aulas de maneira experimental e contextualizada, usando
materiais manipuláveis como jogos e outros, e sempre que possível descreve na
linguagem materna os números racionais e os procedimentos de cálculo, e depois
passa para a representação fracionária. Outra prática desse professor é sempre
pedir que os alunos descrevam a solução encontrada na resolução dos exercícios.
Em contrapartida, os outros professores trabalham de maneira tradicional,
apresentando os números racionais já na forma fracionária, incentivando mais a
manipulação das propriedades operacionais. Esta observação empírica permitiu-me
inferir que os alunos que chegam à quarta série/quinto ano do Ensino Fundamental,
e que estudaram com o primeiro professor citado, têm um melhor rendimento e
obtêm melhores resultados nas avaliações externas (Saresp)3 e internas, e
compreendem mais rapidamente os significados dos números racionais.
1.2 CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA
Concomitantemente, como professor da rede pública estadual, desde o ano
3
SARESP  Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.
18
de 2008, vivencio um cenário de implementação de currículo na Secretaria de
Estado da Educação de São Paulo. Essa inovação curricular tem por objetivo:
[...] organizar melhor o sistema educacional de São Paulo. [...] contribuir
para a melhoria da qualidade das aprendizagens de seus alunos. [...]
garantir uma base comum de conhecimentos e competências para que [as]
escolas funcionem de fato como uma rede (SÃO PAULO, 2008, p 5-8).
O mesmo documento salienta ainda a necessidade de oferecer subsídios aos
profissionais que compõem a Rede Estadual de Ensino, além de concretizar
orientações federais contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Prevê
também diversas ações, dentre as quais a distribuição de cadernos para
Professores (CP) e para Alunos (CA).
Nesse cenário, no ano de 2009, ingressei no curso de Mestrado Acadêmico
em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban), na
linha de pesquisa Formação de Professores que Ensinam Matemática. Este grupo
está desenvolvendo um projeto de pesquisa cujo título é Educação Continuada de
Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio: Constituição de um
núcleo de estudos e investigações de processos formativos, que apresenta uma
proposta de constituição de um grupo colaborativo de formação e de pesquisa, cuja
finalidade é promover e analisar o desenvolvimento profissional de professores de
matemática, na implementação das novas propostas curriculares.
Assim sendo, esta investigação foi realizada no âmbito do Projeto
Observatório da Educação, posto que ele prevê ações de formação continuada de
professores em uma ação colaborativa favorecendo minha observação do processo.
Para tanto, escolhi entrevistar este grupo de docentes, depois da intervenção
citada, porque fui observador desta formação e, analisando o ocorrido, considerei a
possibilidade de verificar também se as discussões e reflexões ocorridas durante a
formação continuada favoreceram o desenvolvimento Conhecimento Profissional
Docente sobre a introdução de fração.
Vale salientar que em tais ações não foram discutidos temas que envolviam
19
especificamente a introdução de frações, foco do meu estudo, mas sim o conceito
de irracionalidade.
Reitero que, apesar de o foco da formação ocorrida no âmbito do
Observatório não ser específico sobre a minha temática, é fato que sua idealizadora,
a Professora Olga Corbo (2009),4 pretendia discutir também propriedades dos
racionais, na medida em que sua proposta foi favorecer a discussão acerca da
ampliação do conceito de número. Vale ressaltar que o desenvolvimento da
formação exigiu a re-elaboração de noções relativas aos números racionais, uma
vez que, segundo a autora, a formação propiciaria a compreensão do conjunto dos
Números Reais, Números Racionais e Irracionais.
Relato isso no sentido de evidenciar meu interesse em pesquisar o professor
do Ensino Fundamental e sua formação matemática, no que se refere ao tema
números racionais no cenário da implementação do currículo, e no âmbito do Projeto
Observatório da Educação, em específico, por acreditar que esta foi uma
oportunidade de formação docente que procurou refletir sobre a construção dos
conjuntos numéricos.
Nesse contexto, no cenário de implementação do currículo e em um processo
de formação e reflexão sobre a prática, emergiu a seguinte questão de pesquisa:
Como professores de matemática, participantes do Projeto Observatório da
Educação, que lecionam no sexto ano do Ensino Fundamental, analisam o
conceito de frações apresentado no Caderno do Professor?
Para responder tal questão, é necessário responder ainda outras, não menos
importantes, como: Quais são as inovações propostas nos recentes currículos de
matemática prescritos no Estado de São Paulo para os processos de ensino e de
aprendizagem no que concerne aos conceitos relacionados aos números racionais
na representação fracionária no sexto ano do Ensino Fundamental? Há consensos
com as propostas anteriores?
4
A pesquisadora Olga Corbo, em seu estudo para doutoramento, também no âmbito do Observatório,
teve como finalidade oferecer aos docentes participantes do grupo oportunidade de refletir sobre o
conceito de Irracionalidade.
20
Ainda, no cenário de implementação do currículo do Estado de São Paulo,
como os professores de matemática que participam do Observatório da Educação
analisam a proposta para introdução de frações contidas no Caderno do Professor?
1.3 OBJETIVOS
Ao responder tais questionamentos, pretendemos atingir os seguintes
objetivos:
▪ Analisar as concepções que os professores de matemática, que lecionam no
sexto e sétimo anos do Ensino Fundamental e participam do Projeto Observatório da
Educação, têm sobre as indicações apresentadas no Caderno do Professor sobre o
ensino de frações no currículo do Estado de São Paulo.
▪ Verificar quais são as inovações propostas pelos atuais currículos prescritos
de matemática no Estado de São Paulo para o processo de ensino e de
aprendizagem de conceitos concernentes aos números racionais na representação
fracionária no 6.º e 7.º ano.
▪ Verificar o que as pesquisas propõem para o desenvolvimento do conceito
de fração.
Para alcançar esses objetivos organizamos o estudo em oito seções, a saber:
▪ Na primeira seção, anunciamos nosso problema de pesquisa e justificamos
do ponto de vista pessoal. Apresentamos ainda a configuração do estudo proposto e
seus objetivos.
▪ A segunda é destinada à descrição dos procedimentos metodológicos.
Inicialmente expomos cada uma das etapas que constituíram a fase da coleta de
dados, do ambiente em que o estudo foi desenvolvido  o Projeto Observatório da
Educação , além da descrição do protocolo de entrevista e do perfil dos professores
investigados.
▪ Na terceira seção, sob o título ―Considerações Teóricas‖, anunciamos os
estudos que fundamentaram nossa análise dos dados. Apresentamos pesquisas que
discutem tanto a questão do objeto matemático fração como as que versam sobre a
questão da formação docente.
21
▪ Na seção quatro, indicamos algumas pesquisas que discutiram a temática
envolvida no nosso estudo (os números racionais na representação fracionária) e
procuramos com isso ampliar nossa justificativa.
▪ A quinta seção é dedicada ao Currículo, em especial ao de matemática, no
que se refere às propostas envolvendo a temática fração, anteriores a 2008.
▪ Na seção seis, apresentamos informações concernentes às orientações
oficiais sobre a representação fracionária dos números racionais indicadas no
currículo oficial do Estado de São Paulo a partir de 2008, para 5.ª série/6.º ano do
Ensino Fundamental.
▪ Na sétima seção apresentamos os dados obtidos e, a partir deles,
efetuamos nossas análises.
▪ Na seção oito, procuramos responder nossa questão de pesquisa. Para
tanto, retomamos brevemente o percurso do trabalho, assim como as análises feitas
e suas relações com outras pesquisas.
22
2 PERCURSOS
DA
INVESTIGAÇÃO:
PROCEDIMENTOS
TEÓRICOS
Este capítulo será destinado à descrição dos procedimentos metodológicos.
Iniciamos por meio da apresentação de cada uma das etapas que constituíram a
fase da coleta de dados, do ambiente em que o estudo foi desenvolvido  do Projeto
Observatório da Educação , além da descrição do protocolo de entrevista e do perfil
dos professores investigados.
2.1 ETAPAS DA INVESTIGAÇÃO
Nesta subseção apresentamos a exposição de cada uma das etapas que
constituíram a fase da coleta de dados, explicitando nossas intenções e as razões
de nossas escolhas, expondo os encaminhamentos construídos, para permitir o
estudo necessário às finalidades desta pesquisa.
Vale salientar que a base metodológica utilizada foi a de uma pesquisa
qualitativa e documental, uma vez que discutimos os últimos currículos relacionados
ao estudo das frações. Fizemos uso também da pesquisa bibliográfica, quando
descrevemos alguns estudos que tratam do tema, tanto das questões do ensino e
aprendizagem das frações (no Ensino Fundamental) como no processo de
mudanças em um contexto de inovações curriculares. A inter-relação entre os dados
obtidos na análise de pesquisas e documentos oficiais e das entrevistas
semiestruturadas com professores participantes do Observatório possibilitou-nos
comparar tudo aquilo que emergiu da pesquisa com outras investigações e
experiências, originando outras descobertas.
Nosso estudo teve como ponto de partida a análise de pesquisas sobre fração
e sua influência nos currículos, em especial no currículo do Estado de São Paulo.
Optamos por essa análise pois nossos sujeitos de pesquisa estão imersos em um
cenário de implementação curricular.
Os professores desta rede de ensino, desde 2008, estão inseridos em um
23
processo de mudança curricular proposto pela SEE/SP para todas as escolas da
rede nos níveis de Ensino Fundamental (Ciclo II) e Médio, cujo objetivo é apoiar o
trabalho nas escolas e contribuir para melhoria da qualidade da aprendizagem dos
alunos.
Quanto aos documentos, procuramos analisar as orientações curriculares
acerca da representação fracionária dos números racionais tanto no âmbito estadual
como no federal. Na esfera estadual: as Propostas Curriculares dos anos 80 e 90,
assim como o Currículo de 2008; e na esfera federal analisamos os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) de 1997 e 1998.
Após essa primeira fase, com a finalidade de delimitar nosso universo de
pesquisa, procuramos professores dentre os participantes do Observatório da
Educação da Uniban. Tal escolha foi feita porque nesse grupo encontravam-se
professores em ―condições ideais‖, uma vez que estes profissionais estavam
imersos na implementação do Currículo do Estado de São Paulo e participavam de
um processo de formação continuada.
Para realizar tal seleção, procuramos docentes participantes do projeto
supracitado e que lecionaram para os 6.º e 7.º anos desde 2008, pois, segundo
nossos estudos, são para esses segmentos que as orientações curriculares
propõem a introdução do conceito de fração.
Escolhemos um grupo de seis professores que atuam no Ensino Fundamental
e Ensino Médio da Rede Pública Estadual de São Paulo e participam do Projeto de
Pesquisa e Formação do curso de Pós Graduação da Universidade Bandeirante de
São Paulo, intitulado ―Educação Continuada de Professores de Matemática do
Ensino Fundamental e Médio: Constituição de um Núcleo de Estudo e Investigações
de Processos Formativos‖. Os professores têm entre 26 e 60 anos de idade e atuam
como docentes em média há 17 anos. Todos com formação plena em Matemática,
somente um deles com curso de pós-graduação. Desse grupo de professores,
quatro lecionaram frações antes e depois do novo currículo de 2008, e dois deles
somente após a implementação dessa nova proposta.
24
Escolhemos realizar entrevistas semiestruturadas no próprio local de trabalho
dos participantes, pois entendemos, assim como Bogdan e Biklen (1994), que,
depois de incentivar nosso sujeito de pesquisa, o docente, a falar sobre a relação
entre a temática discutida neste estudo e a formação do docente, poderíamos
aprofundar a discussão, ―retomando os tópicos e os temas que o respondente
iniciou‖ (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 135).
A coleta de dados para responder à questão de pesquisa foi feita por meio de
um protocolo de entrevistas semiestruturadas, que apresentamos no final do
capítulo. Inicialmente, a ideia foi conhecer a formação profissional docente. Em
seguida, procuramos questionar a relação do professor com a Matemática (em
especial, com o tema fração) durante sua formação: na educação básica, na sua
primeira formação profissional (licenciatura) e em cursos de formação continuada.
Procuramos ainda discutir sobre sua prática antes e depois da implementação do
currículo, com a finalidade de verificar as concepções dos profissionais investigados
sobre o desenvolvimento do trabalho com as frações.
Essas entrevistas foram gravadas, transcritas (ver Anexo B, p. iv) para
posterior análise à luz dos teóricos, que apresentaremos no quarto capítulo. Para
tanto, procuramos selecionar os depoimentos dados durante as entrevistas, bem
como procurar similaridades e diferenças, que nos fornecessem subsídios para
análise.
2.1.1 Quanto à natureza da pesquisa
Trata-se também de uma investigação de natureza qualitativa, pois considera
as características apontadas por Bogdan e Biklen (1994):
1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal;
2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita assume
particular importância na abordagem qualitativa, tanto para o registro dos
dados como para a disseminação dos resultados;
3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se
no modo como as definições (as definições que o professores têm dos
alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se
formam;
25
4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma
indutiva;
5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os
investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que
lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do
informador (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 47-50).
Portanto, torna-se relevante descrever o ambiente em que ocorre a formação,
assim como a formação que ocorreu até os primeiros meses do ano de 2011,
envolvendo a temática Números Racionais na qual se discutiram questões
relacionadas às características dos números racionais.
2.1.2 Observatório da Educação: uma descrição
O Projeto Observatório da Educação é desenvolvido pela linha de pesquisa
Formação de Professores do Programa de Pós-Graduação da Uniban de São Paulo,
que promove reuniões quinzenais, entre pesquisadores em Educação Matemática e
professores de matemática, nas dependências da própria universidade. Ele prevê
uma educação continuada de professores de matemática do Ensino Fundamental e
médio e a constituição de um núcleo de estudos e investigações de processos
formativos.
A finalidade do projeto é constituir um grupo colaborativo para análise e
desenvolvimento profissional docente daqueles professores que estão inseridos na
implementação do Currículo do Estado de São Paulo para educação básica (Ensino
Fundamental – ciclo II e Ensino Médio), no ensino e aprendizagem da matemática, o
qual vem sendo implementado desde o ano de 2008.
A justificativa para o desenvolvimento da proposta contida no Projeto
Observatório é composta pelos itens: Complementar a deficiência da
formação inicial; Atender demandas recentes da nova proposta de
educação básica de São Paulo; Incorporar os resultados das pesquisas nas
competências necessárias para prática; Concepções do ensino e
aprendizagem; Reflexão da prática pedagógica do professor. Assim sendo,
nosso estudo está sendo realizado com a participação de um grupo de
professores da rede pública, por meio do Projeto Observatório,
desenvolvido pela linha de pesquisa Formação de Professores do Programa
de Pós-Graduação da Uniban de São Paulo, que promove reuniões
quinzenais, entre pesquisadores em Educação Matemática e professores de
Matemática, nas dependências da própria universidade. Realizaremos uma
entrevista com professores participantes. Portanto, consideramos também
importante descrever a formação que antecedeu o momento em que
realizaremos nossa entrevista (PROJETO OBSERVATÓRIO, 2009).
26
O grupo de professores participantes do projeto contribui com a proposta de
apoio ao trabalho do professor nas aulas de matemática da educação básica.
A formação e pesquisa incluem a problematização e a reflexão da prática
pedagógica de professores envolvidos nesse processo de formação, e essas ações
acontecem em momentos presenciais e a distância por meio da plataforma Moodle.
O trabalho desenvolvido no grupo tem uma relação estreita com o campo de
atuação, levando-se em conta as novas tendências na área de formação de
educadores e as implicações na área da matemática.
Participam deste trabalho 45 professores da Educação Básica, oito docentes
do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Uniban, sendo quatro
da linha de formação de professores, que ensinam matemática, dois que pesquisam
sobre ensino e aprendizagem matemática, um professor ligado à área da tecnologia
digital e educação da matemática, e um professor que desenvolve um trabalho de
pesquisa, voltado para a História da Educação Matemática.
Participam também seis alunos da licenciatura de matemática em iniciação
científica, seis alunos de mestrado e um aluno de doutorado.
A primeira fase da coleta dos dados, que permitiu formular respostas às
questões de nossa pesquisa, foi realizada ao longo de sete encontros de
aproximadamente quatro horas, conforme especificamos na sequência.
2.1.3 Processo de formação: números racionais
Nossos sujeitos de pesquisa participaram de todas as discussões realizadas
no Projeto Observatório da Educação. Detalharemos aqui a formação que ocorreu
desde o segundo semestre de 2010, até maio de 2011.
Nossa participação nesse Projeto foi de observação, em especial nos
encontros em que foi tratado o tema Números Racionais.
27
Não faremos aqui uma descrição detalhada. Apresentaremos apenas alguns
dados que coletamos em nossa observação, principalmente para analisar o
Conhecimento Profissional Docente dos participantes envolvidos relacionados a
esse conjunto numérico.
Sob a orientação do Professor Dr. Ruy Pietropaolo, a doutoranda Olga Corbo
desenvolveu uma pesquisa adotando a metodologia Design Experiments,5 na
perspectiva de Cobb et al. (2003).
Corbo (2010) procurou investigar se uma abordagem que explore a densidade
do conjunto dos racionais, na reta numérica, propicia a compreensão e a construção
do conceito de irracionalidade. Para tanto, a autora realizou um estudo dividido em
três etapas: aplicação de questionário; proposta de sequência didática aos
professores, durante encontros do Projeto Observatório; e discussão e análise da
sequência e elaboração de uma sequência didática pelos professores.
Quanto à aplicação de questionário, o objetivo da autora foi elaborar um perfil
dos sujeitos que participariam da pesquisa. O questionário envolvia questões que
visavam identificar as concepções sobre o conceito de número irracional e sobre o
ensino de noções ligadas ao conteúdo.
Em seguida, a pesquisadora elaborou a sequência didática discutida com
professores durante encontros do Projeto Observatório. Como os encontros
promovidos pelo projeto foram quinzenais, foi possível experimentar, avaliar e refletir
as possíveis dificuldades encontradas no processo de construção do conceito de
número irracional. Naquele momento, pareceu-nos muito forte a preocupação da
investigadora em discutir questões relacionadas às possíveis dificuldades dos
alunos.
5
Design Experiments diz respeito à metodologia que, na perspectiva de Cobb et al. (2003), ―design
inicial é uma conjectura sobre a teoria de sustentação de uma forma particular de aprendizagem que
será testada. Porém, durante a condução do estudo do design, conjecturas mais especializadas são
tipicamente estruturadas e testadas‖ (p. 8). No estudo realizado por Corbo (2011) a autora procurou
observar, registrar e analisar os dados obtidos durante o processo de exploração e desenvolvimento
da formação, visando à identificação sobre o encaminhamento das tarefas (prosseguir ou modificar).
Assim sendo, sempre que se fez necessário, houve, por parte da pesquisadora, releituras das
conjecturas iniciais.
28
Nessa etapa, com apoio da análise das reflexões observadas anteriormente,
foi elaborada, pelos professores, uma sequência didática para ser aplicada aos
alunos do 9.º ano do Ensino Fundamental.
A pesquisadora, em alguns momentos do curso, expôs questões em que se
discutiram os números racionais para apresentar a irracionalidade.
Em uma questão, Corbo (2010) pediu que os participantes definissem o
conjunto dos números racionais e irracionais. Nesse momento, observamos que os
professores já apresentavam dificuldades. Em outra questão, a pesquisadora
pretendeu estimular a discussão acerca da densidade do conjunto dos racionais.
Notamos evidências de que, mesmo entre os professores, havia para alguns
deles certa influência das concepções formadas sobre números naturais, como as
ideias de sucessor e antecessor, na construção do conceito de número racional.
Em nossa observação, verificamos que alguns professores mostraram, por
meio dos depoimentos, a ausência de conhecimentos sobre a densidade no
conjunto dos racionais. Portanto, acreditamos que tal discussão, mesmo que o foco
não fosse a introdução do tema frações, poderia ajudar o docente na compreensão
da temática e, provavelmente, na compreensão da proposta contida no currículo.
A partir dessas observações, entrevistamos professores participantes do
Observatório, aqueles que lecionam para a 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/7.º ano.
Esforçamo-nos para identificar como esses docentes avaliam o ensino de frações
para esse nível de ensino. Nossa hipótese é que as discussões ocorridas no âmbito
do Observatório acerca dos números irracionais tenham ajudado esses professores
a compreender conceitos relacionados aos demais conjuntos numéricos e, em
especial, os números racionais na representação fracionária.
Para tanto, entrevistamos os seis professores participantes do Projeto
Observatório da Educação que lecionam ou lecionaram para esse nível de ensino
desde o ano de 2008, quando se iniciou o processo de implementação do novo
29
currículo.
2.1.4 Nosso Protocolo de pesquisa
Para realizar a entrevista utilizamos o seguinte protocolo:
1) Comente quais recordações você tem sobre as aulas que envolviam
fração, em especial as que desenvolviam o conceito no Ensino
Fundamental e Médio.
2) Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo
questões ligadas ao ensino e aprendizagem das frações, na sua formação
inicial
(graduação)
e
na
formação
continuada
(outros
cursos
e
observatório).
3) Em quais anos você trabalhou com 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/7.º ano?
4) Você ensinou esse tema antes de 2008? Comente como você introduzia
frações antes da divulgação do novo currículo.
5) Comente como você introduziu fração em suas aulas este ano (se
trabalhou 2008, 2009 e 2010).
6) Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com fração (do ponto
de vista do professor e do aluno)?
7) Você conhece o trabalho que é proposto para desenvolver o conceito de
fração apresentado nos Cadernos 6.º e 7.º anos (quinta e sexta séries)?
8) Como você avalia a abordagem do conceito de números racionais na
representação fracionária na Educação Básica proposto nos Cadernos do
6.º e 7.º ano? O que é proposto você considera suficiente? Se não é
30
suficiente, o que falta?
9) Faça outras considerações que você julgue necessárias a respeito do
trabalho desenvolvido pelo grupo de professores da sua escola, que
lecionam para 6.º e 7.º ano, ao longo deste ano.
Após a realização da entrevista com os seis professores participantes do
Projeto Observatório, fizemos a transcrição. Vale ressaltar que tais professores
foram selecionados, pois foram os que declararam ter trabalho com os sextos e
sétimos anos do Ensino Fundamental nos últimos quatro anos (desde 2008). Assim
sendo, a seguir, apresentamos a caracterização destes docentes.
2.1.5 Caracterização dos sujeitos de pesquisa
Professor: A
O Professor A leciona há 20 anos e tem 50 anos. Cursou Matemática na Faculdade
Santana e concluiu em 1979. Informou que, além de lecionar nas escolas estaduais,
trabalha também no Colégio Objetivo há 15 anos. Na Secretaria do Estado da
Educação leciona 31 aulas semanais para as turmas do 7.º, 8.º e 9.º anos do Ensino
Fundamental e 1.ª e 2.ª séries do Ensino Médio.
Professor: B
O Professor B tem 37 anos, graduado em Matemática e Ciências, curso concluído
em 1998 na Universidade Santana. Tem 12 anos de magistério atuando
exclusivamente em Escolas Estaduais. Este ano (2011) tem um total de 30 aulas, e
leciona para alunos de 1.ª e 2.ª série do Ensino Médio.
Professor: C
O Professor C tem 48 anos, e graduou-se em Matemática pela Unesp, tendo
concluído em 1991. Há 12 anos atua como professor em Escolas Públicas Estaduais
em São Paulo. Leciona para alunos da 1.ª série do Ensino Médio. Este ano tem uma
31
carga de 30 aulas semanais.
Professor: D
O Professor D tem 29 anos, e concluiu a graduação em Matemática em 2005 na
Faculdade de Guarulhos. Atua em Escolas Estaduais há 8 anos, e há 2 anos
ministra aulas em instituições particulares. Ele é pós-graduado em Educação
Matemática, curso concluído em 2007 pela Universidade de Guarulhos. Este ano
(2011) leciona em uma Escola Estadual para alunos de 6.º e 7.º anos do Ensino
Fundamental e 1.ª, 2.ª e 3.ª séries do Ensino Médio, totalizando 30 aulas.
Professor: E
O Professor E é formado em Matemática, curso concluído no ano de 2009 na
Universidade Santana. Ele tem 26 anos, leciona há 3 anos em Escolas Estaduais de
São Paulo, e este ano tem 30 aulas semanais com alunos dos 7.º e 8.º anos do
Ensino Fundamental.
Professor: F
O Professor F tem 60 anos e é graduou-se em Matemática pela Faculdade Santana
em 1977. Trabalha como docente há 33 anos em Escolas Estaduais e há 12 em
Escolas Particulares. Neste ano de 2011 leciona para alunos de 7.º ano do Ensino
Fundamental e para 2.ª e 3.ª séries do Ensino Médio, com um total de 32 aulas.
32
3 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Fundamentamos nossa investigação em teorias que versam sobre estudos
que investigam a formação de professores e em questões didáticas sobre o objeto
matemático: ―representação fracionária do número racional‖.
Quanto ao primeiro enfoque, apoiamo-nos em estudos de Schön (1983,
1987), que tratam da reflexão sobre a prática, ampliados pelas discussões de
Zeichner (2003), Shulman (1986), Tardif (2000) e Pietropaolo (2002).
Quanto ao segundo enfoque, amparamo-nos em estudos que fundamentaram
muitas das discussões apresentadas pelas pesquisas que indicamos na revisão
bibliográfica. A maioria dos estudos fundamentou-se na Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990), pois esta serviu como base para a classificação
proposta por Nunes (2003). Ainda, destacamos as ideias de Kieran (1988) sobre os
construtos dos números racionais, que entendemos tenha sido o precursor dos
estudos que abordam a temática. Vale ressaltar ainda que complementaremos
nossa visão da teoria dos Campos Conceituais considerando nossas anotações no
curso de Altos Estudos ministrado por Gerard Vergnaud, na Universidade
Bandeirante de São Paulo, no ano de 2010.
3.1 QUANTO À FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Apresentamos neste tópico uma síntese de alguns estudos que discutem o
conhecimento do professor docente e a questão da reflexão sobre a prática, os
quais nos auxiliaram na análise de inter-relação entre eles.
3.1.1 Schön (1987): Formar professores como profissionais reflexivos
Schön (1987) inicia o artigo Formar Professores como profissionais reflexivos
afirmando que existem muitos esforços que pretendem a melhoria da qualidade do
ensino. Esse interesse mundial pelo aprimoramento e equidade do ensino é um
apelo para a alteração do tipo de ensino atual. Em alguns países há a ideia de
33
abandonar salas autocráticas para adotar uma forma mais centrada no aluno e
culturalmente mais relevante. Apesar das variações de país para país e de grupo
para grupo, certas características são comuns em todo o mundo. Em geral, as
mudanças propostas pelos professores têm como base uma nova visão do processo
de aprendizagem, gerada após 25 anos de pesquisa educacional.
Indica ainda que as mudanças incluam a valorização das experiências
existenciais do aluno; respeito aos recursos culturais e linguísticos que o aluno tem,
e não encará-los como deficiências; usar o material local e os recursos naturais
como base curricular, evitando dependência do material didático; enfatizar a
compreensão e não a memorização pelo aluno, e utilizar o conhecimento recémadquirido pelo aluno em seu cotidiano.
O autor afirma ainda que, de forma equivocada, muitas das autoridades
centrais do governo, responsáveis pelo planejamento do ensino, não conseguem
enxergar os professores como agentes principais da reforma educacional; ao
contrário, treinam os professores para aplicarem políticas desenvolvidas que não
têm nada a ver com a realidade da sala de aula. Assim sendo, segundo Schön, essa
prática resulta uma espécie de jogo duplo, no qual, por um lado, as escolas tendem
a continuar fazendo as mesmas atividades com o intuito de conservar sua ―liberdade
de decisão‖, enquanto, por outro lado, os planejadores educacionais e os órgãos
centrais do governo tentam controlar os comportamentos das escolas (SCHÖN,
1987, p. 79).
O autor acrescenta que, subjacente ao debate sobre o controle e a tentativa
das unidades escolares de conservar sua autonomia, é fundamental a discussão de
três questões principais: 1) Quais as competências que os professores deveriam
possuir para auxiliar as crianças a se desenvolverem? 2) Que tipos de conhecimento
e de saber-fazer permitem aos professores desempenharem o seu trabalho
eficazmente? 3) Que tipo de formação será viável para equipar os professores com
as capacidades necessárias ao desempenho do seu trabalho? (SCHÖN, 1987, p.
79-80).
Schön acrescenta que somente será possível avançar nesse impasse,
34
possibilitando mudanças qualitativas na prática da sala de aula, quando os
professores as tomarem para si.
Este autor acrescenta ainda que as atuais reformas geram uma crise na
educação entre o saber escolar e a reflexão-na-ação dos professores e alunos
(SCHÖN, 1987, p. 80).
Schön baseia-se nos resultados dos estudos desenvolvidos no Teacher
Project, realizados com professores do ensino básico em Massachusetts (EUA),
mediante a identificação por parte dos professores investigados da necessidade de
ser voz para o aluno, que por sua vez proporcionaram duas visões sobre o
conhecimento, a aprendizagem e o ensino (SCHÖN, 1987, p. 80-81): ao saber
escolar, que se refere aos fatos e teorias aceitas, e ao conhecimento de ensino.
Essa última visão trata-se, segundo Schön, da reflexão-na-ação, e
compreende os seguintes aspectos: reconhecer o ―conhecimento tácito‖,6 dos alunos
de acordo com as ideias de Polanyi,7 e permitir a articulação do conhecimento-naação (SCHÖN, 1987, p. 82).
Segundo Schön, o processo de reflexão-na-ação favorece a criação de um
conhecimento prático que representa
o reconhecimento dos vários elementos
intervenientes na ação pedagógica. Este processo não exige o uso de palavras
(SCHÖN, 1987, p. 83).
Ainda, segundo o autor, é possível olhar retrospectivamente e refletir sobre a
reflexão-na-ação. Após a aula, o professor pode pensar sobre os acontecimentos;
trata-se de uma ação, uma observação e uma descrição, que exige o uso de
palavras (SCHÖN, 1987, p. 83).
Para Schön, na formação de professores, os dois obstáculos para a
introdução de um practicum reflexivo são: a epistemologia dominante na
6
Conhecimento tácito: conhecimento espontâneo, intuitivo, revelado no cotidiano escolar.
Michael Polanyi (1891-1976). Seus estudos tratam de uma nova teoria do conhecimento baseado
na valorização do papel do indivíduo e os valores da sociedade na busca e descoberta da verdade.
7
35
universidade e o currículo profissional normativo (SCHÖN, 1987, p. 91).
Portanto, consideramos que utilizar os estudos de Schön como referência nos
permitirá fazer um paralelo com as mudanças curriculares propostas pela Secretaria
do Estado da Educação de São Paulo. Cabe, em nossa análise, verificar se as
propostas de currículo e os encaminhamentos dos docentes estão centrados no
saber escolar ou se demonstram, em algum momento, preocupação com o
conhecimento, a aprendizagem e o ensino focados na reflexão-na ação.
3.1.2 Shulman (1986): “Those Who Understand: Knowlwdge Growth in
Teaching”
Quando se discute Conhecimento Profissional Docente, não podemos deixar
de estudar o artigo apresentado por Lee S. Shulman ao presidir a sessão anual de
1985 da American Educational Research Association, em Chicago.
O autor inicia o texto apresentando uma retomada histórica sobre a maneira
como os professores eram analisados e avaliados com testes aplicados no século
passado, em níveis estaduais e municipais. Afirma que tal teste pretendia avaliar a
competência do professor no assunto e habilidade pedagógica.
Shulman lembra ainda que a ideia dos testes, considerada uma inovação, era
incentivada por líderes nacionais, como Albert Shanker, Bill Honig e Bill Clinton.
Dentre os arquivos que Shulman analisou, os mais fascinantes são algumas
cópias de testes que mostram como o conhecimento dos professores foi definido.
Tomou por base o exemplo da Califórnia, State Examination Board, aplicado para
professores de Ensino Fundamental de março de 1875, cujas categorias dos
exames eram determinados conteúdos como: Aritmética escrita; Aritmética mental;
Gramática escrita; Gramática oral; Geografia; História dos Estados Unidos; Teoria e
Prática do Ensino; Álgebra; Psicologia; Filosofia Natural (Física); Constituição dos
Estados Unidos e Califórnia; Lei escolar da Califórnia; Caligrafia; História Natural
(Biologia); Composição; Redação; Ortografia; Definindo (palavra Análise e
vocabulário); Música vocal; Desenho industrial (SHULMAN, 1986, p. 4).
36
O autor afirma ainda que o número máximo de pontos possíveis para o
exame de um dia inteiro era 1.000 das vinte categorias, e que apenas uma se
dedicava à prática pedagógica, ou seja, apenas 50 dos 1.000 pontos possíveis eram
destinados a essa questão.
Em seguida, faz um contraponto com os exames da década de 80. Nele,
segundo o autor, não eram avaliados os conteúdos do currículo. Tratavam-se temas
como: Organização na preparação e apresentação de planos de ensino; Avaliação;
Reconhecimento de diferenças individuais; Consciência cultural; Compreensão da
juventude; Gestão e Políticas educacionais e de procedimentos (SHULMAN, 1986,
p. 5).
Shulman (1986) afirma que atualmente a ênfase das pesquisas sobre ensino
recai em como os professores conduzem suas aulas, e a ―falta de questões sobre o
conteúdo. De onde vêm as explicações do professor? As investigações sobre o
ensino ignoram essas questões‖ (SHULMAN, 1986, p. 7).
Assim, Shulman (1986) chama a atenção para a necessidade de resgatar o
―paradigma perdido‖, ou seja, o conteúdo. O autor esclarece:
Nosso trabalho não tem a intenção de denegrir a importância da
compreensão pedagógica ou habilidades no desenvolvimento de um
professor ou aumentar a eficácia da instrução. O mero conhecimento do
conteúdo é susceptível de ser tão inútil como o conteúdo pedagógico isento
de habilidade. Mas a mistura adequada dos dois aspectos de capacidades
de um professor requer que prestemos mais atenção aos aspectos de
conteúdo do ensino que temos recentemente dedicado aos elementos do
processo de ensino (SHULMAN, 1986, p. 8).
Para tanto, propõe a classificação dos conhecimentos necessários ao ensino,
o que, segundo este autor, poderia favorecer a compreensão da complexidade do
trabalho docente professor:
Conhecimento do Conteúdo Específico. Esse se refere à quantidade e
organização do conhecimento em si [...] Pensar corretamente sobre o
conhecimento do conteúdo requer ir além do conhecimento dos fatos ou
conceitos de um domínio. Isso exige a compreensão das estruturas da
matéria [...] Os professores devem não apenas ser capazes de definir para
os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser
37
capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada
justificada, porque vale a pena conhecer, e como se relaciona com outras
proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria
quanto na prática.
Conhecimento Pedagógico de Conteúdo. [...] vai além do conhecimento
do objeto em si a dimensão do conhecimento disciplinar para o ensino. Eu
ainda falo de conhecimento de conteúdo aqui, mas de forma particular de
conhecimento do conteúdo que incorpora os aspectos do conteúdo mais
pertinentes à sua ensinabilidade.
Conhecimento Curricular. [...] é representado por toda a gama de
programas concebidos para o ensino de disciplinas específicas e temas em
um determinado nível, a variedade de materiais didáticos disponíveis em
relação a esses programas, e o conjunto de características que servem
tanto como indicações e contra-indicações para a utilização de materiais
curriculares ou programas específicos em circunstâncias especiais
(SHULMAN, 1986, p. 9-10).
Assim, segundo o autor, o Conhecimento do Conteúdo Específico refere-se
aos conhecimentos de um domínio específico da matéria a ser ensinada, a forma e
as questões ligadas aos processos de ensino e aprendizagem são analisadas
quando reconhecemos o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e, por fim, no
Conhecimento curricular, este, de acordo com Shulman (1986), ―é a base da
capacidade do professor para relacionar o conteúdo de um determinado curso ou
aula com temas ou questões que estão sendo discutidos simultaneamente em
outras classes‖ (SHULMAN, 1986, p. 14).
Analisando os estudos de Shulman (1986), observamos que o autor chama a
atenção para o fato de que a profissão docente pressupõe um rol de conhecimentos
e habilidades que constituirá conhecimento profissional à medida que for
efetivamente utilizado na prática. Assim, consideramos que analisar o Conhecimento
Profissional Docente em nosso estudo pressupõe examinar as três vertentes
propostas pelo autor.
3.1.3 Tardif (2000): “Saberes, tempo e aprendizagem do trabalho no
magistério”
A relevância do exercício da docência na construção da base de
conhecimentos para ensinar é enfatizada também por Tardif (2000), que se apoia
em resultados de observações e consultas a professores, para concluir que esses
conhecimentos
38
[...] não se limitam a conteúdos bem circunscritos que dependeriam de um
conhecimento especializado. Eles abrangem uma grande diversidade de
objetos, de questões, de problemas que estão todos relacionados com seu
trabalho [...] para os professores de profissão, a experiência de trabalho
parece ser a fonte privilegiada de seu saber-ensinar (TARDIF, 2000, p.
213).
Tardif, inicialmente com base nos estudos de Marx, afirma que a práxis social
é um trabalho que desencadeia uma transformação no trabalhador; trabalhar não é
só transformar uma coisa em outra, é transformar-se em e pelo trabalho. Trabalhar
não é somente fazer alguma coisa, mas tornar-se alguma coisa. Assim, mostra sua
preocupação com a relação intrínseca existente entre saberes, tempo e a
experiência docente.
Citando Schwartz (1997), Tardif (2000) assevera que, se uma pessoa leciona
durante 30 anos, ela tornou-se um professor por sua cultura, éthos, ideias, funções,
interesses etc. Considera que, se por um lado o trabalho modifica as coisas e o
próprio trabalhador, muda também a forma com que ele sabe trabalhar (TARDIF,
2000, p. 210).
Considera ainda que o tempo é um fator relevante para entender os saberes
dos trabalhadores. No caso do magistério, a aprendizagem do trabalho é longa,
começa na infância enquanto o professor é aluno (TARDIF, 2000, p. 210).
Considera ainda que os saberes relacionados ao trabalho são construídos e
dominados de forma progressiva, variando de acordo com o ramo de ocupação. Isso
acontece porque algumas situações exigem conhecimentos que são adquiridos
apenas com elas mesmas. Assim sendo, ele apresenta o quadro (ver QUADRO 1
abaixo) que propõe um modelo tipológico para a identificação e classificação dos
saberes dos professores.
QUADRO 1: Saberes Docente
SABERES DOS
PROFESSORES
Saberes pessoais dos
FONTES SOCIAIS DE
AQUISIÇÃO
Família, ambiente de
MÓDULO DE
INTEGRAÇÃO NO
TRABALHO DOCENTE
Pela história de vida e
39
professores
Saberes provenientes da
formação escolar anterior
Saberes provenientes da
formação profissional para
o magistério
Saberes provenientes dos
programas e livros
didáticos usados no
trabalho
Saberes provenientes de
sua própria experiência na
profissão, na sala de aula
e na escola
vida, a educação no
sentido lato etc.
A escola primária e
secundária, os estudos
pós-secundários não
especializados etc.
Os estabelecimentos de
formação de professores,
os estágios, os cursos de
reciclagem etc.
Na utilização das
―ferramentas‖ dos
professores: programas,
livros didáticos, cadernos
de exercícios, fichas etc.
A prática do ofício na
escola e na sala de aula,
a experiência dos pares
etc.
pela socialização primária
Pela formação e pela
socialização préprofissionais
Pela formação e pela
socialização profissionais
nas instituições de
formação de professores
Pela utilização das
―ferramentas‖ de trabalho,
sua adaptação às tarefas
Pela prática e pela
socialização profissional
Fonte: Educação & Sociedade, ano XXI. n. 73, dez. 2000, p. 215
Tardif (2000) afirma que o conhecimento dos professores acerca do ensino,
sobre os papéis do professor e sobre como ensinar, vem da sua própria história de
vida,
e sua carreira como aluno. Eles estão em contato com o mundo de sua
profissão aproximadamente 16 anos antes de iniciar sua carreira profissional. Assim,
as crenças, concepções e maneiras que os professores adquirem nos primórdios de
sua educação são as mesmas de que eles se valem para começarem a ensinar
anos depois. Os seus saberes são temporais, se aprimoram durante toda a sua
carreira, e, por ser um processo de socialização, incorpora indivíduos às práticas e
rotinas das equipes de trabalho (TARDIF, 2000, p. 217).
Segundo o autor, é durante sua vida que o professor interioriza
conhecimentos de competências, de crenças e de valores que os ajudam a formar
sua personalidade profissional.
As pesquisas de Raymond, Lessard e Tardif identificam vários fenômenos
que comprovam essa tese, por exemplo: a vida familiar e as pessoas importantes
que fizeram parte da vida do professor, além da formação escolar, são fontes
essenciais para modelar a postura e orientação profissional do futuro professor.
40
No que se refere à nossa pesquisa, julgamos que verificar as concepções dos
professores por meio da análise da representação destes profissionais sobre as
fontes de aquisição do seu saber-ensinar se revela uma boa estratégia.
3.1.4 Ponte (1992, 1994): Concepções dos professores de Matemática
Existe um substracto conceptual que joga um papel determinante no
pensamento e na acção. Este substracto é de uma natureza diferente dos
conceitos específicos – não diz respeito a objectos ou acções bem
determinadas, mas antes constitui uma forma de os organizar, de ver o
mundo, de pensar. Não se reduz aos aspectos mais imediatamente
observáveis do comportamento e não se revela com facilidade – nem aos
outros nem a nós mesmos (PONTE, 1992, p. 187).
Tal ―substrato conceitual‖ o autor define como Concepções, e complementa
ainda que estas ―têm uma natureza essencialmente cognitiva‖. Ponte (1992, p. 187)
argumenta ainda que as concepções atuam como uma espécie de filtro, que, por um
lado, se apresentam como imprescindíveis, de outro, como
elementos
bloqueadores, isto é, indispensáveis na medida em que ―estruturam o sentido que
damos às coisas‖, e limitantes quando reduzem as possibilidades de atuação e
compreensão (PONTE, 1992, p. 187).
Esse mesmo autor retoma tal conceito apresentando, em 1994, a distinção
entre crenças e concepções que pode ser útil na interpretação neste caso. Para o
autor, fundamentado em Pajares (1992), as Crenças são ―verdades‖ pessoais
incontestáveis, decorrentes da experiência ou da fantasia, tendo um forte
componente afetivo e avaliativo; já as Concepções são essencialmente de natureza
cognitiva e, portanto, mais elaboradas.
Assim sendo, analisando tais estudos, consideramos que o sentido dado ao
termo ―concepções‖ mescla estes dois conceitos. Para nós, as concepções serão
interpretadas como os conjuntos de crenças e posicionamentos dos formadores de
professores relatados durante uma sessão de entrevista, em que estes autores
emitiram suas opiniões sobre diferentes questões levantadas pelo pesquisador,
como a descrição da sua prática em relação ao tratamento dado aos números
racionais em suas aulas, seu posicionamento a respeito das necessidades
41
formativas dos alunos do Ensino Fundamental sobre os racionais, sua interpretação
sobre a qualidade da formação dos seus alunos.
3.2 SOBRE A RELAÇÃO FORMAÇÃO DE PROFESSORES E OS PROCESSOS
DE INOVAÇÕES CURRICULARES
3.2.1 Pietropaolo (2002): “Parâmetros Curriculares de Matemática para o
Ensino Fundamental”
Segundo
estudos
realizados
por
Pietropaolo
(2002),
embora
haja
necessidade de relacionar temáticas como a formação profissional docente e o
currículo, tal discussão nem sempre ocorre como deveria:
Embora esses dois temas mantenham estreitas relações entre si, nem
sempre eles têm sido discutidos de forma articulada, o que, em certo
sentido, ajuda a explicar a dificuldade de implementação de propostas
curriculares quando não se leva em conta que tipo de formação, que tipo de
experiência têm os professores que vão colocá-las em prática
(PIETROPAOLO, 2002, p. 34).
Pietropaolo (2002) chama a atenção também para a forte relação entre os
processos de formação profissional e as demandas profissionais que orientações
curriculares solicitam. Segundo o autor, ―a falta de clareza do tipo de profissional que
se deseja formar para atender às novas demandas pode explicar as dificuldades
encontradas para desenvolver projetos mais consistentes de formação de
professores‖ (PIETROAPAOLO, 2002, p. 34).
Portanto, consideramos que analisar o conhecimento profissional docente de
professores que participam de um cenário de inovação curricular e de um processo
de formação continuada consistente pode nos ajudar a compreender a relação entre
tais movimentos e a formação em serviço deste profissional.
3.3 QUANTO
AO
OBJETO
MATEMÁTICO:
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
NÚMEROS
RACIONAIS
NA
42
3.3.1 Caraça (1951): “Conceitos Fundamentais da Matemática”
Em seu trabalho, Caraça (1951) apresenta o aspecto da contagem como
presente no cotidiano das pessoas, afirmando ser praticamente impossível viver em
sociedade sem aplicação elementar das operações de contagem.
Os estudos feitos com povos existentes na África e Austrália, acerca dos
números, levam o autor a concluir que os números naturais foram formados ao longo
do tempo pela prática diária da contagem, e que o conhecimento dos números está
ligado à vida econômica. Quanto maior a relação de atividade comercial entre os
indivíduos, maior o conhecimento de números (CARAÇA, 1951).
A partir do momento em que o regime de propriedade foi se estabelecendo
nas civilizações, novos problemas começaram a aparecer, como calcular
comprimento, calcular área, surgindo daí a necessidade de ampliar o conhecimento
sobre números.
Caraça (1951) apresenta os números racionais como uma forma de
responder à necessidade do homem concernente às operações de medidas. A
medida é a comparação entre duas grandezas de mesma espécie, por exemplo,
dois comprimentos, dois volumes etc. No entanto, essa comparação de grandezas
nem sempre é solucionada apenas com conhecimento dos números naturais.
Segundo o mesmo autor, para a comparação de grandezas é necessário
estabelecer padrões com a escolha de uma unidade, por exemplo, centímetro para
comprimento, segundos para tempo e gramas para massa, comparar essas
unidades e responder com números o resultado dessa comparação.
Expressar uma grandeza relativa a outra por meio do quociente de dois
valores, obtendo-se um resultado imediato, é uma forma prática de medir, mas nem
sempre essa divisão é ―exata‖ e representada por um número natural. A maneira de
buscar uma resposta significativa para o problema é o conhecimento de um novo
conjunto numérico de representações, que pode expressar a solução da
comparação citada. Esse novo conjunto é formado pelos números inteiros e
43
números fracionários como números novos, e são apresentadas nesse trabalho as
vantagens desse conhecimento:
1.ª) É possível exprimir sempre a medida dum segmento tomando outro
como unidade; se, por exemplo, dividida a unidade em 5 partes iguais,
2
cabem 2 partes na grandeza a medir, diz-se que a medida é o número /5 .
2.ª) A divisão de números inteiros m e n pode agora sempre exprimir
simbolicamente pelo número racional m/n (CARAÇA, 1951, p. 36-37).
Com base nas considerações do trabalho feito por Caraça (1951) sobre as
representações e a necessidade de conhecimento do conjunto dos números
racionais, esta pesquisa procura dar atenção especial à representação desses
conceitos para os alunos do Ensino Fundamental (6.º ano) na implementação do
novo currículo do Estado de São Paulo.
3.3.2 Vergnaud (1991, 2010): Sobre a Teoria dos Campos Conceituais
Segundo Vergnaud (1991, 2010), ao longo da sua existência, o ser humano
necessita adaptar-se a um conjunto de diferentes situações. Afirma ainda que um
conceito não se desenvolve sozinho, mas em conjunto com outros conceitos com os
quais forma um sistema. Portanto, de acordo com o autor, as crianças encontram
situações diversas e elas precisam de vários conceitos para processar essas
situações. Por fim, considera que a construção do conhecimento está diretamente
ligada a um conjunto de situações e conceitos, o que Vergnaud chama de Campos
Conceituais.
Portanto, Vergnaud analisa as situações que dão significado ao conceito de
como se constrói o saber, e destaca em seu estudo dois campos conceituais, ou
seja:
1) As estruturas aditivas, que se formam por meio de um conjunto de
situações que necessitam do domínio das operações com adições e
subtrações.
2) As estruturas multiplicativas, que se formam com um conjunto de
situações que necessitam o domínio do conhecimento das operações de
multiplicação e divisão (GARCIA SILVA, 2007, p. 76).
Para Vergnaud, um conceito é definido a partir de um conjunto composto por
três elementos (S, R, I):
44
S – É um conjunto de situações que tornam o conceito significativo, ou seja,
que dão sentido ao conceito.
I – É o conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) que
podem ser usadas para analisar e equacionar e resolver situações.
R – É o conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas pelo
sujeito, para indicar os invariantes, os procedimentos, as situações
(VERGNAUD apud MAGINA et al., 2008, p. 7).
O autor leva em conta as situações referentes ao conceito e os invariantes
operatórios – como o significado do conceito –, entendendo que as representações
simbólicas são o significante do conceito (VERGNAUD, 2010).
A teoria dos campos conceituais considera que existe uma série de elementos
que influenciam na construção dos conceitos e que o conhecimento de conceito
surge de situações.
Para Vergnaud (1993), o termo ―situação‖ tem o sentido de tarefa a ser
executada pelo aluno, de tal forma que
[...] os conceitos de situações não têm o sentido de uma situação de
didática, mas o de tarefa. A ideia é que toda situação complexa pode ser
analisada com uma combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldades
específicas devem ser bem conhecidas (VERGNAUD, 1993, p. 9).
Franchi (1999) esclarece que
[...] a tese subjacente dos campos conceituais de Vergnaud é fundamentada
na realização de um bom evento didático (mise-en-scène didactique), apoiase necessariamente sobre o conhecimento da dificuldade das tarefas
cognitivas dos obstáculos habitualmente encontrados do repertório de
procedimentos disponíveis e das representações possíveis (FRANCHI,
1999, p. 162).
Em referência a Vergnaud e o conjunto dos números racionais, Garcia Silva
(2007) considera
[...] ser necessário representar situações contextualizadas para dar sentido
ao conceito de números racional na sua representação. Há que se levar em
conta o importante papel do professor como mediador entre o conhecimento
e o aluno, havendo, em virtude disso, necessidade de auxiliá–lo na
identificação das dificuldades próprias dos obstáculos que podem se
apresentar durante a construção de um conhecimento, dos procedimentos
viáveis e das possíveis formas de representação. E para isso há
necessidade de fornecer a ele os caminhos para conhecer a dificuldade
relativa das tarefas cognitivas e dos obstáculos que se apresenta o
45
repertório de procedimentos existentes e as formas de representações
possíveis (GARCIA SILVA, 2007, p. 77).
Com isso, o aluno pode dar significado ao conhecimento matemático do tema
que se propõe, buscando esquemas anteriormente construídos.
Quanto à relação da representação fracionária dos números racionais e à
teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, Garcia Silva (2007) indica ainda os
estudos de Nunes (2003) referenciados em Vergnaud (1983):
Nunes (2003) propõe que se defina frações a partir da terna (S.I.R), em que
se destacam o conjunto dos invariantes que definem o conceito, o conjunto
de representações utilizados para dar diferentes forma à fração e o conjunto
de situações (GARCIA SILVA, 2007, p. 81).
Chama a atenção para o fato de que Nunes (2003), com base na teoria dos
campos conceituais e pesquisas feitas, considera dois invariantes: ordem e
equivalência; e quatro situações que buscam dar significados à fração e as
representações:
1) Fração com uma relação parte-todo – a ideia presente nesse significado
é a da partição de um todo em n partes iguais, em que cada parte pode ser
1
representada como /n .
2) A fração como quociente, indicando uma divisão e seu resultado – este
significado está presente em situações que envolvem a ideia de divisão.
3) A fração como medida – algumas medidas envolvem fração por se
referirem a quantidades intensivas, nas quais a quantidade é medida pela
relação entre duas variáveis.
4) A fração como operador multiplicativo – como o número inteiro, as
frações podem ser vistas como valor escalar aplicado a uma quantidade
(VERGNAUD apud GARCIA SILVA, 2007, p. 82-84).
Com o estudo feito e descrito no trabalho, consideramos que a terna (S, I, R),
pode ser observada em documentos curriculares oficiais como os PCN, o qual será
analisado no Capítulo 5. Nestas orientações, chama-se a atenção do professor para
o fato de que o conjunto dos invariantes que definem o conceito são a ordem e
equivalência; o conjunto de representações; a decimal e fracionária e o conjunto de
situações: parte-todo, quociente, razão e número racional como operador (BRASIL,
1998).
Para Vergnaud (1998, p. 180), a tarefa do professor é ajudar o aluno a
46
resolver seu repertório de esquemas e representações. Ao que tudo indica, a teoria
de Vergnaud tem grande influência sobre os PCN, uma vez que estes sugerem que
o conceito dos números racionais seja formado a partir da uma variedade de
situações e representações.
47
4 REVISÃO DA LITERATURA
Neste capítulo, apresentamos algumas pesquisas que tratam da temática
escolhida para nosso estudo: frações. Inicialmente, destacaremos algumas
pesquisas, em especial as brasileiras, que versam sobre o ensino e a aprendizagem
dos números racionais na representação fracionária com foco no processo de
formação de professores, na prática de sala de aula. Em seguida, apresentaremos
estudos que discutem a relação entre o ensino e a aprendizagem da representação
fracionária dos números racionais com foco no aluno.
4.1 ESTUDOS RELACIONADOS AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS COM FOCO NO
PROFESSOR
Os trabalhos utilizados neste estudo relacionados à formação de professores
tiveram como base Silva (1997): ―Sobre a introdução do conceito de números
fracionário‖; Santos (2005): ―O conceito de fração em seus diferentes significados:
um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental‖; Silva
(2005): ―Investigando saberes de professores do ensino fundamental com enfoque
em números fracionários para a 5.ª série‖; Canova (2006): ―Crença, concepção e
competência dos professores do 1.º e 2.º ciclos do ensino fundamental com relação
à fração‖; Garcia Silva (2007): ―O desafio do desenvolvimento profissional docente:
análise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do
ensino fundamental, tendo como objeto de discussão do processo de ensino e
aprendizagem das frações‖; Damico (2007): ―Uma investigação sobre a formação
inicial de professores de matemática para o ensino de números racionais no ensino
fundamental‖.
A seguir, são descritos os trabalhos citados em ordem cronológica.
4.1.1 Silva (1997): “Sobre a introdução do conceito de números fracionários”
Silva (1997) investigou um grupo de futuros professores das primeiras séries
48
do ensino fundamental sobre a capacidade de compreensão das diferenças entre
parte-todo, quociente e medida. Outra preocupação da pesquisadora estava
relacionada à capacidade que os alunos tinham de refletir sobre as diferentes
abordagens que dessem sentido ao conceito.
Inicialmente, os sujeitos da pesquisa foram submetidos a um pré-teste a
respeito do seu conhecimento sobre números fracionários. Partindo da observação
de que nos livros didáticos há ênfase no modelo parte-todo, baseada nos resultados
do pré-teste, a autora chegou à conclusão de que existe uma tendência ao uso de
algoritmos, isolada de reflexão sobre os resultados (SILVA, 1997).
Silva (1997) procurou introduzir o estudo das frações por intermédio de
situações que remetessem aos significados selecionados, e em seguida elaborou
uma sequência de quatro atividades utilizando a Teoria da Engenharia Didática, as
quais foram complementadas por um pós-teste, quando a autora pôde constatar que
o conhecimento anterior dos sujeitos tinha raízes tão profundas que, mesmo
aplicando as referidas atividades, esse conhecimento persistia como forte tendência.
Na investigação efetuada por Silva (1997) há também indicação da
dificuldade em perceber que existem várias formas de se dividir um número inteiro
em simultaneidade à dificuldade para entender o conceito de medição. Este conceito
pode ser um dado importante a ser verificado na nossa pesquisa, posto que as
frações é assunto discutido no material que orienta os professores da rede estadual
de ensino paulista utilizando a ideia de medida.
A autora observou ainda a predisposição das futuras professoras ao uso de
decimais nas respostas dos quocientes que poderá vir a impedir ―a percepção da
representação desse quociente também através de fração‖ (SILVA, 1997, p. 206).
Esta autora propõe, finalmente, ―que o estudo ideal para introdução do conceito de
fração deveria ser iniciado pelas concepções: quociente, parte-todo e medida, nesta
ordem‖ (SILVA, 1997, p. 209). A autora justifica que a inversão buscou romper
paradigmas observados nas concepções das professoras pesquisadas.
49
4.1.2 Santos (2005): “O conceito de fração em seus diferentes significados:
um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental”
O trabalho de Santos (2005) se propõe a responder à seguinte questão de
pesquisa: ―É possível reconhecer as concepções dos professores que atuam nos 1.º
e 2.º ciclos (polivalentes) e no 3.º ciclo (especialistas) do Ensino Fundamental, no
que diz respeito ao conceito de fração?‖ (SANTOS, 2005, p. 24).
Essa pesquisa fundamentou-se, assim como nosso estudo, na Teoria dos
Campos Conceituais de Vergnaud e nas ideias de Nunes e Kieran em relação aos
diferentes significados da fração.
O instrumento de pesquisa elaborado por Santos foi aplicado em duas fases.
Em uma primeira sessão, foi solicitada aos sujeitos a elaboração de seis problemas
envolvendo frações com a possibilidade de serem usados em sala de aula, e, em
uma segunda sessão, dias depois, esses problemas foram apresentados aos
professores que os propuseram e lhes foi solicitado que resolvessem, deixando
indicados os procedimentos adotados nessa resolução.
A análise dos significados de fração envolvidos nos problemas propostos,
bem como das estratégias de solução adotadas, conduziu às conclusões que
apresentaremos a seguir, de forma resumida.
Quanto à elaboração dos problemas, Santos (2005) observou uma
predominância em criar problemas de significado operador multiplicativo, sugerindo,
segundo o pesquisador, a existência de uma diferença entre as concepções dos
professores das séries iniciais e a recomendação dos PCN, que não indica o uso de
significado para o início do trabalho com fração.
O pesquisador também mostrou que o significado parte-todo, embora seja o
segundo mais frequente nos problemas criados, teve um percentual muito pequeno,
se comparado ao significado operador multiplicativo. O significado quociente teve
uma porcentagem ainda menor que o parte-todo, e o significado número e medida
praticamente não foi usado.
50
O estudo revelou também que nos problemas envolvendo parte-todo
predominaram as quantidades contínuas, enquanto nos problemas de operador, as
quantidades são discretas. Quanto ao significado quociente, Santos (2005) afirma:
[...] embora existam estudos relevantes como, por exemplo, Kieran e Nunes,
sugerindo que o significado quociente seria uma boa abordagem para o
início do ensino das frações, este significado foi pouco explorado na
elaboração dos problemas dos três grupos (SANTOS, 2005, p. 190).
No tocante à resolução dos problemas, ainda analisando o significado
quociente, o pesquisador destaca que, embora os sujeitos reconheçam que a
divisão é uma boa ferramenta para resolvê-los, parecem não aceitar a
representação fracionária como resposta a essa operação, apresentando a solução
geralmente por um número decimal obtido a partir do algoritmo da divisão.
Santos (2005) observa ainda que, no caso da resolução dos problemas
envolvendo parte-todo, predominaram as resoluções gráficas que conduziam a
obtenção do resultado por dupla contagem. No significado operador, os
procedimentos centrados em algoritmos apareceram em número muito maior que os
demais. Ainda, segundo o pesquisador
É razoável concluir que a concepção dos professores polivalentes e
especialistas está bem próxima, em relação à elaboração de problemas
envolvendo o conceito de fração em seus diferentes significados. Podemos
até, de certo modo, inferir que esta concepção é limitada e preocupante, do
ponto de vista do nosso estudo, visto que estamos defendendo, assim como
Vergnaud e Nunes, que o conhecimento conceitual deve emergir dentro de
uma variedade de situações (SANTOS, 2005, p. 186).
Essa constatação, associada à conclusão de que há fortes indícios do
predomínio de atividades procedimentais na sala de aula, permite concluir que a
concepção dos professores, tanto polivalentes quanto especialistas, carrega fortes
marcas daquela construída enquanto aluno da formação básica. ―Concepção essa
tão profunda que é provável que permaneçam engessadas em suas mentes‖
(SANTOS, 2005, p. 189).
Este autor encerra afirmando que se faz necessário um trabalho consistente
de formação de professores, tanto os especialistas como os das séries iniciais
(polivalentes), a partir de novos enfoques didáticos e pedagógicos sobre o ensino e
51
a aprendizagem do conceito de fração, visando minimizar, a médio e longo prazo, as
dificuldades encontradas por alunos e professores na aplicação deste conceito
(SANTOS, 2005, p. 190).
4.1.3 Silva
(2005):
“Investigando
saberes
de
professores
do
ensino
fundamental com enfoque em números fracionários para a quinta série”
Trata-se de uma tese cujo objetivo foi analisar as concepções de um grupo de
professores de Matemática sobre números fracionários e aprendizagem de alunos
de 5.ª série, a autonomia e dificuldades em possíveis mudanças dessas concepções
em uma formação continuada. O estudo propõe responder as seguintes questões de
pesquisa:
▪ Que Organização Didática os professores constroem para o ensino de
números fracionários para a quinta série do Ensino Fundamental durante a
formação?
▪ É possível encaminhar professores de matemática a reflexões que
possibilitem mudanças nas concepções que têm de seus alunos,
proporcionando-lhes um novo lugar na instituição escolar?
▪ É possível em uma formação continuada promover ações que permitam
aos professores alguma mudança em sua prática de ensino de números
fracionários para uma quinta série? (SILVA, 2005, p. 34-42).
A
metodologia
adotada
foi
a
pesquisa-ação
em
uma
investigação
colaborativa, pois, segundo Silva (2005), permitiria a interação entre pesquisador e
professores em formação e a observação em ação.
Este estudo baseou-se na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard
(1999) para modelar como Organização Matemática e Organização Didática tipos de
tarefas que associam as concepções de números fracionários: parte-todo, medida,
quociente, razão e operador, além das possíveis técnicas para resolução dessas
tarefas e o discurso tecnológico-teórico que as justificam. Esta teoria permitiu aos
professores acesso a pesquisas relacionadas aos ―números fracionários pertinentes
à quinta série baseados nas concepções de fracionários tratadas por Behr e outros
(1983)‖ (SILVA, 2005, p. 19).
52
A autora justifica a pesquisa por existir ―escassez de pesquisas sobre
números fracionários com professores dos ciclos finais do Ensino Fundamental que
permitam o acesso de professores a resultados de pesquisa‖ (SILVA, 2005, p. 8).
Ela chama a atenção para que, mais do que analisar diagnósticos de possíveis
obstáculos relacionados ao processo ensino e aprendizagem dos alunos, a
necessidade de verificar quais as condições e que tipos de ação formativa
possibilitariam mudanças nas práticas docentes desses professores.
Este estudo apresentou alguns resultados que poderão ser considerados em
nossa análise final. Esta autora sustenta que, de modo geral, os professores
constroem para a quinta série
Organizações Matemáticas para números fracionários muito rígidas com
tipos de tarefas que associam, sobretudo, a concepção parte-todo em
contextos de superfícies, mobilizando a técnica da dupla contagem das
partes e, com menos incidência, a concepção de razão mobilizando a
mesma técnica (SILVA, 2005, p. 239).
Entretanto, Silva (2005) afirma que há indícios de mudanças concernentes às
emoções e sentimentos dos professores em relação aos fracionários que
proporcionaram algumas modificações em suas concepções desse conteúdo e
práticas de ensino. Outra mudança apontada relaciona-se à maneira de o docente
observar o aluno, bem como o discurso do professor quando fazia essa análise da
aprendizagem das crianças em ação. Segundo a autora, a formação explicitou a
necessidade de os professores desenvolverem autonomia e reflexão a respeito do
conteúdo e de suas práticas docentes. A autora constatou que a formação inicial
destes professores (especialistas) ―não os preparou nem para ensinar conteúdos
matemáticos básicos, nem para desenvolverem autonomia suficiente para
aprofundar esses conhecimentos ou se apropriar de resultados de pesquisa, que
lhes poderiam auxiliar a melhor ensinar‖ (p. 244). Além dessa delicada observação,
esse estudo verificou relações entre as concepções de professores e o envolvimento
destes profissionais com a reflexão:
[...] as concepções que os professores tinham no início da formação a
respeito de fracionários funcionaram na realidade como um bloqueio a
novas realidades, não permitindo diferentes possibilidades de atuação e
53
compreensão. Um tema considerado de pleno domínio pelos professores,
quando colocado para a reflexão mais profunda deixa-os embaraçados,
tanto do ponto de vista emocional como em relação ao discurso que fazem
sobre o não saber de seus alunos (SILVA, 2005, p. 244).
No nosso estudo pretendemos analisar as concepções de professores,
procurando pistas como o fez Silva (1997) em um curso de formação continuada.
Nossa análise procurará compreender o Conhecimento Profissional Docente de
professores que participam do Projeto Observatório da Educação. O diferencial entre
a pesquisa de Silva (2007) e a nossa é que a formação vivenciada pelo professores
está sendo conduzida há três anos de forma sistemática. Vale ressaltar que os
temas Números Racionais e o Currículo ainda não foram discutidos com o grupo.
Entretanto, para tratar a introdução dos Números Irracionais os docentes foram
encorajados a revisitar questões relacionadas aos números racionais. Assim, nossa
entrevista procurará buscar pistas sobre a relação entre a formação e os saberes
docentes concernentes à fração.
4.1.4 Canova (2006): “Crença, concepção e competência dos professores do
1.º e 2.º ciclos do ensino fundamental com relação à fração”
Esta pesquisa teve por objetivo identificar e analisar as crenças, concepções
e competências dos professores que atuavam no 1.º e 2.º ciclos no Ensino
Fundamental no que diz respeito ao conceito de fração. Para tanto, o estudo se
propôs a responder a seguinte questão de pesquisa: ―Qual é o entendimento que os
professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Fundamental apresentam em relação ao
conceito de fração?‖ (CANOVA, 2006, p. 25).
Essa pesquisa fundamentou-se também na Teoria dos Campos Conceituais
de Vergnaud (1990, 2001) e na classificação teórica proposta por Nunes et al,
(2003) assim como e contribuições de Ponte (1992, 1995) relacionados a crenças e
concepções.
Para desenvolver a pesquisa, Canova (2006) elaborou um instrumento
investigativo utilizando a classificação teórica proposta por Nunes et al. (2003) e
considerou as variáveis de quantidade (contínua e discreta) e representação (icônica
54
ou não), além dos invariantes do conceito (ordem e equivalência).
Este instrumento é composto por 29 questões subdividas em quatro partes:
(1) perfil; (2) crenças; (3) concepções e (4) competências. Esse instrumento foi
aplicado a 51 professores do 1.º e 2.º ciclos do Ensino Fundamental, distribuídos em
três escolas da Rede Municipal da cidade de Osasco.
Em outro momento, realizaram-se entrevistas clínicas em 10% da amostra. A
análise dos dados também foi dividida nas mesmas quatro partes que compuseram
o instrumento.
Com esse instrumento, Canova (2006) detectou dificuldades relacionadas ao
entendimento do tema por parte dos professores investigados. Como exemplo,
quando a autora questiona se o professor relacionava o conceito de fração a alguma
operação e pergunta qual, a maioria (35%) faz a analogia entre a divisão e a fração.
Os resultados mostraram ainda que para a amostra pesquisada ―os
professores reconhecem a fração como sendo um conceito complexo, mas
acreditam que se trabalhando desde as primeiras séries do 1.º ciclo pode-se
proporcionar uma melhor compreensão para os alunos‖ (CANOVA, 2006, p. 205). A
crença de ensino destes professores ―é restrita à percepção, ou seja, acreditam que
trabalhar apenas com a percepção proporcionará a seus alunos o entendimento de
fração‖. No entanto, observou-se que essas crenças dos professores não eram
influenciadas pela sua prática docente, o que não era verdade para as concepções
mais restritas entre os professores do 1.º ciclo (significado parte-todo em quantidade
contínua não icônica) do que para os professores do 2.º ciclo (exploraram mais
variáveis, sendo estas bem próximas das encontradas nos livros didáticos).
Quanto à competência, foi constatado que não houve um desempenho
equitativo entre os cinco significados da fração e os invariantes. Essas evidências
levaram Canova (2006) a concluir que há a necessidade de ampliar o campo
conceitual desses professores relativamente ao objeto: fração.
55
4.1.5 Garcia Silva (2007): “O desafio do desenvolvimento profissional
docente: análise da formação continuada de um grupo de professores das
séries iniciais do ensino fundamental, tendo como objeto de discussão o
processo de ensino e aprendizagem das frações”
O trabalho analisa o desenvolvimento profissional dos professores das
primeiras séries do Ensino Fundamental, como resultado de uma formação
continuada que discute a abordagem nas representações fracionárias e números
racionais nos diferentes significados.
A coleta de dados foi realizada em 16 sessões de 4 horas cada, e em três
sessões foi aplicada uma avaliação diagnóstica; nove sessões dedicadas ao estudo
dos significados das frações e a vivência das diversas metodologias, sendo uma
dessas sessões elaborada pelo professor e desenvolvida pelos alunos em sala de
aula. Três sessões foram destinadas a entrevistas, e duas delas feitas logo após a
intervenção dos professores em suas salas de aulas, e a última entrevista um ano
depois. A última entrevista teve como objetivo verificar a reflexão do profissional
docente após a pesquisa.
A fundamentação teórica se apoiou em estudos de Schön (1983), que tratam
da reflexão da prática, sendo ampliada pelas discussões de Shulman (1986), Tardif
(2000), Ponte (1992) e Serrazina (1999).
Para as questões didáticas que tratam o objeto matemático a autora utilizou a
teoria dos campos conceituais de Vergnaud (1990); a classificação dos significados
das frações proposta por Nunes (2003); as ideias sobre construtos dos números
racionais de Kieran (1988); e as interpretações sugeridas por Ohlsson (1987).
As análises das informações identificaram que alguns fatores influenciam no
desenvolvimento do docente, tais como as dificuldades relativas ao conhecimento
matemático, acreditando ser necessário um enfoque mais amplo no estudo dos
significados e representações fracionárias, tanto em curso de formação inicial
quanto na formação continuada.
A autora concluiu enfatizando a importância da constante reflexão sobre a
56
prática do profissional docente no tratamento do ensino e aprendizagem da
Matemática, em especial sobre o objeto matemático: frações, sobretudo em um
ambiente que possibilite um trabalho colaborativo.
4.1.6 Damico (2007): “Uma investigação sobre a formação inicial de
professores de matemática para o ensino de números racionais no ensino
fundamental”
Esta investigação voltou-se para a formação de professores de matemática,
no que tange ao nível de conhecimento matemático e a didática da matemática para
o ensino de números racionais (frações) no ensino fundamental.
O autor fundamentou-se nas afirmações de Behr, Harel, Post e Lesh (1992)
sobre a constatação de que há um consenso entre os pesquisadores e educadores
matemáticos e que os alunos encontram muita dificuldade na compreensão de
conceitos sobre números racionais. Essa concordância também aparece em estudos
recentes feitos por Freudenthal (1983); Ohlsson (1987, 1988); Bigelow, Davis e
Hunting (1989); e Kieran (1989) sobre a construção da ideia de números racionais
pelos alunos.
O estudo parte do pressuposto de que os cursos de licenciatura em
matemática não trabalham de forma abrangente os conteúdos relacionados aos
diferentes construtos que compõem o conceito de números racionais e às
dificuldades em relação ao ensino e aprendizagem, e a compreensão de sua
estrutura como sistema, como conjunto de entes, relações e operações na educação
básica.
Com base na hipótese citada, o autor sintetiza o problema de pesquisa na
investigação das concepções e dificuldades dos alunos de licenciatura em
matemática sobre os diferentes construtos que compõem o conceito de números
racionais; como compreendem as operações elementares com estes números; seu
conhecimento sobre o ensino e aprendizagem deste conteúdo; concepções sobre o
ensino dos racionais e a maneira como é pensada no processo de formação dos
professores. Em síntese, trata do modo como estão sendo preparados os futuros
57
professores para ensinarem o objeto matemático números racionais (DAMICO,
2007).
Assim sendo, o objetivo desse trabalho foi identificar, descrever e categorizar
a formação de professores de duas universidades da região do ABC 8 em São Paulo,
no que tange ao ensino e aprendizagem dos números racionais.
O autor centra sua atenção em duas componentes, a saber: a que relaciona o
conhecimento profissional do professor, em conformidade com Shulman (1986) e o
conhecimento da matéria e conhecimento pedagógico do conteúdo.
Para realizar o estudo foram entrevistados 20 professores de cada instituição
e pesquisados 346 alunos. Desses, 189 eram iniciantes, sendo 113 alunos de uma
instituição e 76 de outra; 157 eram concluintes, sendo 75 alunos do 4.º ano de uma
instituição e 82 alunos do 6.º semestre de outra (DAMICO, 2007).
A coleta de dados foi feita por meio da aplicação de cinco instrumentos: no
primeiro instrumento, foi solicitado aos alunos concluintes que elaborassem oito
problemas que envolvessem frações para avaliarem os alunos do Ensino
Fundamental; no segundo, os alunos resolveram oito problemas, criados pelos
estudantes concluintes. No terceiro instrumento, submeteram-se todos os alunos
(iniciantes e concluintes) a uma avaliação com 20 questões, envolvendo números
racionais. No quarto instrumento, foram feitas entrevistas interativas com 10% dos
alunos concluintes. Já no quinto instrumento foram feitas entrevistas interativas com
41 professores. A interpretação dos dados se deu por meio de uma abordagem
qualitativa, precedida de um resumo estatístico.
Os resultados foram apresentados em três unidades, as quais foram
analisadas por meio do conhecimento matemático (conceitual e processual) dos
estudantes para professores em relação aos significados das frações como partetodo, operador, quociente ou divisão indicada, medida e coordenada; conhecimento
8
A região do ABC é uma região que faz parte da Região Metropolitana de São Paulo, porém com
identidade própria. A sigla vem das três cidades que formam a região, ou seja, A referindo-se a Santo
André , B a São Bernardo do Campo e C, a São Caetano do Sul.
58
matemático e o PCK (conhecimento pedagógico do conteúdo didático) nas
operações com frações (adição, multiplicação e divisão) e os números racionais na
formação universitária (DAMICO, 2007).
O autor concluiu que os estudantes, para serem professores, apresentam um
acentuado desequilíbrio entre o conhecimento conceitual e processual, e observou
também o baixo nível de conhecimento didático relacionado às representações dos
conteúdos ensinados no Ensino Fundamental no trato de números racionais
(frações) (DAMICO, 2007).
4.2 ESTUDOS RELACIONADOS AO ENSINO E À APRENDIZAGEM DA
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS COM FOCO NO
ALUNO
No tocante às representações fracionárias dos números racionais, focado no
aluno, utilizamos os trabalhos de Bezerra (2001); Merlini (2005) e Montinho (2005),
abordados a seguir.
4.2.1 Bezerra (2001): “Introdução do conceito de número fracionário e de suas
representações: uma abordagem criativa para a sala de aula”
Com o objetivo de investigar como ocorre a aquisição do conceito de número
fracionário, bem como de suas representações, o estudo tinha como proposta
averiguar a seguinte questão de pesquisa: ―Como abordar os conteúdos
relacionados ao número fracionário de forma que o aluno compreenda seu conceito
e estabeleça a relação entre o número e sua representação?‖ (BEZERRA, 2001, p.
2). Este autor elaborou uma sequência de ensino abordando os significados partetodo e quociente. Essa pesquisa foi desenvolvida com alunos das primeiras séries
do Ensino Fundamental, mais especificamente alunos da 3.ª série, para garantir,
segundo o autor, que esse seria o primeiro contato dessas crianças com o campo
numérico dos números racionais.
Tomando como base os estudos de Brousseau (1986), Bezerra (2001)
considera que o conjunto dos números naturais é um obstáculo epistemológico na
59
aprendizagem do conjunto dos números racionais (p. 16). Dentro dessa perspectiva,
o autor optou, ao desenvolver sua sequência, por uma abordagem que garantisse a
introdução do conceito de números fracionários, a partir do significado quociente, ou
seja, partindo do conceito de divisão, já abordado nos números naturais e de frações
impróprias.
A construção da sequência foi baseada na formulação de situações-problema,
que procuraram motivar os alunos a encontrar respostas que os levassem à
aplicação dos conceitos adquiridos em outras situações semelhantes, sempre
partindo de uma situação-problema, em que os alunos, fazendo uso de
determinados materiais que lhes eram significativos,9 caminhassem na direção da
construção do conceito do número fracionário.
A sequência de ensino proposta por Bezerra inicia-se com situaçõesproblema que abordam significado quociente e no desenvolvimento das sessões de
intervenção. São apresentadas também situações com o modelo parte-todo. O autor
considera que o modelo parte-todo é importante, mas não deve ser o único nem
deve ser o ponto de partida para o aprendizado das crianças, ―pois ele parece
oferecer uma barreira maior entre os números naturais e os fracionários‖
(BEZERRA, 2001, p. 168).
Segundo o autor foram fornecidas ―pistas significativas‖ para compreensão de
como se dá o processo de aquisição desse conhecimento. Ele destaca que a
principal contribuição do estudo para o entendimento de como ocorre a construção
do conceito de fração é a observação do papel fundamental que Bezerra chama de
―problemas concretos advindos da realidade‖.
4.2.2 Merlini (2005): “O conceito de fração em seus diferentes significados:
um estudo diagnóstico com alunos de 5.ª e 6.ª séries do Ensino Fundamental”
Este estudo teve por objetivo investigar as estratégias que os alunos, de 5.ª e
9
Inspirado por Carraher (1993); Nunes & Bryant (1997) e Nunes (1992, 1996 e 1998), Bezerra (2001)
empregou materiais simples como papel cartão, cartolina para representar grandezas contínuas;
bolinhas de gude, botões, entre outros, para representar grandezas discretas, além de utilizar-se de
jogos para desenvolver a problematização (BEZERRA, 2001, p. 87).
60
6.ª séries do Ensino Fundamental, utilizam quando em situação de resolução
problemas que abordam o conceito de fração envolvendo os significados propostos
por Nunes et al. (2003). Essa pesquisa procurou responder à seguinte questão de
pesquisa: ―Quais estratégias de resolução alunos de 5.ª e 6.ª séries utilizam frente a
problemas que abordam o conceito de fração, no que diz respeito aos cinco
diferentes significados da fração: número, parte-todo, quociente, medida e operador
multiplicativo?‖ (MERLINI, 2005, p. 24).
Essa pesquisa fundamentou-se, também, na Teoria dos Campos Conceituais
de Vergnaud e nas ideias de Nunes e Kieran em relação aos diferentes significados
da fração.
Foi um estudo diagnóstico com 120 alunos, sendo 60 alunos da 5.ª série e 60
alunos da 6.ª série do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas da rede
pública estadual da cidade de São Paulo.
A pesquisa de campo foi desenvolvida a partir de dois momentos previstos: 1)
Aplicação do questionário com situações-problema envolvendo os significados de
fração; este questionário foi aplicado coletivamente aos alunos, que responderam
individualmente; 2) Entrevistas clínicas: 12% da amostra.
De posse dos dados da pesquisa, foi feita a análise destes – qualitativa e
quantitativa. Depois deste primeiro exame, foi observado, segundo Merlini, que o
índice de sucesso foi muito baixo (aquém de 25%). Então, a autora optou ―por
analisar as estratégias que resultaram em erro (insucesso)‖ (MERLINI, 2005, p. 164).
Na análise geral, a pesquisadora constatou que não houve, em nenhuma das
duas séries pesquisadas, um desempenho equitativo entre os cinco significados da
fração, nem regularidade nas estratégias de solução.
Quanto às estratégias de resolução dos problemas, não houve uma
regularidade. Em outras palavras, para um mesmo significado encontramos
diferentes estratégias de resolução.
61
Merlini (2005) observa ainda que os resultados apresentados nos problemas
que envolviam parte-todo também estavam muito aquém do esperado. Concluiu
inferindo que a abordagem que se faz nas escolas do conceito de fração,
privilegiando alguns significados (parte-todo e quociente) em detrimento de outros,
não é garantia de que o aluno construa o conhecimento desse conceito (MERLINI,
2005, p. 221).
4.2.3 Montinho (2005): “Fração e seus diferentes significados: um estudo com
alunos das 4.ª e 8.ª séries do ensino fundamental”
Uma pesquisa análoga a de Merlini (2005) foi desenvolvida por Montinho
(2005). Assim como a anterior, essa investigação igualmente tinha por objetivo
identificar as concepções que alunos de 4.ª e 8.ª séries do Ensino Fundamental
utilizam perante problemas que abordavam o conceito de fração. Este estudo
procurou responder a seguinte questão de pesquisa: ―Quais as concepções que são
possíveis de se identificar com relação aos cinco diferentes significados da fração
(Número, Parte-todo, Quociente, Medida e Operador Multiplicativo), a partir da
aplicação de um estudo diagnóstico, com alunos das 4.ª e 8.ª séries do ensino
fundamental?‖ (MONTINHO, 2005, p. 4).
O protocolo de pesquisa foi o mesmo utilizado por Merlini (2005), assim como
a fundamentação teórica. Quanto à metodologia, tratou-se de uma pesquisa
diagnóstica realizada com a elaboração de um instrumento aplicado a 65 alunos da
4.ª e 58 alunos da 8.ª séries do Ensino Fundamental, distribuídos em duas escolas
da rede pública estadual da cidade de São Paulo.
Assim como Merlini (2005), Montinho (2005) analisou os resultados,
observando-se o desempenho e as estratégias utilizadas pelos alunos, quando
resolveram de forma errônea as questões propostas.
O pesquisador identificou algumas concepções adotadas pelos alunos:
▪ Os alunos da 4.ª série utilizaram mais o significado parte-todo para
resolver os problemas.
62
▪ Na 8.ª série, além do significado parte todo procuram resolver os
problemas com um uso sistemático de operações (o que não garantiu o
acerto) resultando um desempenho geral menor na 8.ª do que a 4.ª série
(MONTINHO, 2005, p. 201).
Destaca também o que o autor chama de falso teorema em ação na
concepção quociente, pois os alunos consideraram que toda fração deve ter
numerador menor que o denominador (MONTINHO, 2005).
Montinho concluiu afirmando sobre a necessidade de se garantir uma
diversidade maior de situações envolvendo diferentes concepções na busca de um
melhor aprendizado desse conceito ao longo das séries do Ensino Fundamental.
O autor propôs que nas primeiras séries do Ensino Fundamental seja
garantido o trabalho com os significados parte-todo, medida e quociente. Já na 5.ª
série a esse trabalho sejam acrescentados os significados número e operador
multiplicativo (MONTINHO, 2005, p. 202).
63
5 OS
CURRÍCULOS DE MATEMÁTICA E OS
RACIONAIS NA REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA
NÚMEROS
Nesta seção, apresentaremos informações concernentes às orientações
oficiais sobre a representação fracionária dos números racionais. Neste estudo,
pretendemos analisar como o professor compreende essa temática no currículo
oficial do Estado de São Paulo a partir de 2008, para 5.ª série/6.º ano do Ensino
Fundamental.
Trazemos para participar desta discussão os documentos oficiais, tanto no
âmbito estadual como no nacional, concernentes às orientações acerca da
representação fracionária dos números racionais. Na esfera estadual, abordamos as
Propostas Curriculares das décadas de 80 e 90, e o Currículo de 2008, e na esfera
federal, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).
É importante salientar que o currículo oficial para a rede pública de ensino
paulista, proposto desde 2008, foco deste estudo, faz referência aos documentos
oficiais aqui apresentados, motivo pelo qual iniciamos pela descrição das
orientações desses documentos.
5.1 PROPOSTAS CURRICULARES DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA O
ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL: DÉCADAS DE 80 E 90
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo foi elaborada pela equipe de
matemática da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP),
professores da rede estadual, monitores de matemática e professores da USP,
Unicamp, Unesp e PUC-SP, a partir do início da década de 80.
Sua elaboração é justificada no documento em virtude da constatação de
―problemas relativos ao ensino de matemática [que] já vinham sendo há muito tempo
diagnosticados por professores‖ (SÃO PAULO, 1997, p. 7). Os ―problemas citados‖
faziam ―coro‖ na época ao movimento de crítica ao Movimento da Matemática
Moderna (MMM) quanto à mecanização dos conteúdos; treino excessivo de
64
memorização, repetição e imitação na resolução de problemas; preocupação
excessiva com a álgebra, deixando-se de aplicar tópicos de geometria e exigência
de formalismo em nível de abstração em desacordo com o amadurecimento do
aluno.
Nas orientações contidas na Proposta Curricular de Matemática, observamos
o foco na cidadania, ou seja, a educação se apresenta como instrumento de
formação do cidadão consciente, com competência e aptidão para o exercício da
cidadania (SÃO PAULO, 1997). Aqui observamos também a influência com o
momento político social que o Brasil vivia. Assim, por meio de estudos dos órgãos
competentes, acontece a implantação de um novo currículo (SÃO PAULO, 1997, p.
5).
Este documento chama a atenção para as duas vertentes, que justificam a
inclusão da matemática no currículo escolar: ― A necessidade de atividades práticas
que lidam com grandezas, contagens, medidas e técnicas de cálculos. Desenvolver
raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar e projetar‖ (SÃO PAULO,
1997, p. 9).
Tais orientações indicam ainda o foco na participação ativa do aluno. Afirmam
que o trabalho do professor junto aos alunos não deve ser de apenas observar a
sequência dos temas e sua interdependência, mas também sua participação efetiva
tanto na assimilação como nas descobertas de ideias matemáticas, usando isso
como recurso na resolução de problemas. Dessa forma, esses procedimentos
pressupõem a elaboração de hipóteses e procedimentos para reinterpretar novas
problemáticas. (SÃO PAULO, 1997).
Esses documentos consideram a importância do cotidiano. Orientam o
professor para o fato de que ele precisa fazer com que haja o equilíbrio entre as
ações práticas e o desenvolvimento lógico dos alunos, conciliando conteúdo teórico
e concepções da matemática com experiências concretas, adequando esses
estudos à escola e à vida cotidiana.
Quanto à avaliação para os elaboradores das orientações, ela interage com a
65
aprendizagem, na medida em que é entendida como um elemento ligado a um
trabalho pedagógico que respeita a integração de conhecimentos. Salienta o papel
diagnóstico da avaliação ao afirmar que é necessário buscar subsídios que
possibilitem os diagnósticos do processo de aprendizagem do aluno, procurando
corrigir as possíveis distorções desses processos (SÃO PAULO, 1997).
As orientações oficiais indicam como instrumentos para avaliação de
matemática no ensino do 1.º grau10 as provas e testes escritos. Procuram analisar
as possibilidades de respostas corretas ou incorretas dos alunos. Salientam que o
resultado correto pode comprovar tanto o bom aproveitamento no aprendizado como
uma reprodução mecânica de certos modelos de exercícios. Já o resultado incorreto
pode demonstrar total ou parcial incompreensão ou compreensão do assunto
estudado.
O documento também chama a atenção para a necessidade de análise do
registro e ressalta que o desempenho apresentado pelo aluno ―é a expressão de
seu raciocínio que não necessariamente está visível ou é captado no resultado final
solicitado em uma prova ou teste‖ (SÃO PAULO, 1997, p. 17). Destaca ainda a
importância da análise dos caminhos utilizados pelas crianças na resolução de
situações-problema.
Argumenta
que
tais
caminhos
podem
indicar
tanto
procedimentos seguidos pelo professor como a criatividade do aluno no processo de
compreensão das representações. Esse documento afirma ainda que tais critérios
visam estabelecer metas no desenvolvimento das noções matemáticas por série, ou
períodos maiores, tanto no ciclo básico como nas séries subsequentes do 1.º grau,
seguindo orientações da proposta curricular (SÃO PAULO, 1997).
A Proposta Curricular de Matemática apresenta três grandes temas:
Números, Geometria e Medidas.
O referido documento, ao contrário das orientações anteriores, procura indicar
para o professor o tratamento dos temas de forma simultânea ao longo das oito
10
O regime militar implementou as reformas educacionais em 1971, por meio da Lei n.º 5.692, que
estabeleceu o sistema nacional de 1.° e 2.° graus. Assim sendo, o Ensino de 1.º grau era a
denominação dada na década de 80, pela Secretaria de Estado da Educação, ao ensino que hoje
equivale ao Ensino Fundamental.
66
séries, desenvolvendo paralelamente os assuntos, pretendendo-se assim adquirir
uma visão mais global da matemática. O documento apresenta uma proposta de um
tratamento ―não linear‖ ao conteúdo, indicando ao professor a opção pelo
agrupamento dos temas, tratando de maneira adequada e com a profundidade
possível, não devendo o professor trabalhar os temas de maneira linear e exaustiva.
Quanto aos conteúdos de matemática no Ensino Fundamental, propõe-se
que a introdução do Sistema de Numeração Decimal se dê por meio da vivência de
propostas, envolvendo classificações, sequência e simbolização, introduzindo
números naturais mediante a contagem e operações básicas. Segundo as
orientações contidas na Proposta Curricular de Matemática, tal sequência pretende
dar significado concreto ao tema.
Este documento chama a atenção para o fato de que nesse primeiro contato
com a matemática deve-se estabelecer uma linguagem simples, relacionando
valores quantitativos da realidade com o sistema numérico. Indica também tal
documento que, nas séries seguintes, a noção de número deve ser ampliada,
incorporando-se os números racionais sob representação fracionária, foco deste
estudo, assim como a apresentação das propriedades das operações numéricas.
Quanto à geometria, o documento sugere a exploração sensorial dos objetos
e percepções das formas, composição e decomposição de figuras, noções que
preparam também as atividades que envolvem medidas. Procura-se caracterizar as
formas por meio de propriedades e estabelecimentos de medidas, padronizando
algumas unidades do sistema decimal.
Nas séries finais do 1.º grau, o documento aponta para a necessidade de que
deverão ser aprofundadas algumas propriedades dos números, das formas e das
medidas, relacionando-se as propriedades numéricas e geométricas. No final do 1.º
grau, o documento propõe um trabalho com cálculos literais e técnicas para
resolução de equações e inequações, assim como a introdução dos números
irracionais (SÃO PAULO, 1997).
Como o nosso objeto de estudo é a fração, torna-se importante apresentar as
67
orientações indicadas para o desenvolvimento dos processos de ensino e
aprendizagem do tema.
5.1.1 Proposta Curricular de Matemática: representação de um número
racional absoluto sob a forma fracionária e sob a forma decimal
O documento destaca a importância do trabalho com representação
fracionária e decimal desde os anos iniciais e justifica afirmando que isso ajudará na
resolução de problemas.
É importante salientar que as orientações contidas no documento consideram
que os alunos já tenham exercitado comparações e operações com números
racionais nas séries anteriores. Assim, indicam a apresentação de conceitos de
forma sistemática e sugerem a utilização destes em problemas relacionados a
medidas e porcentagem.
Esse mesmo documento nos mostra como a representação do número
racional absoluto sob duas formas pode ajudar os seus cálculos. Considera também
que a leitura pode facilitar a representação fracionária de um número decimal, por
exemplo, 0,25 lê-se ―vinte e cinco centésimos‖, podendo facilitar a escrita da fração
(SÃO PAULO, 1997, p. 80).
O documento recomenda ainda que para a representação decimal de um
número fracionário pode-se usar o processo de reduzir a fração a outra equivalente
de denominador 10 ou potência de 10, por exemplo,
forma
, que pode ser escrita na
e representada por 0,4.
No caso de não ser tão simples transformar a fração em outra equivalente, o
documento chama a atenção para o fato de que é necessário encontrar o quociente
do numerador pelo denominador. Por exemplo, para a fração
, afirma-se ser mais
prático representar o decimal por meio da divisão do número 2 pelo número 6,
68
encontrando o resultado 0,33... (uma dízima periódica que será aprofundada com
estudo na 8.ª série).
Indica também este documento que, inicialmente, os alunos podem realizar,
com uso de materiais concretos, estudos na comparação entre frações com
denominadores iguais ou com frações que podem ser transformadas em
equivalentes. Nesse sentido, considera que, a partir do momento em que os alunos
já adquiriram o conhecimento do mínimo múltiplo comum (mmc), podem passar a
estudar a comparação entre frações, aplicando-se as propriedades das frações
equivalentes, por exemplo, multiplicando-se as frações (numerador e denominador)
por um valor que torne iguais os denominadores (SÃO PAULO, 1997).
As orientações contidas na Proposta e apresentadas aos professores
enfatizam ainda a importância da representação dos números racionais na reta
numerada. Observa-se que o aluno faz uma estimativa correta desse número e sua
localização entre dois naturais (SÃO PAULO, 1997).
Quanto às operações com números racionais, o documento considera que,
nesse momento, os alunos devem verificar se as propriedades de cálculos com
números racionais para adição e subtração são as mesmas propriedades que
aparecem com os números naturais, de modo que os nomes das propriedades
podem ser enfatizadas. Para essas operações, o documento não apresenta
situações exemplares.
No tocante à multiplicação de frações, o documento chama a atenção do
professor para o fato de que não cabe considerá-la unicamente como uma soma
reiterada de parcelas iguais, como muitas vezes é feita quase que exclusivamente
durante o processo de ensino dos Números Naturais. Salienta que o docente deve
estar atento à necessidade de modificar tal encaminhamento em relação à
multiplicação entre números racionais. O documento destaca a importância do
trabalho com significado para multiplicação de frações, pensando-se em partes de
parte de um todo.
No caso da divisão de frações, tal proposta enfatiza que existe a dificuldade
69
de dar significado à operação, por exemplo: ―Subdividir uma parte de um todo em
partes iguais e verificar o que cada parte representa do total, 2: = 6 pedaços‖ (SÃO
PAULO, 1997, p. 83).
A proposta traz ainda sugestão para que o professor trabalhe a divisão com
os alunos, usando situações-problema, partindo da multiplicação de partes, por
exemplo,
Quantos pedaços do tamanho
chocolate?
Comparando
do chocolate com
cabe uma vez e meia em
de um chocolate cabem em
barra de
chocolate, vemos que o pedaço de
chocolate:
(SÃO PAULO, 1997, p. 83).
Outra representação dos números racionais encontrada no material é a
porcentagem, e nesse estudo a proposta prevê que o tema já tenha sido tratado e
agora será trabalhado em aplicações:
▪ Calcular o preço de mercadoria com descontos representando por
porcentagem;
▪ Entender os significados dos valores escritos em porcentagem;
▪ Analisar tabelas e diagramas que envolvam porcentagem;
▪ Levantar dados e representar através de diagramas de barras e gráficos
de setores;
▪ Fazer comparação com números, ao interpretar problemas com
populações estatísticas, distribuições de renda, renda per capita e
densidade populacional (SÃO PAULO, 1997, p. 85).
Entendemos que as indicações contidas nessa Proposta Curricular de
Matemática antecederam e influenciaram os documentos oficiais federais (PCN). A
seguir, apresentaremos e analisaremos tais documentos, uma vez que o Estado de
São Paulo não elaborou nenhuma outra orientação curricular para os anos 90 e
início do ano 2000, ou seja, trata-se de documento que foi referência para o Estado
de São Paulo, visto que as escolas estaduais orientam-se pelas indicações contidas
nos PCN.
70
Portanto, fizemos a opção de apresentar tanto as orientações para os anos
iniciais do Ensino Fundamental (BRASIL, 1997) como as orientações dos PCN
(BRASIL, 1998) que orientam o trabalho docente dos anos finais desse segmento de
ensino, por considerar que existe uma relação forte entre os dois documentos.
5.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o Ensino Fundamental, do
Ministério da Educação e do Desporto (MEC), foram elaborados a partir de 1995.
Segundo o documento introdutório para o Ensino Fundamental, terceiro e quarto
ciclos (BRASIL, 1998), os PCN apoiam-se em normas legais. Lembramos que, do
ponto de vista legal, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBN)  Lei
Federal n.º 9.394, de 20 de dezembro de 1996  indica ser competência da União
estabelecer as diretrizes que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de
modo a assegurar uma formação básica comum.11
Ainda no documento introdutório informa que, para sua elaboração
procuraram: ―[...] contribuir na busca de respostas a problemas identificados no
ensino fundamental, objetivando uma transformação desse ensino que atenda às
demandas da sociedade brasileira atual‖ (BRASIL, 1998, p. 49).
Os PCN indicam a necessidade de uma formação básica, voltada para a
formação da cidadania justificada pela análise da conjuntura brasileira no contexto
mundial. Elas discutem a necessidade de equidade e qualidade de ensino. Chama a
11
O artigo 26 da LDBEN n.º 9.394/1996: Os currículos do ensino fundamental e médio devem ter uma
base nacional comum a ser complementada em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar,
por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura,
da economia e da clientela. Os currículos devem abranger, obrigatoriamente, o estudo da língua
portuguesa e da matemática, o conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e
política, especialmente do Brasil. O ensino da arte constituirá componente curricular obrigatório nos
diversos níveis da educação básica, de forma a promover o desenvolvimento cultural dos alunos. A
educação física, integrada à proposta pedagógica da escola, é componente curricular da Educação
Básica, ajustando-se às faixas etárias e às condições da população escolar, sendo facultativa nos
cursos noturnos. O ensino da História do Brasil levará em conta as contribuições das diferentes
culturas e etnias para a formação do povo brasileiro, especialmente das matrizes indígenas, africana
e europeia. Na parte diversificada do currículo será incluído, obrigatoriamente, a partir da quinta série,
o ensino de pelo menos uma língua estrangeira moderna, cuja escolha fica a cargo da comunidade
escolar, dentro das possibilidades da instituição.
71
atenção também para a formação dos professores, considerando-a primordial para
que estes se sintam capazes de incorporarem ao seu trabalho resultados de estudos
e das pesquisas na área da educação. Tal preocupação pode ser observada na
apresentação do documento de Matemática, quando considera que os PCN:
[...] poderão nortear a formação inicial e continuada de professores, pois à
medida que os fundamentos do currículo se tornam claros fica implícito o
tipo de formação que se pretende para o professor, como também orientar a
produção de livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma
para a configuração de uma política voltada à melhoria do ensino
fundamental (BRASIL, 1998, p. 15).
Assim, observamos uma relação muito forte, ao menos no que se refere ao
currículo prescrito, entre tal movimento de inovação curricular e a formação de
professores. Portanto, acreditamos que, analisar o que dizem os currículos, em
especial os PCN acerca do ensino de matemática e dos processos de ensino e
aprendizagem de fração, pode nos dar pistas sobre o que se espera do
Conhecimento Profissional Docente, que precisa ensinar frações. Assim, para
reforçar nosso entendimento, apresentamos um relato das indicações dos PCN,
tanto dos que orientam os profissionais que lecionam para os anos iniciais como os
que são direcionados aos professores dos anos finais do Ensino Fundamental.
5.2.1 Os números racionais nos Parâmetros Curriculares Nacionais: primeiro
e segundo ciclos do Ensino Fundamental
As orientações contidas nos PCN consideram que os alunos do Ensino
Fundamental desde os anos iniciais devem compreender que só o conhecimento de
números naturais não é suficiente para a resolução de determinados problemas,
sendo necessário compreender as representações fracionárias dos números
racionais (BRASIL, 1997).
Os PCN chamam a atenção para o fato de que é na relação entre a divisão de
dois números inteiros que se caracteriza a construção da ideia de número racional,
e, quando se divide um número inteiro por outro número inteiro, exceto divisor zero,
temos como resultado um número racional (BRASIL, 1997). Eles consideram
também que não é possível exprimir apenas com uso de naturais a medida de uma
72
grandeza ou resultado de uma divisão. Assim, o principal objetivo apresentado é que
o aluno perceba que, com o conhecimento e aprendizagem dos números racionais,
novos problemas podem ser solucionados .
De acordo com os PCN, ao pensarem em números racionais como se fossem
números naturais, os alunos encontram várias dificuldades para este aprendizado:
▪ Um número racional pode ser representado de diferentes maneiras na
forma escrita fracionária, por exemplo,
1 2 4
,
e
são os mesmos números
2 4 8
com representações diferentes.
▪ Na comparação de números racionais, os alunos têm que construir uma
escrita que contradiz a ideia de comparação feita entre os números naturais,
exemplo,
1 1
< ;
5 3
▪ Com relação ao tamanho da escrita numérica da ordem de grandeza dos
números naturais, não obedecem ao mesmo critério para os números
racionais, por exemplo, 6.425 > 65, no entanto 6,425 < 6,5;
▪ Na multiplicação entre dois números naturais (diferentes de zero ou um) a
expectativa é encontrar um número natural maior que ambos, já ao
multiplicar um número natural por uma fração isso não acontece, por
exemplo, 20 x
1
, o resultado será menor que 20;
2
▪ Com relação a sequência dos números racionais, não tem sentido falar em
sucessor, ou antecessor, pois, entre dois números racionais quaisquer,
sempre é possível encontrar outro racional, exemplo, entre 0,6 e 0,7 o aluno
poderá perceber que existem 0,61; 0,614; 0,69... (BRASIL, 1997, p. 67).
O documento indica ainda a necessidade de o professor desenvolver seu
trabalho, considerando os diferentes significados para os números racionais na
representação fracionária em situações-problema: parte-todo, quociente, razão e
número racional como operador.
Segundo os PCN, a relação parte-todo é quando um todo se divide em partes.
Assim, a fração indica que existe uma relação entre um número de partes e o total
de partes (equivalente em quantidade de superfície ou elementos). O quociente, de
acordo
com
esse
mesmo
documento,
na divisão de dois números naturais (m  n =
é
o
resultado
e
se
baseia
m
; n ≠ 0) (BRASIL, 1997, p. 69).
n
A outra situação é a razão que se caracteriza quando a fração é usada como
73
comparação entre duas quantidades de uma grandeza (exemplo: 3 em cada 10
estudantes gostam de matemática) (BRASIL, 1997, p. 69).
A fração como operador, segundo esse mesmo documento, é indicada
quando esta fração desempenha um papel de transformação de algo que atua sobre
uma situação e modifica ―(Exemplo: Que número devo multiplicar por 3 para obter
2?)‖ (BRASIL, 1997, p. 69).
Podemos notar, analisando tal documento oficial, que há uma preocupação
em orientar o professor dos anos iniciais a realizar um trabalho considerando
diferentes significados da fração.
Até a presente descrição, apresentamos orientações curriculares para
professores dos anos iniciais, pois o documento (PCN, 1997) reporta-se a este.
Todavia, cabe ressaltar que os docentes, foco dessa pesquisa, foram orientados
sobretudo pelos PCN publicados em 1998.
5.2.2 Os números racionais nos Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e
quarto ciclos do Ensino Fundamental
Os PCN (BRASIL, 1998) foram elaborados especificamente para orientar os
docentes que lecionam para os anos finais do Ensino Fundamental.
Embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais
sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que
os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes
significados associados a esse tipo de número e tampouco os
procedimentos de cálculo, em especial os que envolvem os racionais na
forma decimal (BRASIL, 1998, p. 100-101).
Os documentos afirmam ainda, como nos PCN de 1997, que uma das
possíveis dificuldades encontradas pelos alunos é que as ideias da aprendizagem
dos
números
racionais
supõem
rupturas
com
as
ideias
formadas
nas
representações, comparações e cálculos com números naturais. Ele ressalta
também, assim como as outras orientações analisadas em nosso trabalho, que a
resolução de problema é o foco do ensino da matemática. Esse fato pode ser
74
observado quando indicam que no terceiro e quarto ciclos12 o aprendizado dos
números racionais deve ter como principal fundamento
o desenvolvimento de
habilidades na aplicação de conceitos para a solução de problemas pelos alunos.
No terceiro e no quarto ciclo a abordagem dos racionais, em continuidade
ao que foi proposto para os ciclos anteriores, tem como objetivo levar os
alunos a perceber que os números naturais são insuficientes para resolver
determinadas situações-problema como as que envolvem a medida de uma
grandeza e o resultado de uma divisão (SÃO PAULO, 1998, p. 101).
Os PCN justificam que as demais orientações explanadas até aqui ressaltam
a importância de lidar com essa temática, pois esse procedimento possibilita que o
aluno perceba a insuficiência em se trabalhar somente com números naturais para
resolução de problemas, por exemplo, os que envolvem medidas de uma grandeza
e o resultado de uma divisão (BRASIL, 1998, p. 101).
Quanto às orientações para o ensino, os PCN (1998) sugerem inicialmente
abordar o estudo dos números racionais, envolvendo medidas sob uma perspectiva
da resolução de problemas em um contexto histórico. Orientam os docentes para
utilizar fatos que façam lembrar os que deram origem a esses números,
exemplificando que os egípcios já usavam a fração para operar com pesos e
medidas e para exprimir resultados.
Os PCN relatam que estes egípcios utilizavam frações com numerador 1
(um), exceto
2
3
19
1 1
e . Assim, em uma divisão de
expressavam 2+ + . Propõem
3
4
8
4 8
que o professor indique ao aluno que verifique se a soma dos termos é igual a
19
8
(BRASIL, 1998, p. 102).
Chamam atenção, assim como os PCN de 1998, para o fato de que os
números racionais assumem diferentes significados: relação parte-todo, divisão e
razão (BRASIL, 1988, p. 102).
12
Nas orientações contidas nos PCN (BRASIL, 1998), o terceiro ciclo equivale às quintas e sextas
séries (hoje, com a escola de nove anos seria o que é denominado 6.º e 7.º anos).
75
O significado parte-todo é apresentado da forma como um todo se divide em
partes que se equivalem. Outro modo de interpretar o número racional é como
quociente de um número por outro. O número racional é interpretado como razão
quando é usado como índice de comparação entre duas quantidades; quando
envolvem
probabilidades,
abordam
escalas,
bem
como
quando
trata
de
porcentagem. Outro significado de um número racional é o de operador, isto é,
quando atua sobre uma determinada situação e a transforma.
Consideram ainda os PCN que as interpretações dadas aos números
racionais devem ser tratadas de forma compacta e sistemática ao longo do
segmento de ensino a que se propõe (últimos anos do Ensino Fundamental),
possibilitando a análise e a comparação em diferentes situações.
Verifica-se que as orientações contidas nos PCN de 1998 complementam
aquelas apresentadas nos PCN de 1997, os quais apontam para o fato de que no
cotidiano se observa que os números racionais aparecem com mais frequência na
forma decimal; mas o estudo na forma fracionária justifica-se fundamentalmente
para desenvolver outros conteúdos matemáticos (proporções, equações, cálculos
algébricos).
Esse documento orienta o professor para o trabalho com as dízimas
periódicas. Afirma também que, relativamente aos cálculos que envolvem dízimas
periódicas, a representação na forma fracionária obtém resultado com maior
precisão, pois não é necessário fazer arredondamento numérico.
Os PCN (1998) enfatizam, igualmente, que a compreensão das diferentes
representações dos números racionais (fracionária, decimal e percentual) leva o
aluno a usar a forma mais adequada para indicar um resultado. Além disso, na
resolução de problemas que envolvem comparações ou operações com números na
forma fracionária, os alunos adquirem maior facilidade com os conceitos de
equivalência.
A proposta destaca ainda a importância de o aluno perceber que pode fazer
estimativas com números racionais na forma decimal usando os números naturais.
76
Por exemplo, para calcular 7.9 x 5.7, fazendo mentalmente 8x6, encontramos um
resultado que dá uma referência para o cálculo, apesar de obter um resultado exato
(BRASIL, 1998 p.103)
Quanto às operações, o documento indica que para adição e subtração
envolvendo frações, que têm diferentes denominadores, aplicam-se as propriedades
de frações equivalentes. No caso da multiplicação entre frações, ela se apoia na
ideia de ―partes de partes do total‖. Na divisão, envolvendo frações, interpreta-se
como ―partes que cabem em partes‖ (BRASIL, 1998, p. 104-105).
A Proposta Curricular de São Paulo (2008) elaborada para o Ensino
Fundamental Ciclo II e Ensino Médio teve como referência os PCN (Parâmetros
Curriculares Nacionais – 1998), e essa proposta é uma das principais fontes
utilizadas nesta investigação.
5.3 CURRÍCULO OFICIAL DO ESTADO DE SÃO PAULO (2008)
Em 2008, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (SEE-SP)
propôs um currículo básico comum para as escolas da rede estadual nos níveis de
Ensino Fundamental (Ciclo II)13 e Ensino Médio.
Segundo esse documento  Proposta Curricular de 2008 , para a
implementação do novo Currículo a SEE/SP realizou um levantamento do acervo
documental técnico pedagógico já existente. Ele afirma, ainda, que iniciou um
processo de consulta às escolas e professores no sentido de identificar, sistematizar
e divulgar as práticas positivas que estavam sendo trabalhadas nas escolas de São
Paulo. A partir desse estudo, procurou-se articular o conhecimento e a herança
pedagógica com as experiências escolares bem-sucedidas.
Vale ressaltar que o documento de orientação denominado Proposta
Curricular (2008) foi a primeira versão do que foi chamado Currículo do Estado de
São Paulo: Matemática e suas Tecnologias, editado em 2010. Segundo esse último
13
Segundo a SEE/SP a denominação Ciclo II refere-se aos anos finais do Ensino Fundamental (do
sexto ao nono anos).
77
documento, a Proposta Curricular (2008) deu origem à ―versão definitiva dos textosbase do Currículo da Secretaria da Educação para o Ensino Fundamental- Ciclo II e
o Ensino Médio da rede pública do Estado de São Paulo‖ (SÃO PAULO, 2010, p. 3).
Nesta dissertação, apresentamos as ideias comuns aos dois documentos e
fazemos referência tanto a um como outro, sempre que houver algum elemento que
os diferencie.
A elaboração de um texto-base para discutir o currículo, segundo o
documento Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas Tecnologias, tem
como objetivo ―apoiar o trabalho nas escolas contribuindo para melhoria na
qualidade no aprendizado dos alunos, [...] [garantindo] a todos uma base comum de
conhecimento e de competência‖ (SÃO PAULO, 2010, p. 7).
O Currículo Oficial de São Paulo, já em 2008, apresentava como princípios
centrais: a escola que aprende; o currículo como eixo de aprendizagem; prioridade
da competência de leitura e de escrita; a articulação das competências para
aprender e a contextualização do mundo do trabalho, fato reiterado no documento
de 2010 (SÃO PAULO, 2008, p. 12).
Os princípios que orientam esse currículo procuram ainda, segundo seus
elaboradores, promover as competências para que os jovens possam enfrentar os
desafios sociais, culturais e profissionais do mundo contemporâneo (SÃO PAULO,
2010, p. 7).
O Currículo apresenta um conjunto de documentos para orientação da gestão
escolar
(Caderno
do
Gestor),
dirigido
especialmente
aos
Professores
Coordenadores, Diretores e Supervisores de escola. Traz também como material de
apoio o Caderno do Professor (CP) e o Caderno do Aluno (CA), organizados por
disciplina, série/ano e bimestre. Tais documentos têm por finalidade oferecer aos
docentes a orientação no trabalho dos conteúdos e aprendizagem dos alunos (SÃO
PAULO, 2010).
O Currículo é subdividido em quatro áreas: Ciências Humanas e suas
78
Tecnologias; Ciências da Natureza e suas Tecnologias; Linguagem de Códigos e
suas Tecnologias; e, finalmente, Matemática e suas Tecnologias. Como foco neste
trabalho é o currículo de Matemática, e esta disciplina, para os gestores do Currículo
do Estado de São Paulo, é considerada uma área específica, diferentemente dos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), apresentaremos
a seguir os argumentos utilizados pelos autores desse documento para tal decisão
(SÃO PAULO, 2008, p. 38).
5.3.1 Concepção do ensino na área de matemática e suas tecnologias
Segundo os documentos oficiais de 2008, assim como foi apresentado na
proposta curricular de 1986, há dois componentes básicos dos currículos escolares
em todos os tempos e em todas as culturas: a matemática e a língua materna. Eles
afirmam que antigamente a escola tinha como objetivo principal ensinar a ―ler,
escrever e contar‖, mas hoje essa ideia se ampliou, inserindo o interesse pelas
múltiplas formas de linguagens, estendendo-se para o universo das ciências e da
tecnologia (SÃO PAULO, 2010, p. 25).
As orientações contidas no currículo estabelecido a partir de 2008 ressaltam o
fato de que as propostas curriculares do Estado de São Paulo, elaboradas a partir
de 1984, já consideravam a matemática como uma área especifica, buscando
aproximar os conteúdos escolares e universos da cultura, em especial no que tange
ao tratamento das contextualizações visando uma instrumentação crítica para o
mundo do trabalho.
Assim, o novo Currículo, diferentemente dos Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (PCNEM),14 mantém a matemática como uma área
específica, distinto tanto das linguagens e códigos quanto das ciências da natureza,
e apresenta três razões para a constituição de uma área do conhecimento particular
da matemática. Afirma que isso se deve ao fato de este currículo ser constituído com
base na proposta anterior (SÃO PAULO, 2010, p. 26).
14
Neste trabalho não descrevemos o PCNEM, pois o nosso foco é o Ensino Fundamental. Todavia,
alguns princípios discutidos no PCNEM documento são também utilizados no Currículo de São Paulo.
79
Para tanto, o documento apresenta as três razões para justificar tal escolha
para constituição de uma área de conhecimento específico da matemática: a
primeira razão é que a matemática apresenta um universo próprio de ideias e
objetos, mais especificamente, os números e as operações, as formas geométricas,
as relações entre esses temas. Este currículo justifica que tais ideias e objetos são
fundamentais para a expressão pessoal, compreensão de fenômenos, a construção
de representações e argumentações para vários contextos, incluindo-se as
chamadas Ciências Humanas.
Já nos PCNEM a Matemática está incluída nas áreas de Ciências da
Natureza, o que diminui o risco de que na escola básica o conteúdo matemático
tenha um fim em si mesmo, enfatizando sua condição instrumental (SÃO PAULO,
2010, p. 26).
Todavia, as orientações contidas no PCNEM ressaltam que, com o Exame
Nacional do Ensino Médio (ENEM), tal risco deixa de existir, e consolida a ideia de
competências, deixando claro o que era apresentado de maneira implícita nas
propostas anteriores: que todos os conteúdos disciplinares de todas as áreas são
meios para a formação dos alunos como cidadãos. Portanto, se, com o ENEM, o
debate sobre a aquisição de competência se instalou, os elaboradores do Currículo
de São Paulo consideram que a matemática como área de conhecimento já não
oferece tal perigo.
A segunda razão para apresentar a matemática como uma área do
conhecimento é que, se agregar a matemática à linguagem e às ciências da
natureza poder-se-ão empobrecer partes importantes e específicas da matemática
(SÃO PAULO, 2010, p. 27).
O PCNEM justifica ao afirmar que a matemática e a língua materna se
complementam, sendo impossível reduzir um dos sistemas simbólicos a outros.
Ressalta ainda que, mesmo existindo diferenças fundamentais entre os significados
da precisão na língua materna e na matemática, os alunos devem ser conduzidos a
perceber e a apreciar a beleza presente tanto na exatidão do cálculo como na forma
expressa em um texto (SÃO PAULO, 2010, p. 27).
80
A terceira razão para o tratamento da matemática como área específica é a
possibilidade de se incorporarem os vários recursos tecnológicos existentes na
representação e tratamento das informações, buscando transformar as informações
em conhecimento (SÃO PAULO, 2010, p. 27).
É dessa maneira que o Currículo Oficial do Estado de São Paulo (2010)
justifica e esclarece a apresentação da matemática como área de conhecimento.
5.3.2 O currículo de matemática para o Ensino Fundamental (Ciclo II)
Reiteramos que, para os elaboradores do currículo, este tem como objetivo a
organização dos conteúdos de cada disciplina de forma que possibilitem o
tratamento dos dados de maneira a transformar em informações para que sirvam de
base para a construção do conhecimento. Portanto, segundo este documento, ―tudo
é tratamento de informação‖ (SÃO PAULO, 2010, p. 29).
O currículo mapeia temas e conteúdos importantes para apresentar de forma
clara o tratamento da informação e construção de conhecimento, indicando os temas
relevantes a serem estudados que darão suporte para o desenvolvimento das
competências pessoais (SÃO PAULO, 2010, p. 36).
Os elaboradores sustentam que, no currículo prescrito, a matemática deve ser
articulada a todas as formas de expressão e, em especial, com as tecnologias
informáticas. Observamos aqui um diferencial entre o que propõe esse currículo e os
anteriores, ou seja, o foco na Tecnologia da Informação.
Este currículo indica que, por meio das diversas disciplinas, os alunos buscam
de forma ordenada o conhecimento para o desenvolvimento de competências
básicas para a sua formação pessoal (SÃO PAULO, 2010, p. 29).
O Currículo de São Paulo discute a centralidade da comunicação e afirma que
desde os anos iniciais a matemática e a língua materna são disciplinas básicas dos
currículos escolares. As crianças aprendem a se expressar e a se comunicar na
81
língua materna e ao mesmo tempo estudam compulsoriamente a matemática.
Assevera-se ainda que, nos currículos, a matemática aliada à língua materna
deve ser um recurso para uma expressão rica, uma compreensão abrangente, uma
argumentação correta, um enfrentamento assertivo de situações-problema, uma
contextualização significativa dos temas estudados (SÃO PAULO, 2010, p. 30).
Assim sendo, os elaboradores mostram a importância da contextualização, ou
seja, os conteúdos disciplinares devem ser valorizados por meio do contexto. Esse
documento defende que a contextualização deve ser equilibrada com o
desenvolvimento de outras competências, como abstrair o contexto; imaginar
contextos fictícios; propor novas soluções para problemas já existentes. Eles
consideram, enfim, que na construção do conhecimento o ciclo se completa com o
movimento entre contextualizar e abstrair.
Estes elaboradores chamam a atenção, assim como nos PCN, para os três
eixos de competências, que indicam que eles norteiam a ação educacional:
expressão/compreensão; argumentação/decisão; contextualização/abstração.
Os conteúdos de matemática encontram-se organizados por bimestres
(quatro bimestres de cada série/ano). Com um ou dois temas dominantes que
servem de base para desenvolver os demais conteúdos de maneira a facilitarem
uma forma de abordagem que favoreça o uso da tecnologia, da modelagem e dos
materiais concretos. Considera-se ainda ser fundamental que o professor apresente
todos os conteúdos possíveis de cada bimestre. A seguir, expomos a Proposta
Curricular de Matemática do Estado de São Paulo.
QUADRO 2 – Conteúdos de matemática por série e bimestre
do Ensino Fundamental (Ciclo II)
5.ª série
6.ª série
7.ª série
8.ª série
4.º bimestre
3.º bimestre
2.º bimestre
1.º bimestre
82
NÚMEROS NATURAIS
- Múltiplos e divisores
- Números primos
- Operações básicas
- Introdução às potências
NÚMEROS NATURAIS
- Sistemas de numeração
na Antiguidade
- O sistema posicional
decimal
FRAÇÕES
- Representações
- Comparação e
ordenação
- Operações
NÚMEROS INTEIROS
- Representação
- Operações
NÚMEROS RACIONAIS
- Representação
fracionária e decimal
- Operações com
decimais e frações
NÚMEROS DECIMAIS
- Representação
- Transformação em
fração decimal
- Operações
SISTEMAS DE MEDIDA
- Comprimento, massa e
capacidade
- Sistema métrico decimal
GEOMETRIA/
MEDIDAS
- Formas planas e
espaciais
- Noção de perímetro e
área de figuras planas
- Cálculo de área por
composição e
decomposição
NÚMEROS REAIS
- Conjuntos numéricos
- Números irracionais
- Potenciação e
radiciação em R
- Notação científica
POTENCIAÇÃO
- Propriedades para
expoentes inteiros
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- A linguagem das
potências
GEOMETRIA/
MEDIDAS
- Ângulos
- Polígonos
- Circunferência
- Simetrias
- Construções
geométricas
- Poliedros
ÁLGEBRA
- Equivalências e
transformações de
expressões algébricas
- Produtos notáveis
- Fatoração algébrica
ÁLGEBRA
- Equações do 2.º grau:
resolução e problemas
- Noções básicas sobre
função: a ideia de
interdependência
- Construção de tabelas
e gráficos para
representar funções de
1.º e 2.º graus
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
- Proporcionalidade direta
e imersa
- Razões proporções,
porcentagens
- Razões constantes na
geometria:
ÁLGEBRA/
EQUAÇÕES
- Equações de 1.º
grau
- Sistemas de
equações e resolução
de problemas
- Inequações de 1.º
grau
- Sistemas de
Coordenadas (plano
cartesiano)
GEOMETRIA/
MEDIDAS
- Proporcionalidade,
noção de semelhança
- Relações métricas
entre triângulos
retângulos
- Razões
trigonométricas
GEOMETRIA/
MEDIDAS
- Teorema de Tales e
Pitágoras:
apresentação e
aplicações
- Área de polígonos
- Volume do prisma
GEOMETRIA/
MÉDIAS
- O número ¶; a
circunferência, o círculo
e suas partes, área do
círculo.
- Volume e área do
cilindro
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Gráficos de setores
- Noções de probabilidade
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Leitura e construção de
gráficos e tabelas
- Média aritmética
- Problemas de contagem
NÚMEROS
RACIONAIS
- Transformação de
decimais finitos em
frações
- Dízimas periódicas e
fração geratriz
ÁLGEBRA
- Uso de letras para
representar um valor
desconhecido
- Conceito de equação
- Resolução de equações
- Equações e problemas
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
- Contagem indireta e
probabilidade
Fonte: SÃO PAULO, 2008, p. 52-55.
Analisando a listagem, concordamos com Garcia Silva et al. (2010) quando
afirmam:
[...] a tabela apresentada, não se diferencia de forma substancial do elenco
de conteúdos culturalmente ensinado... Entretanto, ao analisar o documento
que apresenta a Proposta Curricular (2008) e os Cadernos do Professor
(2008) e Aluno (2008) observamos um destaque ao Tratamento de
Informação e as ideias fundamentais a serem exploradas nos diferentes
conteúdos (GARCIA SILVA et al., 2010, p. 3115).
83
Na citação, a autora observa que os conteúdos não diferenciam muito
daqueles tradicionalmente abordados nos livros didáticos, mas destaca a
metodologia no tratamento dos diferentes conteúdos.
O quadro de conteúdos é apresentado de forma diferente do quadro do
currículo de 2010, que organiza as grades curriculares (série/ano por bimestre) para
as quatro séries/anos finais do Ensino Fundamental e para as três séries do Ensino
Médio, com os conteúdos associados a habilidades (SÃO PAULO, 2010, p. 55).
Esse Currículo de São Paulo (2010) apresenta as ideias fundamentais a
serem trabalhadas pela proporcionalidade, equivalência, ordem e aproximação.
Indica também que as mesmas ideias podem ser exploradas em vários conteúdos e
desenvolver a capacidade de compreender, argumentar e expressar. Afirma ainda
que as ideias fundamentais apresentadas têm para cada tema duas características:
a primeira, interdisciplinaridade interna, consiste em desenvolver conceitos dentro
da própria disciplina envolvendo, por exemplo, aritmética, álgebra, trigonometria etc.
Outra característica destacada é a interdisciplinaridade entre as disciplinas,
desenvolvendo assuntos que podem ser abordados, por exemplo, em física,
química, geografia etc.
Reiteramos que a lista de conteúdo desenvolvida para o estudo na escola
básica recorre aos assuntos usuais já existentes nos vários programas e materiais
didáticos próximos da prática dos professores.
Em 2008, os conteúdos, conforme se observa no quadro anterior (Quadro 2),
foram organizados em quatros blocos temáticos: Números, Geometria, Medidas e,
por último, um componente que se refere à Representação de Dados e ao
Tratamento da Informação.
Em 2010, a organização dos conteúdos básicos é apresentada em três
blocos: Números (equivalência / ordem, simbolização / operações); Geometria
(percepção / concepção, constrição / representação) e Relações (medidas /
aproximações, proporcionalidade / interdependência).
84
Para esta pesquisa, apresentamos parte dos conteúdos de Matemática do
Ensino Fundamental (Ciclo II), aquela referente ao ensino das frações, no 6.º ano e
7.º ano do Ensino Fundamental.15
Observamos que os conteúdos estão organizados em três grandes blocos e
estes têm pontos de intersecção, assim os temas ensinados em todas as
séries/anos podem ser articulados para construção do conhecimento (SÃO PAULO,
2010).
No tocante ao processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos básicos,
para o Ensino Fundamental, o bloco de conteúdos denominados Números, tem
como objetivo aprimorar a linguagem numérica e as representações algébricas na
construção de uma linguagem mais abrangente.
Para o bloco Geometria, o documento destaca a preocupação inicial para o
reconhecimento, representação e classificação das formas planas e espaciais,
priorizando para o quinto e sexto anos o trabalho no contexto concreto, e para os
anos subsequentes, no contexto do raciocínio lógico. A proposta considera ainda
que a geometria deve ser trabalhada em todas as séries/anos, cabendo ao professor
a apresentação destes conteúdos nos diversos bimestres (SÃO PAULO, 2010).
O terceiro bloco temático é chamado de Relações, que é o estudo das
medidas, comparações de grandezas, usando padrões expressos por meio de um
número.
Segundo seus elaboradores, esse novo Currículo proposto leva em conta o
tratamento dos conteúdos por meio dos expressivos números de experiências bemsucedidas a serem compartilhadas (SÃO PAULO, 2010).
Para apresentação dos conteúdos, os documentos oficiais enfatizam a
importância da construção dos significados, da narrativa, da problematização e
15
No Anexo A, encontra-se na íntegra a distribuição dos conteúdos apresentados no documento da
Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo.
85
otimização dos temas. Portanto, consideram que o professor precisa elaborar as
suas aulas levando em conta a necessidade de chamar a atenção do aluno, criando
―centro de interesse‖ para o assunto apresentado que não seja apenas como
conteúdo programático da disciplina, mas também influenciem nas relações
interdisciplinares ou mesmo nas temáticas transdisciplinares16 (SÃO PAULO, 2010,
p. 47).
As orientações contidas no currículo propõem ao professor autonomia na
preparação do planejamento sobre ―o que‖, ―como‖ e ―com que grau de
profundidade‖ serão abordados os conteúdos da grade curricular, tendo como
objetivo didático pedagógico a flexibilidade de ampliar ou reduzir a atenção da
abordagem de um determinado assunto. O currículo proposto considera que os
conteúdos apresentados em seus diversos temas devem desenvolver as
competências, e ressalta que o proveito dos assuntos está na forma de abordagem
feita pelo professor em sala de aula (SÃO PAULO, 2010, p. 51).
No material de apoio ao docente (Caderno do Professor) cada bimestre divide
o tema principal em oito unidades, que serão exploradas em quatro situações de
aprendizagem. Cabe ao professor agora dimensionar o tempo dedicado a cada uma
das situações.
Quanto à organização dos trabalhos de sala, enfatiza-se nessa orientação a
importância do papel do professor na aula expositiva, e sustenta que este pode
também utilizar outros recursos, inclusive os advindos das tecnologias informáticas
(SÃO PAULO, 2010, p. 53).
Em relação à avaliação, o documento sugere ao professor que trabalhe com
vários instrumentos: provas, trabalhos, relatos orais, atividades em grupo etc.
No tocante à organização das grades curriculares (série/ano por bimestre), a
proposta pretende que aconteça a articulação dos diversos temas que fundamentam
16
Quanto à classificação referente aos tipos de interação entre as disciplinas, Japiassú (1976) aponta
que a interação pode ocorrer em diferentes níveis de complexidade, e para distinguir esses níveis
foram criados os termos interdisciplinaridade e transdisciplinaridade.
86
o currículo, buscando a formação para as competências pessoais na abordagem dos
conteúdos, no sentido de valorizar a cultura e o mundo do trabalho, tendo a escola
como uma organização que busca o ensino e também aprende.
Como nosso foco é o conceito de frações, introduzido no ―Caderno do
Professor‖ para os 6.º e 7.º anos, no próximo capítulo analisaremos as orientações
sobre esse conceito expressas na Proposta Curricular de São Paulo e inseridas nos
referidos cadernos.
87
6 CONCEITO DE FRAÇÕES:
AS ORIENTAÇÕES CONTIDAS NOS
CADERNOS DO PROFESSOR (SÃO PAULO, 2008-2010)
Apresentamos as orientações contidas na Proposta Curricular de São Paulo
sobre os temas e conteúdos a serem trabalhados pelos professores.
6.1 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 1
O Caderno do Professor de Matemática (CP) para 5.ª série/6.º ano do Ensino
Fundamental, Volume 1, foi editado em 2008 e 2009. Abordaremos a edição de
2009.
Inicialmente, tal material apresenta uma ficha com as seguintes orientações:
FICHA DO CADERNO
Números: da contagem à medida
Nome da disciplina:
Matemática
Área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
Ensino Fundamental
5.ª
1.º bimestre de 2009
Aulas semanais:
5
Semanas previstas:
8
Aulas no bimestre:
40
Temas e conteúdos:
Sistema de numeração decimal
Números naturais
Múltiplos e divisores
Frações
(SÃO PAULO, 2009a, p. 7)
O CP é organizado para desenvolver os temas e os conteúdos em oito
unidades a serem trabalhadas em oito semanas. As unidades estão apresentadas
em um quadro denominado Quadro geral de conteúdos do 1.º bimestre da 5.ª série
do Ensino Fundamental, como segue:
Unidade 1 – O sistema de numeração decimal: características.
Unidade 2 – Significado das operações e resolução de problemas.
88
Unidade 3 – Sequências numéricas e múltiplos de um número natural.
Unidade 4 – Divisibilidade e números primos.
Unidade 5 – Potenciação.
Unidade 6 – Representação fracionária.
Unidade 7 – Equivalência de frações.
Unidade 8 – Operações com frações.
(SÃO PAULO, 2009a, p. 10, grifos dos autores).
Ao longo dos cadernos são apresentadas quatro situações de aprendizagem,
e cada uma identifica: tempo previsto para desenvolvimento; conteúdos; temas;
competências e habilidades, finalizando com estratégias de procedimento, sugerindo
e instrumentalizando o professor para as suas aulas.
Em sintonia com a forma de abordagem, sempre que possível, são
apresentados materiais que podem ser utilizados pelo professor em suas aulas, por
exemplos: textos, softwares, sites, vídeos, entre outros.
Ao final do desenvolvimento de cada Situação de Aprendizagem são
apresentadas ainda considerações sobre a avaliação e conteúdos indispensáveis no
desenvolvimento das competências.
No caderno da 5.ª série, é apresentado para o 1.º bimestre o estudo com
números naturais e as frações. Os autores partem do princípio de que os alunos já
tenham trabalhado com os temas de números naturais e fracionários nas séries
anteriores. Eles afirmam que nesse momento deve ocorrer uma ampliação do
conhecimento acerca desses números (SÃO PAULO, 2009a, p. 9).
Os temas são relacionados aos conteúdos e apresentados na forma de quatro
Situações de Aprendizagem, descritas na sequência.
A Situação de Aprendizagem 1: Sistema de Numeração e suas Operações
traz a proposta de desenvolver os temas: Sistema de Numeração Decimal e
Números Naturais nas unidades 1 e 2, com objetivo de mostrar que o sistema
decimal se baseia em um tipo particular de agrupamento. Essas duas unidades,
segundo este material, poderão orientar os alunos a compreender a ideia de
89
correspondência, contagem em agrupamentos de dez unidades e valor posicional
dos algarismos.
A Situação de Aprendizagem 2: Explorando os Naturais apresenta a proposta
do desenvolvimento dos números naturais, múltiplos e divisores, trabalhando os
conteúdos das unidades 3, 4 e 5, articuladas por meio de uma sequência de
atividades envolvendo exercícios, problemas e construção de tabelas. Essas
atividades têm como objetivo a ampliação do conhecimento dos alunos em relação
aos conteúdos que tratam os números naturais e, segundo os autores,
―consolidando esses conceitos‖ (SÃO PAULO, 2009b, p. 9).
A Situação de Aprendizagem 3 tem o seu foco na passagem dos números
naturais para os números racionais, intitulada ―Na Medida Certa: Dos números
Naturais às Frações‖, buscando ampliar o conhecimento do aluno sobre fração,
introduzindo outras formas de representação (número misto, porcentagem) e
ampliando os significados. Essa situação de aprendizagem tem como eixo central a
representação fracionária desenvolvido por meio da unidade 6.
Na Situação de Aprendizagem 4: Equivalência e Operações com Frações é
proposto o aprofundamento do tema frações, desenvolvendo as unidades 7 e 8 que
tratam da ideia de equivalência e operações com frações. Com essa situação de
aprendizagem, espera-se que os alunos sejam capazes de compreender a ideia de
equivalência, comparação, significados e operações (adição e subtração) de
frações.
Como o tema deste trabalho está relacionado aos números racionais na forma
fracionária, neste caderno do professor (CP, v. 1 – 5.ª série), tal tema é abordado
com mais ênfase as Situações de Aprendizagem 3 e 4 que tratam de frações. Assim,
é importante que façamos uma análise do material.
6.1.1 Situação de Aprendizagem 3: Na medida certa: dos números naturais às
frações
A terceira Situação de Aprendizagem (SA-3) do primeiro volume tem um
90
tempo previsto para uma semana. Reiteramos que esse caderno pretende trabalhar
os conteúdos e temas nas representações fracionárias, medidas e números mistos
no intuito de desenvolver as seguintes competências e habilidades: desenvolver a
ideia de que medir significa comparar grandezas de mesma natureza; ampliar a
noção de número a partir de situações em que, à grandeza tomada como unidade,
não cabe um número de vezes na grandeza a ser medida (SÃO PAULO, 2009a, p.
34).
As sugestões de estratégias para se trabalharem os conteúdos apresentados
são: leitura de texto orientador de aula sobre medidas e frações; atividade prática,
envolvendo medidas com unidades não convencionais (SÃO PAULO, 2009a, p. 34).
Portanto, tal situação pretende desenvolver o eixo números e operações. O
documento afirma que ―as frações estão como temas centrais‖ dentro do eixo
números (SÃO PAULO, 2009a, p. 34). As orientações contidas nesse Caderno
chamam a atenção para o fato de que para os alunos as ideias de frações ampliam
o campo numérico para além do conhecimento de números naturais, ou seja, o foco
desta Situação de Aprendizagem é passagem dos números naturais para os
racionais. Aqui podemos observar uma aproximação com o que apontaram os
documentos de orientações curriculares anteriores como PCN (1998) e a Proposta
Curricular (1997).
Considera-se ainda ser necessária uma atenção especial na relação entre as
duas maneiras de representações desses números (inteiro e fracionário).
Destaca-se também a importância no conhecimento do significado das
frações nessa ―série‖ (5.ª série/6.º ano), para facilitar posteriormente a transição da
escrita na forma decimal a ser trabalhada na ―série‖ seguinte (6.ª série/7.º ano).
As orientações contidas no material indicam que para o desenvolvimento
dessa situação o aluno deve conhecer também os submúltiplos da unidade que
podem ser escritos como frações decimais, exemplo: um décimo (
1
), um centésimo
10
91
(
1
) etc. (SÃO PAULO, 2009a, p. 34).
100
Sugere-se ainda que o professor faça um diagnóstico para avaliar o
conhecimento dos alunos sobre o tema, encaminhando algumas atividades que
possam, segundo suas orientações, garantir as noções básicas sobre frações,
apresentando a seguinte sugestão:
FIGURA 1 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 35)
As orientações contidas no Caderno do Professor indicam também que nesse
nível de ensino os alunos devem ampliar o conhecimento dos significados desses
conceitos, percebendo que o uso de frações se faz necessário para diferentes
situações.
Chama-se a atenção também para o fato de que a escrita fracionária nem
sempre é apresentada na forma numérica (
1 2
1
,
,
), mas também na língua
2 3 10
materna (metade, dois terços, um décimo). Indica-se ainda para porcentagem e a
92
proporção afirmando ser esta outra maneira como as frações são utilizadas:
FIGURA 2 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 35)
Em seguida, o Caderno do Professor apresenta orientação para utilizar as
frações como medidas. Afirma-se que alguns objetos fazem uso da notação
fracionária, por exemplo, as réguas graduadas em polegadas ou os medidores de
volume (SÃO PAULO, 2009a, p. 35).
As orientações contidas no material de apoio ainda fazem referência ao fato
de as medidas representarem uma forma de relacionar os Números Naturais e
Racionais. Sendo assim, seus autores sustentam que os números naturais são
usados para representar contagens e as frações são utilizadas na representação
dos processos de medidas. Os autores apresentam um texto para que, segundo o
documento, orientar as aulas sob o título ‖Medida e frações‖. Esse texto chama a
atenção para o fato de que a fração está ligada ao processo de medida e que uma
medida é a comparação entre grandeza sem um determinado padrão. Portanto,
segundo esse material de apoio (textos), medir equivale a comparar. Traz, para o
professor, a imagem apresentada a seguir, na qual se pretende fazer a comparação
quando um objeto-padrão cabe um número inteiro de vezes dentro do objeto.
93
FIGURA 3 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 36)
Observamos que na figura o objeto-padrão cabe três vezes dentro do objeto
medido; então, pode-se dizer que o objeto mede três unidades do objeto-padrão
(3 ÷ 1= 3).
Em seguida, apresenta-se um segundo exemplo no qual indica a unidadepadrão de medida subdividida em partes iguais, com a seguinte representação:
FIGURA 4 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 36)
Observamos que nesse caso a unidade-padrão foi dividida em três partes
(três terços). Comparando o objeto com a unidade-padrão obtêm-se nove terços da
unidade, e conclui-se que cada unidade-padrão tem três partes, e representa-se
assim: 9÷3=3.
94
Em um terceiro exemplo, os elaboradores escolhem a medida do objeto que
não corresponde ao múltiplo inteiro do objeto-padrão que será usado.
FIGURA 5 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 36)
Nesse momento, destaca que nesse caso o objeto-padrão usado na medida
ou excede o objeto ou é insuficiente para medi-lo, e a solução é fracionar o objetopadrão em partes menores.
Essa mesma ideia é ampliada para a construção do número misto. Em outro
exemplo, os autores indicam uma parte do objeto-padrão dividida em três partes
menores (três terços), e, comparando ao objeto a ser medido, obtemos onze terços
(11÷3), gerando assim outro tipo de número diferente de um número natural.
FIGURA 6 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3) (SÃO PAULO,
2009a, p. 36)
O documento finaliza sugerindo ao docente que:
95
O argumento desenvolvido nesta atividade agrega um significado
importante ao conceito de fração. O estabelecimento da relação entre os
processos de medidas e a representação fracionária possibilita ampliar o
campo numérico dos alunos dentro de um contexto significativo (SÃO
PAULO, 2009b, p. 36).
Diante do exposto, fazemos duas observações: a primeira é que o material de
apoio ao professor, por nós analisado, parece ter considerado o fato de que os
professores dos anos iniciais se utilizam do significado parte-todo para ensinar
frações, como afirma Garcia Silva (2007), pois suas orientações partem do
pressuposto de que o aluno vai rever tal conceito no mesmo significado. Uma outra
observação importante é que essas orientações fazem uso também de estudos
como o de Caraça (1951).
Portanto, nessa atividade é interessante também observar um importante
significado do conceito de fração, que é o estabelecimento de relações entre o
processo de medidas e a representação fracionária, ou seja, até então as
orientações apresentadas parecem ter a finalidade de mostrar a necessidade dos
números racionais para demonstrar o resultado de uma medição. Todavia, para
responder às questões, os alunos deverão utilizar um número misto – número
natural e fração – para expressar o resultado de uma medida, e, então as propostas
avançam no sentido de fazer indicações para a representações destas medidas
(frações impróprias) na forma de número misto, indicando mais três atividades.
Na primeira atividade, os autores propõem ao professor o trabalho com
réguas graduadas em polegadas, que possibilitam a indicação de medidas não
inteiras e do número misto, apresentando a seguinte imagem:
FIGURA 7 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3, Atividade 1) (SÃO
PAULO, 2009a, p. 37)
96
O Caderno do Professor orienta o professor ainda para o fato de que, ao
medir um objeto, usando a régua representada na figura anterior, e acusar o valor
3¼ (três inteiros e um quarto ou três e um quarto), temos três polegadas mais um
quarto dessa polegada, isto é, temos um número misto (SÃO PAULO, 2009b, p. 37).
Em seguida, este caderno procura apresentar o número misto utilizando-se do
significado parte-todo:
[...] Geometricamente, esse número pode ser representado por meio das figuras
abaixo:
As figuras anteriores mostram três círculos inteiros mais um quarto de círculo.
Como um inteiro equivale a quatro quartos, temos que:
Então, o número misto 3
pode ser escrito como a soma de três parcelas de
quatro quartos mais uma parcela de um quarto, que resulta em treze quartos.
FIGURA 8 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3, Atividade 1) (SÃO
PAULO, 2009a, p. 37)
Analisando tal proposta, observamos um esforço dos autores para relacionar
97
os números mistos apresentados pela medida de régua graduada e a representação
―geométrica‖. Parece que houve uma tentativa de relacionar a representação
utilizando a ideia de parte-todo.
A próxima atividade apresenta a medida de alguns objetos com o uso de
régua graduada em polegadas e propõe que essas medidas observadas na régua
sejam escritas na forma de número misto ou na forma de fração.
Apresenta como proposta a medida de três objetos: caneta, borracha e
tesoura, representados pela seguinte imagem:
FIGURA 9 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-3, Atividade 2) (SÃO
PAULO, 2009a, p. 38)
A última atividade (Atividade 3) propõe aos alunos que façam medições em
objetos adotando um objeto-padrão escolhido, como medir o comprimento de um
livro usando um lápis, medir o comprimento de uma mesa usando um livro e medir o
comprimento da sala usando um cabo de vassoura, com o objetivo de que o aluno
perceba que, às vezes, é necessário fracionar uma unidade em um processo de
medida, verificando-se que essas frações e os números mistos permitem expressar
esses valores, cuja unidade não cabe um número inteiro de vezes no objeto medido
(SÃO PAULO, 2009a, p. 38).
Quanto a essa proposta, consideramos que trabalhar com unidades de
medidas não convencionais é fundamental. Todavia, cabe a observação de que a
utilização de objetos como caneta, lápis, livros etc., como unidade de medida, pode
não ser uma boa opção, uma vez que é possível subdividi-los. Uma boa sugestão
para que o professor desenvolva o trabalho com esse tema seria o uso de uma fita
de papel como unidade de medida, posto que tal material nos permite dobrar, cortar
e assim comparar os dois comprimentos.
98
A respeito das considerações sobre a avaliação, segundo o documento
analisado, espera-se que aluno no final dessa situação de aprendizagem
compreenda o significado sobre numerador e denominador; nomeie uma fração com
nomenclatura correta; compreenda o processo de medida, relacionando-a com a
representação fracionária; e compreenda também o significado de número misto, e
consiga transformá-lo em uma fração.
O texto introdutório leva em consideração pesquisas que afirmam que partetodo é mais estudado e parece sofrer influência do trabalho do Caraça (1951).
6.1.2 Situação de Aprendizagem 4: Equivalência e operações com frações
A Situação de Aprendizagem 4 (AS-4) do primeiro volume tem um tempo
previsto para duas semanas e pretende trabalhar os conteúdos e temas: frações
equivalentes; frações de um número; operações entre frações; adição e subtração,
no intuito de desenvolver as seguintes competências e habilidades: obter frações
equivalentes de uma fração dada; saber fazer comparações entre frações com uso
de sinais de desigualdade, duas frações com denominadores diferentes; calcular
fração de um número; saber efetuar operações de adição e subtração entre duas
frações com denominadores diferentes (SÃO PAULO, 2009a, p. 39).
As sugestões de estratégias para trabalhar os conteúdos apresentados são o
desenvolvimento de atividades e exercícios, envolvendo equivalência de frações,
comparações; texto orientador de aula sobre a relação entre frações e língua
materna.
No roteiro para explicação da Situação de Aprendizagem 4, os elaboradores
indicam suas orientações afirmando que ―a noção de equivalência talvez seja uma
das mais importantes no estudo das frações‖ (SÃO PAULO, 2009a, p. 39).
Os elaboradores apresentam a ideia de equivalência por meio da
representação parte-todo.
A igualdade naquilo que vale é a equivalência, e nas frações, a equivalência é
99
a relação da parte com o todo, por exemplo, os retângulos abaixo foram divididos
em partes (1, 2, 3 e 4 partes) (SÃO PAULO, 2009a, p. 40)
FIGURA 10 – Atividade exemplar (CP, 5.ª série/6.º ano, volume 1, SA-4) (SÃO PAULO,
2009a, p. 40)
Os autores objetivam, por meio da representação geométrica, mostrar que as
frações que representam as partes pintadas em cada retângulo são equivalentes a
Os elaboradores do material ressaltam que as frações podem gerar várias
frações equivalentes e, para tanto, basta multiplicar o numerador e denominador por
um mesmo número com valor diferente de zero.
Os autores do CP enfatizam que o professor deve garantir alguns
procedimentos importantes que os alunos utilizarão na série seguinte, como o
estudo de frações, decimais e porcentagem. Um desses procedimentos é encontrar
a fração equivalente, propondo transformar o denominador em 100.
Em seguida, sugerem aos docentes que proponham aos alunos atividades
que normalmente são encontradas em livros didáticos, por exemplo, obter frações
equivalentes:
100
Ou a comparação entre duas frações usando os sinais de igualdade e
desigualdade (=, >, <), com:
a) Denominador fixo:
b) Numerador fixo:
c) Numeradores e denominadores diferentes.
Neste último caso, fazem-se indicações para que se resolva por meio de
raciocínio lógico, ou seja, determinar o denominador comum das frações
equivalente, tornando os denominadores iguais.
O documento apresenta o próximo assunto sobre o tema frações e língua
materna. Essa atividade propõe encaminhar os significados das frações, usando a
língua materna. No primeiro momento, apresenta também o significado da fração de
um número; em seguida, os autores chamam a atenção para o fato de que a
tradução dessa operação na língua materna favorece a compreensão desse tipo de
cálculo. Por exemplo: o que significa.
Para responder, os autores propõem recorrer a nomenclatura das frações
para entenderem melhor o significado de
(um meio) metade e
3
1
x 42. Assim, indicam que
significa
7
2
1
(um quinto) que significa a quinta parte.
5
Nos dois casos apresentados, estes autores chamam a atenção para o fato
de que a fração sozinha significa a parte de um todo e que a palavra ―de‖ dá a ideia
de que se trata de cálculo de uma fração por uma unidade. Quando a fração se
refere a um número, estamos calculando a parte desse número, não a unidade,
assim
3
x 42 significa calcular 3 sétimos de 42, ou seja, 3 vezes a sétima parte de
7
101
42.
Se
1
de 42 (é a sétima parte de 42) obtém-se ―6‖. Então, três vezes a sétima
7
parte que são seis tem-se como resultado 18. A preposição ―de‖ é substituída pela
operação de multiplicação.
[...] A primeira é o fracionamento ou a divisão do número natural pelo
denominador da fração. A segunda é a multiplicação do resultado anterior
pelo numerador. As frações unitárias são um caso particular em que o
numerador é 1 e, portanto, não altera o produto final (SÃO PAULO, 2009a,
p. 43).
Portanto, o documento apresenta o recurso de usar a língua materna na
construção do significado das operações com frações (adição e subtração) com os
mesmos denominadores e denominadores diferentes.
Com denominadores iguais, as operações, segundo os autores das
orientações, podem ser reduzidas a uma operação de números naturais. Para esse
entendimento, propõe-se escrever a expressão na linguagem mista (parte numérica
e parte escrita), exemplo:
Observamos aqui o uso da linguagem mista; neste caso, a soma é lida entre
equivalentes, como somar 2 laranjas com 4 laranjas.
[...] A ideia é que os denominadores constituem o referencial de
equivalência que permite realizar uma operação entre frações como se
fosse uma operação entre números naturais (SÃO PAULO, 2009a, p. 43-44,
grifos dos autores).
O mesmo procedimento se aplica à operação de subtração de frações com
denominadores iguais apresentada anteriormente, ou seja, antes de a operação
determinar o denominador comum, exemplo (SÃO PAULO, 2009a, p.44):
102
O mesmo se aplica às operações com subtração entre frações. Acreditam os
autores que a atividade descrita por meio do uso da linguagem materna pode
garantir o entendimento do significado dos conceitos desenvolvidos e, a partir daí, o
professor pode usar somente a linguagem fracionária.
Nas considerações finais, são apresentadas quatro principais expectativas de
aprendizagem referentes aos conteúdos do 1.º bimestre da 5.ª série:
1. Compreender as principais características do sistema decimal.
2. Conhecer as características e elementos do conjunto dos números naturais.
3. Usar frações para representar medidas, não inteiras; noção de equivalência
entre frações.
4. Compreender os procedimentos e significados das operações de adição e
subtração de frações.
O caderno finaliza com o quadro de conteúdos de matemática por
série/bimestre do Ensino Fundamental (ver Anexo A, p. i).
6.2 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 2
O Caderno do Professor de Matemática para 5.ª série/6.º ano do Ensino
Fundamental – Volume 2 – 2009.
Inicialmente apresenta a seguinte Ficha:
103
FICHA DO CADERNO
Números decimais e sistemas de medidas
Nome da disciplina:
Matemática
Área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
Ensino Fundamental
5.ª
2.º bimestre de 2009
Aulas semanais:
5
Semanas previstas:
8
Aulas no bimestre:
40
Temas e conteúdos:
Representação
de
um
número
decimal;
Operações com decimais: múltiplos e
submúltiplos da unidade;
Unidades de medida de comprimento,
massa e capacidade.
(SÃO PAULO, 2009b, p. 7)
Este caderno é organizado para desenvolver os temas em oito unidades de
conteúdos:
Unidade 1 – A notação decimal: representação.
Unidade 2 – Múltiplos e submúltiplos da unidade.
Unidade 3 – Números decimais e frações decimais.
Unidade 4 – Operações com decimais – adição e subtração.
Unidade 5 – Medidas informais.
Unidade 6 – Sistema métrico decimal.
Unidade 7 – Unidades de massa.
Unidade 8 – Unidades de capacidade.
(SÃO PAULO, 2009b, p.10, grifos dos autores).
As temáticas relacionam-se com os conteúdos e são apresentados na forma
de quatro situações de aprendizagem, a saber.
A Situação de Aprendizagem 1: ―O Soroban e os números decimais‖,
apresenta a proposta de desenvolver o tema: ―Representação de Números
Decimais‖, e tem como finalidade desenvolver a capacidade da leitura e escrita da
notação decimal com a construção e uso do Soroban (ábaco japonês). Essa
104
situação propõe o desenvolvimento das unidades 1 e 2.
Já na Situação de Aprendizagem 2: ―Equivalências e operações com
decimais‖, o documento desenvolve a ―Representação de números decimais e
Operações com decimais‖, engloba as Unidades de 1 a 4 e tem como principal foco
nas atividades propostas o uso da língua materna dando significado para
representação fracionária e decimal. Apresenta ainda a ideia de frações
equivalentes entre números racionais.
Na Situação de Aprendizagem 3 ―Medidas não padronizadas‖, apresenta o
desenvolvimento do ―Sistema métrico decimal: múltiplos e submúltiplos da unidade.
Contemplam as unidades de 5 a 8.
Nessa situação e explorado o uso de unidades não convencionais para medir
alguns objetos, com o objetivo de verificar que medir sempre resulta em comparar
grandezas de mesma natureza.
Na Situação de Aprendizagem 4 ―Medidas e transformação‖, apresenta a
proposta de aplicação do ―Sistema Métrico decimal: unidades de comprimento,
massa e capacidade‖, cujo objetivo é que o aluno faça estimativas das medidas de
objetos, escolhendo unidades mais adequadas, transforme unidades de medidas
envolvendo múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal.
Os objetivos descritos nas Situações de Aprendizagem no Caderno são
retomados de forma mais ampla nas considerações finais. A finalidade do
desenvolvimento do trabalho é permitir que o aluno:
1) compreenda o uso da notação decimal na representação de quantidade
não inteiras, assim como a ideia de valor posicional;
2) compreenda os procedimentos e significado das operações (adição e
subtração) decimais, bem como transformação destes números em frações
decimais;
3) realizar medidas usando padrões e unidades não convencionais,
conhecer outros sistemas de medidas;
4) conhecer as principais características do Sistema Métrico Decimal:
Unidades, Transformações e Medidas (SÃO PAULO, 2009b, p. 52)
Com o objeto principal deste trabalho está relacionado ao conceito de
105
números racionais na forma fracionária, descreveremos a seguir somente a Situação
de Aprendizagem 2, apresentada no Caderno do Professor.
A Situação de Aprendizagem 2 inicia apresentando a divisão de 6 por 5,
justificando que dentro dos campos dos números naturais essa operação não
poderia ser prosseguida.
Afirma-se que com a introdução dos números racionais essa operação pode
ser representada nas formas
6
1
1
ou 1 (número misto). Transformando
em uma
5
5
5
fração equivalente com denominador 10, obtemos o resultado 1
2
.
10
Assim, segundo as orientações do Caderno do Professor, verifica-se que o
número
6
pode ser representado por um decimal 1,2 (um inteiro e dois décimos).
5
O documento chama a atenção ainda para o fato de que a notação decimal
sintetiza a representação numérica inteira e fracionária em uma só (SÃO PAULO,
2009b, p. 22), e afirma que o número decimal corresponde à divisão do numerador
pelo denominador da fração e é representado por duas partes, separadas por uma
vírgula, cujo valor à esquerda da vírgula é representado por múltiplos da unidade
(dezena, centena, milhar etc.), e à direita, a parte não inteira representa os
submúltiplos da unidade (décimo, centésimo, milésimo etc.).
Nessa situação de aprendizagem, são apresentadas também várias
atividades (total 11).
Como já descrevemos, a primeira atividade propõe a escrita dos números
racionais na forma de fração decimal, na linguagem mista e na notação decimal
(unidade, décimo, centésimo e milésimo). O quadro da Fig. 11 apresenta parte
dessa atividade.
106
FIGURA 11 – Correspondência entre as quatro primeiras casas decimais e as frações
decimais (SÃO PAULO, 2009b, p. 24)
O documento observa que essa atividade apresenta uma forma de aprofundar
os significados da escrita de fração decimal, linguagem mista e a notação decimal.
Na atividade 2, a proposta é decompor números decimais usando a
linguagem mista, fracionária e decimal, exemplo: 0,35 = 3 décimos + 5 centésimo =
3
5

 0,3  0,05 (SÃO PAULO, 2009b, p. 25).
10 100
Nas atividades 3 e 4, são apresentadas figuras de quadriláteros que são
divididas, trabalhando-se unidade, décimo e centésimo.
A atividade 3 apresenta figuras que têm as referências apresentadas com o
quadrado maior, sendo a unidade, o retângulo representando o décimo e o quadrado
menor, o centésimo. Essa atividade propõe escrever o significado da figura na
linguagem mista e na forma decimal, como mostra o quadro:
107
FIGURA 12 – Representação das figuras em linguagem mista e forma decimal (SÃO
PAULO, 2009b, p. 27)
Por meio das figuras, os alunos poderão observar com mais facilidade a
relação de equivalência entre submúltiplos da unidade.
108
FIGURA 13 – Relação de equivalência entre submúltiplos da unidade (SÃO PAULO, 2009b,
p. 28)
O documento apresenta, em seguida, a atividade (4) que propõe aos alunos
estabelecer a equivalência entre múltiplos das unidades (use para indicar o
fracionamento da unidade).
FIGURA 14 – Relações de equivalência entre alguns submúltiplos da unidade (SÃO PAULO,
2009b, p. 28)
O objetivo desta atividade é chamar a atenção sobre as relações de
equivalência, ideia importante que, segundo seus autores, mostra a realização das
operações com números decimais.
As atividades 5, 6 e 7 destacam o procedimento de multiplicação e divisão de
um número decimal por múltiplos de dez. A prática com essas atividades acaba
109
sistematizando o ―deslocamento da vírgula‖. O quadro a seguir sintetiza as
estratégias práticas discutidas:
QUADRO 3: Estratégias práticas
Multiplicações por potências 10
Divisão por potência de 10
Os algarismos se deslocam para
esquerda
A vírgula se desloca para direita
Os algarismos se deslocam para direita
A vírgula se desloca para direita
Fonte: SÃO PAULO, 2009b, p. 30
Na atividade 8, os autores propõem comparar valor de números com o uso
dos símbolos <, > ou = e apresenta aqui a equivalência entre números decimais para
fundamentar os princípios das operações com esses números, que servirá de base
na fundamentação das operações com decimais. A ideia principal é que toda
operação entre frações decimais ou números decimais possa ser reduzida a uma
operação entre números inteiros. Apresentamos os exemplos:
a)
b)
2
10
+
5
10
=
7
10
2 décimos
mais
5 décimos
Igual a
7 décimos
0,2
+
0,5
=
0,7
2 décimos
mais
5 décimos
Igual a
7 décimos
Nesta atividade os autores chamam a atenção para:
No caso da operação entre números decimais, é preciso que eles tenham o
mesmo número de casas decimais. Escrever números que tenham o
mesmo número de casas decimais é equivalente a escrever frações
decimais denominador (SÃO PAULO, 2009, p.33).
O mesmo procedimento é indicado para ser usado na subtração de fração. No
110
caso de os denominadores das frações serem diferentes, é necessário, segundo
esse mesmo documento, obter o denominador comum entre elas.
Na atividade 9, os exercícios propostos são transformar as frações de
maneira que tenham denominadores iguais. Em seguida, o estudante deve efetuar
as operações de soma e subtração. Exemplo:
7
15


100 1000
70
15
85


1000 1000 1000
Observa-se aqui a preocupação com a linguagem, uma vez que apresenta
seu enfoque para o trabalho com frações com denominadores de potências de 10.
Portanto, a atividade 10 enfatiza o uso da linguagem mista, fazendo as
transformações para as mesmas unidades e efetuando as operações. Exemplos:
8 décimos
+
7 centésimos
=
80 centésimos
+
7 centésimos
=
87 centésimos
Observamos que a proposta desta atividade é, antes de realizar a operação,
transformar a linguagem mista em mesma notação.
Por fim, finaliza com atividade 11, propondo a soma e subtração entre
números decimais. Exemplo:
111
A ideia nesta proposta é que se faça a montagem para o cálculo,
estabelecendo o valor posicional dos números em suas respectivas colunas.
Observamos aqui uma tentativa de aproximação interessante aos princípios já
observados em orientações contidas em outros documentos como os PCN (1998),
por exemplo. Nesse documento, há indicações para que se considere como um dos
princípios norteadores da matemática o fato de que o ensino da disciplina deve
garantir:
o
desenvolvimento
de
observação;
estabelecimento
de
relações;
comunicação; diferentes linguagens; argumentação e validação de processos; e o
estímulo às formas de raciocínio como a intuição, indução, dedução, analogia,
estimativa. Acreditamos que o desenvolvimento adequado desta proposta por nós
discutida pode, se bem conduzida, favorecer o estabelecimento entre a linguagem
materna e a matemática.
Nas considerações finais, são apresentadas três principais expectativas de
aprendizagem referentes aos conteúdos do 2.º bimestre da 5.ª série:
1. Compreender o uso da notação decimal para representar quantidades
não inteiras, bem como a ideia de valor posicional;
2. Compreender os procedimentos e o significado das operações de adição
e subtração de números decimais, bem como as transformações dos
mesmos em frações decimais;
3. Realizar medidas usando padrões e unidades não convencionais;
conhecer outros sistemas de medida (SÃO PAULO, 2009 c, p.52).
Analisando tais expectativas, acreditamos que elas poderão ser atingidas.
Para tanto, é necessário que o professor possua o conhecimento dos fundamentos
que estruturam o trabalho proposto.
Outro Caderno que apresenta uma proposta que objetiva desenvolver o
conceito de fração, agora ligado a ideia de área, é o Caderno do Professor, 5,ª série,
volume três.
6.3 O CADERNO DO PROFESSOR, 5.ª SÉRIE/6.º ANO: VOLUME 3
O Caderno do Professor de Matemática para 5.º série/6.º ano do Ensino
112
Fundamental – Volume 3 – 2009 apresenta inicialmente a seguinte Ficha:
FICHA DO CADERNO
Formas Geométricas, Perímetro e Área
Nome da disciplina:
Matemática
Área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Série:
Período letivo:
Ensino Fundamental
5.ª
3.º bimestre de 2009
[...]
Temas e conteúdos:
Formas Geométricas Planas;
Figuras Geométricas Espaciais;
Composição
e
Decomposição
de
Figuras;
Simetria, Perímetro e Área.
(SÃO PAULO, 2009c, p. 7)
O caderno é organizado para desenvolver os temas e os conteúdos em oito
unidades a serem trabalhadas em oito semanas. As unidades estão apresentadas
em um quadro denominado quadro geral de conteúdos do 3.º bimestre da 5.ª série
do Ensino Fundamental, e nele encontramos as unidades:
Unidade 1 – Observação de figuras planas: semelhanças e diferenças;
Unidade 2 – Observação de figuras espaciais: semelhanças e diferenças;
Unidade 3 – Classificação
de
figuras
e
ampliação
do
vocabulário
geométrico;
Unidade 4 – Propriedades elementares dos polígonos, simetria, malhas e
geoplano;
Unidade 5 – Investigação
de
padrões,
regularidades,
propriedades
elementares de figuras geométricas e simetria;
Unidade 6 – Figuras espaciais: construção, planificação e representação
de vistas;
Unidade 7 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição
ee simetria;
Unidade 8 – Perímetro e área de figuras por composição, decomposição e
simetria.
(SÃO PAULO, 2009c, p.10, grifos dos autores).
113
As unidades apresentadas são desenvolvidas por meio de quatro situações
de aprendizagem, relacionadas aos conteúdos básicos do bimestre descritos a
seguir.
O estudo de geometria nesse caderno traz a proposta de como iniciar o
reconhecimento, observação e classificação de figuras planas e espaciais.
Entretanto, em suas orientações, observamos que o enfoque nas frações também
está presente.
Como nosso estudo é o número racional na forma fracionária, apresentamos
a Situação de Aprendizagem 3 que trata desse tema na atividade número 9.
6.3.1 Situação de Aprendizagem 3: Geometria e Frações com Geoplano ou
Malha Quadriculada
A atividade 9 propõe a construção de um geoplano (placa de madeira, riscada
de forma quadriculada com quadrados de mesmo tamanho contendo um prego em
cada vértice). Os autores informam que para investigação geométrica da adição e
subtração de frações é necessário estabelecer uma orientação, como no plano
cartesiano.
Chamam atenção também para o fato de que orientando as linhas e colunas
do geoplano com números associa-se a cada prego (ponto no geoplano) um par
ordenado (p,q), podendo ser fração
representam as frações.
p
, exemplo, na figura do geoplano os pontos
q
114
FIGURA 15 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 35)
Com o uso de um elástico colocado entre os pregos, como indicado na figura
do item I, é possível representar todas as frações com denominadores 5; no item II
todas as frações que representam um número natural, e no item III frações
equivalentes.
FIGURA 16 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 36)
Com essa atividade, segundo seus autores, é possível observar: frações com
mesmo denominador, alinhadas horizontalmente; frações impróprias que estão na
diagonal, passando pela origem ou à direita da origem; e as frações equivalentes
que estão alinhadas com a origem entre si (SÃO PAULO, 2009d, p. 36).
115
Em seguida, usando o geoplano, o material apresenta o procedimento para
adição com frações. Inicia com o exemplo,
1 2
 . Primeiro, marcam-se no geoplano
2 3
com uso de elásticos as frações equivalentes de cada fração, em seguida procuramse frações dos conjuntos marcados que estão na mesma linha horizontal,
encontrando, assim, o resultado da soma adicionando os numeradores da fração.
Ver figura.
FIGURA 17 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 36)
Segundo os elaboradores, a próxima tarefa é fazer a ordenação de um
subconjunto de frações. Eles propõem ordenar duas frações distintas representadas
por (m,n) e (r,s); para tanto, amarra-se um barbante no prego da origem, alinhando
sobre o eixo horizontal (p), e, em seguida, rotaciona-se o barbante no sentido antihorário, encontrando-se na primeira intersecção a maior fração que é
r
que tem o
s
menor denominador (s). Chamam a atenção para o fato de que tal fração é aquela
representada pelo ponto mais próximo do eixo p. (
r
m
>
).
s
n
116
FIGURA 18 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 37)
Os autores enfatizam ainda que a atividade deve ser explorada por meio da
investigação experimental, intuitiva, mas sem formalismo.
Outras atividades apresentadas referem-se à exploração da ideia de frações
equivalentes, enumerabilidade de conjuntos numéricos e densidade.
A ideia do exercício é imaginar que o geoplano é uma floresta e os pregos
são árvores bem finas.
Estando uma pessoa na origem do geoplano olhando para essa floresta,
quais árvores seriam visíveis?
A árvore representada pelo par ordenado (3,6), que é a fração (
vista, pois teria à sua frente as árvores correspondentes à
3
), não seria
6
2
1
e
, ou seja, nessa
4
2
linha de olhar só seria vista a árvore representada pela fração
1
.
2
Explorando essa ideia, os autores afirmam que só seria visível no ponto (p, q)
do geoplano se p e q fossem números primos, ou seja, as árvores visíveis seriam
aquelas formadas por frações irredutíveis
p
. Essa situação exemplifica que, para
q
117
identificar a fração irredutível de
4
, é necessário, segundo o descrito no Caderno do
8
Professor, ligar os pontos (4,8) e (0,0), gerando um seguimento cuja fração mais
próxima do (0,0) é (1,2) [é a única visível que encobre (4,8)].
FIGURA 19 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 38)
Os autores partem da informação de que o conjunto dos números racionais é
enumerável, o que, segundo eles, ―significa dizer que podemos estabelecer uma
correspondência biunívoca entre o conjunto dos racionais e dos números naturais‖
(SÃO PAULO, 2009d, p. 38).
Observamos aqui que há por parte dos autores a intenção de mostrar que as
frações irredutíveis com denominador 1 estabelecem uma relação biunívoca com os
números naturais. Essa situação foi representada geometricamente da seguinte
forma:
118
FIGURA 20 – Geoplano (SÃO PAULO, 2009d, p. 38)
Entendemos
que,
dessa
forma,
os
autores
pretendiam
indicar
a
enumerabilidade dos racionais.
Nas considerações finais, é observado que este caderno do 3.º bimestre, 5.ª
série, é dedicado ao estudo introdutório de geometria plana e espacial e aborda a
utilização do geoplano para ―explorar as operações de adição e subtração de
frações, bem como de se apresentar as frações equivalentes, frações próprias e
frações impróprias em um contexto de resolução de problemas‖ (SÃO PAULO,
2009d, p. 38). Mais uma vez, acreditamos que o conhecimento profissional docente
é fundamental para o desenvolvimento vitorioso de tal proposta, uma vez que, por se
tratar de uma proposta diferenciada, o professor precisa ter um conhecimento das
características do conjunto de números racionais para que desenvolva tal proposta
com segurança. Caso contrário, tal situação poderá ser desenvolvida como mais um
procedimento sem relações com conceitos de fração.
Ainda a respeito da construção do conceito de fração, encontramos uma
proposta também no Caderno do Professor da 6.ª série/7.º ano, volume 1, a qual
descreveremos a seguir:
119
6.4 O CADERNO DO PROFESSOR, 6.ª SÉRIE/7.º ANO: VOLUME 1
O Caderno do Professor de Matemática para 6 série/7.º ano do Ensino
Fundamental – Volume 1 – 2009 é apresentado da mesma maneira que os cadernos
da série anterior.
Inicialmente, apresenta a seguinte Ficha:
Sistemas de numeração: da história às operações com frações, decimais e negativos.
Nome da disciplina: Matemática
Área: Matemática
Etapa da educação básica: Ensino Fundamental
Série: 6.ª
Período letivo: 1.º bimestre de 2009
Temas e conteúdos: Sistemas numéricos, frações e decimais; Sistema posicional de
numeração; Equivalência entre frações e decimais; Operações com frações (multiplicação e
divisão) e decimais (.); Números negativos
Em seguida, é apresentado o quadro geral de conteúdos do 1.º bimestre da
6.ª série do Ensino Fundamental, divididos em oito unidades a serem trabalhadas:
Unidade 1 – Avaliação diagnóstica e sistema posicional de numeração;
Unidade 2 – Sistemas antigos de numeração;
Unidade 3 – Decimais e frações/Divisão com decimais;
Unidade 4 – Multiplicação com frações;
Unidade 5 – Divisão com frações;
Unidade 6 – Soma e subtração com negativos;
Unidade 7 – Multiplicação e divisão com negativos;
Unidade 8 – Expressões numéricas na resolução de problemas.
120
Como já afirmamos, tais unidades são ligadas a quatro Situações de
Aprendizagem, e estas se relacionam aos conteúdos básicos do bimestre, os quais
serão brevemente descritos:
Para iniciar o trabalho com os alunos da 6.ª série, o material de apoio e o
Caderno da 5.ª série também trazem uma sugestão para que, em um primeiro
momento, o professor faça de maneira informal uma avaliação diagnóstica para
identificar o conhecimento dos alunos quanto à resolução de problemas, envolvendo
as quatro operações com números naturais, além de adição e subtração com
frações e adição, subtração e multiplicação com decimais.
O documento indica que o 1.º bimestre da 6.ª série será dedicado ao eixo
números, com objetivo de que o aluno tenha progresso no conhecimento numérico
de ordem quantitativa, ou seja, a expansão do campo dos números naturais para os
números inteiros, e qualitativa, já que se espera uma ampliação da ideia de fração.
Na Situação de Aprendizagem 1, ―Investigando Sistemas de Numeração do
Egito ao Computador‖, apresenta-se a proposta de desenvolver os temas ―Sistemas
Numéricos, Frações e Decimais‖ e ―Sistema Posicional de Numeração‖, cuja
finalidade é o aluno reconhecer, por meio da história dos sistemas de numeração, a
construção da ideia e do conhecimento matemático, que é estabelecer comparações
e semelhanças em diferentes sistemas de numeração, decodificar a estrutura lógica
da escrita matemática e transpor a ideia do sistema em aplicações práticas na
computação. A proposta para realizar essa situação de aprendizagem é o
desenvolvimento das unidades 1 e 2.
A Situação de Aprendizagem 2, ―Frações e Decimais: Um Casamento com
Significados‖, relaciona-se com o tema ―Equivalência entre Frações e Decimais‖ e
―Operações com Frações e Decimais‖, cuja finalidade é estabelecer a relação entre
conceitos e linguagem de Frações, Decimais e Porcentagem. Vale ressaltar que
para esta Situação de Aprendizagem a proposta é desenvolver as unidades 3, 4 e 5.
A Situação de Aprendizagem 3, ―Multiplicação e Divisão com Frações‖, tem como
finalidade: ampliar as operações aritméticas envolvendo multiplicação e divisão de
121
frações na resolução de problemas; fazer transferência entre linguagens e identificar
essas operações em contexto concreto; utilizar a ideia de equivalência como recurso
na resolução de problemas aritméticos com frações e compreender o uso do
conectivo ―de‖ na linguagem escrita/oral quando associado à operação com frações.
Assim como a anterior, os temas dessa situação de aprendizagem relacionam-se
diretamente com o desenvolvimento das propostas das unidades 3, 4 e 5.
A última Situação de Aprendizagem é a 4, ―Números Negativos: Desvendando
as Regras de Sinais‖, que propõe desenvolver o tema ―Números Negativos‖. Sua
finalidade é permitir que o aluno compreenda os significados e operações, com o
uso de números negativos em situações concretas e no contexto matemático, que
justifiquem o uso desse tipo de números, desenvolvendo as unidades 6 e 7.
Finalmente, na unidade 8, observa-se uma sistematização dos assuntos do
bimestre, apresentando a proposta de trabalhar com expressões numéricas,
resolução de exercícios, significados e problemas concretos e desafiadores que de
maneira direta ou indireta relaciona o estudo de todas as ―Situações de
Aprendizagem‖ apresentadas neste Caderno do Professor.
Sendo assim, observamos que, nesse segmento de ensino, as frações são
tratadas em duas Situações de Aprendizagem. Como essa é a temática do nosso
estudo, descreveremos com mais detalhes as Situações 2 e 3.
A Situação de Aprendizagem 2, como dissemos, procura estabelecer a
relação entre conceitos e linguagem de frações, decimais e porcentagem. Inicia-se
justificando para o professor a escolha do encaminhamento dado da seguinte forma:
Nosso sistema de numeração é posicional, de base 10, e nele conseguimos
escrever qualquer número natural utilizando apenas dez símbolos, que são
os algarismos de 0 a 9. O primeiro fato que nos interessa é mostrar que tal
sistema pode ser estendido para a representação de números inteiros,
bastando para isso interpretar os algarismos à direita da vírgula como
indicativos de divisões por potências de 10 (SÃO PAULO, 2009e, p. 27).
Observamos que as orientações contidas no material procuraram mostrar a
possibilidade de o professor relacionar as características do Sistema de Numeração
122
Decimal a outros conjuntos numéricos, e não só os Naturais.
Como exemplo, os autores utilizam-se do número 4735,8902 para mostrar
que ele pode ser representado utilizando a base 10, como podemos observar na
figura abaixo:
O exemplo apresentado pode ser utilizado para atribuir o significado às
potências de expoentes negativos, usando regularidades e equivalência, por
exemplo: ÷ 10 1 é equivalente a × 10 1 (SÃO PAULO, 2009e, p. 27).
Para introduzir a representação fracionária, o material chama a atenção para
outro significado, destacando o fato de que os alunos já terem estudado a fração em
anos anteriores, provavelmente vivenciando a concepção de fração como uma
relação entre parte (numerador) e todo (denominador), estabelecendo nesse
momento que a fração representa também o resultado da divisão do numerador pelo
denominador.
Para esse segmento (6.ª série/7.º ano), tal orientação propõe a construção do
conceito pelo significado ―Quociente‖ a partir do significado parte-todo. Segundo
esse mesmo documento, a ideia de parte-todo teria sido trabalhada em anos
anteriores. Tal afirmação nos leva a inferir que esse documento leva em conta
estudos brasileiros que apontam a predominância no ensino do significado partetodo ( CANOVA, 2006; DAMICO, 2007; SILVA, 2007).
123
Em seguida, o documento apresenta a representação de duas outras
situações envolvendo dois significados. Inicialmente, por meio da figura a seguir,
representa-se uma ideia da fração
Este documento afirma que
3
:
4
3
, nesse caso, representa três partes de um bolo
4
dividido em quatro partes iguais (parte-todo). Em seguida, ele indica uma outra
situação em que os mesmos
3
representam a situação quociente, ou seja, três
4
bolos divididos igualmente para quatro crianças (representado na figura abaixo)
Como já afirmamos, observamos que a ampliação da apresentação de
frações partindo da interpretação envolvendo a ideia de parte-todo e ampliando-se
para quociente nos parece estar considerando estudos relacionados à temática.
Podemos confirmar tal fato observando que diferentes estudos nacionais e
internacionais, como os de Kerslake, (1986); Behr, Harel, Post & Lesh, (1992);
Damico (2007) e Canova (2006), entre outros, assim como documentos oficiais
como os PCN (1998), apontam que na prática de sala de aula, em especial nos anos
finais do Ensino Fundamental, é frequente abordar o conceito de fração, reduzindo-o
apenas aos significados parte-todo e ampliando na maioria dos casos somente à
situação Operador.
124
Portanto, partir do que ―culturalmente‖ se encontra na sala de aula parece-nos
uma boa estratégia, uma vez que a proposta é ampliar o espectro de significados
vivenciados pelos estudantes.
Para ampliar o campo da linguagem matemática dos novos significados das
frações, os autores do material de apoio indicam uma lista de exercícios que reflitam
sobre a forma de como abordar o assunto (SÃO PAULO, 2009e, p. 28).
Para tanto, inicia com um problema envolvendo a divisão de um número
natural por um número escrito na forma fracionária: Um professor propôs para seus
alunos o seguinte problema: Cláudia tem 18 metros de arame. Ela corta
do arame para fazer uma tela, que será usada na nova casa do seu cachorro. Que
comprimento de arame ela vai utilizar na construção dessa tela? Justifique sua
resposta.
Em seguida, pede-se que os alunos analisem as respostas dadas por três
estudantes:
João: 3,6 metros por que 18 : 5 é igual a 3,6
Ana:
1
1
de 15 é igual a 3. Como eu quero
de 18, e 18=15+3, então o
5
5
comprimento usado de arame será ―3 mais
Léo:
1
de 3‖.
5
1
em decimal é 0,2, então, eu multipliquei 0,2 por 18 e obtive 3.6.
5
Qual(is) dos estudantes está(ao) certo(s)?
Apresenta a proposta ainda, como resposta, a indicação de que os três
estudantes estão certos e uma observação indicando que Ana encaminhou o
3
problema para o número misto 3 . Analisando a resposta, acreditamos que ela
5
poderia ser apresentada de forma ampliada, pois já é apontada em diferentes
pesquisas a existência de dificuldades, por parte dos professores, em tratar da
125
temática. Acreditamos que uma análise de cada processo poderia ser uma fonte de
formação ao docente.
Outro ponto importante a salientar é que, segundo as orientações contidas no
Caderno do Professor, a ideia é ampliar o conhecimento de equivalência em
diferentes significados no trabalho com frações (SÃO PAULO, 2009e, p. 28).
Todavia, nas orientações não há nenhuma indicação de qual significado cada
resposta utilizou. Em seguida, o material propõe ao professor a exploração da
equivalência nas representações
2
e 2
5
5, na forma geométrica, justificando o
conceito do resultado parte-todo e quociente.
As fatias laranja correspondem:
Cada pessoa receberá de uma 2  5 pizza ou
2
da pizza.
5
A parte laranja é igual a todas as outras.
Aqui observamos novamente a preocupação em proporcionar ao aluno
vivências com situações envolvendo tanto o significado parte-todo como quociente.
Em seguida, o material de apoio apresenta atividades abrangendo malhas
que indicam frações correspondentes. A atividade mostra três quadrados de mesma
medida; o 1.º quadrado é dividido em 10 partes iguais, sendo pintadas 2 dessas 10.
A fração que representa é
2
.
10
126
O 2.º quadrado é dividido em 100 partes, pintadas 20 dessas partes,
representado por
20
.
100
Já o terceiro quadrado é dividido em cinco partes, com uma parte pintada e
representada pela fração
1
.
5
O objetivo dessa atividade é favorecer ao aluno a percepção da equivalência
de frações, ou que em cada um dos quadrados se representam a mesma parte
pintada, ou seja, a mesma parte do todo.
Aqui observamos que o objetivo dos autores é, além de apresentar uma
retomada da ideia de equivalência, desenvolvida nos Cadernos do Professor da 5.ª
série/6.º ano, mostrar a possibilidade de transformar qualquer fração em uma fração
com denominadores decimais (ou múltiplos).
Em seguida, apresenta-se ao professor a possibilidade de levar o aluno a
vivenciar a representação da fração
X
como divisão de X por Y.
Y
Indica-se como exemplo a representação da expressão 2,38 dividido por 0,4
na forma
2,38
2,38 100
X
238
p por
=
x
=
. Além disso, com esse processo
40
0,4
0,4
Y
100
sustenta-se que pretende mostrar ao aluno que toda divisão entre números decimais
pode ser convertida em uma divisão de números inteiros, bastando usar a ideia de
fração equivalente.
127
Esse procedimento apresentado, retomado em uma última atividade, segundo
as orientações contidas no Caderno do Professor, permite favorecer a discussão
com intuito de justificar ao aluno a forma prática usada na divisão entre dois
números decimais na ―conta armada‖ – ―igualando as casas depois da vírgula e em
seguida desprezando a vírgula‖ (SÃO PAULO, 2009e, p. 30).
A Situação de Aprendizagem 3 pretende, segundo as orientações
apresentadas, habilitar o aluno a operar multiplicação e divisão com frações por
meio do reconhecimento e interpretação dessas operações utilizando-se de recursos
geométricos, como a partição de barras. No entanto, esse mesmo material de apoio
chama a atenção do professor para o fato de que ―é desejável que os alunos saibam
resultado da multiplicação [ou divisão] de duas frações‖, e se deseja que o estudante
―comece gradativamente a trabalhar com destreza a multiplicação e a divisão de
fração...‖ ( SÃO PAULO, 2009e, p. 31-34).
Desta forma, inicialmente, o Caderno de Professor apresenta a multiplicação
de um número inteiro por uma fração, mostrando que tal operação é análoga ao
produto de dois números naturais.
Apresenta-se como exemplo a multiplicação de 4 por
professor apresente tal produto como 4 x
1
. Sugere que o
3
1
1
1 1 1 1
=
x 4 = + + + , ou seja, calcular
3
3
3 3 3 3
1
de 4 é o mesmo que calcular a terça parte de quatro. Indicando ainda que a
3
mesma ideia serve para multiplicação entre duas frações.
Esse procedimento de multiplicar um número natural por uma fração
desenvolve o conceito de uma soma de parcelas, utilizado nas séries anteriores
entre o produto de dois números naturais e também apresenta nesse caso a
propriedade comutativa.
A preposição ―de‖ está relacionada à multiplicação, e essa ideia pode ser
128
ampliada para calcular
3
4
4
3
de
ou
de .
4
5
5
4
A próxima atividade desenvolve o produto de duas frações de forma
geométrica.
A seguir, na Fig.21, apresentamos as orientações para a multiplicação de
frações propostas nos currículos anteriores.
Proposta Curricular de São Paulo
PCN
– década de 90
– década de 90
Proposta Curricular, p. 82
PCN, p. 104
FIGURA 21 – Multiplicação entre frações (orientações)
129
Currículo do Estado de Sâo Paulo (2008)
FIGURA 22 – Multiplicação entre frações (orientações) (SÃO PAULO, 2009e, p. 32)
Podemos
observar
que
as
três
propostas
apresentam
orientações
semelhantes para o trabalho do professor quando anuncia a multiplicação, ou seja,
130
―parte de parte‖ como indicava já o currículo de São Paulo da década de 80 ou
mesmo a relação da multiplicação com apresentação de como já era indicado no
PCN.
No tocante à divisão de fração, o caderno inicia o estudo apresentando uma
situação-problema que envolve a divisão de
3
2
por , que pode ser representado
4
3
3
 
3 2
por  4  ou :
4 3
2
 3 
(SÃO PAULO, 2009e, p. 33)
O problema é apresentado da seguinte maneira: Se
dão para pintar
2
de uma lata de tinta
3
3
de uma parede, que fração da parede conseguirei pintar com uma
4
lata de tinta inteira?
No material de apoio há a discussão da resolução. Ela inicia comentando que
dividindo a lata de tinta em 3 partes iguais, o problema nos diz que 2 delas foram
utilizadas. Dividindo-se a parede em 4 partes iguais (linhas horizontais na figura), e
subdividirmos cada parte da parede em 2 (pois foram utilizadas 2 partes, se são
usadas duas partes de tinta), a parede é dividida em 4.2 = 8 partes. Portanto, cada
parte de tinta permite pintar 3 dessas partes da parede. Logo, a lata inteira, que tem
3 partes, permite pintar 3.3 = 9 das partes da parede. Assim, a fração da parede
3
3
3 9
pintada será igual a 4 =
x = , em que 4.2 é o número de partes em que foi
2
4
2 8
3
dividida a parede, e 3x3 é o total das partes que serão pintadas, usando-se a lata
inteira.
131
Como
3 3
 , obtivemos uma expressão com produto de frações, que é
4 2
equivalente a expressão inicial de divisão de frações.
Essa atividade apresenta uma forma de desenvolver a divisão de frações para
justificar a maneira mecânica utilizada nessa operação, que é ―multiplicar a primeira
fração pelo inverso da segunda fração‖.
Finalmente, ao apresentar as considerações sobre a avaliação, os autores
elencam quatro habilidades chamadas de ―Expectativas na aprendizagem‖. São
elas:
Sistema posicional de numeração: o aluno deve conseguir fazer a
transposição da linguagem oral para a linguagem da escrita numérica e
compreender o seu significado. Por exemplo, ele deverá saber que 23.48
são 2 dezenas, 3 unidades, 4 décimos da unidade e 8 centésimos da
unidade.
Números decimais: a soma, a subtração e a multiplicação de decimais
devem estar sistematizadas e a divisão deverá estar bem encaminhada.
Entende-se por ―bem encaminhada‖ a compreensão de que toda divisão de
decimais pode ser feita dividindo-se números inteiros específicos. Pequenos
erros no algoritmo da divisão ainda podem ser tolerados neste momento,
mas devem servir de sinalizador para o professor da necessidade ou não de
retomada do assunto.
Frações: o aluno deve saber multiplicar e dividir frações. É possível que, ao
sistematizar a multiplicação de frações, o professor identifique alunos que
estejam errando a operação de soma de frações avaliando
equivocadamente, por analogia, que somar frações é ―somar numerador
com numerador e denominador com denominador‖. Outro equívoco
frequente que também pode ocorrer neste momento é o de transformar as
frações de uma multiplicação em frações de mesmo denominador. Nesse
caso, o aluno está transferindo por analogia os procedimentos da adição de
frações para a multiplicação. É importante que o professor sinalize que
nesse caso o equívoco não implica erro, mas dificulta desnecessariamente
os cálculos.
Outro aspecto importante que deve ser avaliado refere-se à compreensão
dos novos significados atribuídos às frações (SÃO PAULO, 2009e, p. 4546).
Ao se analisar o material de apoio ―Caderno do Professor‖, observamos que
se buscou, por meio das propostas apresentadas, desenvolver tais habilidades.
Todavia, acreditamos que elas podem não ser suficientes para atingi-las. Para tanto,
o docente precisa estar preparado. Só assim, acreditamos, ele terá condições de
avaliar o encaminhamento sugerido, o desenvolvimento do seu aluno e as
132
possibilidades de intervenção.
133
7 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
Neste capítulo faremos a análise dos dados. Inicialmente, apresentamos
nossa análise das entrevistas, quando indicamos as relações estabelecidas nos
discursos dos professores entre o tema fração e a formação docente.
Para tanto, procuramos verificar as reflexões dos professores entrevistados
sobre o ensino e a aprendizagem da fração na escola básica: lembranças da
formação docente e sobre sua formação inicial. Procuramos relacionar a prática
docente e as frações, examinando as reflexões dos sujeitos investigados neste
estudo sobre o ensino e a aprendizagem da fração na escola básica antes da
mudança curricular, e sobre a prática pedagógica no cenário de mudança curricular.
7.1 O TEMA FRAÇÃO E A FORMAÇÃO DOCENTE
Durante nossas entrevistas procuramos questionar os docentes sobre as suas
recordações, sobre os processos de ensino e aprendizagem da temática fração no
decorrer da educação básica e na formação inicial e continuada. Tais
questionamentos foram fundamentados nas ideias de Tardif (2000).
Este autor considera que os saberes docentes são temporais, uma vez que se
constituíram por meio do entrelaçamento das aprendizagens e vivências observadas
nos diferentes tempos sociais, como a época de infância, a escola primária, a
formação profissional, o início na profissão, no decorrer da carreira docente etc.
Assim, nossas primeiras questões foram direcionadas para a reflexão sobre os
processos de ensino e aprendizagem das frações nos diferentes tempos.
Nosso estudo também tem por objetivo favorecer a reflexão dos nossos
sujeitos de pesquisa sobre sua prática pedagógica. Para tanto, elaboramos
questionamentos sobre o desenvolvimento das aulas destinadas ao ensino de
fração. Acreditamos ser possível identificar as concepções dos professores por meio
da observação e análise dos depoimentos coletados, o que Schön (1983) chama de
reflexão sobre a ação (reflection-on-action).
134
7.1.1 Reflexões do professor sobre o ensino e a aprendizagem da fração na
escola básica: lembranças da formação docente
Considerando o relato acima, uma de nossas questões foi direcionada a
indagar como ocorreram os processos de ensino e de aprendizagem das frações,
durante a formação na Educação Básica dos sujeitos de pesquisa.
Então, quando perguntamos aos professores sobre as recordações que
tinham e como eram desenvolvidas as aulas de matemática, em especial as
relacionadas às frações, na época em que eram estudantes, estes relataram:
[...] eu gostava de estudar, hoje em dia é complicado. Eu gostava do que os
professores falavam era a parte mais completa da aula. O principal era o
que o professor falava [...] (PROFESSOR A).
Eu odiava matemática, não me lembro como o professor abordava o tema
fração. Se estudei números racionais em forma fracionária foi muito pouco
[...] (PROFESSOR B).
[...] era assim só no quadro. O professor já apresentava a fração com o
desenhinho de colocava a forma fracionária, direto no quadro desta forma.
[...] Não me recordo do meu professor falar em razão e proporção [...]
(PROFESSOR C).
[...] eu não me lembro do professor que passava frações pra gente. Lembro
que falava em simplificar uma fração ao máximo, agora como ele fazia, eu
não me lembro. [...] (PROFESSOR D).
No Ensino Fundamental e Médio o único assunto que lembro é o MMC, com
relação a fração pois com isso fazíamos cálculos de somar e subtrair
frações com denominadores diferentes, não tenho lembranças de como o
professor fazia, acho que resolvia um ou outro exemplo e depois passava
exercícios pra gente fazer [...] (PROFESSOR E).
Como aluna eu aprendi a soma, subtração com denominadores diferentes.
Tínhamos que achar o mínimo múltiplo comum, ai depois sim fazia a soma
ou subtração. O professor passava diretamente para parte operatória, já
mostrava a fração através de desenho (PROFESSOR F).
Observando os depoimentos notamos que, no tocante ao formato, todos os
professores vivenciaram aulas expositivas. Nos depoimentos não encontramos
indícios de que eles não se recordaram de alguma experiência na qual fossem
convidados a uma participação mais ativa. Essa situação nos parece preocupante,
uma vez que concordamos com Tardif (2000) quando este chama atenção para o
fato de que as concepções dos professores são influenciadas pelas experiências
135
vivenciadas quando estudantes.
As lembranças dos professores sobre o ensino de fração são relacionadas ao
foco dado nos procedimentos, da mesma forma como indicam os estudos de Santos
(2005).
Quanto à introdução do conceito de fração, por meio da representação em
forma de desenho, observado em nosso estudo, também foi comprovado por Silva
(2005) ao verificar que os professores, de modo geral, constroem para quinta série:
[...] tipos de tarefas que associam, sobretudo a concepção parte-todo em
contextos de superfícies, mobilizando a técnica da dupla contagem das
partes e, com menos incidência, a concepção de razão mobilizando a
mesma técnica (SILVA, 2005, p. 239).
Quanto ao fato de o professor trabalhar predominantemente com os
procedimentos e com o significado parte-todo, pudemos também observá-lo em
outros estudos como os de Canova (2006) e Garcia Silva (2007).
7.1.2 Reflexões do professor sobre sua formação inicial e os processos de
ensino e aprendizagem da fração
Ainda fundamentados em Tardif (2000), solicitamos que os docentes
relatassem suas recordações sobre como ocorreram as discussões envolvendo
questões ligadas ao ensino e à aprendizagem das frações na sua formação inicial.
Os docentes afirmaram:
Na minha época não usávamos nada de diferente para complementar as
aulas. Não me lembro dos significados das frações. Acho que trabalhei na
graduação números racionais em forma fracionária, mas não me recordo ao
certo. O professor já usava as frações em cálculos, não me lembro de falar
de nenhum tipo de significado [...] (PROFESSOR A).
Em minha graduação eu me recordo que nós trabalhávamos muito com
frações, mas já no cálculo, não fazíamos exercícios falando de significados,
simplesmente usávamos as operações com frações e o quociente. Meus
professores não falavam nem em fração equivalente, simplesmente pediam
para simplificar ao máximo [...] (PROFESSOR C).
Na graduação usava mais apostilas com poucas figuras. Cheguei a fazer
bastante exercício de números racionais, fracionários, a forma de converter
número racional na forma fracionária decimal em fração e fração em
136
decimal (PROFESSOR D).
Com relação a graduação o professor pedia para dar aula sobre frações
assim íamos pesquisar para apresentar a aula sobre frações ―aplicando a
apresentação tendo sentido voltado para alunos do Ensino Fundamental, ter
cuidado para elaborar aula com intenção de mostrar para turma e para o
professor da graduação uma maneira de desenvolver o tema que chamasse
a atenção do aluno do Ensino Fundamental para o aprendizado dos
significados das frações (PROFESSOR E).
Na minha graduação não me lembro de ter estudado frações, os
professores já supunham que nós já sabíamos trabalhar com frações. O
curso que eu fiz é completamente diferente do que tem agora, não se falava
em revisão dos conteúdos do ensino fundamental e do ensino médio. Eu me
formei em 1977. Era uma época totalmente diferente não tinha informática
[...] (PROFESSOR F).
Nestes depoimentos, notamos que existe um consenso no que diz respeito ao
modo como os formadores dos futuros professores trabalhavam com as concepções
que carregam os estudantes, confirmando os estudos de Damico (2007):
[...] nossos dados sugerem que o desenvolvimento cognitivo dos alunos
pesquisados está, em grande parte, situado em um contexto de ensino
eminentemente tradicional, em que a transmissão de conhecimentos
elaborados é a tônica adotada pela maioria dos professores das duas
instituições pesquisadas (DAMICO, 2007, p. 255).
Tal fato, segundo o autor, pode ser o que originou o que ele chama de ―um
quadro preocupante‖ quando se refere aos processos de ensino e aprendizagem
relacionados, por exemplo, as operações básicas com frações. Segundo Damico
(2007), ―O plano do fazer supera em muito o plano do compreender o que se faz. Há
um desequilíbrio acentuado entre o entendimento conceitual e processual, diversas
vezes ressaltado nesta pesquisa‖ (DAMICO, 2007, p. 255).
Tal fato também é observado por Garcia Silva (2007). Segundo a autora, dos
11 professores entrevistados, a maioria:
[...] atribuiu as dificuldades encontradas à ausência de trabalho relativo aos
significados da representação fracionária de números racionais em sua
formação inicial. De todos os professores entrevistados, um único afirmou
dominar o tema (GARCIA SILVA, 2007, p. 236).
Portanto, observamos que nosso estudo está em consonância com as
pesquisas aqui indicadas, pois, analisando os depoimentos dos docentes,
identificamos uma formação com foco nos procedimentos.
137
Consideramos, assim como Shulman (1986), que o domínio do conhecimento
do conteúdo é fundamental para a prática docente. Portanto, se essa gama de
pesquisas aponta que o desenvolvimento do conhecimento sobre as frações não
ocorre como deveria, reputamos a necessidade de que se amplie a discussão sobre
os processos de ensino e aprendizagem dessa temática nos cursos de formação
inicial.
Acreditamos, portanto, serem de grande importância propostas de formação
inicial que permitam ao futuro professor entrar em contato com resultados de
pesquisas desenvolvidas na área.
7.2 O TEMA FRAÇÃO E A PRÁTICA DOCENTE
Durante nossas entrevistas procuramos questionar os docentes a respeito
das suas percepções sobre os processos de ensino e aprendizagem da temática
fração no decorrer da sua prática pedagógica. Tais questionamentos foram
realizados e fundamentados também nas ideias de Tardif (2000), Schön (1983),
ampliados por Shulman (1986) e Zeichner (2003.
7.2.1 Reflexões do professor sobre o ensino e a aprendizagem da fração na
escola básica: lembranças da sua prática pedagógica antes da mudança
curricular
Para possibilitar a reflexão do professor sobre sua prática pedagógica,
verificar sua percepção sobre o trabalho por ele desenvolvido e os processos de
ensino e aprendizagem da fração, elaboramos inicialmente uma pergunta, a fim de
saber como o professor introduzia frações, antes da divulgação do novo currículo.
Quanto à fundamentação, foi por meio da ideia da reflexão sobre a ação
(reflection-on-action) proposta por Schön (1983), que procuramos identificar as
concepções dos professores sobre os processos de ensino de frações, antes da
implementação do currículo.
138
Dentre os depoimentos dos professores selecionamos os seguintes:
Ensinei frações antes de 2008, eu sempre fiz através de representação.
Fazia um quadrado e dividia, por exemplo: ―comprei um chocolate e vamos
dividir‖, com desenhos, citando exemplos didáticos, divide o chocolate,
come um terço, um todo, um inteiro [...] (PROFESSOR A).
Para apresentar a fração eu usava uma reta e dividia essa reta em pedaços,
fazia isso na lousa. Se eu dividia a reta em dez partes escrevia, um décimo
e assim por diante. As operações, fazia como descrevi quando fiz a
graduação, a única diferença é que eu passava bastante exercícios de
fixação [...] (PROFESSOR B).
Antes de 2008, não trabalhei com 5.ª e 6.ª séries por isso não posso ajudálo, como introduzia o tema [...] (PROFESSOR C).
Eu inicio o trabalho com as frações, fazendo uma figurinha de um círculo ou
retângulo, por exemplo, divido essas figuras em oito partes iguais e passo a
colorir cinco partes das oito. Logo após, explico que o todo que forma a
figura é oito e esse valor é o denominador e a parte que eu colori é o valor
que representa o numerador [...] (PROFESSOR D).
[...] quando comecei a dar aula em 2008, 5.ª série/6.º ano, já iniciei com a
Proposta Curricular, primeiro com um material que parecia um jornal e
depois com o Caderno do Professor e Caderno do Aluno [...] (PROFESSOR
E).
[...] naquela época era diferente os alunos faziam as atividades, estudavam
mais, eles eram disciplinados (PROFESSOR F).
Analisando tais depoimentos, observamos que os docentes se utilizavam das
figuras para representar as frações, usando, na maior parte das vezes, o significado
parte-todo.
Observamos ainda que um dos docentes introduzia o tema por meio da ideia
de medida, dividindo uma reta para representação em frações de determinadas
medidas.
Nessa intervenção, pudemos inferir que a introdução dos conceitos de
números racionais, descritos pelos professores, foi muito próxima da forma como
haviam aprendido na formação escolar,17 formação inicial; e outros de experiências
profissionais vividas, confirmando os estudos de Tardif (2000):
17
Segundo Tardif, saberes provenientes da formação escolar anterior que são adquiridos de fontes
sociais de aquisição na escola primária e secundária, os estudos pós-secundários não especializados
pela formação e pela socialização pré-profissionais (TARDIF, 2000, p. 215).
139
[...] saberes provêm de fontes diversas (formação inicial e contínua dos
professores, currículo e socialização escolar, conhecimento das disciplinas
a serem ensinadas, experiência na profissão, cultura pessoal e profissional,
aprendizagem com os pares [...]. (TARDIF, 2000, p.212)
Portanto, observamos que nossa investigação ratifica essa afirmação
apresentada pelo autor. Tardif (2000) discute ainda a influência das concepções
sobre a prática ou mesmo o contrário, consideram que as concepções atuam como
conhecimentos prévios que calibram as experiências de formação. Observamos em
nossas entrevistas que algumas dessas concepções não foram rompidas mesmo
com as discussões e reflexões sobre o tema desenvolvidas no currículo. Tal fato nos
dá indícios da necessidade de se ampliarem os espaços formativos. Parece que a
reflexão sobre a prática precisa ser ampliada, quem sabe, por meio de decisões
políticas que ofereçam ao professor possibilidades de discutir o currículo e a relação
com a prática docente.
7.2.2 Reflexões sobre a prática pedagógica em um cenário de mudança
curricular
Vale ressaltar que os seis professores investigados, participantes do Projeto
Observatório da Educação, lecionam ou lecionaram para o 6.º e/ou 7.º ano do
Ensino Fundamental, nos últimos quatro anos, período em que as escolas estaduais
paulistas vivenciaram/vivenciam um processo de mudança curricular.
Desse modo, para observar as concepções do professor em relação às
orientações curriculares e obter mais alguns indícios sobre a prática docente,
pedimos aos professores que comentassem como introduziram fração em suas
aulas, neste ano (2011). Os depoimentos foram os seguintes:
[...] Agora eu estou ensinando pra eles o seguinte ―Por que vocês não
conseguem com todas essas figuras fazer um ladrilho?‖ Porque não estão
fazendo a figura certa, tem haver com a divisão, dá pra falar até de
racionais [...] Agora eu uso os livrinhos [referindo-se ao Caderno do
Professor e Caderno do Aluno], não uso tudo mais uso. Estou fazendo
mosaico, hoje em dia tem muito de geometria, mas não faço só geometria,
faço matemática, na próxima semana vamos fazer exposição de mosaicos
[...] Começo sempre com representação para explicar. O denominador
denomina (quanto você vai comer, quanto você vai dividir) a fração, sempre
friso isso. [...] Usei a figura do Caderno, só que eu sempre faço uma fração
140
embaixo da outra, ou seja, um desenho embaixo do outro, mostro a
equivalência, que por mais que mudemos os números, muitas das vezes
estamos fazendo a mesma coisa [...] Quando é o mesmo denominador,
você só pode comparar números iguais, então você conserva o de baixo e
compara o de cima. Tem que ensinar o mínimo múltiplo comum que é a
parte mais difícil. A compreensão de dividir pela parte de baixo e multiplicar
pela parte de cima, é muito complicada para eles, preciso inventar outra
forma de ensiná-los porque eles não entendem [...] (PROFESSOR A).
[...] Para falar a verdade eu vi esse Caderno do Professor mas não usei
muito, achei um pouco confuso, comecei estudar, mas eu mesmo não
entendia muito a proposta dos exercícios, não todos claro. Vou ser sincera
pra você para usar esse material precisa ter um curso específico, pôr a mão
na massa mesmo. Depois dei uma olhada no Caderno do Aluno [...] Não
usei, a matéria estava atrasada, então eu passava lição na lousa. O
conteúdo que eu usava, eu explicava e exemplificava. O caderno pra mim
não funciona [...] Mais ou menos, trabalhei da mesma forma ou quase como
antes da implementação desse material [...] (PROFESSOR B).
[...] Bom eu segui as orientações do caderno e coloquei no quadro algumas
figuras (no total 4), e cada uma delas fiz algumas divisões, em seguida
perguntava, acharei? A parte que eu queria que os alunos representassem
com frações, pedi para que eles escrevessem a resposta no caderno [...]
Quando comecei a perguntar verifiquei que a maioria não sabia representar
as partes destacadas na forma fracionária. Alguns alunos disseram que já
tinham visto, mas não se lembravam [...] Eu expliquei todos que estavam na
lousa e falei do significado do termo numerador que é a parte e o
denominador que é o todo, mostrando no desenho (PROFESSOR C).
[...] introduzi frações com exemplos de pizza, praticando sempre com giz e
lousa, nada de recortes, tangran nada. Naquela época em 2008 eu não
tinha a ideia que tenho hoje por isso não trabalhei de outras maneiras. Usei
pouco o Caderno do Aluno [...] Não achei muito bom, uma linguagem muito
difícil, eu, no começo, tentei explicar fazendo alguns exemplos na lousa mas
percebia que na hora que os alunos (alguns poucos) tentavam resolver não
conseguiam e desistiam, chegando ao ponto nas aulas seguintes de nem
abrir o material. Foi então que eu percebi que isso não iria dar certo, pois
tinha exercícios que até eu ficava confuso na hora de resolver. Dai para
frente comecei a usar um livro de matemática da 5.ª série e um da 6.ª série
de uma coleção [...] Na 6.ª série eu também não usei o caderno dei uma
olhada e achei muito complicado da mesma maneira que na 5.ª série, usei
um pouco mais os exercícios escritos na forma de problemas
(PROFESSOR D).
[...] Consegui desenvolver alguns conceitos de frações usando historinhas,
mas primeiro fiz uma revisão das quatro operações com números naturais
[...] eu usava só como um parâmetro para dar aula [...] quase não usava os
exemplos e os exercícios, mas buscava em livros outras atividades
semelhantes, porque no Caderno do Professor dificilmente tem exercícios
parecidos [...] Usei livros didáticos para mostrar figuras e divisão, os alunos
não demonstraram conhecimento nenhum de com relação a fração. Os
alunos não conheciam significados [...] (PROFESSOR E).
[...] peguei o próprio exemplo do caderno e expliquei que uma fração pode
representar a parte de um todo ou uma fração pode também representar
partes de vários todos. Esse é o exercício que está na página 27 do
caderno do professor. Não usei nada de concreto para explicar esse
assunto só fiz o desenho na lousa, usei giz colorido [...] Eu falei que a
mesma fração pode ter significados diferentes, eu já comecei assim. No
primeiro deseinho eu tinha um bolo dividido em quatro partes, se eu tirei três
141
partes e quero representar isso, foram três partes de um bolo dividido em
quatro. Na segunda figurinha onde tem três bolos divididos ele já está
querendo trabalhar a soma de frações. Eu acho que a intenção já é
trabalhar essa fração na conversão de decimal. Ele não explorou muito esse
exercício só foi para ter uma noção da divisão das frações e que uma parte
ainda pode ser dividida em outras partes. Vamos mostrar você pega uma
parte e essa parte, você pode fazer outras divisões em cima dela. Na
apresentação seguinte ele mostra que a fração oito sobre dois, pode ser
representada de forma diferente, por exemplo, dois mais dois ou doze
dividido por três. Ele tenta mostrar que o resultado de um numerador pelo
denominador pode obter outro resultado com operações diferentes. No caso
dois mais dois que resulta quatro. E eu posso representar por uma forma
diferente, usando dois números inteiros. Nesse momento eu foquei bem
isso que o resultado de uma fração pode ser representado de outra forma
através de outras operações. Em seguida, eu comecei dar probleminhas, o
probleminha que o caderno trás na página 28 que fala que ‖Cláudia tem
dezoito metros de arame e ela corta um quinto, quantos metros ela cortou?‖
eu passei na lousa e pedi para que os alunos resolvessem [...]
(PROFESSOR F).
Observamos nas respostas que os Cadernos foram pouco usados pelos
professores. Alguns deles utilizaram as atividades contidas no Caderno, fazendo
representações na lousa, mas não trabalharam a sequência proposta no material.
O Professor A relata em dois momentos que não utiliza o material proposto na
íntegra: ―[...] agora uso os livrinhos, não uso tudo, mas [...] usei as figuras do
caderno‖. Analisando seu depoimento, observamos que suas aulas parecem
priorizar o trabalho com os procedimentos.
O Professor D comenta que resolvia na lousa alguns exemplos de exercícios
semelhantes ao do Caderno, mas verificava que os alunos não conseguiam
solucionar os exercícios propostos no Caderno do Aluno e comenta: ―[...] foi então
que percebi que isso não iria dar certo‖. Passou então a usar um livro didático,
deixando de lado o material do novo currículo. Aqui observamos evidências de que o
Professor D sentiu necessidade de complementar a proposta que encontrou no
material de apoio.
O mesmo procedimento identificamos no depoimento do Professor E, que diz
―[...] eu usava só como parâmetro para dar aula‖, e conclui que buscava exercícios
em livros didáticos de matemática. O Professor B afirma simplesmente não ter
utilizado. Já o Professor C, assim como sustenta D, trazia de outras fontes
exercícios complementares, deixando de trabalhar os conteúdos quando as
142
atividades eram ligadas às operações com frações, e o Professor F assevera ter
utilizado o material em quase sua totalidade.
Isso nos fez refletir que é necessário haver um processo de formação com
espaço
para
reflexão.
Observamos
que,
provavelmente,
os
professores
entrevistados não encontraram em seus locais de trabalho espaços em que lhes
fossem permitida a apropriação do que lhes era proposto pelo material de apoio, que
integra o novo currículo. O Professor D, por exemplo, declara, em tom de denúncia:
Para falar a verdade eu vi esse Caderno do Professor, mas não usei muito,
achei um pouco confuso, comecei estudar, mas eu mesmo não entendia
muito a proposta dos exercícios, não todos claro. Vou ser sincera pra você
para usar esse material precisa ter um curso específico, pôr a mão na
massa mesmo (PROFESSOR D).
Observamos aqui uma evidência da falta de espaços de discussão sobre as
mudanças curriculares propostas. Consideramos que há necessidade de propiciar
ao docente momentos de estudo e discussão sobre o que é indicado nos
documentos oficiais. Acreditamos que esse espaço poderá ser ampliado se tal ação
oferecer condições para que o professor reflita sobre o que ocorre em suas aulas.
Isso nos remete aos estudos de Schön (1983). O autor chama a atenção para
importância da questão da reflexão. Assim como Schön (1983), acreditamos que é
na relexão-sobre-ação que os docentes poderiam ter a possibilidade de tomar
consciência e reformular suas ações e, quem sabe por meio de tal análise, identificar
outras soluções para o desenvolvimento de novas práticas.
Assim, examinando esses depoimentos, percebemos uma relação muito forte
entre a fragilidade no Conhecimento Profissional Docente e a resistência às
mudanças propostas.
7.2.3 Reflexões do professor sobre o ensino e aprendizagem da fração:
dificuldades
Em uma das questões apresentadas aos professores procuramos investigar
suas percepções sobre quais seriam as dificuldades encontradas quando ele
143
trabalhava com o conceito de fração e observava os processos de ensino e de
aprendizagem.
No começo foi difícil de usar o livrinho viu? Mas agora existem várias partes
do livrinho que eu uso, principalmente com a 7.ª série que tem os números
notáveis. [...] As dificuldades que aparecem na fração são adição e
subtração. Equivalência, divisão e multiplicação eles entendem mais do que
adição e subtração (PROFESSOR A).
A dificuldade que eu sinto não só em ensinar frações como outros
conteúdos é a falta de interesse, falta de base (nas quatro operações) e
também a indisciplina (PROFESSOR B).
A dificuldade do professor eu acho que é o tempo curto para desenvolver
um trabalho melhor, já os alunos não estudam, as vezes fazem exercícios,
as vezes não, fica difícil (PROFESSOR C).
Eu não aprendi a trabalhar da forma que o novo currículo propõe. Não tenho
muita experiência. Eu ensino como eu aprendi. Sobre as dificuldades dos
alunos eu entendo que eles não veem muito sentido em estudar nessa faixa
de idade (PROFESSOR D).
Como professor, eu encontrei uma dificuldade no tempo programado ao
tema fração. Com relação ao aluno eu acho que a dificuldade está na
operação por falta de base, somar frações, subtrair frações, multiplicar e
dividir. Com relação ao significado de partes de um todo, o aluno entende.
[...] (PROFESSOR E).
Acredito que a maior dificuldade que o professor tem na hora de trabalhar
esse tema é com relação a falta de tempo para se dedicar ao estudo, pois
para se preparar uma boa aula, que explique os significados não é tão
simples, normalmente nós ensinamos da forma que nós aprendemos e eu
não aprendi assim como é proposto hoje. Antes, na minha época, era só
conteúdo, conteúdo, fazer sem saber o que significava, fazer por repetição
para não ser reprovado. Com relação as dificuldades que os alunos têm em
compreender e aprender trabalhar com fração está ligado a alguns fatores,
sem falar interesse ou não, disciplina ou não. E penso que ele não vê o
porquê em aprender..., mas isso não se restringe só esse estudo
(PROFESSOR F).
É quase unanimidade, entre os professores entrevistados, que as dificuldades
apresentadas pelos alunos estão ligadas ao desinteresse, indisciplina e por
considerar que a temática pode não ―ter significado‖ para os estudantes dessa faixa
etária.
Outro ponto comum nas respostas analisando as entrevistas diz respeito ao
tempo. Metade dos professores entrevistados considera o tempo insuficiente para o
desenvolvimento do trabalho com a temática.
No tocante às dificuldades específicas dos alunos, observamos a tradicional
144
indicação da ―falta de base‖ apresentada por três dos professores. Quanto ao
trabalho específico com as frações, indicaram-se somente as operações com
frações como uma temática difícil.
O Professor A afirma: ―As dificuldades que aparecem na fração são adição e
subtração. [Já a] Equivalência, divisão e multiplicação eles entendem mais [...]‖,
entretanto o mesmo não observa que o fato de o aluno compreender o conceito de
equivalência de frações poderia facilitar o entendimento da adição e subtração.
Consideramos que o fato de o Professor A demonstrar dificuldades relativas
ao conhecimento específico sobre frações provavelmente tenha dificultado sua
tarefa pedagógica. Assim sendo, a análise de tal afirmação nos leva a verificar a
inter-relação entre os três conhecimentos indicados por Shulman (1986) e a forma
como se desenvolve o ensino.
Outra inferência possível, analisando tal extrato, seria no sentido de observar
que, provavelmente, a prática desse professor deva estar
centrada nos
procedimentos, uma vez que os algoritmos da multiplicação e divisão possibilitam
uma melhor memorização, pois se aproximam da ideia de que operar com a fração,
da mesma forma como se opera com dois números naturais independentes.
Sobre o foco nos procedimentos observamos indícios também no depoimento
do Professor F, que afirma que ensina da mesma forma como aprendeu, a qual
descreve como: ―Antes, na minha época, era só conteúdo, conteúdo, fazer sem
saber o que significava fazer por repetição [...]‖.
Essa dificuldade relativa ao conhecimento descrita pelos professores, que
ensinam como aprenderam, nos remete novamente aos estudos de Tardif (2000).
7.2.4 Reflexões do professor sobre a abordagem das frações nos materiais de
apoio
Como última questão, procuramos investigar a avaliação dos docentes sobre
a proposta de abordagem do conceito de números racionais na representação
145
fracionária apresentada nos materiais de apoio Caderno do Professor e Caderno do
Aluno. Perguntamos se o que é proposto é considerado por ele como suficiente.
Para tal questão as respostas foram:
Não é suficiente falar, é interessante aplicar a matemática com bastante
exercícios, até repetitivo, mesmo sabendo que o processo de repetição seja
algo dito como antigo e forçado, na matemática as coisas funcionam dessa
maneira, com a repetição (PROFESSOR A).
Sobre o caderno não posso falar muito, pois não usei, e o pouco que olhei
achei muito complicado, tanto os caderno dos professores como o dos
alunos e com relação aos meus colegas professores que lecionam comigo,
falam dos mesmos problemas que eu ti apresentei (PROFESSOR B).
Eu acho que o caderno contempla o conteúdo programático da série, mas
acho que faltam mais exercícios repetitivos. Sobre os professores que
trabalham na mesma escola que eu, não sei como trabalham esse tema
(PROFESSOR C).
Esse ano usei muito pouco o material, mas vou tentar trabalhar mais com
ele, pois sei que tenho que fazer isso... só acho que deveria ter mais cursos
e mais materiais para que possa ser trabalhado com os alunos de forma
mais dinâmica... (PROFESSOR D).
O caderno veio como uma ferramenta mais uso só alguns exercícios. Com
relação a apresentação dos conceitos de frações eu avalio que é uma base
com trabalho de frações mas não contempla o necessário para aprendizado
do aluno. Com relação aos significados não contempla... Falta no currículo a
realidade dos alunos (situações reais) [...] (PROFESSOR E).
Eu acho que a proposta é boa, algumas atividades são bem elaboradas
outras nem tanto, considerar suficiente não, sempre é possível ampliar,
melhorar, mas não só Currículo, capacitar o professor com formação
continuada, investir numa melhor qualificação e proporcionar um bom
ambiente de trabalho (PROFESSOR F).
Analisando tais depoimentos, podemos notar que todos os professores
entrevistados consideram o material apresentado pela nova Proposta Curricular de
São Paulo insuficiente. Do ponto de vista dos professores A e C, faltam exercícios
complementares, sentiram falta de propostas semelhantes.
O Professor B relata que utilizou pouco o material de apoio afirmando, ―[...]
achei muito complicado, tanto o Caderno do professor quanto o Caderno do aluno‖.
O Professor E comenta que o Caderno é uma ferramenta, mas só utilizou
alguns exercícios, e que não contempla os significados das frações.
146
Há um consenso entre os professores D e F que sustentam que para se
trabalhar com o material, os docentes precisam de formação continuada, ou seja,
curso de formação para que a implementação do novo currículo atinja sua finalidade.
Acreditamos que, baseado nos estudos de Pietropaolo (2002), é necessária a
relação da temática com a formação profissional docente, com o currículo, quando
afirma:
Embora esses dois temas mantenham estreitas relações entre si, nem
sempre eles têm sido discutidos de forma articulada, o que, em certo
sentido, ajuda a explicar a dificuldade de implementação de propostas
curriculares quando não se leva em conta que tipo de formação, que tipo de
experiência têm os professores que vão colocá-las em prática
(PIETROPAOLO, 2002, p. 34).
Quanto à relação entre a formação de professores e as mudanças nas
concepções dos docentes, concordamos com Garcia Silva et al. (2011) que,
fundamentados em Tardif (2000) e Zeichner (2003), asseveram:
Quando se trata de mudança nas concepções sobre os processos de
ensino e aprendizagem, estudos apontam que a formação continuada vem
desempenhando este importante papel, desde que sejam contemplados
aspectos do cotidiano do professor que o possibilitem oportunidades de
repensar e reconstruir a própria prática pedagógica (GARCIA SILVA et al.,
2011, p. 2).
147
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nestas considerações finais, apresentamos uma síntese de nossas reflexões
sobre os depoimentos dos seis professores participantes do Observatório da
Educação em que todos eles ministram aulas para 6.º e 7.º anos em escolas
públicas estaduais. Procuramos investigar como esses docentes interpretam as
orientações contidas no Caderno do Professor a respeito das frações. Todavia,
reputamos conveniente retomar sucintamente aspectos dessa pesquisa.
O propósito desta pesquisa foi analisar quais as concepções que professores
de matemática, que lecionam ou lecionaram no 6.º e 7.º anos do Ensino
Fundamental, participantes do Observatório da Educação, tinham sobre o ensino de
frações e as indicações contidas no Caderno do Professor (material de apoio) do
novo Currículo do Estado de São Paulo. Procuramos ainda neste estudo verificar as
inovações propostas para o ensino de números racionais na forma fracionária e
identificar o que as pesquisas propõem para desenvolver esse tema.
Neste estudo, utilizamos inicialmente uma proposta baseada em um método
de pesquisa documental, discutindo os últimos currículos que tratam do estudo de
fração.
Fizemos também pesquisas bibliográficas tratando das questões de ensino
aprendizagem e o processo de mudanças das inovações curriculares.
Os dados para análise a respeito das concepções dos professores foram
coletados por meio de uma entrevista semiestruturada, as quais foram gravadas e
transcritas na íntegra. Em seguida, foram sintetizadas e analisadas cuidadosamente.
Quanto à nossa revisão, observamos que, segundo Vergnaud (1990), para a
construção de um conceito é necessário observar os diferentes significados. Em
relação às frações, vários estudos apontam para importância de se introduzir o
conceito de fração por meios distintos de situações. Entretanto, observa-se que isso
não é fácil. Documentos oficiais como os PCN consideram que os professores se
148
utilizam predominantemente do significado parte-todo para ensinar fração (BRASIL,
1998, p. 101), sendo necessário compreender as representações fracionárias dos
números racionais.
Pesquisas como Garcia Silva (2007), Damico (2007), Canova (2006), também
apontam ser muito forte a cultura de se trabalhar com frações somente com
significado parte-todo e operador nesse nível de ensino.
Todas essas considerações motivaram-nos a observar se as orientações
contidas no novo currículo levam em conta tais resultados, além de verificar como os
professores interpretam as orientações contidas no novo Currículo.
Na coleta dos dados, realizamos, inicialmente, uma pesquisa documental e
analisamos os documentos oficiais, estaduais (Currículo do Estado de São Paulo) e
federais (PCN), relacionados ao estudo de frações, e utilizamos também a pesquisa
bibliográfica quando fizemos algumas descrições de estudos que abordam tanto
questões acerca do ensino e da aprendizagem das frações no nível de Ensino
Fundamental quanto ao processo de mudanças em um contexto de inovações
curriculares.
Em seguida, gravamos o depoimento de cada professor, no seu ambiente de
trabalho (escola). Para as entrevistas elaboramos um protocolo, procurando
direcionar as questões com o intuito de obter informações dos seguintes aspectos: o
tema frações e a formação docente; reflexão do professor sobre o ensino e
aprendizagem da fração na escola básica: lembrança da formação; reflexão do
professor sobre sua formação inicial e os processos de ensino e aprendizagem de
fração; reflexão sobre o ensino e aprendizagem da fração na escola básica;
lembrança da sua prática pedagógica antes da mudança curricular; reflexão sobre a
prática pedagógica em um cenário de mudança curricular; reflexão do professor
sobre o ensino e aprendizagem da fração: dificuldades e reflexão do professor sobre
a abordagem das frações e dos materiais de apoio.
Com os aspectos descritos, o foco das informações estavam voltados para as
concepções dos professores sobre como desenvolviam/desenvolvem o tema
149
números racionais na forma fracionária, antes e depois da implementação do novo
Currículo de São Paulo.
Com os estudos descritos e analisando o depoimento de cada um de nossos
sujeitos de pesquisa, acreditamos ter subsídios suficientes para responder nossa
questão de pesquisa: Como professores de matemática, participantes do projeto
Observatório da Educação, que lecionam no sexto e sétimo ano do Ensino
Fundamental, analisam o conceito de frações apresentado no Caderno do
Professor?
Analisando os documentos oficiais, observamos que, no geral, as orientações
contidas no Currículo do Estado de São Paulo incluem resultados de estudos e
pesquisas da área de Educação Matemática, em especial às que consideram que,
culturalmente, o professor inicia seu trabalho utilizando-se do significado parte-todo.
Em tais documentos, pudemos ainda verificar que se utilizaram de diferentes
significados, porém em alguns casos as orientações neles contidas pareceram ser
insuficientes à proposta sob os olhares dos docentes entrevistados.
Notamos também que, inicialmente, o Caderno do Professor contém ideias de
medida, proposta por Caraça, mas no seu desenvolvimento utiliza-se bastante do
significado
parte-todo.
Surge,
ainda,
o
desenvolvimento
de
situações
compreendendo a ideia de operador, razão e, com menor ênfase, a ideia de
quociente.
Quanto aos depoimentos, concluímos que os professores que participaram
deste estudo, mesmo considerando importante o material de apoio (Caderno do
Professor) fornecido pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, não
encontram nele uma maneira clara e eficiente de trabalhar o objeto matemático
proposto para este estudo. Assim, não reconhecem o Caderno do Professor como
uma ferramenta que contemple o ensino e aprendizagem das frações nos seus
múltiplos significados.
Quanto à prática docente, a análise dos dados permitiu verificar que os
150
professores introduzem o tema fundamentalmente por meio do significado partetodo. Além disso, foi possível observar, por exemplo, que esses docentes utilizam
representações gráficas para introduzir a noção de equivalência de frações e
justificar, assim, a adição e subtração. Por outro lado, esses professores não
apresentam explicações para o trabalho com a multiplicação e divisão de frações,
preferindo introduzir essas operações apenas por meio dos algoritmos.
De maneira geral, a análise das informações obtidas por meio das entrevistas
evidencia a fragilidade no Conhecimento Profissional Docente dos nossos sujeitos.
Fica explícita a necessidade de rediscutir as formas de se tratar a temática fração
nos cursos de formação inicial e continuada de professores. A partir dos
depoimentos dos docentes envolvidos nesta pesquisa, foi possível identificar a
influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na prática
docente.
Assim sendo, acreditamos que, se a construção desse conhecimento,
conceito das frações, não vem ocorrendo da forma como idealizada, é necessário
que haja um enfoque mais amplo acerca da inserção do que apontam as pesquisas
e estudos sobre o tema, tanto em cursos de formação inicial quanto de formação
continuada.
Consideramos que a implementação de um novo currículo tende a favorecer a
reflexão do docente sobre a sua prática, todavia sentimos que há necessidade de se
favorecerem espaços para que tal reflexão ocorra. Assim sendo, acreditamos que,
para romper crenças e concepções dos professores sobre ensino e aprendizagem
do conceito de fração, é essencial uma constante reflexão sobre a prática, em
especial, em ambientes colaborativos.
Finalmente, é importante ressaltar que não foi realizada a análise in loco das
práticas docentes. Portanto, é fundamental fazer um estudo observando o currículo
na prática da sala de aula.
151
REFERÊNCIAS
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––––––. Caderno do professor: matemática, Ensino Fundamental – 5.ª série,
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––––––. Caderno do professor: matemática, Ensino Fundamental – 5.ª série,
Volume 2. Coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza
Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nilson José Machado, Roberto Perides
Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009b.
154
––––––. Caderno do professor: matemática, Ensino Fundamental – 5.ª série,
Volume 3. Coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza
Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nilson José Machado, Roberto Perides
Moisés, Walter Spinelli. São Paulo: SEE, 2009c.
––––––. Caderno do professor: matemática, Ensino Fundamental – 5.ª série,
Volume 4. Coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza
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Coordenação de Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. São
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SCHÖN, D. The Reflective Practitioner: How Professionals Think in Action.
London: Temple Samith, 1983.
––––––.
Educating the Reflective Practitioner. San Francisco: Jossey-Bass,
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SHULMAN, L. S. Those who understand: knowledge growth in teaching.
Educational Researcher, 15 (2), p. 4-14, 1986.
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Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica,
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VERGNAUD, G. Quelques problémes theóriques de La didactique à propôs d’ un
exemple: lês structures additivas. Atelier International d’Éte: Recherche en
Didactique de La Physique. La Londe les Maures, França, de 26 de junho a 13 de
julho, 1983.
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Mathématiques, 10(23), p. 133-170, 1990.
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seminário Internacional de Educação Matemática. Brasil: Rio de Janeiro, 1993, p.
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______. Curso monográfico Teoria dos Campos Conceituais – Escola de Altos
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possibilidades e contradições. In: BARBOSA, Raquel L. L. (Org.). Formação de
educadores: desafios e perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 2003. p. 35-55.
i
ANEXO A
CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA POR SÉRIE E BIMESTRE DO
ENSINO FUNDAMENTAL (CICLO II)
5.ª série/6.º ano do Ensino Fundamental
Conteúdos
1.º bimestre
Números
Números naturais
▪ ▪Múltiplos e divisores
▪ Números primos
▪ Operações básicas (+, , , )
▪ Introdução às potências
Frações
▪ Representação
▪ Comparação e ordenação
▪ Operações
Habilidades
▪ Compreender as principais características do
sistema decimal: significado da base e do valor
posicional
▪ Conhecer as características e propriedades dos
números naturais: significado dos números primos,
de múltiplos e de divisores
▪ Saber realizar operações com números naturais de
modo significativo (adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação)
▪ Compreender o significado das frações na
representação de medidas não inteiras e da
equivalência de frações
Saber realizar as operações de adição e subtração
de frações de modo significativo
Números/Relações
2.º bimestre
Números decimais
▪ Representação
▪ Transformação em fração decimal
▪ Operações
Sistemas de medida
▪ Medidas de comprimento, massa e capacidade
▪ Sistema métrico decimal: múltiplos e submúltiplos
da unidade
▪ Compreender o uso da notação decimal para
representar quantidades não inteiras, bem como a
ideia de valor posicional
▪ Saber realizar e compreender o significado das
operações de adição e subtração de números
decimais
▪ Saber transformar frações em números decimais e
vice-versa
▪ Saber realizar medidas usando padrões e unidades
não convencionais; conhecer diversos sistemas de
medidas
▪ Conhecer as principais características do sistema
métrico decimal: unidades de medida (comprimento,
massa, capacidade) e transformações de unidades
3.º bimestre
Geometrias/Relações
Formas geométricas
▪ Formas planas
▪ Formas espaciais
Perímetro e área
▪ Unidades de medida
▪ Perímetro de uma figura plana
▪ Cálculo e área por composição e decomposição
▪ Problemas envolvendo área e perímetro de figuras
planas
▪ Saber identificar e classificar formas planas e
espaciais em contextos concretos e por meio de suas
representações em desenhos e em malhas
▪ Saber planificar figuras espaciais e identificar
figuras espaciais a partir de suas planificações
▪ Compreender a noção de área e perímetro de uma
figura, sabendo calculá-los por meio de recursos de
contagem e de decomposição de figuras
▪ Compreender a ideia de simetria, sabendo
reconhecê-la em construções geométricas e
artísticas, bem como utilizá-la em construções
geométricas elementares
ii
▪ Compreender informações transmitidas em tabelas
4.º bimestre
Números/Relações
Estatística
▪ Leitura e construção de gráficos e tabelas
▪ Média aritmética
e gráficos
▪ Saber construir gráficos elementares (barras,
linhas, pontos) utilizando escala adequada
▪ Saber calcular, interpretar e utilizar informações
Problemas de contagem
relacionadas às medidas de tendência central
(média, mediana, moda)
▪ Saber utilizar diagramas de árvore para resolver
problemas simples de contagem
▪ Compreender a ideia do princípio multiplicativo de
contagem
6.ª série/7.º ano do Ensino Fundamental
Conteúdos
Números
1.º bimestre
Sistema de numeração
▪ Sistemas de numeração na Antiguidade
▪ O sistema posicional decimal
Números negativos
▪ Representação
Operações
Números racionais
▪ Representação fracionária e decimal
▪ Operações com decimais e frações
(complementos)
Habilidades
▪ Compreender o funcionamento de sistemas
decimais e não decimais de numeração e realizar
cálculos simples com potências
▪ Compreender a relação entre uma fração e a
representação decimal de um número, sabendo
realizar de modo significativo as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão com
decimais
▪ Saber realizar operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão de frações, compreendendo o
significado das operações realizadas
▪ Compreender o significado dos números negativos
em situações concretas, bem como das operações
com negativos
▪ Saber realizar de modo significativo as operações
de adição, subtração, multiplicação e divisão de
números negativos
2.º bimestre
Geometria
Geometria
▪ Ângulos
▪ Polígonos
▪ Circunferência
▪ Simetrias
▪ Construções geométricas
▪ Poliedros
▪ Compreender a ideia de medida de um ângulo (em
grau), sabendo operar com medidas de ângulos e
usar instrumentos geométricos para construir e medir
ângulos
▪ Compreender e identificar simetria axial e de
rotação nas figuras geométricas e nos objetos do dia
a dia
▪ Saber calcular a soma das medidas dos ângulos
internos para polígonos de n lados.
▪ Saber aplicar os conhecimentos sobre a soma das
medidas dos ângulos de um triangulo e de um
polígono em situações práticas.
▪ Saber identificar elementos de poliedros e
classificar os poliedros segundo diversos pontos de
vista
▪ Saber planificar e representar (em vistas) figuras
espaciais
iii
▪ Saber reconhecer situações que envolvem
3.º bimestre
Relações
Proporcionalidade
▪ Variação de grandezas direta ou inversamente
proporcionais
▪ Conceito de razão
▪ Porcentagem
▪ Razões constantes na Geometria: 
▪ Construção de gráficos de setores
▪ Problemas envolvendo probabilidade
proporcionalidade em diferentes contextos,
compreendendo a ideia de grandezas direta e
inversamente proporcionais
▪ Saber resolver problemas variados, envolvendo
grandezas direta e inversamente proporcionais
▪ Reconhecer e saber utilizar o conceito de razão em
diversos contextos (proporcionalidade, escala,
velocidade, porcentagem etc.), bem como na
construção de gráficos de setores
▪ Conhecer o significado do número π como uma
razão constante da Geometria, sabendo utilizá-lo
para realizar cálculos simples envolvendo o
comprimento da circunferência ou de suas partes
▪ Saber resolver problemas simples envolvendo a
ideia de probabilidade (porcentagem que representa
possibilidades de ocorrência)
▪ Compreender o uso de letras para representar
4.º bimestre
Números
Álgebra
▪ Uso de letras para representar um valor
desconhecido
▪ Conceito de equação
▪ Resolução de equações
▪ Equações e problemas
valores desconhecidos, em particular, no uso de
fórmulas
▪ Saber fazer a transposição entre a linguagem
corrente e a linguagem algébrica
▪ Compreender o conceito de equação a partir da
ideia de equivalência, sabendo caracterizar cada
equação como uma pergunta
▪ Saber traduzir problemas expressos na linguagem
corrente em equações
▪ Conhecer alguns procedimentos para a resolução
de uma equação: equivalência e operação inversa
7.ª série/8.º ano do Ensino Fundamental
Conteúdos
1.º bimestre
Números
Números racionais
▪ Transformação de decimais finitos em fração
▪ Dízimas periódicas e fração geratriz
Potenciação
▪ Propriedades para expoentes inteiros
▪ Problemas de contagem
Habilidades
▪ Compreender a ideia de número racional em sua
relação com as frações e as razões
▪ Conhecer as condições que fazem com que uma
razão entre inteiros possa se expressar por meio de
dízimas periódicas; saber calcular a geratriz de uma
dízima
▪ Compreender a utilidade do uso da linguagem das
potências para representar números muito grandes e
muito pequenos
▪ Conhecer as propriedades das potências e saber
realizar de modo significativo as operações com
potências (expoentes inteiros)
iv
▪ Realizar operações simples com monômios e
2.º bimestre
Números/Relações
Expressões algébricas
▪ Equivalências e transformações
▪ Produtos notáveis
▪ Fatoração algébrica
polinômios
▪ Relacionar as linguagens algébrica e geométrica,
sabendo traduzir uma delas na outra, particularmente
no caso dos produtos notáveis
▪ Saber atribuir significado à fatoração algébrica e
como utilizá-la na resolução de equações e em
outros contextos
▪ Compreender o significado de expressões
envolvendo números naturais por meio de sua
representação simbólica e de seu significado
geométrico (2n é um número par, 2n + 1 é um
número ímpar, a soma dos números n primeiros
números naturais é (n (n+1))/2 etc.)
▪ Compreender situações-problema que envolvem
Números/Relações
3.º bimestre
Equações
▪ Resolução de equações de 1.º grau
▪ Sistemas de equações e resolução de problemas
▪ Inequações de 1.º grau
Gráficos
▪ Coordenadas: localização de pontos no plano
cartesiano
proporcionalidade, sabendo representá-las por meio
de equações ou inequações
▪ Saber expressar de modo significativo a solução de
equações e inequações de 1.º grau
▪ Saber explorar problemas simples de matemática
discreta, buscando soluções inteiras de equações
lineares com duas incógnitas
▪ Saber resolver sistemas lineares de duas equações
e duas incógnitas pelos métodos da adição e da
substituição, sabendo escolher de forma criteriosa o
caminho mais adequado em cada situação
▪ Compreender e usar o plano cartesiano para a
representação de pares ordenados, bem como para
a representação das soluções de um sistema de
equações lineares
▪ Reconhecer e aplicar o teorema de Tales como
4.º bimestre
Geometria
uma forma de ocorrência da ideia de
proporcionalidade, na solução de problemas em
diferentes contextos
Geometria
▪ Teorema de Tales
▪ Teorema de Pitágoras
▪ Área de polígonos
▪ Volume do prisma
▪ Compreender o significado do teorema de
Pitágoras, utilizando-o na solução de problemas em
diferentes contextos
▪ Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos,
com destaque para os polígonos regulares
▪ Saber identificar prismas em diferentes contextos,
bem como saber construí-los e calcular seus volumes
8.ª série/9.º ano do Ensino Fundamental
Conteúdos
Habilidades
v
1.º bimestre
Números
Números reais
▪ Conjuntos numéricos
▪ Números irracionais
▪ Potenciação e radiciação em R
▪ Notação científica
▪ Compreender a necessidade das sucessivas
ampliações dos conjuntos numéricos, culminando
com os números irracionais
▪ Saber representar os números reais na reta
remunerada
▪ Incorporar a ideia básica de que os números
irracionais somente podem ser utilizados em
contextos práticos por meio de suas aproximações
racionais, sabendo calcular a aproximação racional
de um número irracional
▪ Saber realizar de modo significativo as operações
de radiciação e de potenciação com números reais
▪ Compreender o significado e saber utilizar a
notação científica na representação de números
muito grandes ou muito pequenos
Números/Relações
2.º bimestre
Álgebra
▪ Equações de 2.º grau: resolução e problemas
Funções
▪ Noções básicas sobre função
▪ A ideia de variação
▪ Construção de tabelas e gráficos para representar
funções de 1.º e de 2.º graus
▪ Compreender a resolução de equações de 2º grau
e saber utilizá-las em contextos práticos
▪ Compreender a noção de função como relação de
interdependência entre grandezas
▪ Saber expressar e utilizar em contextos práticos as
relações de proporcionalidade direta entre duas
grandezas por meio de 1.º grau
▪ Saber expressar e utilizar em contextos práticos as
relações de proporcionalidade direta entre uma
grandeza e o quadrado de outra por meio de uma
função de 2.º grau
▪ Saber construir gráficos de funções de 1.º e 2.º
graus por meio de tabelas e da comparação com os
gráficos das funções y = x e y = x²
Geometria/Relações
3.º bimestre
Proporcionalidade na Geometria
▪ O conceito de semelhança
▪ Semelhança de triângulos
▪ Razões trigonométricas
▪ Saber reconhecer a semelhança entre figuras
planas, a partir da igualdade das medidas dos
ângulos e da proporcionalidade entre as medidas
lineares correspondentes
▪ Saber identificar triângulos semelhantes e resolver
situações-problema envolvendo semelhança de
triângulos
▪ Compreender e saber aplicar as relações métricas
dos triângulos retângulos, particularmente o teorema
de Pitágoras, na resolução de problemas em
diferentes contextos
▪ Compreender o significado das razões
trigonométricas fundamentais (seno, cosseno e
tangente) e saber utilizá-las para resolver problemas
em diferentes contextos
4.º bimestre
Geometria/Números
Corpos redondos
▪ O número ; circunferência, o círculo e suas partes;
área do círculo
▪ Teorema de Pitágoras
▪ Área de polígonos
▪ Volume do prisma
▪ Conhecer a circunferência, seus principais
elementos, suas características e suas partes
▪ Compreender o significado do π como uma razão e
sua utilização no cálculo do perímetro e da área da
circunferência
▪ Saber calcular de modo compreensivo a área e o
volume de um cilindro
▪ Saber resolver problemas envolvendo processos
de contagem – princípio multiplicativo
▪ Saber resolver problemas que envolvam ideias
simples sobre probabilidade
Fonte: SÃO PAULO, 2010, p. 57-64
vi
ANEXO B
ENTREVISTAS
Professor A
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre as aulas que envolviam fração, em
especial, as que desenvolviam o conceito no Ensino Fundamental e Médio?
Entrevistado: Antigamente eu achava que o ensino era muito mais forte e eu gostava de
estudar, hoje em dia é complicado, eu gostava do que os professores falavam era a parte mais
completa da aula, o principal era o que o professor falava, não me lembro de como o professor
ensinava no Ensino Fundamental e Médio.
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo questões
ligadas ao ensino e aprendizagem das frações na sua formação inicial (graduação) e na
formação continuada (outros cursos e observatório)?
Entrevistado: Na minha época não usávamos nada de diferente para complementar as aulas.
Não me lembro dos significados das frações. Acho que trabalhei na graduação números
racionais em forma fracionária, mas não me recordo ao certo, o professor já usava as frações
em cálculos, não me lembro que falava em nenhum tipo de significado.
Trabalhei os números racionais com pouca ênfase. No observatório a Rosana me ensinou a
usar o compasso de uma forma bem diferente, facilitando a aprendizagem com relação aos
números irracionais.
Entrevistador: De alguma maneira você se recorda que com o estudo dos números irracionais
feito no observatório desenvolvia conceitos dos racionais?
Entrevistado: Para definir números irracionais fizemos atividade usando fração e dividindo o
numerador pelo denominador, se o resultado dessa divisão fosse um número inteiro ou um
número decimal exato ou um decimal em forma de dizima periódica, concluíamos que a fração
trabalhada era um número racional, se o resultado da divisão era um número decimal sem
periodicidade em sua parte decimal é considerado um número irracional.
Entrevistador: Em algum momento dessa atividade alguém falou no significado quociente?
Entrevistado: É, foi falado que era através do quociente que se descobria que tipo de número
era, racional ou irracional.
Entrevistador: Em que ano você trabalhou com 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/7.º ano?
Entrevistado: Em 2008,2009 e 2010 eu trabalhei com 5.ª e 6.ª séries, esse ano estou com 6.ª,
7.ª e 8.ª série.
Entrevistador: Você ensinou frações antes de 2008?
Entrevistado: Ensinei frações antes de 2008, eu sempre fiz através de representação, fazia
um quadrado e dividia, por exemplo: ―comprei um chocolate e vamos dividir‖, com desenhos,
citando exemplos didáticos, divide o chocolate, come um terço, um todo, um inteiro.
Para ensinar numero misto, estudei numero inteiro. Às vezes faço recortes para eles
entenderem a parte todo. Geralmente trabalho com giz e lousa, até que eles entendem bem o
vii
que estou passando.
Entrevistador: Me explique como você ensina isso.
Entrevistado: No primeiro momento passo a parte todo, faço desenho e depois vamos
dividindo fração em própria, imprópria, aparente.
Entrevistador: Como assim? Você pode me detalhar isso?
Entrevistado: Se eu divido o chocolate em duas partes, a fração é meio, se eu dividir em
quatro partes, a fração é um quarto, mostro o significado parte todo.
Entrevistador: E você compara esses tamanhos?
Entrevistado: Sim, mostrando através das figuras.
Entrevistador: Você está me falando que explicava o significado da parte todo, e o quociente,
você explicou?
Entrevistado: O quociente trabalhei dividindo o numerador pelo denominador e eu falava
também sobre outro significado que é a razão sendo a mesma coisa que uma divisão. Obtive
alguns resultados bons, não todos, mais tive.
Entrevistador: De que maneira você fala de fração no trato do significado razão?
Entrevistado: Eu falo bem assim: ―VAMOS DIVIDIR, OLHA A DIVISÃO‖ é difícil mais explico
como faz a divisão, porque ela é feita. Uso a razão como exemplo na medicina temos 4 vagas
para tais alunos, vou exemplificando um dia de sol e três de chuvas, eles entendem dessa
forma.
Entrevistador: Comente como você introduziu fração em suas aulas este ano com a
implementação do novo currículo que aconteceu em 2008.
Entrevistado: Agora eu uso os livrinhos, não uso tudo mais uso. Estou fazendo mosaico, hoje
em dia tem muito de geometria, mais não faço só geometria, faço matemática, na próxima
semana vamos fazer exposição de mosaico. Agora eu estou ensinando pra eles o seguinte
―Porque vocês não conseguem com todas essas figuras fazer um ladrilho?‖ Porque não estão
fazendo a figura certa, tem haver coma divisão, da pra falar ate de racionais.
Entrevistador: No Caderno do Professor da 5.ª série, tem a Situação de Aprendizagem 3 que
fala de frações. Como você introduziu isso para seus alunos?
Entrevistado: Situação 3: Começo sempre com representação para explicar. O denominador
denomina (quanto você vai comer, quanto você vai dividir) a fração, sempre friso isso. A
potenciação é 2 vezes ―OOOOO NÚMERO 7‖ (COM ÊNFASE, PARA NÃO PENSAREM QUE
É 2X7 E SIM 2X OOOO NUMERO 7) eles acham até engraçado o meu jeito de falar. Trabalho
muito com figura, joguinho de frações de encaixar como um dominó, joguinho bem antigo nem
sei de onde arrumaram ―disco de frações‖, mais só tem um joguinho na escola então fica difícil
trabalhar sempre. Essa Situação de Aprendizagem eu copiei os desenhos que estavam no
caderno, eu fiz as divisões e chamava atenção para as partes que eu pintava.
Aqui -> 1/5 (o 5 denomina em quantas vezes deverá ser divido a pizza, por exemplo).
Eu liguei a geometria com a matemática, a conversão da fração na polegada.
Entrevistador: Não entendi.
Entrevistado: Eu pedia para os alunos olharem a reguinha que tinha suas medidas em
viii
polegadas, por exemplo, um quarto, um meio, se o número era maior do que uma polegada, já
mostrava pra eles que isso poderia ser representado na forma de número misto, por exemplo,
uma polegada e um quarto.
Entrevistador: Com relação à Situação de Aprendizagem 4, como você trabalhou a ideia de
equivalência? Você usou a figura do caderno?
Entrevistado: Usei a figura do caderno, só que eu sempre faço uma fração embaixo da outra,
ou seja, um desenho embaixo do outro, mostro a equivalência, que por mais que mudemos os
números, muitas das vezes estamos fazendo a mesma coisa.
Entrevistador: Me fale como você introduz operações com frações (adição e subtração)?
Entrevistado: Quando é o mesmo denominador, você só pode comparar números iguais,
então você conserva o de baixo e compara o de cima. Tem que ensinar o mínimo múltiplo
comum que é a parte mais difícil. A compreensão de dividir pela parte de baixo e multiplicar
pela parte de cima, é muito complicada para eles, preciso inventar outra forma de ensiná-los
porque eles não entendem.
Entrevistador: Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com frações, do ponto de
vista do professor e do aluno?
Entrevistado: No começo foi difícil de usar o livrinho viu? Mais agora existem várias partes do
livrinho que eu uso, principalmente com a 7.ª série que tem os números notáveis. Confesso que
não uso tudo, mais uso bastante, na multiplicação e divisão não uso representação de figuras,
vou direto ao conceito.
As dificuldades que aparecem na fração são adição e subtração. Equivalência, divisão e
multiplicação eles entendem mais do que adição e subtração.
Entrevistador: Quais conceitos?
Entrevistado: Para multiplicar uma fração por outra, multiplico em linha, numerador por
numerador e denominador por denominador. Na divisão conservo a primeira fração e multiplico
pelo inverso da segunda, não uso o material.
Entrevistador: Como você avalia a abordagem do conceito de números racionais na
representação fracionária na Educação Básica? O que é proposto você considera suficiente?
Faça outras considerações que você acha necessárias.
Entrevistado: Não é suficiente falar, é interessante aplicar a matemática com bastante
exercícios, até repetitivo, mesmo sabendo que o processo de repetição seja algo dito como
antigo e forçado, na matemática as coisas funcionam dessa maneira, com a repetição.
Professor B
Graduada em ciências com habilitação plena em matemática 1998 UniSantana, 12 anos de
magistério no Estado. Com experiência de apenas um ano e meio em escola particular.
Leciono 30 aulas de manhã nos 3 primeiros anos e 3 segundos anos EM.
Entrevistador: Quais recordações você tem com relação ao estudo com frações, em especial
no Ensino Fundamental e Médio?
Entrevistado: Eu odiava matemática, não me lembro como o professor abordava o tema
ix
fração. Se estudei números racionais em forma fracionária foi muito pouco. Eu fiz um curso
aqui na diretoria, não me lembro do nome, envolvia fração, com um cd que recebemos para
trabalhar no computador, números decimais e fração decimal.
Entrevistador: Você ainda tem esse material, o CD que foi usado no curso?
Entrevistado: Devo ter, mas nem sei onde está, tudo o que eu aprendi na escola,
sinceramente não me lembro, foi tudo muito pincelado, e as minhas recordações são quase
nulas, afinal como falei eu não gostava da matéria. Fui gostar agora na minha graduação,
porém de informações mais antigas que essas eu não tenho.
Entrevistador: Como foi que você aprendeu na sua graduação?
Entrevistado: Eu me lembro que o professor fez alguns comentários sobre frações falando dos
procedimentos de cálculos, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Entrevistador: Você se lembra como ele introduziu isso?
Entrevistado: Ele definia as regras das operações, por exemplo, para somar ou subtrair
frações com o mesmo denominador bastava conservar o denominador e somar ou subtrair os
numeradores e a fração resultante ele sempre pedia para simplificar ao máximo, até se tornar
irredutível e se a fração resultasse em das frações com denominadores diferentes tínhamos
que determinar o mínimo múltiplo comum.
Entrevistador: Você não se lembra se o professor falava nesse momento de somar ou subtrair
frações com denominadores diferentes em tornar as frações equivalentes e depois fazer
operação?
Entrevistado: Lembro-me que ele dizia que só podia somar ou subtrair se estivesse falando da
mesma coisa, ou seja, essa mesma coisa só se consolidava quando os denominadores eram
iguais. Em relação a multiplicação a regrinha era muito fácil, bastava multiplicar em linha,
numerador por numerador e denominador por denominador. Já na divisão conservava a fração
que ocupava o numerador e multiplicava pela fração que estava no denominador e para
finalizar simplificava ao máximo.
Entrevistador: Sobre divisão de um todo em partes, o que você me diz?
Entrevistado: Divisão parte-todo ele não falava não.
Entrevistador: Em quais anos você trabalhou com 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/ 7.º ano já com a
implementação do novo currículo?
Entrevistado: Trabalhei em 2010 com 5.ª série, 6.ª série não.
Entrevistador: Você ensinou esse tema antes de 2008? Comente como você introduzia
frações, antes da divulgação do novo currículo?
Entrevistado: Trabalhei em 1999 e 2000. Para apresentar a fração eu usava uma reta e dividia
essa reta em pedaços, fazia isso na lousa. Se eu dividia a reta em dez partes escrevia um
décimo e assim por diante. As operações, fazia como descrevi quando fiz a graduação, a única
diferença é que eu passava bastante exercícios de fixação, pois sempre achei que matemática
se aprende com muita repetição.
Entrevistador: Como você introduziu frações em 2010? Comente como você apresentava os
exercícios propostos no Caderno do Professor?
x
Entrevistado: Pra falar a verdade eu vi esse Caderno do Professor mas não usei muito, achei
um pouco confuso, comecei estudar, mas eu mesmo não entendia muito a proposta dos
exercícios, não todos claro. Vou ser sincera pra você para usar esse material precisa ter um
curso específico, por a mão na massa mesmo. Depois dei uma olhada no Caderno do Aluno.
Entrevistador: Então você usou esse Caderno nas aulas?
Entrevistado: Não usei, a matéria estava atrasada, então eu passava lição na lousa. O
conteúdo que eu usava, eu explicava e exemplificava. O caderno pra mim não funciona.
Entrevistador: Mas você seguiu a sequência de conteúdos apresentada no caderno?
Entrevistado: Mais ou menos, trabalhei da mesma forma ou quase como antes da
implementação desse material.
Entrevistador: Bom, se você está me dizendo que não usou o material, eu vou te perguntar
sobre alguns temas: Você trabalhou o significado quociente?
Entrevistado: Não, nem números decimais, trabalhei mais operações mesmo, até avisei o
professor desse ano como eu havia trabalhado o ano passado e até onde eu parei.
Entrevistador: Em algum momento você usou o significado razão ou fração com o significado
operador?
Entrevistado: Não.
Entrevistador: Me parece que você considera difícil desenvolver esse tema com os alunos,
ainda insistindo um pouco, me conte quais as dificuldades que você via nos alunos na
introdução desse conteúdo?
Entrevistado: As dificuldades eram com denominadores diferentes, em trabalhar o MMC. A
ideia de fatorar um número para determinar o MMC levava o aluno a ter que fazer divisão e
isso era complicado para eles. Não sabiam e não prestavam muita atenção na explicação.
Entrevistador: O que você acha que justifica isso?
Entrevistado: Desmotivo-me com o desinteresse dos alunos. Eu acho que o caderno do aluno
não trás conteúdo só trás exercício e o caderno do professor tem uma linguagem difícil para
transmitir pros alunos. Os cadernos deveriam vir de forma mais clara.
Entrevistador: Você poderia, então, me contar com mais detalhes como você trabalhava esse
tema antes do novo currículo, introduzindo os números racionais na forma fracionária?
Entrevistado: No ano que lecionei matemática para 5.ª série, acho que foi em 2000 eu usava
um livro didático da editora... e segui a ordem que aparecia. Antes de falar de números
racionais e sua representação fracionária eu ensinava os alunos a fatoração de números
naturais, mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo divisor comum (mdc) o objetivo era usar o
mmc quando fosse trabalhar as operações de somar e subtrair frações. Como no ano passado
(2010) lecionei para uma 5.ª série, como já falei não usei o caderno, usei o livro que eu tenho,
acho que explica melhor, apresentei a ideia de fração que é a de medir objeto, além do
exemplo da divisão da reta, como comentei, trabalhei também desenhando na lousa um
retângulo e marco que a medida desse retângulo é uma polegada, desenho ao lado um
parafuso do mesmo tamanho do retângulo, pinto com giz colorido todo o retângulo, afirmo
então que o parafuso mede uma polegada. Faço outro retângulo e pinto com giz só a metade e
xi
desenho ao lado outro parafuso do tamanho da parte pintada e represento a medida da peça
na forma de fração ( um sobre dois), desenho mais três retângulo do mesmo tamanho porem
dividindo em maiores números de partes e ao lado o parafuso de tamanho diferente de acordo
com as partes pintadas assim eu tenho em uma figura de mesmo tamanho várias
representações , por exemplo, meio, um terço, três quartos, cinco oitavos etc.
Assim os meus alunos verificam que a fração representa a parte de um todo. Tem um
probleminha que eu costumo dar que é: Cinco coleguinhas saem para passear. Três estão
usando camisa verde e dois estão de camisa amarela. Como representar esses meninos que
estão de camisa verde com relação ao total de meninos? E representação dos meninos que
estão de amarelo com relação cinco meninos?
Procuro também mostrar para os alunos o lugar de alguns números na forma de fração na reta
numérica. Faço também a construção de alguns polígonos e divido em partes iguais, risco
algumas dessas partes peço para representar tanto a parte riscada como a parte que não foi
riscada, na forma de fração, em seguida já começo a ensinar a somar essas frações que
resultam no polígono inteiro, defino então que para somar ou subtrair frações de mesmo
denominador basta conservar o denominador e fazer as operações com os numeradores,
somando ou subtraindo. Finalmente divido o numerador pelo denominador, determino o
polígono inteiro ―UM‖.
Procuro dar bastante exercícios com numerador um, envolvendo exercícios do tipo...Determine
quanto é um terço de quinze, um quarto de vinte...
Para explicar frações com numerador diferente de um, trabalho também com figuras, exemplo,
construo dois retângulos de mesmo tamanho, um ao lado do outro, divido o primeiro em três
partes iguais com linhas horizontais, em seguida risco duas partes. No outro retângulo faço a
mesma divisão do primeiro, risco a mesma parte e em seguida faço outras subdivisões (12
partes), ficando assim riscado no segundo retângulo oito partes de um total de doze. Pelas
figuras observamos que dois terço de 12 é 8. O livro mostra que esse problema pode ser
resolvido assim: Um terço de doze é igual a doze dividido por três que é quatro, então dois
terços de doze é igual a dois vezes o quatro que é igual a oito. Não aprofundo muito nesse tipo
de comentário pois percebo que muitos alunos não entendem e nem se esforçam para
entender.
Em seguida passo para as operações, soma e subtração, achando o mmc que eles já
aprenderam, dividindo esse mmc pelo denominador e multiplicando pelo numerador de cada
fração em seguida conserva o denominador, soma ou subtrai os denominadores. Mas toda vez
que vai fazer esse tipo de exercício tenho que estar relembrando, eles esquecem muito rápido.
Na multiplicação falo para multiplicar o numerador pelo numerador e o denominador pelo
denominador e na divisão de uma fração por outra... conservo a primeira fração (a de cima) e
multiplico pelo inverso da fração de baixo (que está no denominador).
Entrevistador: Para explicar multiplicação e divisão envolvendo frações você usa figuras para
demonstrar o procedimento dessas operações?
Entrevistado: Não faço representação com figuras e nem uso outro recurso para tratar
xii
multiplicação e divisão.
Entrevistador: Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com fração, no ponto de vista
do professor e do aluno?
Entrevistado: A dificuldade que eu sinto não só em ensinar frações como outros conteúdos é
a falta de interesse, falta de base (nas quatro operações) e também a indisciplina.
Entrevistador: Faça outras considerações que julgue necessárias a respeito do trabalho
desenvolvido com frações pelo grupo de professores na sua escola que lecionam para 5.ª
série/6.º ano.
Entrevistado: Sobre o caderno não posso falar muito, pois não usei, e o pouco que olhei achei
muito complicado, tanto os caderno dos professores como o dos alunos e com relação aos
meus colegas professores que lecionam comigo, falam das mesmos problemas que eu ti
apresentei.
Professor C
Trabalhei durante sete anos e depois fiquei quinze anos fora da área da educação e fazem 5
anos que voltei pra essa área e estou sentindo muita dificuldade, mesmo sendo graduada em
matemática. Magistério de 12 anos no Estado. Não lecionei em escola particular não. Hoje
s
tenho 30 aulas EM (1.º anos – matemática).
Entrevistador: Comente quais as recordações você tem sobre as aulas que envolviam fração,
em especial, as que desenvolviam o conceito no Ensino Fundamental e Médio.
Entrevistado: É naquela época eles não trabalhavam muito assim com essa parte de
joguinhos, era assim só no quadro, o professor já apresentava a fração com o desenhinho de
colocava a forma fracionária, direto no quadro desta forma.
Começa a divisão na metade, depois um quarto e assim por diante. Dividíamos o de cima pelo
debaixo e tínhamos o número decimal, para colocar na reta.
Não me recordo do meu professor falar em razão e proporção, eu só me recordei um pouco
porque o ano passado eu dei aula na 5.ª e 6.ª série, por isso lembro algumas coisas
relacionadas a minha própria aula.
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo questões
ligadas ao ensino e aprendizagem das frações na sua formação inicial (graduação) e na
formação continuada (outros cursos e observatório).
Entrevistado: Na minha graduação eu me recordo que nós trabalhávamos muito com frações,
mas já no cálculo, não fazíamos exercícios falando de significados, simplesmente usávamos as
operações com frações e o quociente. Meus professores não falavam nem em fração
equivalente simplesmente pediam para simplificar ao máximo, ou seja, fazer com que a fração
se tornasse irredutível.
Entrevistador: E nos cursos de formação continuada? Por exemplo, no observatório da
educação.
Entrevistado: Nós buscamos aqui no observatório, aprimorar os conhecimentos no intuito de
aplicar os conteúdos de matemática de uma forma coerente com a nova proposta.
xiii
Entrevistador: Antes de 2008 você trabalhou com 5.ª ou 6.ª série?
s
s
Entrevistado: Antes de 2008, não trabalhei com 5.ª e 6.ª séries por isso não posso ajudá-lo,
como introduzia o tema. O ano passado peguei uma 5.ª e uma 6.ª série, mais eu usei muito
pouco os cadernos. Eu tinha muita dificuldade em compreender os exercícios, imagine meus
alunos, mas mesmo assim eu consegui aplicar parte do conteúdo com o uso do material
Entrevistador: Comente como você introduziu fração em suas aulas esse ano de 2010.
Entrevistado: Você está com o caderno aí para eu poder lhe explicar quais atividades eu
trabalhei e como trabalhei?
Entrevistador: Sim, estou com o caderno aqui e gostaria que você contasse como introduziu a
Situação de Aprendizagem 3 que trata das frações.
Entrevistado: Bom eu segui as orientações do caderno e coloquei no quadro algumas figuras
(no total 4), e cada uma delas fiz algumas divisões, em seguida achurei? A parte que eu queria
que os alunos representassem com frações, pedi para que eles escrevessem a resposta no
caderno.
Quando comecei a perguntar verifiquei que a maioria não sabia representar as partes
destacadas na forma fracionária.
Alguns alunos disseram que já tinham visto mas não se lembravam.
Eu expliquei todos que estavam na lousa e falei do significado do termo numerador que é a
parte e o denominador que é o todo, mostrando no desenho.
Entrevistador: Eles compreenderam?
Entrevistado: Sim, eu fiz outras figuras e eles acertaram ao escrever na forma fracionária. E
logo em seguida eu falei da leitura dessas, um terço, um décimo, etc.
As figurinhas que aparecem no caderno como medir um objeto nesses casos de comparação,
não aprofundei mas falei que uma unidade de medida pode caber exatamente um número de
vezes no objeto medido, ou não.
Entrevistador: Você explicou usando as representações que estão no Caderno do Professor?
Entrevistado: Mostrei do jeitinho que está no caderno. Se eu usar uma unidade e esta caber 3
vezes no objeto, represento por 3÷1 que é o quociente que dá o resultado com número natural.
Se eu dividir em 3 partes, tenho três terços e comparando com o objeto a medida pode ser
escrita em forma de fração nove terços que é o mesmo resultado, 3.
Já nos casos que a unidade de medida não cabe exatamente no objeto a ser medido, a
solução é fracionar a unidade de medida, e aí nem sempre a fração pode ser representada por
número natural, fica na forma de fração mesmo.
Entrevistador: Ainda no caderno, na atividade 1 a proposta é apresentar a fração na notação
de número misto. O que você fez para explicar isso? Como você fez?
Entrevistado: No caso três bolinhas pintadas mais uma bolinha com um quarto dela pintada eu
explico que cada bolinha cheia é um, como são três, escrevo três e um quarto, isso é o número
misto.
Agora transformar o número misto em uma única fração, não falei, complica, acho que
confunde o aluno.
xiv
Entrevistador: Então, como você fez?
Entrevistado: Passei um exercício complementares que eu criei, parecido com o caderno e
depois já passei para essa Situação de Aprendizagem 4 que fala de frações equivalentes.
Usei o exemplo do caderno comparando figuras que podem ser dividas e subdivididas, e
representadas por frações escritas com números diferentes (naturais), mas com o mesmo valor
aí eu falei um meio, dois quartos, são a mesma coisa.
A seguir na atividade de comparação entre frações os alunos entenderam qual é a fração maior
ou menos quando os denominadores iguais, pois nesse caso eu falei que quanto maior o
numerador maior é o valor da fração.
Entrevistador: Então você falou de quociente novamente?
Entrevistado: Sim
Entrevistador: E no caso de comparar frações com denominadores diferentes?
Entrevistado: Ai foi ruim, falei que tinha que determinar o MMC, mas o caderno não traz isso
antes, foi então que resolvi parar com o caderno e ensinar primeiro MMC.
Apliquei alguns exemplos de comparação e já fui trabalhar a adição e subtração, multiplicação
e divisão. A partir daí não usei mais o caderno, expliquei da forma que eu aprendi como te falei.
Entrevistador: O caderno volume 2 no estudo do tema ―fração‖ traz a proposta de se trabalhar
fração decimal, notação decimal. Como você trabalhou isso?
Entrevistado: Para te falar a verdade, não usei o volume 2, o volume três falei um pouquinho
das figuras geométricas, acabou o ano.
Entrevistador: Com as figuras você em algum momento trabalhou fração?
Entrevistado: Não, não deu mais tempo.
Entrevistador: Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com frações no seu ponto de
vista, e dos alunos?
Entrevistado: A dificuldade do professor eu acho que é o tempo curto para desenvolver um
trabalho melhor, já os alunos não estudam, as vezes fazem exercícios, as vezes não, fica
difícil.
Entrevistador: Mais algumas considerações, ou seja, o que você acha dos Cadernos do
Professor, e você conhece o trabalho de outros professores com esse material falando
especificamente no estudo das frações.
Entrevistado: Eu acho que o caderno contempla o conteúdo programático da série, mas, acho
que faltam mais exercícios repetitivos, sobre os professores que trabalham na mesma escola
que eu, não sei como trabalham esse tema.
Professor D
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre as aulas que envolviam fração em
especial, as que desenvolviam o conceito no Ensino Fundamental e Médio.
Entrevistado: Pra falar a verdade eu não me lembro do professor que passava frações pra
gente, lembro que falava em simplificar uma fração ao máximo, agora como ele fazia, eu não
me lembro. Fazia figuras de laranja, desenhos, barras de chocolates para divisões de frações,
xv
recortes, agora fora isso eu não me recordo, não usei material dourado.
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo questões
ligadas ao ensino e aprendizagem das frações na sua formação inicial (graduação) e na
formação continuada (outros cursos e observatório).
Entrevistado: Na graduação usava mais apostilas com poucas figuras. Cheguei a fazer
bastante exercício de números racionais, fracionários, a forma de converter número racional na
forma fracionária decimal em fração e fração em decimal. Entrevistador: O professor falava
sobre significados da fração? Por exemplo, razão?
Entrevistado: Sobre razão eu não me lembro de ter aprendido e nem a forma lógica.
Entrevistador: Em quais anos você trabalhou com 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/7.º ano?
Entrevistado: Em 2008, 2009, eu trabalhei com 5.ª e 6.ª série e este ano também. Me lembro
que foi dado para os alunos um tipo de jornal com os conteúdos que iríamos trabalhar com
eles, no começo tínhamos que guardar no final da aula, os jornais foram rasgando, os alunos
não tomavam cuidado, não liam e nem faziam os exercícios propostos.
O material do aluno para mim foi ruim, eu lembro que tinha até a parte de figuras fracionárias,
mais não dava para absorver do jornal, era preciso o auxílio de um livro. Eu introduzi frações
com exemplos de pizza, praticando sempre com giz e lousa, nada de recortes, tangran nada.
Naquela época em 2008 eu não tinha a ideia que tenho hoje por isso não trabalhei de outras
maneiras. Usei pouco o caderno do aluno.
Não tenho certeza, mas acho que no ano seguinte foram entregue para os alunos o caderno
dos conteúdos a serem ensinados naquele ano. Nós professores também recebemos o
material. Comecei a dar uma olhada, mas não achei muito bom, uma linguagem muito difícil, eu
no começo tentei explicar fazendo alguns exemplos na lousa mais percebia que na hora que os
alunos (alguns poucos) tentavam resolver não conseguiam e desistiam, chegando ao ponto
nas aulas seguintes de nem abrir o material.
Foi então que eu percebi que isso não iria dar certo, pois tinha exercícios que até eu ficava
confuso na hora de resolver. Dai pra frente comecei a usar um livro de matemática da 5.ª série
e um da 6.ª série de uma coleção chamada...
O estudo com as frações aparecem na 5.ª série, nesse livro que eu uso a partir do começo do
terceiro bimestre.
Entrevistador: Então me explique: como você introduziu esse tema para seus alunos?
Entrevistado: Eu inicio o trabalho com as frações, fazendo uma figurinha de um círculo ou
retângulo, por exemplo, divido essas figuras em oito partes iguais e passo a colorir cinco partes
das oito. Logo após explico que o todo que forma a figura é oito e esse valor é o denominador
e a parte que eu colori é o valor que representa o denominador, então, a parte colorida é
representada por cinco oitavos e essa representação é chamada de número fracionário ou
fração.
Nesse momento explico que o denominador nunca pode ser zero. Em seguida passo alguns
desenhos (círculo, quadrados, retângulos, triângulos...) e faço divisões de mesmo tamanho nas
figuras e em cada uma delas pinto algumas partes e peço que os alunos representem essas
xvi
partes na forma fracionária.
Entrevistador: Isso que você me falou se refere à representação da parte-todo, tem mais
alguns exemplos que você aplica?
Entrevistado: Outro tipo de exercício que costumo passar para que os alunos compreendam
esse conceito de fração, por exemplo, um mês tem 30 dias, escreva a fração do mês que
corresponde a...um dia, a dois dias, a vinte e cinco dias...
Entrevistador: Usa algum tipo de material?
Entrevistado: Não uso recurso nenhum nas minhas aulas só giz e lousa e às vezes tiro xerox
de lista de exercícios e dou para os alunos.
Na 5.ª série ensino também os alunos a maneira de ler e escrever a fração na língua materna,
por exemplo, os denominadores: o número 2 é meio, o 3 é terço. o 4 é quarto... Na leitura da
fração um sobre dois, lê-se um meio, na fração cinco sobre sete, lê-se cinco sétimos e assim
por diante. Procurei no caderno e não encontrei isso lá.
Outra coisa que eu não encontrei escrito nos cadernos do professor foi os tipos de frações.
(Fração própria, imprópria e aparente).
Em seguida passo para parte operatória (adição, subtração, multiplicação e divisão) de frações.
Passo exemplos de cada tipo e forma de resolver em seguida dou exercícios. Explico na
sequência a forma de comparar frações, sempre determinando antes o mmc para que possa
comparar as frações com mesmo denominador.
O resultado da divisão do numerador pelo denominador é a representação de uma fração na
forma decimal eu ensino também, mas sem fazer representação por figura, desenvolvendo a
operação direta.
Com relação aos significados das frações só falo da parte-todo, como citei antes que o
denominador é o todo e o numerador é a parte.
Entrevistador: Nem na 6.ª série você usou a proposta?
Entrevistado: Na 6.ª série eu também não usei o caderno dei uma olhada e achei muito
complicado da mesma maneira que na 5.ª série, usei um pouco mais os exercícios escritos na
forma de problemas.
Entrevistador: Como?
Entrevistado: Eu colocava um problema na lousa e explicava: ―João tinha uma barra de
chocolate com 8 pedaços e ele comeu 3, como eu posso fazer isso virar uma fração?‖ aí eu
explicava que o todo é o 8 e as partes comidas são as 3, então no caso ele comeu 3/8 três
oitavos.
Entrevistador: Qual as dificuldades para trabalhar com frações neste ano? Do ponto de vista
do conhecimento do professor e do conhecimento do aluno.
Entrevistado: Eu não aprendi a trabalhar da forma que o novo currículo propõe, não tenho
muita experiência. Eu ensino como eu aprendi. Sobre as dificuldades dos alunos eu entendo
que eles não veem muito sentido em estudar nessa faixa de idade.
Entrevistador: Quer fazer mais algumas considerações a sobre o que abordamos?
Entrevistado: Esse ano usei muito pouco o material, mas vou tentar trabalhar mais com ele,
xvii
pois sei que tenho que fazer isso... só acho que deveria ter mais cursos e mais materiais para
que possa ser trabalhado com os alunos de forma mais dinâmica...
Professor E
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre as aulas que envolviam fração em
especial, as que desenvolviam o conceito no Ensino Fundamental e Médio.
Entrevistado: No Ensino Fundamental e Médio o único assunto que lembro é o MMC, com
relação a fração pois com isso fazíamos cálculos de somar e subtrair frações com
denominadores diferentes, não tenho lembranças de como o professor fazia, acho que resolvia
um ou outro exemplo e depois passava exercícios pra gente fazer. Na verdade eu resolvia
mecanicamente, não entendia quase nada, fazia da forma que ele ensinava sem saber porque.
No médio só trabalhei incógnita, determinar o valor de x na equação, gráfico da função...
Entrevistador: No Ensino Médio não trabalhou frações em conteúdo nenhum?
Entrevistado: Não que eu me lembre.
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo questões
ligadas ao ensino e aprendizagem das frações na sua formação inicial (graduação) e na
formação continuada (outros cursos e observatório).
Entrevistado: Com relação a graduação o professor pedia para dar aula sobre frações assim
íamos pesquisar para apresentar a aula sobre frações ―aplicando a apresentação tendo sentido
voltado para alunos do Ensino Fundamental, ter cuidado para elaborar aula com intenção de
mostrar para turma e para o professor da graduação uma maneira de desenvolver o tema que
chamasse a atenção do aluno do Ensino Fundamental para o aprendizado dos significados das
frações.
Recordo-me que me apropriei com atuação dando aula, pesquisando e estudando uma forma.
Entrevistador: Me conte com fazia isso.
Entrevistado: Fiz uma pesquisa em alguns livros de matemática e separei por temas das
formas como interpretavam frações, a primeira forma era parte-todo, a segunda era quando
usava a fração para falar de probabilidade, porcentagem por exemplo, dez dividido por cem, ou
seja dez por cento de algo e a divisão do dez pelo cem que também representava com número
decimal esse exemplo, nesse caso zero vírgula um por cento (0,1%). Me lembro que na
faculdade dei uma aula usando a divisão da pizza, parte do todo dependendo da divisão feita,
destacando a parte retirada e a parte restante.
Entrevistador: Está me dizendo que com isso demonstrava os significados que você me
descreveu?
Entrevistado: Não na divisão da pizza, o desenho, só demonstrava a fração que significava a
parte. As outras formas eu dava em forma de problemas, quanto por cento terei de desconto
em uma compra? A fração cinco meios pode ser representado por que número na forma
decimal? E assim por diante....
Entrevistador: Em que ano você lecionou para 5.ª série/6.º ano e 6.ª série/7.º ano?
Entrevistado: Em 2009, 2010, 2011,, 6.º ano, e 2008, 2009 e 2010, 5.º ano.
xviii
Entrevistador: Você não trabalhou esse tema antes de 2008?
Entrevistado: Não quando comecei a dar aula em 2008, 5.ª série/6.º ano, já iniciei com a
Proposta Curricular, primeiro com um material que parecia um jornal e depois com o Caderno
do Professor e Caderno do Aluno.
Trabalhei com Soroban que inicia o currículo 2008. No caderno do Professor de Matemática,
1.º bimestre. Eu era muito novinha, peguei as aulas de um professor que desistiu das aulas na
5.ª série. Consegui desenvolver alguns conceitos de frações usando historinhas, mas primeiro
fiz uma revisão das quatro operações com números naturais.
Entrevistador: Você usou o Caderno do Professor com ferramenta para desenvolver a aulas?
Entrevistado: Sim eu usava só como um parâmetro para dar aula.
Entrevistador: Me desculpe não entendi.
Entrevistado: Eu quase não usava os exemplos e os exercícios, mas buscava em livros outras
atividades semelhantes, porque no Caderno do Professor dificilmente tem exercícios parecido.
Entrevistador: Como faz para apresentar o conteúdo?
Entrevistado: Usei livros didáticos para mostrar figuras e divisão, os alunos não demonstraram
conhecimento nenhum com relação a fração. Os alunos não conheciam significados. No 7.º
ano recebi uma (2009) turma que tive que retomar o trabalho com frações relembrando adição,
subtração, divisão e multiplicação de frações.
A maior dificuldade no trabalho com ―frações‖ foi na resolução das ―4 operações básicas‖ como
na série anterior.
Entrevistador: Essas operações a que você se refere é com naturais?
Entrevistado: Sim só depois operações com frações com denominadores diferentes e iguais.
Falando em partes pergunto inicialmente quanto dá ―um dividido por quinze‖? Alguns alunos
dizem ―não dá pra dividir isso‖. Soluciono essa dúvida dizendo posso pegar um chocolate e
dividir em 15 partes? A resposta é sim..., eles não tem noção de quantidade em uma única
unidade, mas se mostrar de uma forma concreta eles entendem.
Entrevistador: Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com fração (no ponto de vista
do professor e do aluno)?
Entrevistado: Como professor eu encontrei uma dificuldade no tempo programado ao tema
fração. Com relação ao aluno eu acho que a dificuldade está na operação por falta de base,
somar frações, subtrair frações, multiplicar e dividir. Com relação ao significado de partes de
um todo o aluno entende.
Eu uso muito pouco o caderno do professor e do aluno, uso o caderno como base mais muito
dos exercícios acho que confundem mais do que esclarecem. Recebi o caderno do professor
tentei trabalhar alguns exemplos, mas poucos.
Entrevistador: Faça outras considerações que você julgue necessárias a respeito do trabalho
desenvolvido com frações pelo grupo de professores de sua escola e também sobre o material
da nova proposta.
Entrevistado: O caderno veio como uma ferramenta mais uso só alguns exercícios. Com
relação à apresentação dos conceitos de frações eu avalio que é uma base com trabalho de
xix
frações mais não contempla o necessário para aprendizado do aluno. Com relação aos
significados não contempla...
Falta no currículo a realidade dos alunos (situações reais). Situações contextualizadas no dia a
dia. Muitos exercícios que trazem calcule e efetue é preciso mais probleminhas na linguagem
materna. Que desafiem os alunos.
Alguns alunos que não sabem resolver operações usando as propriedades operatórios mais
resolvem corretamente os problemas que envolvem os conceitos de frações.
Peço para os meus alunos responderem na linguagem materna. É preciso entender que
matemática também é representada através de escrita na linguagem materna. Isso o Caderno
do Professor propõe e eu acho interessante.
Sobre a opinião do Caderno do Professor os docentes que conheço sempre falam
negativamente. Parece-me que os professores estão acomodados e para trabalhar novo
currículo é preciso buscar, estudar mais. A necessidade de uma formação continuada,
trabalhando de forma aplicativa a nova proposta.
Acho que para superar as dificuldades é preciso pesquisar e aplicar na prática. Com relação a
resolução e aplicação vou fazer um resumo prá você: Para explicar parte todo, dividi uma figura
em partes, representando essas partes na forma de fração. Em seguida trabalhei o significado
quociente dividindo o numerador pelo denominador.
Não falei sobre frações equivalentes, usei o termo simplificação de frações, simplesmente
dividindo o numerador e o denominador por um mesmo valor.Com relação às propriedades
operatórias não usei nada de concreto. Na adição e subtração ensinei a manter o denominador
e efetuar os numeradores (Observação: sendo frações de mesmo denominadores).
Quando os denominadores são diferentes, ensinei a fatorar de maneira a determinar o MMC
Mínimo Múltiplo Comum. Com o MMC, divido pelo denominador de cada fração e multiplico o
resultado pelo numerador em seguida, conservo o denominador e efetuo os numeradores.
Na multiplicação ensino os alunos a multiplicarem em linha, numerador por numerador e
denominador por denominador, e por fim a divisão, conservo a primeira fração e inverto a
segunda, trocando de lugar o numerador com denominador e multiplico em linha em nenhum
dos dois casos uso qualquer forma de figura ou material concreto só uso giz e lousa.
Professor F
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre as aulas que envolviam fração, em
especial, as que desenvolviam o conceito no Ensino Fundamental e Médio.
Entrevistado: Como aluna eu aprendi a soma, subtração com denominadores diferentes.
Tínhamos que achar o mínimo múltiplo comum, ai depois sim fazia a soma ou subtração. O
professor passava diretamente na parte operatória, já mostrava a fração através de desenho.
Entrevistador: Como era essa demonstração?
Entrevistado: Através de um chocolate, por exemplo, ou uma laranja dividida em varias partes,
tudo na lousa, sem prática. Ora usava a laranja, ora usava pizza, ora usava o chocolate, mas
sempre trabalhava a mesma ideia.
xx
Entrevistador: Qual era a ideia dessa divisão?
Entrevistado: A ideia era mostrar que um pedaço tinha obrigatoriamente que ser representado
por um número fracionário e depois podia dividir o numerador pelo denominador da fração e
representar por um decimal. Não falava em significados, nada prático. O professor falava muito
sobre primeiro antecessor, segundo antecessor, falava também de antecedente e
consequente. O meu professor falava também sobre equivalência das frações. Ele mostrava a
equivalência, multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número ou dividindo o
numerador e o denominador, por um mesmo número e o resultado disso era a equivalência das
frações.
Entrevistador: Você se recorda como e qual o significado das frações equivalentes?
Entrevistado: Bom, para trabalhar fração equivalente nós não sabíamos ainda como usar o
mínimo múltiplo comum. O MMC e o MDC eram dados antes de começar estudar frações,
porém os conceitos ainda não eram usados para descobrir fração equivalente. O MMC e o
MDC eram estudados simplesmente como sistema de fatoração e em seguida usava o MMC
na soma e subtração das frações para tornar as frações com mesmo denominador o que
significava isso já se falava, frações equivalentes tem o mesmo valor, o nome já diz se
equivalem.
Entrevistador: Comente quais recordações você tem sobre a discussão envolvendo questões
ligadas ao ensino e aprendizagem das frações na sua formação inicial (graduação) e na
formação continuada (outros cursos e observatório).
Entrevistado: Na minha graduação não me lembro de ter estudado frações, os professores já
suponham que nós já sabíamos trabalhar com frações. O curso que eu fiz é completamente
diferente do que tem agora, não se falava em revisão dos conteúdos do ensino fundamental e
do ensino médio. Eu me formei em 1977. Era uma época totalmente diferente não tinha
informática, as matérias que eu aprendia são matérias que a gente nem trabalha com os
alunos. Era muito diferente. Nem posso falar de frações porque eu não me recordo. Isso já se
faz 30 e poucos anos atrás. O conteúdo dado na faculdade era mais avançado já era nível
superior mesmo. Lembro-me que tinha uma disciplina chamada Prática de Ensino, tinha
Matemática Elementar que entravam um pouquinho de frações, mas já na resolução de
equações e inequações, se falava um pouquinho também na parte de álgebra mais sem falar
de significados. Eu fiz vários cursos de formação continuada mais nunca no estudo dos
números racionais. Fiz geometria.
Entrevistador: Em que anos você deu aula para 5ª série?
Entrevistado: Eu trabalhei com 5ª série a muitos anos atrás, nos anos 80. Eu trabalhei muito
pouco no ensino fundamental principalmente em 5ªs e 6ªs séries, mas me lembro de que eu
ensinava frações de acordo como era passada nos livros didáticos. A única forma prática que
eu trabalhei foi dividindo alguma coisa em partes, como eu aprendi e relatei pra você,
construindo figurinhas, ora uma laranja ora um tablete de chocolate, onde eu dividia com as
crianças, isso era o que eu fazia e na escola tinha o material dourado e eu de vez em quando
usava para falar de inteiro, partes desse inteiro.
xxi
Entrevistador: Como trabalhava, de que forma?
Entrevistado: Nem me lembro, mas naquela época era diferente os alunos faziam o as
atividades, estudavam mais, eles eram disciplinados.
Entrevistador: Vamos falar especificamente do estudo dos números racionais na forma
fracionária, no que diz respeito aos significados, parte todo, quociente, razão e fração como
operador, em algum momento indicou ou falou sobre isso?
Entrevistado: Parte-todo sim, quando dividia o chocolate, quociente também, quando dividia o
numerador pelo denominador, razão quando fala assim dois quintos de professores da escola
são homens, mas não falava esses termos só aplicava ...Essa fração como operador nunca
ouvi falar.
Entrevistador: Comente como você introduziu fração em suas aulas este ano. (se trabalhou
2008, 2009, 2010 e 2011) modificou alguma coisa? ENTREVISTADO: Este ano (2011) peguei
uma 6.ª série e trabalhei com eles apenas três meses. Eu me lembro que para ensinar soma de
frações eu pegava três barras de chocolate e dividia essas três barras em cinco partes iguais
cada uma. Na primeira barra eu tirava duas partes, então a representação dessas duas partes
da primeira barra era dois quintos. Na segunda barra eu tirava três pedaços, então a fração era
três quintos. E na terceira e última barra eu tirava uma parte só e a fração correspondente a
esse pedaço era um quinto. Supondo que essas partes tiradas fossem comidas por uma única
pessoa eu sempre perguntava ―Quantas partes essa pessoa comeu dos três chocolates?‖ ai o
resultado era seis quintos. Os alunos percebiam que os denominadores eram iguais e na soma
permaneciam iguais com o mesmo valor, no resultado somamos o numerador e conservamos o
denominador, isso foi uma revisão rápida sem usar o Caderno do Professor.
Entrevistador: Você usou o Caderno do Professor?
Entrevistado: Sim eu usei.
Entrevistador: Como você introduziu frações em suas aulas nesta 6ª série?
Entrevistado: Nas minhas aulas eu procurei trabalhar de acordo com o caderno do aluno, eu
também usei o caderno do professor, ai eu expliquei tendo uma ideia que eles já conheciam
frações, já que começa aprender na 5.ª série. Eu peguei o próprio exemplo do caderno e
expliquei pra eles que uma fração pode representar a parte de um todo ou uma fração pode
também representar partes de vários todos. Esse é o exercício que está na página 27 do
caderno do professor. Não usei nada de concreto para explicar esse assunto só fiz o desenho
na lousa, usei giz colorido. Eu falei pra eles que a mesma fração pode ter significados
diferentes, eu já comecei assim. No primeiro desenhinho eu tinha um bolo dividido em quatro
partes, se eu tirei três partes e quero representar isso, foram três partes de um bolo dividido em
quatro. Na segunda figurinha onde tem três bolos divididos ele já está querendo trabalhar a
soma de frações. Eu acho que a intenção já é trabalhar essa fração na conversão de decimal.
Ele não explorou muito esse exercício só foi pra ter uma noção da divisão das frações e que
uma parte ainda pode ser dividida em outras partes. Vamos mostrar você pega uma parte e
essa parte, você pode fazer outras divisões em cima dela. Na apresentação seguinte ele
mostra que a fração oito sobre dois, pode ser representada de forma diferente, por exemplo,
xxii
dois mais dois ou doze dividido por três. Ele tenta mostrar que o resultado de um numerador
pelo denominador pode obter outro resultado com operações diferentes. No caso dois mais
dois que resulta quatro. E eu posso representar por uma forma diferente, usando dois números
inteiros. Nesse momento eu foquei bem isso que o resultado de uma fração pode ser
representado de outra forma através de outras operações. Em seguida eu comecei dar
probleminhas, o probleminha que o caderno trás na página 28 que fala que ‖Cláudia tem
dezoito metros de arame e ela corta um quinto, quantos metros ela cortou?‖ Eu passei na lousa
e pedi para que os alunos resolvessem. Porque aqui nesse probleminha ele manda o aluno
comparar a resposta dos três resultados dado. Um pouco antes eu passei na lousa um
problema semelhante e expliquei a maneira que eu poderia resolver. Bom, um aluno resolveu
multiplicando o dezoito pelo numerador da fração e em seguida dividiu pelo denominador, o
outro primeiro dividiu o numerador da fração pelo denominador e depois multiplicou por
dezoito, agora nenhum aluno resolveu através da ideia de número misto. Mas a maioria
resolveu, através do conceito que eu dei, por exemplo, metade de uma laranja é dividida em
duas partes; um quinto de um chocolate é divido por cinco, então um quinto de dezoito, é
dezoito dividido por cinco. Eu achei interessante a forma que a Proposta aborda os assuntos,
tem exercícios que facilitam, mas têm outros que não são tão simples. A parte que eu acho que
complica um pouco para os alunos trabalharem com fração é a parte que fala de equivalência,
fica confuso pra eles entenderem que eu pego uma figura e divido em quatro partes e pego
duas, então eu tenho dois quartos, ai eu pego outra figura de mesmo tamanho e divido em
duas partes, mesmo olhando para as duas figuras eles ainda ficam na duvida que dois quartos
sejam iguais a um sobre dois, eles acham estranho. Mais eu acho que uma das dificuldades
acontece porque eles não sabem tabuada, não sabem fazer contas de divisão, erram muito em
conta, ate o raciocínio às vezes está certo. Outra coisa que fica difícil entender é dois dividido
por meio, o resultado é quatro, eles ficam confusos, mesmo fazendo a figura neste instante
eles acham simples mais depois só com as frações eles acabam não entendendo porque isso
acontece. Eu acho que é por causa de uma defasagem muito grande, os alunos tem muita
dificuldade e vão passando de ano, atropelando a matemática, não tem retenção não tem
acompanhamento direto. Com relação a conceito eles aprenderam que na divisão de número
natural por outro número natural sempre o resultado vai ser menor e trabalhando com frações
nem sempre isso acontece.
Entrevistador: Quais dificuldades aparecem quando se trabalha com fração?(no ponto de
vista do professor e do aluno).
Entrevistado: Acredito que a maior dificuldade que o professor tem na hora de trabalhar esse
tema é com relação a falta de tempo para se dedicar ao estudo, pois para se preparar uma boa
aula que explique os significados não é tão simples, normalmente nós ensinamos da forma que
nós aprendemos e eu não aprendi assim como é proposto hoje, antes, na minha época era só
conteúdo, conteúdo, fazer sem saber o que significava, fazer por repetição para não ser
reprovado. Com relação as dificuldade que os alunos tem em compreender e aprender
trabalhar com fração está ligado a alguns fatores, sem falar interesse ou não, disciplina ou não
xxiii
eu penso que ele não vê o por que em aprender..., mas isso não se restringe só esse estudo.
Entrevistador: Como você avalia abordagem do conceito de números racionais na
representação fracionária na Educação Básica proposto no Caderno do Professor da 6.ª
série/7.º ano? Você considera suficiente?
Entrevistado: Eu acho que a proposta é boa, algumas atividades são bem elaboradas outras
nem tanto, considerar suficiente não, sempre é possível ampliar, melhorar, mas não só
Currículo, capacitar o professor com formação continuada, investir numa melhor qualificação e
proporcionar um bom ambiente de trabalho.