1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ - UNESPAR
CAMPUS DE UNIÃO DA VITÓRIA
CURSO DE MATEMÁTICA
JÉSSICA MUNHOZ
O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO
UNIÃO DA VITÓRIA
2014
2
JÉSSICA MUNHOZ
O TEOREMA DE PITÁGORAS: UMA PROPOSTA DE ENSINO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau de
licenciado em Matemática, da Universidade
Estadual do Paraná, Campus de União da Vitória
– UNESPAR.
Orientador: Prof. Mestre Everton José Goldoni
Estevam.
UNIÃO DA VITÓRIA
2014
3
AGRADECIMENTOS
Inicialmente, ao Senhor meu Deus, por saber que onde estão as minhas
mãos também estão as Suas, por conceder a realização desse sonho.
À minha família, meu pai Manoel, minha mãe Luzmari e meu irmão Reinaldo,
pelo carinho, compreensão e incentivo que recebi.
Ao meu namorado pela paciência, compreensão e carinho dedicado.
Ao meu Orientador, Prof. Everton, por sua admirável dedicação e paciência,
e por suas sugestões e orientações para que fosse possível a concretização deste
trabalho.
Aos Professores do colegiado, pelos ensinamentos e ajuda, que dedicaram
durante todo esse processo de graduação.
Aos meus colegas de graduação e a todos que contribuíram de maneira
direta ou indireta para a realização deste trabalho.
4
“Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas
como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a
influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu
próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual
seu futuro trabalho pertencer.”
Albert Einstein
5
RESUMO
Nesse trabalho, discutimos o ensino e a aprendizagem do Teorema de Pitágoras no
9º ano do Ensino Fundamental. Apresentamos um estudo teórico sobre os ternos
pitagóricos, a história de Pitágoras de Samos e o Teorema de Pitágoras. A partir
desses apontamentos e pautados nas Investigações Matemáticas, apresentamos
uma proposta de ensino, para se introduzir o conceito do Teorema de Pitágoras, a
qual se acredita que pode propiciar ao aluno a construção das ideias que sustentam
o Teorema com significado e ao professor acompanhar a linha de raciocínio do
aluno e perceber as (in) compreensões deste sobre o Teorema em questão. Esta
proposta de ensino foi produzida de forma a conter recursos visuais que levem os
alunos a terem uma oportunidade de compreender de forma agradável o conteúdo.
Palavra-chave: Teorema de Pitágoras. Investigações Matemáticas. Ensino.
6
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
Tableta Plimpton 322........................................................................... 11
Figura 2
Tradução da Plimpton 322..................................................................
12
Figura 3
Triângulo retângulo ABC.....................................................................
12
Figura 4
Representação pitagórica.................................................................... 13
Figura 5
Triângulo retângulo.............................................................................. 16
Figura 6
Formação do triângulo (3, 4, 5) utilizando a corda de 13 nós.............
Figura 7
Representação geométrica do Teorema de Pitágoras........................ 18
Figura 8
Demonstração geométrica utilizando o Teorema das Cordas............
18
Figura 9
Demonstração geométrica A...............................................................
20
Figura 10 Demonstração geométrica B...............................................................
20
Figura 11 Ideia geral da demonstração Euclidiana.............................................
21
17
Figura 12 Demonstração Euclidiana.................................................................... 22
Figura 13 Triângulo Retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa............
30
Figura 14 Triângulo Retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa............
33
Figura 15 Triângulo Retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa............
33
Figura 16 Sobreposição dos quadrados possível no desenvolvimento da
tarefa.................................................................................................... 34
Figura 17 Sobreposição dos retângulos possível no desenvolvimento da
tarefa.................................................................................................... 37
7
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Momentos na realização de uma investigação...................................
25
Quadro 2 Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no
desenvolvimento da tarefa 1...............................................................
31
Quadro 3 Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no
desenvolvimento da tarefa 2...............................................................
36
Quadro 4 Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no
desenvolvimento da tarefa 3...............................................................
41
8
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO....................................................................................... 09
2
ESTUDO HISTÓRICO...........................................................................
11
2.1
TEOREMA DE PITÁGORAS.................................................................
15
2.1.1
Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras........................
18
2.1.1.1
Demonstração do tipo algébrica utilizando uma circunferência............
18
2.1.1.1.1 Considerações do ponto de vista matemático.......................................
18
2.1.1.1.2 Considerações do ponto de vista didático.............................................
19
2.1.1.2
Demonstração Hindu (geométrica, por transposição de elementos,
por equivalência)...................................................................................
19
2.1.1.2.1 Considerações do ponto de vista matemático.......................................
20
2.1.1.2.2 Considerações do ponto de vista didático.............................................
20
2.1.1.3
Demonstração Euclidiana......................................................................
21
2.1.1.3.1 Considerações do ponto de vista matemático.......................................
21
2.1.1.3.2 Considerações do ponto de vista didático.............................................
23
3
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E O ENSINO DE MATEMÁTICA. 24
3.1
PRESSUPOSTOS DAS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS...............
24
4
PROPOSTA DE ENSINO......................................................................
29
4.1
DISCUSSÃO E SISTEMATIZAÇÃO......................................................
41
5
CONTRIBUIÇÕES
NO
PROCESSO
DE
FORMAÇÃO
DO
PROFESSOR E NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS
ALUNOS................................................................................................ 43
6
CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................
46
REFERÊNCIAS......................................................................................................
47
ANEXO A – TAREFA 1..........................................................................................
48
ANEXO B – TAREFA 2..........................................................................................
51
ANEXO C – TAREFA 3..........................................................................................
53
9
1 INTRODUÇÃO
O processo de ensino de Matemática consiste em criar estratégias que
propicie ao aluno a capacidade de atribuir sentido e construir significados a ideias
matemáticas de modo a estabelecer relações, justificar, discutir e criar (PARANÁ,
2008). Tendo uma visão crítica sobre esta situação, pretende-se através deste
trabalho apresentar uma proposta de ensino e aprendizagem utilizando a
Investigação Matemática para se trabalhar o Teorema de Pitágoras, com alunos do
9º ano do Ensino Fundamental.
Quando trabalhei o Teorema de Pitágoras, com alunos do 9º ano do Ensino
Fundamental, em 2012, tendo como metodologia a aula expositiva dialogada,
percebi que foi um dos assuntos pelo qual os alunos demonstraram mais interesse.
Devido a este fato, fui incitada a desenvolver uma proposta de ensino diferenciada
para se trabalhar com este Teorema tendo em vista que, em uma aula tradicional
não é possível perceber se os alunos compreenderam, de fato, o conceito, ou
apenas, sabem desenvolver o algoritmo. Já em uma aula com Investigação
Matemática é possível acompanhar o raciocínio do aluno durante todo o processo de
resolução de uma tarefa, diferente de uma aula expositiva, tendo em vista que o
aluno, na maioria das vezes, apenas desenvolve os algoritmos com priorização dos
resultados em detrimento do processo de resolução.
Todo esse trabalho foi criado com a intenção de se desenvolver uma
proposta de ensino pensada com vistas a ampliar as condições de aprendizagem
dos alunos, pautada em atividades investigativas, em que os alunos são desafiados
a procurar as soluções, compreender a questão, coletar os dados da mesma,
organizar esses dados, formular outras questões e conjecturas, envolver todos os
seus conhecimentos matemáticos já adquiridos, executar a tarefa e, por fim,
apresentar os resultados, validando suas justificativas.
Para tanto, o presente trabalho está dividido em capítulos sendo
apresentado no capítulo 2 o estudo histórico sobre o Teorema de Pitágoras, além de
abordar o Teorema e algumas de suas demonstrações. No capítulo 3 é feita uma
abordagem sobre as Investigações Matemáticas e o ensino de Matemática. No
capítulo 4 é apresentada a Proposta de Ensino, utilizando a Investigação
Matemática e os possíveis encaminhamentos para o decorrer da aula, apresentando
10
ainda, um quadro de referências (orientações) com algumas ações que podem ser
executadas pelo professor em contrapartida com as ações dos alunos. Já no
capítulo 5 são apresentadas as possíveis contribuições do trabalho ao processo de
formação do professor e no ensino e aprendizagem dos alunos. E por fim, as
considerações finais trazem uma visão geral do trabalho proposto.
11
2 ESTUDO HISTÓRICO
O estudo histórico tem como finalidade caracterizar a origem e os processos
de identificação do Teorema de Pitágoras. A análise teórica permite patentear as
diferentes abordagens descritas ao longo do tempo.
Segundo Boyer (1974) e Eves (2004), a relação pitagórica já era conhecida
desde os povos egípcios, babilônios e gregos. Embora não haja nenhum registro em
documentos egípcios, o Teorema de Pitágoras já era bastante utilizado na
Mesopotâmia, o que é possível verificar através das tabletas deste período.
Figura 1 - Tableta Plimpton 322
A tableta conhecida como Plimpton 322, continha ternos1 pitagóricos, ou
seja, medidas dos lados de um triângulo. Isso mostra que os babilônios tinham
conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo. Não havia
demonstrações, porém, eles conheciam a relação de que a medida ao quadrado do
lado maior de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois
lados, e através dela resolviam os problemas.
De acordo com Boyer (1974), a Plimpton 322 era parte de uma tableta
maior, em que havia quatro colunas, sendo que, a coluna da direita continha os
números de um a quinze, o que evidencia uma ordem para se considerar os
números das próximas colunas.
1
Embora alguns livros utilizem ternas pitagóricas, neste trabalho, adotaremos o termo como ternos
pitagóricos.
12
Figura 2 - Tradução da Plimpton 322
Para entender o que os números dispostos na tableta significavam,
consideremos a figura 3:
Figura 3 - Triângulo retângulo ABC
De acordo com Boyer,
Se os números na segunda e terceira colunas (da esquerda para a direita)
forem considerados como os lados a e c respectivamente, a primeira coluna
a esquerda contém em cada caso o quadrado da razão de c para b. Assim,
a coluna da esquerda é uma curta tabela de valores de sec² A, mas não
devemos assumir que os babilônios conheciam nosso conceito de secante
(1974, p. 25).
Boyer (1974, p. 26), ainda diz que “os que construíram a tabela
evidentemente começaram com dois inteiros sexagesimais regulares, que
13
chamaremos p e q, com p
q, então formaram a tripla de números p² - q² e 2pq e p²
+ q²”. Estes inteiros formam um triângulo pitagórico, onde o quadrado do lado maior
é igual a soma do quadrado dos outros dois lados. “Portanto esses números podem
ser usados como dimensões do triângulo retângulo ABC, com a = p² - q², b = 2pq e c
= p² + q²” (BOYER, 1974, p. 26), onde c² = a² + b².
Figura 4 - Representação pitagórica
A relação pitagórica foi testada pelos povos egípcios, babilônios e gregos,
em diversos triângulos retângulos, porém, não era possível afirmar que tal relação
era válida para todos os triângulos retângulos. Então, Pitágoras lançou uma
demonstração matemática sob tal relação e tornou-se possível generalizar o
conceito, partindo do particular/concreto para chegar ao geral/abstrato.
Da vida de Pitágoras não é possível afirmar quase nada com plena certeza,
pois, muitos documentos daquela época se perderam, inclusive, de acordo com
Boyer (1974), uma biografia escrita por Aristóteles. Entretanto, segundo Eves (2004,
p. 97), “ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egéia de
Samos”.
Depois viveu por algum tempo no Egito e audaciou-se em algumas viagens
mais extensas. “Aos quarenta anos, Pitágoras voltou a Samos, onde encontrou uma
recepção hostil da população, que não entendia a proposta de uma pessoa que se
julgava possuidora de sabedoria” (PEREIRA, 2002, p. 48). Então ele percebeu que
só receberia confiança se representasse um oráculo ou algum aparato mitológico.
Pensando nisso, foi para Delos e Creta, a fim de estudar sobre mistérios secretos.
14
“Ao retornar a Samos encontrou o poder nas mãos do tirano Polícrates e a
Jônia sob o domínio persa [...]” (EVES, 2004, p. 97), e conseguiu despertar o
interesse pela sua filosofia. Pitágoras não comia feijões, pois dizia que era abrigo
das almas de seus amigos mortos e, também, dizia que não deviam comer carne
dos animais, porque caso não houvesse corpos humanos suficientes, as almas dos
mortos poderiam encarnar nos animais (PEREIRA, 2002).
Pitágoras dominava várias relações matemáticas e isso recrutava um grande
respeito. Pereira, diz que:
Pitágoras afirmava ter domínio sobre a matemática em virtude de poderes
recebidos de Apolo, ou seja, sendo dotado de poderes mágicos, poderia
transmitir seus conhecimentos a quem o escutasse, o que fazia os jovens
simianos ficarem maravilhados e manifestarem aos seus pais o desejo de o
seguirem em seus ensinamentos (2002, p. 49).
Devido a isso, e levando em consideração que a inteligência de Pitágoras
podia prejudicar-lhe, o tirano Polícrates expulsou-o da ilha. Então, Pitágoras,
juntamente com sua mãe e um discípulo, seguiram para Crotona, atual Itália.
“Crotona estava ‘madura’ para receber Pitágoras, pois havia sido derrotada pelos
lócrios e o seu povo possuía o desejo de dominar Síbaris” (PEREIRA, 2002, p. 49).
Eles buscavam no atletismo e no espírito a esperança de dias melhores, estavam
frágeis, mais já tinham ouvido falar em Pitágoras e a poderes atribuídos a ele.
De acordo com Bergua (1995 apud PEREIRA, 2002, p. 49), Milón, chefe dos
aristocratas, junto a sua esposa e sua filha Teano, hospedaram Pitágoras, sua mãe
e seu discípulo. “Conta-se ainda que Teano teria se casado posteriormente com
Pitágoras, dando-lhes dois filhos e uma filha [...]”.
Pitágoras acreditava que “o número é o princípio de todas as coisas”.
Pereira (2002, p. 50), enfatiza que para Pitágoras e seus seguidores “[...] os
números não eram entendidos como símbolos destinados a expressar grandezas
diversas, eram, sim, reais, essências realizadas, mostrando-se como a ‘alma das
coisas’”. Foi com essa ideia que ele criou uma escola na cidade de Crotona, a qual
era conhecida como Escola Pitagórica.
De acordo com Marques (2011), os ensinamentos da Escola eram
fundamentados em Matemática, Filosofia, Música e Astronomia. Para que alguém
fosse admitido na escola, era necessário apresentar um mínimo de inteligência, caso
contrário, eram excluídos da mesma. “Quanto às mulheres, eram admitidas nas
15
mesmas condições que os homens, o que era uma novidade para a época”
(PEREIRA, 2002, p. 51).
A Escola Pitagórica escolheu como símbolo o Pentagrama, ou seja, uma
estrela de cinco pontas que, segundo Marques (2011), representava o número cinco,
que simboliza para eles a união, o casamento. Marques (2011, p.106) ainda ressalta
que:
O número 1 era considerado o gerador de todos os outros números, o
número 2 era o primeiro número par (considerados femininos) e o 3 era o
primeiro número ímpar (considerados masculinos), logo 5 era a junção do
primeiro feminino, com o primeiro masculino, simbolizando toda a criação.
Segundo Boyer (1974, p. 36), “a escola pitagórica era politicamente
conservadora e tinha um código de conduta rígido”. Os pitagóricos acreditavam na
metempsicose (transmigração da alma de um corpo para outro) e devido a isso o
vegetarianismo era imposto a eles. Em relação à estrutura e funcionamento da
Escola Pitagórica, pouco se pode afirmar, em virtude de seu caráter secreto.
A Escola partilhava de alguns princípios, entre eles o de que todos os
seguidores da ordem deveriam manter lealdade e segredo. “Este último impedia que
qualquer aluno falasse ou comentasse o que se passava na escola, bem como os
resultados e as descobertas realizadas” (MARQUES, 2011, p. 105). Por
consequência disso e “[...] como era costume da irmandade atribuir todas as
descobertas ao reverenciado fundador, é difícil agora saber exatamente que
descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras e quais se devem a outros
membros da confraria” (EVES, 2004, p. 97).
Entretanto, por volta de 500 a.C, sob a acusação de apoiar a aristocracia,
contrária ao governo, a escola foi fechada. Devido a isso, Pitágoras foi para a cidade
de Metaponto, onde ficaria até morrer, aproximadamente 497 a.C. Porém, seus
discípulos transmitiram seus ensinamentos por diversas regiões.
2.1 TEOREMA DE PITÁGORAS
A história do teorema de Pitágoras vem sendo divulgada, através de fatos e
lendas, o que dificulta uma abordagem bibliográfica confiável. Não há registros
históricos que evidenciem quando e como o Teorema foi incorporado aos
conhecimentos de Pitágoras.
16
Consideremos o triângulo retângulo ABC, onde a é a medida da hipotenusa,
ou seja, o lado oposto ao ângulo de 90º, b e c é a medida dos catetos, ou seja, os
lados adjacentes ao ângulo de 90º.
Figura 5 - Triângulo retângulo
Hoje, pode-se enunciar o Teorema do seguinte modo: dado um triângulo
retângulo, ou seja, um polígono de três lados que possui um ângulo de 90°, o
quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou de maneira
geral, (hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)². De acordo com a figura 5, temos então,
. A descoberta do teorema foi atribuída a Pitágoras, pois segundo
estudos realizados no campo da História da Matemática (BOYER, 1974; EVES,
2004), foi ele quem primeiro apresentou uma demonstração geral para este teorema,
ficando assim conhecido como Teorema de Pitágoras.
Apesar dessa atribuição, os egípcios utilizavam uma corda com treze nós,
espaçados igualmente, para determinar um ângulo reto fazendo a sobreposição do
primeiro e do décimo terceiro nó, conforme mostra a figura 6.
17
Figura 6 - Formação do triângulo (3, 4, 5) utilizando a corda de 13 nós.
O Teorema de Pitágoras embasa a noção de distância, um dos conceitos
mais importantes da Matemática e da Física. É possível relacioná-lo a diversas
situações problema do cotidiano, desde que seja possível formar, ainda que
intuitivamente, a figura de um triângulo retângulo, pois o mesmo, só é válido em
triângulos retângulos (COELHO, 2010).
O Teorema de Pitágoras é uma das maiores descobertas da História da
Matemática, pois estabelece um elo vital entre Geometria e Álgebra, permitindo
calcular distâncias, alturas e diagonais de polígonos. As relações entre os lados do
triângulo retângulo permitem explorar as figuras geométricas de diversas maneiras.
Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras na Matemática, na Física, na
Biologia. No campo da física, em questões que envolvem grandezas vetoriais,
cálculo de deslocamentos, força resultante, geralmente, faz-se o uso do Teorema
para efetuar a resolução. Da mesma forma, na biologia, o Teorema é utilizado para
calcular a força resultante exercida sobre corpos, em diversas situações.
A figura 7 traz uma representação geométrica do enunciado do Teorema de
Pitágoras.
18
Figura 7 - Representação geométrica do Teorema de Pitágoras
Se a é a medida da hipotenusa e se b e c são as medidas dos catetos então,
podemos enunciar o Teorema da seguinte forma: a² = b² + c².
Na figura 7 é possível observar que, de acordo com o Teorema de Pitágoras,
a área do quadrado amarelo, mais a área do quadrado verde, é igual à área do
quadrado vermelho. Porém, somente perceber isto através de uma visualização
geométrica não é suficiente, é necessária uma demonstração para que seja possível
considerar este fato verdadeiro.
2.1.1 Algumas Demonstrações do Teorema de Pitágoras
2.1.1.1 Demonstração do tipo algébrica utilizando-se uma Circunferência
2.1.1.1.1 Considerações do ponto de vista matemático
Figura 8 - Demonstração utilizando o Teorema das Cordas
19
Seja o triângulo ABC retângulo em C.
Com centro em B e raio AB traça-se a circunferência.
Pelo Teorema das Cordas:
CE.CD = AC.CL
Considerando AB = h, AC = b e BC = a, temos que:
CE = h – a, AC = b, CD = h + a, CL = b.
Portanto, pelo teorema das cordas, temos:
(h – a).(h + a) = b.b
h² + ha – ha – a² = b²
h² - a² = b²
h² = a² + b²
2.1.1.1.2 Considerações do ponto de vista didático
Esta demonstração pode ser usada como aplicação do Teorema das
Cordas, supondo que o aluno já tenha conhecimento do Teorema de Pitágoras, é
interessante para que o mesmo perceba que se pode chegar a um mesmo resultado
por diferentes métodos.
Em relação às considerações cognitivas, é necessário, a partir de um dado
triângulo ABC, retângulo em C:

traçar a circunferência de centro B e raio AB, prolongar BC para obter os
pontos E e D e prolongar AC para obter o ponto L;

o reagrupamento pertinente das partes elementares CE, CB, BD, AC, CL
forma uma subfigura convexa (dois pares de ângulos opostos pelo vértice);

não há substituição de partes elementares.
2.1.1.2 Demonstração Hindu (Geométrica, por transposição de elementos, por
equivalência)
20
Figura 9 – Demonstração
Figura 10 – Demonstração
geométrica A
geométrica B
2.1.1.2.1 Considerações do ponto de vista matemático
Ao retirar os quatro triângulos das duas figuras respectivamente, temos: um
quadrado de lado c na figura 9 e dois quadrados na figura 10, um de lado b e o outro
de lado a.
Em outras palavras, o complementar dos triângulos na figura 9 é o quadrado
que tem como lado a hipotenusa do triângulo retângulo. Reconfigurando-se de modo
conveniente os quatro triângulos, o complementar deles em relação ao quadrado
maior, é a reunião dos quadrados cujos lados são os catetos.
Logo a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos
lados medem a e b, ou seja: c² = a² + b²
Algebricamente:

para a Figura 9: (b + a)² = c² + 4

para a Figura 10: (b + a)² = b² + a² + 4
.
.
Portanto, temos: c² + 2ba = b² + a² + 2ba
Disto, c² = b² + a².
2.1.1.2.2 Considerações do ponto de vista didático
21
A demonstração propicia uma variedade de abordagens:

o fracionamento da figura em partes elementares;

para formar a figura 9, o “triângulo chave” sofre rotações e para formar a
figura 10, sofre translações;

as características do contorno da subfigura, da figura 9, formada pela reunião
dos quatro retângulos, favorecem a visibilidade para encontrar, no quadrado
maior, os dois quadrados complementares.
O fato de não apresentar o obstáculo do desdobramento aumenta o grau de
visibilidade para a aplicação da operação.
2.1.1.3 Demonstração Euclidiana (do livro elementos, de Euclides)
2.1.1.3.1 Considerações do ponto de vista matemático
O objetivo desta demonstração é provar que a área do quadrado e do
retângulo alaranjados são iguais e a área do quadrado e do retângulo azuis,
conforme retrata a figura 11.
Figura 11 – Ideia geral da demonstração euclidiana.
Para isso, utiliza-se a congruência entre triângulos.
Seja ABC um triângulo retângulo em C.
22
Figura 12 – Demonstração Euclidiana
Construir sobre o lado
, o quadrado ABIK e sobre os lados
e
, os
quadrados CBGF e CADE, respectivamente.
Traçar CJ//AK.
Temos que os triângulos ACK e ADB são semelhantes (por L.A.L), pois
AC=AD e AB=AK (lados de um quadrado) e
.
Chamando de x a área do quadrado ADEC e de y a do quadrado CBGF, temos:
x = 2 vezes a área de (ABD), pois a área de ABD =
=
Portanto, teremos que:
x = 2 vezes a área de (ACK), pois os dois triângulos são congruentes.
Porém:
área de (ACK) =
= área
Então x = c² = 2 área (ABD) = área (AHJK).
Analogamente:
y = b² = 2 área (ABG) = área (HBIJ).
Desta forma, a área do quadrado (ABIK), formado pelos retângulos (AHJK) e (HBIJ),
é igual a soma das áreas b² + c², portanto, a² = b² + c².
23
2.1.1.3.2 Considerações do ponto de vista didático
Através desta demonstração é possível discutir outros conteúdos, como por
exemplo:

congruência de triângulos;

cálculo de áreas de triângulos, analisando as diferentes posições da figura;

fracionamento da figura em partes elementares.
Pode-se colocar a situação-problema em etapas, o que possibilitará
reinvestir em tópicos anteriores.
Há um grande número de possibilidades, tanto algébricas quanto
geométricas, para se demonstrar o Teorema de Pitágoras. As expostas aqui, servem
como exemplo notório de como se demonstrar este Teorema.
24
3 INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Atualmente, muito se discute sobre os métodos de se trabalhar no ensino da
Matemática com o intuito de propiciar ao aluno maior adequabilidade em relação ao
conteúdo e à forma como são trabalhados em sala de aula (PARANÁ, 2008). Essa
busca por diferentes metodologias e propostas de ensino ocorre em virtude de
resultados de pesquisas que mostram o grande nível de dificuldade dos alunos em
aprender
Matemática.
Propor
condições
e
situações
diferenciadas
e
contextualizadas que permitam explorar e descobrir a Matemática é fundamental no
processo de ensino e aprendizagem.
Os professores devem buscar cada vez mais ideias e condições para que os
alunos desenvolvam suas potencialidades e capacidades cognitivas e, não somente,
saberes acumulados, dada à importância que vem sendo atribuída aos conteúdos e
aos métodos de Ensino de Matemática, nas propostas curriculares. Estas sugerem
como esperada uma educação em que o aluno seja capaz de compreender o que
está fazendo e porque está fazendo daquela forma.
Com base nesses argumentos, optamos pelo uso da Investigação
Matemática como metodologia de ensino do Teorema de Pitágoras. Acreditamos
que ela pode contribuir no processo de aprendizagem quando desenvolvida de
acordo com os pressupostos que a sustentam.
3.1 PRESSUPOSTOS DAS INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS
Investigar é procurar saber algo que não se sabe. A palavra investigação
está relacionada à descoberta, pesquisa, exploração, autonomia, tomada de
decisões, espírito crítico e tem como objetivo descobrir algo.
“Para os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações entre
objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando identificar as
respectivas propriedades” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009 p. 13). Esse
processo de criação matemática pode trazer acontecimentos inesperados de forma
lógica ou dedutiva.
Na concepção de investigação matemática, Frota e Grazire, citado por
Strapason e Bisogni (2010), afirmam que,
25
[...] uma situação problematizadora dispara o processo investigativo, a
busca de métodos e processos e do levantamento de estudos teóricos na
busca de uma solução. De acordo com essa concepção, uma aula de
Matemática é sempre organizada a partir de uma situação
problematizadora, que se pode configurar, por exemplo, na forma de uma
pergunta, um problema, uma atividade investigativa, uma tarefa exploratória
(2009, p. 1306).
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), uma atividade de
investigação matemática é dividida em quatro momentos principais, os quais estão
sistematizados no quadro 1. Na primeira coluna estão identificados os momentos e
na segunda coluna as atitudes e ações dos alunos durante a realização de uma
tarefa investigativa.
Reconhecer uma situação problemática;
Exploração e formulação de questões
Explorar a situação problemática;
Formular questões.
Organizar dados;
Conjecturas
Formular conjecturas (e fazer afirmações
sobre uma conjectura).
Testes e reformulação
Realizar testes;
Refinar uma conjectura.
Justificar uma conjectura;
Justificação e avaliação
Avaliar o raciocínio ou o resultado do
raciocínio.
Quadro 1 – Momentos na realização de uma investigação
Fonte: Ponte, Brocardo, Oliveira, (2009, p. 21).
No início da atividade o professor busca envolver os alunos no trabalho,
propondo-lhes a realização de uma tarefa. Vamos discutir um pouco sobre cada um
dos momentos da realização da atividade, os quais estão sintetizados no quadro 1.
A exploração e formulação das questões é uma etapa em que os alunos
podem gastar demasiado tempo, o professor pode achar que os mesmos estão com
dificuldades e que nada estão fazendo. No entanto, este é o momento em que os
alunos vão se familiarizando com os dados e se identificando com a tarefa (PONTE;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).
Por vezes, os alunos são levados a gerar novos dados, para depois
organizá-los e, posteriormente, começarem a formular questões. Há a possibilidade
26
do surgimento de conjecturas, logo após a formulação das questões, o que os leva a
fazerem testes. Durante este processo o professor deve estimular que os alunos
integrem seus conhecimentos matemáticos na investigação. Essas conjecturas
podem surgir aos alunos de diversas formas, seja através da observação direta dos
dados, por analogias, ou ainda, por manipulação de dados. É importante que o
professor oriente seus alunos de que eles devem registrar todas as informações,
pois, desta forma, todas as conjecturas serão verbalizadas, deixando de existir
somente no pensamento do aluno.
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira,
o professor precisa estar atento a todo esse processo de formulação e teste
de conjecturas, para garantir que os alunos vão evoluindo na realização de
investigações. Desse modo, cabe-lhes colocar questões aos alunos que os
estimulem a olhar em outras direções e os façam refletir sobre aquilo que
estão a fazer (2009, p. 36).
Na hora de justificar o desenvolvimento da tarefa, os alunos tendem a
chamar as conjecturas de conclusões. Isso muitas vezes é decorrente da própria
linguagem utilizada pelo professor. “Sem se aperceberem os alunos transformam as
suas conjecturas em conclusões sem passarem por um processo de justificação”
(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 37). Os processos de validação e de
provas das conjecturas são extremamente importantes e muitas vezes são
“esquecidos”, principalmente nos níveis de escolaridade mais elementares. Porém, é
fundamental que o professor leve o aluno a compreender o caráter provisório dessas
conjecturas.
Em todos esses momentos, há uma interação dos alunos, oportunizando-os
a uma vivência de um ambiente onde eles são a figura central e não o professor.
“Essa interação torna-se obrigatória, na parte final, tendo em vista a divulgação e a
confirmação dos resultados” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 21). O
aluno deixa de atuar de forma passiva e passa a ser crítico e atuante.
A decisão de se trabalhar com investigação matemática recai sobre o
professor. A pesquisa e a estruturação de tarefas investigativas estimula a
integração deste tipo de trabalho. Vale ressaltar que, trabalhos com investigação
matemática exigem muito do professor, pois, perante as descobertas e os
encaminhamentos dos alunos, na hora da execução da tarefa, o professor deixa de
ter controle dos métodos e processos que os alunos utilizam.
27
Tanto em Matemática quanto em qualquer outra disciplina, o envolvimento
do aluno é fundamental no processo de aprendizagem. Pensando nisso, verificamos
a importância de propor tarefas que estimulem esse envolvimento, fazendo com que
o aluno utilize de recursos cognitivos e participe da aula buscando atingir um
objetivo. A partir do momento em que o aluno envolve-se na formulação e resolução
das questões, passa a favorecer a sua própria aprendizagem.
Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 23), “o conceito de investigação
matemática, como atividade de ensino aprendizagem, ajuda a trazer para a sala de
aula o espírito da atividade matemática genuína, construindo, por isso, uma
poderosa metáfora educativa”. Em uma tarefa investigativa, o aluno é chamado a
agir como um matemático, desde a formulação das questões, passando pelas
resoluções, provas, até a obtenção dos resultados finais, sendo estes apresentados
através de uma discussão e argumentação aos colegas e ao professor (PONTE;
BROCARDO; OLIVEIRA, 2009).
As investigações matemáticas são um tipo de atividade a qual todos os
alunos deveriam ter a oportunidade de experimentar, ou seja, de realizarem em sala
de aula, juntamente com seus professores. Entretanto, é indispensável que o
professor tenha conhecimento sobre o conteúdo a ser trabalhado, bem como sobre
a metodologia, para que o mesmo seja capaz de organizar as tarefas de maneira
adequada. É imensa a multiplicidade de situações que podem ocorrer em uma aula
investigativa, porém, deve-se levar em conta alguns aspectos principais, que
norteiam a atividade.
Ponte, Brocardo e Oliveira, destacam três fases de uma atividade de
investigação,
(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma,
oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente,
aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos
resultados, em que os alunos relatam aos colegas o trabalho realizado.
Essas fases podem ser concretizadas de muitas maneiras (2009, p. 25).
Vamos discutir um pouco sobre cada uma dessas fases. Na introdução, o
professor deve fazer com que os alunos entendam o sentido da tarefa e o que se
espera no decurso da atividade. Caso a tarefa seja proposta à turma por escrito,
pode-se fazer a leitura oralmente junto com os alunos, isto ajuda na compreensão
dos mesmos. Contudo, nesta fase inicial, é indispensável que o professor garanta
que os alunos compreendam o que é investigar e propicie um bom ambiente de
28
aprendizagem na sala de aula. Os alunos “[...] devem saber que podem contar com
o apoio do professor, mas que a atividade depende, essencialmente, da sua própria
iniciativa” (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p. 28).
Após a compreensão dos alunos, sobre o que se deve fazer na tarefa
investigativa, o professor passa a acompanhar o trabalho deles, de maneira a
compreender os processos que estão sendo utilizados e dar-lhes o apoio
necessário. Alguns dos processos que se referem a uma atividade investigativa são:
a exploração e formulação de questões, a formulação de conjecturas, o teste e a
reformulação de conjecturas e, ainda, a justificação de conjecturas e avaliação do
trabalho.
E por último, ao final de uma investigação, deve-se realizar uma discussão
sobre o trabalho realizado. Este é um momento importante, no qual é feita a partilha
de conhecimentos. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 41), “o
professor deve garantir que sejam comunicados os resultados e os processos mais
significativos da investigação realizada e estimular os alunos a questionarem-se
mutuamente”. É indispensável que os alunos percebam a importância da validação e
justificação matemática das conjecturas
Este momento de discussão final é fundamental para que o aluno perceba o
que é investigar e, por outro lado, desenvolva a capacidade de comunicar-se
matematicamente. É interessante ressaltar que, sem este momento final de
discussões, a tarefa investigativa pode perder todo o sentido.
29
4 PROPOSTA DE ENSINO
A partir dos apontamentos feitos anteriormente, elaboramos uma proposta
de ensino que abrange o Teorema de Pitágoras. A metodologia de ensino utilizada
para se desenvolver essa proposta é a Investigação Matemática.
A proposta em si consiste de três momentos, os quais serão subdivididos
nas Tarefas 1, 2 e 3. Ao final de cada uma há um quadro que objetiva orientar as
possíveis ações dos alunos e do professor no decorrer da(s) aula(s). Inicialmente o
professor pode dividir os alunos em duplas ou trios e entregar as tarefas, uma após
o término da anterior.
Tarefa 1 – Considere os três quadrados representados abaixo:
a) Reúna os vértices dos quadrados tomados dois a dois respectivamente e
verifique o que acontece registrando suas conclusões.
A tarefa 1 deve ser entregue impressa aos alunos e, ainda, três quadrados
idênticos a estes, porém recortados, pois será necessário para que possam realizar
o que se pede. Ao fazerem a sobreposição dos vértices, os alunos devem colar os
30
quadrados em uma folha sulfite, para que, posteriormente, possam dar continuidade
ao que se propõe.
Figura 13 – Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.
O professor pode auxiliar os alunos no ato da tarefa para que eles consigam
sobrepor os vértices, tomados dois a dois, caso estejam com dificuldades. Com esta
tarefa espera-se que os alunos consigam perceber a construção de um triângulo. Ao
perceberem isto, como mostra a figura 13, com o auxílio de um transferidor os
alunos deverão medir os respectivos ângulos do triângulo, para que seja possível
identificar um ângulo de 90º e, consequentemente, reconhecer o triângulo retângulo,
onde o lado do quadrado verde e o lado do quadrado azul são as medidas dos
catetos e o lado do triângulo vermelho é a hipotenusa.
Segue abaixo o Quadro 2 com algumas das possíveis considerações que
podem servir de referência para a ação dos alunos e do professor.
Ação dos Alunos
Ação do professor
- Pode ler a tarefa junto com os alunos.
- Compreender a tarefa (concluir que se - Verificar se os alunos compreenderam que
deve sobrepor os vértices dos polígonos para realizar a tarefa devem sobrepor dois
tomados dois a dois).
dos vértices desses quadrados tomados
dois a dois, respectivamente.
31
- Os alunos podem não lembrar o que é o
vértice de um polígono.
- Perceber que está se formando um
triângulo entre os quadrados.
- Os alunos podem não conseguir perceber
que entre os quadrados, formou-se um
triângulo (ou ainda, que o triângulo formado
é retângulo).
- Orientar os alunos durante a realização da
tarefa, fazendo-lhes perguntas do tipo:
“Quem são os vértices do quadrado?”,
“Como se faz para sobrepor o vértice de um
quadrado com o vértice de outro?”.
- Identificar nas ações dos alunos se, eles
lembram o que é o vértice de um polígono
(relembrar com eles caso os mesmos não se
recordem).
- Questionar os alunos sobre que tipo de
figura geométrica que se forma com a
justaposição dos vértices dos quadrados.
- O professor pode perguntar aos alunos se,
os triângulos são todos iguais ou se é
possível
classificá-los
por
suas
características diferenciadas.
- Sugerir aos alunos que meçam os ângulos
to polígono que se formou entre os
quadrados após a junção dos vértices.
- Verificar se os alunos compreendem quais
elementos que possibilitam classificar a
figura e se determinam esses elementos
com clareza.
- Questionar os estudantes sobre quais
figuras geométricas eles conhecem. Quais
delas são possíveis identificar após ser feita
a sobreposição dos vértices? Como é
possível classificar que tipo de polígonos
são estes?
- O professor pode propor uma nova tarefa,
com
os
mesmos
objetivos
e
encaminhamentos, porém, utilizando desta
vez, retângulos ao invés de quadrados.
Quadro 2 – Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da
tarefa 1.
Fonte: A autora, 2014.
Após a realização dessa primeira tarefa, o professor pode propor aos alunos
que repitam a tarefa, porém, desta vez, ao invés de quadrados eles terão retângulos
e triângulos retângulos. O propósito de se trabalhar com diferenciados polígonos,
surge do fato de os alunos não terem conseguido perceber e visualizar os fatos que
ocorreram e que, se tinha como objetivo que eles visualizassem na primeira tarefa.
Trata-se de um complemento da tarefa, com o intuito de proporcionar aos alunos a
percepção de que, os resultados obtidos com os quadrados, irão se repetir com os
retângulos e triângulos retângulos, neste caso.
32
b) Repita a tarefa 1, porém, agora, utilizando os retângulos e posteriormente, os
triângulos retângulos abaixo:
33
Figura 14 - Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.
Figura 15 - Triângulo retângulo esperado no desenvolvimento da tarefa.
34
Observação: Nas figuras 14 e 15, é possível que cada aluno construa-a de
maneira diferente, pois os lados dos polígonos (retângulo, triângulo retângulo), são
diferentes.
Após este primeiro momento, é importante discutir com os alunos as
percepções que os mesmos tiveram durante a realização da tarefa e, relembrar
alguns pontos relevantes, como por exemplo:

os polígonos regulares possuem como características, lados congruentes e
ângulos congruentes;

dados dois polígonos, estes serão semelhantes quando: os ângulos
correspondentes
tem
medidas
iguais;
as
medidas
dos
segmentos
correspondentes são proporcionais; os elementos das figuras são comuns;

um polígono será convexo se, e somente se todo segmento de reta, cuja
extremidade pertence à região só tem pontos na mesma região.
Tarefa 2 – Recorte (se necessário), os quadrados menores (da tarefa
anterior) e coloque-os sob o quadrado maior. Verifique o que acontece e registre
suas conclusões:
Figura 16 – Sobreposição dos quadrados possível no desenvolvimento da tarefa.
35
Neste momento espera-se que os alunos percebam que a área dos dois
quadrados menores, verde e azul, é equivalente à área do quadrado vermelho.
Caso os alunos perguntem como devem recortar, o professor pode orientálos para que observem que os quadrados estão subdivididos em quadradinhos
menores, o que pode facilitar a realização da tarefa.
Após a realização desta atividade, o professor deve pedir aos alunos que
calculem as respectivas áreas dos quadrados que estão sendo utilizados por eles.
Aq =
=
, sendo Aq a área do quadrado e l a medida do lado do quadrado.
Aq = 3 3 = 9
Aq = 4 4 = 16
Aq = 5 5 = 25
36
O Quadro 3 apresenta algumas possíveis considerações que podem servir
de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da tarefa.
Ação dos alunos
- Perguntar como devem recortar os
quadrados
(afirmando
não
terem
compreendido o que devem fazer).
- Os alunos podem não lembrar como se
calcula a área do quadrado.
- O quadrado vermelho é igual ao quadrado
azul adicionado do quadrado verde.
- Perceber que se somarem a área dos
quadrados menores será igual à área do
quadrado maior.
- Os alunos podem simplesmente, dizer que
as áreas calculadas foram 9, 16 e 25,
respectivamente.
- Não concluírem nada a respeito das áreas
dos respectivos quadrados.
Ação do professor
- Questionar os alunos se é necessário
recorte os dois quadrados ou é possível
sobrepô-los sem recortá-los. Há só uma
maneira de fazer esses recortes? É
necessário
utilizar
as
subdivisões
quadriculadas dos respectivos quadrados
para recortá-los?
- O professor pode lembrar com os alunos,
como é que se calcula a área de um
quadrado.
- Questionar os alunos, do por que
chegaram a essa conclusão? E se tivessem
recortado os quadrados de maneira
diferente, obteriam os mesmos resultados?
- Provocar os alunos: É possível representar
isso matematicamente? Como posso fazer
isso?
- Incentivar os alunos a descreverem esse
processo de que justificam as conclusões
que obtiveram da tarefa.
- Indagar os alunos a respeito da
sobreposição dos polígonos após os
recortes. O que aconteceu? Foi possível
sobrepor conforme se pedia na tarefa? O
que é possível verificar a partir disto? Há
alguma relação entre estes quadrados?
- Propor uma nova tarefa, baseada nos
mesmos princípios, porém, utilizando agora
retângulos, ao invés de quadrados.
Quadro 3 – Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da
tarefa 2.
Fonte: A autora, 2014.
O objetivo desta tarefa é fazer com que os alunos percebam as relações
entre a área dos polígonos trabalhados respectivamente, ou seja, que a soma da
área de dois quadrados menores é igual à área do terceiro quadrado (maior).
Após a realização desta etapa, o professor pode propor aos alunos que,
realizem novamente esta tarefa, porém, utilizando retângulos e triângulos, para que
assim, os alunos possam ampliar suas visões sobre o que de fato está acontecendo
e, no caso de não terem chego a nenhuma conclusão anteriormente, possibilitá-los-á
novas percepções.
37
Agora repita a tarefa 2, utilizando os retângulos e triângulos retângulos.
Figura 17 – Sobreposição dos retângulos no desenvolvimento da tarefa.
Cálculo das áreas dos retângulos:
Ar =
, sendo Ar a área do retângulo e
Ar =
a medida dos lados.
= 18
38
Ar =
= 32
Ar =
Cálculo da área dos triângulos:
At =
, sendo At a área do triângulo, b a base e h a altura.
At =
=
At =
= 4,5
=
=8
= 50
39
At =
=
= 12,5
A intenção desta tarefa e proporcionar aos alunos a percepção de que, ao
adicionar as áreas dos polígonos menores será igual à área do polígono maior. Após
a realização da tarefa, discutir com os alunos, como foi que eles fizeram a
sobreposição dos polígonos, se há a possibilidade de se fazer de outra forma e se
houve dificuldade na hora de calcular as respectivas áreas.
Tarefa 3 – Calcule a área dos polígonos abaixo:
6 cm
8 cm
10cm
12 cm
16 cm
20 cm
1 cm
3
2 cm
4 cm
2,66 cm
5 cm
333
3 333
cm
333
333
333
4 cm
5 cm
40
3 cm
4 cm
5 cm
Com base nas relações encontradas nas tarefas 1 e 2, o que você pode
concluir na tarefa 3?
O Quadro 2 apresenta algumas possíveis considerações que podem servir
de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da tarefa.
Ação dos alunos
- Os alunos podem não conseguir calcular
as áreas dos polígonos, pelo fato de não
lembrarem-se das fórmulas.
- Perceber que as medidas dos respectivos
lados dos polígonos são os ternos
pitagóricos.
- Concluir que em todos os casos a área dos
polígonos menores é igual à área do
polígono maior, respectivamente.
- Os lados dos polígonos são os lados de
um triângulo e, este triângulo é retângulo.
- Não conseguem perceber se há alguma
relação entre as áreas dos polígonos.
Ação do professor
- Questionar os alunos sobre a área de
quais polígonos eles sabem calcular. É
possível
usar
as
subdivisões
dos
paralelogramos e dos hexágonos para
calcular as respectivas áreas, utilizando-se
do cálculo de áreas que já conhecem?
- Incentivá-los e orientá-los até que
lembrem-se de como calcula-se as áreas
pedidas.
- Indagar os alunos do por que, desta
afirmação sobre os ternos. Como chegaram
a essa conclusão? Que relação há com o
triângulo retângulo?
- Verificar se os alunos compreendem o que
são os ternos.
- Provocar os alunos: Como chegaram a
essa conclusão? Em todos os casos isto é
válido ou somente para estes polígonos?
- É possível generalizar matematicamente
esta relação?
- Incentivar os alunos a transcreverem por
escrito, suas afirmações e conclusões desta
tarefa.
- Pedir aos alunos que retomem a tarefa 1,
perguntar à eles se é possível realizar o
processo da antiga tarefa, com os polígonos
da tarefa 3.
- Solicitar que os alunos recortem esses
polígonos e realizem as tarefas anteriores,
utilizando os polígonos da tarefa 3.
- Indagar os alunos até que eles percebam
que os processos estão se repetindo para
os diversos polígonos e que em todos os
41
casos nos deparamos com triângulos
retângulos.
- Proporcionar a generalização do Teorema
de Pitágoras.
Quadro 4 – Quadro de referência para a ação dos alunos e do professor no desenvolvimento da
tarefa 3.
Fonte: A autora, 2014.
O objetivo desta tarefa é fazer com que os alunos percebam que em todos
os casos analisados por eles, se adicionarem as áreas dos polígonos menores será
igual a área do polígono maior. E desta forma, propiciar a generalização do Teorema
de Pitágoras.
4.1 DISCUSSÃO E SISTEMATIZAÇÃO
Após a realização da tarefa, fazer uma discussão geral com os alunos, a
respeito de todos os processos de resoluções e as suas respectivas conclusões. A
discussão terá como foco a compreensão das relações entre as áreas dos
respectivos polígonos e a correspondência de seus lados com os lados de um
triângulo retângulo. A seleção da ordem dos grupos para a apresentação será feita
de acordo com os diferentes procedimentos utilizados na resolução (pictórico,
aritmético, algébrico), partindo dos menos algébricos para os que mais (ou
completamente) evidenciam uma relação explícita com o Teorema de Pitágoras.
Durante as apresentações o professor deve promover a participação dos
alunos nas discussões, fazendo questionamentos e enfatizando a percepção dos
mesmos sobre os (possíveis) diferentes procedimentos que utilizaram para resolver
a tarefa.
Ao final das apresentações dos alunos e a discussão das tarefas, o
professor deve fazer no quadro a sistematização dos conceitos abordados a partir
de comparações das resoluções dos alunos e, posteriormente, a generalização do
Teorema de Pitágoras. Há aspectos relevantes que devem ser discutidos e
esclarecidos a respeito da validação do Teorema a partir das tarefas desenvolvidas.
Dado um triângulo retângulo tem-se que, a área do quadrado formado a
partir da medida da hipotenusa será igual à soma das áreas dos quadrados
formados a partir da medida do lado dos catetos, respectivamente. Isto vale para
todo e qualquer quadrado, desde que, formados a partir das medidas dos lados de
um triângulo retângulo. No caso de polígonos regulares esta relação também é
42
válida. Porém, ao tomarmos polígonos não regulares é necessário que a medida dos
lados desses polígonos seja proporcional, para que tal relação seja válida. O
teorema ainda é válido para figuras circulares, por exemplo, tomando a medida dos
lados do triângulo retângulo como sendo o diâmetro da circunferência, a partir daí,
constrói-se os semicírculos donde o pode ser feita a aplicabilidade do Teorema de
Pitágoras.
43
5 CONTRIBUIÇÕES NO PROCESSO DE FORMAÇÃO DO PROFESSOR E NO
ENSINO E NA APRENDIZAGEM DOS ALUNOS
Apesar das variadas opções para se trabalhar em relação às metodologias e
as propostas de ensino, ainda há uma grande resistência por parte dos professores
ao tomar a decisão de se propor uma aula diferente. Os motivos para isso são
inúmeros: falta de tempo, os alunos não estão acostumados, não se interessam, etc.
Contudo, também acreditamos que há certo receio, certo medo, por parte dos
professores, pois alguns nunca vivenciaram, nunca participaram de uma aula
diferenciada, sendo que outros, já com alguns anos de experiência, nunca ouviram
falar e muito menos como se trabalhar, proceder, no decorrer de uma aula que
envolva uma Investigação Matemática, por exemplo.
Em relação ao desenvolvimento de uma aula investigativa, é evidente que o
professor terá mais trabalho. É necessária uma boa preparação no que diz respeito
ao conhecimento matemático, pois, ao se trabalhar com Investigações Matemáticas,
perde-se um pouco do controle dos encaminhamentos e generalizações dos alunos
no que concerne ao que lhes é proposto. Por outro lado, é possível perceber a linha
de raciocínio dos alunos através das ações e registros dos mesmos durante as
aulas. Caso os alunos não façam nada, o professor deve intervir de maneira a
questioná-los e instigá-los a respeito da tarefa que está sendo proposta.
Em uma aula expositiva a ação perceptível dos alunos, aparece na
realização e resolução do algoritmo, porém, não há como saber se eles
compreendem o conceito em questão, ou somente, são capazes de efetuar os
cálculos. A partir destas considerações é que preponderamos à importância de se
proporcionar uma aula investigativa.
O processo didático deve ter como objetivo principal a participação e
interação ativa dos alunos durante o processo de construção e validação de um
determinado algoritmo. Desta forma será possível que todos (alunos e professores),
trabalhem de maneira onde cada um exerce um papel importante e fundamental
durante este caminho de formação. Assumindo essa perspectiva “o professor de
matemática já não é mais considerado somente como aquele que ensina, nem os
alunos como meros sujeitos de um processo de aprendizagem” (CHEVALLARD;
BOSCH; GASCÓN, 2001, p. 201).
44
O aluno passa a perceber o que está acontecendo, porque isso acontece,
pois, ele participa da construção do processo de resolução e, por si mesmo, sente a
necessidade de buscar algo que ainda não conhece. Através desse comportamento,
percebe que, não se tratam de fórmulas, mas sim, de construções que possibilitam
resolver determinados problemas e fatos em questão. Isto proporciona que os
alunos desenvolvam maior habilidade de pensar em diversificadas formas de
resolução e o processo de ensino e aprendizagem a eles proposto, reveste-se de
qualidade em relação ao conjunto de possibilidades da forma de raciocínio para
concluir a tarefa proposta.
Essa mudança em relação à metodologia para se trabalhar de maneira
diferenciada, utilizando a Investigação Matemática é fundamental para um
encaminhamento
diferenciado
em
vários
pontos
do
assunto
abordado.
Primeiramente, a tarefa matemática deixa de ter um desenvolvimento voltado para a
responsabilidade do professor, mas, adquire condições próprias dos seus
protagonistas (aluno, professor).
Em nossa Proposta de Ensino, tivemos como objetivo exatamente isto, os
alunos, por si só, buscariam e construiriam os resultados. O papel do professor era
auxiliar de maneira discreta e ponderada para que, os mesmos, através de suas
investigações e tentativas (considerando-se os erros e acertos, respectivamente),
fossem capazes de avançar e proceder de maneira significativa na construção de
seu conhecimento sobre o Teorema de Pitágoras.
Chevallard, Bosch e Gascón dizem que, “[...] a visão estanque do professor
como ‘aquele que ensina’ e do aluno como ‘aquele que aprende o que lhe é
ensinado’ pode evoluir para uma visão na qual os papéis de professor e de aluno
são definidos de maneira menos rígida” (2001, p. 2001).
Ambos exercem função fundamental durante a realização das tarefas. Isto
proporciona aos alunos um maior reconhecimento perante suas descobertas de
como proceder na realização da tarefa. Quanto mais os alunos participam e são
capazes de verificar os resultados, maior é o interesse dos mesmos pelo assunto em
questão.
Os processos de construção são fundamentais para que seja possível
perceber o que, como e porque está acontecendo, de modo a buscar uma
compreensão visível e satisfatória dos fatos. Ao desenvolver esta Proposta de
Ensino com os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, é possível proporcionar a
45
eles esse momento de integração onde eles serão os responsáveis pela construção
de seu conhecimento.
Segundo Caraça,
quanto mais alto for o grau de compreensão dos fenômenos naturais e
sociais, tanto melhor o homem se poderá defender dos perigos que o
rodeiam, tanto maior será o seu domínio sobre a Natureza e as suas forças
hostis, tanto mais facilmente ele poderá realizar aquele conjunto de atos
que concorrem para a sua segurança e para o desenvolvimento da sua
personalidade, tanto maior será, enfim, a sua liberdade (1998, p. 62).
Ou seja, não basta aprender a fazer, mas sim, como e porque fazer. Nós
professores devemos buscar cada vez mais, subsídios para que nossos alunos
sejam capazes de compreender de fato, os processos utilizados para a efetivação
de um algoritmo. Chevallard, Bosch e Gascón afirmam que: “não é possível, nem
para o matemático profissional nem para os alunos de uma série do ensino
fundamental, atuar matematicamente com verdadeira eficácia sem entender o que
está fazendo” (2001, p.275). Pautados nessas afirmações, nos deparamos com a
relevância de se desenvolver tarefas dinâmicas, como as que estão propostas neste
trabalho e que possibilitem a integração e participação ativa dos alunos, no processo
de construção e resolução da mesma.
Desta forma, acreditamos que será possível que os alunos compreendam o
conceito do Teorema de Pitágoras, partindo do pressuposto que eles mesmos irão
construí-lo através das situações nas tarefas 1, 2 e 3.
46
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Quando trabalhei o Teorema de Pitágoras, em 2012, com alunos do 9º ano
do Ensino Fundamental, propus o conteúdo a eles na metodologia de uma aula
expositiva e dialogada, devido ao fato de não ter tempo para planejar uma aula
diferenciada, apropriando-se da metodologia de Investigações Matemáticas, por
exemplo, dentre outros fatores.
O que motivou a realização deste trabalho foi a percepção de que os alunos
despertaram um grande interesse pelo conteúdo. Devido ao fato de não conseguir
verificar se os alunos, de fato, compreenderam o conceito do Teorema de Pitágoras
ou, somente, aprenderam a fazer os cálculos de aplicação, senti a necessidade de
desenvolver
uma
aula
alternativa,
com
metodologias
diferenciadas,
mais
especificamente a Investigação Matemática. Busquei uma proposta diferenciada,
onde os alunos tivessem a oportunidade de atribuir significados ao Teorema.
Embora no referencial teórico discute-se sobre as diversas possibilidades de
aplicação do Teorema de Pitágoras, o objetivo das tarefas proposta neste trabalho
foi a introdução do conceito do Teorema. A intencionalidade desta Proposta de
Ensino visa à compreensão do Teorema de Pitágoras através de construções
realizadas pelos próprios alunos, utilizando-se de métodos que caracterizam a
Investigação Matemática.
Foi de grande valia o desenvolvimento deste trabalho, pois, além de
propiciar o conhecimento da parte histórica do tema abordado, também, foi possível
esclarecer para quais casos de polígonos o Teorema é válido. Eu particularmente,
acreditava que a relação era válida somente para quadrados e não expandia-se para
os demais polígonos, conforme vistos no desenvolvimento da pesquisa.
Além disso, foi desenvolvida uma proposta de ensino, a qual acredita-se
que, ao ser desenvolvida com os alunos poderá trazer resultados significativos para
a compreensão dos mesmos sobre o Teorema de Pitágoras. Através desta pesquisa
foi possível perceber que ao utilizar a Investigação Matemática podemos analisar
toda a linha de pensamento do aluno sobre determinada questão, o que não é
possível em uma aula expositiva e dialogada. Isto é, de fato, extremamente
importante, para que, o professor seja capaz de perceber onde estão as dificuldades
47
de seus alunos e, para que os alunos tenham a oportunidade de expor suas ideias e
compartilhar suas experiências.
48
REFERÊNCIAS
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo, SP: Edgard Blucher Ltda, 1974.
CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa, Ed. 2.
Gradiva, 1998.
COELHO, A. de B. Teorema de Pitágoras: Qual a sua importância para o Ensino
das Ciências da Natureza? 2010. Dissertação (Mestrado em ensino de Ciências
na Educação Básica). Universidade do Grande Rio “Prof. José de Souza Herdy”.
CHEVALLARD Y.; BOSCH M.; GASCÓN J. Estudar Matemática: O elo perdido entre
o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre, Artmed, 2001.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Unicamp, 2004.
MARQUES, S. C. A descoberta do Teorema de Pitágoras. São Paulo, Livraria da
Física, 2011.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da
Educação Básica. Paraná, 2008.
PEREIRA, L. H. F. Teorema de Pitágoras lembranças e desencontros na
matemática. Passo Fundo, UPF, 2002.
PONTE, J. P. da; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na
Sala de Aula. Belo Horizonte, Autêntica, Ed. 2, 2009.
STRAPASON, L. P.; BISOGNI, V. Investigação Matemática na Sala de Aula:
Experiência com alunos do Ensino Médio sobre sucessões numéricas. X
Encontro Nacional de Educação Matemática, Salvador, 2010.
49
ANEXO A – TAREFA 1
50
Tarefa 1 – Considere os três quadrados representados abaixo:
a) Reúna os vértices dos quadrados tomados dois a dois respectivamente e verifique
o que acontece registrando suas conclusões.
b) Repita a tarefa 1, porém, agora, utilizando os retângulos e posteriormente, os
triângulos retângulos.
51
52
ANEXO B – TAREFA 2
53
Tarefa 2 – Recorte (se necessário), os quadrados menores (da tarefa
anterior) e coloque-os sob o quadrado maior. Verifique o que acontece e registre
suas conclusões:
54
ANEXO C – TAREFA 3
55
Tarefa 3 – Calcule a área dos polígonos abaixo:
6 cm
8 cm
10cm
12 cm
16 cm
20 cm
1 cm
3
2 cm
4 cm
2,66 cm
5 cm
333
3 333
cm
333
4 cm
333
5 cm
333
3 cm
4 cm
5 cm
Com base nas relações encontradas nas tarefas 1 e 2, o que você pode concluir na
tarefa 3?