PARCELATÓRIAS DE POTÊNCIAS
EQUAÇÕES SIMILARES À DO ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
"Entendemos as relações entre casas e paredes. Porém é difícil
transpor a lacuna entre os conceitos de casas e tijolos sem haver
suficiente conceitos intermediários, tal qual o conceito de parede."
(Marvin Minsky, Society of Mind, 1985)
"Problemas não podem ser solucionados no mesmo nível de
abstração no qual foram criados." (Albert Einstein, 1920)
entre
um dos vários teoremas possíveis de serem obtidos pela análise das
Parcelatórias, está aquele denominado Parcelatórias de Potências que corresponde ao
seguinte enunciado:
Este teorema pode ser utilizado para averiguar a veracidade da existência de resultados inteiros
em inúmeras equações polinomias tais como:
a2 + b2 = c2, onde a, b e c
Ν;
a3 + b3 = c2, onde a, b e c
Ν;
a2 + b2 = c3, onde a, b e c
Ν;
a2 + b2 +c2 = d2, onde a, b, c e d
a11 + b11 + c11 = d7, onde a, b, c e d
Ν;
Ν,
ou mesmo
a1001 + b1001 + c1001 + d1001 = e2003, onde a, b, c, d e e
Ν.
E por aí vai!
1
A idéia é poderosa, pois a partir de um simples enunciado é possível constatar de antemão a
existência ou não de resultados inteiros positivos em equações que levariam décadas para serem
calculadas, nos mais velozes computadores da atualidade ou mesmo do futuro. Por isto mesmo é
preciso demonstrá-la com bastante exatidão e clareza.
DEMONSTRAÇÕES
As equações com valores inteiros positivos possíveis, formalizadas pelo enunciado, corresponde
a uma união de dois Conjuntos de Equações, a saber:
O conjunto denominado 'primos' corresponde ao conjunto de equações cujos expoente das
parcelas (u) e o expoente do resultado (w) são primos entre si. Dois números são considerados
primos entre si quando possuem apenas a unidade como divisor em comum (mdc(u,w) = 1).
Neste conjunto existem dois subconjuntos de equações: aquelas cujos números de parcelas (p)
são menores que os expoentes das parcelas (u), ou p < u; e aqueles cujos números de parcelas
(p) são maiores ou iguais aos expoentes das parcelas (u), ou p >= u.
Da mesma forma, o conjunto denominado 'não primos' corresponde ao conjunto de equações
cujos expoente das parcelas (u) e o expoente do resultado (w) NÃO são primos entre si.
Neste conjunto também existem dois subconjuntos: aquelas cujos números de parcelas (p) são
maiores ou iguais aos expoentes das parcelas (u), ou p >= u; e aqueles cujos números de
parcelas (p) são menores aos expoentes das parcelas (u), ou p < u.
Então, podemos dizer que o enunciado das Parceltatórias de Potências corresponde à união do
conjunto 'primo' com o subconjunto do conjunto 'não primos' cujos números de parcelas (p) são
maiores ou iguais aos expoentes das parcelas (u). Esta união de conjuntos corresponde às áreas
representadas em azul no desenho acima.
Para uma demonstração completa do enunciado é necessário fazer demonstrações separadas do
que ocorre no conjunto 'primo' e no conjunto 'não primos'. A união das demonstrações será a
prova encerrada.
2
DEMONSTRAÇÕES DA EXISTÊNCIA DE RESULTADOS INTEIROS
EM EQUAÇÕES COM EXPOENTES PRIMOS ENTRE SI
I PROPOSIÇÃO:
Esta proposição corresponde ao Conjunto das Equações denominadas 'primos', comentadas
anteriormente:
PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO
Vamos começar determinando a veracidade da existência de soluções inteiras para uma equação
cujo enunciado seja:
"A soma de uma tríades de sétima potências é igual a um biquadrado", ou
a7 + b7 + c7 = d4, onde a, b, c e d
Ν
3
Em uma primeira tentativa, podemos considerar todas parcelas iguais ao número de parcelas
(p=3) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado igual ao número de parcelas
(p=3) elevado a outro número inteiro qualquer (l), ou seja,
a = b = c = 3k, onde k
Ν,
e
d = 3l, onde l
Ν.
Assim,
a7 + b7 + c7 = d4 torna-se 37k + 37k + 37k = 34l
ou
3 * 37k = 34l, ou ainda 37k + 1= 34l.
D'onde se conclui que
7k + 1 = 4l
ou
(7k + 1) / 4 = l, lembrando que k e l
Ν.
Neste caso, observa-se rapidamente que k = 1 é uma das possíveis soluções para a equação, pois
resulta em l = 2.
A equação
37k + 37k + 37k = 34l
torna-se
37 + 37 + 37 = 38,
levando-nos a concluir que a equação "a soma de uma triades de sétima potências é igual a um
biquadrado" é verdadeira também no Conjunto dos Números Naturais!
Observe que o expoente das parcelas (u=7) é primo do expoente do resultado (w=4), pois ambos
só têm a unidade como divisor em comum (mdc(7,4) = 1).
Abaixo estão plotadas algumas soluções possíveis para esta equação:
37 + 37 + 37 = 38
335 + 335 + 335 = 336
363 + 363 + 363 = 364
4
391 + 391 + 391 = 392
3119 + 3119 + 3119 = 3120
3147 + 3147 + 3147 = 3148
3175 + 3175 + 3175 = 3176
3203 + 3203 + 3203 = 3204
3231 + 3231 + 3231 = 3232
3259 + 3259 + 3259 = 3260
...
SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO
Um segundo exemplo é a determinação das soluções naturais para uma equação cujo enunciado
seja o seguinte:
"A soma de duas oitava potências é igual a uma terceira oitava potência", ou
a8 + b8 = c8, onde a, b e c
Ν.
Para seguirmos a mesma técnica utilizada na determinação anterior, devemos considerar todas
parcelas iguais ao número de parcelas (p=2) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o
resultado igual ao número de parcelas (p=2) elevado a outro número inteiro qualquer (l), ou
seja,
a = b = 2k, onde k
Ν,
e
c = 2l, onde l
Ν.
Assim,
a8 + b8 = c8 torna-se 28k + 28k = 28l
ou
2 * 28k = 28l ou ainda 28k + 1 = 28l.
D'onde se conclui que
8k + 1 = 8l
ou
5
ou ainda
(k/8) + (1/8) = l.
Neste caso, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido a parte
fracionária da equação (1/8). Isto pode ser observado plotando alguns valores de k e l:
k
l
1
1,125
2
2,125
3
3,125
4
4,125
5
5,125
6
6,125
7
7,125
8
8,125
9
9,125
10
10,125
...
...
Isto leva-nos a concluir que a equação "a soma de duas oitava potências é igual a uma terceira
oitava potência" NÃO possue soluções com todas as parcelas iguais no Conjunto dos Números
Naturais!
Observe que o expoente das parcelas (u=8) NÃO é primo do expoente do resultado (w=8), pois
ambos têm a unidade e a si próprios como divisores em comum (mdc(8,8) ∈ {1,8}).
TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO
Um terceiro exemplo é a determinação das soluções inteiras para uma equação cujo enunciado
seja o seguinte:
"A soma de um quarteto de oitava potências é igual a uma décima-segunda potência", ou
a8 + b8 + c8 + d8 = e12, onde a, b, c, d e e
Ν
Se seguirmos a mesma técnica utilizada na determinação anterior, podemos considerar todas
parcelas iguais ao número de parcelas (p=4) elevado a um número inteiro qualquer (k), e o
resultado igual ao número de parcelas (p=4) elevado a outro número inteiro qualquer (l), ou
seja,
6
a = b = c = d = 4k, onde k
Ν,
e
e = 4l, onde l
Ν.
Assim,
a8 + b8 + c8 + d8 = e12, torna-se 48k + 48k + 48k + 48k = 412l
ou
4 * 48k = 412l, ou ainda 48k+1 = 412l.
D'onde se conclui que
8k + 1 = 12l
ou
(8k + 1)/12 = l,
ou ainda
(2k/3) + (1/12) = l, lembrando que k e l
Ν.
Também neste caso, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido
a parte fracionária da equação (1/12). Isto pode ser observado, plotando alguns valores de k e l:
k
l
1
0,75
2
1,41
3
2,08
4
2,75
5
3,41
6
4,08
7
4,75
8
5,41
9
6,08
10
6,75
...
...
Ou seja, NÃO existem soluções com todas as parcelas iguais para esta equação no Conjunto dos
Números Naturais.
7
Por outro lado, também podemos agrupar as parcelas de duas em duas, considerar os valores
das parcelas iguais a 2 elevado a um número inteiro qualquer (k), e o resultado também igual a
2 elevado a outro número inteiro qualquer (l), ou seja,
a = b = c = d = 2k, onde k
Ν,
e
e = 2l, onde l
Ν.
Assim,
(a8 +b8) + (c8 + d8) = e12 torna-se (28k + 28k) + (28k + 28k) = 212l
ou
(2 * 28k) + (2 * 28k) = 212l, ou ainda (28k+1) + (28k+1) = 212l.
D'onde se conclui que
8k + 2 = 12l
ou
(8k + 2)/12 = l,
ou ainda
(2k/3) + (1/6) = l, lembrando que k e l
Ν.
Neste caso também, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l, devido
a parte fracionária da equação (1/6). Isto pode ser observado, plotando alguns valores de k e l:
k
l
1
0,833333
2
1,5
3
2,166667
4
2,833333
5
3,5
6
4,166667
7
4,833333
8
5,5
9
6,166667
8
10
6,833333
...
...
O mesmo processo pode ser realizado aplicando-se agrupamento de parcelas de três em três,
considerar os valores das parcelas iguais a 3 elevado a um número inteiro qualquer (k), e o
resultado igual a 3 também elevado a outro número inteiro qualquer (l), ou seja,
a = b = c = 3k, onde k
Ν,
e
d = 3l, onde l
Ν,
e
e = 3m, onde m
Ν.
Assim,
(a8 + b8 + c8) + d8 = e12 torna-se (38k + 38k + 38k) + 38l = 312m
ou
(3 * 38k) + 38l = 312m, ou ainda (38k+1) + 38l = 312m.
D'onde se conclui que para haver alguma simplificação e continuarmos adiante, seria necessário
que
8k + 1 = 8l
ou
Observe que esta equação é idêntica à equação final da SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO (I). E,
conforme foi visto, para qualquer valor de k é impossível obter um valor inteiro para l.
***
9
De uma forma geral, considerando que o expoente das parcelas (u) seja múltiplo do expoente
dos resultados (w), teremos sempre as seguintes possibilidades de agrupamentos homogêneos:
TABELA 1:
10
e as seguintes possibilidades de agrupamentos heterogêneos:
TABELA 2:
11
***
Retornando à TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO, durante a tentativa de verificar se existem
agrupamentos de três em três parcelas que satisfaçam a equação, observou-se a necessidade de
verificar previamente se existem agrupamentos de dois em dois que satisfizessem a equação.
Porém,
Ou seja, NÃO existem soluções para a equação apresentada na TERCEIRA DEMONSTRAÇÃO. E
observe que o expoente das parcelas (u=8) NÃO é primo do expoente do resultado (w=8), pois
ambos têm a unidade e a si próprios como divisores em comum (mdc(8,8) ϵ {1,8}).
Assim, o primeiro tipo de agrupamento (evidenciado com o indicador) determina a condição de
soluções inteiras para qualquer equação: se o expoente das parcelas (u=kx) é múltiplo do
expoente do resultado (w=ly), então só poderá existir soluções inteiras quando otermo fixo
expoente das parcelas (u) for igual à unidade, e isto só ocorre quando eles são primos entre si.
Em outras palavras,
12
DEMONSTRAÇÕES DA EXISTÊNCIA DE RESULTADOS INTEIROS
EM EQUAÇÕES COM EXPOENTES NÃO PRIMOS ENTRE SI
II PROPOSIÇÃO:
Esta proposição não colide com a anterior, pois ela delimita o Conjunto das Equações que têm
parcelas passíveis de serem agrupadas homogêneamente daquelas na qual todos os valores de
cada parcela são heterogêneos (a1 ≠ a2 ≠ a3 ... ≠ ap), ou daquelas no qual os agrupamentos
possam ser heterogêneos.
Ela corresponde à união dos Subconjuntos do Conjuntos das Equações denominadas 'primos' e
'não primos', comentada anteriormente, na qual o número de parcelas é maior ou igual ao
expoente das parcelas (p >= u) (região cheia azulada):
No texto Sobre o Prisma das Parcelatórias, foi definido que
13
Esta definição mostra que p e v são divisores de bw. Assim,
b = p1/w * v1/w
Ou seja,
b é múltiplo de p1/w e v1/w.
Mas, para que exista
p1/w
Ν ou v1/w
Ν
as condições abaixos devem ser satisfeitas:
p ≥ w ou v ≥ w.
Como de antemão só conhecemos a quantidade das parcelas (p) e nada conhecemos a respeito
dos valores das parcelas (v), só podemos utilizar primeiro trecho da preposição, ou
Por outro lado, observa-se que a definição do Teorema das Parcelatórias refere-se à equação no
qual todas parcelas são iguais. Em outras palavras, a equação
p * v = bw
refere-se a:
a1kx + a2kx + a3kx + ... + apkx = bly,
onde temos
v = a1kx = a2kx = a3kx = ... = apkx.
E, em uma análise mais apurada, podemos constatar que
14
e que nos leva de volta à já citada equação
da qual podemos afirmar também que
Um observador atento poderia comentar que, sendo o valor de todas as parcelas iguais a v, este
caso corresponderia apenas ao primeiro tipo de agrupamento homogêneo citado na primeira
tabela. Contudo, o mesmo princípio pode ser aplicado tanto em agrupamentos homogêneos
quanto heterogêneos, pois conforme foi visto, a mesma equação aplica-se nos dois casos devido
à simetria da quantidade de itens do agrupamento (n). Em outras palavras, a equação geral
simplificada seria da seguinte forma:
PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO
Existem pelo menos duas formas distintas de demonstrar esta preposição. Uma delas é
constatando a ineficiência do processo de agrupamentos homogêneos para a determinação da
veracidade da existência de soluções inteiras para uma equação cujo enunciado é:
"A soma de quatro cubos é igual a uma sexta potência", ou
a3 + b3 + c3 + d3 = e6, onde a, b, c, d e e
Ν
Caso seja utilizado o processo de agrupamento, iremos chegar à conclusão de que neste caso
não existem valores que satisfação à equação, pois os expoentes 3 e 6 NÃO são primos entre si.
Senão, vejamos:
a = b = c = d = 4k, onde k
Ν,
e
e = 4l, onde l
Ν.
Assim,
15
a3 + b3 + c3 + d3 = e6 torna-se 43k + 43k + 43k + 43k = 46l
ou
4 * 43k = 46l, ou ainda 43k+1 = 46l.
D'onde se conclui que
6k + 1 = 6l
ou
(6k + 1)/6 = l
ou ainda
(k/6) + (1/6) = l, lembrando que k e l
Ν.
Neste caso, para qualquer valor de k seria impossível obter um valor inteiro para l, devido a
parte fracionária da equação (1/6).
Porém existem várias soluções para esta equação, com valores ou agrupamentos heterogêneos,
como pode ser observado nos valores plotados abaixo:
56 =
66 =
76 =
6
8 =
96 =
6
10 =
15.625 =
46.656 =
343 + 729 + 729 + 13.824
= 73 + 93 + 93 + 243
8 + 2.744 + 21.952 + 21.952
= 23 + 143 + 283 + 283
512 + 2.744 + 4.096 + 39.304
= 83 + 143 + 163 + 343
729 + 729 + 9.261 + 35.937
= 93 + 93 + 213 + 333
1 + 1 + 13.824 + 103.823
= 13 + 13 + 243 + 473
8 + 2.197 + 35.937 + 79.507
= 23 + 133 + 333 + 433
343 + 343 + 42.875 + 74.088
= 73 + 73 + 353 + 423
117.649 =
6.859 + 12.167 + 39.304 + 59.319
= 193 + 233 + 343 + 393
1 + 4.096 + 8.000 + 250.047
= 13 + 163 + 203 + 633
512 + 3.375 + 117.649 + 140.608
= 83 + 153 + 493 + 523
2.744 + 4.096 + 39.304 + 216.000
= 143 + 163 + 343 + 603
9.261 + 32.768 + 79.507 + 140.608
= 213 + 323 + 433 + 523
512 + 9.261 + 132.651 + 389.017
= 83 + 213 + 513 + 733
79.507 + 91.125 + 175.616 + 185.193
= 433 + 453 + 563 + 573
216 + 97.336 + 148.877 + 753.571
= 63 + 463 + 533 + 913
21.952 + 46.656 + 46.656 + 884.736
= 283 + 363 + 363 + 963
262.144 =
531.441 =
1.000.000 =
16
21.952 + 216.000 + 287.496 + 474.552 = 283 + 603 + 663 + 783
50.653 + 85.184 + 110.592 + 753.571
= 373 + 443 + 483 + 913
166.375 + 216.000 + 274.625 + 343.000 = 553 + 603 + 653 + 703
175.616 + 195.112 + 300.763 + 328.509 = 563 + 583 + 673 + 693
...
Ou seja, mesmo para expoentes diferentes, não primos entre si (mdc(3,6) ϵ {1,3}), existem
soluções para a equação apresentada, pois o número de parcelas (p) é maior que o valor do
expoente das parcelas (u).
SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO
Nesta segunda demonstração vamos determinar a ineficiência do processo de agrupamentos
homogêneos para a determinação da veracidade da existência de soluções inteiras para uma
equação cujo enunciado é:
"A soma de dois quadrados é igual a um terceiro quadrado", ou
a2 + b2 = c2, onde a, b e c
Ν
Da mesma forma, caso seja utilizado o processo de agrupamento, iremos chegar à conclusão de
que neste caso não existem valores que satisfação à equação, pois os expoentes NÃO são primos
entre si. Senão, vejamos:
a = b = 2k, onde k
Ν,
e
c = 2l, onde l
Ν.
Assim,
a2 + b2 = c2 torna-se 22k + 22k = 22l
ou
2 * 22k = 22l, ou ainda 22k+1 = 2l.
D'onde se conclui que
2k + 1 = 2l
ou
(2k+1)/2 = l
ou ainda
17
(k/2) + (1/2) = l, lembrando que k e l
Ν.
Também neste caso, para qualquer valor de k seria impossível obter um valor inteiro para l,
devido a parte fracionária da equação (1/2).
Porém, como é bem conhecido, existem várias soluções com valores heterogêneos para esta
equação, também conhecida como Equação do Teorema de Pitágoras, como pode ser observado
nos valores plotados abaixo:
52 =
25 =
9 + 16 =
32 + 42
102 =
100 =
36 + 64 =
62 + 82
132 =
169 =
25 + 144 =
52 +122
152 =
225 =
81 + 144 =
92 + 122
172 =
289 =
64 + 225 =
82 + 152
202 =
400 =
144 + 256 =
122 + 162
252 =
625 =
625 =
49 + 576 =
225 + 400 =
72 + 242
152 + 202
262 =
676 =
100 + 576 =
102 + 242
292 =
841 =
400 + 441 =
202 + 212
302 =
900 =
324 + 576 =
182 + 242
...
Ou seja, mesmo para expoentes diferentes, não primos entre si (mdc(2,2) ∈ {1,2}), existem
soluções para a equação apresentada, pois o número de parcelas (p) é maior ou igual ao valor do
expoente das parcelas (u).
Em outras palavras,
18
CONCLUSÃO E NOVAS DESCOBERTAS
Alguém há de perguntar se o Teorema das Parcelatórias de Potências é uma forma mais
simples, senão a verdadeira solução para a equação do Última Teorema de Fermat.
Prefiro me ater ao verdadeiro significado desta descoberta matemática: através de um simples
enunciado é possível determinar de antemão se uma equação polinomial tem ou não solução no
Conjunto dos Números Naturais Ν.
Vamos supor que alguém queira saber se a equação a4 + b4 + c4 = d3 tenha solução no
Conjunto dos Números Naturais Ν. A regra prática seria a seguinte:
1 passo: determinar se a equação é similar à do Ùltimo Teorema de Fermat, ou seja, se
um potência é igual a uma soma de potências no qual todos os expoentes são iguais.
A resposta neste caso é SIM, pois um cubo está sendo expresso como sendo
igual a um soma de potências no qual os todos os expoentes são iguais a 4.
2 passo: determinar o número de parcelas (p), o expoente do resultado (w) e os
expoentes das parcelas (u).
Neste caso, temos:
p=3
w=3
u=4
3 passo: determinar se os expoentes (u e w) são primos entre si.
Neste caso, 4 e 3 são primos entre si, pois mdc(4,3) = 1.
4 passo: se são primos entre si, pode-se afirmar que a equação tem solução no Conjunto
dos Números Naturais Ν. Caso contrário continua para o próximo passo.
Neste caso, podemos parar aqui pois foi determinado que os expoentes são
primos entre si.
5 passo: se não são primos entre si, determinar se o número de parcelas (p) é maior ou
igual ao expoente das parcelas (u).
Neste caso, embora seja uma informação irrelevante, temos que 3 <= 4.
Visto na planilha AQUI anexada, o Conjunto das Equações delimitado pelo Teorema das
Parcelatórias de Potências lembra uma centro urbano planejado, como a ilha Manhattan, em
New York, onde todas as avenidas (u) e ruas ruas (w) são perfeitamente simétricas entren si e
cuja transversal, assim como a Broadway Avenue (u=w), separa dois conjuntos de equações:
aquelas que admitem nenhuma ou apenas uma solução e aquelas que admitem nenhuma, uma ou
mais de uma solução.
19
É interessante observar que este último caso, que ocorre quando u <= w, evidencia os chamados
Números Cabtaxi que são aquelas potências equivalentes à mais de uma forma possível de
Parcelatória de Potências.
Um número cabtaxi que sempre comento é o número 183, o qual admite duas possibilidades de
Parcelatórias de Potências:
(2³ + 12³ + 16³) = 18³ = (9³ + 12³ + 15³)
Existem infinitos casos como este, no qual vê-se que é perfeitamente possível um cubo
corresponder à soma de duas trindades distinta de outros diferentes cubos. Estes entre outros
tópicos são motivos para mais investigações e determinações de novos teoremas.
Mas, independetemente de quantas soluções possam ser obtidas, unindo os conjuntos
mencionados neste texto, chegamos finalmente ao enunciado completo das Parcelatórias de
Potências:
REFERÊNCIAS
[1] Dickson, Leornard Eugene. History of the Theory of Numbers, 1919–23.
Forum de Discussões OnLine: STOA-USP
20