Simulado Unicamp – 2ª Fase
Matemática-12 questões
Gabarito
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Multiplicando por
a) No enunciado da questão são ditas as proporções de
clínquer e gipsita de cada tipo de cimento, e no enunciado
do item “a” são ditas as proporções de calcário e argila de
cada clínquer. Unindo estas duas informações podemos
responder a questão:
Somando-se as equações, temos:
o
a equação
temos:
Substituindo em
Cálculo da proporção cimento – clínquer
Tipo A – 90% de clínquer e 10% de gipsita
Logo,
de cimento
de clínquer
Tipo B – 80% de clínquer e 20% de gipsita
Logo,
de cimento
de clínquer
Dessa forma, serão produzidos 3kg de cimento do tipo A e
2,5kg de cimento do tipo B.
o
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Cálculo do valor gasto de clínquer
Como os dois tipos de cimento possuem a mesma
proporção de 80% calcário e 20% argila, basta aplicar essa
porcentagem na quantidade de clínquer descoberta acima.
a) Calculando o determinante de , temos:
Transformando as potências de , temos:
Tipo A
Calcário:
Argila:
O gasto com o clínquer do tipo A foi:
Para que
a zero, logo:
seja real devemos ter a parte imaginária igual
Tipo B
Calcário:
Argila:
Utilizando a fórmula de bháskara, temos:
O gasto com o clínquer do tipo A foi:
b) Para utilizar todo o estoque será necessário produzir uma
quantidade
de quilos de cimento do tipo A e uma
quantidade de quilos do tipo B.
Com isso, para o tipo A teremos:
quilos de clínquer
quilos de gipsita
b) Utilizando o menor valor encontrado no item acima, ou
seja
, vamos calcular a expressão pedida no
enunciado.
Já para o tipo B teremos:
quilos de clínquer
quilos de gipsita
Sabendo que a soma de cada clínquer deve resultar em
e a soma de cada gipsita em
podemos montar
o seguinte sistema:
Calculando
temos:
Sabendo que
Agora, basta resolver o sistema para encontrar a resposta.
1
Portanto,
Simulado Unicamp
, temos:
.
CASD Vestibulares
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a) Se o traço é -1, temos
que define ponto estacionário:
Substituindo a expressão de
, substituindo na expressão
, temos:
a) Se considerarmos apenas o trecho
teremos uma reta do tipo
.
Como possuímos dois pontos da mesma podemos construir
sua equação:
Multiplicando a equação por
(podemos fazer isso pois
, como foi dito na questão):
Logo, temos um sistema linear para resolver:
-1 é o ponto estacionário quando o traço é p = -1.
Fazendo
b) Da equação que define ponto estacionário, vem que:
Substituindo em
Multiplicando a equação por x (podemos fazer isso pois x
):
Portanto,
Essa é a equação que relaciona um traço qualquer p com
seu ponto estacionário correspondente x.
Para que os pontos estacionários sejam reais, as raízes
dessa equação devem ser reais, ou seja, essa equação
deve ter
:
Temos que resolver essa inequação do 2º grau, vamos
seguir os passos:

Concavidade é para baixo, A = -3 < 0

Asfraízesfsão:f
b) Para um consumo de
mas agora para o intervalo
Logo, temos um sistema linear para resolver:
Fazendo
Substituindo em

Análise do sinal:
Portanto,
Para
Como o sinal da desigualdade é
os valores pedidos são:
faremos algo parecido,
.
,
temos:
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18
a) Como a função que relaciona os dois é do segundo grau,
ela é da forma:
a) Primeiramente devemos notar que 6 meses = 0,5 anos.
Daí, dos dados da tabela, chegamos a:
Os três dados da tabela são três pontos da função que
relaciona a resistência do concreto com a razão :
Dividindo a equação (1) pela equação (2), chegamos a:



Temos, então, um sistema com três equações e três
incógnitas:
Fazendo (I)+(III):
, mas, de (II),
, logo:
Fazendo (II)-(I):
Encontramos o valor de T, substituindo esse valor na
equação (1):
, mas A = -60:
b) A função N(t) é representada por:
Substituindo os valores de A e B em (II), obtemos



Daí a função que relaciona a resistência do concreto com a
relação água/cimento é:
Para t = 0:
Para t = 0,5:
Para t = 2:
Pondo no gráfico, obtemos:
Onde é a resistência do concreto em MPa e
água/cimento.
é a relação
OBS: É possível resolver o sistema apenas escalonando
normalmente! Só vai dar um pouco mais de trabalho, quis
demonstrar uma outra maneira de resolver o sistema de
forma mais rápida e elegante.
b) Note que
, então a parábola que representa
a função tem concavidade para baixo, logo a função tem
valor máximo. (Não esqueça disso!)
O valor máximo da função é o
e atinge esse valor quando
. Nos é pedido para que valor de a resistência é
máxima, então nos é pedido o x do vértice.
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a) Do triângulo retângulo da figura, tem-se que:
Teorema de Pitágoras:
Quando vale 13/12 a resistência tem seu valor máximo.
Então precisamos por uma proporção de água e cimento de
13 para 12 para que o concreto tenha máxima resistência.
b) Primeiro, vamos calcular a área do primeiro quadrado. É
dado que A1A2 = 1dm e que a razão dessa PG é
. Assim,
. Sendo assim:
As equações do movimento da bola são:
Portanto, a diagonal do primeiro quadrado mede
lado, então, mede
A bola só volta ao solo quando
, ou seja:
. Seu
A área do primeiro quadrado valerá
. Queremos
encontrar o lado do primeiro quadrado com área menor que
² na sequência. Lembre, do item a, que as áreas dos
quadrados estão em PG de razão
. Então:
(instante inicial) ou
Logo, a bola leva
para voltar ao solo.
A distância horizontal que a bola percorre é
:
b) Altura máxima: solução da Física
O tempo que a bola demora para atingir a altura máxima é
metade do tempo que ela demora para voltar ao solo, ou
seja, é
1.
Área do primeiro quadrado: 1
2.
Área do segundo quadrado:
3.
Área do terceiro quadrado:
4.
Área do quarto quadrado: 1/4.
5.
Área do quinto quadrado:
Observe que o quinto quadrado é o primeiro a ter área
menor que 1/100. Seu lado, vale:
.
A altura máxima então é
:
:
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a) Desenhando a figura, temos:
Altura máxima: solução da Matemática
A altura máxima é o
do vértice de
:
Neymar conseguiu fazer o gol?
Para Neymar fazer o gol, a bola teria que percorrer
horizontalmente (o comprimento do campo). Como a bola
percorre uma distância horizontal de
, pode-se concluir
que Neymar não conseguiu fazer o gol!
Desse modo, como lado, altura e área formam uma PG,
temos:
20
a) Ora, a razão entre a diagonal de dois quadrados
consecutivos será sempre 1/2. Sejam
e
duas
diagonais e e os lados de dois quadrados consecutivos.
Assim, a razão
entre suas áreas será:
,
3
,
2
2
4
3
formam uma P.G
Lembre que em uma PG de três termos, o quadrado do
segundo termo é igual ao produto do primeiro e terceiro
termos.
Logo,
b) Lembre que em um triângulo equilátero o raio vale 2/3 da
altura (caso haja dúvida aqui, revise as propriedades dos
pontos notáveis de um triângulo equilátero!). Assim:
R
2
2
h  R  
3
3
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a) O modo “ar condicionado” é ligado quando a temperatura
ambiente torna-se maior do que
. Logo, devemos
resolver a inequação
:
3 3
R 1
3
A  π.12  π
22
Vamos fazer a mudança de variável
a) A partir do gráfico de
. Então:
:
- O seu gráfico passa pela origem (
, logo é tipo
“seno”;
- O seu período é
(comprimento de um ciclo)
- A sua amplitude é
(distância do máximo ao valor
médio, ou metade da distância entre o máximo é o mínimo);
A partir do gráfico de
:
- O seu gráfico passa pela origem (
, logo é tipo
“seno”;
- O seu período é
(comprimento de um ciclo)
- A sua amplitude é
(distância do máximo ao valor
médio, ou metade da distância entre o máximo é o mínimo);
Da Lei de Ohm, sabe-se que
Dividindo as amplitudes de
b) A partir do gráfico de
e
, tem-se:
Logo, o modo “ar condicionado” é ligado quando
) e é desligado quando
(às
).
(às
b) O modo “aquecedor” é ligado quando a temperatura
ambiente torna-se menor do que
. Logo, devemos
resolver a inequação
:
:
- O seu gráfico atinge um pico em
, logo é tipo “seno”;
- O seu período é
(comprimento de um ciclo)
- A sua amplitude é
(distância do máximo ao valor
médio, ou metade da distância entre o máximo é o mínimo);
Vamos fazer a mudança de variável
. Então:
É válida a seguinte relação:
(lembre-se que
)
Onde
(deve ser expressa no SI).
Substituindo esses valores:
Logo, o modo “ar condicionado” é ligado quando
(às
) e é desligado quando
do dia
seguinte (às
).
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a) O perímetro do quintal de Ivan.
Utilizando o teorema do bico, acharemos a seguinte figura,
em que as distâncias indicadas são dos vértices aos pontos
de tangência.
Desse modo, o perímetro do triângulo, será:
b) O comprimento da circunferência que circunscreve esse
quintal.
Como foi dito (várias vezes!) em sala, o raio de um círculo
que circunscreve um triângulo retângulo vale metade de sua
hipotenusa. Sendo assim, para esse círculo:
Assim, o comprimento dessa circunferência será