Métodos Numéricos em Finanças ISEG/UTL
Fernando Gonçalves
Métodos Binomiais Exercícios.
1.
O valor actual de uma acção é 50 EUR. Suponha que em cada período de 6 meses do
próximo ano, se houver subida esta será de 20%. Considere uma opção de compra sobre
essa acção, sem pagamento de dividendos, cujo preço de exercício é 48 EUR. Sabendo que
a taxa de juro anual é de 12%, use uma árvore binomial de 2 passos para calcular o valor
da opção de compra europeia para a maturidade de 1 ano.
2.
Uma opção sobre um activo S, que não paga dividendos, e cujo preço é 50 EUR tem como
preço de exercício 50 EUR e tempo para a maturidade de 3 meses. Sabendo que a taxa
de juro anual é de 10% e a volatilidade é de 40%, utilize uma árvore de três passos para
determinar o valor da opção nos casos seguintes:
a)
opção europeia de compra;
b)
opção europeia de venda;
c)
opção americana de venda.
3.
Uma opção americana de venda sobre um activo S , que não paga dividendos, e cujo preço
é 50 EUR tem como preço de exercício 52 EUR e tempo para a maturidade de 2 anos.
Sabendo que a taxa de juro anual é de 5% e a volatilidade é de 30%, utilize uma árvore
de dois passos para determinar o valor da opção.
4.
Uma opção europeia de compra sobre um activo S que não paga dividendos e cujo preço
é 20 EUR tem como preço de exercício 21 EUR e tempo para a maturidade de 2 anos.
A taxa de juro anual é r = 2%. Sabendo que, considerando uma árvore binomial de dois
passos, no caso de o activo subir no nal do primeiro passo, o seu valor é S = 24 EUR,
calcule:
5.
a)
os coecientes u e d, e a volatilidade σ ,
b)
o valor da opção.
Um investidor pretende adquirir uma opção europeia de compra sobre uma quota de um
√
activo X , cujo preço é actualmente 100 Euros, com preço de exercício 100 e euros e
maturidade 1 ano. A taxa de juro anual é r = 5% e a volatilidade σ do mercado é de
40%. Simule o preço actual da opção usando o modelo binomial com uma árvore de três
passos.
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Fernando Gonçalves
6.
Uma opção americana de venda sobre um activo S , que não paga dividendos e cujo preço
é 150 euros, tem como preço de exercício 150 euros e tempo para a maturidade de mês e
meio. Sabendo que a taxa de juro anual é de 2% e a volatilidade é de 20%, utilize uma
árvore de três passos para determinar o valor da opção no momento presente.
7.
Considere a opção europeia de venda sobre um activo S , que não paga dividendos, com 6
meses para a maturidade, com valor S = 100 EUR no instante t = 0, preço de exercício
K = 95, taxa de juro anual r = 8% ao ano e volatilidade σ = 30% ao ano.
8.
9.
a)
Utilizando uma árvore de três passos, determine o preço da opção.
b)
Para os mesmos dados, determine o preço da opção europeia de compra.
Uma opção sobre um activo S , que não paga dividendos e cujo preço é 100 euros, tem
como preço de exercício 100 euros e tempo para a maturidade de 3 meses. Sabendo que a
taxa de juro anual é de 10% e a volatilidade é de 40%, utilize uma árvore de três passos
para determinar o valor da opção nos casos seguintes:
a)
opção europeia de compra;
b)
opção americana de venda.
Considere a opção europeia de venda sobre um activo, com 6 meses para a maturidade
e preço de exercício 90 euros. A taxa de juro anual é 6%, a volatilidade 20% e o preço
actual do activo 100 euros. Suponha que o activo não paga dividendos e que não existem
custos de transacção e considere o modelo de Black-Scholes para o preço da opção.
a)
Escreva o correspondente problema de valor terminal para uma equação diferencial
parcial e verique a parabolicidade da equação.
b)
Aproxime o preço actual da opção utilizando uma árvore de dois passos (considere u e d,
respectivamente os factores up e down, de acordo com o modelo Cox-Ross-Rubinstein).
c)
Para os mesmos dados, aproxime o preço actual da opção europeia de compra usando
a paridade put-call.
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10.
Fernando Gonçalves
Uma opção americana de venda sobre um activo tem preço de exercício 100 euros e tempo
para a maturidade 6 meses. A taxa de juro anual é 5%, a volatilidade 10% e o preço
presente do activo 100 euros. Considere o modelo de Black-Scholes para o preço da opção,
supondo que o activo não paga dividendos e que não existem custos de transacção.
a)
Escreva o correspondente problema linear de complementaridade.
b)
Aproxime o preço actual da opção utilizando uma árvore de dois passos (considere
u = 1/d, em que u e d representam, respectivamente, os factores up e down ) e indique,
justicando, se existe exercício antecipado em algum nó da árvore.
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