Questão 1
A figura exibe um mapa representando 13 países.
alternativa E
Inicialmente, no recipiente encontram-se
40% ⋅ (1 000) = 400 ml de diesel e 60% ⋅ (1 000) =
= 600 ml de álcool.
Sendo x, em mililitros, a quantidade mínima de
álcool que se deve adicionar à mistura para que a
proporção passe para 30% de diesel e 70% de
1 000
600 + x
álcool, temos
= 0,7 ⇔ x =
ml.
1 000 + x
3
Questão 3
Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode
utilizar para colori-los, de forma que dois países vizinhos não tenham a mesma cor, é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
No interior de uma sala, na forma de um paralelepípedo com altura h, empilham-se cu1 1 1
bos com arestas de medidas 1, , ,
, e
3 9 27
assim por diante, conforme mostra a figura.
alternativa B
Observamos que o "país central", representado
por um polígono de 8 lados, tem fronteira comum
com todos os "países periféricos".
Utilizando 2 cores teremos países vizinhos com
cores iguais.
Adotando uma cor para o "país central" e alternando outras duas para os "periféricos", nenhum
país terá a mesma cor que seu vizinho.
Portanto, precisamos no mínimo de 3 cores.
Questão 2
O menor valor para a altura h, se o empilhaUm recipiente contém um litro de uma mismento pudesse ser feito indefinidamente, é:
tura de diesel e álcool, na proporção de 40%
5
7
3
b) .
c) .
d) 2.
e) .
de diesel e 60% de álcool. Deseja-se modificar a) 3.
2
3
2
esta proporção para 30% de diesel e 70% de
álcool, sem retirar diesel. A quantidade míalternativa E
nima de álcool, em mililitros, que se deve
adicionar à mistura original, considerando Nas condições dadas, as arestas dos cubos forque as proporções mencionadas são sempre mam uma PG com termo inicial 1 e razão 1 .
3
em volume, é de:
Assim, para que o empilhamento possa ser feito
200
400
700
a)
c)
.
.
.
b)
indefinidamente, a altura h deve ser no mínimo
3
3
3
3
1
1
1
.
1+
+
+ ... =
=
800
1 000
1
2
3
9
d)
.
.
e)
1−
3
3
3
matemática 4
alternativa E
Questão 4
Do gráfico da função quadrática, sabemos que,
das raízes r1 e r2 , r1 = 3 e a abscissa do vértice da
A seqüência de números naturais (a1 , 4, a 3 ,
r + r2
parábola é xv = 5. Como xv = 1
⇔
a4 , a 5 , 3, a7 , a 8 , . . . ), onde a2 = 4 e a6 = 3,
2
tem a propriedade de que a soma de três ter- ⇔ 5 = 3 + r2 ⇔ r = 7 .
2
2
mos consecutivos quaisquer é sempre igual a
Como
os
restos
da divisão de p1 (x) e p 2 (x) por
13. O mmc(a102 , a214 ) é:
x − 2 são, respectivamente, r1 e r2 , p1 (2) = 3 e
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 12.
e) 36. p (2) = 7 .
2
Logo o resto da divisão de p1 (x) ⋅ p 2 (x) por x − 2
é p1 (2) ⋅ p 2 (2) = 3 ⋅ 7 = 21.
alternativa C
Temos:
4 + a3 + a4 = 13
a3 = 3
Questão 6
a3 + a4 + a5 = 13 ⇔ a4 = 6
a4 + a5 + 3 = 13
a5 = 4
E como a soma de três termos consecutivos é
sempre igual a 13, concluímos que a3k − 2 = 6,
a3k −1 = 4 e a3k = 3 , para K ∈ N ∗ .
Assim a102 = a(3 ⋅ 34) = 3 e a214 = a(3 ⋅72 − 2) = 6,
cujo mmc é 6.
Questão 5
Dividindo-se os polinômios p1 (x) e p2 (x) por
x − 2 obtêm-se, respectivamente, r1 e r2 como
restos. Sabendo-se que r1 e r2 são os zeros da
função quadrática y = ax2 + bx + c, conforme
gráfico,
Certo dia um professor de matemática desafiou
seus alunos a descobrirem as idades x, y, z,
em anos, de seus três filhos, dizendo ser o
produto delas igual a 40. De pronto, os alunos
protestaram: a informação “x ⋅ y ⋅ z = 40” era
insuficiente para uma resposta correta, em vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do
número 40 cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando para um dos alunos,
que a soma x + y + z das idades (em anos) era
igual ao número que se podia ver estampado
na camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos disseram continuar impossível
responder com segurança, mesmo sabendo que
a soma era um número conhecido, o que levou
o professor a perceber que eles raciocinavam
corretamente (chegando a um impasse, provocado por duas ternas). Satisfeito, o professor
acrescentou então duas informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no mesmo
mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo aniversário. Neste caso a resposta correta é:
a) 1, 5, 8.
b) 1, 2, 20.
c) 1, 4, 10.
d) 1, 1, 40.
e) 2, 4, 5.
alternativa A
o resto da divisão do polinômio produto
p1 (x) ⋅ p2 (x) por x − 2 é:
a) 3.
b) 5.
c) 8.
d) 15.
e) 21.
Como x, y e z representam as idades, em anos,
dos 3 filhos do professor, as 6 ternas cujo produto
das idades é 40 são (1; 5; 8), (1; 2; 20), (1; 4; 10),
(1; 1; 40), (2; 4; 5) e (2; 2; 10) e a soma das idades em cada uma delas é 1 + 5 + 8 = 14, 1 + 2 +
+ 20 = 23, 1 + 4 + 10 = 15, 1 + 1 + 40 = 42, 2 + 4 +
+ 5 = 11 e 2 + 2 + 10 = 14.
matemática 5
Como os alunos ficaram num impasse provocado por duas ternas, estas só poderiam ser as
que apresentavam soma 14, a saber (1; 5; 8) e
(2; 2; 10).
Finalmente, como o professor falou que o caçula
estava fazendo aniversário, a única terna possível
é (1; 5; 8).
Questão 7
Questão 8
⎛ x y 1⎞
⎜
⎟
Dada a matriz, 3 × 3, A = ⎜ 1 1 1⎟ , a dis⎜ −1 −1 1⎟
⎝
⎠
tância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:
2
c) 2.
d) 3.
e) 3 2 .
.
b) 2 .
a)
4
Um engradado, como o da figura, tem capacidade para 25 garrafas.
Se, de forma aleatória, forem colocadas 5 garrafas no engradado, a probabilidade de que
quaisquer duas delas não recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa mesma fila
vertical, é:
5!
5! 5!
.
.
b)
a)
25!
25!
5! 20!
5! 5! 20!
c)
d)
.
.
25!
25!
5! 5! 25!
.
e)
20!
alternativa A
x y 1
Inicialmente, det(A) = 1 1 1 = 2x − 2y .
−1 −1 1
Logo as equações de r e s são, respectivamente,
2x − 2y = 0 ⇔ x − y = 0 e 2x − 2y = 1 ⇔
1
⇔x −y −
= 0.
2
Como as retas r e s são paralelas e (0; 0) ∈ r, a
1
0 −0 −
2
2
.
distância entre elas é
=
2
2
4
(1) + ( −1)
Questão 9
πx
2
e g(x) = ax + b, sendo o gráfico de g fornecido
na figura.
Considere as funções dadas por f(x) = sen
y
g
alternativa D
1
O número de possibilidades de 5 garrafas serem colocadas aleatoriamente no engradado é
⎛ 25 ⎞
25 !
.
⎜ ⎟ =
⎝5 ⎠
20!5!
Para que duas garrafas não recaiam numa mesma
fila horizontal, nem numa mesma fila vertical, considerando-se as filas horizontais do engradado, na
1ª há 5 posições para se colocar uma garrafa; na
2ª temos apenas 4 posições; na 3ª, 3 posições; na
4ª, 2 posições e apenas 1 posição na 5ª fila, ou
seja, 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! maneiras.
5!5!20!
5!
.
Assim, a probabilidade pedida é
=
25!
25!
20!5!
_1
_
2
0
x
O valor de f (g−1 (2)) é:
a)
2
.
4
b)
1
.
2
c)
2
.
2
d)
3
.
2
e) 1.
matemática 6
alternativa C
Do gráfico de g(x), temos
g(x)
x
+
=1 ⇔
1
1
−
2
⇔ g(x) = 2x + 1.
A função g −1 (x), inversa de g, é tal que
x −1
.
x = 2 ⋅ g −1 (x) + 1 ⇔ g −1 (x) =
2
π
2
⎛1 ⎞
Portanto f(g −1 (2)) = f ⎜ ⎟ = sen
.
=
⎝2 ⎠
4
2
Questão 10
o lugar geométrico dos centros destas circunferências é dado:
a) pelas circunferências de equações (x − 1)2 +
Na Figura A aparecem as circunferências α, de
equação x2 + y2 = 1, e β, de equação x2 + y2 =
+ y2 = 4 e (x − 2)2 + y2 = 1.
= 9. Sabendo-se que as circunferências tangentes simultaneamente a α e a β são como
λ 1 (na Figura B) ou λ 2 (na Figura C),
b) pela elipse de equação
x2
y2
+ 2 = 1.
1
3
c) pelas circunferências de equações x2 + y2 =
= 1 e x2 + y2 = 4.
d) pela circunferência de equação x2 + y2 =
y
b: x 2 + y 2
= 32
a: x 2 + y 2
=1
1
Figura A
3 x
= 4.
e) pelas retas de equações y = x e y = − x.
alternativa C
Já que as circunferências como λ1 (figura B) são
tangentes às circunferências α e β, seus centros
distam 2 unidades da origem. Assim, o lugar geométrico desses centros é uma circunferência de
centro na origem e raio 2, cuja equação é
x 2 + y 2 = 4.
As circunferências como λ 2 (figura C) tangentes a
α e β têm seus centros distando 1 unidade da origem. Logo o lugar geométrico desses centros é
uma circunferência de centro na origem e raio 1,
cuja equação é x 2 + y 2 = 1.
Questão 11
Considere as funções: f1 (x) = 3x ,
f2 (x) = log1 / 3 x ,
f3 (x) = −(x + 1) (x − 2) e
f4 (x) = sen(2x)
e os gráficos G 1 , G 2 , G 3 e G 4 seguintes.
matemática 7
o comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos aos eixos coordenados, é:
a) 2 2 .
b) 4 2 .
c) 8.
d) 4 5 .
e) 6 3 .
alternativa D
Das associações entre funções e gráficos, exibidas a seguir, a única inteiramente correta é:
b) f4 − G 2 ; f3 − G 3 .
a) f1 − G 1 ; f3 − G 4 .
c) f3 − G 4 ; f4 − G 3 .
d) f2 − G 1 ; f3 − G 2 .
e) f2 − G 3 ; f1 − G 4 .
As coordenadas do ponto A (x A ; y A ) são determinadas pelas intersecções dos gráficos y = log 3 x
e y = 2 ⋅ 3 x , respectivamente, com o eixo das
abscissas e das ordenadas, ou seja:
0 = log 3 x A
xA = 1
⇔
yA = 2
y A = 2 ⋅ 30
O ponto C (xC ; yC ) possui a mesma abscissa do
ponto B e a mesma ordenada do ponto D, isto é:
2 = log 3 xC
xC = 9
⇔
1
yC = 6
yC = 2 ⋅ 3
Assim a diagonal AC tem comprimento igual a
alternativa A
A função f1 (x) = 3 x é crescente e seu gráfico passa pelo ponto (0; 1), o que é representado por G1 ,
e f2 (x) = log 1 x é uma função decrescente, cujo
3
gráfico passa pelo ponto (1; 0), representada, portanto, por G3 .
A função f3 (x) = −(x + 1)(x − 2) é representada
por uma parábola de concavidade para baixo e
raízes −1 e 2. Assim, seu gráfico é representado
por G4 .
π
tem valor
Por fim, f4 (x) = sen(2x), e para x =
4
π
2π
= sen
= 1. Logo o gráfico que represen
4
2
senta f4 (x) é G2 .
A única alternativa que mostra duas associações
corretas é A.
(9 − 1) 2 + (6 − 2) 2 = 4 5 .
Questão 13
Imagine uma parede vertical com uma janela
retangular, de lados a e b, conforme a figura,
onde a é paralelo ao piso plano e horizontal.
Suponhamos que a luz solar incida perpendicularmente ao lado a, com inclinação de 60o
em relação à parede.
Questão 12
Com base na figura,
y
y
= 2.3x
Se A1 e A2 representam, respectivamente, as
áreas da janela e de sua imagem projetada no
A
piso, a razão 1 vale:
A2
C
D
a)
A
y
= log3x
B
3.
3
.
2
1
e) .
2
c)
x
3
2
b) 3 .
d)
3
.
3
matemática 8
alternativa D
Sejam m e a as medidas dos lados da imagem
projetada no piso, conforme a figura.
Como os retângulos de áreas a e 8 têm mesma
a x
altura, =
. Analogamente, para os retângulos
8
y
9
x
a
9
. Logo
de áreas 9 e 2a,
=
=
⇔
2a
y
8
2a
⇔ 2a2 = 72 ⇔ a = 6.
Questão 15
Supondo que os raios solares incidem perpendicularmente ao lado a e são paralelos, m e b são catetos
b
de um triângulo retângulo e, assim, tg 30o =
⇔
m
A
a⋅b
3
.
=
⇔ m = b 3 . Logo a razão 1 =
A2
3
a⋅b 3
Considere o poliedro cujos vértices são os
pontos médios das arestas de um cubo.
O número de faces triangulares e o número
de faces quadradas desse poliedro são, respectivamente:
Questão 14
A figura representa um retângulo subdividido em 4 outros retângulos com as respectivas
áreas.
a
8
9
2a
O valor de a é:
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
a) 8 e 8.
c) 6 e 8.
e) 6 e 6.
e) 12.
alternativa B
Seja x a medida do lado comum aos retângulos
de áreas a e 9 e y, a do lado comum aos retângulos de áreas 8 e 2a, conforme a figura:
x
y
a
8
9
2a
x
y
b) 8 e 6.
d) 8 e 4.
alternativa B
O poliedro destacado tem o número de faces triangulares igual ao número de vértices do cubo, ou
seja, 8; e o número de faces quadradas igual ao
número de faces do cubo, isto é, 6.