Introdução à informática
por
Diego Brandão
e-mail: [email protected]
web: http://www.ic.uff.br/~dbrandao
Sistema numérico
• Objetivo do Módulo :
Entendimento e estudo dos sistemas numéricos utilizado na
informática, com entendimento e domínio das operações
aritméticas do sistema binário e hexdecimal.
Sistema numérico - decimal
• Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás.
Posteriormente foi adotado pelos árabes que o
introduziram aos europeus.
• Também denominado sistema arábico porque
utiliza símbolos arábicos para representar os dez
algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base
suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
• Base é a quantidade de símbolos disponíveis para
representar os diferentes dígitos do sistema.
Sistema numérico - decimal
• A representação de qualquer número na base
decimal é posicional; isto é cada dígito assume um
valor ponderado à posição que ocupa.
Ex: 638 = 6 x 102 + 3 x 101 + 8 x 100
• O valor que cada dígito assume na notação
posicional é igual ao seu valor absoluto
multiplicado pela base elevada à posição relativa
do dígito – 1.
Sistema numérico – representação numérica
• Exemplo de sistema numérico não ponderado:
Sistema Romano
Algarismos romanos:
I, V, X, L, C, D,
M
1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000
Exemplos de números romanos;
MCMLXXXIX, MCMXCIX, MM, MMI
Sistema numérico – representação de bases
• Outras bases ponderadas utilizando os
mesmos símbolos arábicos:
Exemplos:
• Base 3:
0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…
Sistema numérico – representação de bases
• Outras bases ponderadas utilizando os
mesmos símbolos arábicos:
Exemplos:
• Base 3:
0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 5?
– Base 5:
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,.
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 5?
– Base 5:
0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,
0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15…
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 8?
– Base 8:
0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….
Sistema numérico – representação de bases
• Exemplos outras bases (cont):
• É possível representar na base 8?
– Base 8:
0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,28
Sistema numérico – binária
• Exemplos outras bases (cont):
• Base 2:
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...
Sistema numérico –binária
• Representação na base binária
• 0,1
– Base 2:
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8,
9,
10,
11, ...
Sistema numérico – hexadecimal
• Representação na base hexadecimal
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Base 16:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…
Sistema numérico – hexadecimal
• Representação na base hexadecimal
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Base 16:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…
Sistema numérico – Conclusão
• Propriedades dos sistemas numéricos posicionais:
• O número de dígitos usados em qualquer sistema é
sempre igual `a base
• O maior dígito é igual ao valor da base menos 1
• O valor que cada dígito assume na notação
posicional é igual ao seu valor absoluto
multiplicado pela base elevada à posição relativa
do dígito menos 1
• O número que corresponde à base é sempre igual a
10 (um-zero)
Sistema numérico – representação
• Assim um número inteiro qualquer N de uma dada
base b representado por sua notação posicional:
Nb = (AnAn-1… A2A1A0) b ,
pode ser expresso em termos quantitativos por:
Nb = An.bn + An-1.bn-1 + …… + A2.b2 + A1.b1 +
A0.b0
(expressão da expansão da notação posicional )
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
3)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810
Sistema numérico – representação
•
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610
43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810
430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510
210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710
10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010
ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810
ABG16 = não é possível a representação na base 16.
“G” não faz parte da representação em hexadecimal
(base 16)
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
•
Soma:
•
Subtração:
111
987610
967810
+675410
- 378910
1663010
588910
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
•
Soma:
•
Subtração:
111
987610
18
966810
+675410
- 378910
1663010
588910
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
•
Soma:
•
Subtração:
111
987610
16
956810
+675410
- 378910
1663010
588910
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
•
Soma:
•
Subtração:
111
987610
15
856810
+675410
- 378910
1663010
588910
Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)
•
Soma:
•
Subtração:
111
987610
856810
+675410
- 378910
1663010
588910
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
•
Soma:
•
Subtração:
1
11102
10002
+ 11012
- 1112
110112
12
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
•
Soma:
•
Subtração:
1
11102
10
00002
+ 11012
- 1112
110112
12
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
•
Soma:
•
Subtração:
1
11102
10
01002
+ 11012
- 1112
110112
12
Sistema numérico – Soma e subtração (base 2)
•
Soma:
•
Subtração:
1
11102
10
01102
+ 11012
- 1112
110112
00012
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
•
Soma:
•
Subtração:
1
acd016
+ 123416
bf0416
a00016
-
fff16
900116
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
•
Soma:
•
Subtração:
1
acd016
+ 123416
bf0416
10
900016
-
fff16
900116
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
•
Soma:
•
Subtração:
1
acd016
10
9f0016
+ 123416
- fff16
bf0416
900116
Sistema numérico – Soma e subtração (base 16)
•
Soma:
•
Subtração:
1
acd016
10
9ff016
+ 123416
- fff16
bf0416
900116
Sistema numérico – Conversão de base
• Divisões sucessivas
Ns
B0
r
N1
B1
N = Número na base 10
r
N2
Nm-1 r
Bm-1 Nm
Bm
r = Base de origem
B = Base de destino
r
0
Sistema numérico – base 10  base 2
• Divisões sucessivas: 6910 = 10001012
69
1
2
34
0
2
17
1
2
8
0
2
4
0
2
2
0
2
1
1
2
0
Sistema numérico – base 10  base 16
• Divisões sucessivas: 17110 = AB16
171 16
B
10
A
16
0
Sistema numérico – conversão de base
•
Assim um número inteiro qualquer N de uma
dada base b representado por sua notação
posicional na base 10:
–
Onde:
•
•
•
N = Número de uma base b qualquer.
b = Base em que o número está representado.
D = Digito do número.
Nb = Dn.bn + Dn-1.bn-1 + …… + D2.b2 + D1.b1 + D0.b0
Sistema numérico – base 2  base 10
•Conversão: 10001012 = 6910
1 2  1 2  1 2  69
6
2
0
Sistema numérico – base 16  base 10
• Conversão: AB16 = 17110
A 16  B 16  171
1
0
1016  1116  171
1
0
Sistema numérico – base 2  base 16
•
Requer 16 dígitos diferentes:
–
•
0 a 9, A a F
Cada dígito hexadecimal representa 4 bits
de número representado em binário
–
4 bits: 016 a F16
Sistema numérico – base 2  base 16
Dígito hexadecimal
Valor decimal
Valor binário
0
0
0000
1
1
0001
2
2
0010
3
3
0011
4
4
0100
5
5
0101
6
6
0110
7
7
0111
8
8
1000
9
9
1001
A
10
1010
B
11
1011
C
12
1100
D
13
1101
E
14
1110
F
15
1111
Sistema numérico – Exercício
Faça as operações aritméticas abaixo:
1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (XXXX) 16
2. (AABCC)16 + (1234)16 = (XXXX) 16
3. (AA00)16 - (DEF)16
= (XXXXX) 16
4. (7D7)16 - (11101101)2 = (XXXX) 10
5. (400)16 - (768)10 = (XXXXX) 2
Sistema numérico – Exercício
Faça as operações aritméticas abaixo:
1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (19E6B5) 16
2. (AABCC)16 + (1234)16 = (ABE00) 16
3. (AA00)16 - (DEF)16
= (9C11) 16
4. (7D7)16 - (11101101)2 = (7D7)-(ED)=(6EA) 16
=(1536+224+10) 10 = (1770) 10
5. (400)16 - (768)10 = (1024)-(768)=(256)= (100000000) 2
Referência
• Notas de Aula do Prof Marcelo Zamith
• Notas de Aula do Prof André Renato