&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6pULHV GH PyGXORV
x
Para uma dada uma série
cujos termos são números reais
(de VLQDOQmRQHFHVVDULDPHQWHFRQVWDQWH), por vezes interessa
estudar a VpULHGRVPyGXORV
x
que lhe está associada.
Por exemplo a série,
tem como VpULHGRVPyGXORV,
e como,
podemos concluir por FRPSDUDomRWHUPRDWHUPR com a VpULHKDUPyQLFDGH
RUGHP que a VpULHGRVPyGXORVpFRQYHUJHQWH.
x
Por exemplo a série,
tem como VpULHGRVPyGXORV,
que é a VpULHKDUPyQLFDGHRUGHPò e portanto GLYHUJHQWH.
x
Existirá uma relação?
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
3URSRVLomR
x
Seja
6HDVpULHGRVPyGXORVIRUFRQYHUJHQWHHQWmR
D VpULHRULJLQDOWDPEpPpFRQYHUJHQWH a VpULHGRVPyGXORV que assumimos ser FRQYHUJHQWH.
0RVWUHPRV que a VpULHGDGD
é WDPEpPFRQYHUJHQWH.
x
Comecemos por verificar que, para todo o Q~PHURUHDO D,
x
então, também para WRGRVRVWHUPRV da série dada,
x
donde, somando _DQ_ obtemos,
x
Mas se a série dos módulos é convergente, também é FRQYHUJHQWH o seu
SURGXWR por ,
x
e pelo FULWpULRGHFRPSDUDomRWHUPRDWHUPR, também é convergente a
série,
x
Deste modo, podemos reescrever a VpULHGDGD como a VRPDGHGXDV
VpULHVFRQYHUJHQWHV,
x
pelo que a VpULHGDGD é também FRQYHUJHQWH.
_D_≤ D ≤ _D_
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
6 _DQ_ FRQYHUJHQWHw 6 DQ FRQYHUJHQWH
Portanto:
e por consequência:
x
6 DQ GLYHUJHQWHw 6 _DQ_ GLYHUJHQWH
Como por exemplo,
convergente
x
convergente
ou então,
divergente
x
⇒
⇒
divergente
Contudo, tal como veremos,
apesar da série harmónica básica ser divergente.
Å
&RQYHUJrQFLD VLPSOHV H DEVROXWD
x
Uma série numérica chama-se DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH quando a série dos
seus módulos for convergente.
Quando for convergente, mas a série dos módulos for divergente, chama-se
VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH ou FRQYHUJHQWH.
x
x
Portanto:
FRQYHUJrQFLDDEVROXWDw FRQYHUJrQFLDVLPSOHV
Note que, se numa série FRQYHUJHQWH os termos forem WRGRVSRVLWLYRV a série
é também DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GH &DXFK\ RX &ULWpULR GD 5DL]
x
1RWHTXH/ QXQFDSRGHVHUQHJDWLYRHTXHQDGDVHDILUPDSDUD/
x
Por exemplo, para a série
x
Aplicando o FULWpULRGH&DXFK\,
x
calculámos / , donde podemos concluir que a série é DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Estudemos a série,
x
que tem forma geral,
x
Aplicando o FULWpULRGH&DXFK\,
x
/ ò < pelo que podemos concluir que a série é DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH.
Consideremos agora a série,
x
x
ou seja,
Apesar dos termos serem WRGRV SRVLWLYRV, o FULWpULRGH&DXFK\ é aqui
bastante útil.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Calculemos /,
x
como/ H< a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
x
Convém não esquecer a definição do Q~PHURGH1HSHU,
x
No caso da série,
x
x
é simples verificar que /
> pelo que é GLYHUJHQWH.
Note que o critério de Cauchy QDGDJDUDQWH para o caso de / .
x
Por exemplo, para as duas séries harmónicas,
x
calculando os dois limites,
x
em ambos os casos / , sendo XPDGLYHUJHQWH e a RXWUDFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Tentemos aplicar o FULWpULRGH&DXFK\ à série,
x
Calculemos o limite,
x
Neste caso, / e o critério de Cauchy QDGDQRVSHUPLWHFRQFOXLU.
x
Tentemos uma abordagem mais simples: será que a VXFHVVmRGRVWHUPRV
WHQGHSDUD]HUR"
x
A sucessão dos termos tem claramente GXDVVXEVXFHVV}HV: a dos termos
de ordem par (positivos) e a dos termos de ordem ímpar (negativos).
Analisemos os OLPLWHV das duas sub-sucessões,
x
Então, a sucessão dos termos tem duas sub-sucessõescom OLPLWHV
GLIHUHQWHV, pelo que D VXFHVVmRGRVWHUPRVQmRWHPOLPLWH.
x
Sendo FRQGLomRQHFHVViULD para a convergência de uma série que
a sucessão dos seus termos tenda para zero, podemos concluir que
D VpULHpGLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GH G¶$OHPEHUW RX &ULWpULR GR 4XRFLHQWH
x
1RWHTXH/ QXQFDSRGHVHUQHJDWLYRHTXHQDGDVHDILUPDSDUD/
x
Recordemos uma VpULHJHRPpWULFD, como por exemplo a de razão U
±ò,
ò<
x
Aplicando o FULWpULRGHG¶$OHPEHUW, é simples verificar que /
pelo que a série é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
x
O mesmo se passa com todas a VpULHVJHRPpWULFDV de UD]mR U, onde o
limite do critério de d’Alembert tem o valor/
Assim, sempre que /
x
_ U _.
_ U _ < , a série geométrica é DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH e será GLYHUJHQWH quando / _ U _ > .
Tal como no estudo das séries geométricas, o valor de /
ser tratado como um FDVRSDUWLFXODU.
_U_
tem de
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Estudemos a série,
x
x
x
> , pelo que a série
... o que não é novidade, pois a VXFHVVmRGRVWHUPRV é FUHVFHQWH.
Por outro lado, para a série,
x
x
O limite do FULWpULRGHG¶$OHPEHUW tem o valor/
é GLYHUJHQWH.
o limite tem o valor/
½ <, pelo que é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
Analisemos agora a série,
x
x
Bem depressa descobrimos que uma aplicação directa do critério de
d’Alembert não é conveniente ...
Contudo, tratando-se uma série de WHUPRVSRVLWLYRV, podemos WHQWDU
FRPSDUiOD com outra série mais simples.
Por exemplo, verificamos que para todo o Q ≥ ,
x
x
e efectivamente já provámos que a série
é absolutamente convergente.
Portanto, pelo FULWpULRGHFRPSDUDomR a série dada é também convergente
e, sendo os seus termos todos positivos, é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Vejamos agora a série,
x
x
Também neste caso, uma aplicação directa do critério de d’Alembert é
demasiado complicada.
A VLPSOLILFDomR mais óbvia consiste em notar que,
x
Então, vale a pena tentar averiguar se será GLYHUJHQWH a série,
x
Calculemos o limite do FULWpULRGHG¶$OHPEHUW,
x
E efectivamente / H> , pelo que a série auxiliar é GLYHUJHQWH.
Assim, pelo FULWpULRGHFRPSDUDomR, podemos concluir que a série dada é
também GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Retomando a série,
x
x
x
Verificamos que, também para o critério de d’Alembert, obtemos o PHVPR
YDORUde / > .
Este facto é consequência directa da seguinte propriedade dos limites de
sucessões:
3URSULHGDGH
Seja XQ uma VXFHVVmRGHWHUPRVSRVLWLYRV.
6H
HQWmR
x
E também o critério de d’Alembert QDGDJDUDQWH para o caso de / .
x
Por exemplo, para as duas séries harmónicas,
x
calculando os dois limites,
x
em ambos os casos / , sendo XPDGLYHUJHQWH e a RXWUDFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6pULHV DOWHUQDGDV
x
Nas VpULHVDOWHUQDGDV os termos são DOWHUQDGDPHQWHSRVLWLYRVHQHJDWLYRV,
ou seja,
DQ
Q ]Q
onde
ou
x
]Q > ∀ Q∈´
]Q < ∀ Q∈´
Por exemplo,
é a nossa conhecida VpULHDOWHUQDGD,
que também podemos escrever na forma,
x
Também é uma VpULHDOWHUQDGD,
já que o resultado da função exponencial tem VHPSUHRPHVPRVLQDO (positivo
para qualquer argumento).
x
Contudo,
QmRpXPDVpULHDOWHUQDGD pois, por exemplo, FRV> e FRV< .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
&ULWpULR GH /HLEQL]
x
x
Estudemos a série,
para todo o Q ∈
x
Trata-se de uma VpULHDOWHUQDGD, pois
x
Comecemos por averiguar a SRVVLELOLGDGHGHVHUDEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH, pois nesse caso o problema estaria resolvido.
´
Para isso, analisemos a VpULHGRVPyGXORV,
x
Tomando como referência a VpULHKDUPyQLFDEiVLFD,
:
Verificamos que o FULWpULRGHFRPSDUDomR nada permite concluir.
x
Mas o FULWpULRGHFRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH revela que têm
ambas a mesma natureza, ou seja, que a VpULHGRVPyGXORVpGLYHUJHQWH.
Contudo, o facto da série dos módulos ser divergente QDGDSHUPLWH
FRQFOXLU sobre a natureza da série dada.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Vejamos se podemos utilizar o FULWpULRGH/HLEQL].
Efectivamente,
SRVLWLYRV.
é uma VXFHVVmRGHQ~PHURVUHDLV
x
que é PRQyWRQDGHFUHVFHQWH pois, para todo o Q ∈
x
E também que essa sucessão WHQGHSDUD]HUR,
x
x
´,
Estão assim satisfeitas todas as condições doFULWpULRGH/HLEQL], pelo que
podemos concluir que D VpULHGDGDpFRQYHUJHQWH.
Na verdade, sabe-se que,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
x
(P WHUPRVJUiILFRV, observemos o comportamento desta série,
Os termos são alternadamente positivos e negativos, mas formando uma
sucessão que WHQGHSDUD]HUR.
e naturalmente, a sucessão dos módulos dos termos também tende para
zero.
Temos assim a VXFHVVmRGHWHUPRVSRVLWLYRV,
que é PRQyWRQDGHFUHVFHQWH e WHQGHSDUD]HUR.
x
Podemos então concluir peloFULWpULRGH/HLEQL] que D VpULHGDGDp
FRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Observando o comportamento das primeiras VRPDVSDUFLDLV da série,
x
verificamos que FRQYHUJHPDOWHUQDGDPHQWH, para um valor que se sabe
ser igual a
x
π ±.
Estudemos a série,
x
Trata-se de uma VpULHDOWHUQDGD, pois
x
Comecemos por tentar a abordagem mais simples:
para todo o Q ∈
´
Será que a VXFHVVmRGRVWHUPRVWHQGHSDUD]HUR?
Os termos formam GXDVVXEVXFHVV}HV,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Mas as duas sub-sucessões têm OLPLWHVGLIHUHQWHV.
x
E como é FRQGLomRQHFHVViULD para que a série seja convergente que esse
limite exista e seja igual a zero, D VpULHGDGDWHPGHVHUGLYHUJHQWH.
x
$QWHV de tentar aplicar qualquer um dos critérios de convergência, convém
sempre verificar a FRQGLomRQHFHVViULDGHFRQYHUJrQFLDPDLVVLPSOHV.
x
Para este exemplo, foi fácil detectar a QmR H[LVWrQFLDGROLPLWH da sucessão
dos termos da série.
Então, QmR H[LVWHROLPLWH,
Em termos gráficos,
podemos observar as duas sub-sucessões, cujos limites são e ± .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Estudemos a série,
x
x
Trata-se de uma VpULHDOWHUQDGD, pois
para todo o Q ≥ .
Começamos por verificar que a sucessão dos termos é formada por duas
sub-sucessões, ambas de limite igual a zero.
Portanto, a VXFHVVmRGRVWHUPRVWHPOLPLWH]HUR e concluímos que D VpULH
SRGHVHUFRQYHUJHQWH.
x
x
Em seguida, vamos averiguar se será ou não absolutamente convergente,
estudando a VpULHGRVPyGXORV,
Para isso, podemos usar qualquer um dos três critérios para séries de
termos positivos.
Por exemplo, pelo FULWpULRGHFRPSDUDomRSRUSDVVDJHPDROLPLWH,
utilizando como referência a VpULHKDUPyQLFDEiVLFD,
donde concluímos que D VpULHGRVPyGXORVpGLYHUJHQWH.
x
x
Portanto, a série dada QmR pDEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH, mas ainda pode
ser simplesmente convergente ou divergente.
Vejamos se podemos aplicar o critério de Leibniz.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
A série dada tem a forma,
x
Já verificámos que é uma VpULHDOWHUQDGD, pois
x
É necessário agora estudar o comportamento da VXFHVVmR
x
Para verificar VHVHUiPRQyWRQDGHFUHVFHQWH, podemos utilizar a função
auxiliar,
para Q ≥ .
que tem derivada,
Ora para que seja I¶[≤
x
, é preciso que ±OQ[≤ OQ[≥ Ou seja, a função auxiliar só é monótona decrescente para [
t H.
Mas, como o comportamento da série QmR GHSHQGHGRVVHXVSULPHLURV
WHUPRV (neste caso apenas um termo), podemos considerar a VXFHVVmR,
que é PRQyWRQDGHFUHVFHQWH.
É também simples verificar que esta sucessão tem OLPLWHLJXDOD]HUR.
x
Estando finalmente provadas todas a condições do FULWpULRGH/HLEQL],
podemos concluir que a VpULHGDGDpFRQYHUJHQWH.
E como verificámos que a série dos módulos é divergente, podemos ainda
acrescentar que é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Observemos o comportamento dos SULPHLURVWHUPRVGDVXFHVVmR,
que efectivamente só é monótona decrescente a partir de Q .
x
E também as SULPHLUDVVRPDVSDUFLDLV da série dada,
x
A VpULHGRVPyGXORV é contudo divergente,
x
Determine a expressão de uma IXQomR I[ que tenha o mesmo
comportamento assimptótico que série dos módulos.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
$V VpULHV KDUPyQLFDV DOWHUQDGDV
x
Comecemos por analisar a VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGDEiVLFD,
x
Trata-se efectivamente de uma VpULHDOWHUQDGD, pois Q>
x
A aplicação do FULWpULRGH/HLEQL] é simples, pois Qé uma VXFHVVmR
PRQyWRQDGHFUHVFHQWH de OLPLWH]HUR.
x
para Q ≥ .
Portanto a série harmónica alternada básica é FRQYHUJHQWH.
Além disso, como bem sabemos, a sua série dos módulos é divergente.
Podemos então acrescentar que a série harmónica alternada básica é
VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH.
x
Como depois veremos, prova-se ainda que,
x
donde podemos calcular,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Observemos o comportamento das SULPHLUDVVRPDVSDUFLDLV da VpULH
KDUPyQLFDDOWHUQDGDEiVLFD e a sua FRQYHUJrQFLD para ± OQ.
x
Passemos ao caso geral da VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGDGHRUGHPS.
Para todo o
S  ¹ existe uma
VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGD com a forma,
cuja QDWXUH]D depende do valor de S.
x
Trata-se efectivamente de uma VpULHDOWHUQDGD, pois
x
Já conhecemos a respectiva VpULHGRVPyGXORV,
para Q ≥ .
que é FRQYHUJHQWH se S ! e GLYHUJHQWH se S d .
x
Portanto, para S ! a série harmónica alternada de ordem S é
DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo para S , Leonhard Euler provou que,
donde,
sendo a FRQYHUJrQFLDDEVROXWD (e muito rápida),
x
Para S
temos a série,
que sabemos ser GLYHUJHQWH.
x
Para S como QmRH[LVWHROLPLWH,
a série harmónica alternada é GLYHUJHQWH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Por exemplo, para S ± a VXFHVVmRGRVWHUPRV é formada por duas
sub-sucessões que são ambas divergentes.
Resta assim analisar os casos em que
S d .
x
Vejamos se podemos aplicar o FULWpULRGH/HLEQL].
x
A série dada tem a forma,
x
Sendo
x
uma VXFHVVmRGHQ~PHURVSRVLWLYRV para Q ≥ ,
analisemos o seu comportamento.
Para verificar se será monótona decrescente, utilizemos a função auxiliar,
que derivamos,
e donde concluímos que
I¶[< , para todo o [ ∈ [ˆ[
e todo o S ∈ ]].
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Assim mostrámos que a função auxiliar é monótona decrescente
e portanto também que a VXFHVVmR
para S d .
é PRQyWRQDGHFUHVFHQWH
x
Facilmente verificamos também que esta sucessão tem OLPLWHLJXDOD]HUR.
x
Estando reunidas todas a condições para a aplicação do FULWpULRGH/HLEQL],
podemos concluir que a VpULHGDGDpFRQYHUJHQWH.
E como sabemos que a série dos módulos é divergente, podemos ainda
acrescentar que é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH.
x
Observemos por exemplo para S ò , o comportamento
dos SULPHLURVWHUPRVGDVXFHVVmR dos módulos,
e das SULPHLUDVVRPDVSDUFLDLVGDVpULH,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Em conclusão, a VpULHKDUPyQLFDDOWHUQDGDGHRUGHPS,
é GLYHUJHQWH
se
é VLPSOHVPHQWHFRQYHUJHQWH
se
é DEVROXWDPHQWHFRQYHUJHQWH
se
S≤
<S≤
S>
E juntando,
FRQYHUJHQWH
GLYHUJHQWH
VLPSOHVPHQWH
GLYHUJHQWH
FRQYHUJHQWH
DEVROXWDPHQWH
FRQYHUJHQWH
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
([HUFtFLRV VREUH VpULHV QXPpULFDV
x
x
x
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
x
x
x
x
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6pULHV1XPpULFDV
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&iOFXOR,,5RViOLD5RGULJXHV