Trabalho realizado pelos alunos:
-Francisco Guimarães
-Inês Alvarenga
-Francisco Bessa de Carvalho
-Leonor Barroso
-Simão Lucas Pires
-Sofia Leite
-Jorge Real
-Natacha Soares
-Pedro Salgado Lucena
Revisto por José Veiga de Faria
„Je vous lance le soleil‟
Jean Dieudonné
1
Índice
π Índice
π Introdução………………………………………………pág. 3
π Métodos de partilha de caso contínuo
π Método do último a diminuir………….pág. 5
π Método do divisor único…………………pág. 8
π Método do seleccionador único…....pág. 10
π Método de Selfridge e Conway….….pág. 12
π Método „two knifes cut‟………………...pág. 20
2
Introdução
Métodos
de partilha
equilibrada
de caso
contínuo
Métodos
não
livres de
inveja
Método de
Método
seleccionador
do
único
último a
diminuir
Métodos
livres de
inveja
Método
de
divisor
único
Método
de
Selfridge
e
Conway
Método
„two
knives
cut‟
3
Esta publicação fala-nos dos
métodos de partilha equilibrada: caso
contínuo. Os diversos métodos foram
elaborados por todos os elementos da
turma e, por sua vez, publicados neste
bloco.
Julius Barbanel
Seguidamente, cada método será devidamente
explicado.
Nessa
altura
perceberemos
quais
as
características de cada método e quais as condições a que
têm de obedecer e os respectivos passos para chegar a
uma resolução do problema de forma equilibrada.
Vamos então tentar esclarecer algumas condições a
que satisfazem os 3 tipos de partilha equilibrada e que
apresentamos por ordem crescente de exigência:
π Partilha Justa – Cada pessoa fica satisfeita com a
parte que lhe cabe.
π Partilha proporcional – Cada uma das N pessoas fica
com sensação de ter obtido 1/N do total.
π Partilha Livre de Inveja – Cada pessoa fica com a
sensação de ter ficado com a “maior parte”, isto é, com
uma parte maior ou igual às dos restantes.
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Método do Último
a diminuir
Stefan Banach: (1892-1945)
Matemático polaco nascido em Cracóvia, no império
Austro-Húngaro, ficando hoje na Polónia. É um dos
fundadores da análise funcional moderna. É considerado o
fundador da escola polonesa de matemática e ficou mais
popularmente conhecido pelo enunciado do Paradoxo de
Banach-Tarski). Têm o seu nome os Espaços de Banach
familiares a quem trabalha em Análise Funcional.
Criou o método do Último a Diminuir.
Era conhecida a sua amizade com Hugo Steinhaus de
quem vamos falar mais à frente.
Morreu em 1945 na Ucrânia.
Método Do Último A Diminuir.
Neste método todos os participantes ou jogadores são
simultaneamente divisores e selectores.
Consideremos o caso de quatro jogadores.
Antes de efectuar a divisão ordenam-se
aleatoriamente os quatros jogadores (p1, p2, p3 e p4).
Esta ordem mantém-se até ao final da divisão, que se
efectua do seguinte modo:
1º Passo: O jogador p1 escolhe uma parte de S que pensa
corresponder a ¼ de S.
5
2º Passo: De seguida o jogador p2 pode:
A. Concordar com a divisão feita por p1 e passar a sua
vez ao jogador p3;
B. Discordar com a divisão e diminuir a porção escolhida
por p1, de modo a esta porção corresponder a ¼ de S,
segundo o seu sistema de valores.
3º Passo: Os jogadores p3 e p4, de acordo com a parcela
que está agora em jogo, irão proceder do mesmo modo que
p2.
4º Passo: Depois de todos os jogadores terem actuado
sobre a parcela, esta é atribuída ao último jogador que
optar por diminuí-la, saindo assim do jogo. Este jogador
será p1 se nenhum dos restantes a considerar injusta
(diminuindo-a)
5º Passo: O processo repete-se novamente (com menos
um jogador) uma e outra vez até ficarem apenas 2
jogadores. Nesta situação, os dois jogadores finais podem
seguir este mesmo processo ou optar por usar o método do
divisor-selector, isto é, um divide e o outro escolhe.
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Conclusão:
Cada jogador fica com o que considera ser 1/n do total:
a partilha satisfaz a condição de equilíbrio
proporcional.
Os jogadores que saem de jogo, já com a sua fatia
escolhida (reduzida), podem sentir-se prejudicados quando
o/os jogador/es por ordem de jogada escolhem uma fatia já
reduzida pois podem considerar que essa fatia não
corresponde a ¼ do todo mas a um valor que do seu ponto
de vista é superior. Assim, por exemplo, quando o jogador
p3 reduz a sua fatia, por exemplo na terceira volta,
(ficando com ela), o p1 e o p2, que saíram nas voltas
anteriores, podem considerar que essa fatia corresponde
para eles a mais de ¼ do todo.
Assim este método não é livre de inveja: os primeiros
jogadores a sair podem vir a invejar algum dos
restantes.
(Este trabalho, que visa a explicação das características do
método do último a diminuir, foi realizado pela aluna Natacha
Soares, Nº1635.)
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Divisor Único
Hugo Steinhaus (1887-1972) formou-se em
matemática e tornou-se num dos mais importantes
matemáticos do mundo. Nasceu na Polónia e interessou-se
na realização de métodos de partilha equilibrada. Criou dois
métodos, entre outros, caracterizados por uma partilha não
livre de inveja:
π Divisor Único
π Seleccionador Único
Vamos, numa primeira fase, dar uma vista de olhos
sobre o método do Divisor Único.
Margarida, João e José querem dividir um bolo em três
partes e optaram pelo uso do método da Partilha
Equilibrada: Divisor Único.
1º Passo: Escolhe-se o divisor – Margarida e esta divide
o bolo em três partes que considera iguais.
2º Passo: João escolhe uma parte do bolo e José
escolhe de seguida; caso João escolha uma parte
diferente da de José, o problema fica resolvido. A
Margarida fica com a parte que restar pois foi ela que
dividiu o bolo e pelo o ponto de vista dela todas as
partes correspondem exactamente a 1/3 de bolo.
Caso João e José escolham ambos a mesma parte o
problema segue outro caminho:
a Margarida fica com uma das outras partes e eles dividem
entre eles as duas restantes pelo método de um divide e o
outro escolhe.
8
No entanto, como podemos verificar o método não é livre
de inveja, isto é um dos participantes nesta divisão sentese inferiorizado perante os outros. Neste caso é a
Margarida, como vamos ter o prazer de explicar já de
seguida.
Quando João volta a dividir as ultimas duas partes
Margarida pode achar que uma das partes não corresponde
a 1/3 das do todo ,mas sim a mais do que um terço.
Acrescentado ainda que a Margarida nessa fase da
resolução do problema não se pode manifestar e dizer o
que se encontra mal aos olhos dela.
Esquematizando o procedimento final (após a escolha da
Margarida):
1º Passo: Escolhe-se um divisor para voltar a dividir as
ultimas duas partes, por exemplo João.
2º Passo: João volta dividir as duas partes restantes e
divide-as em duas partes que considera idênticas. É
aqui que a Margarida pode achar que uma delas é
superior à sua.
3º Passo: Finalmente o José escolhe.
Podemos, portanto, confirmar que de facto Margarida
não teve poder para falar e dizer que a partilha não foi bem
feita, ficando o João com a maior parte.
Por conseguinte, o método não é livre de inveja.
(Este trabalho, realizado pela aluna Inês Alvarenga, Nº
1001, tem como objectivo a explicação do método do divisor
único.)
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Método de
seleccionador único
Gilda, Josefa e Edviges decidem dividir um bolo em três
partes e optam por um dos métodos de partilha equilibrada:
o método de seleccionador único.
1. Passo: Através do sorteio escolhem-se dois
divisores – Gilda e Josefa – e Gilda divide o bolo
em duas partes que considera iguais escolhendo
Josefa uma das duas que do seu ponto de vista é
maior ou igual à outra.
2. Passo: Josefa divide a sua parte em três terços
que considera iguais. O mesmo é feito por Gilda.
3. Passo: Edviges escolhe do bolo todo as partes G1
e J2 que considera as maiores partes.
4. Passo: Gilda fica com G2 e G3.
5. Passo: Josefa fica J1 e J3.
Vamos agora mostrar que este método satisfaz o critério
de proporcionalidade, isto, é que cada interveniente fica
com uma parte do bolo que do seu ponto de vista é um
terço do total. Designemos o bolo por B e por B1 e B2 as
duas partes em que foi inicialmente dividido. Josefa ficou
com B2.
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Vejamos o caso de Edviges:
Ele fica com pelo menos um terço das duas partes em
que o bolo foi dividido logo com pelo menos um terço do
total: G1>=B1 / 3 e J2>=B2 / 3 implica G1 + J2 >= B1 / 3 +
B2 / 3 = B / 3.
Agora Gilda: para ela B1 = B / 2 e G2 = G3 = B1 / 3; então:
G2 + G3 = 2 G2 = 2 B1 / 3 = B / 3.
E Josefa : para ela B2 >= B / 2 e J1 = J3 = B2 / 3; então:
J1 + J3 = 2 J1 = 2 B2 / 3 >= B / 3.
Vamos agora verificar se este método é livre de inveja.
Esta condição consiste no seguinte: cada um dos
intervenientes ficar com a sensação de que a parte do
bolo com que ficou é maior ou igual à dos outros.
Este método não satisfaz a condição de ser livre de inveja.
Isto prende-se com a escolha de Edviges: Josefa pode
considerar que G1 é mais de um terço da metade dividida
por Gilda e esta pode achar que J2 é mais de um terço da
metade dividida por Josefa.
I
( Esta parte do trabalho foi realizada por Pedro Miguel Salgado
de Sousa Lucena, nº 193, 11ºD )
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Método de John
Selfridge e John
Conway
John Horton Conway nasceu em Liverpool a 26 de
Dezembro de 1937. Estudou em Cambridge. Foi eleito
membro da Royal Society em 1981. Actualmente é
Professor na Universidade de Princeton.
Para além do método de partilha livre de inveja
conseguido com John Selfridge, formulou várias teorias
matemáticas e publicou alguns livros, como Atlas dos
Grupos Finitos, Sobre Números e Jogos ou Modos de
vencer.
É o criador de muitos jogos matemáticos e admite
mesmo que nos tempos de faculdade passava mais tempo
a jogar do que a estudar, o que o fazia sentir-se culpado
até descobrir que estes jogos são uma forma de
matemática: «You get surreal numbers by playing games. I
used to feel guilty in Cambridge that I spent all day playing
games, while I was supposed to be doing mathematics.
Then, when I discovered surreal numbers, I realized that
playing games IS mathematics.»
John Selfridge era, para além de matemático,
arquitecto. Fez estudos interessantes sobre vários assuntos
e, na década de 60, desenvolveu com o companheiro do
corpo docente da Universidade de Princeton um método de
partilha proporcional e livre de inveja.
Suponhamos que A, B e C querem dividir um bolo. É
estabelecida uma ordem aleatoriamente: A, B, C.
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Neste método contemplámos dois casos possíveis:
Primeiro caso:
1º Passo: A corta o bolo em três fatias iguais do seu ponto
de vista.
1
2
3
2º Passo: B, caso considere que todas as fatias cortadas
por A têm o mesmo valor, isto é, não havendo nenhuma de
valor superior às outras duas, não faz nada.
1
2
3
3º Passo: C escolhe a fatia que considera maior-2.
2
4º Passo: O próximo a escolher será o B, o qual pode
escolher, entre as duas fatias que restam, aquela que mais
lhe agrada. Suponhamos que escolhe 1.
1
13
5º Passo: Por fim, A fica com a terceira fatia-3.
Nesta situação não é necessário recorrer a uma segunda
etapa para se conseguir uma divisão livre de inveja.
Atentemos, agora, na seguinte situação:
Segundo caso:
Primeira etapa:
1º Passo: A corta o bolo em três fatias que acha iguais.
1
2
3
2º Passo: B, caso considere que há uma fatia maior do
que as outras duas, pode reduzi-la até ficar alinhada com a
segunda maior; desta forma garante que existem, pelo
menos, duas fatias iguais para si e melhores do que a
terceira. (alinha 3 com 2).
2
3
14
3º Passo: De seguida, põe as aparas de parte e passa as
três fatias a C, que deverá escolher uma delas-2.
2
4º Passo: O próximo a escolher será o B, o qual tem de
ficar com a fatia por si reduzida (3), já que esta não foi
escolhida por C. Caso C tivesse escolhido a fatia reduzida, B
poderia escolher qualquer outra.
5º Passo: Por fim, A fica com a terceira fatia-1 (para ele,
igual às outras duas).
Segunda etapa:
Na segunda etapa dividem-se as aparas entre os três
jogadores.
A divisão das aparas é feita tendo em conta o jogador
que ficou com a fatia reduzida na primeira etapa (C ou B):
-Se foi B que ficou com a fatia, é C quem vai dividir as
aparas em três partes iguais. A selecção das aparas vai
ser feita pela ordem: B, A, C.
-Se foi C a ficar com a fatia reduzida, é B quem vai fazer
a divisão e a ordem de selecção será: C, A, B.
Chamemos-lhes então NR (o que não ficou com a fatia
reduzida) e RD (o que ficou com a fatia reduzida), para
contemplar os dois casos.
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1º Passo: NR divide as aparas em 3 partes que considera
iguais.
2º Passo: RD escolhe a parte que considera maior.
3º Passo: A é o segundo a escolher.
4º Passo: NR fica com a restante.
Ou seja, quem ficou com a fatia reduzida será o
primeiro a escolher entre as aparas. O que não ficou com a
fatia reduzida vai dividir as aparas em três e vai ser o
último a escolher. Isto entre B e C porque A nunca vai fazer
o papel de divisor nesta segunda etapa.
Conclusão
Porque é que se diz que o método é livre de inveja?
Demonstremos, então, que o método é livre de inveja,
ou seja, nenhum dos intervenientes tem motivos para
invejar o outro porque cada um ficará sempre com a
sensação que ficou com tanto ou mais que os outros.
A não inveja RD:
De facto, mesmo que RD ficasse com a totalidade das
aparas, do ponto de vista de A, ficariam com partes iguais.
Ora, acontece que RD fica com menos do que a totalidade
das aparas e A com mais do que a fatia inicial, ou seja, do
seu ponto de vista fica com mais do que RD.
A não inveja NR:
Como aquele que ficou a com a parte não reduzida
ficara com 1/3 do bolo inicial, do ponto de vista do A, antes
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da partilha das aparas, tinham partes iguais para A.
Escolhendo o A primeiro do que o NR na partilha das
aparas, escolherá sempre a parte que lhe parecer de maior
valor.
Portanto fica com a sensação de ter tanto ou mais do
que NR.
RD não inveja A:
Se RD for o C fica com a sensação de que a partilha foi
mais ou igualmente vantajosa para ele.
Isto acontece porque, inicialmente, ele tinha sido o
primeiro a escolher (na primeira fase) e na divisão das
aparas acontece o mesmo.
Se RD for o B, para ele a fatia que ele reduziu, e com
que fica neste caso, será maior ou igual às restantes e
portanto à de A. Como na divisão das aparas é o primeiro a
escolher, ficará com uma parte das aparas que acha maior
ou igual às restantes. Então, e do seu ponto de vista a
soma das parcelas com que fica são maiores ou iguais às
correspondentes de A.
RD não inveja NR:
Se RD for o C pensa que a parte reduzida é a maior
das três porque foi ele que a escolheu. Por outro lado,
ainda ganhará pelo menos 1/3 da parte que restou, pois é o
primeiro a escolher as aparas. Então, não inveja NR.
Se RD for o B e, consequentemente, NR for C, do
ponto de vista de RD, ele fica com uma parte igual ou
superior ao NR (na divisão inicial): ele teve oportunidade de
alinhar as duas que acha maiores quando reduziu e fica
com uma reduzida. Na divisão das aparas é ele o primeiro a
escolher, optando pela que lhe parecer maior. Assim fica
melhor ou tão bem como NR.
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NR não inveja A:
Se NR for B, então, na divisão inicial, ficou de certeza
com uma das maiores partes (que considera iguais porque
ele próprio as alinhou ou, se não alinhou, foi porque já as
considerava iguais). Ele escolherá primeiro do que o A (é o
segundo a escolher), garantindo que fica com uma parte
que, para ele, é não inferior à de A. Por outro lado, na
divisão das aparas, sendo ele a dividir, fá-lo-á em 3 partes
que considera iguais. Logo, a escolha do A é-lhe
indiferente.
Se NR for C, então, na divisão inicial, ficou com uma
parte que considera não inferior à do A porque, ao escolher
primeiro do que ele, terá a fatia que considera maior. Na
divisão das aparas, mais uma vez, NR é que divide a parte
restante do bolo em 3 partes que, para ele, são iguais.
Assim sendo, independentemente da fatia que A escolher,
visto que NR é o último a escolher, nunca o poderá invejar
porque para ele as 3 partes são iguais.
NR não inveja RD:
No caso de NR ser C e RD, consequentemente B,
também se constata que o método é livre de inveja. Isto
acontece porque, na primeira fase, NR é o primeiro a
escolher. Assim sendo, escolherá a fatia que lhe parecer
maior. Por outro lado, na divisão das aparas, também ficará
com uma parte que, do seu ponto de vista, será igual à do
RD porque é ele que corta o que restou do bolo em 3 partes
que considera iguais, não podendo por isso invejar qualquer
uma que RD escolha.
Se NR for B, foi ele que reduziu, deixando as duas
maiores partes, de acordo com o seu ponto de vista, iguais.
Tendo ele sido o segundo a escolher, ficou de certeza com
uma das duas que alinhou (se são as duas iguais, não
inveja C que escolhe primeiro do que ele, deixando
disponível para si uma das que considerou iguais).
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Relativamente à divisão da parte restante, é ele que corta
em 3 partes que também são iguais do seu ponto de vista.
Deste modo, qualquer uma lhe será indiferente, não
podendo invejar o RD independentemente da parte que ele
escolher.
(Trabalho realizado por Sofia Leite, nº496; Francisco
Guimarães, nº187 e Leonor Barroso, nº376)
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Método da Faca
Deslizante
Este é um método de partilha equilibrada de caso
contínuo que permite dividir um bolo por três pessoas sem
que nenhuma sinta inveja dos outros.
Pessoas: Aniceto (A), Barbanel (B), Constantino (C)
1º Passo: Escolhe-se um árbitro.
2º Passo: O árbitro desloca uma faca do extremo
esquerdo para a direita.
3º Passo: Aniceto grita quando considera que a faca feita
deslizar pelo árbitro atingiu um terço do bolo. E marca três
partes que considera iguais. A 1ª marca coincide com o
ponto onde a faca estava quando ele gritou.
[se dois intervenientes gritarem ao mesmo tempo, sorteiase de modo a escolher apenas um deles como válido]
4º Passo: Notamos que Barbanel e Constantino nunca
escolherão a parte 1 uma vez que, ao não terem gritado,
consideram-na menor do que um terço do bolo.
- Hipótese 1:
Barbanel escolhe a parte 2 ou a 3 e Constantino
escolhe a única que ainda não foi escolhida.
Neste caso, o problema fica resolvido.
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- Hipótese 2:
Barbanel e Constantino escolhem a mesma parte, 2 ou
3.
»» Vamos supor que ambos escolheram a parte 2.
Assim, a faca colocada entre as partes 2 e 3 do bolo é
feita deslizar pelo árbitro para a esquerda. Enquanto este
processo ocorre, Aniceto desloca a faca da esquerda para a
direita no sentido de garantir que as partes 1 e 3 tenham o
mesmo valor para ele em qualquer instante.
Barbanel ou Constantino (suponhamos que é
Barbanel) manda parar a faca da direita quando considera
que a parte 2 representa um terço do total e,
automaticamente, Aniceto tem também de parar a sua
faca.
Então:
- Constantino fica com a parte 2, visto que, ao não ter
mandado parar a faca, ele considera que a parte 2 ainda é
mais do que um terço do bolo.
- Barbanel pode optar entre a parte 1 e a parte 3, sendo
que para ele a soma destas duas partes equivale a dois
terços do bolo – logo, ou ambas correspondem a um terço
ou uma vale mais do que um terço, no seu ponto de vista.
- Aniceto ficará com a restante, já que, para ele qualquer
uma das fatias vale um terço do bolo. Se Barbanel escolher
1, ele ficará com a 3; se Barbanel escolher 3, ele ficará com
1.
»» Vamos supor que ambos escolheram a parte 3.
Assim, a faca colocada entre as partes 2 e 3 do bolo é
feita deslizar pelo árbitro para a direita. Enquanto ocorre
este processo, Aniceto desloca a faca da esquerda para a
21
direita a uma velocidade que, no seu ponto de vista,
garanta a equivalência em valor das partes 1 e 2.
Barbanel ou Constantino (suponhamos que é
Constantino) manda parar a faca da direita quando
considera que a parte 3 corresponde a um terço do total e,
automaticamente, Aniceto tem também de parar a sua
faca.
Então:
- Barbanel fica com a parte 3 visto que, ao não ter
mandado parar a faca, ele considera que a parte 3 ainda é
mais do que um terço do bolo.
- Constantino pode optar entre a parte 1 e a parte 2,
sendo que para ele a soma destas duas partes equivale a
dois terços do bolo – logo, ou ambas correspondem a um
terço ou uma vale mais do que um terço, no seu ponto de
vista.
- Aniceto ficará com a restante. Se Constantino escolher 1,
ele ficará com a 2; se Constantino escolher 2, ele ficará
com 1.
LIVRE DE INVEJA
O método da faca deslizante, internacionalmente
conhecido como „two knives cut‟, satisfaz a condição livre
de inveja.
Procedemos à explicação:
(no caso de Barbanel e Constantino terem ambos escolhido
a parte 2)
- Aniceto não inveja Barbanel porque considera as partes 1
e 3 (que são para ele maiores do que a parte 2, uma vez
que inicialmente todas as partes lhe eram iguais mas 2 foi
reduzido) iguais – tendo tido isso em conta aquando do
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deslizamento da faca para aumentar a parte 1*. Assim
tanto lhe faz ficar com a parte 1 ou a parte 3.
- Aniceto não inveja Constantino. Depois de gritar, Aniceto
dividiu o bolo em três partes que considera iguais. Dessas
três partes: 1 e 3 foram aumentadas de tal modo que para
Aniceto continuassem iguais, e 2 foi reduzida, valendo
desse modo menos do que um terço no ponto de vista de
Aniceto.
- Constantino não inveja nem Aniceto nem Barbanel porque
não gritou, o que é sinal de que para ele a parte 2
corresponde a uma fatia maior do que o um terço que ele
tem direito a exigir.
- Barbanel não inveja Aniceto nem Constantino. Ao gritar,
considerou que a parte 3 já equivalia a um terço do bolo.
Por outro lado, não há problema se o Aniceto tiver
aumentado (no seu ponto de vista) mais do que era
suposto, posto que o Barbanel tem a possibilidade de
escolher entre a parte 3 e essa parte 1 aumentada por
Aniceto.
*esse é um cenário possível numa ideia meramente
inteligível e teórica; num caso concreto seria muito difícil
para Aniceto fazer deslizar a faca a uma velocidade que
garantisse que a parte 1 e a parte 3 tivessem o mesmo
valor.
(Este trabalho, que assenta nas características do
método conhecido como ‘two knives cut’, foi realizado por Simão
Lucas Pires, Nº 916, Jorge Real, Nº 458 e Francisco Bessa de
Carvalho, Nº 1178.)
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