Conjuntos de Cantor
Pryscilla dos Santos Ferreira Silva1
Resumo
O infinito, por muito tempo, foi um grande obstáculo para os matemáticos. Afirmações como: “No infinito, o todo nem sempre é maior do que cada uma das suas
partes”, eram inimagináveis. Georg Cantor, foi um dos matemáticos responsáveis
pela quebra deste tabu. Dentre os temas que desenvolveu, um dos mais conhecidos pelos estudantes de Análise Real são os Conjuntos de Cantor, cujo o estudo
normalmente restringe-se ao Terço-Médio.
Além de estudar o Terço-Médio, neste artigo discutiremos outras duas formas
de construir o conjunto de Cantor, dentre elas, uma que utiliza funções da Famı́lia
Quadrática.
Palavras-chave: Conjuntos de Cantor, Terço-Médio, Famı́lia Quadrática.
Introdução
Considere um conjunto C, limitado e infinito da reta,que não contém intervalos,
mas que dado qualquer ponto de C, toda vizinhança deste ponto, tem a intersecção com
C diferente do vazio.
O que fizemos anteriormente foi esboçar o que mais adiante definiremos como
Conjunto de Cantor. A partir deste momento, o nosso foco é discutir como construir
conjuntos que tenham estas caracterı́sticas. Dentre estas construções, uma merece a nossa
atenção, é a que evolve Famı́lias Quadráticas, aplicando de forma inusitada alguns itens
vistos nos artigos anteriores, como por exemplo determinar as imagens inversas através
do gráfico da função.
1
Aluna do curso de Licenciatura em Matemática. Universidade Estadual de Feira de Santana. E-mail:
[email protected]. Este trabalho é fruto dos estudos desenvolvidos nas Orientações à Pesquisa III
e IV sob orientação do professor Cristhian Bugs e no Projeto II sob orientação da professora Fabı́ola
Pedreira.
1
1
1.1
Conjuntos Centrais de Cantor
Algumas Definições
Definição 1.1.1 Um conjunto S é totalmente desconexo se todos os componentes conexos
de S são pontos isolados. Em especial, na reta um subconjunto é totalmente desconexo se
não contém intervalos [8].
Exemplo 1.1.1 Qualquer subconjunto finito da reta é totalmente desconexo, pois não
contém intervalos.
Definição 1.1.2 Um conjunto S é perfeito se é fechado e cada um dos seus pontos é um
ponto de acumulação de S, isto é S 0 = S [8].
Exemplo 1.1.2 S = [0, 1] é um conjunto perfeito.
De fato, ∀ x0 ∈ S, com 0 < x0 < 1 tomando xi+1 =
x0 + xi
para i ≥ 1, e x1 =
2
0, temos
x2 =
x0 + x1
x0
(2 2−1 − 1)x0
=
=
2
2
2 2−1
x3 =
3x0
(2 3−1 − 1)x0
x0 + x2
=
=
2
4
2 3−1
x4 =
x0 + x3
9x0
(2 4−1 − 1)x0
=
=
2
8
2 4−1
..
.
xn =
x0 + xn−1
(2 n−1 − 1)x0
=
2
2 n−1
(2 n−1 − 1)x0
= x0 , deste modo, para cada ponto x0 ∈ S, determin→∞
2 n−1
Note que: lim
namos uma seqüência cujo o limite é x0 e assim S = S 0 .
Definição 1.1.3 Dizemos que um conjunto X é compacto, se ele é limitado e fechado [4].
2
1.2
Conjunto de Cantor
Um conjunto C é dito um conjunto de Cantor se for :
i compacto;
ii perfeito;
iii totalmente desconexo [7].
1.3
Construção do Conjunto α - Médio de Cantor
O objetivo desta construção é obtermos um conjunto com as caracterı́sticas forneci-
das na subseção anterior. Para compreendermos melhor a construção do Conjunto α Médio de Cantor, vamos proceder da seguinte forma: à medida que for enunciado um
item da construção, o leitor irá visualizar ao lado um exemplo, após a tabela será possı́vel
ver a representação geométrica do exemplo, bem como alguns comentários.
Construção
Exemplo
Seja 0 < α < 1 e β > 0 de modo que
Escolhendo α =
1
1
e β = , de fato
3
3
1
α + 2β = 1, sendo assim 0 < β < .
2
α + 2β = 1.
Considere S0 = I = [0, 1]. Tomando
Seja I = [0, 1]
G = (β, 1 − β), e S1 = I − G
= [0, β] ∪ [1 − β, 1], obtemos S1 = J0 ∪ J2 .
A escolha de G não é aleatória,
1 2
G = (β, 1 − β) = ( , )
3 3
h 1i h2 i
S1 = I − G → S1 = 0,
∪ , 1 .
| {z3 } | 3{z }
J0
J2
1
Como α = , neste exemplo vamos
3
é de modo que L(G) = α = αβ 0 (leia L(Y ),
construir o conjunto
como o comprimento do intervalo Y ). O que
Terço-Médio de Cantor.
justifica o nome Conjunto α−Médio de Cantor.
3
L(J0 ) = L(J2 ) =
1
= β.
3
Além disso, L(Jj ) = β, j ∈ {0, 2}.
Para a segunda etapa vamos proceder de
maneira análoga à primeira, isto é, vamos
retirar o α−médio de cada componente
Jj com j ∈ {0, 2}.
Mas se L(Jj ) = β, então o intervalo aberto
médio retirado, ou seja, Gj tem L(Gj ) = αβ.
L(Gj ) = αβ =
1 1
1
· =
3 3
9
Generalizando, o intervalo aberto médio
Gj1 ,
..., jn
que L(Jj1 ,
de Jj1 ,
..., jn )
..., jn
, mais adiante veremos
= β n , tem L(Gj1 ,
..., jn )
= αβ n .
Observe o exemplo de como encontramos
as coordenadas do intervalo G0 :
∗ G0 = (x, y) é um intervalo médio de J0 ;
•0 —◦x —◦y —•β
∗ L(G0 ) = α · β, logo y − x = α · β;
L(G0 ) =
1 1
1
1
· = ⇒y−x=
3 3
9
9
∗ Como G0 é um intervalo médio,
1
1
d(x, 0) = d( , y) ⇒ x + y =
3
3
d(x, 0) = d(β, y) ⇒ x − 0 = β − y
∗ Obtemos o seguinte sistema:



 x+y =β


1

 x+y =
3


 y−x= 1
9


 y−x=α·β
∗ Resolvendo o sistema:
x=
β(1 − α)
β(1 + α)
ey=
2
2
x=
β(1 − α) β(1 + α) G0 =
,
2
2
1
2
ey=
9
9
1 2
G0 =
,
9 9
4
Analogamente determinamos
2 − β(α + 1) 2 + β(α − 1) G2 =
,
2
2
Com o mesmo processo encontramos
7 8
G2 =
,
.
9 9
O método anterior pode ser utilizado para
obter qualquer intervalo médio Gj1 ,
j2 , ..., jn .
Dessa forma,
h 1i 1 2
J0 − G0 = 0,
−
,
=
3
9 9
h 1i h2 1i
= 0,
∪ ,
= J0,0 ∪ J0,2
9
9 3
J0 − G0 = J0,0 ∪ J0,2
h2 i 7 8
J2 − G2 = , 1 −
,
=
3
9 9
h2 7i h8 i
∪ , 1 = J2,0 ∪ J2,2
= ,
3 9
9
J2 − G2 = J2,0 ∪ J2,2
h 1i h2 1i h2 7i h8 i
S2 = 0, ∪ , ∪ , ∪ , 1 .
| {z9 } | 9{z3 } | 3{z9 } | 9{z }
S2 = J0,0 ∪ J0,2 ∪ J2,0 ∪ J2,2 .
J 0,0
A notação Jj1 ,
j2 , ..., jn
descreve de
J 0,2
J 2,0
J 2,2
J ,0 : o intervalo está à esquerda
que intervalo da etapa anterior este intervalo
J2, : o intervalo veio do intervalo 2
vem e se ele está à direita ou à esquerda.
J2,0 : intervalo à esquerda
Isto é, os primeiro números j1 , j2 , ..., jn−1
proveniente do intervalo 2
indicam qual a origem do intervalo e o último
J2,0,2 : 2, 0 indica que o intervalo
número jn indica se ele está à direita ou à
veio de J2,0 e o 2 indica que ele está à
esquerda (0 para a esquerda, 2 para a direita).
direita.
Já a notação Gj1 ,
qual intervalo, Gj1 ,
J0,0
j2 , ..., jn ,
j2 , ..., jn
indica de
é o intervalo médio.
Sabemos que, α + 2β = 1 e
β(1 − α) = 0,
. Logo:
2
G0,0 é o intervalo médio de J0,0 .
L(J0,0 ) = L(J0,2 ) = L(J2,0 ) =
5
L(J0,0 ) =
β(1 − 1 + 2β)
β(1 − α)
−0=
= β2
2
2
= L(J2,2 ) =
1
= β2
9
De maneira análoga verifica-se que
L(J0,2 ) = L(J2,0 ) = L(J2,2 ) = β 2
Analisando cada etapa da construção:
∗ S0 : intervalo de comprimento 1 = β 0 ;
∗ S1 = J0 ∪ J1 : resultado da união de 2 intervalos de comprimento β. Para obtê-lo
fizemos S1 = S0 − G, em que G é um intervalo de comprimento αβ 0 = α;
∗ S2 = J0,0 ∪ J0,2 ∪ J2,0 ∪ J2,2 : resultado da união de 4 intervalos de comprimento β 2 .
Para obtê-lo fizemos S2 = (J0 − G0 ) ∪ (J2 − G2 ), em que G0 e G2 são intervalos abertos
médios de J0 e J2 , respectivamente. Além disso, L(G0 ) = L(G2 ) = αβ;
...
∗ Sn = Jj1 , ..., jn ∪ . . . ∪ Jj1 , ..., jn , cada intervalo tem comprimento β n , os intervalos médios
|
{z
}
união de 2n intervalos
Gj1 ,
..., jn−1 ,
que lhe deram origem têm comprimento αβ n−1 . Para todas as combinações
de jn = 0 ou 2 [7].
Ver demonstração por indução da construção de Sn .
Veja abaixo uma visualização geométrica das duas primeiras etapas do TerçoMédio de Cantor:
0
1
Figura 1.1: S0
6
0
2/3
1/3
1
Figura 1.2: S1
0
1/9
2/9
2/3
1/3
7/9
8/9
1
Figura 1.3: S2
Uma das vantagens da visualização geométrica acima é que torna mais evidente
o fato de que os extremos dos intervalos sempre pertencem ao conjunto Terço-Médio. O
mesmo se aplica ao conjunto α−Médio.
∞
\
Mostremos que C =
Sn é um Conjunto de Cantor.
n=0
Afirmação 1.3.1 C é compacto.
Prova
De fato, C é a intersecção infinita de conjuntos fechados portanto, é um conjunto
fechado. Além disso, C ⊂ [0, 1], portanto é limitado. Deste modo, C é compacto.
Afirmação 1.3.2 C é perfeito
Prova
De fato, pela afirmação anterior C é compacto e portanto é fechado. Provemos
que cada um de seus pontos é um ponto de acumulação.
Dado p ∈ C e j um inteiro positivo. Considere também n tal que β n < 2−j e
K um componente de Sn contendo p. Então K ∩ Sn+1 é composto por no mı́nimo dois
intervalos. Deste modo a intersecção entre cada etapa do Conjunto de Cantor e K é
sempre diferente do vazio. Seja qj um dos pontos finais dos intervalos de K ∩ Sn+1 não
contendo p. Então:
7
i qj 6= p;
ii |p − qj | < β n < 2−j
iii qj ∈ C, ∀ j ∈ Z∗+ , pois os qj são extremos de intervalos de Si [7].
Assim, existe uma seqüência de pontos de C, distintos de p, convergindo para p.
Logo C é perfeito.
Ver mais detalhes sobre a demonstração.
1.3.1
O Conjunto Terço-Médio de Cantor e a Expansão Ternária
Os pontos do conjunto de Cantor têm uma caracterização em termos de sua repre-
sentação em base 3. Dado x ∈ [0, 1], representar x na base 3 (isto é escrever uma expansão
ternária de x) significa escrever x = 0, x1 x2 x3 . . ., onde cada um dos dı́gitos xn é igual a
0,1 ou 2 de tal modo que [4]:
x=
x1 x2
xn
+ 2 + ... + n + ...
3
3
3
Ver algoritmo para expansão ternária.
Exemplo 1.3.1
1
0 2
0
2
0
2
= + +
+
+ . . . + n + n+1 + . . .
4
3 9 27 81
3
3
1
de acordo com a afirmação anterior, pode ser escrito como a soma de
4
2
1
2
a1
uma PG de razão r = e primeiro termo a1 = assim, lim Sn =
= 9 1 =
n→∞
9
9
1−r
1− 9
2
2
1
9
= .
8 =
8
4
9
De fato,
8
Considerando a construção anterior do conjunto Terço-Médio de Cantor, vamos
fazer uma correspondência entre as etapas da construção e a expansão ternária dos termos.
h 1i h2 i
A primeira etapa do Conjunto Terço-Médio de Cantor S1 = 0,
∪ , 1
| {z3 } | 3{z }
J0
J2
Note que :
• J0 , é um intervalo em que todos os termos são menores ou iguais a
1
, logo na
3
x1 x2
xn
+ 2 +...+ n +... ∈ J0 , tem x1 = 0. O leitor
3 3
3
1
1
pode se questionar sobre , que deve ter expansão ternária = 0, 1, entretanto,
3
3
1
podemos escrever = 0, 022222... = 0, 02̄, para verificar, basta fazermos o mesmo
3
expansão ternária de x = 0, x1 x2 ... =
que fizemos no exemplo anterior.
• J2 , é um intervalo em que todos os os termos são maiores ou iguais a
2
e menores
3
ou iguais a um, logo a expansão ternária de x ∈ J2 tem x1 = 2. Um bom exemplo
disso são as expansões de
2
= 0, 2 e 1 = 0, 2222222... = 0, 2̄.
3
• Na expansão ternária de J0 e J2 , x1 6= 1. Isto ocorre porque ao retirarmos o
1 2
1
intervalo
,
, nós retiramos todos os valores da forma + y, em que y têm em
3 3
3
1
1
sua representação ternária k , com k > 1, isto é, 0 < y < . Como por exemplo,
3
3
1
que tem expansão ternária 0, 1.
2
Na segunda etapa do Conjunto Terço-Médio de Cantor
1i h2 1i h2 7i h8 i
S2 = 0, ∪ , ∪ , ∪ , 1
| {z9 } | 9{z3 } | 3{z9 } | 9{z }
h
J 0,0
J 0,2
J 2,0
J 2,2
Fazendo uma análise da segunda etapa temos:
• x ∈ J0,0 , têm expansão ternária com x1 = 0 e x2 = 0, pois seus valores são maiores
ou iguais a
1
1
. Verifica-se facilmente que = 0, 002222222... = 0, 002̄.
9
9
9
• x ∈ J0,2 , têm expansão ternária com x1 = 0 e x2 = 2. Por exemplo
2
= 0, 02 e
9
1
= 0, 02̄
3
• x ∈ J2,0 , têm expansão ternária com x1 = 2 e x2 = 0. Por exemplo
e
2
= 0, 20000...
3
7
= 0, 202̄
9
• x ∈ J2,2 , têm expansão ternária com x1 = 2 e x2 = 2. Por exemplo
8
= 0, 22 e
9
1 = 0, 2̄
• Nesta segunda etapa retiramos os valores
2 1
1
1
+ y e + + y com 0 < y < . Desta
9
3 9
9
forma x2 6= 1, além disso nesta etapa já tinhamos x1 6= 1.
O objetivo da expansão anterior é considerar apenas números na base 3 compostos
por 0 e 2 e à medida que desenvolvemos mais etapas do Conjunto de Cantor vamos
eliminando valores cuja a expansão têm 1 seguido de infinitos zeros o seguido de infinitos
dois. Além disso, os extremos de cada Jj1 ,
..., jn
têm expansão ternária composta apenas
por 0 ou 2.
A discussão acima nos leva a perceber que a expansão ternária representa e bem o
conjunto Terço-Médio de Cantor. De fato, a expansão ternária, denotada por Sn0 , descrita
acima, pode ser generalizada por:
S10
=
∞
nX
x
k=1
S20
=
∞
nX
x
k=1
k
k
3
k
k
3
o
: x1 = 0 ou 2 e xk = 0, 1, ou 2 para k > 1
o
: xk = 0 ou 2, para k = 1 e k = 2, xk = 0, 1, ou 2 para k > 2
...
Sn0
=
∞
nX
x
k=1
k
k
3
o
: xk = 0 ou 2 para 1 ≤ k ≤ n e xk = 0, 1, ou 2 para k > n .
10
Vamos mostrar por indução sobre n que Sn = Sn0 , isto é, que se x ∈ Sn então x é
∞
X
xk
da forma
: xk = 0 ou 2 para 1 ≤ k ≤ n e xk = 0, 1, ou 2 para k > n.
k
3
k=1
i Para n = 1 a afirmação é verdadeira pela análise anterior;
ii Supomos válido para n − 1, ou seja, Sn−1 =
0
Sn−1
=
o
k ≤ (n − 1) e xk = 0, 1, ou 2 para k > (n − 1) .
∞
nX
x
k=1
k
k
3
: xk = 0 ou 2 para 1 ≤
iii Provemos para Sn :
Por hipótese de indução sabemos que se k = n, Jj1 ,
..., jn−1
têm uma expansão
ternária com xk = 1, 0, ou 2. Entretanto, Sn0 não considera valores com xn = 1,
n−1
X
1
1
xk
0
logo, Jj1 , ..., jn−1 − Sn é o conjunto de pontos
+ n + y em que 0 < y < n .
k
3
3
3
k=1
De novo, o intervalo aberto é removido porque nós não usamos expansões terminadas
em 1 seguidas de zeros ou seguidas de dois.
Logo Sn0 ∩ Jj1 ,
..., jn−1
= Sn ∩ Jj1 ,
..., jn−1
para algum Jj1 ,
..., jn−1
e assim Sn0 = Sn .
Também note que, os pontos extremos em Sn0 podem ser representados por expansões
que terminam em repetições de 0 ou de 2. Isto completa a prova por indução que
Sn0 = Sn para todo n [7].
2
Conjuntos de Cantor e a Famı́lia Quadrática
Já havı́amos mencionado no Artigo 2, que apesar de terem uma expressão sim-
ples a Famı́lia Quadrática possui várias propriedades que a tornam um bom exemplo de
aplicações de Sistemas Dinâmicos Discretos. Para concluir o estudo destas propriedades
vamos apresentar na subseção seguinte um Conjunto de Cantor cuja contrução envolve a
Famı́lia Quadrática.
11
2.1
Construção do Conjunto de Cantor
Após discutirmos sobre o conjunto α-Médio de Cantor, vamos fazer um paralelo
entre o que foi visto e o comportamento das famı́lias quadráticas Fµ , para µ > 2 +
√
5,
em especial para µ > 4, considerando o intervalo do domı́nio I = [0, 1] [1].
1
µ
1
Supondo µ > 4, temos Fµ
=
> 1 (em que
é o ponto crı́tico), além
2
4
2
1
1
e Fµ (1) < 1 < Fµ
, deste
disso, Fµ (1) = Fµ (0) = 0. Assim, Fµ (0) < 1 < Fµ
2
2
1 1
modo, pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0 ∈ 0,
e x1 ∈
, 1 tal que
2
2
Fµ (x0 ) = Fµ (x1 ) = 1.
Caso queiramos descobrir quem são x0 e x1 basta resolvermos a equação Fµ (x) =
1, obtendo o seguinte resultado:
x0 =
x1 =
µ−
p
µ+
p
µ2 − 4µ
2µ
µ2 − 4µ
.
2µ
Seja A0 = (x0 , x1 ), tomando a imagem inversa de A0 , obteremos o conjunto
A1 , formado por dois intervalos contidos em I0 = [0, x0 ] e I1 = [x1 , 1]. Mais a frente
justificaremos esta afirmação, por enquanto podemos visualiza-la no gráfico abaixo:
12
y=x
F
1
0
x0
A0
x1
1
A1
Figura 2.1: A0 e A1
Continuando o mesmo processo, após obtermos o conjunto A1 , encontramos mais
quatro intervalos que carcterizam o conjunto A2 (imagens inversas dos intervalos de A1 ).
13
x
F
1
0
1
A2
Figura 2.2: A2
Analogamente, A3 é um conjunto cujos elementos são oito intervalos (imagens
inversas dos intervalos de A2 ). Note que, para estes intervalos aplica-se o mesmo raciocı́nio
que fizemos para analisar as imagens inversas de A0 .
Por construção A0 é um intervalo centrado em
1
, com a seguinte propriedade:
2
“Se x ∈ A0 então Fµ (x) > 1.”
Isto ocorre porque Fµ (x0 ) = Fµ (x1 ) = 1 e Fµ
1
2
> 1 logo para todo x ∈ (x0 , x1 ) temos
Fµ (x) > 1, logo, Fµn (x) → − ∞ quando n → ∞, (veja Proposição 6, Artigo 2). Desta
forma, A0 é o conjunto de pontos cuja a primeira iterada não pertence ao intervalo (0, 1),
isto é, Fµ (x) ∈
/ (0, 1).
Seja A1 = {x ∈ I | Fµ (x) ∈ A0 }, Fµ2 (x) > 1, logo Fµ2 (x) ∈
/ (0, 1) e Fµn (x) → − ∞
quando n → ∞. Assim, A1 é o conjunto dos intervalos cujos pontos têm a segunda iterada
14
não pertence ao intervalo (0,1).
Indutivamente, seja An = {x ∈ I|Fµn (x) ∈ A0 } = {x ∈ I | Fµi (x) ∈ I para i ≤
/ I}, isto é, An é o conjunto dos intervalos cuja a iterada n + 1, de todos
n, mas Fµn+1 (x) ∈
os seus pontos, não pertence a I.
Falta agora analisarmos os pontos cujas iteradas permanecem em I, ou seja, o
conjunto dos pontos que ficam em
∞
[
I−
An
n=0
Denotaremos este conjunto por Λ.
Para melhor entendermos as caracterı́sticas de Λ, vamos descrever sua construção:
• Como A0 é um intervalo aberto centrado em
1
, I − A0 consiste de dois intervalos
2
fechados I0 à esquerda e I1 à direita.
0
I
0
x1
x0
I
1
1
Figura 2.3: I0 e I1
• Note que Fµ (I0 ) = Fµ (I1 ) = I, logo existe um par de intervalos abertos um em I0 e
um em I1 cujas as imagens são iguais a A0 por Fµ . Este par de intervalos é o que
nós denotamos anteriormente por A1 .
Ver demonstração de que Fµ (I0 ) = Fµ (I1 ) = I.
• Considere I − (A0 ∪ A1 ). Este conjunto consiste de quatro intervalos fechados e cada
um tem imagem, por Fµ , igual a I0 ou a I1 . Conseqüentemente, por Fµ2 , as imagens
destes intervalos são iguais a I. Da mesma forma cada um destes quatro intervalos
contém um subintervalo aberto que tem imagem, por Fµ2 igual a A0 . Denominamos
anteriormente estes quatro intervalos de A2 .
15
0
1
Figura 2.4: I − (A0 ∪ A1 )
• Continuando este processo temos que An consiste de 2n intervalos abertos .
Tal afirmação pode ser verificada por indução. De fato, para n = 1 a afirmação
é verdadeira. Supondo válido para n − 1, temos que An−1 tem 2n−1 intervalos
abertos, considerando a etapa seguinte cada intervalo de An−1 tem dois intevalos
abertos como imagens inversas, logo em An teremos 2 · 2n−1 intervalos abertos, isto
é, 2n intervalos.
• Além disso, I − (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) tem 2n+1 intervalos fechados.
Com efeito, a diferença entre I e cada intervalo aberto gera 2 intervalos fechados,
como temos em An 2n intervalos, I − (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) possui 2n+1 intervalos
fechados.
Observe que Λ possui uma construção semelhante ao conjunto Terço-Médio de
Cantor.
Teorema 2.1 O conjunto Λ é um Conjunto de Cantor.
Apesar de para µ > 4 a proposição ser verdadeira, vamos demonstrar apenas
para µ > 2 +
√
5, pois para µ > 4 a demonstração é mais complexa além de trabalhar
com temas que não discutimos.
√
Lema 2.1.1 Para µ > 2+ 5 e z ∈ I −A0 temos Fµ0 (z) > 1. Em particular Fµ0 (x) ≥ λ > 1
para todo x ∈ Λ [8].
Demonstração
16
Verificamos anteriormente que
h
I − A0 = 0,
µ−
p
p
µ2 − 4µ i h µ + µ2 − 4µ i
∪
,1
2µ
2µ
Entretanto,
µ − pµ2 − 4µ µ + pµ2 − 4µ p
√
0
0
Fµ
= Fµ
= | µ2 − 4µ| > 1 ⇔ µ > 2 + 5
2µ
2µ
Para demonstrarmos a segunda parte do lema vamos considerar as seguintes
afirmações:
• Fµ0 (x) > 1 para todo x ∈ I − A0 ;
• Logo Fµ0 (1) > 1;
• Fµ0 = −2µx + µ , assim, Fµ0 é decrescente;
• Temos que todo x ∈ Λ é menor que 1. Deste modo, Fµ0 (x) > Fµ0 (1) > 1 ∀ x ∈ Λ.
Logo é possı́vel determinar um λ > 1 de modo que Fµ0 (x) ≥ λ, (λ pode ser, por
exemplo, o próprio Fµ0 (1)).
Demonstração 2.1.1 Provemos que Λ é um conjunto de Cantor, ou seja, Λ é:
1. Compacto
Λ é fechado pois é intersecção de conjuntos fechados e é limitado pois está contido
no intervalo [0, 1]. Logo Λ é compacto.
2. Totalmente Desconexo
17
A hipótese de µ > 2 +
√
5 e o lema anterior, nos garante que existe λ > 1 tal que
|Fµ0 (x0 )| ≥ λ para todo x0 ∈ Λ. Temos por construção que Λ é formado por todos os
valores do intervalo [0, 1] cujas iterações permanecem no intervalo, deste modo, pela
Regra da Cadeia e a notação utilizada no Artigo 1, |(Fµ0 )n (x0 )| = |(Fµ0 )(xn−1 )| · . . . ·
|(Fµ0 )(x0 )| > λ
. . · λ}, isto é, |(Fµ0 )n (x0 )| ≥ λn . Suponha por absurdo que Λ contém
| · .{z
n vezes
intervalos, assim, podemos escolher x, y, ∈ Λ, de modo que [x, y] ⊂ Λ. Vamos
escolher n tal que λn |x − y| > 1. Pelo Teorema do Valor Médio existe c ∈ (x, y)
tal que
|(Fµ0 )n (c)|
|Fµn (y) − Fµn (x)|
=
. Pelo lema anterior, |(Fµ0 )n (c)| ≥ λn
|x − y|
⇒
|Fµn (y) − Fµn (x)|
≥ λn ⇒ |Fµn (y) − Fµn (x)| ≥ λn |x − y| > 1. Logo ao menos um
|x − y|
dos valores, Fµn (y) ou Fµn (x), encontram-se fora de I, um absurdo. Portanto, Λ não
contém intervalos [1].
3. Perfeito Λ é fechado, pois é um conjunto compacto.
Todo ponto x que é borda de um intervalo de An está em Λ, pois para algum n temos
Fµn (x) = 0 ⇒ Fµn (x) ∈ I = [0, 1] ∀n ∈ Z+ . Considere p ∈ Λ um ponto isolado, ou
seja ∃ > 0 tal que (p−, p+)∩Λ = {p}. Como p é isolado, todo ponto próximo de
p deixaria I após alguma iteração de Fµ , isto é, estes pontos pertenceriam a algum
intervalo de An . Assim, terı́amos uma seqüência de pontos das bordas dos intervalos
dos An ’s convergindo para p, o que contradiz o fato de p ser isolado. Logo p é um
ponto de acumulação [1].
18
3
Conclusão
Os conceitos matemáticos propostos por Cantor enfrentaram uma resistência sig-
nificativa por parte da comunidade matemática de sua época. Os matemáticos modernos,
por seu lado, aceitam e reconhecem o trabalho desenvolvido por Cantor como uma mudança de paradigma da maior importância.
Os Conjuntos de Cantor estudados neste artigo, nos possibilitaram ampliar a
nossa visão sobre o tema, antes restrita apenas ao Terço-Médio, bem como perceber o
quanto o trabalho de Cantor foi revolucionário. Afinal, apesar de terem uma construção
simples, possuem caracterı́sticas que os tornam singulares. Um exemplo disso, é o conjunto
√
construı́do com o auxı́lio da Famı́lia Quadrática, para µ > 2 + 5, que não só aplica o que
vimos nos artigos anteriores, mas fornece uma forma inovadora de se obter um Conjunto
de Cantor.
4
Apêndice
Prova por Indução
Sn = Jj1 , ..., jn ∪ . . . ∪ Jj1 , ..., jn , cada intervalo tem comprimento β n .
{z
}
|
união de 2n intervalos
Demonstração
Provemos por indução para n ≥ 1:
i
De fato, para n = 1 temos que S1 é a reunião de 2 intervalos de comprimento β;
ii
Supomos válido para n − 1, provemos para n;
19
iii
Por hipótese de indução assumimos que Sn−1 é a reunião de 2n−1 intervalos
de comprimento β n−1 denotados por Jj1 ,
..., jn−1 ,
para todas as combinações de
jk = 0 ou 2.
Construiremos então Sn :
1. Para construir cada componente de Sn , devemos utilizar Gj1 ,
primento L(Gj1 ,
..., jn−1 )
..., jn−1 , 2 .
de com-
= αβ n−1 ;
2. Cada componente de Sn é obtido por Jj1 ,
Jj1 ,
..., jn−1 ,
Como cada intervalo Jj1 ,
..., jn−1
..., jn−1 ,
− Gj1 ,
..., jn−1
= Jj1 ,
..., jn−1 ,0
∪
determina dois novos intervalos
fechados, temos que Sn tem 2 · 2n−1 = 2n intervalos.;
3. L(Jj1 ,
..., jn )
= β n.
De fato seja L(Jj1 ,
..., jn )
basta fazermos L(Jj1 ,
[x, y] e Gj1 ,
..., jn−1
comprimento de cada componente de Sn , para obtê-lo
..., jn )
= L(Jj1 ,
..., jn−1 )−L(Gj1 , ..., jn−1 ).
= (z, w), como Gj1 ,
..., jn−1
Seja Jj1 ,
..., jn−1
é um intervalo médio de Jj1 ,
=
..., jn−1
temos que d(x, z) = d(y, w). Assim
L(Jj1 ,
..., jn−1 )
= β n−1 ⇒ d(x, z) + d(y, w) + L(Gj1 ,
..., jn−1 )
= β n−1 ⇒
⇒ d(x, z) + d(x, z) + αβ n−1 = β n−1 ⇒ 2d(x, z) = β n−1 − αβ n−1 ⇒
⇒ d(x, z) =
(1 − α)
β n−1 − αβ n−1
= β n−1
= βn
2
2
Note que I = [x, z] é na verdade um componente de Sn , logo L(Jj1 ,
O que completa a indução [7].
Voltar ao texto.
20
..., jn )
= β n.
Iteração
Tomando um ponto x0 ∈ R, para facilitar a leitura de uma iteração denotaremos
f (x0 ) = x1 , f (x1 ) = x2 , ..., f (xn−1 ) = xn . Assim (f ◦ ... ◦ f )(x0 ) = xn , de forma que
estaremos aplicando x0 na composição de f com ela mesma n vezes.
Robinson (1995), nos leva a perceber que sendo f uma função de caráter razoavelmente simples, já se torna complexo definir sua composta e conseqüentemente sua
derivada, caso exista, em f 2 (x). Para iteradas cada vez maiores será cada vez mais difı́cil,
neste momento a notação anterior é útil, nos permitindo chegar, com o auxı́lio da Regra
Cadeia, a seguinte relação:
(f n )0 (x0 ) = (f )0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ).
Voltar ao texto.
Teorema do Valor Médio e o Teorema de Rolle
O uso de derivadas em Sistemas Dinâmicos Discretos é fundamental não só em
definições como para determinar o comportamento de pontos fixos e periódicos. Neste
tópico vamos discutir dois temas diretamente ligados a derivada: o Teorema de Rolle e o
teorema do Valor Médio.
Observe os gráficos das funções abaixo , bem como de suas derivadas:
21
2
-1
2
x +1
2x
1
0
Figura 4.1: f (x) = x2 + 1 e f 0 (x) = 2x
2
cos(x)+1
sen(x)
1
2
-1
0
1
-1
Figura 4.2: g(x) = cosx + 1 e g 0 (x) = senx
22
2
As funções acima são ambas contı́nuas. Na figura 1, f está definida no intervalo
h π πi
π
[−1, 1] e f (1) = f (−1), na figura 2, g está definida no intervalo − ,
eg −
=
2 2
2
π = 1. Em ambos os casos as derivadas se anulam em um ponto interior ao intervalo
g
2
do domı́nio, neste caso o ponto é x = 0. Tal comportamento pode ser generalizado através
do Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle. Seja f : [a, b] → R contı́nua, tal que f (a) = f (b).Se f é derivável
em (a, b), então existe um ponto c ∈ (a, b) onde f 0 (c) = 0.
Demonstração 4.1 Por hipótese, f é definida num intervalo fechado e portanto num
compacto. Assim, pelo Teorema de Weierstrass f atinge seu valor máximo M e seu valor
mı́nimo m em pontos de [a, b]. Se esses pontos forem a e b então M=m e f será constante,
daı́ f 0 (x) = 0 qualquer que seja x ∈ (a, b). Caso a e b não sejam valores extremos,
sabemos que existe um c ∈ (a, b) de modo que f (c) seja igual a um valor extremo, logo c
é um ponto crı́tico e portanto f 0 (c) = 0 [4].
Vejamos os gráficos das funções abaixo, bem como os gráficos de suas derivadas:
23
ln(x)
1/x
1
0,55
,5
0
1
2
1,8
3
l
Figura 4.3: f1 (x) = ln x e f10 (x) =
3
1
x
2
x +2 x
2x+2
1
-2
-0.5
0
1
Figura 4.4: g1 (x) = x2 + 2x e g1 0 (x) = 2x + 2
As funções representadas pelos gráficos acima são ambas contı́nuas, deriváveis no
interior dos seus domı́nios e definidas num intervalo fechado. Fazendo algumas aproximações o leitor poderá notar que f10 (1, 8) =
24
ln 3 − ln 1
f1 (3) − f1 (1)
=
, analogamente
3−1
3−1
1
3−0
g1 (1) − g1 (−2)
=
=1=
.
podemos verificar que g10 −
2
1 − (−2)
1 − (−2)
Tal comportamento pode nos levar a alguma generalização, entretanto antes de
fazermos isso vejamos mais alguns gráficos:
3
2
x + 2x
x- 0,25
x+2
-0.5
0
-2
1
-3/4
Figura 4.5: g 1 , uma reta secante e uma reta tangente
Note que a reta tangente a g 1 no ponto
1 3
− ,−
é paralela à reta secante à
2 4
g 1 que passa pelos pontos (−2, 0) e (1, 3), deste modo fica mais fácil determinar a reta
tangente. Esta é uma interpretação geométrica do Teorema do Valor Médio.
Teorema do Valor Médio. Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f é derivável em (a, b),
existe c ∈ (a, b), tal que:
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
Demonstração 4.2 Consideremos a função auxiliar g : [a, b] → R, dada por g(x) =
25
f (x) − dx onde d é escolhido de modo que g(a) = g(b) ou seja g(a) = g(b) = f (a) − da =
f (b) − db. Assim se
f (a) − da = f (b) − db
da − db = f (b) − f (a)
d(a − b) = f (b) − f (a)
d=
f (b) − f (a)
a−b
Sabe-se que: g 0 (x) = f 0 (x) − d. Pelo teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g 0 (c) = 0,
ou seja: g 0 (c) = 0 = f 0 (c) − d ⇒ f 0 (c) − d = 0 ⇒ f 0 (c) = d.
Se isso ocorre podemos concluir que : f 0 (c) = d =
f (b) − f (a)
, para algum c ∈
b−a
(a, b).[4]
Voltar ao texto.
Discutindo a demonstração de que Λ é perfeito
Um dos maiores problemas desta demonstração é perceber a existência de uma
seqüência com pontos de Λ (bordas dos intervalos) convergindo para p. Assim como
no conjunto α− Médio de Cantor, vamos observar o comportamento de três etapas da
construção com foco no intervalo I0 , além disso, vamos considerar p = x0 , uma vez que,
sendo x0 uma borda de intervalo podemos garantir que x0 ∈ Λ:
0
I0
x0 = p
Figura 4.6: Primeira etapa
26
0
y1
p
Figura 4.7: Segunda etapa
0
y1 y 2 y3 p
Figura 4.8: Terceira etapa
À medida que passamos de uma etapa a outra verificamos a existência de bordas dos intervalos cada vez mais próximas de p, isto é, uma seqüência de termos de Λ,
diferentes de p, que converge para p [1].
Voltar ao texto.
Conjunto Limitado
Definição 4.1 Um subconjunto X de um espaço métrico M chama-se limitado quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X [5]. Em especial, no
conjunto dos números reais, dizemos que X ⊂ R é limitado se ∀ x ∈ X temos |x| ≤ L,
com L ∈ R [4].
Exemplo 4.1 Todo intervalo fechado [a, b] da reta é limitado. De fato para todo x ∈ [a, b],
temos |x| ≤ b.
Voltar ao texto.
Voltar a Conjunto Compacto.
27
Conjunto Fechado
Definição 4.2 Ponto Aderente- Um ponto a é dito ponto aderente X ⊂ R quando a é
limite de alguma seqüência de pontos xn ∈ X.
Decorre imediatamente da definição que todo ponto b ∈ X é aderente a X: basta
tomar todos os xn = b
Definição 4.3 Fecho- O fecho de um conjunto X ⊂ R é o conjunto de todos os valores
de aderência a X. Denotamos o fecho por X.
Exemplo 4.2 Seja X =
n1 1 1
o
1
, , , ..., n , ... , temos que X = X ∪ {0}.
2 4 8
2
Definição 4.4 Conjunto fechado- Dizemos que X é um conjunto fechado se ele for igual
ao seu fecho, isto é, X = X [4].
Voltar ao texto.
Voltar a Conjunto Compacto.
Voltar a demonstração do Teorema do Valor Intermediário.
Expansão Ternária
Utilizando o exemplo do Artigo 3, vamos mostrar um algoritmo para obter da
expansão ternária de
1
= 0, 25, através de multiplicações sucessivas por 3:
4
1. 0, 25 · 3 = 0, 75;
2. 0, 75 · 3 = 2, 25;
3. Neste ponto, ao invés de multiplicarmos 2, 25 por 3 vamos multiplicar apenas a sua
parte decimal, isto é, 0, 25 · 3 = 0, 75.
28
Arrumando os dados em uma tabela:
0, 25 · 3 = 0, 75
0, 75 · 3 = 2, 25
0, 25 · 3 = 0, 75
0, 75 · 3 = 2, 25
A expansão ternária de 0, 25 será dada pela parte inteira do resultado da multiplicação de cada linha, isto é, (0, 25)3 = 0, 0202... = 0, 02, como já havı́amos verificado no
texto do artigo.
No caso de números racionais, as multiplicações continuam até que a parte decimal seja igual a zero ou que os valores comecem a repetir formando um perı́odo. Assim
como os números na base 10, os números irracionais têm representação infinita.
Vejamos mais um exemplo:
Exemplo 4.3 Expansão ternária de 0, 7:
0, 7 · 3 = 2, 1
0, 1 · 3 = 0, 3
0, 3 · 3 = 0, 9
0, 9 · 3 = 1, 8
0, 8 · 3 = 2, 4
0, 4 · 3 = 1, 2
0, 2 · 3 = 0, 6
0, 6 · 3 = 1, 2
29
Assim, (0, 7)3 = 0, 20012101....
Para justificar a expansão ternária, basta observar as afirmações seguintes:
• A expansão ternária tem que ser equivalente a sua representação decimal, logo
uma maneira de resolvermos este problema é multiplicarmos e dividirmos o número
decimal por 3, por exemplo
0, 6 ·
1
3
= 1, 8 ÷ 3 = + 0, 8 ÷ 3;
3
3
• Mas dividir 0, 8 por 3 é um problema, por isso aplicamos de novo o procedimento
anterior
(0, 8 ÷ 3) ·
3
2
= 2, 4 ÷ 9 = + 0, 4 ÷ 9
3
9
• E assim sucessivamente.
Logo, a expansão de 0, 6 é igual a
1
0
1 2
+ +
+
+ . . . = 0,1210 . . . [6]
3 9 27 81
Voltar ao texto.
Discutindo a demonstração de que C é perfeito
A essência da demonstração de que C é perfeito, é a construção da seqüência qj .
Na demonstração consideramos K um componente de Sn ,aqui vamos considerar K1 =
h 1i
0,
um componente de S1 (isto é, a notação adotada será Kn um componente de Sn )
3
1
ep= :
3
30
0
1/3
Figura 4.9: K1
Temos K1 ∩ S2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3]:
0
1/9
2/9
1/3
Figura 4.10: K1 ∩ S2
Como foi mencionado na demonstração a intersecção possui 2 intervalos.
Na etapa seguinte vamos considerar K2 = [2/9, 1/3], note que, apesar de não
estar evidente na demonstração, está implı́cito a necessidade da notação Kn , pois o n
varia, uma vez que, Kn é uma componente de Sn que contém p.
Na próxima etapa, K2 ∩ S3 = [2/9, 7/27] ∩ [8/27, 1/3].
2/9 7/27 8/27 1/3
Figura 4.11: K2 ∩ S3
A seqüência qj pode ser (0, 7/27, 2/9, 1/9...), isto é as bordas dos intervalos que
não contém p, como a demonstração já havia mencionado. À medida que ocorrem as
intersecções com as etapas seguintes podemos determinar mais valores, próximos de 1/3,
o que torna mais claro o fato de que qj converge para p [7].
Voltar ao texto.
Teorema de Weierstrass
31
Considere os exemplos abaixo:
3
2.5
2
1.5
2
x -1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
1
1.5
2
1
1.5
2
Figura 4.12: f (x) = x2 − 1
4
3.5
3
2
x
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
x
Figura 4.13: g(x) = 2 x
Observe que ambas as funções estão definidas em intervalos fechados, são limitadas e atingem um valor máximo e um valor mı́nimo. Em essência, esta é a idéia do
Teorema de Weierstrass. Antes de discutirmos este teorema, vamos enunciar e demonstrar
alguns resultados.
32
Proposição 4.1 A fim de que a função f : X → R seja contı́nua no ponto a é necessário
e suficiente que, para toda seqüência de pontos (xn ) ∈ Xcom lim xn = a, se tenha
lim f (xn ) = f (a).
A demonstração fica a cargo do leitor, em [4] o leitor encontra uma sugestão de
como demonstrar o teorema.
Teorema 4.1 Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda seqüência de pontos
em X possui um subseqüência que converge para um ponto de X .
Demonstração 4.3 ⇒] Se X ⊂ R é compacto, toda seqüência de pontos de X é limitada,
logo, por Bolzano-Weierstrass, possui uma subseqüência convergente cujo o limite é um
ponto de X, pois X é fechado.
[⇐ Seja X ⊂ R um conjunto tal que toda seqüência de pontos xn ∈ X possui uma
subseqüência convergindo para um ponto de X. Então X é limitado porque do contrário,
para cada n ∈ N poderı́amos encontrar xn ∈ X com |xn | > n. A seqüência (xn ), assim obtida, não possuiria subseqüência limitada, logo não seria subseqüência convergente.
Além disso, X é fechado pois do contrário existiria um ponto a ∈
/ X com a = limxn , onde
cada xn ∈ X. Deste modo, qualquer subseqüência de xn terá limite a, um absurdo. Logo
x é compacto.
Teorema 4.2 Seja f : X → R uma função contı́nua. Se X é compacto então f (X) é
compacto.
Demonstração 4.4 De acordo com o teorema anterior se provarmos que toda seqüência
de pontos yn ∈ f (X) possui uma subseqüência que converge para pontos de f (X) então
f (X) é compacto. Para cada n ∈ N temos yn = f (xn ) com xn ∈ X. Como X é compacto,
33
a seqüência (xn ) possui uma subseqüência (xn )n∈N 0 que converge para um ponto a ∈ X.
Sendo f contı́nua no ponto a, se lim0 xn então lim0 f (xn ) = f (a) = b; b ∈ f (X). Deste
n∈N
n∈N
modo, lim0 yn = lim0 f (xn ) = f (a) = b, e assim encontramos uma subseqüência de yn
n∈N
n∈N
convergindo para um valor de f (X) e conseqüentemente f (X) é um conjunto compacto
[3].
Teorema 4.3 Teorema de Weierstrass- Toda função contı́nua f : X → R definida num
compacto X é limitada e atinge seus extremos . Isto é, x1 , x2 , x3 ∈ X tais que f (x1 ) ≤
f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ X.
Demonstração 4.5 Do teorema anterior podemos concluir que f (X) é um conjunto compacto. Sendo um compacto, f (X) possui um valor máximo e um valor mı́nimo, isto é,
existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X [4].
Voltar ao Teorema de Rolle.
Conjunto Compacto
Definição 4.5 Conjunto Compacto- Um conjunto é dito compacto quando é limitado e
fechado.
Voltar ao teorema.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
34
Teorema 4.4 (Bolzano-Weierstrass) - Toda seqüência limitada possui uma subseqüência
convergente [4].
Demonstração 4.6 Sendo (an ) limitada, temos que o conjunto imagem A = {a1 , a2 , ..., an , ...}
é limitado. Logo existem α e β tais que: α = inf A e β = supA.
Definamos o conjunto X = {x ∈ R /existe no máximo um número f inito de índices n ∈
N, tais que an > x}. Note que:
i X 6= ∅, pois β ∈ X
ii X ⊂ [α, +∞), isto é, λ < α ⇒ λ ∈ X.
Como X é limitado inferiormente existe a ∈ R tal que a = inf X.
Vejamos que existem infinitos ı́ndices n ∈ N tais que an ∈ (a − 1, a + 1). Caso
contrário a − 1 ∈ X, contradizendo a = inf X. Tomemos an1 ∈ (a − 1, a + 1). Da
1
1
mesma forma, existem infinitos ı́ndices n ∈ N tais que an ∈ a − , a +
. Tomemos
2
2
1
1
an2 ∈ a− , a+ , com n2 > n1 . Fazendo este mesmo argumento k-vezes, encontramos
2
2
1
1
1
1
com n1 < N2 < ... < nk isto é a − < ank < a + , fazendo
ank ∈ a − , a +
k
k
k
k
k → ∞, teremos ank → a.
Voltar a demonstração do teorema.
Supremo e Ínfimo
Seja A ⊂ R, dizemos que a ∈ R é cota superior de A quando x ≤ a, ∀ x ∈ A.
Um conjunto A é dito limitado superiormente quando possui um cota superior.
35
Considere B ⊂ R, b ∈ R é cota inferior de B quando b ≤ x, ∀ x ∈ B. Um
conjunto B é dito limitado inferiormente quando possui uma cota inferior.
Decorre das definições acima, que um conjunto é limitado se ele é limitado superiormente e inferiormente.
Dizemos que α ∈ A é supremo de A, isto é, α = (supA) quando:
i x ≤ α, ∀ x ∈ A
ii Se x ≤ c, ∀ x ∈ A ⇒ α ≤ c
Ou seja, α é a menor das cotas superiores.
Dizemos que β ∈ R é ı́nfimo de B, denotamos por β = (infB), quando:
i β ≤ x, ∀ x ∈ B
ii d ≤ x, ∀ x ∈ B ⇒ β ≥ d
Baseados na definição acima, podemos concluir que β é a maior das cotas inferiores [4].
Voltar a demonstração do Teorema de Bolzano- Weierstrass.
Voltar a demonstração do Teorema do Valor Inremediário.
Seqüências e Subseqüências de Números Reais
Definição 4.6 Seqüência- Uma seqüência de números reais é uma função f : N → R
que associa a cada número natural n a um número real xn , chamado o n-ésimo termo de
seqüencia .
36
Exemplo 4.4 A seqüencia xn = 2, 3, 4, 5... , cujo o termo geral é (xn ) = n + 1.
Definição 4.7 Subseqüência- Dada uma seqüência (xn )n∈N , uma subseqüência de x é a
restrição da função que define a seqüência xn a um subconjunto infinito N0 de N. Escrevemos (xn )n∈N0 para indicar uma subseqüência de (xn ).
Definição 4.8 Limite de uma Seqüência- Dizemos que o número real é a é limite de
uma seqüência xn
lim xn = a , quando para todo > 0, podemos determinar um
n→∞
n0 ∈ N tal que para todos os termos xn com ı́ndice n > n0 temos xn ∈ (a − , a + ) [4].
Simbolicamente escrevemos:
lim xn = a ⇔ ∀ > 0 ∃ n0 ∈ N; |xn − a| < , ∀ n > n0
n→∞
1 1
1 1
= 0, logo 0 é o limite desta
Exemplo 4.5 Dada a seqüencia 1, , , ..., , ... , lim
n→∞
2 3
n
n
seqüencia.
Uma seqüência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário ela será
divergente.
Voltar a demonstração do teorema de Weierstrass.
Voltar a demonstração do teorema de Bolzano- Weierstrass.
A intersecção qualquer de conjuntos fechados é um
conjunto fechado
Antes de provarmos a proposição vamos demonstrar o lema abaixo:
37
Lema 4.1 A união qualquer de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Demonstração
[
Seja A =
Aλ pertencente a um espaço métrico M e a ∈ A. Existe um ı́ndice
λ∈L
λ ∈ L, tal que a ∈ Aλ . Como Aλ é aberto, há uma bola B(a, r) contida em Aλ . Logo
B(a, r) ⊂ A e A é aberto [5].
Demonstremos agora que a intersecção qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado:
Demonstração
\
Seja F =
Fλ (em que L é um conjunto de ı́ndices) de uma famı́lia qualquer
λ∈L
(Fλ )λ∈L , finita ou infinita, de subconjuntos fechados Fλ contidos num espaço métrico M.
Ponhamos Aλ = CFλ para cada λ ∈ L. Então cada Aλ é aberto (pois o complementar de um conjunto fechado é um conjunto aberto e vice-versa) e portanto a sua
reunião
S
Aλ =
complementar de
S
CFλ = C
T
T
Fλ é um aberto em M pelo lema anterior. Mas, se o
Fλ é aberto então
T
Fλ é fechado [5].
Voltar a demonstração de que C é compacto.
Voltar a demonstração de que Λ é compacto.
Conjunto Aberto
Definição 4.9 Um subconjunto X de um espaço métrico M é dito aberto quando todos
os seus pontos são interiores [5].
38
“Voltar para Intersecção de conjuntos fechados é um conjunto fechado”.
Bola e Interior
Bola aberta. A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a;r) dos pontos de um
espaço métrico M cuja a distância ao ponto a é menor do que r. Ou seja,
B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r}.
Exemplo 4.6 Note que, pela definição de bola e baseado na métrica da reta, teremos que
dado r > 0 e a ∈ R, B(a; r) = {x ∈ R; d(x, a) < r}.
Mas
d(x; a) < r ⇔| x − a |< r ⇔ −r < x − a < r ⇔ a − r < x < r + a
Conclusão, todo intervalo aberto (a-r;a+r) é uma bola aberta de centro a e raio r.
Ponto interior. Dado um conjunto X. Um ponto a ∈ X diz-se um ponto interior a X
quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe > 0 tal que
d(x, a) < ⇒ x ∈ X [5].
Voltar para “Intersecção de conjuntos fechados é um conjunto fechado”.
Voltar para Conjunto Aberto
39
Espaços Métricos
Uma das idéias mais importantes da Matemática é a de continuidade. A grosso
modo, dada uma aplicação f : X → Y definida em um conjunto X e tomando valores
num conjunto Y, diz - se que f é contı́nua no ponto a ∈ X quando é possı́vel tornar f (x)
arbitrariamente próximo de f (a), desde que se tome x suficientemente próximo de a.
Para que a informação anterior signifique algo, é necessário que nos conjuntos em
questão exista alguma estrutura que permita falar em “proximidades”de pontos. Ora a
maneira mais natural de verificar qual de dois pontos x, y, pertencentes a um conjunto
X, está mais próximo de um ponto a ∈ X é medir as distâncias de x e y ao ponto a. Isto
porém só será possı́vel se existir conjuntos onde a noção de distância, for previamente
definida no conjunto X.
Os conjuntos onde se faz sentido falar na distância entre dois pontos são denominados Espaços Métricos.
Para definir Espaços Métricos é necessário definir o que vem a ser uma métrica
[2].
Definição 4.10 De acordo com em Lima (2003),uma métrica num conjunto M é uma
função:
d:M ×M →R
(x, y) 7→ d(x, y)
Ou seja uma função que associa cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M a um número
real d(x,y), chamado distância de x a y.
Além disso, é necessário que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquer x, y e z ∈ M :
40
d1 d(x, x) = 0;
d2 Se x > y, então d(x, y) > 0;
d3 d(x, y) = d(y, x);
d4 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular).
O Espaço Métrico é um par (M,d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em
M [5].
Exemplo 4.7 A reta
d0 : RXR → R
(x, y) 7→ |x − y|
Verifiquemos se a reta, com a métrica anterior, é de fato um Espaço Métrico:
Demonstração 4.7
d1 d0 (x, x) = |x − x| = |0| = 0;
d2 Considere x > y, então d0 (x, y) = |x − y| > 0 (por definição de módulo);
d3 d0 (x, y) = |x − y| = |y − x| = d0 (y, x) (por definição de módulo);
d4 Sabemos que em R: |a + b| ≤ |a| + |b|. Logo pela definição de d0 :
|x − z| = |x − y + y − z| ≤ |x − y| + |y − z| ⇒ d0 (x, z) ≤ d0 (x, y) + d0 (y, z).
Assim R com a métrica d0 é um Espaço Métrico.
Exemplo 4.8 O plano
00
d :
R2 XR2 → R
(x, y) 7→
p
x2 + y 2
Provemos que o plano, com a métrica d00 , é um Espaço Métrico.
41
Demonstração 4.8 Como estamos trabalhando com x, y ∈ R2 podemos escre ver x =
(x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ). Assim:
d1 d00 (x, x) =
p
√
(x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 = 0 + 0 = 0;
d2 Considerando x > y, temos d00 (x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 > 0, uma vez que a
soma de dois quadrados é sempre positiva;
d3 d00 (x, y) =
p
(x − y1 )2 + (x2 − y2 )2 =
{z
| 1
p
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 = d00 (y, x);
}
Como os valores estão ao quadrado a igualdade não se altera.
d4 Mostremos que
d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) ⇔
v
v
v
u 2
u 2
u 2
uX
uX
uX
⇔ t (xi − zi )2 ≤ t (xi − yi )2 + +t (yi − zi )2
i=1
i=1
2
.
i=1
Isto é, pondo xi − yi = ai e yi − zi = bi teremos 3 :
v
v
v
u 2
u 2
u 2
uX
uX
uX
t (a + b )2 ≤ t (a )2 + t (b )2 .
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
Elevando ambos os membros ao quadrado podemos perceber que de monstrar a
desigualdade acima é o mesmo que provar:
2
X
i=1
(ai )2 +
2
X
i=1
(bi )2 + 2
2
X
i=1
ai .bi ≤
2
X
(ai )2 +
i=1
2
X
v
v
u 2
u 2
uX
uX
2
2 t
t
(bi ) + 2
(ai ) .
(bi )2 ⇔
i=1
P2
Note que i=1 (xi − zi )2 ⇔ (x1 − z1 )2 + (x2 − z2 )2
3
Observe que somando as duas equações obtemos xi − zi = ai + bi
2
42
i=1
i=1
⇔2
2
X
v
v
u 2
u 2
uX
uX
2 t
t
ai .bi ≤ 2
(ai ) .
(bi )2 ⇔
i=1
⇔
2
X
i=1
i=1
v
v
u 2
u 2
uX
uX
ai .bi ≤ t (ai )2 .t (bi )2 .
i=1
i=1
i=1
Que é uma conseqüência da desigualdade de Cauchy :
"
2
X
#2
"
≤
ai .bi
2
X
# "
(ai )2
.
2
X
(bi )2
.
i=1
i=1
i=1
#
Logo para demonstrarmos que d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) devemos mostrar que
a desigualdade de Cauchy é verdadeira, para tal vamos analisar a desigualdade observando
2
X
os valores
(bi )2 .
i=1
Note que
2
X
(bi )2 é sempre maior ou igual a zero, logo:
i=1
1. Se
2
X
(bi )2 = 0, então bi = 0, i = {1, 2}, portanto:
i=1
"
2
X
#2
ai .bi
"
=0=
i=1
2. Se
2
X
2
X
# "
(ai )2
.
i=1
i=1
#
(bi )2
i=1
2
(bi ) > 0 o trinômio do segundo grau em λ:
i=1
2
X
2
X
2
X
2 2
(bi ) λ + 2
i=1
2
(ai ) =
2
X
2
X
ai .bi λ +
i=1
(ai + λbi )2 ≥ 0 para ∀ λ. Logo o seu discriminante deve ser menor
i=1
ou igual a zero, isto é:
"
4
2
X
i=1
#2
ai .bi
"
−4
2
X
i=1
43
# "
(ai )2
.
2
X
i=1
#
(bi )2
≤0⇔
"
⇔
2
X
#2
ai .bi
"
≤
2
X
#"
(ai )2
i=1
i=1
2
X
#
(bi )2
.
i=1
Logo: d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) [2].
Voltar para “Intersecção de conjuntos fechados é um conjunto fechado”.
Voltar para Conjunto Aberto.
Voltar para Bola Aberta.
Voltar para Conjunto Limitado.
Voltar para Vizinhança.
Teorema do valor Intermediário
Seja f : [a, b] → R contı́nua, tal que, f (a) 6= f (b). Para cada número d ∈ R
compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d [4].
Demonstração
Consideremos f (a) < f (b) e tomemos f (a) < d < f (b).
Definamos o conjunto
A = {x ∈ [a, b]; f (x) < d}
Vejamos que:
i A 6= ∅, pois a ∈ A.
44
ii Se α ∈ A, existe δ > 0; [α, α + δ] ⊂ A. De fato, seja α ∈ A ⊂ [a, b]. Sendo f contı́nua
em [a, b], e em particular contı́nua em α, temos que dado > 0, ∃δ 0 > 0; x ∈ [a, b] e
|x − α| < δ 0 ⇒ |f (x) − f (α)| < .
Tomemos = d−f (x) > 0. Assim x ∈ [a, b]∩(α−δ 0 , α+δ 0 ) ⇒ f (x) ∈ (2f (x)−d, d).
Logo tomando δ < δ 0 , temos x ∈ [α, α + δ] ⇒ x ∈ A.
iii A é limitado, pois A ⊂ [a, b].
Por (iii), existe c ∈ [a, b], tal que c = supA. Logo, ∀ > 0 ∃ x ∈ A, tal que
c − < x ≤ c < c + , ou seja, (c − , c + ) ∩ A 6= ∅. Assim c ∈ A, isto é, existe
uma seqüência xn , xn ∈ A, ∀n ∈ N tal que (xn ) → c. Sendo f contı́nua, temos
(f (xn )) → f (c).
Como f (xn ) < d, ∀ n ∈ N, temos f (c) ≤ d. Note que, c ∈
/ A pois caso contrário, se
c ∈ A, terı́amos , por (iii), que existiria δ > 0; [c, c + δ] ⊂ A. Portanto f (c) = d.
Voltar ao texto.
Voltar para demonstração de que Fµ (I0 ) = Fµ (I1 ) = I.
Proposição 6, Artigo 2
Assumindo que µ > 1. Se x ∈
/ [0, 1] então Fµj (x) vai para menos infinito quando
j vai para infinito.
Voltar ao texto.
Fµ(I0) = Fµ(I1) = I
45
Demonstração
Temo que Fµ é contı́nua em I0 = [0, x0 ] e I1 = [x1 , 1]. Além disso, 0 = Fµ (0) <
Fµ (x0 ) = 1 e 0 = Fµ (1) < Fµ (x1 ) = 1.
Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário:
• Se Fµ (0) < d < Fµ (x0 ) então existe c ∈ (0, x0 ), tal que Fµ (c) = d;
• Se Fµ (1) < t < Fµ (x1 ) então existe k ∈ (x1 , 1), tal que Fµ (k) = t;
Deste modo, Fµ (I0 ) = Fµ (I1 ) = I.
Voltar ao texto.
Vizinhança
Bola aberta. A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a;r) dos pontos de um
espaço métrico M cuja a distância ao ponto a é menor do que r [5]. Ou seja,
B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r}.
Exemplo 4.9 Note que, pela definição de bola e baseado na métrica da reta, teremos que
dado r > 0 e a ∈ R, B(a; r) = {x ∈ R; d(x, a) < r}.
Mas
d(x; a) < r ⇔| x − a |< r ⇔ −r < x − a < r ⇔ a − r < x < r + a
46
Conclusão, todo intervalo aberto (a-r;a+r) é uma bola aberta de centro a e raio r.
Ponto interior. Dado um conjunto X. Um ponto a ∈ X diz-se um ponto interior a X
quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe > 0 tal que
d(x, a) < ⇒ x ∈ X.
Exemplo 4.10 O centro de uma bola aberta é sempre um ponto interior, isso decorre da
própria definição de bola.
Vizinhança. Num espaço métrico, diz-se que o conjunto V é uma vizinhança do ponto
a quando a ∈ intV.
Exemplo 4.11 O intervalo (−1, 1) é uma vizinhança de zero, basta verificar que B(0; 1) =
(−1, 1).
Voltar ao texto.
Pontos de Acumulação
Definição 4.11 Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando
toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a [2]. Ou seja,
V ∩(X−{a}) 6= ∅. O que é equivalente dizer que, ∀ > 0 tem−se (a−, a+)∩(X−{a}) 6=
∅. Denotamos por X 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X. Se a ∈ X não é ponto
de acumulação dizemos que a é um ponto isolado. Isto é, existe > 0 tal que, a é o
único ponto de X no intervalo (a − , a + ) [4]. Quando todos os pontos do conjunto são
isolados dizemos que o conjunto é discreto.
Voltar ao texto.
47
Referências
[1] CERQUEIRA, Aline Gomes et al. Atratores estranhos como causadores do
caos. Disponı́vel em : http://www.ime.uerj.br/~progerio/iniciacao/2003/
projeto.pdf. Acesso em: 01 de novembro de 2007.
[2] LIMA, Elon Lages. Elementos de Topologia Geral. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Cientı́ficos S. A., 1976.
[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Vol 1. 4. ed. Rio de janeiro: IMPA, 1995.
[4] LIMA, Elon Lages . Análise Real.Vol 1. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, CNPq , 1997.
[5] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 2. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 2003.
[6] MANO, Rui. Sistemas de numeração. Disponı́vel em : http://wwwusers.rdc.pucrio.br/rmano/sn2cvb.html. Acesso em: 31 de agosto de 2008.
[7] ROBINSON, Clark. Dynamical systems : stability, symbolic dynamic, and chaos.
Florida: CRC Press, 1995.
[8] TAHZIBI, Ali. Introdução aos sistemas dinâmicos: notas de aula. Disponı́vel
em: http://www.icmc.usp.br/~tahzibi/index-files/livro.pdf. Acesso em:
30 de outubro de 2007.
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