UNIFRA
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
ÁREA DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICAS
Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática
PROPOSTA METODOLÓGICA PARA O
ESTUDO DE PRISMAS E PIRÂMIDES: O
COMPUTADOR COMO UMA
FERRAMENTA DE APOIO
Aluna – Angélica Menegassi da Silveira
Orientadora – Profª. Drª Eleni Bisognin
Co-Orientadora – Profª. Drª Silvia Maria de Aguiar Isaia
UNIFRA
APRESENTAÇÃO
Nestas
telas
serão
apresentadas
atividades desenvolvidas com uma turma
do terceiro ano do Ensino Médio de uma
escola pública.
O conteúdo abordado refere-se à
Geometria Espacial destacando o estudo
de Prismas e Pirâmides.
Para o desenvolvimento das atividades
utilizou-se o software Cabri3D.
UNIFRA
A importância do uso de
Softwares Educacionais
Ambiente rico de imagens, sons e animações, fornecendo
dessa maneira, um estudo mais dinâmico;
Permite que o aluno experimente, construa, interprete,
visualize situações relativas ao conteúdo de sala de aula;
Diante do computador os alunos procuram as soluções
para os problemas e dessa maneira constroem o próprio
conhecimento.
UNIFRA
As atividades foram
desenvolvidas
Com 14 alunos da 3ª série do Ensino Médio;
Alunos que possuem dificuldades na compreensão
de conteúdos matemáticos, principalmente nos
conteúdos de sólidos geométricos;
No Laboratório de informática da escola equipado
com 15 computadores;
No turno inverso ao da aula normal.
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SEQUÊNCIA DAS
ATIVIDADES
DESENVOLVIDAS
UNIFRA
SESSÃO 1
Introdução aos Estudo de Prismas: Cubo e
Paralelepípedo Retângulo
ATIVIDADE 1.1
O objetivo dessa atividade é que o aluno
reconheça visualmente os seguintes elementos
dos paralelepípedos: forma geométrica das
bases, arestas, vértices, ângulos, faces laterais,
diagonais e diagonais das faces.
1.1 Analise os sólidos S1 e S2 e responda as seguintes questões:
UNIFRA
(a) Qual é a forma geométrica da base de S1 e S2?
(b) Como se classificam esses sólidos quanto a forma geométrica
da base?
(c) Qual é a forma geométrica das faces laterais de cada um dos
sólidos?
(d) Quantas faces cada um dos sólidos S1 e S2 possuem?
(e) Identifique os vértices de S1 e S2 e determine quantos são.
(f) Identifique as arestas laterais e as arestas da base de S1 e S2 e
determine quantas são.
(g) Quantas arestas cada vértice tem em comum?
Comentário
UNIFRA
Verifique nas figuras abaixo se:
• (h) As arestas laterais de S1 e S2 possuem a mesma medida.
• (i) As medidas dos ângulos formados pelas arestas laterais de
cada face de S1 e S2 com o plano da base são iguais.
Comentário
UNIFRA (j)
Desenhe as diagonais de S1 e S2 e determine quantas
são.
Comentário
(k) Verifique a medidas das diagonais. Todas possuem a
mesma medida?
(l) Desenhe as diagonais das faces de S1 e S2.
(m) Verifique se as diagonais possuem a mesma medida.
Comentário
(n) Construa os pontos médios das arestas AB, BC, CG,
HG, EH, AE. Qual é o polígono formado pela união dos
pontos dessas arestas? Os polígonos formados são
regulares? Justifique.
Comentário
UNIFRA
ATIVIDADE 1.2
O propósito dessa atividade é que o aluno
utilize as noções de paralelismo e
perpendicularismo para identificar as arestas e as
faces paralelas e perpendiculares do cubo e do
paralelepípedo.
1.2 Observe
UNIFRA
o cubo S1 e o paralelepípedo retângulo S2 e responda as
seguintes questões:
(a)
Identifique as faces de S1 e S2 que são paralelas entre si. Justifique.
Comentário
(b) Identifique as arestas de S1 e S2 que são paralelas à aresta AD. Justifique.
Comentário
UNIFRA
(c) Identifique as faces de S1 e S2 que são
perpendiculares entre si. Justifique.
Comentário
(d) Identifique as arestas de S1 e S2 que são
perpendiculares à aresta BC. Justifique.
Comentário
(e) As diagonais de cada face de S1 e S2
são perpendiculares entre si? Justifique.
Comentário
UNIFRA (f)
Construa os segmentos unindo os vértices: A, C, H e A
de S1 e S2 e responda:
(i) Qual a medida dos ângulos EÂC, HÂC e EÂH ?
(ii) A afirmação EÂC+ HÂC= EÂH é verdadeira?
Comentário
(iii) Os segmentos construídos anteriormente são diagonais da face?
(iv) Qual é a forma geométrica da figura formada pela união destes
segmentos?
(g) Construa os segmentos unindo os vértices B, G, H e B
de S1 e S2 e responda:
(i) Qual dos segmentos construídos é a diagonal do sólido?
(ii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus
ângulos?
(iii) Qual é a classificação do triângulo BHG em relação aos seus lados?
UNIFRA
ATIVIDADE 1.3
O propósito da Atividade 1.3 é trabalhar o conceito de área
de superfície do cubo e do paralelepípedo retângulo.
UNIFRA
1.3 Construa
a planificação do cubo e do paralelepípedo retângulo
para responder as seguintes questões:
(a) Qual é a forma geométrica das faces? Justifique sua resposta.
(b) Qual é a medida da área de cada uma das faces?
(c) Qual é a medida da superfície do cubo? E do paralelepípedo retângulo?
(d) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta
é duplicada?
(e) O que acontece com a área da superfície do cubo quando a medida da aresta
é triplicada?
(f) Há uma proporcionalidade entre a medida da área da superfície do cubo e a
medida da aresta?
Comentário
Comentário
UNIFRA
ATIVIDADE 1.4
O propósito dessa atividade é explorar a noção de
volume de um cubo e de um paralelepípedo retângulo e
estabelecer algumas relações entre a medida do volume e a
medida das arestas.
1.4
UNIFRA
Determinação do volume do cubo e do paralelepípedo
retângulo.
(a) Analise a construção do sólido formado pelos cubinhos
medindo 1cm cúbico e responda:
(i) Quantos cubinhos unitários há no sólido? Qual é o volume de cada
cubinho?
(ii) Qual é o volume do sólido formado pelos cubinhos? Justifique.
(iii) Se as arestas do cubinho medem 2 cm, qual é o volume do cubo?
UNIFRA
(b) Analise a construção do sólido formado
pelos cubinhos de 1 cm de aresta e
responda:
(i) Quantos cubos unitários há no sólido?
(ii) Qual é o volume do sólido formado pelos
cubinhos? Justifique
(c) Analise a construção do paralelepípedo e
responda:
(i) Qual o volume do paralelepípedo?
(ii) Se a medida da aresta da base do
paralelepípedo for duplicada e a medida da altura
permanecer a mesma, qual é o volume do
paralelepípedo?
(iii) Se a medida da aresta da base for triplicada e
a medida da altura permanecer a mesma, o que
acontece com o volume?
(iv) Se a medida de todas as arestas duplicar o que
acontece com o volume do paralelepípedo?
(v) Se a medida de todas as arestas triplicar o que
acontece com o volume do paralelepípedo?
UNIFRA
UNIFRA
SESSÃO 2
Demais Prismas
ATIVIDADE 2.1
Pretende-se nesta atividade verificar se o aluno ao
visualizar e identificar os elementos de um sólido é
capaz de classificá-lo, verificar a forma geométrica
das faces laterais e da base e concluir se é válido o
teorema de Euler, simplesmente identificando a
validade de seu resultado.
(a) Considere os sólidos geométricos:
UNIFRA
(i) Identifique com a cor amarela os vértices dos sólidos S1, S2, S3,
S4, S5, S6 e S7.
(ii) Identifique com a cor vermelha as arestas laterais dos sólidos S1,
S2, S3, S4, S5, S6 e S7.
(iii) Identifique com a cor verde as arestas das bases dos sólidos S1,
S2, S3, S4, S5, S6 e S7.
(iv) Identifique com a cor rosa as faces laterais dos sólidos S1, S2, S3,
S4, S5, S6 e S7.
Comentário
UNIFRA
(b) Preencha as lacunas abaixo:
S1
(i) Nº de vértices
(ii) Nº de arestas laterais
(iii) Nº de faces laterais
(iv) Nº de arestas das bases
S2
S3
S4
S5
S6
S7
UNIFRA
SESSÃO 2Demais Prismas
ATIVIDADE 2.2
O propósito dessa atividade é calcular a
área da superfície lateral e da superfície total dos
prismas efetuando as planificações.
UNIFRA
(a) Considere os prismas:
(i) Utilizando a cor rosa identifique as forma geométrica
das faces laterais de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7. Justifique
sua resposta.
UNIFRA
b) Utilizando a cor verde identifique a forma geométrica da
base de S1, S2, S3, S4, S5, S6 e S7 e preencha as lacunas
abaixo:
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
Forma Geométrica da Base
c) Classifique os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7 de
acordo com a forma geométrica da base.
S1
Classificação de Acordo com a
Forma Geométrica da Base
Comentário
S2
S3
S4
S5
S6
S7
d) Verifique
UNIFRA
se é verdadeira a igualdade V-A+F=2
para os sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7.
Conjectura: Esta relação é válida para todos os
sólidos?
Comentário
e) Qual é a medida do ângulo formado pelas arestas
laterais com as arestas da base de cada um dos
sólidos S1, S2 e S3, S4, S5, S6 e S7? Justifique sua
resposta.
f) Um prisma é regular se suas bases são polígonos
regulares e suas faces laterais são perpendiculares
às bases. Quais dos prismas analisados são
regulares?
UNIFRA
ATIVIDADE 2.3
O propósito dessa atividade é
calcular a área da superfície lateral e total
dos prismas S1, S2, S3 e S4 efetuando as
planificações.
(a) Considere os prismas abaixo:
UNIFRA
Em cada um dos prismas una os vértices da base ao centro da base:
(i) Qual é a forma geométrica de cada figura obtida?
(ii) Quantas figuras foram obtidas em cada sólido?
(iii) Qual é a medida dos lados da figura obtida em cada sólido?
(iv) Os lados da figura obtida têm a mesma medida da aresta da base do
prisma?
(v) Determine a área da figura obtida de cada prisma.
Comentário
UNIFRA
b) Faça as planificações dos prismas S1,S2,
S3 e S4
Comentário
c) Determine a área das faces laterais dos
prismas.
Comentário
d) Determine a área da superfície total de cada
um dos prismas.
UNIFRA
ATIVIDADE 2.4
O propósito dessa atividade é calcular o
volume de um prisma.
(a) Observe os prismas S1 e S2
UNIFRA
β
α
O prisma S1 possui uma altura de 3,5 cm e área
da base 9 cm2 e, o prisma S2 (paralelepípedo
retângulo), possui uma altura de 3,5 cm e área
da base 9 cm2. As bases de S1 e S2 são
construídas num mesmo plano.
UNIFRA
Como a área da base e a altura dos dois
prisma são congruentes, podemos afirmar
que os dois sólidos possuem o mesmo
volume?
Comentário
Como podemos calcular o volume do
prisma pentagonal e do prisma hexagonal?
Comentário
Comentário
UNIFRA
SESSÃO 3
Pirâmides
ATIVIDADE 3.1
O objetivo dessa atividade é identificar os
elementos: arestas, ângulos, faces e apótemas de uma
pirâmide bem como deduzir as propriedades desses
elementos.
UNIFRA
Na figura abaixo encontram-se as pirâmides
P1, P2, P3 e P4:
a) Identifique em cada uma das pirâmides:
(i) Vértice da pirâmide com cor amarela;
(ii) Vértices da base com cor azul;
(iii) Arestas laterais com cor vermelha;
(iv) Arestas da base com cor verde.
Comentário
UNIFRA
b) Preencha as lacunas abaixo:
P1 P2 P3 P4
Nº de vértices
Nº de arestas laterais
Nº de faces laterais
Nº de arestas da base
UNIFRA
c)
(i) Meça o comprimento das arestas da base
das pirâmides P1, P2, P3 e P4 e preencha as
lacunas abaixo:
P1
P2
P3
P4
Medida das arestas da base
(ii) Os polígonos formados pelas arestas da
base são regulares?
UNIFRA
(d)Meça o comprimento das arestas laterais de
P1, P2, P3 e P4 e preencha as lacunas
abaixo:
P1
P2
P3
Medida das arestas laterais
As medidas das arestas laterais de cada
pirâmide são iguais?
P4
UNIFRA
Em toda pirâmide regular o segmento VO,
em destaque na figura abaixo, é a
distância do vértice da pirâmide ao centro
da base e determina a altura da
pirâmide:
UNIFRA
Na figura abaixo encontram-se as pirâmides
P1, P2, P3 e P4:
(i) Construa o segmento que une o vértice
“V” ao centro da base “O” de cada uma das
pirâmides.
e) Construa o polígono que une o vértice da pirâmide
ao centro da base e ao vértice B de cada uma das
pirâmides e classifique o triângulo VOB formado
em cada uma das pirâmides.
UNIFRA
Comentário
f) Construa o ponto médio das arestas da base das
pirâmides e meça o ângulo formado pelos
segmentos que unem o vértice da pirâmide, o
centro da base e o ponto médio da aresta da base.
Comentário
UNIFRA
g) Em toda pirâmide, chama-se apótema ao
segmento VM, em destaque na figura
abaixo, cujos extremos são o vértice da
pirâmide e o ponto médio de uma das
arestas da base:
UNIFRA
(i) Represente um apótema em cada uma das
pirâmides:
(ii) Qual é a forma geométrica das faces laterais das
pirâmides?
(iii) O que o apótema representa para o triângulo que
forma a face lateral da pirâmide?
.
UNIFRA
(h) Em toda pirâmide regular, chama-se apótema da
base o segmento OM, em destaque na figura
abaixo, cujos extremos são o centro da base e o
ponto médio de uma das arestas da base:
Construa o apótema da base de cada uma das
pirâmides.
UNIFRA
ATIVIDADE 3.2
O objetivo dessa atividade é classificar as
pirâmides considerando a forma geométrica da base e
determinar a área da superfície total de cada pirâmide.
UNIFRA
Na figura abaixo encontram-se as pirâmides
P1, P2, P3 e P4:
UNIFRA
a) Identifique a forma geométrica da base de
cada uma das pirâmides. Justifique a sua
resposta.
P1
Forma geométrica da base
P2
P3
P4
b) Determine a área da base de cada uma das
pirâmides.
UNIFRA
c) Faça a planificação das pirâmides
d) Determine a área lateral e a área total das
pirâmides
UNIFRA
Para o cálculo da área lateral e da área total
é necessário efetuar as planificações.
UNIFRA
Atividade 3.3
O propósito desta atividade é calcular o volume de
uma pirâmide a partir do volume de um prisma.
UNIFRA
Na figura abaixo encontra-se um prisma triangular
decomposto em três pirâmides de diferentes cores.
(a) Verifique se a área das bases do prisma triangular é igual a
área das bases das pirâmides de mesma cor. O que você
observou?
(b) Como você relaciona o volume das pirâmides com o
volume do prisma?
Comentário
CONSIDERAÇÕES FINAIS
UNIFRA
Verificou-se, que a visualização e o movimento
que o recurso computacional proporcionou,
fizeram com que os alunos articulassem melhor o
raciocínio na resolução dos problemas.
Verificou-se que o uso da ferramenta
computacional permitiu aos alunos enfrentar os
obstáculos encontrados na resolução de algumas
atividades, visto que, o anseio era muito grande
em utilizar as ferramentas oferecidas pelo
software.
UNIFRA
De maneira geral, os alunos envolveram-se na
resolução das atividades, aprendendo a trabalhar
em grupo com seus colegas, utilizando-se de um
software geométrico para a construção,
visualização e manipulação das figuras.
Quanto à interação entre as duplas e entre os
elementos das duplas, esta aconteceu desde o
primeiro momento, pois quando surgia alguma
dificuldade em usar os comandos do software, ou
uma propriedade que uma das duplas tivesse
descoberto, imediatamente comunicavam aos
demais e se ajudavam mutuamente.
UNIFRA Retomando
o objetivo geral dessa investigação, ou seja,
verificar se a utilização do programa computacional Cabri
3D contribuiu para a construção de um espaço de ensino e
aprendizagem voltado para o entendimento lógico dos
sólidos geométricos, prismas e pirâmides, chegou-se a
conclusão que ele foi parcialmente atingido.
Esta experiência também propiciou mudanças no
comportamento da professora. Para ela sair da zona de
conforto foi uma experiência nova, porém o fato de
verificar que o modo como a geometria era trabalhada não
favorecia a aprendizagem dos alunos, impulsionou-a a
caminhar na direção de uma zona de risco e mudar sua
prática pedagógica. São muitas as formas de mudar a sala
de aula e, o uso de um recurso computacional como o
software Cabri3D, de geometria dinâmica para o ensino de
geometria, favoreceu positivamente esta mudança.
UNIFRA
No entanto, é muito difícil que se consiga
desenvolver no aluno a capacidade de raciocinar
logicamente, somente com a aplicação de uma
sequência didática, num período de tempo de
apenas seis encontros.
Para que isto acontecesse seria necessário um
trabalho sistemático, tendo início no ensino
fundamental e continuando nas demais séries.
Entretanto, acredita-se que, a partir dos resultados
obtidos, foi possível contribuir com o
desenvolvimento do pensamento lógico dos
alunos, em alguns aspectos.
UNIFRA
SÃO APRESENTADAS A SEGUIR AS ATIVIDADES DA
AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA APICADA AOS ALUNOS
PARTICIPANTES DA PESQUISA CUJOS RESULTADOS
AUXILIARAM NA ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES
DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA.
UNIFRA
TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1
O propósito dessa atividade é verificar se o aluno é capaz de reconhecer
e nomear as figuras geométricas e seus elementos por sua aparência,
sem necessidade de explicitar as suas propriedades.
UNIFRA
TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 1
UNIFRA
UNIFRA
UNIFRA
TESTE DIAGNÓSTICO– Atividade 2
Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de analisar
as figuras geométricas identificando algumas de suas propriedades.
UNIFRA
UNIFRA
UNIFRA
UNIFRA
TESTE DIAGNÓSTICO – Atividade 3
Nesta atividade pretendeu-se verificar se o aluno era capaz de fazer
comparações entre as faces planificadas.
UNIFRA
UNIFRA