Aula: Fatorial e binomial
BINOMIAIS
E
TRIÂNGULO DE PASCAL
Professora Adriana Massucci
Fatorial e binomial
 Fatorial de um número inteiro e não negativo n se
define como sendo a expressão:
n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . (n – 4) ... 2 . 1
Indicação: n! (n fatorial)
 Exemplos:
a) 2! = 2 . 1 = 2
b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320
Professora Adriana Massucci
Observações:
 Definimos: 0! = 1 e 1! = 1
Convém notar que:
 7 = 7 . 6!
 9 = 9 . 8 . 7!
 n! = n . (n – 1)!
 (n + 1)! = (n + 1) . n!
 (n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)!
Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne
conveniente para resolvermos um exercício.
Professora Adriana Massucci
Exemplos:
1) Simplifique as expressões:
7! 7.6.5!
𝑎) =
= 42
5!
5!
𝑛!
𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 !
𝑏)
=
= 𝑛. (𝑛 − 1)
𝑛−2 !
𝑛−2 !
Professora Adriana Massucci
𝑛! − 𝑛 + 1 ! 𝑛. 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !
𝑐)
=
𝑛−1 !
𝑛−1 !
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚
𝑛 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 !
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑛−1 !
𝑛 𝑛 − 1 !. 1 − (𝑛 + 1)
𝐸𝑛𝑡ã𝑜:
= 𝑛. −𝑛 = −𝑛2
𝑛−1 !
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Equações:
 Resolva as equações:
𝑎) 𝑛! = 24
Solução:
𝑛! = 4!
𝑛=4
𝑉= 4
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∎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: 24! 𝑒𝑚 4!
Ainda em equações...
𝑏) 𝑛 − 1 ! = 10. 𝑛 − 2 !
Solução:
𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! = 10 𝑛 − 2 !
𝑛 − 1 = 10
𝑛 = 11
𝑉 = 11
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Números binomiais
 Número binomial é todo número na forma:
𝑛!
𝑛
𝑝 = 𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁 𝑒 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛)
Obs.: n é o numerador do binomial e p é o
denominador.
7!
7!
7.6.5.4!
7
Exemplo:
=
=
=
= 7.5 = 35
3! 7−3 !
3!.4!
3.2.1.4!
3
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Binomais importantes:
𝑛
𝑛!
𝑛!
1

=
=
= =1
0!.(𝑛−0)!
0!.𝑛!
1
0
𝑛

=
𝑛!.
𝑛
𝑛!
𝑛−𝑛 !
𝑛

=
1!.
1
𝑛!
𝑛−1 !
=
𝑛!
𝑛!0!
=
𝑛.(𝑛−1)!
1! 𝑛−1 !
5
Exemplos:
=1
0
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=1
=
𝑛
1
=𝑛
7
=7
1
8
=1
8
Binomiais consecutivos:
 Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo
numerador e denominadores consecutivos. Ou seja:
𝑛
𝑛
e
⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑝
𝑝+1
Exemplos:
7
2
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𝑒
7
3
𝑜𝑢
8
1
𝑒
8
2
.
Propriedades:
 Relação
de Stifel: a soma de dois binomiais
consecutivos resulta num binomial cujo numerador é
uma unidade maior que o numerador dos binomiais
somados, e cujo denominador é o maior dos
denominadores envolvidos na soma.
𝑛
𝑛
𝑛+1
+
=
𝑝
𝑝+1
𝑝+1
Exemplo:
8
4
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+
8
5
=
9
5
Ainda em propriedades...
 Igualdade: dois binomiais são iguais quando:
𝑛
𝑛
5
5
o São “exatamente” iguais: 𝑝 = 𝑝 . Ex: 3 e 3
o São complementares: Dois binomiais de mesmo
numerador são complementares se a soma de seus
denominadores resulta o numerador. Ex: 72 e 75 .
Pois:
7
7!
𝟕!
7
7!
𝟕!
=
=
𝑒
=
=
2
2!. 7 − 2 ! 𝟐!. 𝟓!
5
5!. 7 − 5 ! 𝟓!. 𝟐!
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Exercícios:
1.
Simplifique a expressão:
15
15
16
17
+
+
+
4
5
6
7
16
16
17
+
+
5
6
7
17
17
+
6
7
18
7
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2. Calcule x nas equações:
10
9
9
𝑎)
=
+
𝑥
2
3
10
10
11
𝑏)
+
=
5
𝑥
6
R: a) x = 3 ou x = 7
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b) x = 6
Triângulo de Pascal
Quando expomos os
𝑛
binomiais
em
𝑝
linhas e colunas, de
modo que os de
mesmo
numerador
fiquem
em
uma
mesma linha e os de
mesmo denominador
fiquem
em
uma
mesma
coluna,
estamos construindo o
triângulo de Pascal:
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Analisando os valores dos binomiais no△:
Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu
resultado, o triângulo fica assim:
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Propriedades do △:
𝑛
 O primeiro elemento de cada linha é na forma 0 ,
logo é igual a 1;
𝑛
 O último elemento de cada linha é na forma 𝑛 , logo
é igual a 1;
 Em uma linha binomiais equidistantes são iguais:
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
↓ ↓
↓ ↓
↓ ↓
1 5 10 10 5 1
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Ainda em propriedades do △...
A
soma
de
dois
elementos consecutivos
de uma mesma linha é
igual
ao
elemento
situado imediatamente
abaixo
do
segundo
elemento
somado
(relação de Stifel).
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Teoremas...
Teorema das Linhas:
a soma de todos os
elementos de uma
mesma linha do
triângulo de Pascal é
igual a 2𝑛 , onde n
corresponde a linha
do triângulo. (linha
0, linha 1 e assim
por diante).
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Teorema das colunas:
a soma dos elementos
de uma mesma coluna
do triângulo de Pascal,
iniciando-se com o 𝑛𝑛 ,
é igual ao elemento
situado
na
linha
imediatamente abaixo
e
na
coluna
imediatamente
à
direita
do
último
elemento somado.
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Teorema das Diagonais:
a soma dos elementos
de uma mesma diagonal
do triângulo de Pascal,
iniciando-se com o
𝑛
é igual ao elemento
0
situado
na
mesma
coluna e na linha
imediatamente abaixo
do último elemento
somado.
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Ampliando os horizontes.....
 Somatório:
É indicado pela letra grega ∑ (sigma) e representa a
soma de um determinado números de parcelas com
uma característica comum. Observe:
Limite superior
3
𝑖
2
, 𝑜𝑛𝑑𝑒:
𝑖=0
3
𝑖2
𝑖=0
Limite inferior
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Isto quer dizer que....
3
𝑖 2 = 02 + 12 + 22 + 32 = 0 + 1 + 4 + 9 = 14
𝑖=0
Mais um exemplo:
4
2𝑛 − 1 = 2.1 − 1 + 2.2 − 1 + 2.3 − 1
𝑛=1
+ 2.4 − 1 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
Professora Adriana Massucci
Agora com equações...
 Resolva a equação na variável n:
2
𝑖=0
𝑛
= 29
𝑖
𝑛
𝑛
𝑛
⇒
+
+
= 29
0
1
2
⇒ 1 +
𝑛+1
= 29
2
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𝑛+1
⇒
= 28
2
⇒
𝑛 − 1!
⇒
= 28
2! 𝑛 − 1 − 2 !
𝑛 − 1!
⇒
= 28
2! 𝑛 − 3 !
𝑛−1 . 𝑛−2 . 𝑛−3 !
⇒
= 28
2.1. 𝑛 − 3 !
𝑛 − 1 . (𝑛 − 2)
⇒
= 28 ⇒
2
𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 = 56
⇒ 𝑛2 − 3𝑛 + 2 = 56 ⇒ 𝑛2 − 3𝑛 − 54 = 0 ⇒ 𝑉 = 9
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Desenvolvimento do binômio (𝑎 + 𝑏)𝑛
 (𝑎 + 𝑏)0 = 1
 (𝑎 + 𝑏)1 = 1𝑎 + 1𝑏
 (𝑎 + 𝑏)2 = 1𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 1𝑏
 (𝑎 + 𝑏)3 = 1𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 1𝑏 3
... e assim por diante...
Observe que:
 Os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos
de cada binômio acima correspondem a cada linha
do triângulo de Pascal;
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 Enquanto que os expoentes do 1º termo do binômio
(a) cresce, os expoentes do 2º termo (b) decrescem;
 Cada desenvolvimento tem um termo a mais que seu
expoente. Ex: (𝑎 + 𝑏)𝟐 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝟑 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔
Professora Adriana Massucci
Isto quer dizer que....
 Para determinar os termos do desenvolvimento de
um binômio elevado a n, temos:
𝑎+𝑏
𝑛
𝑛 𝑛 0
𝑛 0 𝑛
𝑛 𝑛−1 1 𝑛 𝑛−2 2
=
𝑎 𝑏 +
𝑎
𝑏 +
𝑎
𝑏 +...+
𝑎 𝑏
0
𝑛
1
2
Ou utilizando somatório, temos que:
𝑛
(𝑎 +
𝑏)𝑛 =
𝑘=0
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𝑛 𝑛−𝑘 𝑘
𝑎
𝑏
𝑘
𝐨𝐛𝐬: 𝑠𝑒 𝑎 − 𝑏
𝑛
= 𝑎 + −𝑏
𝑛
Termo geral do binômio:
Se quisermos “conhecer” um termo qualquer do
binômio, basta utilizarmos o termo geral do binômio:
𝑇𝑘+1
𝑛
=
. 𝑎𝑛−𝑘 . 𝑏𝑘
𝑘
𝑜𝑛𝑑𝑒:
 Para termos o 1º termo (𝑇1 ) k deve ser igual a zero,
pois:
𝑇𝑘+1 = 𝑇1  𝑘 + 1 = 1𝑘 = 0
Professora Adriana Massucci
Fontes:
 http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_D
E_NEWTON.pdf
 http://www.cci401.com.br/Util/HandlerArquivoBibl
ioteca.ashx?arq=129
 Livro: Matemática ciência e aplicações – Gelson
Iezzi.
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