8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
&21-81726180e5,&26
&RQMXQWRGRVQ~PHURVQDWXUDLV1
Chama-se conjunto dos números naturais – símbolo 1 – ao conjunto formado pelos
números 0, 1, 2, 3, ..., n, ... .
1= {0, 1, 2, 3, 4, ... }
_ Operações da aritmética em 1
Neste conjunto, são definidas três operações da aritmética: a adição, a multiplicação, a
potenciação, que apresentam as propriedades:
a) Adição
_ Associativa: D E F D E F
_ Comutativa: D E E D
_ Elemento neutro: D 0 D
A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural.
Ex.:
( 8, 12, 20  1 )
8 + 12 = 20
b) Multiplicação
_ Associativa: DEF DEF
_ Comutativa: D.E E.D
_ Elemento neutro: D.1 D _ Distributiva da multiplicação em relação à adição: DE F
DE DF
O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural.
Ex.:
6 x 5 = 30
( 6, 5, 30  1 )
c) Potenciação:
_ Multiplicativa: D P .D Q D PQ
_ Distributiva: ( D.E) Q D Q .E Q
_ ...................: ( D P ) Q D P.Q
Se n é um número natural, então n + 1 é um número natural, tal que:
x n e n + 1 são chamados “números naturais FRQVHFXWLYRV”;
x n é o DQWHFHVVRU de n + 1;
x n + 1 é o VXFHVVRU de n.
Ex.: 3 e 4 são consecutivos; 3 é o antecessor de 4; 4 é o sucessor de 3.
10
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Considerando a existência do conjunto 1= {0, 1, 2, 3, 4, ... }, denominado de “conjunto
dos números naturais”.
Indicaremos por 1o conjunto de todos os números naturais, exceto o zero:
1 = 1 – {0}
Logo, temos:
1= {1, 2, 3. 4, ...}
&RQMXQWRGRVQ~PHURVLQWHLURV=
Os números naturais não são suficientes para resolvermos todos os problemas
matemáticos que aparecem no dia-a-dia. Por exemplo, o resultado do balanço contábil
de uma empresa é a diferença entre a receita e as despesas. Observe a tabela abaixo,
onde estão representados o resultado do balanço anual de uma pequena empresa:
receita (R$)
despesa (R$)
resultado (R$)
1997
20.200
10.000
20.200 – 10.000 = 10.200
1998
26.000
20.000
26.000 – 20.000 = 6.000
1999
27.000
30.000
27.000 – 30.000 =
...
Note que não existe nenhum número natural que represente o resultado contábil da
empresa no ano de 1999, pois, para que a diferença a – b exista em 1, devemos ter
b d a. Para representar o resultado de 27.000 – 30.000 é necessário um outro número
não natural: o número negativo – 3.000. Assim, dizemos que o resultado contábil da
empresa em 1999 foi de –3.000 reais, ou seja, a empresa teve um prejuízo de 3.000
reais.
Denominamos de FRQMXQWRGRVQ~PHURVLQWHLURV ± símbolo = ± o conjunto :
= = { ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Alguns subconjuntos de = que merecem destaque são descritos a seguir:
Conjunto dos números inteiros não-nulos ( = ):
= = { ... , –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ... }
Conjunto dos números inteiros não-negativos ( = ):
= = {0,1, 2, 3, 4, ... } ou = = {x  = | x t 0}
Conjunto dos números inteiros positivos ( = ):
= = {1, 2, 3, 4, ... } ou = = {x  = | x > 0}
11
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Conjunto dos números inteiros não-positivos ( =B ):
=B = { ... , –4, –3, –2, –1, 0 } ou =B = {x  = | x s0}
Conjunto dos números inteiros negativos ( Z_* ):
=B = { ... , –4, –3, –2, –1 } ou =B = {x  = | x < 0}
Nota:
Não podemos denominar o conjunto =B de conjunto dos inteiros negativos porque o
zero não é negativo. Analogamente, o conjunto = não pode ser denominado de
conjunto dos inteiros positivos porque o zero não é positivo.
_ Operações da aritmética em =
No conjunto = , estão definidas as operações em 1 e o simétrico ou oposto para a
adição:
Para todo a = existe - a = tal que a + (- a) = 0
Esta propriedade permite definir a operação de subtração:
a – b = a + (- b) para todo a, b =
Propriedades:
I.
Todo número natural é inteiro, isto é, 1  =.
Ex.:
II.
Ex.:
III.
4  1; logo 4  =
A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
8 + 12 = 4
( 8, 12, 4  = )
A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
Ex.:
( 8, 12, 4  = )
( 8) – (12) = 4
III.
Ex.:
O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro.
( 6) x ( 2) = 12
( 6, 2, 12  = )
V.
Se n é um número inteiro, então n + 1 é um número inteiro, tal que:
x n e n + 1 são chamados “números inteiros FRQVHFXWLYRV”;
12
x
x
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
n é o DQWHFHVVRU de n + 1;
n + 1 é o sucessor de n.
Ex.: 5 e 4 são consecutivos; 5 é o antecessor de 4; 4 é o sucessor de 5.
VI.
Todo número inteiro possui sucessor e antecessor.
VII.
Para todo número inteiro x existe o inteiro y, denominado de “RSRVWR de x”, tal
que: y + x = x + y = 0. Indicaremos o oposto de x por x.
Ex.:
(a) O oposto de 5 é 5.
(b) O oposto de 3 é ( 3) = 3.
(c) O oposto de 0 é 0 = 0
&RQMXQWRGRVQ~PHURVUDFLRQDLV Q
As necessidades de cada época têm exigido o surgimento de novos números. Os
números UDFLRQDLV foram criados a partir da necessidade de dividir dois números
inteiros (por exemplo, 1 : 4). Essa divisão, tão freqüente em nosso cotidiano, é
fundamental para resolver muitos problemas práticos, tais como a divisão de um terreno
em quatro partes iguais. Porém, se você estivesse vivendo numa época em que ainda
não existissem as frações, sentiria necessidade delas para resolver diversos problemas.
S
,
T
em que S  = e T  =. Número racional é todo aquele que pode ser representado por
uma razão (fração) entre dois números inteiros. Matematicamente, representamos:
Chama-se de conjunto dos números racionais – símbolo Q – o conjunto das frações
S
, { S, T}  =e T z 0
T
Ex.:
(a) 0,25 é um número racional, pois pode ser representado pela razão entre dois
1 2
números inteiros: , , etc.
4 8
(b) 3 é número racional, pois pode ser representado pela razão entre dois números
3 6
inteiros: , , etc.
1 2
3
(c) Outros: 0,
, 3,26, etc.
8
Indicamos o conjunto de todos os números racionais pela letra Q. Então:
13
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
­
°S
Q = ®  Z e T  Z*
°̄ T
½
°
¾
°
¿
Alguns subconjuntos de Q que merecem destaque são descritos a seguir:
Conjunto dos números racionais não-nulos ( Q* ):
Q* = {x Z | x z 0}
Conjunto dos números racionais positivos ( Q + * ):
Q+*
{x  Q | x > 0}
Conjunto dos números racionais não-negativos ( Q + ):
Q + {x  Q _x •`
Conjunto dos números racionais negativos ( Q_* ):
Q_*
{x  Q _x < 0}
Conjunto dos números racionais não-positivos ( Q_ ):
Q_ {x  Q _x d 0}
Vale observar que todo número inteiro é racional, pois todo número inteiro x pode ser
[
escrito sob a forma de uma razão entre inteiros: . Já sabemos que todo número
1
natural é inteiro; logo todo número natural também é racional.
Propriedades:
I.
A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional.
Ex.:
2
5
3
II.
§ 3 17
¨ , 5,  Q
¨2
3
©
17
3
A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional.
Ex.:
(3; 0,8; 2,2  Q )
3 – 0,8 = 2,2
III.
·
¸
¸
¹
O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional.
14
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Ex.:
IV.
3 1
˜
2 5
O quociente de dois números racionais quaisquer é um número racional.
Ex.:
V.
3 1 3
( , , Q )
2 5 10
3
10
4
: ( 2)
3
4
2
( ,2,  Q )
3
3
2
3
Dados dois números racionais p e q, com p < q, existe um número racional m, tal
que:
SPT
Esta propriedade nos garante que entre dois números racionais distintos VHPSUH
existe um outro número racional. Podemos então dizer que entre dois números
racionais diferentes existem infinitos números racionais.
Ex.: 0, 7 e 0,8: existe o número 0,75 tal que 0,7 < 0,75 < 0,8.
VI.
Para todo número racional x existe o racional y, denominado de “RSRVWR de x”,
tal que: y + x = x + y = 0. Indicaremos o oposto de x por x
Ex.:
1
1
é .
5
5
(b) O oposto de 0,3 é ( 0,3) = 0,3.
(a) O oposto de
VII.
Para todo número racional [[ z 0, existe o racional \, denominado de “LQYHUVR
ouUHFtSURFR de [”, tal que: \[ [\ . Indicaremos o inverso (ou recíproco)
1
de [ por .
[
Ex.:
(a) O inverso (ou recíproco) de
1
é 5.
5
(b) O inverso (ou recíproco) de 0,3 é 10
.
3
_ DEFINIÇÕES
a) Igualdade
S
P
pode ter numerador e denominador diferentes do número U
.O
T
Q
número U por sua vez pode ser subdividido em N partes N z 0 . Esse número será
P˜N
P
expresso por U
(que é igual a ).
Q˜N
Q
O número V
15
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
P
, todo o número racional V
Q
Dado um número racional U
T Q ˜ N , é igual a U
Façamos o produto PTe SQ
Vemos que P ˜ T
Portanto:
Exemplo:
1
3
P˜T
S˜Q
P˜Q˜N P˜Q˜N S˜Q P
Q
S
œ P˜T
T
S˜Q
5
œ 1 ˜ 15 5 ˜ 3
15
_ Redução ao mesmo denominador
S
P
e V
, podemos escrever:
Q
T
(Utilizaremos sempre a redução ao menor denominador comum).
Dados U
b) adição
P
S
e V
Q
T
Reduzindo ao mesmo denominador
Sejam U
U
donde
UV
P˜T
Q˜T
P˜T
Q˜T
e V
Q˜ S
Q˜T
Q˜ S
Q˜T
P˜T Q˜ S
Q˜T
Mantêm-se todas as propriedades de adição dos números inteiros.
Exemplo:
1
3
1
2
1˜ 2
3˜ 2
1˜ 3
2˜3
2
6
3
5
6
6
c) multiplicação
c1) multiplicador inteiro
S
˜Q
T
S S S
S
QSDUFHODV
T T T
T
16
S
, onde S
T
P˜N e
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Exemplo:
2
2˜5
1)
˜5
3
3
3
3˜8
2)
˜8
4
4
10
3
24
4
S
˜Q
T
Q˜ S
T
S
T
Q˜ S
T
6
c2) multiplicador fracionário
Exemplo:
3 4 ˜ 3 12
1) 4 ˜
7
7
7
2 5 ˜ 2 10
2) 5 ˜
15 15 15
c3) caso geral
5˜ 2
5˜3
Q˜
2
3
S˜U
S U
S˜U
V
˜
T V
T
T
T˜V
(veja desenvolvimento em d1) abaixo)
S˜
U
V
Mantêm-se todas as propriedades da multiplicação em números inteiros.
Exemplo
1 3 1˜ 3
˜
3 5 3˜5
3
15
1˜ 3
3˜5
1
5
d) divisão
Da operação com números inteiros:
DyE
FD
S
yQ
T
[
E˜F
para os números racionais temos:
d1) divisor inteiro
O número
Q˜[
S
T˜Q
S
S
, já que [ ˜ Q
˜Q
T
T˜Q
[
satisfaz à igualdade Q ˜ [
S
T
17
S˜Q
T˜Q
S
, temos:
T
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
S
yQ
T
S
T˜Q
Para dividir um número racional por um número inteiro, multilplicamos o denominador
por este número.
S˜U
V
T
S˜U
yT
V
S˜U
T˜V
donde
S˜U
T˜V
S U
˜
T V
Exemplo:
1
y5
3
1
3˜5
1
15
d2) divisor fracionário
de acorde com d1)
S U
y
T V
O número [
[  [˜
S˜V
satisfaz à igualdade já que
T˜U
[˜
U
V
S˜V U
˜
T˜U V
U
V
S
T
S˜V˜U
T˜U˜V
S
T
temos portanto
S U
y
T V
S˜U
T˜V
S V
˜
T U
Para dividir um número racional por outro número racional, multilplicamos o primeiro
pelo inverso do segundo.
Exemplo:
18
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
1 2
y
3 5
1˜ 5
3˜ 2
1 5
˜
3 2
5
6
e) potenciação de expoente inteiro
§ S·
¨¨ ¸¸
©T¹
S S S
˜ QPXOWLSOLFDQGRV
T T T
Q
da definição de produto
§ S·
¨¨ ¸¸
©T¹
SQ
TQ
Q
f) radiciação
Q
logo [
Q
Q
S
T
S
T
S
T
[  [Q
, já que
[
§Q S ·
¨
¸
¨Q T¸
©
¹
Q
Q
S
T
Q
Q
Q
S
T
S
T
Q
Q
S
Q
T
Q
exemplo:
1)
16
81
2) 4
16
81
4
4
16
81
4
9
16
81
2
3
e2) potenciação de expoente fracionário
S
T
S
T
Seja a operação U , queremos encontrar [ U
De acordo com a operação descrita em 1c) potenciação, vemos que
[
Podemos concluir que [
T
T
§ TS ·
¨U ¸
¨ ¸
© ¹
T
U
S
˜T
T
US
U S é a operação que procuramos, então
19
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
U
S
T
T
US
Exemplo:
2
3
83
82
3
3
64
43
4
3URSULHGDGHVGRVUDGLFDLV
As propriedades a seguir só podem ser aplicadas para radicais com radicandos nãonegativos quando o índice do radical for par. Para o índice do radical ímpar não há
impedimento.
Obedecidas as condições de existência, tem-se que:
Q
I.
Q
II.
Q
QS
III.
D ˜Q E
D
E
D
D NS
(b)
5
8
2
5
3
8
2
DE ;
DN ;
DN ;
Q
QN
Ex.:
(a) 3 5 ˜ 3 2
5
Q
N
D
Q N
V.
D
;
E
Q
Q
IV.
Q
D.
5 u 2
5
3
10
4
(c)
6
54
(d)
3
85 = 3 8 5 = 3 2 3 5 = 3 2 3 5 = 25 = 32
(e)
3
7
3[2
52 [ 2
3[2
7
3
6
52
7
6LPSOLILFDomRGRVUDGLFDLV
Ex.: Simplificar os radicais:
(a)
50
Resolução:
50 2
25 5
Ÿ 50 = 2 x 5 x 5 = 2 x 52 . Logo,
5 5
1
20
50 =
2 u 52
2 u 52
5 2
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
(b)
3
16
Resolução:
16 2
8 2
4
2
1
Ÿ 16 = 24. Logo, 3 16 =
2
2
3
24
3
23 u 2
23 2
2SHUDomRFRPUDGLFDLV
Ex.: Efetuar:
(a) 6 5 3 5 2 5 =
5 6 3 2 =
7 5
(b) 33 2 ˜ 53 3 =
(3 x 5)( 3 2 ˜ 3 3 )=
153 6
(c) 4 62 3 =
4 6
˜
2 3
4 6
2 3
'HILQLomR Sendo D um número real, define-se: D1 = D
Ex.:
(a) 51 5
(b) (-8)1 - 8
'HILQLomR Sendo D um número real, define-se: D 0
Ex.:
(a) 0 § 7·
(b) ¨ © 3 ¹̧
0
1
21
1
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
'HILQLomR Sendo D um número real não-nulo e Q um número inteiro, define-se:
D Q
1
DQ
Exemplo:
(a) 5-2 =
§ 3·
(b) ¨
© 4 ¹̧
§2·
(c) ¨
© 5 ¹̧
1
52
1
25
1
1
3
§3·
¨
© 4 ¹̧
1
1
§2·
¨
© 5 ¹̧
3
4
3
125
8
§2·
, podemos simplesmente inverter a base da potência e
Nota: Para o cálculo de ¨
© 5 ¹̧
3
§2·
§ 5 · 125
trocar o sinal do expoente. Isto é, ¨
=¨
=
8
© 5 ¹̧
© 2 ¹̧
3
3
&RQMXQWRGRVQ~PHURVLUUDFLRQDLVQ’
S
, não pode ser representado
T
como uma razão entre dois inteiros. Esses números são formados por uma dízima
infinita e não-periódica, são números com infinitas casas decimais em que a ordenação
dos algarismos apresenta-se não-periódica e não previsível.
São os números que não podem ser escritos na forma
Ex.:
(a) S 3,1415965
(b) 2 1,41421356 Indicamos o conjunto dos números irracionais pelo símbolo Q’.
Q’
^[_[pGt]LPDQmRSHULyGLFD`
Propriedades:
Se o número Q a , com n  N * e a  N , não é inteiro, então é irracional.
I.
Ex.:
(a) 6 5  Q’
(b) 5 3  Q’
(c) 7 1  Q’, pois 7 1 1 é inteiro
(d) 3 8  Q’, pois 3 8 2 é inteiro
22
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
II.
A soma de um número racional com um número irracional é um número
irracional.
Ex.:
1 + 3,14159265... = 4,14159265... (1  Q; S H Q’ )
III.
A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer
ordem, é um número irracional.
Ex.:
1 – 3,14159265... = – 2,14159265... (1  Q; S H 2,14159265...  Q’ )
IV.
O produto de um número racional não-nulo por um número irracional é um
número irracional.
Ex.:
V.
Ex.:
2u
3
( 2  Q;
12
3 e
12  Q’ )
O quociente de um número racional não-nulo por um número irracional é um
número irracional.
12 y 6
12
6
12 6
6
2 6
24
(12  Q;
6 e
24  Q’)
&RQMXQWRGRVQ~PHURVUHDLVR
Número real é qualquer número racional ou irracional.
R = ^[_[pUDFLRQDORX[pLUUDFLRQDO`
O conjunto dos números reais será indicado por R e é formado pela união dos conjuntos
Q e Q’. Assim sendo, temos:
R = Q ‰ Q’
Ex.:
(a) 3  R
(b) – 3,8  R
(c) S  R
(d) – 4  R
(e) 4/5  R
(f) - 6  R
(g) 0  R
(h) 0,7  R
Propriedades:
I.
A soma de dois números reais quaisquer é um número real.
23
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
II.
A diferença entre dois números reais quaisquer é um número real.
III.
O produto de dois números reais quaisquer é um número real.
IV.
O quociente entre dois números reais quaisquer é um número real.
V.
Dados dois números reais p e q, com p < q, existe um número real m, tal que:
p<m<q
Para todo número real [ existe o real \, denominado de “RSRVWR de [”, tal que:
\ [ [ \ 0 . Indicaremos o oposto de [ por [
VI.
Para todo número racional [[ z 0, existe o racional \, denominado de “LQYHUVR
ouUHFtSURFR de [”, tal que: \ ˜ [ [ ˜ \ 1 . Indicaremos o inverso (ou recíproco)
1
de [ por .
[
VII.
Se n é natural ímpar e a  R, então Q a  R.
VIII.
Ex.:
(a) 5 7  R
(b) 3 8  R
IX.
Sendo n um número natural par diferente de zero e a um número real, tem-se que
Q
Ex.:
(a) 4 5  R
(b) 6 0  R
(c) 1  R
D  R œ a •
Podemos representar os conjuntos numéricos no seguinte diagrama:
Q
R
Q’
Z
N
24
8QLYHUVLGDGH(VWiFLRGH6i±0DWHPiWLFD,±),0±3URIV$OGRH&ODXGLD
Referências:
1. PAIVA, Manoel, 0DWHPiWLFD, vol. 1, São Paulo: Moderna, 1a ed., 1999.
2. BIANCHINI, Edwaldo, PACCOLA, Herval, 0DWHPiWLFD, vol. 1, São Paulo:
Moderna, 2a ed., 1996.
3. CARAÇA, Bento de Jesus, &RQFHLWRV IXQGDPHQWDLV GD PDWHPiWLFD, Editora
Gradiva.
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