uiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiit
h
hh
h
h
hh
h
Universidade
Federal
de
Uberlândia
h
hh
h
h
hh
h
Disciplina: Fundamentos de Matemática (GFI166) Curso: Filosofia
h
hh
Prof.: Germano Abud
h
h
hh
h
3 Lista de Exercı́cios - 09/01/2015
h
hh
h
viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiw
a
1. Um teorema pode ser verdadeiro, partindo-se de hipóteses falsas? Justifique.
2. “Se 0=1 então 3=2” é um teorema?Justifique.
3. Dê exemplo de uma sentença condicional que não é nem teorema e nem definição.
4. Identifique a(s) hipótese(s) e a tese em cada sentença abaixo, reescrevendo-a na sua forma
condicional.
a) Quando a soma dos algarismos de um número é divisı́vel por 3, este número também é
divisı́vel por 3.
b) O determinante de uma matriz que possui alguma linha ou coluna nula, é nulo.
c) Três pontos num plano, que não são colineares determinam um cı́rculo.
d) O comprimento de um lado de um triaângulo é menor do que a soma dos comprimentos
dos outros dois lados.
n
e) 22 não é primo, quando n = 5.
f ) Por duas retas paralelas passa um só plano.
5. Reescreva cada teorema abaixo utilizando o termo “condição necessária” e depois utilizando
o termo “condição suficiente”.
a) Se dois números terminam em 76, então o mesmo ocorre com o produto destes números.
b) Se uma matriz quadrada possui duas colunas proporcionais, então seu determinante é
nulo.
y2 − y1
y3 − y2
c) Os pontos (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) do plano são colineares se
=
x2 − x1
x3 − x2
d) Um número inteiro é divisı́vel por 4, se o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisı́vel por 4.
6. Reescreva cada teorema abaixo na forma “Se... então...”.
1
a) Uma condição necessária para que um número seja divisı́vel por 6, é que ele seja divisı́vel
por 2 e por 3.
b) Uma condição suficiente para que um triângulo seja isósceles é que ele tenha dois ângulos
congruentes.
c) Uma condição necessária para que dois números terminem em 1, é que seu produto
também termine em 1.
7. Enuncie a recı́proca de cada teorema abaixo:
a) Se duas retas forem cortadas por uma transversal, e as medidas dos ângulos correspondentes forem iguais, então essas retas são paralelas.
b) Todo número da forma 4n + 3 é ı́mpar.
c) Uma condição suficiente para que o logaritmo de um número real seja negativo, é que
este número esteja no intervalo (0, 1).
8. A recı́proca do Teorema de Pitágoras é verdadeira. Enuncie o Teorema de Pitágoras e sua
recı́proca.
9. Dê exemplos de sentenças matemáticas implicativas onde:
a) A sentença e sua recı́proca sejam verdadeiras.
b) A sentença e sua recı́proca sejam falsas.
c) A sentença seja verdadeira e sua recı́proca seja falsa.
d) A sentença seja falsa e sua recı́rpoca seja verdadeira.
10. Considere três proposições P1 , P2 , P3 tais que P1 ⇒ P2 ⇒ P3 ⇒ P1 . Mostre que estas
proposições são equivalentes, isto é, P1 ⇔ P2 ⇔ P3 .
11. Verifique que:
a) (P → (Q → R)) ⇔ (Q → (P → R))
b) (P ∧ Q → R) ⇔ P → (Q → R)
12. Em cada “equivlência” abaixo existe uma implicação que não é válida. Identifique-a e mostre
a não validade, exibindo um contra-exemplo.
a) a = b ⇔ |a| = |b|.
b) a2 = b2 ⇔ a = b.
c) a < b ⇔ a2 < b2 .
d) ab = 0 ⇔ a = 0 e b = 0.
2
e) Dois números terminam em 6 se, e somente se, seu produto termina em 6.
13. Relembre a demonstração (em sala) de que a soma de dois racionais é um racional. Agora
mostre que:
a) o produto de dois números racionais e um número racional.
b) Se b é um número racional não nulo, então
b4 − 2b
é racional.
b + b12
14. Suponha que o seguinte teorema já foi demonstrado: “Se um inteiro k divide o produto a.b
então k divide a ou k divide b”. Usando este resultado prove, por redução ao absurdo, o
seguinte teorema:
O produto de dois números ı́mpares é um número ı́mpar.
15. Na lógica matemática, qual seria a negação da frase “Todo gato é preto” ?
16. Escreva a negação das seguintes sentenças:
a) ∼ (P ∧ Q) ∨ (P ∨ ∼ Q)
b) ∼ (P ∧ Q) ⇒ P
17. Escreva a contrapositiva das sentenças:
a) H1 ∧ H2 ∧ H3 → T .
b) H → T1 ∨ T2 ∨ T3 .
18. Determine a contrapositiva de cada sentença abaixo:
a) Se xy = 0 então x = 0 ou y = 0.
b) n ∈ N; −2 > n > −4 ⇒ n = −3
19. Provando a contrapositiva, demonstre a sentença: “ Se a e b são números reais tais que
a4 + b6 = 0 então a = b = 0”.
20. O problema a seguir encontra-se no livro “O Homem que Calculava”. No livro, Beremiz Samir é um viajante e calculista persa que, em seu caminho, depara-se com diversos problemas
lógico-matemáticos aparentemente sem solução. Ele os resolve de forma simples e transparente, explicando aos seus observadores e aos leitores como chegou a tais conclusões, e, em
algumas situações, recebe lindos presentes e, em outros, se livra de situações complicadas e
potencialmente perigosas. Suas aventuras tornam-se lendárias por toda a antiga Arábia e ele
encanta a reis, xeiques e sábios. No penúltimo capı́tulo do livro, Beremiz pede, ao Rei, a mão
da jovem Telassim, filha do xeique Iezid Abud-Hamid, em troca das riquezas e glórias prometidas por ele. O Rei após conferência com o xeique Iezid decide que Beremiz poderá casar-se
3
com Telassim desde que resolva um problema criado por um dervixe (religioso mulçumano)
do Cairo que consistia na seguinte questão:
O rei possuı́a cinco escravas, duas tinham os olhos negros e as três restantes tinham os
olhos azuis. “As duas escravas de olhos negros, quando interrogadas,” diziam sempre a
verdade, enquanto as de olhos azuis sempre mentiam. Beremiz poderia interrogar três das
escravas, que estariam com o rosto totalmente cobertos, mas poderia fazer apenas uma
única pergunta a cada uma delas, para então descobrir a cor dos olhos de cada
escrava.Beremiz usando de astúcia e lógica, pergunta à primeira escrava de que cor eram os
olhos dela, mas esta responde em um dialeto desconhecido e Beremiz, apesar do rei
determinar que as próximas perguntas devessem ser respondidas adequadamente, perdeu a
resposta da primeira escrava. Sem se abalar, o calculista seguiu para a segunda escrava e
perguntou qual fora a resposta que a primeira escrava acabara de proferir. A segunda
escrava respondera que fora: “Os meus olhos são azuis”. À terceira escrava o calculista
perguntou qual era a cor dos olhos das duas primeiras. Ela respondeu que a primeira tinha
olhos negros e a segunda tinha olhos azuis.
Assim, Beremiz determinou a cor dos olhos das 3 escravas.
a) Diga qual foi a conclusão de Beremiz, explicando como Beremiz chegou a esta conclusão.
b) Seria possı́vel a Beremiz determinar a cor dos olhos de n escravas, com uma única pergunta! Bastaria que ele se dirigisse a qualquer uma das escravas e perguntasse: “Se meu
amigo lhe indagasse a cor dos olhos de cada uma de vocês, o que você lhe responderia?”
Qual a lógica na afirmação de que, com esta única pergunta, seria possı́vel determinar
a cor dos olhos de todas as escravas?
4
Como TRABALHO , os seguintes exercı́cios da LISTA 3 deverão ser entregues no dia 23/01:
Alice Carolina Bastos Carvalho Machado - 1 - 5 - 9 - 13
Everson Rodrigues Carrijo - 2 - 6 - 10 - 14
Gabriel Galbiatti Nunes - 3 - 7 - 11 - 15
Karla Cristina Pereira - 4 -8 - 12 - 16
Marina Valesquino Affonso dos Santos - 5 -9 - 13 - 17
Roberto Marcio Soares - 6 - 10 - 14 - 18
Rosalia Maria Medeiros - 7 - 11 - 15 - 19
Victor Mariotto Palma - 8 - 12 - 16 - 20
No dia 16/01 NÃO haverá aula. Estarei viajando no perı́odo 16/01 a 21/01.
No dia 23/01 faremos uma aula de dúvidas/revisão e nos primeiros 20min da aula será sorteado
um exercı́cio desta lista para ser feito (sem consulta), valendo 3 pontos a serem somados na nota
da prova 1 (substitui a questão que foi anulada).
A prova 2 ocorrerá no dia 30/01.
5