Geometria Analı́tica e Cálculo Vetorial - Aula 14
Alex Abreu
Conteúdo
1 Coordenadas polares
1
2 Cônicas em coordenadas polares
1
3 Exercı́cios
3
1
Coordenadas polares
Uma outra maneira de caracterizar os pontos do plano é através de coordenadas polares. Em vez
de parametrizarmos o ponto P via suas coordenadas (x, y), o caracterizamos por sua distância até
~ forma com uma reta fixa (em geral o eixo x).
a origem e o ângulo que o vetor OP
6
5
P
4
3
r
2
1
b
−4 −3 −2 −1
−1
)θ
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
Ou seja, representamos o ponto P pelo par ordenado (r, θ), onde r é a distância de P a origem e
~ forma com o eixo x. Fica fácil de ver que a relação entre as coordenadas
θ é o ângulo que o vetor OP
usuais x, y e r, θ é dada por x = r cos(θ) e y = r sen(θ).
Note que essa representação não é única, uma vez que cos(2π+θ) = cos(θ) e sen(2π+θ = sen(θ).
Mais ainda, as vezes podemos querer considerar valores de r negativos. Entretando, se impusermos
que r ≥ 0 e que 0 ≤ θ < 2π então todo ponto diferente da origem tem representação única.
Coordenadas polares em geral são úteis, pois em geral é mais fácil calcular distâncias e ângulos
do que projeções.
2
Cônicas em coordenadas polares
Queremos agora entender as equações das cônicas em coordenadas polares. Por exemplo, um cı́rculo
de centro na origem e raio 1 é dada pela equação r = 1, ou seja, um ponto P de coordenadas polares
(r, θ) está no cı́rculo se e somente se r = 1.
Vamos agora achar as equações para as cônicas. Sabemos que uma cônica é o lugar geométrico
dos pontos P cuja razão entre as distâncias de P a um ponto fixo F (o foco) e a distância de
P a uma reta fixa s (a diretriz) é constante igual a e (a excentricidade). Via uma mudança de
coordenadas ortonormal, podemos supor que o foco F é a origem, e que a diretriz s é uma reta de
equação x = p com p > 0.
Logo, a distância de um ponto P = (r, θ) a origem é d(P, F ) = r enquanto que a distância de P
a s é d(P, s) = |r cos(θ) − p|. Portanto, o ponto P está na cônica se e somente se vale
r
= e.
|r cos(θ) − p|
1
s
b
P
r
)θ
F r cos(θ)
b
Dividimos agora em dois casos, se p − r cos(θ) > 0 então a equação fica
r
r
= ep − er cos(θ)
ep
.
=
1 + e cos(θ)
Caso r cos(θ) − p > 0 isso quer dizer que
r ≥ r cos(θ) > r cos(θ) − p
logo e > 1 e a equação fica
r
r
= er cos(θ) − ep
ep
=
.
e cos(θ) − 1
Se temos uma elipse, ou seja, se e < 1 então 1 + e cos(θ) é sempre positivo, e logo a equação fica
r=
ep
1 + e cos(θ)
onde θ é qualquer.
Se temos uma parábola, ou seja, se e = 1 então 1 + e cos(theta) é sempre maior ou igual a zero
e se anula só quando θ = π + 2kπ. Logo a equação fica
ep
r=
1 + cos(θ)
para θ 6= π + 2kπ.
No caso da hipérbole, ou seja, se e > 1, temos que para r > 0 tem que valer que 1 + e cos(θ) > 0
1
1
ou e cos(θ) − 1 > 0. A primeira equação se traduz em cos(θ) > −1
e e cos(θ) > e . Logo se cos(θ) > e
então temos dois valores possı́veis para r,
ep
r1 =
1 + e cos(θ)
ep
r2 =
.
e cos(θ) − 1
Um truquezinho que podemos fazer aqui, é notar que cos(θ + π) = − cos(θ), logo se cos(θ) >
então cos(θ + π) < −1
e . Logo, ficamos com
r2 = −
ep
1 + e cos(θ + π)
notando que sen(θ + π) = − sen(θ + π) então vale que
r(cos(theta), sen(θ)) = −r(cos(θ + π), sen(θ + π)),
Logo, se aceitarmos que r pode ser negativo, então a equação fica
ep
r=
1 + e cos(θ)
onde a equação acima vale para todo θ tal que cos(θ) 6=
2
−1
e .
1
e
s
b
P
r
b
F
3
)θ
r cos(θ)
Exercı́cios
1. Escrever as cônicas do exercı́cio 1.3 da lista 4 em coordenadas polares.
2. Achar os pontos P0 = (x0 , y0 ) nas cônicas do execı́cio 1.3 da lista 4 que tem abcissa x0 = 1 e
calcular as equações das retas tangentes TP0 por esses pontos.
3. No exercı́cio acima calcular o produto d(F1 , tP0 ) · d(F2 , tP0 ) em todos os casos. Verifique que
o resultado sempre é b2 (onde esse é o b relativo a cônica). Prove que de fato o produto acima
é igual a b2 para qualquer ponto P0 numa cônica.
3