Aula 12
Derivando fun»c~
oes trigonom¶
etricas
Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»c~oes trigonom¶etricas. Estaremos tamb¶em apresentando as fun»c~oes trigonom¶etricas inversas e deduzindo suas derivadas.
Admitiremos que as seis fun»c~oes trigonom¶etricas s~ao cont¶³nuas nos pontos onde
est~ao de¯nidas.
Recordemo-nos de que, pela proposi»c~ao 11.1, aula 11, temos o primeiro limite
fundamental,
sen h
lim
=1
h!0
h
Como conseqÄu^encia, deduziremos agora as derivadas das fun»c~oes seno e cosseno.
Teorema 12.1
(sen x)0 = cos x
(cos x)0 = ¡ sen x
Demonstra»c~ao. Seja f(x) = sen x. Consideremos ent~ao, fazendo ¢x = h,
¢f
f (x + h) ¡ f (x)
sen(x + h) ¡ sen x
=
=
¢x
h
h
sen x cos h + sen h cos x ¡ sen x
=
h
cos h ¡ 1
sen h
= sen x ¢
+ cos x ¢
h
h
f (x + h) ¡ f (x)
h!0
h
cos h ¡ 1
sen h
= sen x ¢ lim
+ cos x ¢ lim
h!0
h!0
h
h
f 0 (x) = lim
101
~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
102
sen h
= 1, e
h!0
h
Agora, temos lim
cos h ¡ 1
(cos h ¡ 1)(cos h + 1)
(cos2 h ¡ 1)
= lim
= lim
h!0
h!0
h!0 h(cos h + 1)
h
h(cos h + 1)
2
0
¡ sen h
sen h
¡ sen h
= lim
= lim
¢ lim
=1¢ =0
h!0 h(cos h + 1)
h!0
h!0 cos h + 1
h
2
lim
Portanto, f 0 (x) = (sen x) ¢ 0 + (cos x) ¢ 1 = cos x.
Assim (sen x)0 = cos x, para todo x 2 R.
¢
¡
Agora, cos x = sen ¼2 ¡ x . Por deriva»c~ao em cadeia,
h
³¼
´i0
(cos x)0 = sen
¡x
³ ¼2 ´ ³ ¼
´0
= cos
¡x ¢
¡ x = (sen x) ¢ (¡1) = ¡ sen x
2
2
Proposi»c~
ao 12.1
(tg x)0
(cotg x)0
(sec x)0
(cosec x)0
= sec2 x
= ¡ cosec2 x
= sec x tg x
= ¡ cosec x cotg x
Demonstra»c~ao. Para deduzir estas novas f¶ormulas, basta fazer uso das rela»c~oes
1
1
; cosec x =
cos x
sen x
³ u ´0 u0 v ¡ uv 0
e aplicar a regra de deriva»c~ao de um quociente,
=
. Deixamos o prazer
v
v2
da descoberta para o leitor.
tg x =
12.1
sen x
;
cos x
cotg x =
cos x
sen x
sec x =
Fun»c~
oes trigonom¶
etricas inversas
e suas derivadas
A fun»c~
ao arco-seno. Para cada n¶umero real a, ¡1 · a · 1, existe um ¶unico arco
orientado ®, ¡¼=2 · ® · ¼=2, tal que sen ® = a.
Dizemos que ® ¶e o arco cujo seno ¶e a, ou que ® ¶e o arco-seno de a, e denotamos
isto por
® = arc sen a
Sumarizando,
103
~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
(
® = arc sen a
se e somente se
sen ® = a
¡¼=2 · ® · ¼=2
y
α = arc sen a
π /2
a
α
x
A
O
- π /2
Assim, por exemplo (con¯ra),
p
¼
3
¼
arc sen 1 = ; arc sen
= ;
2
2
3
µ
1
arc sen ¡
2
¶
¼
=¡ ;
6
arc sen(¡1) = ¡
¼
2
A fun»c~
ao arco-cosseno. Para cada n¶umero real a, ¡1 · a · 1, existe um u¶nico arco
orientado ¯, 0 · ¯ · ¼, tal que cos ¯ = a.
y
β = arc cos a
β
π
x
a
O
Dizemos que ¯ ¶e o arco cujo cosseno ¶e a, ou que ¯ ¶e o arco-cosseno de a, e
denotamos isto por
¯ = arccos a
Sumarizando,
(
¯ = arccos a
se e somente se
cos ¯ = a
0·¯·¼
104
~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
p
Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos( 2=2) = ¼=4, arccos(¡1=2) = 2¼=3,
arccos(¡1) = ¼.
A fun»c~
ao arco-tangente. Para cada n¶umero real a, ¡1 < a < +1, existe um u¶nico
arco orientado °, ¡¼=2 < ° < ¼=2, tal que tg ° = a.
Dizemos que ° ¶e o arco cuja tangente ¶e a, ou que ° ¶e o arco-tangente de a, e
denotamos isto por
° = arc tg a
γ = arc tg a
y
y'
π /2
a
γ
x
O
- π /2
Sumarizando,
(
° = arc tg a
se e somente se
a = tg °
¡¼=2 < ° < ¼=2
Assim, de¯nem-se as fun»c~oes arc sen x e arccos x, para ¡1 · x · 1, e arc tg x para
todo x 2 R. Algumas calculadoras cient¶³¯cas chamam essas fun»c~oes pelas teclas INV
SIN , INV COS , INV TAN , e µas vezes pelas teclas SIN¡1 , COS¡1 , TAN¡1 .
Proposi»c~
ao 12.2
1
(arc sen x)0 = p
; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arccos x)0 = ¡ p
; ¡1 < x < 1
1 ¡ x2
1
(arc tg x)0 =
; ¡1 < x < +1
1 + x2
Demonstra»c~ao.
Sendo ¡1 < x < 1,
y = arc sen x se e somente se
sen y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
105
~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
Por deriva»c~ao impl¶³cita da equa»c~ao sen y = x, temos
(sen y)0 = 1 ) (cos y) ¢ y 0 = 1
1
1
1
) y0 =
=p
=p
cos y
1 ¡ x2
1 ¡ sen2 y
1
Portanto (arc sen x)0 = p
.
1 ¡ x2
Para ¡1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < ¼.
Por deriva»c~ao impl¶³cita temos
(cos y)0 = 1 ) ¡(sen y) ¢ y 0 = 1
1
1
1
) y0 = ¡
= ¡p
=p
sen y
1 ¡ x2
1 ¡ cos2 y
1
Portanto (arccos x)0 = ¡ p
.
1 ¡ x2
Finalmente, para x 2 R,
y = arc tg x se e somente se
tg y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2
Por deriva»c~ao impl¶³cita temos
(tg y)0 = 1 ) (sec2 y) ¢ y 0 = 1
1
1
1
=
=¡
) y0 =
2
2
sec y
1 + tg y
1 + x2
Portanto (arc tg x)0 =
12.2
1
.
1 + x2
Problemas
1. Sendo f (x) = sen x, mostre que f 0 (x) = cos x, fazendo uso da f¶ormula
sen p ¡ sen q = 2 sen
p¡q
p+q
cos
2
2
para calcular o limite de
¢f
f (x + ¢x) ¡ f (x)
sen(x + ¢x) ¡ sen x
=
=
¢x
¢x
¢x
quando ¢x ! 0.
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~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
y
O
ϕ
A
x
d
Figura 12.1.
2. A dist^ancia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶etil alcan»ca, quando disparado
de um canh~ao com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^angulo
de eleva»c~ao ' em rela»c~ao ao ch~ao (horizontal), ¶e dada pela f¶ormula
d=
v0
sen 2'
g
sendo g a acelera»c~ao da gravidade local. Qual ¶e o ^angulo ' que proporciona
alcance m¶aximo? Resposta. 45± .
3. Calcule as derivadas das
p
(a) y = sec x ¡ 1
(c) y = cotg(x3 ¡ 2x)
cos 4x
(e) y =
1 ¡ sen 4x
(g) y = tg2 x sec3 x
(i) y = x2 sec2 5x
p
(k) y = e¡3x tg x
(m) y = xsen x
seguintes fun»co~es.
(b) y = cosec(x2 + 4)
(d) f (x) = cos 3x2
(f) g(x) = cos2 3x
(h) f (x) = tg3 (3x + 1)
(j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj
(l) g(x) = ln(ln sec 2x)
(n) f (x) = ln j sec x + tg xj
p
p
x¡1
p tg x¡1
2 x¡1
¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x)
Respostas. (a)
sec
(cos2 a signi¯ca (cos a)2 )
(b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4)
4
(d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen
(f) ¡3 sen 6x
(c)
4x
3
3
5
2
2
(g) 3 tg x sec x + 2 tg x sec x (h) 9 tg (3x + 1) sec (3x + 1)p
¡3x
2 x
¡3x tg px
p
¡
3e
(l)
(i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec
x
¡
¢
2 tg 2x
(m) xsen x cos x ¢ ln x + senx x
(n) sec x
ln sec 2x
4. Calcule as derivadas das seguintes fun»co~es.
p
(a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3
3
(d) y = 3arc sen x
(e) g(x) = (tg x)arc tg x
(c) f (x) = ln arc tg x2
p
p p
Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 +parccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2
3
(c) (1+x4 )2x
(d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6
arc tg x2
(e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )]
5. Determine y 0 por deriva»c~ao impl¶³cita.
(a) y = x sen y
(b) ex cos y = x ey
(c) x2 + x arc sen y = yex
107
~ es trigonom¶
Derivando func
»o
etricas
x
y
sen y
cos y¡e
Respostas. (a) y 0 = 1¡x
(b) y 0 = eex sen
cos y
y+xey
p
x
2
1 ¡ y (ye ¡ arc sen y ¡ 2x)
p
(c) y 0 =
x ¡ ex 1 ¡ y 2
6. Esboce os gr¶a¯cos das fun»c~oes, analisando-as previamente atrav¶es de derivadas e
limites apropriados.
(a) y = x + sen x (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x
Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µas solu»co~es.)
(a) y 0 = 1 + cos x, y 00 = ¡ sen x. Ao pesquisar retas ass¶³ntotas do gr¶a¯co, voc^e vai se
deparar com os limites lim senx x . Use o seguinte racioc¶³nio. Como ¡1 · sen x · 1
x!§1
sen x
1
³, usando um teorema de
para todo x 2 R, temos ¡1
x · x · x , para todo x > 0. Da¶
sen x
confronto (sandu¶³che), temos lim x = 0. Calcule tamb¶em lim senx x .
(b) y 0 =
1
,
1+x2
y 00 =
¡2x
(1+x2 )2
x!+1
(c) y 0 = 1 +
(a)
1
,
1+x2
y 00 =
¡2x
(1+x2 )2
x!¡1
(b)
3π
y
y
π /2
π /4
2π
x
0
π
x
π
2π
π /2
π
3π
(c)
y
π
π /2
- π /2
x
- π /2
1
- π /2